Tổng hợp tài liệu toán lớp 10 phần (56)

Khoá học Toán 10 – Thầy Lưu Huy Thưởng

Chuyên đề 01. Mệnh đề - Tập hợp

BÀI 3. ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC (PHẦN 1)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LƯU HUY THƯỞNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 3. Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học
(Phần 1) thuộc khóa học Toán 10 – Thầy Lưu Huy Thưởng tại website Hocmai.vn giúp các bạn kiểm tra, củng
cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 3. Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học
(Phần 1). Để sử dụng hiệu quả, bạn cần học trước bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dung chung cho Phần 1+Phần 2)

Bài 1. Phát biểu và chứng minh định lí sau (chứng minh bằng phản chứng):

n  N, n2 chia hết cho 6  n chia hết cho 6.
Giải
Giả sử tồn tại n  N , để n 2 chia hết cho 6 nhưng n không chia hết cho 6.

n

n

Khi đó, ta viết: n

n

n


 6m  1

 6m  2
 6m  3 m  N
 6m  4
 6m  5

Với, n  6m  1  n2  (6m  1)2  36m2  12m  1 6
Với, n  6m  2  n2  (6m  2)2  36m2  24m  4  6
Với, n  6m  3  n2  (6m  3)2  36m2  36m  9  6
Với, n  6m  4  n2  (6m  4)2  36m2  48m  16  6
Với, n  6m  5  n 2  (6m  5) 2  36 m 2  60 m 25 6
Suy ra điều phải chứng minh.
Bài 2. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ” để phát biểu các định lí sau:
a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng với nhau.
b) Nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì là hình thang cân.
c) Nếu tam giác ABC cân tại A thì đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A cũng là đường cao.
Giải
a)

Điều kiện đủ để hai tam giác đồng dạng là chúng bằng nhau.

b)

Đề một hình thang là hình thang cân, điều kiện đủ là hai đường chéo của nó bằng nhau.

c)

Điều kiện đủ để đường trung tuyến xuất phát từ A của tam giác ABC vuông góc với BC là tam giác

giác đo cân tại A.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khoá học Toán 10 – Thầy Lưu Huy Thưởng

Chuyên đề 01. Mệnh đề - Tập hợp

Bài 3. Hãy phát biểu và chứng minh định lí đảo của định lí sau (nếu có) rồi sử dụng thuật ngữ điều kiện
cần và đủ để phát biểu gộp cả hai định lí thuận và đảo: Nếu hai số dương bằng nhau thì trung bình
cộng và trung bình nhân của chúng bằng nhau.
Giải
Định lí đảo: “Nếu hai số dương có trung bình cộng và trung bình nhân bằng nhau thì chúng bằng nhau.”
Chứng minh:
Giả sử, a,b là hai số dương sao cho:
a  b  2 ab  0 



a b



2

a b
 ab . Khi đó:

2

 0 a b

Vậy điều kiện cần và đủ để hai số dương bằng nhau là trung bình cộng và trung bình nhân của chúng
bằng nhau.
Bài 4. Chứng minh các định lí sau bằng phương pháp phản chứng:
a) Trong một tứ giác lồi phải có ít nhất một góc không nhọn (lớn hơn hay bằng góc vuông) và có ít nhất
một góc không tù (nhỏ hơn hay bằng góc vuông)
b) Nếu x, y là hai số thực với x  1; y  1 thì x  y  xy  1
Giải
a)

Giả sử cả 4 góc đều nhọn. Khi đó, tổng 4 góc trong tứ giác sẽ nhỏ hơn 3600 (mâu thuẫn).

Tương tự, giả sử cả 4 góc đều tù. Khi đó, tổng 4 góc của tứ giác lơn hơn 3600 (mâu thuẫn)
b)

Giả sử: x  y  xy  1  x  y  xy  1  0  (x  1)(y  1)  0

Vậy, phải có hoặc x  1 hoặc y  1 (mâu thuẫn giả thiết)

Bài 5. Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần để phát biểu các định lí sau:
a) Nếu 1 số nguyên dương lẻ được biểu diễn thành tổng của hai số chính phương thì số đó phải có dạng:

4k  1(k  N )
b) Nếu m, n là hai số nguyên dương sao cho m 2  n 2 là một số chính phương thì m.n chia hết cho 12.
Giải
a)

Để có 1 số nguyên dương lẻ biểu diễn thành tổng của hai số chính phương điều kiện cần là số đó có

dạng 4k  1 (k  N )
b)

Cho m, n là hai số nguyên dương. Điều kiện cần để m 2  n 2 là số chính phương là tích mn chia hết

cho 12.
Giáo viên : Lưu Huy Thưởng
Nguồn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn
- Trang | 2 -