Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ôn thi vào 10 có đáp án

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

GV: Đỗ Thế Hải_0981.12.11.91

RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp các
phép biến đổi đơn giản như:
1 .Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

A2 B | A | B ( B  0).

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn: A. B  A2 B  A  0 ; B  0  .
A. B   A2 B
A

B

3. Khử căn ở mẫu:

AB
AB

2
B
|B|

C
C A

A

A

4. Trục căn thức ở mẫu:

 A  0 ; B  0.

C
C

A B

 AB  0,

B  0.

 A  0.



A B
A B



 A  0, B  0, A  B 

(phép trục căn thức ở mẫu chính là phép nhân cả tử số và mẫu số với biểu thức liên
hợp của mẫu. Khi đó mẫu số có dạng hằng đẳng thức: ( A  B)( A  B )  A2  B 2
5. Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ và phép đặt nhân tử chung.
- Trước khi thực hiện các phép biến đổi cần xác định điều kiện cho biểu thức có

nghĩa.
- Khi rút gọn biểu thức ta thực hiện các bước biến đổi đơn giản đã nêu ở trên để
đưa biểu thức phức tạp về biểu thức đơn giản hơn.
- Thực hiện các phép tính theo thứ tự đã biết: tính trong ngoặc trước
- Với bài toán có phân số khi ta quy đồng gặp rất nhiều khó khăn ta nên thực hiện
các phép nhóm đặt nhân tử chung và sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi từ đó
có thể rút gọn phân số của từng số hạng trong biểu thức, hay ta sẽ nhìn ra được mẫu
số chung một cách đơn giản hơn.
Chú ý: + bài toán xuất hiện hằng đẳng thức số 6 và số 7 dưới dạng:
A AB B 







A3  B 3  ( A  B ) A 



AB  B với A=1 hoặc B=1

+, Kỹ năng thêm dấu trừ để biến đổi a  b    b  a  (RẤT HAY SỬ DỤNG)
Khi làm bài toán liên quan đến rút gọn cần phải cẩn thận và đặc biệt chú ý về dấu
khi nhân đa thức!
Bất đẳng thức Cô-si: với 2 số a, b không âm ta có: a  b  2 ab.
1

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

x 1 2 x
25 x


.
4 x
x 2
x 2

.A

Bài 1. Cho biểu thức:

a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa.

a) Rút gọn A nếu x  0, x  1 .

xx

a) Rút gọn A.

 x 2
x  2  (1  x)2

.
.
2
 x 1 x  2 x  1 

b) Tìm x để A dương

A

a) Rút gọn A.

1
4

c) a  0, a  1 .

1
.
2

ĐS: a) A 

25 x
x 3

b) x 

b) Tìm x để A  0 .

ĐS: a) A 

x 2
1 x

b) 0  x  4 .

a 2  a 2a  a

1.
a  a 1
a
b) Tìm a để A  2 .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
1
1
b) a  4
c) min A   khi a  .
4
4
A

a) Rút gọn A.
ĐS: a) A  a  a

Gợi ý: Ý b bài 7, ý
c bài 8, ý b bài 9 ta
sử dụng phép thêm
bớt để nhóm thành
HĐT: ( A  B ) 2

2

a) Rút gọn A.
ĐS: a) A 

1 a
a

Bài 9. Cho biểu thức:
a) Rút gọn A.

1
.
121


x   x 3
x 2
x 2 
A  1 


:
.
 1  x   x  2 3  x x  5 x  6 

Bài 7. Cho biểu thức:

Bài 8. Cho biểu thức:

x 1
x 3

15 x  11 3 x  2 2 x  3



.
x  2 x  3 1 x
3 x

b) Tìm x để A 

Bài 6. Cho biểu thức:

a) Rút gọn A.

b) a  4; a 

A

ĐS: a) A 

a a 1 a a  1 
1   a 1
a  1

 a 

.

a a a a 
a   a 1
a  1
b) Tìm a để A  7
c) Tìm a để A  6 .

2a  2 a  2
a

Bài 5. Cho biểu thức:

c) Tìm giá trị lớn nhất của A.

1
1
c) max A  khi x  .
4
4

2 x 9
x  3 2 x 1
.


x 5 x 6
x  2 3 x
b) Tìm x để A  1 .

Bài 4. Cho biểu thức:

a) Rút gọn A.

b) Rút gọn biểu thức A.

b) 0  x  1

A

Bài 3. Cho biểu thức:

ĐS: a) A 

3 x
x 2
c) Tìm x để A  2
ĐS: A=

.A

Bài 2. Cho biểu thức:

ĐS: a) A 

GV: Đỗ Thế Hải_0981.12.11.91

 a
1   a 1
a 1 
A  


 
.
a  1 
 2 2 a   a 1

b) Tìm a để A  0 .
c) Tìm a để A  2 .
b) a  1

c) a  3  2 2 .

 2a  a  1 2 a a  a  a  a  a
.
A  1  

 .
1 a a
 1 a
 2 a 1
b) Tìm a để A 

6

.

ĐS : A 

c) Chứng minh rằng A 

1 a
1 a  a

2
.
3

1 6
 x5 x  
25  x
x 3
x 5
Bài 10. Cho biểu thức:
A  
 1 : 


.
x 5
x  3 
 x  25
  x  2 x  15
5
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A  1 .
ĐS: a) A 
b) x  4; x  9; x  25 .
3 x
2


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

1   a 1
a 2
 1

A


.
 : 
a   a 2
a  1 
 a 1

Bài 11. Cho biểu thức:

b) Tìm a để A 

a) Rút gọn A.

1
.
6

b) a  16 .

c) Tìm x để A  5 .

b) Tính giá trị của A khi x  3  8 .

a) Rút gọn A.

4x
1 x2

b) x  2



Bài 13. Cho biểu thức: B   x 



c) x 

1
; x 5.
5

y  xy  
x
y
x y


:
.
x  y   xy  y
xy  x
xy 

y  x b) B  1 .

ĐS: a) B 

b) Tính giá trị của B khi x  3, y  4  2 3 .

a) Rút gọn B.

a 2
3 a

ĐS: a) A 

x
1 
 x  1 x  1  2
A

: 2


.

 x  1 x  1  x  1 x  1 x  1 

Bài 12. Cho biểu thức:

ĐS: a)

GV: Đỗ Thế Hải_0981.12.11.91

x3
2x
1 x


.
.
xy  2 y x  x  2 xy  2 y 1  x
b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y  625 và B  0, 2 .

Bài 14. Cho biểu thức: B 
a) Rút gọn B.
ĐS: a) B 

x
y

b) x  2;3; 4 .

Bài 15. Cho biểu thức:
a) Rút gọn B.
si)
ĐS: a, B 

 1
1 
2
1 1  x 3  y x  x y  y3
.
B  

  :
.
 x

y  x  y x y 
x 3 y  xy 3
b) Cho x. y  16 , x. y  16 . Xác định x, y để B có giá trị nhỏ nhất. (sử dụng BĐT Cô-

x y

Bài 16. Cho biểu thức:
a) Rút gọn B.

xy


1
3 ab  
1
3 ab 
ab 
B  



 . 
 :
 a  b a a  b b   a  b a a  b b  a  ab  b 
1
b) Tính B khi a  16, b  4 .
ĐS: a, B 
a  b  ab
 x y
x3  y 3

B

 x y
yx


Bài 17. Cho biểu thức:

a) Rút gọn B.

b, min B  1 khi x  y  4.

.


:





x y



2

 xy

x y

b) Chứng minh B  0 .(sử dụng BĐT Cô-si)

.

ĐS: a, B 

xy
x  y  xy

.

 a 1
ab  a   a  1
ab  a 


1
:

 1 .


 ab  1
  ab  1
ab

1
ab


1

 


Bài 18. Cho biểu thức: B  
a) Rút gọn B.

b) Tính giá trị của B nếu a  2  3 và b 

3 1
.
1 3

ĐS: a, B   ab .

a  b  4 . (sử dụng BĐT Cô-si)
2x
x  1 3  11x


Bài 19.
Cho biểu thức: A 
với x  3 .
x  3 3  x x2  9
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A < 2. c) Tìm x nguyên để A nguyên..
Bài 20.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của B nếu

3


Chuyên đề: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

A

Bài 21.

GV: Đỗ Thế Hải_0981.12.11.91

1

ĐS: max A 

x  x 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4
1
khi x  .
3
4

A  1  6 x  9 x 2  9 x 2  12 x  4

ĐS: Sử dụng tính chất a  b  a  b , dấu "=" xảy ra  ab  0 . min A  1 khi

1

2
x .
3
3

Bài 22.

Tìm x nguyên để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:
x 1
A
x 3
4
ĐS: x  {49; 25;1;16; 4} . Chú ý: A  1 
. Để A  Z thì x  Z và x  3 là ước của 4.
x 3

x 2
x  2  x 1
Bài 23.
Cho biểu thức:
.
Q  

 .
x
 x  2 x 1 x 1 
a) Rút gọn Q.
b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
 x  1 x  1 x 2  4 x  1  x  2003
Bài 24.

Cho biểu thức:
.
A


.
 x 1 x  1
x
x 2  1 

a) Tìm điều kiện để biểu thức A có nghĩa.
b) Rút gọn A.
c) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên.


Bài 25.
Cho biểu thức P   x  2  1  4 x với x  0.
x 1 3
 x9
b) Tìm x để P  1 ;
c) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P.
9


Bài 26. Cho biểu thức M   1  1  3 x  3 với x  0; x  1.
 x 1 x x 1  x  x
a) Rút gọn M;
b) Tìm x để M có giá trị nguyên.

x  3 x  3  :  2 x  2  1 với x ; x  9.

Bài 27. Cho biểu thức Q   2 x 
 

x 3 x 9   x 3
 x 3

a) Rút gọn Q;
b) Tìm x để Q   1 ;
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q.
3

x  x : 2  2 x 
Bài 28. Cho biểu thức P  
 

 x 1 x 1   x x x  x 
a) Rút gọn P;
b) Tìm x để P  2;
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P .
Bài 29.
a) Rút gọn P;

Tính giá trị biểu thức
1 1 3
 1
4
A

2
200  :

5
2 2 2
 8
D  2 3  2 3

B

42 3
6 2

E  11  6 2  11  6 2

G  3  3  13  4 3

4

C
F

1
2 3



2
6

4

2  5 

2




2
3 3
4

 2  5 2