ỨNG DỤNG của PHƯƠNG TÌNH DƯỜNG THẲNG vào GIẢI PHƯƠNG TRÌNH vô tỷ và hệ PHƯƠNG TRÌNH

ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH DƯỜNG THẲNG VÀO GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Phương trình vô tỷ và hệ phương trình là bài toán thường gặp trong các kỳ
thi tuyển sinh đại học và thi học sinh giỏi. Bài viết này giới thiệu với các
bạn ứng dụng của phương trình đường thẳng vào giải một số dạng phương
trình vô tỷ và hệ phương trình.
Trước hết ta cần nắm được:
1.Trong mặt phẳng tọa độ đường thẳng ∆ đi qua điểm M (xo;yo) và có véc
 x = xo + at
 y = yo + bt

uu
r

tơ chỉ phương u (a; b) có phương trình tham số là: 

2.Nếu đường thẳnguur∆ có phương trình tổng quát Ax +By +C=0 thì ∆ có
véc tơ chỉ phương u (B; − A) chọn điểm M (xo;yo) ∈ ∆ rồi áp dụng công thức
viết phương trình tham số ở trên ta đưa được phương trình của ∆ về dạng
tham số.
Bây giờ ta sẽ ứng dụng phương trình đường thẳng để giải phương trình
vô tỷ và hệ phương trình qua các ví dụ sau:
* Thí dụ 1: Giaỉ phương trình 2 3 3x − 2 + 3 6 − 5x − 8 = 0
Phân tích: coi 3 3x − 2 = X và 6 − 5x = Y ta có đường thẳng ∆ :
2 X + 3Y − 8 = 0 .
uu
r
∆ đi qua điểm M(1;2) và có có véc tơ chỉ phương u (3; −2) nên ∆ có phương
 X = 1 + 3t
.Từ đó ta có cách giải phương trình trên như
Y = 2 − 2t

trình tham số là: 
sau:

3
 3 3x − 2 = 1 + 3t
3x − 2 = (1 + 3t )
(t ≤ 1) ⇔ 
Bài giải: Đặt 
2
 6 − 5x = 2 − 2t
6 − 5x = (2 − 2t )
3
15x − 10 = 5(1 + 3t )
3
2
⇔
2 suy ra 5(1+3t) + 3(2-2t) =8
18 − 15x = 3(2 − 2t )
⇔ 135t 3 + 147t 2 + 21t + 9 = 0 ⇔ (t + 1)(135t 2 + 12t + 9) = 0 ⇔ t + 1
(do 135t2+12t+9 f 0∀x )
Với t=-1 ta có 3x-2=(1-3)3 ⇔ 3x − 2 = −8 ⇔ x = −2

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x=-2.
* Thí dụ 2: Giaỉ phương trình x 4 + x 2 + 3 = 3
Phân tích :coi x 4 = X và x 2 + 3 = Y ta có đường thẳng ∆ : X + Y = 3 ,
X = 3− t
.Từ đó ta có cách giải phương trình trên
Y = t

phương trình tham số là: 
như sau:


4
4
 x 4 = 3 − t
 x = 3 − t
 x = 3 − t
( 3 ≤ t ≤ 3) ⇔  2 2
⇔ 4 4
Bài giải: Đặt  2
2
 x = t − 3  x = t − 6t + 9
 x + 3 = t
⇒ t 4 − 6t 2 + 9 = 3 − t ⇔ t 4 − 6t 2 + t + 6 = 0 ⇔ (t + 1)(t − 2)(t 2 + t − 3) = 0 ⇔

−1 ± 13
(loại)
2
Với t=2 ta có x4=1 ⇒ x = ±1 . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = -1

t=-1(loại); t=2 ; t =

và x =1.
* Thí dụ 3: Giaỉ phương trình 1 − s inx + 1+sinx = 0
Bài giải:
2
2
4

 1 − s inx = t
s inx = 1 − t
sin x = 1 − 2t + t
(0 ≤ t ≤ 1) ⇔ 
⇔ 2
Đặt 
2
4
3
2
cos x = t − 4t + 4t
cosx = −2t + t
 1 + cosx = 1 − t

Suy ra

t = 0
2t 4 − 4t 3 + 2t 2 = 0 ⇔ 2t 2 (t 2 − 2t + 1) = 0 ⇔ 
t = 1

Với t=0 ta có
Với t=1 ta có

s inx = 1
π
⇔ x = + k 2π ( k ∈ z )

2
cosx = 0
s inx = 0

⇔ x = π + k 2π (k ∈ z )

cosx = 1

Thử lại vào phương trình đã cho ta được phương trình đã cho có hai họ
nghiệm là:
x=

π
+ k 2π và x = π + k 2π
2

(k ∈ z )

* Thí dụ 4: Xác định m để phương trình
nghiệm.

x + 2m + 3 3m-x = 10 (1) có

2
 x + 2m = 1 + 3t −1
 x + 2m = 1 + 6t + 9t
(
≤
t
≤
3)
⇔
Bài giải: Đặt 


2
3m − x = 9 − 6t + t
 3m − x = 3 − t 3

Suy ra 10t 2 + 10 = 5m ⇔ 2t 2 + 2 = m (2) .Phương trình (1) có nghiệm khi
và chỉ khi
−1



(2) có nghiệm t ∈  ;3 .Lập bảng biến thiên của hàm f (t ) = 2t 2 + 2 trên
3 

 −1 
 3 ;3

Ta được kết quả phương trình đã cho có nghiệm ⇔ 2 ≤ m ≤ 20
 x x − y y = 8 x + 2 y (1)
 x − 3 y = 6(2)

* Thí dụ 5: Giaỉ hệ phương trình 


 x = 3t
nên ta giải hệ trên như sau:
 y = −2 + t
x ≥ 0
ĐK ( t ≥ 2 ) do 
,thay vào (1) ta được:
y ≥ 0

Phân tích: (2) có dạng tham số 
 x = 3t
 y = −2 + t

Bài giải: Đặt 

3t 3t − (t − 2) t − 2 = 8 3t + 2 t − 2 ⇔ (3t − 8) 3t = t t − 2
 8
 8
t ≥
t ≥
⇔ 3(3t − 8) = t t − 2 ⇔  3
⇔ 3
t (t − 2) = 3(3t − 8) 2
26t 2 − 142t + 192 = 0


 8
t ≥ 3
x = 9
⇔
⇔ t = 3. Với t=3 ta có 
là nghiệm của hệ phương trình
y =1
t = 3; t = 32

3

đã cho.

 x + y + x − y = 2(1)
* Thí dụ 6: Giaỉ hệ phương trình  2
2
2
2
 x + 3 y + x − y = 4(2)

Bài giải:
Từ phương trình (1) :
2
 x + y = 1 + t
x = 1+ t2
 x + y = 1 + 2t + t
(
−
1
≤
t
≤
1)
⇔
⇔
Đặt 


2
 x − y = 1 − 2t + t
 y = 2t
 x − y = 1 − t

thay vào (2) ta được:
(1 + t 2 ) 2 + 12t 2 + (1 + t 2 ) 2 − 4t 2 = 4 ⇔ t 4 + 14t 2 + 1 + 1 − t 2 = 4
t = 1
⇔ t 4 + 14t 2 + 1 = t 2 + 3 ⇔ t 4 + 14t 2 + 1 = t 4 + 6t 2 + 9 ⇔ t 2 = 1 ⇔ 
 t = −1

Với t=1 ta có

x = 1 + t 2 = 2

Với t=-1 ta có
 y = 2t = 2

x = 2

 y = −2

x = 2 x = 2
;
 y = 2  y = −2

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: 

 7 x + y + 2 x + y = 4(1)

* Thí dụ 7: Giaỉ hệ phương trình 

 2 2 x + y − 5 x − 8 = 2(2)
 (2 x + y ) + (5x+8) − 8 + 2 x + y = 4(1)
Bài giải: hệ phương trình đã cho ⇔ 

 2 2 x + y − 5 x − 8 = 2(2)
2
 2 x + y = 1 + t
 2 x + y = 1 + 2t + t
(
t
≥
0)
⇔
Từ (2) đặt 

,phương trình (1) trở
2
5 x + 8 = 4t
 5 x + 8 = 2t

thành:


5t 2 + 2t − 7 − (1 − t ) = 4 ⇔ 5t 2 + 2t − 7 = 5 + t ⇔ 5t 2 + 2t − 7 = t 2 + 10t + 25
t = 4
⇔ t 2 − 2t − 8 = 0 ⇔ 
t = −2(l )
56

x=
 2x + y = 5

 2x + y = 25


5
⇔
⇔
Với t=4 ta có 
là nghiệm của hệ đã
5x + 8 = 64
 5x + 8 = 8
 y = 13

5

cho.
 x 3 + y 3 = 35(1)
*Thí dụ 8: Giải hệ phương trình 
2
2
log 5 ( x + y ) + log 7 ( x − xy + y ) = 2(2)

Bài giải:
t +1
log 5 ( x + y ) = 1 + t
 x + y = 5
⇔
Từ phương trình (2) của hệ: Đặt 
 2
2
2
2
1−t
log 7 ( x − xy + y ) = 1 − t

 x − xy + y = 7
5
Thay vào (1) ta được 51+t.71−t = 35 ⇔ 5.5t.7.7−t = 35 ⇔ ( )t = 1 ⇔ t = 0.
7
x
+
y
=
5

x + y = 5 x = 2
x = 3
⇔
⇔
Với t = 0 ta có  2
hoặc 
là hai
2
 xy = 6
y = 3
y = 2
 x − xy + y = 7

nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Cuối cùng mời các bạn áp dụng phương pháp trên vào giải các phương
trình, hệ phương trình sau:
1) x3 + 8 + 3 12 − x3 = 10
ĐS:x=2
2) x 2 + x + 1 = 1

ĐS: x=0; x=-1; x=

3) x 2 − 2x + 5 + x − 1 = 2

ĐS: x=

4) 4x − 1 + 4 x 2 − 1 = 2

ĐS: x=2

 x + y = 8
5)  2
2
 x + 9 + y + 9 = 10
 2 x + y + 1 − x + 1 = 1
6) 
3 x + 2 y = 4

x = 4
y = 4

 x = 10 − 4 7

ĐS: 

 y = −13 + 6 7

 2 x + 2 y − xy = 3

x = 3

y = 5

ĐS: 

 3 x + 1 + 3 y + 1 = 4

 x = 10 − 77

(HSG QG 2001) ĐS:  11 − 77
y =

2

 x + 4 y − 1 + x + y + 4 = 7

9) 

1
2

ĐS: 

7) 

 7 x + y + 2 x + y = 5
8) 
 2x + y + x − y = 2

1− 5
2

 2 x + y + 4 − 6x + y − 1 = 3

x = 3
y = 5

ĐS: 


Ân Thi ngày 10 tháng 8 năm 2015
Người viết :Vũ Sỹ Dũng- giáo viên trường THPT Nguyễn trung Ngạn
Ân Thi-Hưng Yên
ĐT: 0984440729
Email: