BÀI TẬP KHỐI NÓN- KHỐI TRỤ -KHỐI CẦU

BÀI TẬP KHỐI NÓN- KHỐI TRỤ -KHỐI CẦU
Bài 1: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vng có cạnh góc vng bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nó
c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. Tính diện tích của thiết diện này
Giải:
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S
∧
∧
nên A = B = 450

a
πa2
* Sxq = π Rl = π .OA.SA = π .
.a =
2
2
a
Tính: OA =
( ∆ ∨ SOA tại O)
2
πa2 πa2  1 1  2
+ ÷πa
* Stp = Sxq + Sđáy =
+
=
2
2
 2 2
1 2
1

1 a2 a
πa3
2
=
b) V = πR h = π.OA .SO = π. .
3
3
3 2 2 6 2
a
Tính: SO =
( ∆ ∨ SOA tại O)
2

S

a

A

45
M

B

O
C

c) * Thiết diện (SAC) qua đỉnh tạo với đáy 1 góc 600:
∧

Kẻ OM ⊥ AC ⇒ SM ⊥ AC ⇒ SMO = 600

1
1 a 6 2a 3 a2 2
* SSAC = SM.AC = .
.
=
2
2 3
3
3
a 6 ∆
* Tính: SM =
( ∨ SMO tại O ⇒ SM = SO.sin 600 ).
3
2a 3
* Tính: AC = 2AM =
3
a 3
* Tính: AM = OA 2 − OM 2 =
3
a 6 ∆
* Tính: OM =
( ∨ SMO tại O)
6
Bài 2: Cho hình nón trịn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng
chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó

Giải:
HD: a) * Sxq = π Rl = π .OA.SA = π .25.SA = 25 π 1025
(cm2)
Tính: SA = 1025 ( ∆ ∨ SOA tại O)

1


* Stp = Sxq + Sđáy = 25 π 1025 + 625 π

S

1 2
1
1
2
2
2
b) V = πR h = π.OA .SO = π.25 .20 (cm3)
3
3
3
c) * Gọi I là trung điểm của AB và kẻ OH ⊥ SI ⇒ OH =

12cm

1
1
.AB.SI = .40.25 = 500(cm2)
2

2
OS.OI 20.OI
* Tính: SI =
=
= 25(cm) ( ∆ ∨ SOI tại O)
OH
12
1
1
1
⇒ OI = 15(cm) ( ∆ ∨ SOI
* Tính:
=
2
2
OI
OH OS2
* SSAB =

l

h
H

O

A
I

tại O)

B

* Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm)
* Tính: AI = OA 2 − OI 2 = 20 (cm) ( ∆ ∨ AOI tại I)

Bài 3: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vng cân có cạnh
huyền bằng

a 2

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
a) Cho dây cung BC của đường trịn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt
phẳng chứa đáy hình nón một góc 600. Tính diện tích tam giác SBC
Giải:
∧
∧
a) * Thiết diện qua trục là ∆ SAB vuông cân tại S nên A = B =
450

a 2 .a = πa
* Sxq = π Rl = π .OA.SA = π .
2

2

2
S

2

AB a 2
=
;
Tính: SA = a ( ∆ ∨ SOA tại O)
2
2
2
πa2 2 πa
( 2 + 1)πa2
* Stp = Sxq + Sđáy =
+
=
2
2
2
2
1 2
1
1 a a 2 πa3 2
2
b) V = πR h = π.OA .SO = π. .
=
3
3
3 2 2
12
a 2 ( ∆ SOA tại O)c) * Kẻ OM BC ⇒ ∧
* Tính: SO =

⊥
∨
SMO
2
1
1 a 2 2a a 2 2
0
= 60 ;
* SSBC = SM.BC = .
=
.
2
2 3 3
3
a
a 2
* Tính SM =
( ∆ ∨ SOM tại O) * Tính: BM =
( ∆ ∨ SMB tại
3
3
Tính: OA =

A

O
a2

B
M

C

M)
Bài 4: Một hình trụ có đáy là đường trịn tâm O bán kính R. ABCD là hình vng nội tiếp
trong đường trịn tâm O. Dựng các đường sinh AA’ và BB’. Góc của mp(A’B’CD) với đáy hình
trụ là 600.

2


a) Tính thể tích và diện tích tồn phần của hình trụ.
b)Tính thể tích khối đa diện ABCDB’A’.
Giải:
a. Thể tích và diện tích tồn phần của hình trụ:
 AA' ⊥ (ABCD)
⇒ A ' D ⊥ CD ⇒ ·ADA ' = 600
Ta có 
 AD ⊥ CD

B’

∆AOD vng cân nên AD=OA 2 = R 2
Trong tam giác vng ADA’, ta có:
h = AA ' = AD tan 600 = R 6
Vậy V = π R 2 h = π R 3 6

A’

STP = 2π Rh + 2π R 2 = 2π R 2 ( 6 + 1)

b. Thể tích khối đa diện ABCDB’A’:
Ta có: CD ⊥ ( AA ' D) và các đoạn AB, CD,A’B’ song song
và bằng nhau nên khối đa diện ABCDB’A’ là lăng trụ
đứng có đáy là tam giác AA’D và chiều cao là CD.
1
3
Vậy VK = S AA'D .CD = AA'.AD.CD=R 6
2

B
O

C

A

Bài 5: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng ABCD cạnh 2 3cm với AB là đường
·
» sao cho ABM
kính của đường tròn đáy tâm O. Gọi M là điểm thuộc AB
= 600 .Tính thể tích
của khối tứ diện ACDM.
Giải:
Ta có:
BM ^ AD, BM ^ AM Þ BM ^ (ADM)
BC P AD Þ BC P (ADM)
Þ d[C, (ADM)] = d[B, (ADM)] = BM
Þ V=

1

1
.BM.SD ADM = .BM.AM.AD
3
6

D OBM

đều Þ BM = 3 Þ AM = AB2 - BM 2 = 3

(1) Þ V =

1
. 3.3.2 3 = 3 ( cm 3 )
6

(1).

.

Bài 6: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường trịn đáy sao cho góc giữa đường
thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và
trục của hình trụ
A

r

O

Giải:
HD: a) * Sxq = 2 π Rl = 2 π .OA.AA = 2 π .r. r 3 = 2 3 π r2
’

* Stp = Sxq + 2Sđáy = 2 π r2 3 + 2 π r2 = 2 ( 3 + 1) π r2
b) * V = πR h = π.OA .OO′ = π.r .r 3 = πr
2

2

c) * OO’//AA’ ⇒ BA A′ = 300
∧

2

3

r3

3
A'
O'
H
B

3


* Kẻ O’H ⊥ A’B ⇒ O’H là khoảng cách giữa đường thẳng AB

và trục OO’ của hình trụ
* Tính: O’H =

r 3
(vì ∆ BA’O’ đều cạnh r)
2

* C/m: ∆ BA’O’ đều cạnh r
* Tính: A’B = A’O’ = BO’ = r
* Tính: A’B = r ( ∆ ∨ AA’B tại A’)
’

Cách khác: * Tính O H =

O′A′ − A′H =

∆ ∨ A’O’H tại H)
A′B r
* Tính: A’H =
=
2
2
’
∆
* Tính: A B = r ( ∨ AA’B tại A’

2

2

r2 r 3 (
r − =
4
2
2

Bài 7: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích
của thiết diện được tạo nên
Giải:

HD: a) * Sxq = 2 π Rl = 2 π .OA.AA’ = 2 π .5.7 = 70 π (cm2)
* OA = 5cm; AA’ = 7cm
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 70 π + 50 π = 120 π (cm2)
b) * V = πR 2 h = π.OA 2 .OO′ = π .52.7 = 175 π (cm3)
c) * Gọi I là trung điểm của AB ⇒ OI = 3cm
* SABB′A′ = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật)
* AA’ = 7
* Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8
* Tính: AI = 4(cm) ( ∆ ∨ OAI tại I)

B

O
r

I

A
l

h

O'

B'
A'

Bài 8: Bên trong hỡnh tr cú một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà A, B thuộc đờng tròn
đáy thứ nhất và C, D thuộc đờng tròn đáy thứ hai của hình trụ mặt phẳng hình vuông tạo với
đáy hình tr mt góc 450. Tính thể tích khối trụ.
Giải:

Gäi I, J lµ trung điểm của AB và CD
Ta cú : OI AB; IJ cắt OO’ tại trung điểm M của
OO’ . MIO = 45o là góc của mặt (ABCD) với đáy,
Do ú :
a
a2
a2
3a 2
O’ I =
;R=
+
=
8
4
8

2 2
h = 2OM =

a
2

D

O'
C'

M'

A
J

O

B

4


Vậy : V = π R2h = π 38a

3

.

a

2

=

3.π . a 3 2
16

KHỐI CẦU
Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SA = a. AC cắt BD tại O.
a/ Chứng minh rằng O là tâm của mặt cầu (S) đi qua 5 điểm S, A, B, C, D và tính bán kính R
của nó.
b/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Giải:

a)gGọi O = AC ∩ BD .
Khi đó : OA = OB = OC = OD =

a 2
2

(1)

2a2
g Vì SO ⊥ (ABCD) ⇒ ∆SOA vuông tại O ⇒ SO = SA − AO =
4
a 2
⇒ SO =
(2)
2
a 2

gTừ (1),(2) suy ra : OA = OB = OC = OD = OS =
2
⇒ năm điểm A,B,C,D,S cùng nằm trên mặt cầu tâm O ,
2

bán kính : R =
b/

V =

V =

1
S
3

2

2

a 2
2

ABCD

. SO =

1
a 2
. a . a .

3
2

1 3
a 2 (ñvtt
3

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA ⊥ (ABCD) và SA = a .
Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hính chóp theo a .
Giải:
HD: a) * Gọi O là trung điểm SC
* Chứng minh: Các ∆ SAC, ∆ SCD, ∆ SBC lần lượt
vuông tại A, D, B

SC
SC
⇔ S(O;
)
2
2
a 3
SA 2 + AC 2 =
2
3


4
a
3
πa3 3

= 3πa2 ; * V = π 
=
÷
3  2 
2

* OA = OB = OC = OD = OS =

SC 1
=
2
2
2
a 3
* S = 4π 
÷
 2 

b) * R =

Bài 3: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và đường chéo tạo
với đáy một góc 45o . Tính thể tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ .

5


Giải:
·
g CAC'
= 45o ,AC' = 2a

gtâm O là trung điểm của AC'
AC'
4
gBán kính : R =
= a 
→ V = πa3
2
3

Bài 4 : Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vng góc với mp(ABC), ∆ ABC vng tại B và AB =
3a, BC = 4a.
a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
Giải:
a) * Gọi O là trung điểm của CD.
* Chứng minh: OA = OB = OC = OD;
* Chứng minh: ∆ DAC vuông tại A ⇒ OA = OC = OD =

1
CD
2

D

(T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng
nửa cạnh ấy)

O

1

* Chứng minh: ∆ DBC vuông tại B ⇒ OB = CD
2
1
CD
* OA = OB = OC = OD = CD ⇔ A, B, C, D ∈ mặt cầu S(O;
2
2

C

A

)

1
CD
b) * Bán kính R =
=
2
2
=

B

1
AD 2 + AC2 =
AD 2 + AB2 + BC2
2

1

5a 2
25a2 + 9a2 + 16a2 =
2
2

2

3

 5a 2 
4
4  5a 2  125 2πa3
2
3
π
* S = 4π 
÷
÷ = 50πa ; * V = 3 R = 3 π  2 ÷
÷ =
3
 2 


Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba
cạnh SA, SB, SC đơi một vng góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên
bởi mặt cầu đó.
Giải:
HD: * Gọi I là trung điểm AB. Kẻ ∆ vng góc với mp(SAB)
tại I
* Dựng mp trung trực của SC cắt ∆ tại O ⇒ OC = OS (1)

* I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ SAB (vì ∆ SAB vng tại S)
⇒ OA = OB = OS (2)
* Từ (1) và (2) ⇒ OA = OB = OC = OS.
Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA)
2

* R = OA =

2

 SC   AB  =
OI + AI = 
÷ +
÷
 2   2 
2

2

a2 + b 2 + c2
4

C

c
O
S

B

b
a

I
A

6


2

 a 2 + b 2 + c2
* S = 4π 

4



÷ = π(a2 + b2 + c2 )
÷


4  a 2 + b 2 + c2
* V = π
3 
4

 1
÷ = π(a2 + b2 + c2 ) a2 + b 2 + c2
÷ 6



3

Bài 6: Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vng góc với nhau từng đôi một với SA = 1cm,
SB = SC = 2cm .Xác định tâm và tính bán kính của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích
của mặt cầu và thể tích của khối cầu đó .
Giải:
Gọi I là trung điểm của AB . Từ I kẻ đường thằng ∆
vng góc với mp(SAB) thì ∆ là trục của ∆SAB vuông .
Trong mp(SCI) , gọi J là trung điểm SC , dựng đường
trung trực của cạnh SC của ∆SCI cắt ∆ tại O là tâm của
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC .
Khi đó : Tứ giác SJOI là hình chữ nhật .
1
5
Ta tính được : SI = AB =
, OI = JS = 1 , bán kính R
2
2
3
= OS =
2
Diện tích : S = 4πR2 = 9π (cm 2 )
Thể tích : V =

4 3 9
πR = π (cm 3 )
3
2

Bài 7: Cho tø diƯn S.ABC cã SA vu«ng góc với mặt phẳng (ABC), SA = a; AB = AC= b,
Ã
BAC
= 60 . Xác định tâm và bán hình cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC.
Gii:
Gọi I là trọng tâm tam giác ABC thì I là tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác ABC; đờng thẳng (d) đi qua I , vuông
góc với mp(ABC).
mp trung trực của SA cắt (d) tại O, OA =OB = OC = OS nên
O là tâm mặt cầu.
2

2
a 2 b2
a 2b 3
r = OA = OI + AI =  ÷ + 
+
÷ =
4
3
 2   3.2 ÷

2

2

2

S

O
A

C
I
B

Bài 8: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cà các cạnh đều bằng a .Tính thể
tích
của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a .
Giải:

7


a 2 3 a3 3
=
4
4
 Gọi O , O’ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp
∆ABC , ∆A 'B'C ' thí tâm của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình
lăng trụ đều ABC.A’B’C’ là trung điểm I của OO’ .
Vlt = AA '.SABC = a.

a 3 2 a 2 a 21
) +( ) =
3
2
6

2
Diện tích : Smc = 4πR 2 = 4π( a 21 )2 = 7πa
6
3
AO2 + OI 2 =

Bỏn kớnh R = IA =

(

Bi 9: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều các cạnh đều bằng a, cạnh bên bằng b.
Tính thể tích mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ
Gii:
-Gọi O và O là tâm ABC và A B C thì OO là
trục của các đờng tròn ngoại tiếp ABC vàA B C
-Gọi I là trung điểm OO thì IA = IB =IC = IA’ = IB’
= IC’ hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
-Bán kính mặt cầu là R = IA
Tam
giác
vuông
AOI
có:
AO
=

AA1 = 23 a 2 3 = a 3 3
OI = 12 OO' = 12 AA' =

C

O
B

2
3

2

⇒AI2 = OA2+OI2 = a3

I
b
2

+ b4 =
2

7 a2
12

⇒ AI =

A'

a 7
2 3

a

C'

O'

V=
4
3

πR 3 = 43 π

AI2 =

4 a 2 + 3b 2
12

a3
8

. 73

=

7
3

a 3π .28
72

4 a 2 + 3b 2
2 3

⇒ AI =

A1

=

7
3

7 πa 3
18

7
3

=

21. a 3
54

A1'

B'

=R

V=
4
3

πR = π

3

4
3

1
8.3 3

3
2 2

(4a + 3b ) =
2

1
18 3

3
2 2

.(4a + 3b )
2

Bài 10: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng
tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

6 và đường cao h = 1. Hãy tính diện

Giải:

8


Gọi hình chóp đã cho là S.ABC và O là tâm đường trịn ngoại
tiếp của đáy ABC .Khi đó SO là trục đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC . Suy ra : SO ⊥ (ABC)
Trong mp(SAO) dựng đường trung trực d của cạnh SA , cắt
SO tại I .
 I ∈ d ⇒ IA = IS
⇒ IA = IB = IC = IS

 I ∈ SO ⇒ IA = IB = IC
Suy mặt cầu ngoại tiếp S.ABC có tâm I và bán kính R = SI
Ta có OA =

2 AE 2 AB 3
= .
= 2.
3
3
2

SO2 + OA 2 = 1 + 2 = 3
Ta có : Tứ giác AJIO nội tiếp đường tròn nên :
SJ.SA SA 2
3 3
SJ.SA = SI.SO ⇒ SI =
=
=
= . Vậy bán kính

SO
2.SO 2.1 2
3
R = SI = .
2
Diện tích mặt cầu : S = 4πR2 = 9π (đvdt)
Vì ∆ SAO vng tại O nên SA =

Bi 11: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 30o. Tính
thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Gii:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Ta có SO b (ABCD),
SO lµ trơc cđa ABCD, (SA, (ABCD)) = SAO = 30o
Gäi M là trung điểm SA
Trung trực của SA cắt SO tại I I là tâm mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp
OIMA là từ giác nội tiếp SI.SO = SM.SA

S

M

I

D

SI = SMSO. SA

O

Víi AO = a 2 ,

A

2

AS =

AO
cos 30o

=

2 a 2
3 2

4
3

πa 3

=

a 2
3

a
⇒SI =
6

SO = SA sin30o =
⇒ VMcÇu =

C

2
3

2
3

=

8
9

a

B

,
a
a 23
6
a
6

2
3

=a

2
3

a3

Bài 12 : Cho hình nón có bán kính đáy R và đường sinh tạo với mặt đáy một góc 600.
1/ Tính diện tích hình xung quanh và thể tích của hình nón.
2/ Tính bán kính của mặt cầu nội tiếp trong hình nón, suy ra thể tích khối cầu đó.
3/ Một hình trụ được gọi là nội tiếp hình nón nếu một đường trịn đáy nằm trên mặt xung
quanh của hình nón, đáy cịn lại nằm trên mặt đáy của hình nón. Biết bán kính của hình trụ
bằng một nửa bán kính đáy của hình nón. Tính thể tích khối trụ.

9


Giải:
* Câu 1:
∆SAB đều ⇒ SA = 2 R, SO = R 3
1
1
ΠR 3 3
S xq = .2 ∏ R.SA = 2ΠR 2 ; V = ΠR 2 .SO =
2
3
3
.* Câu 2
Tâm O’ của mặt cầu thuộc SO
Bán kính mặt cầu r = O’O.

1
R 3
4
4 3ΠR 3
3
;
V=
r = SO =
Πr =
3
3
3
27
* Câu 3
R
2
1
R 3
ΠR 3 3
; .V= Π.ON 2 .IO =
⇒ NN ' = IO = SO =
2
2
8

N trung điểm OB.; ON bán kính hình trụ: ON=

10