Luận văn thạc sĩ: Ma trận đơn Modula và các đa diện nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ SỸ DŨNG

MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA VÀ
CÁC ĐA DIỆN NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ SỸ DŨNG

MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA VÀ
CÁC ĐA DIỆN NGUYÊN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS. TRẦN VŨ THIỆU

Thái Nguyên - 2015


i

Mục lục

Mở đầu

1

1

Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

TẬP LỒI VÀ TẬP LỒI ĐA DIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Tập afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Thuật toán đơn hình (gốc và đối ngẫu) . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

1.3

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH NGUYÊN . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1

Qui hoạch tuyến tính nguyên là bài toán tìm cực tiểu (cực đại)

của một hàm tuyến tính trên một tập điểm rời rạc, thường là
tập điểm nguyên: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2

Sau đây là hai ví dụ về bài toán nguyên phi tuyến ( mở rộng
ILP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2

MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA VÀ ĐƠN MÔĐULA TUYỆT ĐỐI

Chương 2: MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA VÀ ĐƠN MÔĐULA TUYỆT ĐỐI

3

16
16

2.1

MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2

MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA TUYỆT ĐỐI . . . . . . . . . . . . . . . 22

ĐA DIỆN NGUYÊN VÀ GẦN NGUYÊN

28

ii
Chương 3: ĐA DIỆN NGUYÊN VÀ GẦN NGUYÊN
3.1

3.2

28

ĐIỀU KIỆN NGUYÊN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.1

Cơ sở đơn môđula và ma trận đơn môđula tuyệt đối . . . . . . 29

3.1.2

Ví dụ về tập đa diện nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.3

Ma trận cân đối, ma trận hoàn hảo và ma trận lý tưởng . . . . 32

ĐA DIỆN GẦN NGUYÊN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

42


1

Mở đầu
Trong lĩnh vực tối ưu hóa, các ma trận giữ một vai trò quan trọng và thường có
liên quan tới các lớp bài toán tối ưu khác nhau. Chẳng hạn, các ma trận (nửa) xác định
dương (âm) gắn với các bài toán tối ưu lồi hay lõm, ma trận không xác định gắn với
các bài toán tối ưu toàn cục (tối ưu phi tuyến không lồi)v.v ...
Trong các ma trận thực, các ma trận đơn môđula (vuông cấp n, nguyên, định thức
±1) và các ma trận đơn môđula tuyệt đối (cấp mxn, mọi định thức con của nó bằng 0
hay ±1) có các tính chất đặc biệt, rất được chú ý trong tối ưu nguyên.
Các ma trận đơn môđula tuyêt đối và các mở rộng (ma trận cân đối, hoàn hảo và
lý tưởng) liên quan chặt chẽ với tập đa diện nguyên (mọi đỉnh của nó có các tọa độ
nguyên) và gần nguyên (các điểm nguyên của nó là đỉnh). Chẳng hạn, đa diện của bài
toán vận tải, bài toán ghép cặp, bài toán phủ cạnh trong đồ thị hai phần, bài toán phân
hoạch tập,... có mọi đỉnh là nguyên.
Nhiều vấn đề thực tế có thể diễn đạt dưới dạng bài toán qui hoạch tuyến tính
nguyên trên các tập đa diện nguyên hay gần nguyên. Vì thế có thể sử dụng các thuật
toán đơn hình quen thuộc để tìm nghiệm nguyên của bài toán.
Các tác giả sách tham khảo [2] - [6] đề cập tới các ma trận đơn môđula, đơn
môđula tuyệt đối và các tập đa diện nguyên (gần nguyên), cùng nhiều bài toán tối ưu
tuyến tính nguyên có liên quan. Các tài liệu [2] - [6] bao gồm nhiều kết quả hay và có
ý nghĩa khoa học, được nhiều người quan tâm học tập, nghiên cứu.
Sau khi được học các chuyên đề về giải tích lồi, tối ưu hóa và các kiến thức có liên
quan, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, các kiến thức mở
rộng và ứng dụng của những kiến thức này, chúng tôi chọn đề tài luận văn
"Ma trận đơn môđula và các tập đa diện nguyên"

2
Mục đích chính của đề tài: Tìm hiểu và trình bày các kết quả chính đã có về các
đa diện nguyên và gần nguyên, dựa trên các ma trận đơn môđula tuyệt đối và đề cập
tới một số bài toán tối ưu nguyên, thường gặp trong lý thuyết và ứng dụng. Luận văn
được viết dựa chủ yếu trên các tài liệu tham khảo [1] - [6].
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Ma trận đơn môđula, phép biến đổi đơn
môđula và ma trận đơn môđula tuyệt đối, đa diện nguyên và gần nguyên, và một số
bài toán tối ưu nguyên hay gặp trong lý thuyết và ứng dụng.
Phương pháp nghiên cứu: Tổng hợp các kiến thức thu nhận được từ các tài liệu
tham khảo liên quan đến đề tài luận văn, vận dụng các phương pháp nghiên cứu của
giải tích, giải tích lồi và tối ưu hóa.
Dự kiến đóng góp mới của luận văn: Tổng hợp và giới thiệu có chọn lọc các
kết quả về ma trận đơn môđula, đơn môđula tuyệt đối, về tập đa diện nguyên và gần
nguyên, và một số bài toán tối ưu nguyên hay gặp.
Nội dung của luận văn gồm ba chương:
Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại vắn tắt các khái niệm, định nghĩa và kết
quả cơ bản về tập lồi và tập lồi đa diện (đỉnh, cạnh, diện), về bài toán qui hoạch tuyến
tính và bài toán đối ngẫu (điều kiện tối ưu, thuật toán đơn hình gốc và đối ngẫu), về
bài toán qui hoạch tuyến tính nguyên và phi tuyến nguyên.
Chương 2 "Ma trận đơn môđula và đơn môđula tuyệt đối" trình bày khái niệm
ma trận đơn môđula, phép biến đổi đơn môđula và một số kết quả liên quan đến tìm
nghiệm nguyên của hệ phương trình tuyến tính. Tiếp theo trình bày khái niệm ma trận
đơn môđula tuyệt đối: các tính chất, ví dụ và một số tiêu chuẩn nhận biết ma trận đơn
môđula tuyệt đối.
Chương 3 "Tập đa diện nguyên và gần nguyên" đề cập tới các tập đa diện
nguyên và gần nguyên, mô tả điều kiện để có các tập đa diện nguyên và xét một số
bài toán tối ưu trên tập đa diện nguyên, gần nguyên (bài toán vận tải, bài toán sắp xếp
tập, phủ tập và phân hoạch tập). Đa diện nguyên và gần nguyên liên quan chặt chẽ với

các ma trận đơn môđula tuyệt đối và các mở rộng (ma trận cân đối, ma trận hoàn hảo
và ma trận lý tưởng).


3
Do thời gian có hạn nên luận văn này chủ yếu chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, tập hợp
tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ đề đặt ra. Trong
quá trình viết luận văn cũng như trong xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi có
những sai sót nhất định. Tác giả luận văn rất mong nhận được sự góp ý của các thầy
cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS.TS.
Trần Vũ Thiệu đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các GS, PGS, TS của Khoa Toán - Tin, Trường Đại
học Khoa học Thái Nguyên và của Viện Toán học đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện
thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.

Thái Nguyên, ngày 01 tháng 11 năm 2015
Tác giả luận văn

Vũ Sỹ Dũng


4

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này giới thiệu vắn tắt một số kiến thức cơ bản cần thiết về giải tích lồi
(tập lồi và tập lồi đa diện), bài toán qui hoạch tuyến tính (nghiệm cơ sở, điều kiện tối
ưu, phương pháp đơn hình...) và về bài toán qui hoạch tuyến tính nguyên. Nội dung

trình bày ở chương này chủ yếu dựa trên các tài liệu [1], [3].

1.1

TẬP LỒI VÀ TẬP LỒI ĐA DIỆN

1.1.1

Tập afin

Trước hết là những khái niệm liên quan tới tập afin.
Định nghĩa 1.1. Một tập M ⊂ Rn được gọi là tập afin nếu
∀a, b ∈ M, λ ∈ R ⇒ λb + (1 − λ)a ∈ M ,
tức là hễ M chứa hai điểm nào đó thì M chứa cả đường thẳng qua hai điểm ấy.
Một số tính chất cơ bản của các tập afin:
Nếu M là tập afin thì a+M = {a + x : x ∈ M } cũng là tập afin ∀a ∈ Rn .
M là tập afin chứa gốc khi và chỉ khi M là một không gian con của Rn
Giao của một họ bất kỳ tập afin cũng là một tập afin.
Nếu x1 , ..., xk thuộc tập afin M thì mọi tổ hợp afin của chúng cũng thuộc M,
tức là xi ∈ M (i = 1, ..., k), λ1 + ... + λk = 1 ⇒ λ1 x1 + .... + λk xk ∈ M .


5
Một tập afin bất kỳ có dạng M = {x : Ax = b} với A ∈ Rm×n , b ∈ Rm .
Ngược lại, mọi tập có dạng trên đều là tập afin. (Đó là nghiệm của một hệ
phương trình tuyến tính.
Bao afin của một tập E là giao của tất cả các tập afin chứa E, ký hiệu aff(E). Đó là tập
afin nhỏ nhất chứa E.
Từ các tính chất của tập afin suy ra:
x ∈ af f (E) ⇐⇒ x =

k

k

λi xi , xi ∈ E,
i=1

λi = 1.
i=1

Có thể thấy: Một tập M = φ là afin khi và chỉ khi M = x0 + L với x0 ∈ M và L là một
không gian con. L được xác định một cách duy nhất và được coi là không gian con
song song với M. (M nhận được bằng cách tịnh tiến L tới x0 ).
Định nghĩa 1.2. Thứ nguyên (số chiều) của một tập afin M là số chiều của không gian
con song song với nó.
Định nghĩa 1.3. Một tập afin trong Rn có thứ nguyên n-1 đươc gọi là một siêu phẳng.
Có thể thấy siêu phẳng là tập có dạng H = {x : aT x = α} với a ∈ Rn (a = 0), α ∈ R.
(Đó là tập nghiệm của một phương trình tuyến tính trong Rn ). Một tập có dạng H =
{x : aT x

( )α} (hay H = {x : aT x < (>)α}) được gọi là một nửa không gian

đóng (hay mở) (tập nghiệm của một hệ bất phương trình).
Định nghĩa 1.4. Một tập k điểm x1 , x2 , ...., xk gọi là độc lập afin nếu k - 1 véctơ
x2 − x1 , ...., xk − x1 độc lập tuyến tính.
Tồn tại duy nhất một siêu phẳng đi qua n điểm độc lập afin cho trong Rn .

1.1.2

Tập lồi

Sau đây là một số khái niệm liên quan đến tập lồi.
Định nghĩa 1.5. Tập hợp C ⊂ Rn được gọi là lồi nếu
∀a, b ∈ C, 0 ≤ λ

1 ⇒ λb + (1 − λ)a ∈ C,


6
tức là hễ C chứa hai điểm nào đó thì nó chứa cả đoạn thẳng nối hai điểm ấy.
Có thể thấy tập hợp rỗng, tập hợp gồm một điểm, hoàn toàn không gian Rn , mọi
tập afin, siêu phẳng, nửa không gian (đóng, mở), hình cầu,... đều là những tập lồi.
Trong R2 , các hình tam giác, hình vuông, hình tròn, hình elip đều là các tập hợp lồi.
Tuy nhiên, đường tròn hay hình vành khăn không phải là tập hợp lồi.
Thứ nguyên hay số chiều của một tập lồi C là thứ nguyên của bao afin của C.
Trong Rn một tập lồi thứ nguyên n được gọi là tập lồi thứ nguyên đầy đủ.
Sau đây là một số tính chất cơ bản của các tập lồi:
Giao của một họ bất kỳ các tập lồi cũng là một tập lồi.
Nếu C, D là tập lồi thì C + D = {x + y : x ∈ C, y ∈ D}, αC = {αx : x ∈ C}
và C - D = C + (-1)D cũng là tập lồi. Nếu C ⊂ Rn , D ⊂ Rm là tập lồi thì tích
C × D = {(x + y) : x ∈ C, y ∈ D} ⊂ Rn × Rm cũng là tập lồi.
Nếu x1 , ..., xk thuộc tập lồi C thì mọi tổ hợp lồi của chúng cũng thuộc C, tức là
xi ∈ C, λi ≥ 0(i = 1, ..., k), λ1 + ... + λk = 1 ⇒ λ1 x1 + ... + λk xk ∈ C.
Nếu tập lồi C ⊂ Rn không giới nội thì có véctơ d∈ Rn (d = 0) sao cho với
mọi x ∈ C tia x+λd, λ

0 nằm trọn trong C. Một véctơ d như thế gọi là một

phương vô hạn của tập lồi C.

Cho một tập bất kỳ E ⊂ Rn . Giao của tất cả các tập lồi chứa E được gọi là bao
lồi của E, ký hiệu conv(E). Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa E. Có thể thấy:
conv(E) trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử thuộc E.
Bao đóng và phần trong của một tập lồi cũng là các tập lồi.
Cho C ⊂ Rn là một tập lồi. Điểm x ∈ C gọi là điểm cực biên của C nếu x không thể
biểu diễn dưới dạng một tổ hợp lồi của hai điểm phân biệt bất kỳ khác thuộc C, nghĩa
là không tồn tại hai điểm y, z ∈ C, y = z sao cho
x = λy + (1 − λ)z với 0 < λ < 1


7
Định nghĩa 1.6. Tập lồi tạo nên bởi giao của một số hữu hạn các nửa không gian
đóng gọi là một tập lồi đa diện. Tập lồi đa diện giới nội được gọi là đa diện lồi. Điểm
cực biên của tập lồi đa diện (hay đa diện lồi) được gọi là đỉnh của nó.
Định lí 1.1. (Định lý tách). Hai tập lồi khác rỗng, không có điểm chung C, D trong
Rn (C ∩ D = ∅) có thể tách được bởi một siêu phẳng, nghĩa là tồn tại véctơ a ∈
Rn (a = 0) và số α ∈ R sao cho các bất đẳng thức sau được thỏa mãn:
aT x ≥ α ≥ aT y với mọi x ∈ C và mọi y ∈ D.

1.2

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

1.2.1
Quy hoạch tuyến tính là bài toán tìm cực tiểu (cực đại) của một hàm tuyến tính
f(x) trên một tập lồi đa diện D ⊂ Rn . Bài toán thường viết ở hai dạng:
• Dạng chuẩn: min{f (x) = cT x : Ax ≥ b, x ≥ 0},
trong đó A ∈ Rm×n (ma trận cấp m × n), b ∈ Rm , x ≥ 0 (x ∈ Rn+ ). Trong bài toán
này D = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, x ≥ 0} cũng là một tập lồi đa diện.
• Dạng chính tắc: min{f (x) = cT x : Ax = b, x ≥ 0},

trong đó A ∈ Rm×n (ma trận cấp m × n), b ∈ Rm , x ≥ 0 (x ∈ Rn+ ). Trong bài toán
này D = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} cũng là một tập lồi đa diện.
Trong các dạng trên, f(x) gọi là hàm mục tiêu, D gọi là miền ràng buộc (miền chấp
nhận được). Điểm x ∈ D gọi là nghiệm chấp nhận được (phương án) của bài toán.
Một phương án đạt cực tiểu (hay cực đại) của hàm mục tiêu gọi là một nghiệm tối ưu
hay một phương án tối ưu (hữu hạn).
Với mỗi bài toán qui hoạch tuyến tính, chỉ có một trong ba khả năng:
a) Bài toán không có nghiệm chấp nhận được (miền ràng buộc D = ∅).
b) Bài toán có trị tối ưu vô cực (f (x) → −∞ đối với bài toán min).
c) Bài toán có nghiệm tối ưu (min{f (x) : x ∈ D} > −∞).


8
Định lý sau nêu điều kiện để một qui hoạch tuyến tính có nghiệm tối ưu.
Định lí 1.2. Nếu một qui hoạch tuyến tính có nghiệm chấp nhận được và hàm mục
tiêu bị chặn dưới trong miền ràng buộc (đối với bài toán min) thì qui hoạch đó chắc
chắn có nghiệm tối ưu.
Định nghĩa 1.7. Một nghiệm chấp nhận được x ∈ D mà đồng thời là đỉnh của D gọi
là một nghiệm cơ sở, nghĩa là x không thể biểu diễn dưới dạng một tổ hợp lồi của bất
cứ hai nghiệm chấp nhận được khác của D. Nói một cách khác, hễ x = λx1 +(1−λ)x2
với 0 < λ < 1 và x1 , x2 ∈ D thì phải có x = x1 = x2 .
Sau đây ta sẽ xét bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc với giả thiết m

n

và ma trận A có hạng = m. Định lý sau nêu một tính chất đặc trưng cho nghiệm cơ sở
(của bài toán qui hoạch tuyến tính chính tắc).
Định lí 1.3. Để một nghiệm chấp nhận được x¯ = {¯
x1 , x¯2 , ..., x¯n } của qui hoạch tuyến
tính chính tắc là nghiệm cơ sở, thì cần và đủ là các véctơ cột Aj của ma trận A tương

ứng với các thành phần x¯j > 0 là độc lập tuyến tính.
Từ Mệnh đề 1.6 nêu trên ta dễ dàng suy ra các hệ quả sau đây:
Hệ quả 1.2.1. Số nghiệm cơ sở của qui hoạch tuyến tính chính tắc là hữu hạn.
Hệ quả 1.2.2. Số thành phần dương trong mỗi nghiệm cơ sở của qui hoạch tuyến tính
chính tắc tối đa bằng m (m là số hàng của ma trận A).
Người ta phân ra hai loại nghiệm cơ sở: không thoái hóa nếu nghiệm đó có số
thành phần dương = m và thoái hóa nếu trái lại (số thành phần dương < m).
Bài toán qui hoạch tuyến tính được gọi là không thoái hóa nếu tất cả các nghiệm
cơ sở của nó đều không thoái hoá, tức là đều có số thành phần dương bằng m. Bài
toán gọi là thoái hóa nếu có dù chỉ một nghiệm cơ sở thoái hóa.

1.2.2

Thuật toán đơn hình (gốc và đối ngẫu)

Xét qui hoạch tuyến tính chính tắc (m ràng buộc đẳng thức, n biến):
(LP)

min{f (x) = cT x : Ax = b, x ≥ 0}


9
với A là ma trận m × n, b ∈ Rm , c và x ∈ Rn . Ta giả thiết: m ≤ n và rank(A) = m
Bài toán đối ngẫu của (LP) có dạng (với y ∈ Rm , s ∈ Rn ):
(DP)

: max{g(y) = bT y : AT y ≤ c} = max{bT y : AT y + s = c, s ≥ 0}.

Định nghĩa 1.8. Giả sử ma trận A có hạng m và B là ma trận con cấp m × m của A.
Nếu B có hạng m thì ta nói B là một cơ sở của A.

Giả sử cơ sở B gồm m véctơ cột Aj1 , Aj2 , ..., Ajm của A.
Ký hiệu J = {j1 , j2 , ..., jm }. Để cho tiện, đôi khi ta cũng gọi J là cơ sở. Các véctơ
Aj và các biến xj với j ∈ J lần lượt được gọi là các véctơ cơ sở và biến cơ sở. Còn
các véctơ Aj và các biến xj với j ∈
/ J gọi là các véctơ và biến ngoài cơ sở.
T

T

Đặt N = {Ak : k ∈
/ J} , xB = (xj : j ∈ J) , xN = (xj : j ∈
/ J) ,
cB = 
(cj : j ∈
/ J). Khi đó x, c ∈ Rn tách thành
J) , cN = (cj : j ∈
xB
 , cT = (cB , cN ) (véctơ hàng). Do rank(B) = m nên tồn tại ma trận
x = 
xN
nghịch đảo B −1 . Mỗi véctơ cột Ak (k = 1, 2, ..., n) của ma trận A được biểu diễn qua
các véctơ Aj , j ∈ J như sau:
zjk Aj = z1k Aj1 + z2k Aj2 + .... + zmk Ajm với k = 1, ..., n

Ak =

(1.1)

j∈J

Nếu ký hiệu zk = (z1k , ..., zmk )T (véctơ cột) thì hệ thức (1.1) viết lại thành Ak = Bzk .
Từ đó zk = B −1 Ak (k = 1, ..., n). (Để ý là với j ∈ J, zj là véctơ đơn vị).
Mặt khác, hệ phương trình Ax=b có thể viết thành BxB + N xN = b. Từ đó
xB = B −1 (b − N xN ) = B −1 b − B −1 N xN .
(Công thức biểu diễn các biến cơ sở xj , j ∈ J, qua các biến ngoài cơ sở xj , j ∈
/ J).
Tiếp đó, giá trị hàm mục tiêu bằng
cT x =cB xB + cN xN = cB B −1 b − cB B −1 N xN + cN xN
=cB B −1 b − (cB B −1 N − cN )xN = cB B −1 b − ∆N xN ,

(1.2)

trong đó ∆N = cB B −1 N − cN . Do B −1 N = {B −1 Ak : k ∈
/ J} nên véctơ ∆N =
{∆k = cB zk − ck , k ∈
/ J}. Số ∆k (k ∈
/ J) được gọi là ước lượng của biến ngoài cơ sở


10
xk . Từ đó, công thức (1.2) trở thành
cT x = cB B −1 b −

∆k xk .
k∈J
/

Dễ kiểm tra lại rằng nếu B −1 b ≥ 0 thì x = (xB = B −1 b, xN = 0 là nghiệm chấp
nhận được của bài toán gốc (LP); còn nếu ∆N ≤ 0 thì y T = cB B −1 , s = (sB =
0, sN = −∆N )T ≥ 0 là nghiệm chấp nhận được của bài toán đối ngẫu (DP). Vì thế,

ta có:
Định nghĩa 1.9. Cơ sở B gọi là chấp nhận được gốc nếu B −1 b ≥ 0, gọi là chấp nhận
được đối ngẫu nếu ∆N ≤ 0 và là cơ sở tối ưu nếu B −1 b ≥ 0 và ∆N ≤ 0.
Định lí 1.4. Nếu B là cơ sở tối ưu (tức là B −1 b ≥ 0 và ∆N ≤ 0) thì
a) x = (xB = B −1 b, xN = 0)T là nghiệm tối ưu của bài toán (LP),
b) y T = cB B −1 , s = (sB = 0, sN = −∆N )T là nghiệm tối ưu của bài toán (DP).
Chứng minh suy từ hệ thức đối ngẫu cT x = cB xB = cB B −1 b = y T b.
• Thuật toán đơn hình gốc xuất phát từ một cơ sở B chấp nhận được gốc (tức là
B −1 b ≥ 0) và nghiệm cơ sở (LP): xB = B −1 b, xN = 0. Nếu với cơ sở đó ∆N ≤ 0
thì B là cơ sở tối ưu: dừng thuật toán. Còn nếu ∆N có thành phần dương chẳng hạn
∆S > 0 với s ∈
/ J, thì có thể giảm giá trị hàm mục tiêu cT x bằng cách đưa biến xs
vào cơ sở và tìm đưa ra khỏi cơ sở biến xr (r ∈ J) thích hợp. Làm như thế ta sẽ thu
được một nghiệm cơ sở mới tốt hơn nghiệm cơ sở cũ (hay ít ra không kém), tương ứng
với cơ sở mới B’ (thay cho cơ sở cũ B). Thuật toán lặp lại với cơ sở B’.
Định lí 1.5. (Dấu hiệu bài toán có trị tối ưu vô cực). Nếu với cơ sở B chấp nhận được
gốc tồn tại chỉ số k ∈
/ J sao cho ước lượng ∆k > 0 và zjk > 0, ∀j ∈ J thì bài toán
(LP) đã cho có trị tối ưu vô cực ( −∞ đối với bài toán min).
♠ Nếu bài toán qui hoạch tuyến tính không thoái hóa thì thuật toán đơn hình gốc
sẽ cho nghiêm tối ưu (hoặc trị tối ưu vô cực) sau hữu hạn lần đổi cơ sở.


11
• Thuật toán đơn hình đối ngẫu xuất phát từ một cơ sở B chấp nhận được đối
ngẫu (tức là ∆N ≤ 0) và "giả" nghiệm cơ sở của (LP): xB = B −1 b, xN = 0 (gọi là
"giả" vì xB có thể có thành phần âm). Nếu B −1 b ≥ 0 thì B là cơ sở tối ưu: dừng thuật
toán. Còn nếu B −1 b có thành phần âm, chẳng hạn (B −1 b)r < 0 với r ∈ J, thì có thể
cải tiến (trường hợp này là tăng) trị mục tiêu cT x bằng cách đưa biến xr ra khỏi cơ sở
và tìm đưa vào cơ sở một biến ngoài cơ sở xs (s ∈

/ J) thích hợp và ta sẽ thu được một
cơ sở mới B’ (thay cho cơ sở cũ B). Thuật toán lặp lại với cơ sở mới B’.
♠ Nếu (B −1 b)r < 0 với r ∈ J và zrk ≥ 0 ∀k ∈
/ J thì đó là dấu hiệu cho biết (LP)
không có nghiệm chấp nhận được (D = ∅).

1.3

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH NGUYÊN

1.3.1 Qui hoạch tuyến tính nguyên là bài toán tìm cực tiểu (cực đại)
của một hàm tuyến tính trên một tập điểm rời rạc, thường là
tập điểm nguyên:
(ILP)

min{f (x) = cT x : Ax = b,xj ≥ 0 nguyên, j = 1, ..., n}.

Cũng như trong qui hoạch tuyến tính, f gọi là hàm mục tiêu, D = {x ∈ Rn : Ax =
b, xj ≥ 0, nguyên, j = 1, ..., n} gọi là miền ràng buộc (miền chấp nhận được). Điểm
x ∈ D gọi là nghiệm chấp nhận được (phương án) của bài toán. Một phương án đạt
cực tiểu (hay cực đại) của hàm mục tiêu gọi là một nghiệm tối ưu hay phương án tối
ưu. Nghiên cứu cấu trúc miền ràng buộc D và tìm nghiệm tối ưu của bài toán nguyên
ILP là đối tượng của qui hoạch tuyến tính nguyên.
Sau đây là một số ví dụ đơn giản về bài toán qui hoạch tuyến tính nguyên
Ví dụ 1.1. Giả sử một lái xe muốn chọn đem theo trong một xe tải nhỏ 3 kiện hàng
với trọng lượng lần lượt là 3 tạ, 2 tạ và 4 tạ. Trị giá mỗi kiện hàng tương ứng là 1, 2
và 3 triệu đồng. Nhưng xe chỉ có thể chở được tối đa 5 tạ. Hỏi nên xếp lên xe những
kiện hàng nào để số hàng chở được có giá trị nhỏ nhất?

12
Bằng cách đưa vào các biến:

 1 nếu chọn kiện j
xj =
, j = 1, 2, 3,
 0 nếu trái lại
ta có thể phát biểu vấn đề nêu trên như một bài toán tuyến tính nguyên ILP sau:
x1 + 2x2 + 3x3 → max,
3x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 5,
0 ≤ xj ≤ 1, nguyên, j = 1, 2, 3.
♠ Nếu đòi hỏi rằng các kiện hàng 1 và 2 không được xếp cùng nhau trên xe thì
phải đặt bài toán thế nào. Trả lời: thêm vào bài toán trên bất đẳng thức:
x1 + x2 ≤ 1.
(Vì thế, nếu x1 = 1 thì x2 = 0, còn nếu x2 = 1 thì x1 = 0).
♠ Nếu đòi hỏi rằng chỉ một trong 3 kiện hàng được xếp lên xe thì mô hình bài
toán ra sao. Trả lời: thêm vào mô hình ban đầu đẳng thức:
x1 + x2 + x3 = 1
(Vì thế, hoặc x1 = 1, x2 = x3 = 0 hoặc x2 = 1, x1 = x3 = 0 hoặc
x3 = 1, x1 = x2 = 0).
Như vậy ta đã thấy bài toán nguyên ILP rất tiện dùng để mô hình hóa các ràng buộc
lôgic (chẳng hạn, nếu sự kiện A xảy ra thì sự kiện B không xảy ra,....).
Ví dụ 1.2. Một xưởng mộc dự kiến sản xuất hai loại sản phẩm: bàn và ghế từ nguồn
ván gỗ gụ xẻ và lao động hiện có. Chi phí về gỗ, công lao động và tiền lãi thu được
như sau: Làm 1 bàn tốn 40 dm3 gỗ, 5 công lao động và tiền lãi 60 (ngàn đồng), làm 1
ghế tốn 10 dm3 gỗ, 3 công lao động và tiền lãi 25 (ngàn đồng). Xưởng chỉ dùng được
vào phần sản xuất này 780 dm3 gỗ và 150 công lao động. Hỏi xưởng nên sản xuất bao
nhiêu sản phẩm mỗi loại để có lãi nhiều nhất?

13
Đưa vào hai biến: x1 là số bàn, x2 là số ghế cần sản xuất. Khi đó có thể hình thức
hóa vấn đề đặt ra thành một bài toán tuyến tính nguyên ILP như sau:



60x1 + 25x2 → max,




 40x + 10x ≤ 780,
1









2

5x1 + 3x2 ≤ 150,
x1 , x2 ≥ 0, nguyên.

Lời giải của bài toán này là x1 = 12, x2 = 30, nghĩa là sản xuất 12 bàn, 30 ghế, với
số tiền lãi lớn nhất bằng 1.470.000 đ.

1.3.2

Sau đây là hai ví dụ về bài toán nguyên phi tuyến ( mở
rộng ILP)

Ví dụ 1.3. (Bài toán lát cắt lớn nhất trong đồ thị). Cho một đồ thị vô hướng G = (V,E)
với tập đỉnh V = {1, 2, ..., n} và tập cạnh E ⊆ {(i, j) : i, j ∈ V }. Giả sử mỗi cạnh
(i, j) ∈ E có một trọng số Wij ∈ R+ và S ⊂ V . Lát cắt của G, ký hiệu cut(S), là tập
cạnh nối một đỉnh thuộc S với một đỉnh thuộc V \S, nghĩa là
cut(S) = {(i, j) ∈ E : i ∈ S, j ∈ V\S}.
Trọng số của lát cắt này là số

(i,j)∈cut(S) Wij .

Bài toán đặt ra là tìm lát cắt có trọng

số lớn nhất. Hãy phát biểu bài toán đó như một bài toán nguyên IP?
Sau đây là cách diễn đạt toán học khá tinh tế của bài toán này. Lát cắt cut(S)(S ⊂
V ) được thể hiện bằng một véctơ x ∈ Rn (n = |V | là số đỉnh của đồ thị) với các thành
phần ±1 : xJ = +1 với j ∈ S, xj = −1 với j ∈ V \ S. Rõ ràng (i, j) ∈ cut(S) ⇔
xi xj = −1. Trọng số của lát cắt bằng

1
2

n

Wij (1 − xi xj ) bởi vì

i,j=1


 0 nếu (i, j) ∈
/ cut(S),
1 − xi xj =
 2 nếu (i, j) ∈ cut(S).
Điều kiện nguyên xj = 1 hay -1 tương đương với x2j = 1 (j = 1, 2, ..., n). Vì thế, bài
toán lát cắt lớn nhất được mô hình hóa như sau:
n

1
max{
Wij (1 − xi xj ) : x2j = 1, j = 1, 2, ..., n}
2 i,j=1


14
Vì mọi hàm trong mô hình đều là đa thức (cụ thể, đa thức bậc 2) nên đây là một bài
toán tối ưu đa thức. Mô hình này có nhiều ứng dụng trong các vấn đề thiết kế an ninh
mạng và trong một số lĩnh vực khác.
Ví dụ 1.4. (Bài toán phân hoạch). Cho n số nguyên dương a1 , a2 , ..., an . Hãy phân
chia a1 , a2 , ..., an thành hai nhóm có tổng bằng nhau? Về mặt toán học, bài toán này
có thể diễn đạt thành một bài toán nguyên: tìm các số xj = ±1 sao cho
n

(1.3)

aj xj = 0.
j=1

Bài toán (1.3) có thể phát biểu dưới dạng bài toán tối ưu không ràng buộc:
2

n

aj xj

min{f (x) =

n
2

(x2j − 1) : x ∈ Rn }.

+
j=1

j=1

♠ Dễ kiểm tra lại rằng (1.3) có nghiệm ±1 khi và chỉ khi fmin = 0. Thật vậy
f (x) ≥ 0 ∀x ∈ Rn nên fmin ≥ 0.
Giả sử (1.3) có nghiệm, chẳng hạn z. Do

n
j=1

aj zj = 0, zj2 − 1 = 0

∀j nên

n

n

2

(zj2 − 1) = 0 ≤ fmin ⇒ f (z) = fmin = 0

2

aj zj ) +

f (z) = (

j=1

j=1

Ngược lại, giả sử fmin = 0 nghĩa là tìm được x ∈ Rn với xj = ±1 sao cho
n

n

2

(zj2 − 1) = 0

2

(

aj zj ) +
j=1

j=1

Do vế phải là tổng các bình phương nên ta có
n

n
2

aj zj ) = 0 ⇔

(
j=1

aj zj = 0 &
j=1

n
2

(x2j − 1) = 0 ⇔ x2j − 1 = 0, j = 1, 2, ..., n
j=1

nghĩa là hệ (1.3) có nghiệm ±1.
Các ví dụ nêu trên đã phần nào cho thấy qui hoạch nguyên là mô hình thích hợp
để mô tả nhiều bài toán đa dạng nảy sinh từ thực tiễn và vì thế nó ngày càng được
nhiều người quan tâm nghiên cứu và ứng dụng.

15
♠ Tóm lại, chương này đã trình bày tóm tắt một số kiến thức cơ bản cần biết trước
khi đi sâu tìm hiểu các nội dung tiếp theo của luận văn. Đó là những khái niệm
quen thuộc về tập lồi, tập lồi đa diện, về bài toán qui hoạch tuyến tính và thuật
toán đơn hình giải qui hoạch tuyến tính (dạng gốc và đối ngẫu) và về bài toán
qui hoạch nguyên tuyến tính và phi tuyến. Trong hai chương tiếp theo chúng
tôi sẽ đề cập tới các ma trận đơn môđula, đơn môđula tuyệt đối và các đa diện
nguyên, đa diện gần nguyên.


16

Chương 2

MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA VÀ ĐƠN
MÔĐULA TUYỆT ĐỐI
Chương này đề cập tới khái niệm ma trận đơn môdula, phép biến đổi đơn môdula
và ma trận đơn môdula tuyệt đối, cùng một số tính chất đáng chú ý của các ma trận
này. Nội dung của chương tham khảo từ các tài liệu [3], [4] và [6].

2.1

MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA

Định nghĩa 2.1. Cho U là một ma trận vuông không suy biến. Khi đó, U được gọi là
ma trận đơn môđula (unimodular matrix) nếu U nguyên và có định thức bằng 1 hay 1.
Các ví dụ về ma trận đơn môđula:
a) Ma trận đơn vị In (vuông cấp n).

b) Ma trận nhận được từ In bằng cách đổi dấu cột j, j ∈ {1, ...., n}.
c) Ma trận nhận được từ In bằng cách đổi chỗ hai cột j và k với j, k ∈ {1, ..., n}, j = k.
d) Ma trận nhận được từ In bằng cách lấy cột j trừ cột k với j, k ∈ {1, ..., n}, j = k.
Chẳnghạn, với n
= 3, j = 2,k = 3 ta lần lượt
 có cácma trận:
1 0 0
1 0 0
1 0 0










I3 =  0 1 0 , A1 =  0 −1 0 , A2 =  0 0 1





0 0 1
0 0 1
0 1 0





,



17


1


A3 =  0

0
Tổng quát,

0

0





1 0

−1 1
ta có ba loại ma trận đơn môđula U = (uij )n×n đáng chú ý sau. Với

n ∈ N, p ∈ {1, ..., n} và q ∈ {1, ..., n} \ {p}, xét các ma trận (uij )i,j ∈ {1, ..., n}
được xác định theo một trong ba cách như sau:




1



uij = −1





0

nếu i = j = p
nếu i = j = p
nếu trái lại

(U chỉ khác ma trận đơn vị ở 1 phần tử duy nhất: upp = −1),




1
nếu i = j ∈
/ {p, q}




uij = −1 nếu {i, j} = {p, q}





0
nếu trái lại
(U chỉ khác ma trận đơn vị ở 4 phần tử: upp = uqq = 0, upq = uqp = 1),




1
nếu i = j



uij = −1 nếu i = q, j = p





0
nếu trái lại
(U chỉ khác ma trận đơn vị ở 1 phần tử duy nhất: uqp = −1),

Rõ ràng, các ma trận này là đơn môđula. Nếu U là một trong ba ma trận nêu trên
thì khi thay một ma trận A tùy ý cấp m × n, bởi ma trận AU (U vuông cấp n) tương
đương với việc áp dụng một trong ba phép toán cột sơ cấp sau đây trên A:
• Nhân cột p với -1 (đổi dấu cột p).
• Đổi chỗ hai cột p và q.
• Lấy cột p trừ cột q (nhân cột q với -1 rồi cộng vào cột p).
Các phép toán kể trên được gọi là phép biến đổi đơn môđula (unimodular transformation). Hiển nhiên, tích hai ma trận đơn môđula là một ma trận đơn môđula. Có


18
thể chỉ ra rằng một ma trận vuông là đơn môđula khi và chỉ khi ma trận đó được suy
ra từ ma trận đơn vị bằng một dãy phép biến đổi đơn môđula (hay tương đương, nó
bằng tích các ma trận thuộc ba dạng kể trên).
Định lí 2.1. ([4], tr. 96) Nghịch đảo của ma trận đơn môđula cũng là ma trận đơn
môđula. Với mỗi ma trận đơn môđula U, các ánh xạ x

U x và x

xT U là song

ánh trên Z n (không gian các véctơ nguyên n chiều).
Chứng minh. Giả sử U là ma trận đơn môđula. Theo qui tắc Cramer, ma trận nghịch
đảo của ma trận đơn môđula là ma trận nguyên. Do (det U) (det U −1 ) = det(U U −1 ) =
detI = 1, nên U −1 cũng là ma trận đơn môđula. Phát biểu sau suy trực tiếp từ kết quả
này.
Bổ đề 2.1. ([4], tr. 96) Với mỗi ma trận hữu tỉ A có các hàng độc lập tuyến tính, tồn
tại ma trận đơn môđula U sao cho AU có dạng (B O), trong đó B là ma trận vuông
không suy biến. Nếu A không suy biến thì U là duy nhất.
Chứng minh. Giả sử ta đã tìm được ma trận đơn môđula U sao cho



B O

AU = 
C D
với ma trận B vuông, không suy biến nào đó. (Lúc đầu U = I, D = A và các phần B,C
và O không có phần tử nào).
Giả sử (δ1 , ..., δk ) là dòng thứ nhất của D. Áp dụng các phép biến đổi đơn môđula sao
cho mọi δi ≥ 0 và

k

δi là nhỏ nhất. Không giảm tổng quát, ta giả thiết δ1 ≥ δ2 , ..., ≥

i=1

δk . Khi đó δ1 > 0 do các hàng của ma trận A (và do đó, các hàng của AU) độc lập
tuyến tính. Nếu như δ2 > 0 thì trừ cột đầu cho cột hai của D sẽ nhận được

k
i=1 δi

nhỏ hơn. Vậy δ2 = δ3 = ... = δk = 0. Ta có thể tăng kích thước của B một đơn vị và
cứ thế tiếp tục.
Các phép toán dùng trong chứng minh Bổ đề 2.1 tương ứng với Thuật toán Euclide. Ma trận B nhận được thực tế là ma trận tam giác dưới. Với đôi chút cố gắng, ta
nhận được cái gọi là dạng chuẩn Hecmit của ma trận A.


19
Ma trận U nêu trong Bổ đề 2.1 sẽ được sử dụng để tìm nghiệm nguyên của hệ

phương trình Điôfan tuyến tính.
Bổ đề sau cho một tiêu chuẩn nhận biết khi nào một hệ phương trình tuyến tính có
nghiệm nguyên, tương tự bổ đề Farkas.
Bổ đề 2.2. ([4], tr97) Giả sử A là một ma trận hữu tỉ (có hạng bằng số hàng của A)
và b là véctơ cột hữu tỉ. Khi đó, hệ Ax=b có nghiệm nguyên x khi và chỉ khi yb là số
nguyên đối với mọi véctơ hàng hữu tỉ y mà yA là véctơ nguyên;
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên: nếu x và yA là véctơ nguyên và Ax = b thì
yb = yAx là số nguyên.
Để chứng minh điều kiện đủ, giả sử yb là số nguyên mỗi khi yA nguyên. Ta có thể
giả sử rằng hệ Ax=b không chứa ràng buộc thừa, tức là yA = 0 kéo theo yb = 0. Giả
sử m là số hàng của A. Nếu rank(A)và y := y /(2y b) thỏa mãn y A = 0 và y b = 1/2 ∈
/ Z. Vậy, các hàng của A độc
lập tuyến tính.
Theo Bổ đề 2.1, tồn tại ma trận đơn môđula U với AU = ( B O) , trong đó B là
ma trận vuông cấp n không suy biến. Do B −1 AU = ( I O) là ma trận nguyên nên
ta có với mỗi hàng y của B −1 sao cho yAU nguyên và do đó theo Mệnh đề 5.8, yA là
nguyên. Do đó yb là số nguyên đối với mỗi hàng y của B −1 kéo theo B −1 b là véctơ
nguyên. Vì thế,

U

B

−1

O

b




là một nghiệm nguyên của Ax=b.
Cũng có thể mở rộng khái niệm đơn môđula cho tất cả các ma trận suy biến. Các
ma trận đơn môđula đã được các nhà toán học Smith (1861), Frobenius (1879-1880),
Veblen và Franklin (1921-1922) nghiên cứu.
Sau đây là một số tính chất đáng chú ý của ma trận đơn môđula.
Định lí 2.2. ([5], tr. 49). Các điều sau tương đương đối với mọi ma trận hữu tỉ không
suy biến U cấp n × n:


20
(i) U là đơn môđula;
(ii) U −1 là đơn môđula;
(iii) Dàn sinh bởi các cột của U là Z n (không gian véctơ nguyên n chiều);
(iv) Ma trận đơn vị là dạng chuẩn Hecmit của U;
(v) U nhận được từ ma trận đơn vị bằng các phép toán cột sơ cấp.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii): do det(U −1 ) = (detU )− 1 = ±1 và do mỗi phần tử của
U −1 bằng một định thức con của U nên là số nguyên. Tương tự, (ii) ⇒ (i).
Sự tương đương của (iii), (iv) và (v) được suy ra trực tiếp từ Định lý 4.2 ([5]ư,
tr. 48). Quan hệ (v) ⇒ (i) là hiển nhiên, bởi vì các phép toán cột sơ cấp không làm
thay đổi tính nguyên và giá trị định thức (không kể sai khác dấu) của ma trận. Cũng
vậy, dễ dàng thấy (i) ⇒ (v): nếu B là dạng chuẩn Hecmit của U thì B nguyên và
| detB |=| detU |= 1. Vì thế B = I.
Định nghĩa 2.2. (Edmonds and Giles [1977]) Hệ bất đẳng thức tuyến tính Ax ≤ b
gọi là nguyên đối ngẫu tuyệt đối (totally dual integral, viết tắt TDI) nếu với mỗi véctơ
nguyên c, bài toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu
min{y T b : AT y = c, y ≥ 0} = max{cT x : Ax ≤ b}
có nghiệm tối ưu nguyên y, mỗi khi giá trị cực tiểu của bài toán là hữu hạn.

Tuy nhiên tính nguyên đối ngẫu tuyệt đối không phải là một tính chất của các
tập đa diện, Nói chung, hệ nguyên đối ngẫu tuyệt đối chứa nhiều bất đẳng thức hơn
cần thiết để mô tả tập đa diện. Khi thêm các bất đẳng thức đúng không làm mất tính
nguyên đối ngẫu tuyệt đối.
Định lí 2.3. ([4], tr. 99) Nếu hệ Ax ≤ b là nguyên đối ngẫu tuyệt đối và aT x ≤ β là
một bất đẳng thực đúng đối với {x : Ax ≤ b} thì hệ Ax ≤ b, aT x ≤ β cũng là nguyên
đối ngẫu tuyệt đối.


21
Chứng minh. Giả sử c là véctơ nguyên sao cho min{y T b + γb : AT y + γa = c, y ≥
0, γ ≥ 0} là hữu hạn. Do aT x ≤ β là lát cắt đúng đối với {x : Ax ≤ b} nên
min{y T b : AT y = c, y ≥ 0} = max{cT x : Ax ≤ b}
= max{cT x : Ax ≤ b.aT x ≤ β}
= min{y T b + γb : AT y + γa = c, y ≥ 0, γ ≥ 0}.
Bài toán min thứ nhất đạt tại véctơ nguyen y ∗ nào đó, do đó y = y ∗ và γ = 0 là một
nghiệm tối ưu nguyên cho bài toán min thứ hai.
Định lí 2.4. (Cook 1983, [4], tr. 100) Giả sử Ax ≤ b, aT x ≤ β là một hệ nguyên đối
ngẫu tuyệt đối, trong đó a là một véctơ nguyên. Khi đó, hệ Ax ≤ b, aT = β cũng là
nguyên đối ngẫu tuyệt đối.
Chứng minh. (Schrijver [1986]) Giả sử c là véctơ nguyên sao cho
max{cT x : Ax ≤ b, aT x = β} =
= min{y T b + (λ − µ)β : y, λ, µ ≥ 0, AT y + (λ − µ)a = c} (2.1)
là hữu hạn. giả sử x∗ , y ∗ , λ∗ , µ∗ là nghiệm tối ưu của bài toán. Đặt c = c + µ∗ a và
chú ý là
max{c T x : Ax ≤ b, aT x ≤ β} = min{y T b + λβ : y ≥ 0, AT y + λa = c}

(2.2)

là hữu hạn, vì x = x∗ là nghiệm chấp nhận được đối với bài toán max và y = y ∗ , λ =

λ∗ + µ∗ − µ∗ là nghiệm chấp nhận được đối với bài toán min.
Do hệ bất đẳng thức Ax ≤ b, aT x ≤ β là nguyên đối ngẫu tuyệt đối nên bài toán
˜ Cuối cùng, ta đặt y = y˜, λ = λ,
˜ µ = µ∗ và
cực tiểu (2.2) có nghiệm nguyên y˜, λ.
chỉ ra rằng (y, λ, µ) là một nghiệm tối ưu nguyên của bài toán cực tiểu (2.1). Thật vậy,
rõ ràng (y, λ, µ) là một nghiệm chấp nhận được của bài toán min(2.1). Hơn nữa,
˜ − µ∗ β ≤
y T b + (λ − µ)β = y˜T b + λβ
≤ y ∗T b + (λ∗ + µ∗ − µ∗ )β − µ∗ β