TÀI LIỆU TỔNG HỢP LỊCH SỬ CÁC PHÂN MÔN TOÁN HỌC VÀ ỨNG DỤNG VÀO VIỆC DẠY HỌC Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

TÀI LIỆU TỔNG HỢP
LỊCH SỬ CÁC PHÂN MÔN TOÁN HỌC
VÀ ỨNG DỤNG VÀO VIỆC DẠY HỌC
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

NĂM 2015


LỜI MỞ ĐẦU
Toán học đã hình thành và phát triển song song với sự phát triển của con người.
Như chúng ta đã biết, Toán học đóng vai trò vô cùng quan trọng trong các lĩnh vực của
đời sống con người.
Từ xa xưa, Toán học bắt đầu chỉ là tính toán đơn giản trong trao đổi hàng hoá rồi
phát triển dần đến những phân môn chuyên nghiên cứu sâu rộng như hiện nay, khi đó
Toán học đã phải trải qua một quá trình phát triển lâu dài với nhiều biến đổi trong sự
phấn đấu không mệt mỏi của các nhà Toán học. Chẳng những nghiên cứu Toán học,
việc nghiên cứu lịch sử Toán học cũng hết sức cần thiết cho người học Toán, đặc biệt
là giáo viên dạy Toán. Bên cạnh việc nâng cao trình độ bản thân, chúng ta còn có thể
“thổi hồn vào con số” vận dụng sự hiểu biết về lịch sử hình thành và phát triển của
Toán học để gây hứng thú môn học cho học sinh, để toán học không còn là môn học
khô khan nữa mà nó sinh động, thực tế và gần gũi hơn. Ngoài ra, nó cũng góp phần
vào việc dựng xây nền tảng vững chắc cho các em, giúp các em có niềm tin, cố gắng
và tự tin thực hiện ước mơ của mình.
Trong quá trình tổng hợp tài liệu này tôi đã nhận được sự đóng góp ý kiến của
PGS.TS Nguyễn Phú Lộc và những đóng góp của các học viên lớp LL&PPDH Bộ
môn Toán khoá 22 trường Đại học Cần Thơ. Tôi xin chân thành cám ơn.

i


MỤC LỤC

Chương 1 : ĐẠI SỐ......................................................................................................1
Chương 2 GIẢI TÍCH...............................................................................................22
Chương 3 : HÌNH HỌC GIẢI TÍCH........................................................................33
Chương 4 : LỊCH SỬ HÌNH HỌC SƠ CẤP............................................................56
Chương 5 : XÁC SUẤT THỐNG KÊ.......................................................................78
Chương 6 : SỐ PHỨC.............................................................................................125
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................232

ii


Chương 1 : ĐẠI SỐ
1.1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN
1.1.1 Khái niệm số học
Số học, tiếng anh là “arithmetic”, là ngành cơ bản và lâu đời nhất của toán học,
được sử dụng rất phổ biến, cho các mục đích khác nhau.
Số học nghiên cứu về số lượng, đặc biệt là kết quả của các phép tính kết hợp các
con số. Trong sử dụng thông thường, số học đề cập đến các tính chất đơn giản của các
phép tính cộng, trừ, nhân, chia các con số, ở mức độ cao hơn là nghiên cứu về lý
thuyết số.
1.1.2 Khái niệm đại số
Đại số là một ngành toán học nghiên cứu một cách trừu tượng hệ thống số đếm
và các phép tính giữa chúng, bao gồm cả một số chủ đề cao cấp như lý thuyết nhóm,
vành, trường, lý thuyết bất biến...
Đại số được xem như là ngành toán học mở rộng hóa và trừu tượng hóa của bộ
môn số học. Trong Đại số, biến Số được dùng đại diện cho một số. Biến Số được biểu
thị bằng ký tự trong mẩu tự {A - Z}. Thí dụ A có thể dùng để đại diện cho bất kỳ số 0
– 9.
1.1.3 Nguồn gốc của đại số
Nguồn gốc của đại số được tìm thấy trong các nền văn minh của người Babylon

và Ai Cập cổ đại, là những người sử dụng đại số để giải các phương trình bậc hai, bậc
ba và bậc bốn hơn 4.000 năm trước.
Khoảng năm 200 nhà toán học Hy Lạp Diophantus,
thường được nhắc tới như là "cha đẻ của đại số", đã viết
cuốn sách nổi tiếng của mình Arithmetica, là một công trình
đưa ra lời giải của các phương trình đại số và về lý thuyết
số.
Từ tiếng Anh của “Đại số” là “Algebra” có nguồn gốc
từ tiếng Ả Rập Al-Jabr và điều này xuất phát từ tên sách
Kitâb al-muḫtasar fi hisâb al-jabr wa-l-muqâbala được viết năm 820 của nhà toán học
thời trung cổ Ba Tư Muhammad ibn Musa al-Khwârizmi. Tên của tác giả Alkhwârizmi trở thành Algorithm rồi biến thành từ “algorithm” (thuật toán) ngày nay.
1


1.2 SƠ LƯỢC CÁC HỆ THỐNG SỐ
1.2.1 Cách đếm nguyên thủy
Theo các nhà nghiên cứu, nhân loại biết suy nghĩ vào khoảng 40.000 năm trước
công nguyên (người Neandertal). Đồng thời tư duy toán học của con người được hình
thành đầu tiên có thể nhờ các phép đếm thô thiển, các khái niệm ban đầu về hình học.
Xuất phát từ nhu cầu cuộc sống mà số và phép đếm ra đời, chẳng hạn do nhu cầu kiểm
tra sỉ số đàn cừu của các bộ lạc. Số và phép đếm phát triển trước khi có nền văn minh
cổ đại, cụ thể là từ khi con người biết ghi chép.
Phép đếm sớm nhất là phép tương ứng một – một. Khi đếm một đàn cừu, chẳng
hạn, thì mỗi con cừu ứng với một ngón tay, hay bằng viên đá, hoặc một thanh que, một
vết vạch trên mặt đất, bằng một cái nút trên sợi dây,…Đồng thời, họ còn nhận biết
được khái niệm về cặp, ví dụ như một cặp chân, một đôi mắt, hai bàn tay, …
Ở thuở ban đầu, con người mỗi khi đếm đều gắn liền với tên vật hay đồ vật đi
kèm, chẳng hạn, một con cừu, hai mũi tên,… Về sau do sự phát triển của ngôn ngữ
con người biết dùng các từ để gắn cho một số nhỏ đồ vật. Ngoài ra, con người còn biết
trừu tượng hóa trong quá trình đếm bằng cách bỏ đi tên vật hay đồ vật theo sau số đếm

mà chỉ còn: một, hai, ba,...
Con người ngày nay kể cả người thượng cổ xa xưa nhất họ đều có nét chung là
cảm giác được số. Tức là họ nhận biết thế nào là nhiều hơn hoặc ít hơn, thế nào là
thêm bớt một nhóm nhỏ đồ vật. Từ thời Tiền sử vật được quan sát bằng mắt là trung
tâm chú ý của con người và khi vật khuất mắt thì cái hiện ra trong đầu là hình ảnh của
vật chứ không phải số.
Để mở rộng và thực hiện phép đếm thuận tiện hơn con người đã hệ thống hóa lại.
Từ đó khái niệm “cơ số ” ra đời. Khi cơ số b được chọn làm cơ số thì các số 1, 2, …, b
được gắn tên, còn các số lớn hơn b chỉ là tổ hợp các tên của các số từ 1, 2, …, b. Trong
lịch sữ có nhiều cơ số khác nhau được chọn như: 2, 3, 4, 5, 10, 12, 20, 60, …
Để ghi lại các con số người ta dùng dấu vết, và nó trở thành cơ sở cho chữ viết
sau này. Dần dần các hệ thống chữ viết khác nhau ra đời để ghi lại các số một cách
khoa học hơn chẳng hạn: hệ thống nhóm đơn, hệ thồng nhóm nhân, hệ thồng chữ số lã
hóa, hệ thống chữ số vị trí, hệ thống chữ số Hindu - Ả Rập.

2


1.2.2 Hệ thống nhóm đơn
Quy tắc của hệ thống này như sau: nếu b là cơ số thì người ta có những kí hiệu
cho 1, b, b2, b3, … Như thế một con số bất kì được biểu thị theo các kí hiệu trên theo
nguyên tắc cộng, tức là trong con số đó, mỗi kí hiệu được lặp lại một số lần cần thiết.
Người Ai Cập cổ và Babylon cổ đã dùng hệ thống nhóm đơn trên để ghi số.
1.2.3 Hệ thống nhóm nhân
Nếu b là cơ số của một hệ thống nhóm nhân thì người ta dùng các ký hiệu cho 1,
2, …, b – 1 và các ký hiệu cho b, b2, b3, …
Trung Quốc, Nhật cổ đã dùng hệ thống nhóm nhân theo cơ số 10.
Ví dụ, nếu 10 là cơ số và dùng các kí hiệu như ngày nay cho các số từ một đến
chín: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và a, b, c, d lần lượt được dùng làm ký hiệu cho 10, 102,
103, 104 thì ta viết số 12978 như sau: 1d2c9b7a8

1.2.4 Hệ thống chữ số mã hóa
Nếu b là cơ số của hệ thống chữ số lã hóa thì người ta dùng các ký hiệu cho 1, 2,
…, b – 1; 2b,…, (b - 1)b; b2, 2b2, …, (b - 1)b2, …
Các nước Hy Lạp, người công giáo Ai Cập cổ, …, dùng hệ thống chữ số mã hóa.
Hệ thống chữ số Hy Lạp cổ (Ionic) ra đời vào khoảng 450 TCN. Hệ thống này có
cơ số 10 và dùng 27 chữ (24 chữ vần cái Hy Lạp và 3 ký hiệu - hiện nay không còn)
cho các chữ digamma, koppa và sampi.
1.2.5 Hệ thống chữ số vị trí
Hệ thống chữ số mà chúng ta dùng ngày nay là một ví dụ cho hệ thống chữ số vị
trí với cơ số 10. Nếu b là cơ số cho hệ thống này thì người ta chỉ có thể dùng ký hiệu
cho các số 0, 1, 2, …, b – 1. Tùy theo vị trí các ký hiệu này mà chúng có những giá trị
khác nhau.
Số tự nhiên N luôn được viết dưới dạng sau:
N = anbn + an - 1bn – 1 + … + a1b + a0.

(với 0 ≤ ai < b, i = 0,1,..., n ).

Số N được biểu thị như sau: anan-1…a1a0.
Ví dụ 1: Trong hệ thống ghi số của chúng ta ngày nay theo quy tắc vị trí, khi ta
viết 3425. Số 3 đầu tiên (từ trái qua) biểu thị cho 3(10) 3, số 4 biểu thị cho 4(10)2, số 2
áp cuối cùng biểu thị cho 2(10) và 5 là 5 đơn vị.
3


Ví dụ 2: Người Babylon cổ đã ghi số theo nguyên tắc vị trí với cơ số 60. Chẳng
hạn, số 7424 được biểu diễn theo cơ số 60 như sau:

Nếu hiểu theo ngôn ngữ của chúng ta bây giờ, thì:
7424 (cơ số 60) = 2.602 + 3.601 + 44
Ngoài ra ta có bảng nhân với 9 của người Babylon như sau:

1.2.6 Hệ thống chữ số Hindu - Ả Rập (Ấn Độ - Ả Rập)
Hệ thống này (cũng là hệ thống chữ số ta đang dùng) do người Hindu sáng lập,
được người Ả Rập truyền sang Tây Âu. Các ký hiệu cho các số của chúng ta hiện nay
được tìm thấy trên một số cột đá ở Ấn Độ do vua Âsoka dựng lên vào khoảng năm 250
TCN.
Trong đó không có số 0 và không dùng nguyên tắc vị trí ký hiệu để ghi số. Số 0
và nguyên tắc vị trí ký hiệu có lẻ xuất hiện khoảng năm 800 SCN do Khowârizmi đã
ghi lại hệ thống Hindu hoàn chỉnh vào năm 825 SCN.
Từ số không, có lẽ đã bắt nguồn từ dạng Latin hóa zephirum của từ Ả Rập sifr, từ
này được dịch từ sunyz của Hindu, có nghĩa là “trống không”. Từ Ả Rập được đưa vào
tiếng Đức ở thế kỷ XIII thành cifra và từ tiếng đó, hiện nay trong tiếng Anh có từ
cipher là số không.
Những ký hiệu số đã chịu biến dạng đáng kể theo quá trình lịch sử cho đến khi
ngành in phát triển thì những kí hiệu này mới ổn định.

4


1.3 CÁC GIAI ĐOẠN PHÁT TRIỂN CỦA ĐẠI SỐ
1.3.1 Đại số trong giai đoạn phát sinh
Giai đoạn phát sinh của đại số bắt đầu từ thời kì nguyên thuỷ đến thế kỉ VII,VI
TCN. Xuất phát từ nhu cầu đếm, đo đạc và nhu cầu lao động sản xuất (đơn giản). Sau
đây là các nền toán học tiểu biểu và đặc điểm chính:
1.3.1.1 Nền toán học nổi trội Babylone
Toán học Babylone bao gồm nền toán học
thuộc về cư dân Lưỡng Hà (Iraq ngày nay ) từ
buổi đầu Sumer đến thời kì Hy lạp hoá. Được
đặt tên là Babylone là do vai trò trung tâm của
Babylone là nơi nghiên cứu, đã không tồn tại

sau thời kì Hy Lạp hoá.
Sự hiểu biết về toán học Babylone của chúng ta là từ hơn 300 bản đất sét do khai
quật tìm thấy. Bằng chứng nhất về các bản toán học là từ thời những người Sumer cổ
đại, những người xây dựng nền văn minh sớm nhất ở Lưỡng Hà.
Trong lượng lớn bản đất sét đã dược phục hồi đó có chủ đề về đại số, cụ thể:
+ Khoảng 2000 năm trước công nguyên người Babylone đã đưa ra công thức
2

b
b
nghiệm của phương trình bậc hai x + bx = c (c > 0) như sau: x = − +  ÷ + c
2
2
2

do ý nghĩa của thực tế nên họ chỉ lấy nghiệm dương.
+ Nhờ vào bảng giá trị của biểu thức n3 + n 2 người Babylone có thể giải được
một số phương trình bậc ba như: ax 3 + bx 2 = c . Nhân hai vế của phương trình cho a 2
và chia hai vế của phương trình cho b3 ta được phương trình:
3

2

ca 2
 ax   ax 
 ÷ + ÷ = 3
b
 b   b 
ax
ca 2

3
2
Đặt y =
ta được phương trình: y + y =
, phương trình cuối cùng giải
b
b3
được nhờ vào bảng giá trị n3 + n 2 .
5


+ Khoảng 300 trước công nguyên, người Babylone cổ đã có biết đưa ra hai bài
toán chuỗi rất hay là:

1 + 2 + 22 + 23 + ... + 29 = 210 − 1
1
2
12 + 22 + 32 + ... + 102 = (1 + 10 )55 = 385
3
3
Như vậy, người Babylone đã quen thuộc với các công thức:

r n +1 − 1
∑ r = r −1 ;
i =0
n

i

n

∑ i2 =

i =0

2n + 1 n
n( n + 1)(2n + 1)
i=
∑
3 i =0
6

+ Người Babylone đã cho những đánh những giá trị xấp xỉ của căn bậc 2 của các
số không chính phương như:

thức xấp xỉ

2≅

N = a2 + b ≅ a +
2 =1+

7 1 17
;
≅
có lẻ người Babylone đã dùng công
12 2 24

b
. Tìm thấy một đánh giá khác là

2a

24 51 10
+
+
= 1,414213 .
60 602 603

+ Thế kỉ thứ III trước công nguyên , người Babylone có một bản về thiên văn học
họ đã dùng luật dấu trong phép nhân.
+ Đặt bài toán đại số và giải theo cách của họ, như: “Tìm chiều dài một cạnh của
hình vuông cho biết diện tích của nó trừ đi chiều dài của một cạnh bằng 870”. Cách
giải của người Babylone: lấy một nữa của một tức 0;30 (cơ cố 60) dấu “; ” tức dấu “, ”
trong số thập phân ngày nay. Nhân 0; 30 với 0;30 được 0;15, thêm vào kết quả này
14,30 ta được 14,30+0;15= 14,30;15. Nhưng 14,30;15 là bình phương của 29;30. Sau
cùng ta thêm 0;30 vào 29; 30 kết quả bài toán là 30.
+ Người Babylone còn biết giải hệ phương trình sau:

 x 2 + y 2 = 21,15


6
y = x
7


6


Người Babylone đã giải bài toán trên như sau, họ đã biết thay phương trình thứ 2

2
vào phương trình đầu tiên được x +

36 2 85
49
7
x =
(cơ số 10) được x 2 =
và x =
49
4
4
2

+ Ở phòng lưu trữ của trường đại học Yale (Mỹ ) ta còn đọc được những dạng

mx 2 ry 2
phương trình sau của người Babylone: xy = a;
+
+ b = 0 khi giải đưa về
y
x
phương trình trùng phương đối x 3 .
Khi khai quật ở Suse (Iran), người ta đã tìm thấy những cổ vật chứng tỏ người
Babylone đã biết giải phương trình bậc 8 dưới dạng toàn phương đối với x 4 .
+ Người Babylone cũng tính được:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
1.3.1.2 Nền toán học Ai Cập

Ta biết nhiều về toán học Ai Cập là nhờ vào hai bản cổ chỉ. Một ở Moscow (gọi
là bản Moscow), một bản Rhind hiện ở bảo tàng Anh quốc

Giấy cói Moskva

Bản Rhind

+ Người Ai Cập sử dụng toán trong điều hành nhà nước và nhà thờ, để xác định
lương của người lao động, để tìm thể tích các kho thóc, tìm diện tích các thửa ruộng,
để thu thuế, để tính toán trong các công trình xây dựng, để đối phó với nạn lũ lụt bên
bờ sông Nile. Chính vì những lí do đó mà toán học Ai Cập đã phát triển khá cao trong
thời cổ đại, trong đó có đại số học như:

7


+ Người Ai Cập đã đưa ra một qui tắc giải phương trình x +

gọi là qui tắc đặt sai. Ví dụ: ta cho bất kì x = 7 thì x +

là x = 7 ×

x
= 24 khá độc đáo
7

x
= 8 nghiệm của phương trình
7

24
= 21 .
8

+ Trong viện bảo tàng ở Mạc Tư Khoa còn lưu lại 110 bài toán trên papyrus,
cách giải các bài toán ấy là cách giải số học hoặc cách giải phương trình tuyến tính
dạng x + ax = b; x + ax + cx = b lượng chưa biết “x “mang tên là “aha “hay “h “.
+ Người Ai Cập còn biết đến cấp số cộng và cấp số nhân thể hiện qua bài toán số
40, 79 trong papyrus. Sau đây là bài toán số 40: “Chia 100 cái bánh cho 5 người sao
cho 1/7 của tổng số bánh của ba người đầu bằng phần bánh của hai người còn lại. Hỏi
phần bánh của người này khác người tiếp theo là bao nhiêu?”.
Cách giải của người Ai Cập:giả sử phần bánh của người này khác người tiếp theo
là 5

1
cái và người thứ nhất có 1 cái như vậy số bánh của các người liên tiếp nhau là:
2

1
1
1, 6 , 12, 17 , 23 (tổng số bánh là 60). Như vậy cần 40 cái nữa (tức 2/3 của 60) mới
2
2
được 100.Và họ thêm vào phần từng người 2/3 phần nữa, như vậy số bánh của năm

2
3

1
1

2 1
+ ÷, 20,29 , 38 (tổng số là 100).
6
3
3 6

người lần lượt là: 1 , 10 

Tóm lại: Toán học ở giai đoạn này có tính thực hành , họ có xu hướng về đại số
mạnh hơn hình học, còn những ý tưởng về chứng minh hay xét sự tồn tại nghiệm của
phương trình không được tìm thấy ở giai đoạn này.
1.3.2 Đại số trong giai đoạn toán học sơ cấp
Giai đoạn toán học sơ cấp bắt đầu từ khoảng thế kỉ thứ VI (TCN) đến thế kỉ thứ
XVI (SCN). Lịch sử đại số ra đời trong giai đoạn này đáp ứng những nhu cầu như:
+ Trả lời câu hỏi trọng tâm trong giai đoạn này là “Tại sao?” (Thay cho câu
“Thế nào” trước kia).
8


+ Nhu cầu tìm hiểu thế giới tự nhiên, thực tế cuộc sống.
+ Giao lưu của nhiều nền văn hóa khác nhau...
Toán học trong giai đoạn này quan tâm đến các vấn đề toán học thuần túy trong
đó có cả suy luận và chứng minh. Sau đây là những nét tiêu biểu về đại số trong giai
đoạn này:
1.3.2.1 Đại số thời cổ Hy Lạp
− Phát triển lý thuyết tổng quát Toán học. Theo F.Engels nói “Nếu các khoa học
tự nhiên muốn tìm hiểu lịch sử phát sinh và phát triển của những lý thuyết tổng quát
hiện nay của nó thì nhất thiết phải quay về cổ Hy Lạp”.
− Phát triển toán học thành một khoa học trừu tượng, các kết luận khoa học bằng
con đường suy diễn, nhất quán. Gắn toán học với cuộc sống.

− Khám phá ra số vô tỉ.
1.3.2.2 Đại số ở Trung Quốc cổ
− Gồm các bài toán đại số - số học: Dùng hệ đếm thập phân, về kí hiệu tượng
hình và số, về phép tính toán với các số lớn.
− Khoảng thế kỉ thứ IV, III TCN xuất hiện quyển “Chu bể toán kinh” trình bày
về kỉ thuật tính số và một vài phương pháp sơ khai của đại số.
− Phát triển những yếu tố của giải tích tổ hợp.
1.3.2.3 Đại số ở Ấn Độ cổ
Ấn Độ có công lớn khi phát minh ra số 0, số âm, hệ thống ghi số theo nguyên
tắc vị trí và sáng tạo ra môn Đại số học.
Nền toán học Ấn Độ nghiên về thuật tính.
Tính toán trên các số gồm: Phép cộng, phép cộng theo đường chéo, phép nhân,
phép nhân với độ phức tạp.
1.3.2.4 Đại số ở Ả Rập
Dưới sự bảo trì của hoàng gia các công trình toán học của Brahmagupta được
chuyển về Bagdad (Khoảng 766) và được dịch sang tiếng Ả Rập đó là cách để đưa các
chữ số Ấn Độ vào nền toán học Ả Rập trong đó có “Cơ bản” của Euclid.
Một số cho rằng các tác giả Hồi giáo thể hiện tính độc đáo cao và là những
thiên tài nhất là về đại số học và lượng giác học.
9


1.3.2.5 Đại số châu Âu (từ 500 đến 1600)
a) Thời Trung Cổ
− Boethius (Khoảng 475 – 524 ) viết các tác phẩm về số học
− Gerbert (Khoảng 950 – 1003) ông được xem học giả sâu sắc có công trình về
số học và một số dịch giả khác.
b) Đại số trong thế kỉ XIII
Leonardo Fibonacci (1170 – 1250 ): Năm 1202 công bố công trình “Liber abaci”
viết về số học và đại số sơ cấp. Trong 15 chương này đã giải thích cách đọc và cách

viết các chữ số mới, các phương pháp tính toán các căn bậc hai và bậc ba, việc giải các
phương trình bậc nhất, bậc hai bằng các quá trình đại số; các nghiệm âm và ảo chưa
được biết tới ….
c) Đại số trong thế kỉ XIV
Đây là thời kì nghèo nàn về toán học. Tiêu biểu trong thời kì này là Thomas
Bradwarine (1290-1349): Ông viết công trình về số học.
d) Đại số trong thế kỉ XV
− Sự giao lưu thúc đẩy toán học phát triển (kế toán, thiên văn,…)
− Sử dụng hệ thập phân và cách biểu diễn số theo vị trí.
− Các trường đại học ra đời.
− Chú ý nhiều tới số học, đại số và lượng giác.
e) Đại số trong thế kỉ XVI
Nổi bật nhất của thế kỉ này là các nhà toán học ý đã phát hiện ra cách giải các
phương trình bậc ba và các phương trình bậc bốn.
Thế kỉ XVI đại số kí hiệu đã phát triển thuận lợi; lý thuyết về phương trình, số
âm được chấp nhận và lượng giác học.
1.3.3 Đại số trong giai đoạn toán học cao cấp cổ điển
− Sự ra đời của hình học giải tích làm đảo ngược vai trò của hình học và đại số:
Nếu như từ Hy Lạp cổ đại đến khoản năm 1600 sau công nguyên hình học chế ngự thì
sau năm 1600 đại số trở thành ngành nghiên cứu chủ yếu.

10


− Trong thế kỷ này, đại số ngày càng thoát khỏi các yếu tố hình học. Trong đó,
công cụ kí hiệu bằng chữ đã được củng cố. Euler, Leibnitz, Harriot,… là những người
đã đóng góp vào lịch sử toán học thế giới những ký hiệu này.
− Lí thuyết tổng quát về các phương trình được xác định. Các phương trình cho
đến bậc 4, các phép biến đổi phương trình cũng được nghiên cứu có hệ thống hơn.
Fagnano đã công bố một phương pháp cho phép giải một cách thống nhất các phương

trình bậc 4.
− Ở giai đoạn này, Euler công bố lý thuyết Liên phân số và sau đó Lagrange có
một nghiên cứu về tính gần đúng các nghiệm của một phương trình đại số bằng liên
phân số.
− Lí thuyết số được phong phú thêm bởi những nghiên cứu xuất chúng của
Phécma, quyết định sự phát triển về sau của nó.
− Lý thuyết về Đại số logic cũng được phát thảo bởi Leibnitz.
− Ở Châu Âu, Newton, Bezout và Euler, khi nghiên cứu việc tìm tập nghiệm
chung của các phương trình đại số đã gắn chặt việc nghiên cứu của mình với định
thức.
− Cũng trong giai đoạn này thì một quy tắc giải hệ phương trình tuyến tính n ẩn
với định thức khác 0 được công bố bởi Cramer.
1.3.4 Đại số trong giai đoạn toán học hiện đại
Đại số trong giai đoạn này bắt đầu từ đầu thế kỉ XIX cho đến nay. Trong giai
đoạn này Toán học thực hiện bước tiến nhảy vọt, đánh dấu hướng phát triển hoàn toàn
mới, các nghành Toán học thoát khỏi những ràng buột khuôn khổ từ trước đến nay
chuyển sang khuynh hướng “trừu tượng hóa”. Các công trình toán học thời kì này
mang tính khái quát hóa và trừu tượng hóa rất cao. Một nét nổi bật trong giai đoạn này
là ngôn ngữ dân tộc dần dần thay thế ngôn ngữ Latin trong khoa học. Đại số chuyển
sang đỉnh cao của mình.
Ngày nay, ở các bậc học phổ thông việc giải các phương trình, bất phương
trình… được giảng dạy rất kỹ và cũng là kiến thức quan trọng trong các kì thi tuyển
sinh. Các trường Đại học đưa vào giảng dạy môn “Đại số đại cương” môn học mang
tính trừu tượng hóa cao và gây ít nhiều khó khăn cho sinh viên.

11


Đại số giai đoạn này từ trực giác chuyển sang chặc chẽ, khái quát hóa và trừu
tượng hóa cao độ. Thời gian đầu đại số được xem là sự mở rộng của số học, tức là thay

vì làm việc với những con số riêng biệt thì người ta dùng chữ làm ký hiệu biểu thị cho
các số. Một nét độc đáo ở giai đoạn này đó là các nhà Toán học đã phát hiện ra một
loại đại số nhất quán có cấu trúc khác với cấu trúc của đại số thông thường, chẳng hạn
có một cấu trúc mà trong đó luật phân phối của phép nhân đối với phép cộng không
còn đúng nữa. Từ đó người ta đã sáng tạo ra “Đại số không giao hoán”. Điển hình như:
đại số quaternion của Hamilton, đại số ma trận của Caylay… và cũng từ đó xây dựng
nhiều đại số có cấu trúc khác nhau. Đây chính là xu hướng trừu tượng hiện đại.
Từ đại số thông thường các nhà toán học đã thay thế những tiên đề của nó bằng
những tiên đề nhất quán với những tiên đề còn lại để đưa ra nhiều hệ thống đại số khác
nhau: nhóm, vành, trường, đại số Boole, không gian véctơ…
Cũng trong giai đoạn này, ông Vua toán học Gauss lần đầu tiên đưa ra chứng
minh định lý cơ bản của đại số. Cantor xây dựng thành công lý thuyết tập hợp ảnh
hưởng rất lớn đến các nghành toán học khác. Một đặc điểm quan trọng là lý thuyết này
làm cho các bộ môn toán học cổ điển thống nhất đáng kể lại với nhau.
Từ thế kỉ XVII đến cuối thể kỉ XVIII, việc sáng tạo Phép tính vi phân đã mở ra
những chân trời có sức cuốn hút, làm bỏ lửng môn Đại số. Nhưng rồi các tích phân các
hàm phân thức hữu tỉ buộc các nhà toán học phải nghiên cứu nghiệm các phương trình
đại số, công việc mà các nhà toán học Ý đã giải quyết cho các phương trình bậc ba và
bốn. Nhiều nhà toán học lớn đã quan tâm tới vấn đề đó trong đó có nhà toán học
Gauss (Gau-xơ) (1777 - 1855) được mệnh danh là vua toán học châu Âu. Nhưng chính
nhà toán học thiên tài Galois (Ga-loa) (1811 - 1832) mất lúc chưa đầy 21 tuổi, đã đưa
việc nghiên cứu các phương trình đại số về việc nghiên cứu các nhóm phép thế tương
ứng. Galois là người đầu tiên định nghĩa nhóm con chuẩn tắc và nhận thức tầm quan
trọng của nó. Có thể nói lí thuyết Galois đã có những đóng góp coi như vào loại tinh tế
nhất của Đại số cho tới bây giờ. Các ý tưởng thiên tài của Gauss và Galois đã dẫn tới
một quan niệm rất rộng về khái niệm luật hợp thành, hay còn gọi là phép toán. Nhưng
họ đã không đủ thì giờ để đi tới khái niệm cấu trúc đại số.
Sau năm 1850, nếu trong một thời gian dài các cuốn sách về Đại số còn ưu tiên
cho lí thuyết các phương trình; thì các nghiên cứu về Đại số không bận tâm mấy về
việc ứng dụng kết quả nghiên cứu cho việc giải phương trình, mà càng ngày hướng về

12


vấn đề mà ngày nay chúng ta coi như cốt lõi của Đại số, đó là nghiên cứu cấu trúc đại
số.
Đến những năm của thế kỷ XX, XXI đại số dường như phát triển chậm lại. Các
nhà Toán học tập trung nhiều vào lĩnh vực giải tích.
1.4 MỘT SỐ NHÀ TOÁN HỌC TIÊU BIỂU
1.4.1 Pythagorars: (Khoảng 560 – 480 TCN)
+ Phát hiện ra số vô tỉ.
+ Số hoàn chỉnh là số mà tổng các ước số thật sự của nó bằng chính nó
6=1+2+3
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7=13 + 33
496 = 1 + 2 + 3 + 4 +…+ 30 + 31=13 + 33 + 53 +73
8128 = 1 + 2 + 3 + 4 +…+ 126 + 127=13 + 33 + 53 +…+133 + 153
+

Hai số được gọi là số bạn bè khi mỗi số là tổng các ước số của số kia.

(Các số bè bạn n, m là hai số nguyên mà tổng ước số của n bằng m và tổng các ước
của m bằng n, ví dụ như cặp số bè bạn nhỏ nhất là 220 và 284)
+

Bộ số Pitago.(3, 4, 5); (5, 12, 13); (7, 24, 25); (8, 15, 17); (9, 40, 41); (11,

60, 61); (12, 35, 37); (13, 84, 85); (16, 63, 65); (20, 21, 29); (28, 45, 53); (33, 56, 65);
(36, 77, 85); (39, 80, 89); (48, 55, 73); (65, 72, 97)
1.4.2 Eudoxus (Khoảng 408 – 355 TCN)
+ Lý thuyết về tỉ lệ thức
+ Phương pháp vét kiệt.

1.4.3 Aristotle (384 – 322 TCN)
+ Các khái niệm vô hạn
+ Khoa học Logic học.
1.4.4 Archimedes (287- 212 TCN)
Nghiên cứu lý thuyết số.
+ Archimedes là nhà bác học vĩ đại thời cổ Hy Lạp và là một trong những nhà
toán học vĩ đại nhất của mọi thời đại. Ông sinh ra tại Syracuse (Hy Lạp), đảo Sicilia
(nay thuộc nước Ý), con trai của một nhà thiên văn học.
13


+ Các công trình của Archimedes là những tác phẩm lớn về toán học giống
như những bài báo khoa học ngày nay với tầm khái quát đặc sắc và hiện đại.
+ Nghiên cứu lý thuyết số.
1.4.5 Eratosthenes (276 – 194 TCN)
Lý thuyết số, sàng Eratosthenes (Sàng số nguyên tố).
1.4.6 Diophantus (210 – 290)
Cha đẻ của ngành đại số với những nội dung:
+ Công trình nói về cách giải khoảng 130 bài toán khác nhau và dẫn đến các
phương trình bậc nhất và bậc hai và một phương trình bậc ba.
+ Ông đã chứng minh rằng mọi số nguyên có dạng: 4n + 3 hoặc 4n – 1 không
thể là tổng bình phương của hai số chính phương. Số có dạng 24n + 7 không thể là
tổng bình phương của ba số chính phương.
+ Ông đã dùng kí hiệu toán học, ông viết bài một cách thuần túy đại số mà
không cần diễn tả hình học.
+ Ông đã đưa ra số âm.
+ Ông đặt ra và giải nhiều bài toán dẫn đến phương trình xác định và bất
định.
+ Các phương trình của ông là các phương trình đại số với hệ số hữu tỉ có
nghiệm dưới dạng số nguyên và số hữu tỉ.

+ Giải tích Diophantus là lĩnh vực toán học nghiên cứu phương trình
+ Diophantus dựa trên phương pháp hình học đại số.
+ Phép tính Diophantus là một ngành lý thuyết số trong đó nghiên cứu sự gần
bằng không các giá trị hàm số từ các đối số.
+ Đặc biệt là với mọi bài toán Ông thường đưa ra một cách có hệ thống vế
những phương trình có một ẩn.
Chẳng hạn như:
Bài toán: Tìm tổng hai số sao cho bình phương của mỗi số cộng với số kia là một
bình phương.

14


Bài toán: Thêm cùng một số vào hai số sho trước để được hai số mới là hai bình
phương.
Bài toán: Tìm y và z dương sao cho: y + z =10 và y.z=9.
Bài toán: Tìm hai bình phương sao cho khi cộng thêm 12 vào mỗi bình phương
đó ta lại được hai bình phương.
1.4.7 Trần Sanh (Khoảng 152 TCN):
Ông viết cuốn “Cửu chương thuật toán” gồm 9 chương có 246 bài trong đó:
Các chương II, III, IV, VI, VII, VIII viết về đại số như: quy tắc tam suất, tỉ lệ, quy tắc
khai căn bậc hai, bậc ba, tổng của cấp số cộng, phương pháp giải phương trình tuyến
tính và hệ phương trình tuyến tính, ma trận…
+ Trong “Cửu chương thuật toán” trình bày cách giải phương trình bậc hai
bằng phương pháp “thiên tố” phương pháp này tương đương với phương pháp Horner
được phát minh vào đầu thế kỉ XIX (1819).
1.4.8 Vương Hiếu Thông
Dùng phương pháp “thiên tố” để giải phương trình bậc ba (Thế kỉ VII).
1.4.9 Chu Thế Kiệt
Dùng phương pháp “thiên tố” để giải phương trình bậc bốn (Thế kỉ XIII).

1.4.10 Tôn Tử
Viết quyển sách “Tôn tử toán kinh” gồm những bài toán lý thuyết số nhằm mở
rông các bài toán số học, các bài toán về đồng dư. (Khoảng đầu TKIII).
1.4.11 Nicolas Chuquet (TK XV)
Ông viết cuốn sách số học “Triparty an la science des nombres” (ba bộ phận
trong khoa học về các số). Phần đầu của công trình bàn về tính toán với các số hữu tỉ,
phần hai viết về các số vô tỉ và phần ba viết về phương trình; Ông đề cập đến lũy thừa
nguyên, âm và dương.
1.4.12 Cardano
Ông viết một số công trình về số học ông trình bày về: Các số ảo và trình bày
một phương pháp thô sơ để xác định nghiệm gần đúng của một phương trình bậc cao
bất kì. Ngoài ra ông cũng trình bày cách giải phương trình bậc bốn của Ferrari.

15


1.4.13 Francois Viete (1540 -1603)
Ông viết nhiều về lượng giác, đại số. Công trình nổi tiếng của ông là ông phát
triển nhiều kí hiệu đại số kí hiệu ; Lý thuyết phương trình; trình bày các phép biến đổi
phương trình và các biểu thức đối xứng nghiệm theo các hệ số của một phương trình.
1.4.14 Leonhard EULER (15.04.1707 – 18.09.1783)
+ Năm 1732, Euler chứng minh số Fermat thứ năm – F 5 – không phải là số
nguyên tố.
+ Năm 1736, ông chứng minh định lí Fermat nhỏ. Đến năm 1760, ông suy
rộng định lí này bằng cách đưa ra khái niệm ngày nay gọi là biến số Euler ϕ (n) của số
tự nhiên n khác 0.
+ Năm 1740, ông đưa ra các mũ số phức và chứng minh các hằng đẳng thức

eix + e−ix
eix − e −ix

Euler eix = cos x + i sin x,cos x =
,sin x =
2

2

+ Ông chứng minh định lí Fermat lớn với n = 3 và giả định rằng n lũy thừa
bậc n là cần thiết để viết một lũy thừa bậc n. Tuy nhiên giả thuyết này bị bác bỏ năm
1966 bởi đẳng thức 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445
+ Euler là người sáng lập ra lý thuyết liên phân số, công bố năm 1737 trong
một bài báo.
+ Ông chứng minh rằng mọi số nguyên dương là tổng của bốn bình phương
và ông đã chứng minh điều phỏng đoán của Euclid về số hoàn chỉnh
+ Ông viết cuốn “Nhập môn đại số” (1770) mà ông đọc cho các con ông ghi
trong khi đã mù cả hai mắt, rất thành công vì tính sáng sủa tuyệt vời của nó. Cuốn sách
về đại số căn bản này bắt đầu bàn một lời bàn luận về bản chất các con số và một lời
giới thiệu tổng quan về đại số, bao gồm các công thức dành cho cách giải phương trình
đa thức.
+ Ông đưa ra phương pháp mang tên ông để giải các phương trình bậc 4.
1.4.15 Joseph Louis LAGRANGE
+ Năm 1767, công bố một luận văn về việc tính gần đúng các nghiệm của
phương trình đại số bằng liên phân số.
16


+ Năm 1770, ông tìm cách làm sáng tỏ những lý do khiến các nghiệm của
phương trình bậc 3 biểu thị được bằng căn thức. Ông cũng cho rằng phương trình bậc
5 không giải được bằng căn thức nhưng ông không chứng minh được điều này.
Lagrange đã mở đường cho Abel và Galois và từ công trình của ông đã phát sinh ra lý
thuyết nhóm.

+ Ông là tác giả của một kỹ thuật gọi là sự biến thiên các hằng số để giải các
phương trình đạo hàm riêng.
1.4.16 Gottfried Wihelm LEIBNITZ (01.07.1646 – 14.11.1716)
+ Năm 1673 – 1677, lập thành cơ sở của phép tính vi tích phân
+ Ông nghiên cứu phương trinhd vi phân tuyến tính. Ong là người đầu tiên sử
dụng khái niệm định thức.
+ Ông phát minh ra hệ số π
+ Ông phát thảo ra một lý thuyết về đại số logic, bằng cách đưa ra phép cộng,
phép nhân, phép phủ định và lớp không.
1.4.17 Pierre de FERMAT (17.08.1601 – 12.01.1665)
+ Gắn với tên tuổi của Fermat có hai định lí nhỏ Fermat và định lí lớn Fermat.
1.4.18 Issac Newton (25.12.1642 – 31.03.1727)
Gắn với tên tuổi của Fermat có hai định lí nhỏ Fermat
và định lí lớn Fermat.
Ông phát thảo ra một lý thuyết về đại số logic, bằng
cách đưa ra phép cộng, phép nhân, phép phủ định và lớp
không.
Toán học trong giai đoạn này diễn ra vào khoảng thế kỉ
thứ XVII, ở các nước Tây Âu đã có những tiến bộ sâu sắc về
mặt kinh tế, chính trị và xã hội, đây chính là những yếu tố rất quan trọng thúc đẩy cho
nền toán học phát triển.
Hàng loạt các công trình toán học dọn đường cho các phép tính mới mẽ ra đời,
song song với việc phát minh ra môn “phép tính vi-tích phân” mang tầm cỡ thế kỉ của
hai nhà toán học đại tài Newton và Leinitz thì Leinitz (1646-1716), nhà toán học Đức
cùng với nhà toán học Nhật Bản Seki kova đã đưa ra khái niệm “định thức” (nhưng
17


chưa có tên chính thức là định thức), một thành phần không thể thiếu của môn Đại số
tuyến tính.

Tuy nhiên Leinitz đã không công bố phát kiến của mình mà chỉ nói đến nó trong
một bức thư gửi cho nhà toán học L Hopital để bàn về việc giải hệ phương trình tuyến
tính và mãi đến năm 1850 (tức là sau gần 200 năm), khi bức thư của ông được công bố
thì người ta mới biết rằng ông chính là người đã phát hiện ra khái niệm này. Seki đã
chạm đến khái niệm định thức khi nghiên cứu việc tìm nghiệm chung của hai đa thức
f(x) và g(x) với bậc thấp, nhưng ông đã giữ kín bí mật phương pháp của mình và chỉ
tin vào những học trò thân cận nhất. Vào năm 1674 phát kiến của Seki được công bố
và khi đó phương pháp của ông được trình bày rõ ràng hơn.
Ở Châu Âu, Newton, Bezout và Euler, khi nghiên cứu việc tìm tập nghiệm chung
của các phương trình đại số đã gắn chặt việc nghiên cứu của mình với định thức. Mãi
đến thế kỉ thứ XVIII vào năm 1750, nhà toán học Thụy Sĩ Cramer đã công bố công
trình liên quan đến vấn đề này tương đối tổng quát và đưa ra cách biểu diễn định thức
cho lời giải của bài toán “tìm một đường cônic đi qua 5 điểm cho trước”.
Tuy nhiên Cramer lại không phải là người chứng minh công thức cramer mà
chúng ta thường dùng mà công lao này lại thuộc về nhà toán học người Pháp tên là
Vandermonde, công trình của Vandermonde đã được công bố vào năm 1771. Vào năm
1801 thì tên gọi “định thức” chính thức xuất hiện trong một bài báo của Gauss và đã
được hai nhà toán học Pháp, đó là Cauchy và Jacobi trìnhbày một cách hệ thống và
khái niệm này đã được phổ biến rộng rãi. Khái niệm “không gian vectơ” xuất hiện
muộn hơn nhiều so với khái niệm “định thức” và chính Leinitz cũng là người đề
xướng.
Bắt nguồn từ ý tưởng muốn dùng đại số để nghiên cứu hình học mà cụ thể là
muốn dùng đại số để miêu tả không chỉ những lượng khác nhau của hình học mà còn
miêu tả cả vị trí của các điểm 4 chưa và hướng của đường thẳng trong hình học,
Leinitz đã quan tâm đến các cặp điểm tuy nhiên ông vẫn chưa phân biệt thứ tự của hai
điểm. Nhưng mãi hơn 100 năm sau khi Leinitz qua đời, tức là vào năm 1833 các công
trình của ông về vấn đề này mới được công bố. Trong những năm 30 của thế kỉ XIX ,
người ta đã treo rất nhiều giải thưởng cho những ai phát triển được ý tưởng của Leinitz
trong những công trình này, và thế là vào năm 1835 Grassmann, một giáo viên thể dục
ở thành phố Stetin thuộc nước Đức đã trình bày công trình về một cấu trúc tương tự

18


không gian vecto và ông được xem là một trong những người sáng tạo ra khái niệm
không gian véctơ.
Sau đó Pinkerle đã phát triển những ứng dụng của đại số tuyến tính vào lý thuyết
hàm, phương trình vi phân và cả phương trình đạo hàm riêng. Cũng nhờ ánh xạ tuyến
tính mà vào năm 1922, mà Banach đã định nghĩa một không gian, sau này mang tên
ông trong giai đoạn toán học hiện đại, đó là “không gian Banach”.
1.4.19 Gauss (1777 – 1855)
Ông đã tìm ra số học modula, một khám phá giúp cho việc giải toán trong lý
thuyết số được đơn giản hóa đi nhiều. Công thức nghịch đảo toàn phương của ông
được tìm thấy ngày 8 tháng 4. Định luật khá tổng quát này cho phép các nhà toán học
xác định khả năng giải được cho các phương trình bậc hai trong số học modula. Định
lý số nguyên tố được Gauss phát biểu ngày 31 tháng 5, cho một cách hiểu thấu đáo về
cách sô nguyên tố được phân bố trong dãy số nguyên. Ngày 10 tháng 7, Gauss đã tìm
thấy rằng bất cứ số nguyên nào cũng có thể được biểu diễn bằng tổng của tối đa là ba
số tam giác; ông đã sung sướng viết trong sổ tay của mình "Heureka! num= Δ + Δ +
Δ." Ngày 1 tháng 10, ông cho xuất bản một kết quả về các nghiệm của các đa thức với
hệ số trong trường vô hạn, một kết quả đã dẫn đến phát biểu Weil 150 năm sau.
Trong luận văn của ông năm 1799, Gauss đã trở thành người đầu tiên chứng
minh định lý cơ bản của đại số. Định lý này nói rằng bất cứ một đa thức trên trường số
phức nào cũng đều có ít nhất một nghiệm. Các nhà toán học trước Gauss mới chỉ giả
thiết rằng định lý đó là đúng. Gauss đã chứng sự đúng đắn của định lý này một cách
chặt chẽ. Trong cuộc đời của mình, ông đã viết ra tới bốn cách chứng minh hoàn toàn
khác nhau cho định lý trên, làm sáng tỏ ý nghĩa của số phức.
1.4.20 Hamilton (1805 - 1865)
Ông đã có những đóng góp quan trọng trong việc phát
triển quang học, động lực học,hình học và đại số. Khám phá
của ông về các quaternion là công trình nổi tiếng nhất (đại

số không giao hoán) trong đó luật giao hoán của phép nhân
không còn đúng nữa.
Công trình của ông rất quan trọng trong sự phát triển
của cơ học lượng tử. Tài năng của Hamilton đã được phát

19


hiện từ rất sớm bởi nhà thiên văn học John Brinkley. Năm 1823, khi Hamilton mười
tám tuổi, John Brinkley đã nói rằng: "Chàng trai trẻ này, tôi không nói rằng sẽ là mà
bây giờ chính là nhà toán học hàng đầu ở tuổi của anh".
Hamilton là người đầu tiên đưa ra các thuật ngữ véctơ, luật kết hợp.
1.4.21 Galois (1811 – 1832)
Galois định công bố những kết quả về phương trình đa thức và mong có một nhà
Toán học nổi tiếng để ý đến, nhưng vào lúc đó, Cauchy cũng đang xem xét chủ đề
tương tự, nên ông không thèm đoái hoài gì đến Galois. Poison thì cho rằng công trình
của Galois khó hiểu. Fourier thì qua đời trước khi nhận kết quả của Galois. 1830,
Galois tham gia các hoạt động chống đối triều đình, kết quả là phải vào tù mấy tháng.
Năm sau đó, ông tham gia vào một trận đấu súng và thiệt mạng, để lại một mớ giấy
lộn xộn ông viết trước lúc đấu sung. Những tờ giấy của Galois được công bố vào năm
1846, nhưng mãi đến 1866 mới có người hiểu được những gì Galois viết. Những lời
bình và giải thích cặn kẽ đầu tiên xuất hiện trong “Giáo trình Đại số cao cấp” của
Serret và thực sự đầy đủ trong “Nghiên cứu các phép thế” của Jordan. Sự sáng tạo của
Galois dự trên các ý tưởng của Lagrange. Ông quan tâm đến những phép thế trên các
nghiệm của một phương trình và đưa ra định nghĩa tích của 2 phép thế. Lúc này chưa
có ai đưa ra khái niệm về nhóm, vành, trường nên Galois phải sử dụng cách diễn đạt
riêng, vì vậy không ai hiểu được. Galois thiết lập mối quan hệ giữa các nghiệm của
một phương trình đại số với số nguyên và lặp lại quá trình đó trên “trường gãy”, và
ông là người đã chứng minh được điều kiện cần và đủ để một phương trình đại số giải
được bằng căn thức. Để đi đế kết quả này, Galois đã đưa ra khái niệm Nhóm con phân

biệt, Phép đẳng cấu nhóm, nhóm thương…(ai học Đại số Đại cương sẽ biết những khái
niệm này). Galois ước đoán một nhóm đơn nhỏ nhất mà bậc không phải số nguyên tố
có đến 60 phần tử.
Tìm nghiệm của các phương trình bậc cao hơn 4 thông qua việc xây dựng lý
thuyết nhóm trừu tượng, ngày nay gọi là lý thuyết nhóm Galois.
1.4.22 Boole (1815 - 1864)
Phát minh đại số Boole, đó là một hệ chỉ gồm các số 0 và 1, ngày nay có nhiều
ứng dụng quan trọng trong tin học.

20


1.4.23 Cantor (1845 - 1918)
Năm 1874 đề xuất lý thuyết tập hợp. Năm 1879 ông phát biểu khái niệm tổng
quát về lực lượng của tập hợp. Lý thuyết của ông đã bị Kronecker bác bỏ. Cho đến đầu
thế kì XX các nhà toán học mới thấy được tầm quan trọng của lý thuyết tập hợp, đặc
biệt là giải tích.
1.5 ỨNG DỤNG VÀO DẠY HỌC TOÁN
1.5.1 Giới thiệu bài
Khi dạy bài “tập hợp”, ở chương I - Đại số 10 giáo viên có thể giới thiệu đôi nét
về tiểu sử của nhà toán học Cantor (có thể đầu giờ, hoặc giữa giờ, hoặc cuối giờ) sao
cho hợp lý sẽ cho các em thêm niềm đam mê khi học môn toán,… Hoặc khi giới thiệu
nội dung các tập số có thể mở rộng thêm hệ số nhị phân 0, 1 mà trong lĩnh vực tin học
ứng dụng rất nhiều (giới thiệu đôi nét về nhà toán học Boole).
1.5.2 Áp dụng vào tiết giải bài tập ôn tập chương số phức.
Giáo viên giới thiệu nội dung và luật chơi:
Tên một nhà toán học đã bị mã hóa thành số 1783. Biết rằng ông là người
đưa ra ký hiệu i để thay cho −1 và là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất.
Có 4 câu hỏi để giúp tìm ra tên nhà toán học này. Đáp áp của mỗi câu sẽ giúp
mở một ô số tương ứng. 4 câu hỏi là các bài tập về số phức. Mỗi câu sẽ có khoảng

1 – 1.5 phút để giải.
Nội dung 4 câu hỏi:
Câu hỏi 1: Hãy tính: ( 1 + i ) ( 2 − 3i ) + 3 + i
Câu hỏi 2: Tìm số đối của bình phương nghiệm phức của phương trình
z + z 2 − 6 = 0.
4

Câu hỏi 3: Hãy tính module của số phức z = 3 − 2i
Câu hỏi 4: Hãy tìm phần thực của số phức z =

5 − 3i
1+ i

Đáp án:
Câu hỏi 1: 8
Câu hỏi 2: 3
Câu hỏi 3: 7
Câu hỏi 4: 1
Tên nhà toán học là EULER. Sau khi học sinh trả lời được là nhà toán học
EULER (1707 – 1783) thì giáo viên giới thiệu sơ lược tiểu sử của ông.

21


Chương 2 GIẢI TÍCH
2.1 LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA GIẢI TÍCH TỪ THẾ KỶ XVIII ĐẾN NAY
Trong thế kỷ XVIII, người ta dành nhiều cho việc tìm tòi các phương pháp mới
và có hiệu lực của phép tính vi – tính phân, trong thế kỷ này đa phần toán học là mục
tiêu trong các lĩnh vực cơ học và thiên văn học.
Trong thế kỷ XIX đã có ba sự kiện nổi bật đó là: một trong lĩnh vực hình học,

một trong lĩnh vực đại số học và một trong lĩnh vực giải tích. Sự kiện xảy ra trong lĩnh
vực giải tích đó là việc số hoá giải tích. Ngay từ thế kỷ XVIII, các nhà toán học đã bắt
đầu báo động về sự khủng hoảng về cơ sở của giải tích. Năm 1754, D’Alembert đã
thấy được rằng cần đạt tới lý thuyết các giới hạn. Vào năm 1797, Lagrange đã nỗ lực
làm cho giải tích chặt chẽ hơn.
Năm 1821, nhà toán học Pháp Augustin – Luois Cauchy đã đạt một bước tiến
khổng lồ khi thực hiện thành công gợi ý của D’Alembert bằng cách phát triển lý
thuyết giới hạn chấp nhận được rồi sau đó định nghĩa sự hội tụ, tính liên tục, tính khả
vi và tích phân xác định bằng lý thuyết về giới hạn. Các định nghĩa này hiện chúng ta
đang sử dụng trong sách giáo khoa. Những nỗ lực của Cauchy cũng chỉ xây dựng lý
thuyết giới hạn trên cơ sở những “trực giác” đơn giản về hệ thống số thực.
Năm 1874, Karl Weierstrass đưa ra ví dụ về hàm liên tục mà không có đạo hàm,
nói cách khác là đường mà không có tiếp tuyến tại bất kỳ điểm nào của nó.
Georg Bernhard Rienmann thì đưa ra một hàm liên tục tại số vô tỉ nhưng gián
đoạn tại số hữu tỉ. Từ đó, người ta thấy rằng lý thuyết giới hạn, tính liên tục và tính
khả vi lại phụ thuộc vào những tính chất khó hiểu của hệ thống số thực. Do đó,
Weierstrass ủng hộ một chương trình trong đó bản thân hệ thống số thực phải làm cho
chặt chẽ rồi sau đó tất cả các quan niệm cơ bản về giải tích sẽ được rút ra từ hệ thống
số này.
Các nhà toán học còn đi xa hơn nữa so với việc xác lập hệ thống số thực làm cơ
sở cho giải tích. Hình học Euclid thông qua cách biểu thị bằng giải tích cũng có thể
thực hiện được trên hệ thống số thực và các nhà toán học cũng phát hiện rằng đại bộ
phận các ngành hình học nhất quán nếu hình học Euclid nhất quán.

22