Phát triển tư duy thuật toán cho HS thông qua dạy học thuật toán ở trường Trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI
-------------------------------

NGUYỄN CHÍ TRUNG

PHÁT TRIỂN TƢ DUY THUẬT TOÁN CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC THUẬT TOÁN
Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HÀ NỘI - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI
-------------------------------

NGUYỄN CHÍ TRUNG

PHÁT TRIỂN TƢ DUY THUẬT TOÁN CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC THUẬT TOÁN Ở TRƢỜNG
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn
toán
Mã số: 62 14 01 11
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC

1: PGS.TS Lê Khắc Thành
2: PGS.TS. Hồ Cẩm Hà

HÀ NỘI - 2015


-i-

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây công trình nghiên cứu do chính tôi thực hiện. Các kết quả
nghiên cứu đƣợc trình bày trong luận án là trung thực, khách quan và chƣa đƣợc
công bố bởi bất kỳ tác giả nào hay ở bất cứ công trình nào khác. Các thông tin trích
dẫn trong luận án này đều đƣợc chỉ rõ nguồn gốc.
Tác giả

Nguyễn Chí Trung


- ii -

LỜI CẢM ƠN
Tôi muốn tỏ lòng biết ơn đến rất nhiều ngƣời, với nhiều cách khác nhau đã giúp
đỡ Tôi hoàn thành luận án này. Trƣớc hết, tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Lê
Khắc Thành và PGS.TS Hồ Cẩm Hà – các thầy cô trực tiếp hƣớng dẫn và động viên
Tôi trong suốt quá trình nghiên cứu luận án.
Chân thành cảm ơn GS.TS Bùi Văn Nghị, và các Thầy cô thuộc bộ môn Lý luận
và Phƣơng pháp dạy học toán, khoa Toán Tin, trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà nội, đã
có những góp ý quí báu trong suốt quá trình sinh hoạt tại bộ môn, để luận án đƣợc
hoàn thiện tốt hơn. Tôi chân thành cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Bá Kim và các thầy
cô trong Hội đồng bộ môn đã giúp chọn tên luận án phù hợp, phản ánh đúng nội

dung nghiên cứu. Tôi chân thành cảm ơn PGS.TS Vũ Quốc Chung đã hƣớng dẫn tôi
trong giai đoạn hoàn thiện luận án để luận án có chất lƣợng tốt hơn.
Trân trọng cảm ơn Quý phòng ban và Quý trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà nội đã hỗ
trợ toàn bộ kinh phí đào tạo cũng nhƣ tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho Tôi trong
thời gian học tập và hoàn thành chƣơng trình tiến sỹ.
Chân thành cảm ơn các thầy cô của bộ môn Lý luận và Phƣơng pháp dạy học,
Ban chủ nhiệm khoa Công nghệ thông tin đã cho phép và tạo điều kiện thuận lợi
cho tôi đƣợc học chƣơng trình tiến sỹ. Chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa,
các bạn bè đồng nghiệp và các em sinh viên đã chia sẻ và động viên cho tôi trong
thời gian học tập.
Đặc biệt nhất, trong luận án này tôi xin dành sự biết ơn đến gia đình nhất là vợ và
các con đã sát cánh chia sẻ trong suốt thời gian nghiên cứu luận án.


- iii -

BẢNG CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT
Từ viết tắt
CNTT

Viết đầy đủ
Công nghệ thông tin

ĐC

Đối chứng

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

NT

Nông thôn

PPDH

Phƣơng pháp dạy học

PTĐT

Phƣơng trình đƣờng thẳng

PTTH

Phân tích, tổng hợp

SGK

Sách giáo khoa

SGV

Sách giáo viên

THPT

Trung học phổ thông

TN

Thực nghiệm

TongBiet

Tổng điểm đánh giá mức độ nhận biết

TongHieu

Tổng điểm đánh giá mức độ thông hiểu

TongPTTH

Tổng điểm đánh giá mức độ phân tích, tổng hợp

TongVDung

Tổng điểm đánh giá mức độ vận dụng

TP

Thành phố

TX

Thị xã

XLBiet

Xếp loại mức độ nhận biết

XLHieu

Xếp loại mức độ thông hiểu

XLPTTH

Xếp loại mức độ phân tích, tổng hợp

XLVD

Xếp loại mức độ vận dụng


- iv -

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................... 1
2. Mục tiêu nghiên cứu .................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................... 2
3.1. Nghiên cứu lý luận .................................................................................... 2
3.2. Nghiên cứu thực tiễn ................................................................................. 2
3.3. Đề xuất giải pháp ...................................................................................... 3
3.4. Thực nghiệm sƣ phạm .............................................................................. 3
4. Đối tƣợng nghiên cứu .................................................................................. 3

5. Phạm vi nghiên cứu ..................................................................................... 3
6. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................. 4
6.1. Nghiên cứu lý luận .................................................................................... 4
6.2. Khảo sát điều tra thực tiễn ........................................................................ 4
6.3. Nghiên cứu trƣờng hợp ............................................................................. 4
6.4. Thực nghiệm sƣ phạm .............................................................................. 4
6.5. Thống kê Toán học ................................................................................... 4
7. Giả thuyết khoa học ..................................................................................... 4
8. Các luận điểm bảo vệ và đóng góp của luận án ........................................... 5
8.1. Về mặt lý luận ........................................................................................... 5
8.2. Về mặt thực tiễn ........................................................................................ 5
9. Cấu trúc và tóm tắt nội dung của luận án .................................................... 5
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VỀ VIỆC DẠY HỌC
THUẬT TOÁN ............................................................................................... 7
1.1. SỰ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM THUẬT TOÁN .................................. 7
1.1.1. Nguồn gốc của từ thuật toán .................................................................. 7
1.1.2. Sự hình thành khái niệm thuật toán trong Toán học .............................. 7
1.1.3. Khái niệm thuật toán trong Khoa học máy tính ..................................... 10
1.1.4. Khái niệm thuật toán đƣợc dạy ở trƣờng phổ thông .............................. 13
1.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA THUẬT TOÁN................................................ 14
1.2.1. Các tính chất cơ bản của thuật toán ....................................................... 14
1.2.2. Các tính chất mở rộng ............................................................................ 15
1.3. TỔNG QUAN VỀ NHỮNG CÁCH TIẾP CẬN DẠY HỌC THUẬT TOÁN
.......................................................................................................................... 19
1.3.1. Dạy học thuật toán trong một số nội dung Toán học ............................. 19


-v1.3.2. Dạy học thuật toán thông qua các câu đố và câu đố giống nhƣ trò chơi
.......................................................................................................................... 19
1.3.3. Dạy học thuật toán bằng phƣơng pháp trực quan hóa thuật toán .......... 20

1.3.4. Dạy học thuật toán theo hƣớng phát triển tƣ duy thuật toán ................. 21
1.3.5. Dạy học thuật toán theo các mức trừu tƣợng của tƣ duy thuật toán ...... 26
BÌNH LUẬN.................................................................................................... 28
1.4. THỰC TIỄN DẠY HỌC THUẬT TOÁN Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG ........................................................................................................... 28
1.4.1. Nghiên cứu, khảo sát thực tiễn dạy học thuật toán ................................ 28
1.4.2. Kết quả khảo sát điều tra tình hình học thuật toán ................................ 29
1.4.3. Thực tế dạy học thuật toán trong môn Toán và môn Tin học ............... 31
1.4.4. Đánh giá và đề xuất ............................................................................... 33
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 ................................................................................ 34
CHƢƠNG 2. CÁC BIỂU HIỆN VÀ CÁC CẤP ĐỘ CỦA SỰ PHÁT TRIỂN
TƢ DUY THUẬT TOÁN .............................................................................. 35
2.1. KHÁI NIỆM TƢ DUY THUẬT TOÁN .................................................. 35
2.1.1. Những căn cứ để đề xuất khái niệm tƣ duy thuật toán .......................... 35
2.1.2. Khái niệm tác nhân và khái niệm tƣ duy thuật toán .............................. 36
2.2. CÁC BIỂU HIỆN CỦA SỰ PHÁT TRIỂN TƢ DUY THUẬT TOÁN
TRONG GIẢI BÀI TẬP TOÁN THEO THUẬT TOÁN ............................... 37
Bài toán về các chất dinh dƣỡng ...................................................................... 38
2.2.1. Hiểu bài toán .......................................................................................... 38
2.2.2. Hiểu hƣớng giải quyết giải bài toán ....................................................... 40
2.2.3. Hiểu thuật toán giải bài toán .................................................................. 41
2.2.4. Thực hiện đƣợc thuật toán giải bài toán ................................................ 43
2.2.5. Xây dựng đƣợc thuật toán tƣơng đƣơng ................................................ 44
2.2.6. Đánh giá đƣợc thuật toán ....................................................................... 45
2.2.7. Cải tiến thuật toán hoặc xây dựng đƣợc thuật toán mới ........................ 46
2.3. CÁC BIỂU HIỆN CỦA TƢ DUY THUẬT TOÁN TRONG GIẢI BÀI
TOÁN DỰA VÀO CÁC CÔNG CỤ TÍNH TOÁN TỰ ĐỘNG ..................... 46
2.3.1. Xác định bài toán ................................................................................... 47
2.3.2. Hiểu ý tƣởng thuật toán ......................................................................... 48
2.3.3. Hiểu thuật toán ....................................................................................... 50

2.3.4. Thực hiện đƣợc thuật toán ..................................................................... 54
2.3.5. Xây dựng đƣợc thuật toán tƣơng đƣơng ................................................ 56
2.3.6. Đánh giá đƣợc thuật toán ....................................................................... 57


- vi 2.3.7. Cải tiến đƣợc thuật toán hoặc thiết kế đƣợc thuật toán mới .................. 58
2.4. CÁC CẤP ĐỘ CỦA SỰ PHÁT TRIỂN TƢ DUY THUẬT TOÁN........ 58
2.4.1. Ý nghĩa của việc xác định các cấp độ tƣ duy thuật toán........................ 58
2.4.2. Các cấp độ tƣ duy thuật toán ................................................................. 59
2.4.3. Những biểu hiện của các cấp độ tƣ duy thuật toán ................................ 60
2.4.4. Ví dụ minh họa về các cấp độ tƣ duy thuật toán ................................... 61
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 ................................................................................ 68
CHƢƠNG 3. MỘT SỐ TIẾP CẬN MỚI TRONG DẠY HỌC PHÁT TRIỂN
TƢ DUY THUẬT TOÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
.......................................................................................................................... 70
3.1. PHƢƠNG PHÁP THAO TÁC HÓA TRONG DẠY HỌC THUẬT TOÁN
.......................................................................................................................... 70
3.1.1. Phƣơng pháp chia để trị và mô đun hóa thuật toán ............................... 70
3.1.2. Phƣơng pháp thao tác hóa trong dạy học thuật toán .............................. 77
3.1.3. Sự phát triển tƣ duy thuật toán trong dạy học thuật toán theo phƣơng pháp
thao tác hóa ...................................................................................................... 89
3.2. PHƢƠNG PHÁP LÀM MỊN DẦN TRONG DẠY HỌC THUẬT TOÁN
.......................................................................................................................... 91
3.2.1. Khái niệm phƣơng pháp làm mịn dần trong dạy học thuật toán ........... 91
3.2.2. Tổng quan về các cách tiếp cận làm mịn dần ........................................ 92
3.2.3. Quá trình làm mịn dần từ ngoài vào ...................................................... 92
3.2.4. Phân biệt “mô đun thuật toán” và “gói thuật toán” ............................... 98
3.2.5. Sự phát triển tƣ duy thuật toán trong dạy học thuật toán theo phƣơng pháp
làm mịn dần từ ngoài vào ................................................................................ 98
3.3. PHƢƠNG PHÁP TINH CHẾ TRONG DẠY HỌC THUẬT TOÁN ...... 100

3.3.1. Giới thiệu phƣơng pháp tinh chế và các khái niệm liên quan ............... 100
3.4.2. Nguyên tắc tinh chế dựa trên ngôn ngữ và sự phát triển của tƣ duy thuật
toán................................................................................................................... 103
3.4.3. Tinh chế tƣơng đƣơng theo từng bƣớc của quá trình xây dựng thuật toán
.......................................................................................................................... 105
3.4.5. Sự phát triển của tƣ duy thuật toán trong quá trình tinh chế tƣơng đƣơng
.......................................................................................................................... 109
3.4.6. Tinh chế nâng cấp .................................................................................. 111
3.4.7. Sự phát triển tƣ duy thuật toán trong quá trình tinh chế nâng cấp......... 116
KẾT LUẬN CHƢƠNG 3 ................................................................................ 117
CHƢƠNG 4. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................ 119


- vii 4.1. MỤC ĐÍCH, PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ VÀ QUI TRÌNH THỰC
NGHIỆM ......................................................................................................... 119
4.1.1. Mục đích, mục tiêu và nhiệm vụ của thực nghiệm sƣ phạm ................. 119
4.1.2. Phƣơng pháp đánh giá trong thực nghiệm sƣ phạm .............................. 119
4.2. QUI TẮC MÃ HÓA VÀ QUI ĐỔI ĐIỂM ............................................... 121
4.2.1. Qui đổi và mã hóa điểm bài kiểm tra - đánh giá tổng kết...................... 121
4.2.2. Qui đổi và mã hóa điểm bài tập nhóm - Đánh giá ngang hàng và tự đánh
giá..................................................................................................................... 122
4.2.3. Qui đổi và mã hóa điểm từ phiếu khảo sát ............................................ 123
4.3. THỰC NGHIỆM 1 ................................................................................... 124
4.3.1. Giới thiệu thực nghiệm .......................................................................... 124
4.3.2. Kết quả đánh giá bài tập nhóm .............................................................. 125
4.3.3. Kết quả làm bài kiểm tra ........................................................................ 128
4.3.4. Kết quả đánh giá về phƣơng pháp dạy học của GV .............................. 130
4.3.5. Kết luận thực nghiệm 1 .......................................................................... 133
4.4. THỰC NGHIỆM 2 ................................................................................... 134
4.4.1. Giới thiệu thực nghiệm 2 ....................................................................... 134

4.4.2. Kết quả đánh giá bài tập nhóm và bài kiểm tra ..................................... 134
4.4.3. Kết quả đánh giá về phƣơng pháp dạy học của giáo viên ..................... 140
4.5. ĐỀ XUẤT VÀ KIẾN NGHỊ ..................................................................... 142
4.5.1. Về việc dạy học thuật toán ở trƣờng trung học phổ thông .................... 142
4.5.2. Về điều chỉnh một số nội dung của học phần PPDH chuyên ngành môn Tin
học .................................................................................................................... 142
KẾT LUẬN CHƢƠNG 4 ................................................................................ 143
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 144
CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ .......................................................... 147
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 148


- viii -

DANH MỤC CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. 1. Dãy Fibonacii ................................................................................ 14
Ví dụ 1. 2. So sánh hai thuật toán sắp xếp ...................................................... 15
Ví dụ 1. 3. Hệ phƣơng trình đại số tuyến tính ................................................. 17
Ví dụ 1. 4. Công thức tính tích phân không sử dụng đƣợc ............................. 17
Ví dụ 2. 1. Chọn các cuộc họp ........................................................................ 35
Ví dụ 2. 2. Hiểu rõ bài toán ............................................................................. 38
Ví dụ 2. 3. Phát biểu đƣợc bài toán tổng quát ................................................. 39
Ví dụ 2. 4. Đƣa ra đƣợc đầy đủ công cụ và hƣớng giải quyết bài toán ........... 40
Ví dụ 2. 5. Hiểu rõ thuật toán .......................................................................... 41
Ví dụ 2. 6. Vận dụng đƣợc thuật toán ............................................................. 43
Ví dụ 2. 7. Xây dựng đƣợc thuật toán tƣơng đƣơng ....................................... 44
Ví dụ 2. 8. Chỉ ra đƣợc hạn chế và ƣu điểm của thuật toán ............................ 45
Ví dụ 2. 9. Tìm hƣớng giải khác cho bài toán ................................................. 46
Ví dụ 2. 10. Phát biểu đƣợc bài toán tổng quát và tổ chức tốt dữ liệu ............ 47
Ví dụ 2. 11. Hiểu rõ ý tƣởng thuật toán .......................................................... 48

Ví dụ 2. 12. Hiểu rõ thuật toán ........................................................................ 50
Ví dụ 2. 13. Áp dụng và mô phỏng thuật toán ................................................ 54
Ví dụ 2. 14. Xây dựng đƣợc phiên bản mô tả mới cho thuật toán .................. 56
Ví dụ 2. 15. Đánh giá tính chất và hiệu quả của thuật toán ............................ 57
Ví dụ 2. 16. Phát hiện sai sót và cải tiến thuật toán ........................................ 58
Ví dụ 2. 17. Xác định tham số để các nghiệm của phƣơng trình bậc hai thỏa mãn
một hệ thức cho trƣớc ...................................................................................... 62
Ví dụ 2. 18. So sánh một số với các nghiệm của phƣơng trình bậc hai .......... 65
Ví dụ 3. 1. Tìm các số đặc trƣng của mẫu số liệu ........................................... 72
Ví dụ 3. 2. Tìm các số đặc trƣng của các mẫu số liệu: Dùng sơ đồ khối ........ 75
Ví dụ 3. 3. Thuật toán tìm số trung bình tổng quát ......................................... 78
Ví dụ 3. 4. Tìm phƣơng trình đƣờng thẳng – Bài toán 1 (Hình học lớp 10) ... 81
Ví dụ 3. 5. Tìm phƣơng trình đƣờng thẳng – Bài toán 2 (Hình học lớp 10) ... 86
Ví dụ 3. 6. Làm mịn từ ngoài vào một lần ...................................................... 93
Ví dụ 3. 7. Tinh chế theo từng bƣớc của quá trình xây dựng thuật toán ......... 105
Ví dụ 3. 8. Tinh chế nâng cấp ......................................................................... 112
Ví dụ 3. 9. Về cách ƣớc lƣợng, đánh giá hiệu quả thuật toán ......................... 113


- ix -

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1. 1. Bảng thống kê tổng hợp ................................................................. 29
Bảng 1. 2. Thống kê mô tả (Descriptive Statistics) ......................................... 30
Bảng 1. 3. Mô tả tần suất (Frequency table) ................................................... 30
Bảng 1. 4. Giá trị các thang đo theo từng đối tƣợng học sinh ......................... 31
Bảng 1. 5. Báo cáo các giá trị trung bình của các thang đo nhận thức ........... 31
Bảng 4. 1. Qui tắc qui đổi điểm của một bài tập trong đề kiểm tra ................ 122
Bảng 4. 2. Bảng qui tắc qui đổi điểm của bài tập nhóm ................................. 123
Bảng 4. 3. Bảng qui đổi điểm sang các thang đo khảo sát .............................. 124

Bảng 4. 4. Thống kê kết quả bài tập nhóm của các lớp thực nghiệm ............. 125
Bảng 4. 5. Thống kê kết quả bài tập nhóm của các lớp đối chứng ................. 126
Bảng 4. 6. Bảng tổng hợp: So sánh kết quả làm bài tập nhóm giữa các lớp thực
nghiệm và các lớp đối chứng ........................................................................... 127
Bảng 4. 7. Thống kê kết quả làm bài kiểm tra của các lớp thực nghiệm ........ 128
Bảng 4. 8. Thống kê kết quả làm bài kiểm tra của các lớp đối chứng ............ 129
Bảng 4. 9. Bảng tổng hợp: So sánh kết quả làm bài kiểm tra giữa các lớp thực
nghiệm và các lớp đối chứng ........................................................................... 130
Bảng 4. 10. Điểm trung bình đánh giá PPDH của GV .................................... 131
Bảng 4. 11. Kiểm định giả thuyết thống kê ..................................................... 132
Bảng 4. 12. Thống kê kết quả bài tập nhóm của các lớp thực nghiệm ........... 135
Bảng 4. 13. Thống kê kết quả làm bài kiểm tra của các lớp thực nghiệm ...... 136
Bảng 4. 14. Thống kê kết quả bài tập nhóm của các lớp đối chứng ............... 137
Bảng 4. 15. Thống kê kết quả làm bài kiểm tra của các lớp đối chứng .......... 138
Bảng 4. 16. Bảng tổng hợp: So sánh kết quả làm bài tập nhóm giữa các lớp thực
nghiệm và các lớp đối chứng ........................................................................... 139
Bảng 4. 17. Bảng tổng hợp: So sánh kết quả làm bài kiểm tra giữa các lớp thực
nghiệm và các lớp đối chứng ........................................................................... 139
Bảng 4. 18. Điểm trung bình đánh giá PPDH của GV .................................... 140
Bảng 4. 19. Kiểm định giả thuyết thống kê ..................................................... 141


-x-

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ BIỂU ĐỒ
Hình 1. 1. Tìm cách đi qua mê cung ............................................................... 24
Hình 1. 2. Vừa đi vừa đánh dấu ...................................................................... 25
Hình 1. 3. Thuật toán giải quyết vấn đề của Luay Nakhleh ............................ 26
Hình 2. 1. Miền nghiệm của hệ điều kiện và tập các phƣơng án của bài toán 41
Hình 2. 2. Các giao điểm của các đƣờng thẳng đƣợc tính bởi thuật toán ....... 55

Hình 2. 3. Đồ thị hàm bậc hai trong trƣờng hợp có hai nghiệm ..................... 67
Hình 3. 1. Một số mô đun thuật toán giải bài toán tính các số đặc trƣng ....... 77
Hình 3. 2. Sơ đồ thuật toán P ở dạng “thô” ..................................................... 94
Hình 3. 3. Sơ đồ thuật toán Q .......................................................................... 95
Hình 3. 4. Sơ đồ thuật toán P ở dạng mịn (cách 1) ......................................... 96
Hình 3. 5. Sơ đồ thuật toán P ở dạng mịn (cách 2) ......................................... 97
Hình 3. 6. Dãy cần sắp xếp đƣợc chia thành 2 đoạn ....................................... 110
Hình 3. 7 Chuyển phần tử nhỏ nhất về đầu dãy con ....................................... 112
Biều đồ 4. 1. Biểu đồ biểu diễn số lƣợng và tỉ lệ HS nhóm lớp thực nghiệm đạt
các cấp độ tƣ duy thuật toán đối với bài tập nhóm và bài tập . ....................... 125
Biều đồ 4. 2. Biểu đồ biểu diễn số lƣợng và tỉ lệ HS nhóm lớp đối chứng đạt các
cấp độ tƣ duy thuật toán đối với bài tập nhóm. ............................................... 126
Biều đồ 4. 3. So sánh chuẩn tƣ duy thuật toán giữa nhóm lớp thực nghiệm và
nhóm lớp đối chứng. ........................................................................................ 128
Biều đồ 4. 4. Biểu đồ biểu diễn số lƣợng và tỉ lệ HS các lớp thực nghiệm đạt các
cấp độ tƣ duy thuật toán đối với bài kiểm tra. ................................................. 128
Biều đồ 4. 5. Biểu đồ biểu diễn số lƣợng và tỉ lệ HS các lớp đối chứng đạt các
cấp độ tƣ duy thuật toán đối với bài kiểm tra. ................................................. 129
Biều đồ 4. 6. Biểu đồ biểu diễn số lƣợng và tỉ lệ HS nhóm lớp thực nghiệm đạt
các cấp độ tƣ duy thuật toán đối với bài tập nhóm. ......................................... 135
Biều đồ 4. 7. Biểu đồ biểu diễn số lƣợng và tỉ lệ HS các lớp thực nghiệm đạt các
cấp độ tƣ duy thuật toán đối với bài kiểm tra. ................................................. 136
Biều đồ 4. 8. Biểu đồ biểu diễn số lƣợng và tỉ lệ HS nhóm lớp đối chứng đạt các
cấp độ tƣ duy thuật toán đối với bài tập nhóm. ............................................... 137
Biều đồ 4. 9. Biểu đồ biểu diễn số lƣợng và tỉ lệ HS nhóm lớp đối chứng đạt các
cấp độ tƣ duy thuật toán đối với bài kiểm tra. ................................................. 138
Biều đồ 4. 10. So sánh chuẩn tƣ duy thuật toán giữa nhóm lớp thực nghiệm và
nhóm lớp đối chứng. ........................................................................................ 140

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bàn về tƣ duy, Pascal cho rằng “Tư duy tạo nên sự cao cả của con người”;
Descartes nói “Tôi tư duy tức là tôi tồn tại”; Emerson nói “Tư duy là hạt giống của
hành động”; H.Poincaré dùng hình ảnh “Tư duy là một tia sáng giữa đêm tối.
Nhưng chính tia sáng ấy là tất cả”. Bàn về dạy học, rèn luyện tƣ duy, nguyên thủ
tƣớng Phạm Văn Đồng nói “Điều chủ yếu không phải là nhồi nhét một mớ kiến thức
hỗn độn mà là phương pháp suy nghĩ, phương pháp nghiên cứu, phương pháp học
tập, phương pháp giải quyết vấn đề”. Theo ngạn ngữ cổ Hy lạp thì “Dạy học không
phải là rót kiến thức vào một chiếc thùng rỗng mà là thắp sáng lên những ngọn
lửa”.
Theo Lê Hải Yến (2008), mục tiêu của bậc học phổ thông là hình thành và phát
triển đƣợc nền tảng tƣ duy của HS trong thời đại mới, bao gồm nhóm kiến thức, kĩ
năng cơ bản của các môn học phổ thông, nhóm các kĩ năng tƣ duy và nhóm các
phẩm chất nhân cách và đạo đức. Trong đó, các kĩ năng tƣ duy có thể kể đến nhƣ
biết cách suy luận, phát hiện, giải quyết vấn đề, biết cách học, cách tự học, có tƣ
duy sáng tạo, ... Thông qua dạy kiến thức và kỹ năng để đạt đƣợc mục tiêu là hình
thành và phát triển năng lực tƣ duy - trí tuệ của HS, thông qua việc dạy và học tƣ
duy, chúng ta sẽ tạo đƣợc nền móng trí tuệ - cách suy nghĩ để giải quyết các vấn đề
trong thực tiễn sau này cho mỗi HS khi bƣớc vào đời. Vậy, mục tiêu quan trọng của
quá trình dạy và học là giúp cho HS phát triển được tư duy.
Hồ Sỹ Đàm và các cộng sự (2006) đã khẳng định mục tiêu trên đây trong dạy học
môn Tin học bậc học phổ thông và nhấn mạnh: Mục tiêu của môn Tin học là “nhằm
cung cấp cho HS những kiến thức phổ thông về ngành khoa học Tin học, hình thành
và phát triển khả năng tư duy thuật toán, năng lực sử dụng các thành tựu của ngành
khoa học này trong học tập và trong các lĩnh vực hoạt động của mình sau này".
Nguyễn Bá Kim (2009) đã đề cập đến ―dạy học qui tắc phương pháp” trong dạy
học môn Toán, cụ thể là dạy thuật giải và những qui tắc tựa thuật giải. Dạy thuật

giải nhằm dạy cho HS kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp. Đây là
một nội dung rất quan trọng, vì nó dạy cho HS tư duy thuật giải, hay nói rộng hơn
là dạy HS phƣơng pháp tiếp cận giải quyết một vấn đề một cách khoa học. Ở môn
Toán, có những tri thức phƣơng pháp là các thuật giải và qui tắc tựa thuật giải đƣợc
chƣơng trình qui định dạy tƣờng minh. Ở môn Tin học, tất cả các bài toán đều đƣợc
dạy tƣờng minh thuật toán. Có thể nói rằng thuật toán là phƣơng pháp giải quyết


2
vấn đề lấy nền tảng là Toán học, đƣợc phát triển mạnh mẽ trong ngành Khoa học
máy tính, và nó trở thành mối quan tâm của cả hai phạm trù Toán học và Tin học.
Vậy thuật toán là nội dung dạy học mà nó mở ra nhiều cơ hội nhất để rèn luyện và
phát triển tƣ duy nói chung và tƣ duy thuật toán nói riêng cho HS.
Trong những năm gần đây, dạy học theo định hướng phát triển năng lực đã trở
thành xu hƣớng chính đối với nhiều nƣớc trên thế giới, đặc biệt là các nƣớc phát
triển thuộc OECD (Organisation for Economic Co-operation and Development-Tổ
chức hợp tác và phát triển kinh tế). Dạy học thuật toán có thể xem nhƣ góp vai trò
đáng kể trong dạy học định hƣớng phát triển năng lực giải quyết vấn đề. Bởi lẽ, dạy
học thuật toán hƣởng ứng mục tiêu đào tạo hình mẫu con ngƣời có năng lực tự
quyết và có khả năng ứng xử và giải quyết các vấn đề trong khoa học và thực tiễn.
Với sự đảm bảo của Toán học, thuật toán trong lĩnh vực Khoa học máy tính bồi
dƣỡng cho HS phƣơng pháp tƣ duy hiệu quả trong học tập những môn học khác ở
trƣờng phổ thông, nhất là trong những kiến thức tích hợp và liên môn với Toán và
Tin học.
Với những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài “Phát triển tư duy thuật toán cho HS
thông qua dạy học thuật toán ở trường trung học phổ thông” để nghiên cứu..

2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của luận án là đề xuất đƣợc một số cách tiếp cận trong dạy học thuật
toán nhằm phát triển tƣ duy thuật toán cho HS trong dạy học môn Toán và môn Tin

học. Một cách cụ thể, luận án đƣa ra một số cách tiếp cận mới trong dạy học giải
bài tập toán theo thuật toán ở một số nội dung của môn Toán và dạy học các thuật
toán giải các bài toán dựa vào máy tính thuộc lĩnh vực của môn Tin học. Những
cách tiếp cận này nhằm thúc đẩy và hƣớng dẫn HS tƣ duy đúng đắn và hiệu quả
trong giải quyết vấn đề, tức là nhằm phát triển tƣ duy thuật toán cho HS.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu các vấn đề sau đây:
- Khái niệm thuật toán ở góc độ Toán học và Khoa học máy tính.
- Khái niệm thuật toán đƣợc dạy ở môn Tin học trong trƣờng phổ thông.
- Các tính chất và đánh giá hiệu quả thuật toán.
- Những xu hƣớng dạy học thuật toán hiện nay ở trong nƣớc và trên thế giới.

3.2. Nghiên cứu thực tiễn


3
Khảo sát và đánh giá chất lƣợng dạy học thuật toán và lập trình trong môn Tin
học ở một số trƣờng phổ thông. Đánh giá thực tế dạy học thuật toán trong môn
Toán. Từ các điều tra và đánh giá trên, đƣa ra các đề xuất phƣơng hƣớng nâng cao
hiệu quả dạy học thuật toán.

3.3. Đề xuất giải pháp
- Xây dựng các cách tiếp cận mới trong dạy học thuật toán trong môn Toán và
môn Tin học ở trƣờng THPT để rèn luyện và phát triển tƣ duy thuật toán HS.
- Xây dựng hệ thống các khái niệm cơ bản nhƣ: tác nhân, tƣ duy thuật toán, mức
thủ công và mức điều khiển trong mô tả thuật toán, độ phức tạp của biểu diễn thuật
toán.
- Xây dựng hệ thống các thang đo tƣ duy thuật toán, bao gồm các biểu hiện của

sự phát triển tƣ duy thuật toán và các cấp độ tƣ duy thuật toán.

3.4. Thực nghiệm sƣ phạm

-

Vận dụng cách tiếp cận dạy học thuật toán đã đề xuất để dạy học một số tiết
thực nghiệm sƣ phạm.
Thiết kế bộ công cụ đánh giá kết quả thực nghiệm sƣ phạm.

-

Sử dụng phần mềm phân tích dữ liệu thực nghiệm để đƣa ra các đánh giá và

-

đề xuất.

4. Đối tƣợng nghiên cứu
Đối tƣợng nghiên cứu của luận án là quá trình dạy học thuật toán ở trƣờng
THPT mà thực chất là quá trình giáo dục thông qua dạy học thuật toán ở trƣờng
THPT. Quá trình dạy học bao gồm việc dạy (hoạt động và giao lƣu của thầy) và
việc học (hoạt động và giao lƣu của HS) với đối tƣợng chiếm lĩnh là nội dung thuật
toán, còn bản thân việc học là đối tƣợng điều khiển của việc dạy. Quá trình giáo
dục nhằm mục tiêu chủ đạo của việc dạy học phát triển tƣ duy thuật toán, thể hiện ở
chỗ GV không những chỉ dạy HS kiến tạo đƣợc các tri thức về thuật toán mà còn
cho HS nắm đƣợc những phƣơng thức tƣ duy nhƣ tƣ duy ngữ nghĩa, tƣ duy cú
pháp, tƣ duy ngôn ngữ và đặc biệt là tƣ duy thuật toán.

5. Phạm vi nghiên cứu

Về phạm vi lý thuyết, luận án tập trung nghiên cứu về lý luận và phƣơng pháp
dạy học thuật toán ở trƣờng phổ thông.
Về phạm vi đối tượng, luận án hƣớng đến lớp đối tƣợng HS đại trà lớp 10 và lớp
11 THPT, trong đó có một số nội liên quan đến đối tƣợng HS khá.


4
Về phạm vi nội dung, luận án nghiên cứu những bài toán của môn Toán có thể
giải tổng quát theo thuật toán và những bài toán của môn Tin học đƣợc xây dựng
thuật toán thuận lợi cho lập trình để giải quyết trên máy tính.

6. Phƣơng pháp nghiên cứu
6.1. Nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu lý luận bao gồm nghiên cứu những bài báo, tạp chí và sách về cách
tiếp cận dạy học thuật toán, và các tài liệu liên quan nhƣ tâm lý học, giáo dục học,
sách giáo khoa và sách giáo viên.
Phân tích tài liệu lý luận trên đây để hoàn thành nhiệm vụ của đề tài.
So sách quốc tế dựa trên cơ sở đánh giá, so sánh tài liệu, cách tiếp cận dạy học
thuật toán ở trong nƣớc và trên thế giới.
Phân tích tiên nghiệm trong nghiên cứu lý luận dựa vào lịch sử hình thành khái
niệm thuật toán và các cách tiếp cận dạy học thuật toán khác nhau để dự kiến những
hiện tƣợng có thể có của HS khi học thuật toán. Từ đó kiểm nghiệm hiện tƣợng đó
trong thực nghiệm sƣ phạm về cách tiếp cận dạy học thuật toán đƣợc đề xuất.

6.2. Khảo sát điều tra thực tiễn
Khảo sát - điều tra thực tiễn dạy học thuật toán hiện nay ở chƣơng trình Tin học
lớp 10 và lớp 11, THPT, để phát hiện những thuật lợi và khó khăn trong việc dạy
học thuật toán, giúp thu thập thông tin sinh động cho nghiên cứu.

6.3. Nghiên cứu trƣờng hợp

Dạy học một số nội dung về thuật toán. Trao đổi với GV, theo dõi, ghi chép
những trƣờng hợp này để xây dựng những tiêu chuẩn đánh giá, đo lƣờng các kết
quả điều tra cụ thể. Trên cơ sở đó phân tích, đánh giá dựa trên phần mềm.

6.4. Thực nghiệm sƣ phạm
Thiết kế bài tập nhóm, bài kiểm tra và phiếu trắc nghiệm.
Xây dựng các thang đo tƣ duy thuật toán để đo chất lƣợng dạy và học thuật toán.
Tiến hành thực nghiệm kết quả nghiên cứu.
Phân tích số liệu thu thập đƣợc trên phần mềm để đƣa ra đánh giá và đề xuất.

6.5. Thống kê Toán học
Thống kê Toán học ở đây dựa trên lý thuyết xác xuất thống kê và phân tích dữ
liệu trong nghiên cứu giáo dục. Kết quả của phân tích dữ liệu là những số liệu về
thống kê mô tả và những kết luận về thống kê suy luận. Những kết quả này đƣợc sử
dụng để đánh giá những cách tiếp cận mới trong dạy học thuật toán của thực
nghiệm sƣ phạm.

7. Giả thuyết khoa học


5
Nếu có cách tiếp cận mới, phù hợp trong dạy học thuật toán ở trƣờng THPT thì
HS sẽ đƣợc phát triển tƣ duy thuật toán và đƣợc nâng cao hiệu quả học tập thuật
toán. Nói một cách đầy đủ hơn, HS đƣợc phát triển tƣ duy thuật toán trong việc
hiểu, thực hiện, đánh giá, chuyển giao và xây dựng thuật toán. Với cách tiếp cận
mới, tƣ duy thuật toán đƣợc phân tích thành các cấp độ với các đánh giá tƣơng ứng,
làm căn cứ cho việc tổ chức dạy học đem lại hiệu quả hơn trong dạy học thuật toán
cho HS.

8. Các luận điểm bảo vệ và đóng góp của luận án

8.1. Về mặt lý luận
Luận án có những đóng góp sau đây về mặt khoa học:
Đề xuất đƣợc hệ thống lí luận cho những cách tiếp cận phù hợp trong dạy học
thuật toán cho HS ở trƣờng THPT, nhằm phát triển tƣ duy thuật toán và nâng cao
hiệu quả học tập thuật toán. Hệ thống lí luận này bao gồm:
- Những khái niệm nền tảng bao gồm: tác nhân, tư duy thuật toán, những biểu
hiện và các cấp độ của sự phát triển tư duy thuật toán, mô tả thuật toán ở
hai mức thủ công và điều khiển.
-

Phương pháp thao tác hóa trong dạy học thuật toán và các khái niệm liên
quan như mô đun thuật toán, thủ tục và hàm.
Phương pháp làm mịn dần trong dạy học thuật toán.
Phương pháp tinh chế trong dạy học thuật toán và các khái niệm liên quan
như nguyên tắc tinh chế dựa trên ngôn ngữ, độ phức tạp của biểu diễn thuật
toán.

8.2. Về mặt thực tiễn
Luận án có những đóng góp sau đây về mặt thực tiễn:
-

-

Đề xuất một hƣớng tiếp cận mới trong dạy học thuật toán ở trƣờng THPT,
góp phần rèn luyện cho HS tƣ duy giải quyết các vấn đề trong dạy học môn
Toán và môn Tin học.
Đóng góp một xu hƣớng mới trong đào tạo sinh viên sƣ phạm Tin học nói
riêng, lĩnh vực Toán - Tin nói chung trong trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội.

9. Cấu trúc và tóm tắt nội dung của luận án

Ngoài một số phần nhƣ mở đầu, kết luận, và tài liệu tham khảo, luận án gồm 4
chƣơng sau đây:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận về thực tiễn
- Về cơ sở lý luận: Trình bày nguồn gốc của từ thuật toán, khái niệm thuật toán
trong quá trình hình thành thuật toán trong Toán học và trong Khoa học máy


6
tính, các tính chất của thuật toán. Lịch sử vấn đề nghiên cứu cũng đƣợc giới
thiệu chi tiết, bao gồm các xu hƣớng dạy học thuật toán hiện nay ở trong nƣớc
và trên thế giới.
-

Về cơ sở thực tiễn: Trình bày kết quả khảo sát, điều tra tình hình học tập thuật
toán hiện nay ở một số trƣờng THPT.

Chƣơng 2: Các biểu hiện và các cấp độ của sự phát triển tƣ duy thuật toán
- Đề xuất các khái niệm cơ sở nhƣ tác nhân, tƣ duy thuật toán,
-

-

Trình bày các biểu hiện của sự phát triển tƣ duy thuật toán theo hai mức mô tả
thuật toán: mức độ thủ công (giải bài toán theo thuật toán) và mức độ điều
khiển (giải bài toán dựa vào máy tính).
Đƣa ra các cấp độ của sự phát triển tƣ duy thuật toán.

Chƣơng 3: Một số cách tiếp cận mới trong dạy học thuật toán ở trƣờng
THPT
- Đề xuất ba cách tiếp cận mới trong dạy học thuật toán, bao gồm: Thao tác

hóa, Làm mịn dần và Tinh chế.
- Chỉ ra sự thúc đẩy và cách đánh giá sự phát triển tƣ duy thuật toán trong từng
cách tiếp cận dạy học thuật toán.
Chƣơng 4: Thực nghiệm sƣ phạm
- Trình bày mục đích và phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm.
- Trình bày các công cụ cho thực nghiệm và cách qui đổi, mã hóa điểm số để
thuận lợi cho xử lý dữ liệu thực nghiệm dựa trên phần mềm và để qui về các
-

thang đo sự phát triển tƣ duy thuật toán.
Các kết quả của các đợt thực nghiệm.
Phân tích, đánh giá và đƣa ra các đề xuất.


7

CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VỀ VIỆC
DẠY HỌC THUẬT TOÁN
1.1. SỰ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM THUẬT TOÁN
1.1.1. Nguồn gốc của từ thuật toán
Theo Steven C. Althoen & Robert J. Bumcrot (1988), từ "thuật toán" (algorithm)
có nguồn gốc từ tên gọi Mohamed ibn Musa al-Khowarizmi, nhà Toán học cổ đại
ngƣời Trung Á, ngƣời đã phát minh ra tập các qui tắc để thực hiện các phép toán
cộng, trừ, nhân, và chia các số thập phân. Vào năm 1857, quyển sách đại số của ông
bắt đầu đƣợc dịch sang chữ Latin. Trong bản dịch tiếng Anh, từ al-Khowarizmi
(hoặc al-Khwarizm, nguyên bản Latin là “al-Khwârizmî”) đƣợc phát âm là
"algoritmi" và sau này đƣợc nhiều ngƣời gọi là algorithm.
Một điều thú vị là Steven và Robert giải thích tên gọi “Mohamed ibn Musa alKhowarizmi” nghĩa là Mohamed, con trai của Musa, đến từ huyện Khowarizmi nƣớc Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô-Viết (Liên-Xô cũ) của ngƣời Kazakh,
Turkmen, và Uzbek. Tuy nhiên Donald E. Knuth (1980) cho rằng phần tên gọi alKhwârizmî lại không chứng minh đƣợc ông sinh ra ở Khwarizm. Vì công việc
nghiên cứu của ông diễn ra ở Baghdad, ở nơi mà một số nhà khoa học vẫn gọi là

“Ngôi nhà thông thái” (“House of Wisdom”) của Caliph al-Ma’mun - nhà tài trợ nổi
tiếng cho các nhà nghiên cứu khoa học, đã từng mời nhiều ngƣời đến khóa học của
ông để tuyển chọn và mở rộng những tài năng trên thế giới. Nhà sử học al-Tabari đã
thêm từ "al-Qutrubbulli" vào tên của al-Khwârizmî, là có ý đề cập đến huyện
Qutrubbulli gần Baghdad. Do đó, Knuth nghĩ rằng al-Khwârizmî đƣợc sinh ra ở
Khwarizm và sống phần lớn cuộc đời ở Qutrubbull sau đƣợc triệu tập tới Baghdad
của Caliph, nhƣng sự thật có thể sẽ không bao giờ đƣợc biết đến.

1.1.2. Sự hình thành khái niệm thuật toán trong Toán học
Theo Dimitris Samaras (2009), thuật toán có vai trò quan trọng trong Toán học.
Các tài liệu Toán học cổ điển đã bao gồm các mô tả về các thuật toán giải quyết các
nhiệm vụ khác nhau nhƣ: tìm số nguyên tố, tìm ước số chung lớn nhất của hai số
nguyên. Khái niệm thuật toán không đƣợc định nghĩa chính xác cho đến tận thế kỉ
20. Trƣớc thế kỉ 20, các nhà Toán học chỉ có một khái niệm trực giác (intuitive
notation) về cái gọi là thuật toán. Khái niệm trực giác về thuật toán không đủ để có
một cái nhìn sâu hơn về việc hiểu thuật toán. Năm 1900, tại hội nghị Toán học quốc
tế ở Paris, nhà Toán học David Hilbert đã đƣa ra 23 bài toán nổi tiếng, mà theo ông


8
đây là những hƣớng nghiên cứu Toán học lý thú cho các nhà Toán học thế giới ở
thế kỷ 20. Trong đó, yêu cầu của bài toán thứ 10 là “hãy tìm một qui trình bao gồm
một số hữu hạn bƣớc thực hiện mà nó cho phép xác định một phƣơng trình
Diophante có nghiệm nguyên hay không”1. Tại thời điểm này, Hilbert đã không sử
dụng thuật ngữ “thuật toán” mà sử dụng cụm từ “qui trình với một số hữu hạn các
bƣớc thực hiện” (cụm từ này thể hiện khái niệm trực giác về thuật toán). Trong phát
biểu của mình, Hilbert đã giả định rằng “thuật toán” để kiểm tra là đã tồn tại, ta chỉ
cần tìm ra nó. Nhƣng đến nay chúng ta đã biết không tồn tại một thuật toán mà nó
có thể trả lời được câu hỏi “một đa thức cho trƣớc có nghiệm nguyên hay không”.
Khái niệm trực giác về thuật toán đã không có tác dụng trong việc chỉ ra không tồn

tại thuật toán để giải bài toán thứ 10 của Hilbert. Việc cung cấp khái niệm “không
tồn tại một thuật toán để giải một bài toán đã cho” đòi hỏi phải có định nghĩa chính
thức về thuật toán.
Năm 1936, Alonzo Church và Alan Turing đã đề xuất định nghĩa hình thức cho
khái niệm thuật toán (formal definitions for the concept of algorithm) (xem
Goldberg, 2012). Church đã sử dụng một hệ thống khái niệm gọi là phép toán  (calculus) để định nghĩa khái niệm thuật toán, còn Turing dùng máy Turing để định
nghĩa khái niệm thuật toán2. Cả hai định nghĩa này đều tƣơng đƣơng và khá phức
tạp, vì nó đƣợc phát biểu dài dòng và sử dụng các thuật ngữ và kí hiệu Toán học. Lý
thuyết của Church và Turing đƣợc tổng kết lại trong luận đề Church-Turing. Luận
đề này khẳng định mọi hàm Toán học tính được thì cũng có thể dùng các máy
Turing để tính, và do đó cho phép định nghĩa các khái niệm nhƣ sự tính đƣợc của
hàm hay thuật toán. Các định nghĩa hình thức khác về thuật toán đã đƣợc nhiều tác
giả đề xuất nhƣ Kleene sử dụng các hàm truy hồi (recursive functions), Markov sử
dụng các qui tắc đạo hàm và gọi chúng là thuật toán chuẩn (normal algorithm). Về
mặt bản chất, các định nghĩa này đều tƣơng đƣơng với nhau và tƣơng đƣơng với
máy Turing.

1

Nguyên bản tiếng Anh bài toán thứ 10 của Hilbert: “Given a Diophantine equation with any number of
unknown quantities and with rational integral numerical coefficients: To devise a process according to which
it can be determined in a finite number of operations whether the equation is solvable in rational integers.”
(Xem Barry Mazur (2010), “Hilbert’s Tenth Problem and Elliptuc Curves”, in Expository Articles - Notes for
Basic Notations talk, Department of Mathematics, University of Harvard).
2

Máy Turing là một mô hình về thiết bị xử lý các ký tự, tuy đơn giản, nhƣng có thể thực hiện đƣợc tất cả
các thuật toán máy tính. Máy Turing đƣợc xây dựng không dành cho việc trực tiếp chế tạo ra máy tính, mà là
dành cho các thí nghiệm tƣởng tƣợng để tìm hiểu về các giới hạn của việc tính toán trên máy móc. Các máy
Turing đã đƣợc Alan Turing trình bày vào năm 1936.

9
Yiannis N. Moschovakis (2001) đã cho rằng: Khi các thuật toán đƣợc định nghĩa
một cách chính xác (rigorously) thì chúng đƣợc nhận ra bởi một máy trừu tượng, là
mô hình Toán học của máy tính, đôi khi đƣợc lí tƣởng hóa bằng cách thêm vào một
“bộ nhớ không giới hạn”. Yiannis đã trình bày định nghĩa thuật toán theo cách đệ
qui (recursive definitions) để giao cho mô hình máy thực hiện sự cài đặt
(implementations), mô hình này cũng đƣợc xem là một kiểu của thuật toán1. Tuy
nhiên, định nghĩa thuật toán của Yiamis, cũng nhƣ của nhiều nhà Toán học thuần
túy, vẫn là một định nghĩa hết sức Toán học, khó hiểu và có một khoảng cách xa so
với một định nghĩa thuật toán mà sự mô tả nó tiệm cận với sự cài đặt trên các máy
tính để thực hiện.
Andreas R. Blass & Yuri Gurevichz (2003) đã mô tả về quá trình “truy tìm” để
hiểu và định nghĩa khái niệm thuật toán, bắt đầu với luận đề Church – Turing, rồi
giới thiệu một số các cách tiếp cận tƣơng phản với Church và Turing và cuối cùng
là một số khám phá mới nhƣ hình thức hóa các khái niệm thuật toán tuần tự
(sequential algorithms), thuật toán song song (parallel algorithms) và thuật toán
phân tán (distributed algorithms). Andreas và Yuri cho biết có những bằng chứng
thực nghiệm không ủng hộ luận đề Church-Turing và các tác giả cho rằng luận đề
Church-Turing là một bƣớc tiến lớn tới sự hiểu biết thuật toán, nhƣng nó chƣa trực
tiếp giải quyết vấn đề “thuật toán là gì”2.
Theo Andreas R. Blass & Yuri Gurevichz (2007), công việc đi tìm bản chất của
định nghĩa thuật toán lại đƣợc nỗ lực quan tâm vào năm 1953 bởi Andrei N.
Kolmogorov mà quan điểm thuật toán của ông đƣợc trình bày lại nhƣ sau:
-

Một qui trình của thuật toán đƣợc chia ra thành các bƣớc và độ phức tạp của
nó đƣợc giới hạn trƣớc. Giới hạn này độc lập với Input và trạng thái hiện tại
của việc tính toán.

-

1

Mỗi bƣớc của thuật toán thực hiện ngay một sự biến đổi trực tiếp trạng thái
hiện tại.

Nguyên bản: Algorithms are recursive definitions while machines model implementations, a special

kind of algorithms.
2
Theo Andreas Blass, Yuri Gurevichz (2003), ngƣời ta thƣờng giả định rằng luận đề Church-Turing trả
lời đƣợc câu hỏi “thuật toán là gì?”, nhƣng không hoàn toàn nhƣ vậy. Nếu nhìn lại năm 1936, Alonzo Church
đã đƣa ra một sự phỏng đoán táo bạo “các hàm truy hồi là các hàm tính đƣợc”. Vài tháng sau, trong một
nghiên cứu độc lập, Alan Turing cũng chứng minh một khẳng định tƣơng tự “mọi số thực tính đƣợc là có thể
tính đƣợc bằng một máy Turing”. Nhƣ vậy luận đề Church-Turing quan tâm đến khái niệm hàm tính đƣợc
nhiều hơn là khái niệm thuật toán.


10
-

Biến đổi này áp dụng chỉ một phần của trạng thái và không biến đổi phần còn
lại của trạng thái.

-

Qui trình của thuật toán thực hiện cho đến khi hoặc bƣớc tiếp theo không thể

xảy ra hoặc có dấu hiệu đã đạt đƣợc lời giải.
Với quan điểm trên, Kolmogorov đã đề xuất một mô hình tính toán mới và cùng
với Vladimir A. Uspensky, mô hình này đƣợc phát triển thành một mô hình tổng
quát hơn cho máy Turing và khắc phục những hạn chế của máy Turing nguyên gốc.
Kết luận 1
-

Thuật toán là một khái niệm có nguồn gốc từ Toán học và đƣợc hình thành từ
định nghĩa trực giác đến định nghĩa hình thức một cách chính xác.

-

Máy Turing đƣợc xem là một định nghĩa hình thức cho khái niệm thuật toán,
có thể đƣợc trình bày dƣới dạng trực quan hoặc Toán học hình thức, nhƣng
khá dài dòng và phức tạp.

-

Hầu hết các định nghĩa hình thức và chính xác hiện nay về khái niệm thuật
toán đều tƣơng đƣơng với nhau và cùng xuất phát từ luận đề Church – Turing
hoặc mô hình máy Kolmogorov.

1.1.3. Khái niệm thuật toán trong Khoa học máy tính
Robert Sedgewick (1946) đã gián tiếp đề cập đến khái niệm thuật toán ở góc độ
lập trình nhƣ sau: "Khi viết một chƣơng trình máy tính, ta thƣờng cài đặt một
phƣơng pháp đã đƣợc nghĩ ra trƣớc đó để giải quyết một vấn đề. Phƣơng pháp này
thƣờng độc lập với một máy tính cụ thể sẽ đƣợc dùng, nó hầu nhƣ thích hợp nhƣ
nhau cho nhiều máy tính". Từ "thuật toán" được dùng trong Khoa học máy tính để
mô tả một phương pháp giải bài toán thích hợp cho việc cài đặt như là các chương
trình máy tính1. Thuật toán là "chất liệu" ("stuff") của Khoa học máy tính: chúng là

đối tượng nghiên cứu trung tâm trong nhiều, nếu không nói là hầu hết, các lĩnh vực
của Tin học". Quan điểm về thuật toán của Robert không đi ngƣợc lại các định
nghĩa hình thức đúng đắn về thuật toán nhƣ đã đề cập trên đây, và cũng giống nhƣ
các nhà Khoa học máy tính khác, Robert lƣợc bỏ các thuật ngữ phức tạp của Toán
học, để lột tả một cách dễ hiểu rằng một thuật toán một khi nó đƣợc mô tả bởi một
ngƣời làm về Khoa học máy tính thì nó phải đủ gần gũi tựa nhƣ giả mã (pseudo
code), cũng nhƣ đủ độ dễ chuyển đổi sang một mã nguồn (source code) nào đó
không phụ thuộc vào phần cứng máy tính.
1

Nguyên bản: The term algorithm is universally used in computer science to describe problem-solving
methods suitable for implementation as computer programs.


11
Cùng quan điểm với Robert, Donald E. Knuth (1975) định nghĩa: ―Một thuật
toán là một dãy xác định các qui tắc mà nó cho biết sẽ thực hiện như thế nào để tạo
ra thông tin output từ thông tin input đã cho trong một số hữu hạn các bước.1‖ Đặc
biệt, Knuth đã cho rằng ―Một thể hiện riêng của thuật toán được gọi là một chương
trình, cũng giống như chúng ta dùng từ ―dữ liệu‖ để chỉ một thể hiện riêng của
―thông tin‖. Donald E. Knuth (1980) đã mất một thời gian dài để trả lời câu hỏi:
―Vai trò thực sự của khái niệm thuật toán trong khoa học Toán học là gì?‖, ―Khoa
học máy tính và mối quan hệ của nó với Toán học là gì?‖. Trong nhiều năm, Knuth
đã thuyết phục các đồng nghiệp rằng Khoa học máy tính là nguyên nhân chính dẫn
đến nhu cầu cần phải nghiên cứu thuật toán, và đã có những ngƣời không đồng ý
với quan điểm của ông. Nguyên nhân của sự bất đồng quan điểm này đơn giản là có
rất nhiều định nghĩa thuật toán. Knuth cho rằng, thuật toán bao gồm tất cả các khái
niệm về những qui trình được xác định rõ ràng, chứa đựng cấu trúc dữ liệu được
thao tác, cũng như chứa đựng các cấu trúc tuần tự các phép toán được thực hiện.
Trở lại với al-Khwârizmî, nhà khoa học nổi tiếng thế kỉ 19 mà tên gọi của ông là

nguồn gốc của từ “thuật toán”. Donald E. Knuth (1980) bình luận rằng: Nếu gọi các
thuật toán là các qui tắc đại số mà al-Khwârizmî phát minh, để thực hiện các phép
toán cộng, trừ, nhân và chia, thì các thuật toán này đã bỏ qua rất nhiều giải thích chi
tiết một cách Toán học, kể cả khi chúng đƣợc viết bởi chính al-Khwârizmî!
Những nhà Toán học và Khoa học máy tính, đặc biệt là các nhà Khoa học máy
tính thuần túy, thƣờng đƣa ra các khái niệm chính thức về thuật toán theo cách trực
quan và hƣớng đến đối tƣợng “hiểu đƣợc”, đồng thời có khả năng “thực hiện đƣợc”
thuật toán. Steven C. Althoen & Robert J. Bumcrot (1988) đã đƣa ra một định nghĩa
khá đơn giản: "Một thuật toán là một danh sách các bước chỉ dẫn để giải quyết một
bài toán cụ thể‖2. Ví dụ, công thức làm bánh bao từ bột yến mạch là một thuật toán
đơn sơ, là bản đồ chỉ đƣờng". Ngƣợc lại, Leonard Soicher & Franco Vivaldi (2004)
đã đƣa ra định nghĩa một cách thận trọng nhƣ sau: “Một cách không chính thức, một
thuật toán là một dãy xác định các chỉ dẫn rõ ràng để thực hiện một nhiệm vụ cụ
thể”3. Karlheinz Essl (2007), ngƣời sáng tạo phƣơng pháp “Soạn nhạc theo thuật
toán” (“Algorithmic Compositon”), đã định nghĩa thuật toán nhƣ sau: “Một thuật
toán có thể được định nghĩa như là một tập xác định trước các chỉ dẫn để giải quyết
1

Nguyên bản: An algorithm is a precisely-defined sequence of rules telling how to produce specified
output information from given input information in a finite number of steps.
2

3

Nguyên bản: An algorithm is a step-by-step list of instructions for solving a particular problem.
Nguyên bản: Informally, an algorithm is a finite sequence of unambiguous instructions to perform a

specific task.

12
một vấn đề cụ thể trong một số giới hạn các bước. Thuật toán có thể thay đổi từ một
dãy các phép toán số học đơn giản đến sự kết hợp các thủ tục phức tạp hơn, sử
dụng nhiều chỉ dẫn hơn từ Khoa học máy tính như dựa trên nguyên tắc ngữ pháp,
đệ quy và suy luận xác suất.”1 Piotr Fulmanski (2008) đã định nghĩa ―Trong Toán
học và trong Khoa học máy tính, thuật toán là một danh sách xác định, có thứ tự
các thao tác được định nghĩa rõ ràng, cần đến để thực hiện một nhiệm vụ nào đó‖2.
Chung-Yang Huang et al. (2009) đã đƣa ra định nghĩa thuật toán hƣớng trực tiếp
đến máy tính, là đối tƣợng thực hiện thuật toán, một cách rõ ràng rằng: ―Một thuật
toán là một danh sách có thứ tự các chỉ dẫn được chỉ ra chính xác để thực hiện một
công việc hay giải quyết một bài toán. Nó có thể được mô tả trong ngôn ngữ tự
nhiên, giả mã, sơ đồ, hoặc thậm chí trong ngôn ngữ lập trình‖3.
João Fernando Peixoto Ferreira (2010) đã giải thích câu nói nôm na “Toán học là
thuật toán” một cách tự nhiên nhƣ sau: “Khi ta nói rằng Toán học là thuật toán một
cách tự nhiên, không có nghĩa là thuật toán dùng để giải toán. Ở đây, chúng tôi
muốn nói rằng các nguyên tắc và kĩ thuật được phát triển để xây dựng và giải quyết
những vấn đề thuật toán có thể được sử dụng để giải quyết nhiều vấn đề Toán
học‖4, và ông đã định nghĩa ―Một thuật toán là một dãy xác định các chỉ dẫn mà nó
có thể được thực hiện một cách hệ thống trong lời giải bài toán đã cho‖5.
Kết luận 2
-

Các định nghĩa thuật toán đều hƣớng đến đối tƣợng thực hiện thuật toán, đối
tƣợng cuối cùng là máy tính.
Các thuật toán đƣợc nhấn mạnh đến tính giải đƣợc, tính đúng đắn, tính dừng,
và tính xác định.
Thuật toán có các hình thức biểu diễn nhƣ: ngôn ngữ tự nhiên, giả mã, sơ đồ,
và ngôn ngữ lập trình.

1

Nguyên bản: An algorithm can be defined as a predetermined set of instructions for solving a specific
problem in a limited number of steps. Algorithms can range from a mere succession of simple arithmetical
operations to more complex combinations of procedures, utilising more involved constructions from
computer science such as rule-based grammars, recursion and probabilistic inference.
2
Nguyên bản: In mathematic and computer science, algorithm mean finite, ordered sequence of clearly
defined actions, needed to perform some task.
3

Nguyên bản: An algorithm is a sequence of well-defined instructions for completing a task or solving a problem. It

can be described in a natural language, pseudocode, a flowchart, or even a programming language.
4
Nguyên bản: When we say that mathematics is algorithmic in nature, we do not mean that we have an algorithm to
do mathematics. Instead, we want to say that the principles and techniques that have been developed to formulate and
solve algorithmic problems can be used to solve many mathematical problems.
5

Nguyên bản: An algorithm is a finite sequence of instructions that can be systematically executed in the solution of
a given problem.


13
Một thuật toán không đƣợc xem là một lời bài toán bao gồm cả việc chứng

-

minh tính đúng đắn của lời giải. Nói cách khác, có thể xem thuật toán là một
lời giải tóm tắt cho một bài toán, lƣợc bỏ đi rất nhiều các giải thích chi tiết.

1.1.4. Khái niệm thuật toán đƣợc dạy ở trƣờng phổ thông
Luận án cho rằng khái niệm thuật toán đƣợc phát biểu trong Tin học lớp 10 SGK (2006) đảm bảo đƣợc sự chính xác tuyệt đối. Định nghĩa thuật toán đƣợc dựa
trên khái niệm bài toán trong Tin học, cụ thể nhƣ sau:
Khái niệm bài toán: "Trong phạm vi Tin học, "bài toán" là một việc nào đó ta
muốn máy tính thực hiện". Trong định nghĩa bài toán đƣợc nêu ở trên, cụm từ "một
việc nào đó" bao gồm các bài toán giải được theo thuật toán thuộc lĩnh vực Toán
học và bao gồm các bài toán của riêng Tin học.
Ví dụ xét những việc sau đây:
1

Hãy in lên màn hình một dòng văn bản thuộc “bài toán” của riêng
chuyển động.
Tin học

2

Hãy chứng minh tập các số nguyên tố là vô nói chung thuộc “bài toán”
tận.
của riêng Toán học.

3

Hãy giải bất phƣơng trình bậc nhất ax + b thuộc “bài toán” của Toán
≤ 0 với các số thực a, b cho trƣớc.
học và Tin học.

4

Hãy kiểm tra xem một dãy số có lập thành thuộc “bài toán” của Toán

cấp số cộng không.
học và Tin học.

5

Hãy tập lái xe ô tô trên hiện trƣờng.

không thuộc “bài toán” của
Toán học hoặc Tin học.

Định nghĩa thuật toán: "Thuật toán để giải một bài toán là một dãy hữu hạn các
thao tác được sắp xếp theo một trình tự nhất định sao cho khi thực hiện dãy thao
tác ấy, từ Input (là dữ liệu vào của bài toán), ta nhận được output (là dữ liệu ra của
bài toán) cần tìm".
Định nghĩa trên đây nhấn mạnh dãy “thao tác” phải đảm bảo hai tính chất: (1)
tính hữu hạn để đảm bảo thuật toán phải dừng lại sau một số bƣớc thực hiện, và (2)
tính có qui tắc để đảm bảo các chỉ dẫn (các thao tác) trong thuật toán đƣợc viết theo
một qui định nhất quán về cách mô tả, biểu diễn chúng.
Định nghĩa về thuật toán đƣợc nêu trên đây hàm ý nhấn mạnh việc chỉ ra một qui
trình rõ ràng và chính xác để tìm ra kết quả (output) từ dữ liệu vào (input) của bài
toán. Định nghĩa này còn ngụ ý thuật toán không bị đòi hỏi phải giải quyết các yêu
cầu định tính của các bài toán trong Toán học (ví dụ nhƣ chứng minh sự tồn tại hay