Phương trình bậc hai - ôn thi vào lớp 10

Phơng trình bậc hai - ôn thi vào lớp 10
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai.
Bài 1 . Gii cỏc phương trình bậc hai sau:
1)
4)
7)
10)
13)
16)
19)
22)

2)
5)
8)
11)
14)
17)
20)
23)

3x 2  2 x 0

3x2 + 5x = 0

2 x 2  8 0

x2 – 6x + 14 = 0
4x2 – 8x + 3 = 0
2 x 2  7 x  3 0
x2 – 4x + 2 = 0

4 x 2  4 x  1 0
x2 – 2x – 2 = 0
2 x 2  5 x  4 0
3x2– 5x + 7 = 0
x2 – 11x + 30 = 0
x2 – 10x + 21 = 0
x2 – x - 30 = 0
- 30x2 + 30x – 7,5 =
x2 - 2 3 x – 6 =
0
0
Bµi 2 . Giải các phương trình bậc hai sau:
1) x2 + 2

2

2) 2

+x+1=

3 x2

3) x2 – 2(

x + 4 = 3(x +

3

3 (x

- 1)x - 2

3

2

3)
6)
9)
12)
15)
18)
21)
24)

5 x 2 20 0

(2x – 3)2– 9 = 0
– 8x2 + 8x – 2 = 0
x2 –7x + 10 = 0
– x2 + 8x – 15 = 0
x2 – 12x + 27 = 0
x2 – 2x - 15 = 0
6x2 – 5 2 .x + 2 =
0

13) 3x2 + 5x + 2 = 0

)

+ 1)

14) 3x2 – 11x + 8 = 0

=0

15) 5x2 – 17x + 12 = 0

4) 8,1x2 – 3,6x + 0,3 = 0

16) x2 - 49x - 50 = 0

5) 16 x 2  24 x  8 0

17) 4x2 - 9x - 13 = 0

6) 47 x 2  49 x  2 0

18) x2 – (1 +

7) x 2  2013x  2012 0

19) (1 0

8) 3x2 – 8x + 5 = 0

2

3 )x

+

3

)x2 – 2(1 +

2

=0
)x + 1 + 3

20) 3x2 – 19x – 22 = 0

9) –2x2 + 5x + 7 = 0

21) 5x2 + 24x + 19 = 0

10) 0,4x2 – 0,3 x – 0,7 = 0

22) (

11) 3x2 – 4x – 7 = 0

3

+ 1)x2 + 2
2

3

x+

1
1


23)  x    5  x    4 0
x
x



12) x2 – ( 2 + 1)x + 2 = 0

Bµi 3 . Giải các phương trình sau:

53

3

-1=0

2

=


1) 5x4 + 3x2 – 26 = 0
2) x4 – 5x2 + 4 = 0
3) x4 – 5x2 – 176 = 0

4)

x
4

2
x  3 x 1

x

10  2 x

10) x  2  2
x  2x
11) x4 – 2x2 – 8 = 0
12) 9x4 + 2x2 – 32 = 0
13) x4 – 10x2 + 9 = 0

5) x4 + 24x2 – 25 = 0

14) x –

6) 2x 4 + x 2 + 3 = 0

15) x – 3

x

- 10 = 0

7) x4 – 2 x 2 – 8 = 0

16) x – 4

x

- 12 = 0

8) x4 + 2 7 .x2 + 3 = 0

17) x –

9) 0,3x4 – 1,2 x2 + 0,9 = 0

18) x3 – 5x2 – x + 5 = 0

- 30 = 0

x

x

=5

x

+7

D¹ng 2: Chøng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm.
Bài 4 . Chứng minh rằng các phơng trình sau luôn có nghiệm.

1) x2 2(m - 1)x – 3 – m = 0
6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0
2) x2 + (m + 1)x + m = 0
7) x2 – 2mx – m2 – 1 = 0
3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0
8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m =
0
4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0
9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0
2
2
5) x – (2m + 3)x + m + 3m + 2 = 0
Dạng 3: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm
Bài 5 .
Cho phơng trình (m 1)x2 + 2(m 1)x m = 0 (ẩn x). Xác định m để phơng
trình cã nghiƯm kÐp. TÝnh nghiƯm kÐp nµy.
Bµi 6 .
Cho pt : (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0. Tìm m để phơng trình có nghiệm
Bài 7 . Cho phơng trình: (m 1)x2 2mx + m 4 = 0
1) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm.
2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.

Bài 8 . Cho phơng trình: (a 3)x2 – 2(a – 1)x + a – 5 = 0. Tìm a để phơng trình có
hai
nghiệm phân biệt.
Dạng 4: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax2 + bx + c = 0 thoả mÃn
điều kiện cho trớc.
Bài 9 . Định m để phơng trình có nghiệm thoả mÃn hệ thức đà chỉ ra:
a) x2 + 2mx – 3m – 2 = 0 ;
2x1 – 3x2 = 1

b) x2 – 4mx + 4m2 – m = 0 ;
x1 = 3x2
2
c) mx + 2mx + m – 4 = 0 ;
2x1 + x2 + 1 = 0


d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = 0 ;
x1 = x22
e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = 0 ;
x1 = x22
f) x2 – 4x + m2 + 3m = 0 ;
x12 + x22 = 6
Bài 10 . Định m để phơng trình có nghiệm thoả mÃn hệ thức đà chỉ ra:
a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0 ;
(4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18
b) mx2 – (m – 4)x + 2m = 0 ;
2(x12 + x22) = 5x1x2
c) (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 ;
4(x12 + x22) = 5x12x22
d) x2 – (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 ;
3x1x2 – 5(x1 + x2) + 7 = 0.
Bài 11 .
Cho phơnmg tr×nh: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để
phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài 12 . Cho phơng trình bậc hai: x2 mx + m 1 = 0. Tìm m để phơng trình có hai
nghiệm x1 ; x2 sao cho biÓu thøc R 

2x1x 2 3
đạt GTLN. Tìm GTLN đó.

2
x1 x 2 2(1 x1x 2 )
2

Bài 13 . Định m để hiệu hai nghiệm của phơng trình sau đây bằng 2.
mx2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0.
Bµi 14 . Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (a 0).
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp
đôi nghiệm kia là 9ac = 2b2.
Bài 15 .
Cho phơng trình : ax2 + bx + c = 0 (a 0). Chứng minh rằng điều kiện cần và ®đ
®Ĩ pt cã 2 nghiƯm mµ nghiƯm nµy gÊp k lần nghiệm kia (k > 0) là : kb2 = (k + 1)2. ac
Dạng 5: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình bậc hai không phụ
thuộc tham số.
Bài 16 . Cho phơng trình: x2 mx + 2m 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm
của phơng trình không phụ thuộc vào tham số m.
Bài 17 .
Cho phơng trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = 0. Khi phơng trình
có nghiệm, hÃy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Bài 18 . Cho phơng trình: 8x2 4(m 2)x + m(m 4) = 0. Định m để phơng trình có
2 nghiệm x1 ; x2. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm
đối với hai số 1 và 1
Bài 19 . Cho phơng trình bậc hai: (m 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phơng
trình có nghiệm, hÃy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Bài 20 . Cho phơng trình: x2 2mx m2 1 = 0.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn cã hai nghiƯm x1 , x2 víi mäi m.


b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m.
c) Tìm m để phơng trình cã hai nghiƯm x1 ; x2 tho¶ m·n:

x1 x 2
5

 .
x 2 x1
2

Bài 21 . Cho phơng trình: (m 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0.
a) Gi¶i và biện luận phơng trình theo m.
b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2:
- Tìm một hệ thức giữa x1 ; x2 độc lập với m.
- Tìm m sao cho |x1 x2| 2
Bài 22 . Cho phơng trình (m 4)x2 2(m 2)x + m – 1 = 0. Chøng minh r»ng nếu
phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + 2 = 0.
D¹ng 6: TÝnh giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm của
phơng trình bậc hai cho trớc.
Bài 23 . Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 3x 7 = 0.
1) Tính:
2

2

A x 1  x 2 ;

C  x1  x 2 ;

B  3x1  x 2  3x 2  x1 ;

E x 1  x 2 ;

3

D

3

1
1

;
x1  1 x 2 1
4

2) Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm

4

F x 1 x 2
1
1
là x 1 và x 1
1
2

Bài 24 . Không giải phơng tr×nh 3x2 + 5x – 6 = 0. H·y tÝnh giá trị các biểu thức sau:
A 3x1 2x 2  3x 2  2x1 ;

B

x1
x
 2 ;
x 2  1 x1  1

C  x1  x2 ;

D

x1 2 x 2 2

x1
x2

Bài 25 . Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là

1
10

72

và

1
10 6 2


Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phơng trình bậc hai.
Bài 26 . Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung:
2x2 (3m + 2)x + 12 = 0 (1) vµ 4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0 (2)

Bài 27 .
Với giá trị nào của m thì 2 phơng trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó
a) 2x2 + (3m + 1)x – 9 = 0 vµ 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0.
b) 2x2 + mx – 1 = 0 vµ mx2 – x + 2 = 0.
c) x2 – mx + 2m + 1 = 0 vµ mx2 – (2m + 1)x – 1 = 0.
Bµi 28 . Cho hai phơng trình: x2 2mx + 4m = 0 (1) vµ x2 – mx + 10m = 0 (2)
Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm
của phơng trình (1).
Bài 29 . Cho hai phơng trình: x2 + x + a = 0 (1) vµ x2 + ax + 1 = 0 (2)
a) Tìm các giá trị của a để cho hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung.
b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trình trên tơng đơng.

Bài tập tổng hợp
Bài 30 . Cho phng trỡnh: x 2 5 x  3m  1 0
1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2) Tìm m để phương trình có nghiệm kép.
3) Tìm m để phương trình vơ nghiệm.

Bµi 31 . Tìm m để pt sau có nghiệm kép : 5x2 + 2mx – 2m + 15 = 0
Bµi 32 . Cho phương trình: (m – 4)x2 – 2mx + m – 2 = 0 (1)
1) Giải phương trình (1) với m = 5.
2) Định m để phương trình (1) có nghiệm x = - 1. Tìm nghiệm cịn lại.
3) Định m để phương trình (1) có nghiệm kép.

Bµi 33 .
Với mỗi phương trình đã biết nghiệm này hãy tìm nghiệm kia sau đó tính m.
1) x2 – 2x + 2m – 1 = 0 (x1 = - 3)
1

2) 3x2 – 2(m - 3)x + 5 = 0 ( x1 = 3 )

Bµi 34 . Cho phương trình : x2 – 2x + 2m – 1 = 0 . Tìm m để
1) Phương trình vơ nghiệm
2) Phương trình có nghiệm


3) Phương trình có một nghiệm bằng - 1 .Tìm nghiệm cịn lại

Bµi 35 . Tìm m để pt sau có hai nghiệm phân biệt : x2 – 2(m + 3)x + m2 + 6 = 0
Bµi 36 . Tìm m để pt sau vô nghiệm : x2 – 4x + m = 0
Bµi 37 . Chứng minh pt sau ln có hai nghiệm phân biệt :
1) 4x2 + 2(2m + 1)x + m = 0
2) 2x2 + 2(m - 1)x – m = 0

Bµi 38 . Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m.
c) Tìm m sao cho nghiệm x1, x2 của phương trình thỏa mãn : x12 + x22 10
d) Xác định m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn : E = x12 + x22 đạt GTNN
Bµi 39 .
Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn:
x12 - x22 =

5
9

Bµi 40 . Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x + m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có
hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
a) A = x1 + x2 - 3x1x2 đạt GTLN
b) B = x12 + x22 - đạt GTNN.

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bµi 41 . Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) . Tìm GTNN của M = x12 + x22
Bµi 42 . Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) ln ln có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m.
b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN.
2
2
Bµi 43 . Cho phương trình: x  2(m  1) x  m  2
2
2
1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa x1  x2 5


1

1

2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa x  x 3
1
2
3
3
3) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa x1  x2 0

Bµi 44 . Cho p.trình : x 2 + 3x + 2m – 1 = 0
1) Giải p.trình khi m = 3
2) Định m để p.trình vô nghiệm , 2 n0 phân biệt , có n0 kép . Tính n0 kép đó
3) Tìm m để pt có n0 bằng –2 .Tìm n0 x2

4) Định m để pt có n0 sao cho

Bµi 45 . Cho pt:

1
1

2
x1 x2

x 2  2m.x  m 2  m  1 0

1) Tìm các giá trị m để pt có nghiệm
2) Định m để pt có 2n0 phân biệt trái dấu
3) Khi pt có 2 n0 .Tính x12 + x22 theo m

Bµi 46 . Cho pt: x2 + 2( m –1) x – 4 m = 0
1) Chứng tỏ p.trình luôn có n0 với mọi m
2) Biết pt có 1 n0 bằng – 2. Tìm n0 thứ 2
3) Tìm m để p.trình có 2 n0 x1 , x2 sao cho A = x12 + x22 + x1x2 đạt GTNN

Bµi 47 . Cho pt : x2 – 2x – m2 – 4 = 0
1) Giải pt khi m = 2
2) Chứng tỏ pt luôn có 2 n0 với mọi m
3) Tìm m để x12 + x22 = 20

Bµi 48 . Cho pt: x2 + (2 m –1) x + m2– 2 = 0
1) Biết pt có 1 n0 bằng x1 = – 2 Tìm x2
2) Tìm m để p.trình có 2 n0: x12 + x22 = 3

Bµi 49 . Cho phương trình 2x2 + ( 2m – 1) x + m – 1 = 0
1) Chứng tỏ pt luôn có n0 với mọi m và định m để pt có 2 nghiệm cùng dấu . Khi

đó 2 nghiệm mang dấu gì ?


2) Viết hệ thức giữa tổng và tích 2 n0 không chứa m
3) Tìm m để pt có 2n0 sao cho A = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó

Bµi 50 . Cho p.trình : x2 + 2 (m – 1)x – (m + 1 ) = 0
1) C/minh pt luôn có n0 với mọi m
x

x

1
2
2) Tìm m để x  x 2
2
1

3) Định m để n0 này gấp 2 lần n0 kia

Bµi 51 . Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + m – 4 = 0
1) Giải phương trình khi m = 1
2) Cmr : phương trình đã cho ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
3) Chứng minh rằng A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc giá trị của m,

biết x1, x2 là các nghiệm của phương trình đã cho.
Bµi 52 .

Cho phương trình x2 + (2m – 1)x – m = 0 (1), m là tham số.
1) Giải phương trình (1) với m = 1.
2) Tìm m sao cho các nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 2(x1 + x2) – 3x1x2 + 9 = 0

Bµi 53 .
Cho phương trình: x2 – 2x + m – 1 = 0
1) Giải phương trình khi m = - 3
2) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép?
3) Tìm m để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đơi nghiệm kia?

Bµi 54 .
Cho phương trình x2 + 2(m – 1) – m2 = 0 với m là tham số.
1) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
2) Giả sử phương trình có hai là x1, x2. Hãy tính x12 + x22 theo m.

Bµi 55 . Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 (1)
1) Chứng minh rằng phương trình (1) ln có nghiệm với mọi m.
x

x

1
2
2) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiêm phân biệt thỏa x  x 4
2
1


Bµi 56 . Cho phương trình : x2 – 4x + m + 1 = 0
1) Tìm m để p.t có 2 n0 phân biệt x1 , x2

2) Khi phương trình có nghiệm . Tính giá trị biểu thức A = x12 + x2 theo m.

Bµi 57 . Cho pt : x2 – 4x + m – 2 = 0
1) Giải p.trình khi m = – 3
2) Tìm m để pt có một n0 bằng – 2. Tìm x2

Bµi 58 . Cho phương trình x2 – 2mx + 2m – 1 = 0
1) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m.
2) Tính A = 2( x12  x 22 ) – 5 x1x2 theo m.
3) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia.

Bµi 59 . Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0
1) Giải phương trình với m = - 1
2) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
3) Hãy tìm m để A = x1x2 – x1 – x2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bµi 60 . Cho phương trình : - 3x2 – 7x + 2 = 0
1) Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
x

x

1
2
2) Tính x12  x 22 ; x  x ; x1  x 2
2
1

Bµi 61 . Cho phương trình x2 – 2x + 3m – 1 = 0
1) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm x1  x2

2) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thõa : x1x2 + x12 x 22 = 10

Bài 62 .
Cho phơng trình bËc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0
1) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
2) Tìm m thoả mÃn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình)
Bài 63 . Cho phơng trình: x2 2mx + 2m 5 = 0.
1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
3) Tìm các giá trị của m để: x12(1 x22) + x22(1 – x12) = - 8.
Bµi 64 . Cho phơng trình: x2 2(m + 1)x + 2m 15 = 0


1) Giải phơng trình với m = 0
2) Gọi 2 nghiệm của phơng trình là x1 và x2. Tìm m thoả mÃn 5x1 + x2 = 4
Bài 65 . Cho phơng trình: x2 + 4x + 1 = 0 (1)
1) Giải phơng trình (1)
2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình (1). Tính B = x13 + x23.

Bài 66 .
Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m lµ tham sè)
1) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
2) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mÃn x13 + x23 0.
Bài 67 . Cho phơng trình: (m – 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (*)
1) Giải phơng trình khi m = 1
2) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 68 . Cho phương trình : x2 – (2m + 1).x + m(m + 1) = 0
1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

3) Tìm m để pt có 2 nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

Bài 69 .
Cho phơng trình : m 4 x 2 

2mx  m  2 0

(x lµ Èn )

1) Tìm m để phơng trình có nghiệm

x 2

.Tìm nghiệm còn lại

2) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt
3) Tính x12 x22 theo m

Bài 70 . Cho phơng trình : x 2 2 m 1 x m

4 0

(x là ẩn )

1) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu
2) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt víi mäi m
3) Chøng minh biĨu thøc M = x1 1  x2   x2 1  x1  không phụ thuộc vào m.

Bài 71 . Tìm m để phơng trình :
1)

x 2 x 2 m 1 0

có hai nghiệm dơng phân biệt

2) 4 x 2  2 x  m  1 0 cã hai nghiƯm ©m ph©n biƯt
3)  m 2  1 x 2  2 m  1 x  2m  1 0 có hai nghiệm trái dấu

Bài 72 . Cho phơng trình : x 2 a 1 x 

a 2  a  2 0

1) Chøng minh rằng phơng trình trên có 2 nghiệm trái dấu với mäi a


2) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2 .Tìm a để x12 x22 đạt giá trị nhá nhÊt

Bµi 73 . Không giải pt: 2x2 – 5x + 1 = 0 . Tính giá trị của các biểu thức :
1

1

1) A = x 2  x 2
1
2
2) B = x1 x2  x2 x1

Bµi 74 . Cho phơng trình : x2 6x + 1 = 0, gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình.
Không giải phơng trình, hÃy tính:
1) x12 + x22

2) x1 x1  x 2 x 2
3)

x12  x 22  x1x x  x1  x 2 







x12 x12  1  x 22 x 22  1

Bµi 75 . Cho phơng trình :



m 2x

1) Giải phơng trình khi





21

2

2 x m2

m 2 1

2) Tìm m để phơng trình có nghiệm

x 3

2

3) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất

Bài 76 . Cho b và c là hai số thoả mÃn hệ thức:

1 1 1
 
b c 2

CMR Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng trình sau phải có nghiệm


x


x

2

bx c 0

2

cx b 0

Bài 77 . Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có ít nhất một nghiÖm sè chung:
2


2 x

2


4 x

 3m
 9m

 2  x  12 0(1)


2  x  36 0( 2)

Bµi 78 .
Cho phơng trình

x 2 2 m 1 x 2m 5 0

1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm với mọi m
2) Tìm m để pt cã 2 nghiƯm cïng dÊu . Khi ®ã 2 nghiệm mang dấu gì ?

Bài 79 .
Cho phơng trình

x 2  2 m  1 x  2m  10 0

(với m là tham số )

1) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình
2) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2 ; hÃy tìm một

hệ thức liên hệ giữa

x1 ; x2

mà không phụ thuộc vào m

3) Tìm giá trị của m để 10 x1 x2 x12 x22 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 80 . Cho phơng trình m 1 x 2 

2mx  m  1 0

víi m lµ tham sè


1) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt m 1
2) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hÃy
tính tổng hai nghiệm của phơng trình
3) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
x

x

5

1
2
4) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả m·n hƯ thøc: x  x  2 0
2
1

Bµi 81 . Cho phơng trình bậc hai tham số m : x 2  4 x  m  1 0
1) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm
2) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm x1và x2 thoả mÃn x12 x22 10

Bài 82 .
Cho phơng trình : x 2  mx  m  1 0 (m là tham số)
1) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiƯm x1 ; x2 víi mäi m
2) TÝnh nghiƯm kÐp ( nếu có) của phơng trình và giá trị của m tơng ứng
3) Đặt A x12 x22 6 x1 x2
1) Chøng minh A  m 2  8m 8
2) Tìm m để A = 8
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng
4) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia

Bài 83 . Cho phơng trình x 2 2mx 2m 1 0
1) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x1 ; x2 với mọi m
2) Đặt A = 2( x12 x22 )  5 x1 x2
1) CMR A = 8m 2  18m  9
2) T×m m sao cho A = 27

3) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia.

Bài 84 . Cho phơng trình :

x 2  2 m  1 x  m 2 4m 5 0

1) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm
2) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng
3) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng
nhau và trái dấu nhau
4) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm nếu có của phơng trình . Tính x12 x22 theo m

Bài 85 . Cho phơng trình

x x  2 m  2  x  m  1  0


1) Giải phơng trình khi m =

1
2

2) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
3) Tìm giá trị của m để : x1 (1  2 x2 )  x2 (1  2 x1 ) m 2

Bài 86 .
Cho phơng trình x 2  mx  n  3 0 (1) (n , m lµ tham sè)
1) Cho n = 0 . CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
x1 x2 1
2

2
x1 x2 7

2) Tìm m và n để hai nghiệm x1 ; x2 của phơng trình (1) thoả mÃn hệ :

Bài 87 . Cho phơng trình: x 2  2 k  2 x 

2k  5 0

( k là tham số)

1) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
2) Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phơng trình . Tìm k sao cho x12 x22 18

Bài 88 . Cho phơng trình 2m 1 x 2

4mx 4 0

(1)

1) Giải phơng trình (1) khi m = 1
2) Giải phơng trình (1) khi m bất kì
3) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiƯm b»ng m

Bµi 89 . Cho pt x2 - 2x – m2 – 4 = 0
1) Tìm m để pt có nghiệm bằng x1 = - 2. Tính nghiệm x2
2) Tìm m để pt có hai nghiệm thỏa x1 = - 2x2
3) TÝnh x12 + x22 theo m
Bµi 90 . Cho pt x2 – mx + m + 3 = 0
1) Tìm m để tổng bình phương hai nghiệm bằng 42

2) Tìm m để tỉng nghịch đảo các nghiệm bằng 9

Bài 91 . Cho phơng trình : m 4 x 2 

2mx  m  2 0

1) T×m m để phơng trình có nghiệm

(x là ẩn )

x 2

.Tìm nghiệm còn lại

2) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt
3) Tính x12 x22 theo m

Bài 92 . Cho phơng trình : x 2 2 m  1 x  m 

4 0

(x lµ Èn )

1) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu
2) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biƯt víi mäi m
3) Chøng minh biĨu thøc M = x1 1  x2   x2 1  x1 không phụ thuộc vào m.

Bài 93 . Tìm m để phơng trình :

1)

x 2  x  2 m  1 0

cã hai nghiệm dơng phân biệt

2) 4 x 2 2 x  m  1 0 cã hai nghiƯm ©m ph©n biƯt
3)  m 2  1 x 2  2 m  1 x  2m  1 0 có hai nghiệm trái dấu

Bài 94 . Cho phơng trình : x 2   a  1 x 

a 2  a  2 0

1) Chøng minh r»ng ph¬ng trình trên có 2 nghiệm trái dấu với mọi a
2) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2 .Tìm a để x12 x22 đạt GTNN

Bài 95 . Chứng minh rằng với a, b , c là các số thực thì phơng trình sau luôn có
nghiệm: (x a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
Bµi 96 . Cho phơng trình x 2 4 x 3 8 0 có hai nghiệm là x1 ; x2 .
Không giải phơng trình , hÃy tính giá trị của biểu thức : M 

6 x12  10 x1 x2  6 x22
5 x1 x23  5 x13 x2

Bµi 97 .
Chøng minh rằng : phơng trình: c2x2 + (a2 b2 c2)x + b2 = 0 v« nghiƯm víi a,
b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Bài 98 . Cmr : ít nhất một trong các phơng trình bậc hai sau đây có nghiệm:
ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)

cx2 + 2ax + b = 0 (3)
Bµi 99 . Cho phơng trình: x2 2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
2) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.
3) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)
4) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dơng (cùng âm).
5) Định m để phơng trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mÃn 2x1 x2 = - 2
7) Định m để A = 2x12 + 2x22 x1x2 nhận giá trị nhỏ nhÊt
Bµi 100 .

Cho phương trình x 2  2mx  2m  3 0
1) Chứng tỏ rằng phương trình trên ln có hai nghiệm phân biệt  m  R.
2
2
2) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa x1  x2 7

3) Tìm m để biểu thức E x1 x2  x1  x2 đạt giá trị lớn nhất.

Bµi 101 .

Cho pt : x2 – 2x + 3m – 2 = 0 (1)
1) Định m để pt vô n0 ; có 2 n0 phân biệt , có nghiệm kép tính n0 kép đó .
2) Định m để pt có 2n0 phân biệt trái dấu
3) T×m m để pt có 2 n0 x1; x2 thỏa m·n x12 + x22 + x1 + x2 – x1x2 12

Bµi 102 . Cho

1 1 1
 

a b 2

. CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm:


x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0.
Bµi 103 .
Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trình
sau phải có nghiệm: ax2 + 2bx + c = 0 (1) ; bx2 + 2cx + a = 0 (2); cx2 + 2ax + b = 0 (3)
Bµi 104 . Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (1)
a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m.
b) Tìm m sao cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN. Tìm GTNN đó.
Bµi 105 . Cho phương trình x2 + px + q = 0. Tìm p, q biết rằng phương trình có hai
nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

 x1  x 2 5

3
3
 x1  x 2 35

Bµi 106 . CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình
(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 ln có nghiệm.
Bµi 107 .
Cho 5a + 2c = b . Chứng minh rằng : phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm
Bµi 108 . Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. CMR phương trình
(a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0
Bµi 109 .
Cho phương trình : x2 - 2 3 x + 1 = 0. Có hai nghiệm là x1, x2. Không giải phương
3 x12  5 x1 x 2  3 x 22

trình trên hãy tính giá trị của biểu thức: A =
4 x1 x 23 4 x13 x 2

Bài 110 . Cho hai phơng trình: x2 + mx + 2 = 0 (1) và x2 + 2x + m = 0 (2)
a) Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung.
b) Định m để hai phơng trình tơng đơng.
c) Xác định m để phơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 111 .
Cho các phơng trình: x2 5x + k = 0 (1) vµ x2 – 7x + 2k = 0 (2)
Xác định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các
nghiệm của phơng trình (1)
Bài 112 . Tìm m để các phơng trình sau là phơng trình bậc hai:
a) (1-3m) x2 + 2(m-1)x - 2m-3 = 0
b) ( m2-1) x2 + 2x - 2m+5 = 0
Bài 113 . Với giá trị nào của m thì các PT sau có nghiệm kép. T×m nghiƯm kÐp Êy
a) x2 - (m + 2)x +m2 - 4 = 0.
b) (m + 3)x2 - mx + m = 0.
Bài 114 .
Tìm k để PT kx2 + 2(k - 1)x + k + 1 = 0 cã hai nghiệm phân biệt.
Bài 115 . Cho PT x2 +2(m-1) - 2m-3 = 0 (1)
1. Gi¶i PT víi m = 1


2. CMR PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
3. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của PT (1) . Tìm m để

x x
x x
1

2

2

1

0

Bµi 116 . Cho PT : (m - 1) x - 2(m+1)x + m- 2 = 0
1. Gi¶i pt víi m = -1
2. Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt.
3. Tìm m để pt có nghiệm kép. Tìm nghiƯm kÐp Êy
Bµi 117 . Cho pt : x2 - 2( k-1)x + 2k - 5 = 0
a. Gi¶i pt với k = 1
b. CMR phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
c. Tìm k ®Ĩ pt cã 2 nghiƯm cïng dÊu khi ®ã 2 nghiệm cùng dấu gì ?
d. Tìm k để pt cã 2 nghiƯm x1, x2 tho¶ m·n hƯ thøc |x1|-|x2| = 14
Bµi 118 .
Cho pt : x2 - ( 2m - 1 ) + m2 - m- 1 = 0 (1)
1. CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
2

2. Giải phơng trình với m =

1
2

3. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1)
a. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m
b. T×m m sao cho ( 2x1 - x2) ( 2x2 - x1) đạt GTNN

Bài 119 .
Cho pt bậc 2 : x2 - 2( m + 1 )x + m2 + 3m + 2 = 0 (1)
1. Giải phơng trình (1) với m = -1
2. Tìm m để PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
3. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của PT. Tìm m để x12 + x22 = 12
Bài 120 . Cho phơng trình x2 - 2mx + 2m - 3 = 0
1. Gi¶i pt víi m =

3
2

2. CMR PT luôn có nghiệm với mọi giá trị cđa m.
3. Gäi x 1, x2 lµ 2 nghiƯm cđa phơng trình.
a. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 ®éc lËp víi m.
b. T×m GTNN cđa hƯ thøc A= x12 + x22
4. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
Bài 121 . Cho PT : x2 - 4x + m + 1 = 0
1. Giải phơng trình với m = -1
2. Tìm m để phơng trình có nghiệm.
3. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu, khi đó 2 nghiệm này mang dấu gì ?
4. Tìm m sao cho PT có 2 nghiệm thoả mÃn hƯ thøc x12 + x22 = 10
Bµi 122 . Cho pt x2 - 2(m +2)x + m +1 = 0
1. Giải pt với m= -2
2. Tìm m để phơng trình có nghiệm.
3. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1,x2 độc lËp víi m.


4. Tìm m để x1(1- 2x2) + x2(1- 2x1) = m2
Bài 123 . Cho phơng trình: x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0
1. Giải phơng trình với m = 3

2. CMR phơng trình luôn có nghiệm m.
3. Xác định m để pt có 2 nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.
4. Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m.
5. Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm còn lại của phơng trình.
6. Tìm m để PT có 2 nghiệm cùng dấu dơng .
7. Tìm m để PT có 2 nghiệm x1, x2 thoả mÃn hệ thức |x1 |+|x2| = 1
Bài 124 .
Tìm m để PT: x2 - (m +3)x + 2(m+2)= 0 (1) cã 2 nghiƯm x1,x2 tho¶ m·n x1 = 2x2
Bµi 125 . Cho PT: x2 - 2(m + 1)x + 2m - 15 = 0
1. Gi¶i pt khi m = - 1
2. Gọi 2 nghiệm của phơng trình là x1và x2.Tìm m thoả mÃn hệ thức : x2+5x1 = 4
3. Tìm m để pt có 2 nghiệm cùng dấu.
4. Tìm m để pt có nghiệm bằng -2. Tìm nghiệm còn lại của PT
Bài 126 . Cho phơng trình x2 - (m + 4)x + 3m +3 = 0
1. T×m m để phơng trình có 1 nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại của phơng trình.
2. Xác định m để PT cã hai nghiƯm x1,x2 tho¶ m·n x13 + x23 0
Bài 127 . Cho phơng trình x2 - 2(m + 1)x + m2 - 4m + 3 = 0
1. Gi¶i phơng trình với m = 2
2. Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm là 5
3. Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
4. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
5. Tìm m để phơng trình có 2 nghiƯm tháa m·n x1 - 2x2 = 1
6. T×m m để phơng trình có nghiệm. Khi đó tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của
phơng trình không phụ thuộc vào m
7. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu
8. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu
9. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm âm
10. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm dơng
11. Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
12. Tìm GTNN của biểu thøc 3(x1 +x2 ) +x1 .x2

13. Víi m = 3 . H·y tÝnh
1
1
A x12  x2 2 ; B  
; C ( x1  3x2 )( x2  3x1 ); D  x13  x2 3
x1 x2