Tổng hợp tài liệu toán lớp 10 phần (63)

Khoá h c Toán 10 – Th y L u Huy Th

ng

Chuyên đ 02. Tích vô h

BÀI 3. TÍCH VÔ H
NG C A HAI VÉC –T
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: L U HUY TH
NG

ng c a 2 Véc –T và ng d ng

(PH N 1)

Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Bài 3. Tích vô h ng c a hai véc –t (ph n 1) thu c
khóa h c Toán 10 – Th y L u Huy Th ng t i website Hocmai.vn giúp các b n ki m tra, c ng c l i các ki n th c
đ c giáo viên truy n đ t trong bài gi ng Bài 3. Tích vô h ng c a hai véc –t (ph n 1).
s d ng hi u qu , b n
c n h c tr c bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.
(Tài li u dùng chung cho P1+P2)

Baøi 1. Cho tam giác ABC vuông t i A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô h

 
a) AB .AC

 
b) AC .CB

 
c) AB.BC

ng:

Gi i
AC  BC  AB  4a  a  a 3
 
a) AB.AC  a.a 3.cos 900   0
2

2

2

2

3
a 3

 ACB=300
2a
2
 
 
AC .CB  a 3.2a.c os  AC .CB  2a 2 3.c os   ACB   2a 2 3.c os 1500   3a 2

b) ta có C os ACB=

 



1
a
  ACB=600
2a 2
 
 
AB.BC  a.2a.c os  AB.BC  2a 2 .c os   ABC   2a 2 .c os 1200   a 2

c) ta có C os ABC=

 



Baøi 2. Cho b n đi m A, B, C, D b t kì.

     
a) Ch ng minh: DABC
.
 DBCA
.  DC .AB  0 .
b) T đó suy ra m t cách ch ng minh đ nh lí: "Ba đ ng cao trong tam giác đ ng qui".
Gi i
     
a) DABC
.
 DBCA

.  DC .AB  0 .
     
VT  DA.BC  DB.CA  DC .AB
 
   
       
DA.BC  DO  OA . BO  OC   DO.BO  DO.OC  OA.BO  OAOC
.
 
   
       
DB.CA  DO  OB . CO  OA  DO.CO  DO.OA  OB.CO  OB.OA
 
   
       
DC .AB  DO  OC . AO  OB  DO.AO  DO.OB  OC .AO  OC .OB
             
 VT  DO.BO  DO.OC  OA.BO  OAOC
.
 DO.CO  DO.OA  OB.CO
         
OB.OA  DO.AO  DO.OB  OC .AO  OC .OB
               
 OC .AO
.
 DO.BO  DO.OB  DO.OC  DO.CO  OA.BO  OB.OA  OAOC
       
DO.OA  DO.AO  OB.CO  OC .OB












 0  VP  DPCM
b) Gi s 2 đ

ng cao trong tam giác ABC (t đ nh B và đ nh C) c t nhau t i D. T c n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khoá h c Toán 10 – Th y L u Huy Th

ng

Chuyên đ 02. Tích vô h

ng c a 2 Véc –T và ng d ng

Ch ng minh AD vuông góc v i BC th t v y: Theo trên ta có
     
DABC
.
 DBCA
.  DC .AB  0
   
.
 DC .AB  0
Mà DBCA
 
 DABC
.
 0  DA  BC
V y 3 đ ng cao giao nhau t i D
Baøi 3. Cho tam giác ABC v i ba trung tuy n AD, BE, CF. Ch ng minh:

     
BC .AD CABE
.
 ABCF
.
 0.
Gi i
     
VT  BC .AD  CA.BE  AB.CF
 
 

 
 BA  BC
 CA  CB
 AB  AC
 BC .
 CA.
 AB.
2
2
2








   



1
 BC .AB  BC AC  CA.BA  CABC  AB.CA  ABCB
2
1            
 BC .AB  AB.CB  BC .AC  CA.BC  CA.BA  AB.CA
2
0
Baøi 4. Cho hai đi m M, N n m trên đ ng tròn đ ng kính AB = 2R. G i I là giao đi m c a hai đ

th ng AM và BN.
       
a) Ch ng minh: AM .AI  AB.AI , BN .BI  BA.BI .
   
b) Tính AM.AI  BN .BI theo R.
Gi i
       
a )AM .AI  AB.AI , BN .BI  BABI
.









ng

Có AM BM và AN BN nên
  
BMAI = AN BI =0
 
        
AM .AI  AB  BM AI  AB.AI  BM AI  AB.AI
        
 
BN .BI  BA  AN BI  BA.BI  AN BI  BA.BI








b) Tính
          
AM .AI  BN .BI  AB.AI  BA.BI  AB AI  BI
 2
 AB  4R2





 

Baøi 5. Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8.

 
a) Tính AB .AC , r i suy ra giá tr c a góc A.
 
.
b) Tính CACB
.

 
c) G i D là đi m trên CA sao cho CD = 3. Tính CD.CB .

Gi i
 
a) AB.AC | AB || AC | .C os BAC

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khoá h c Toán 10 – Th y L u Huy Th

ng

Chuyên đ 02. Tích vô h

ng c a 2 Véc –T và ng d ng

AB 2  AC 2  BC 2
25  64  49 1


2.AB.AC
2.5.8
2
 
1

AB.AC  5.8.  20 A  BAC=600
2
 
.
b) CACB
.
C os BAC 

AC 2  BC 2  AB 2
64  49  25 11


2.AC .BC
2.7.8
14
 
11
.
. .c os ACB  8.7.
CACB
 CACB
 44
14
 
11 33
c) CDCB
.
.
 CDCB
. .cos ACB  3.7. 

14
2
c os ACB 

Baøi 6. Cho hình vuông ABCD c nh a. Tính giá tr các bi u th c sau:

   
   
b) (AB  AD)(BD  BC ) c) (AC  AB)(2AD  AB)
     
e) (AB  AC  AD)(DA  DB  DC )

 
a) AB .AC
 
d) AB.BD

Gi i
 
a) AB.AC  AB.AC .C os BAC  a.a 2.C os 450   a 2
   
   
 2
 a 2
b) (AB  AD )(BD  BC )  AC .BD  AC .BC  0  AC .BC .C os 1350   a 2.a.
2
   
    
 
2

2
c) (AC  AB )(2AD  AB )  (AD  AB  AB )(2AD  AB )  2AD  ADAB  2a
 
d) AB.BD  AB.BD.cos 1350   a 2
     
 
e) (AB  AC  AD )(DA  DB  DC )  2AC .2DB  0
Baøi 7. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.

 
a) Tính AB .AC , r i suy ra cosA.

 
b) G i G là tr ng tâm c a ABC. Tính AG .BC .
     
c) Tính giá tr bi u th c S = GAGB
.
GBGC
.
GC .GA .

 

d) G i AD là phân giác trong c a góc BAC (D  BC). Tính AD theo AB, AC , suy ra AD.

Gi i

 
a) AB .AC

AB 2  AC 2  BC 2
4  9  16 1


2.AB.AC
2.2.3
4
 
1
3
 AB.AC  AB.AC .C os BAC  2.3.

4
2
b) g i I là trung đi m c a BC
  2   2    2    
AG.BC  AI .BC  AB  BI BC  AB.BC  BI .BC
3
3
3
 
4  16  9 11
C os AB.BC  C os 1800  ABC   C os ABC   

2.2.4
8
C os BAC 













Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khoá h c Toán 10 – Th y L u Huy Th

ng

Chuyên đ 02. Tích vô h

ng c a 2 Véc –T và ng d ng

 
 
11

 AB.BC  AB.BC .C os AB.BC  2.4.
 11
8
  2
 
 AG.BC  11  8  2
BI .BC  2.4  8
3
c) G i I,J,K l n l t là trung đi m c a BC, AC và AB
     
.
S  GAGB
 GB.GC  GC .GA
1   
1   
1   
 GA GB  GC   GB GA  GC  GC GB  GA
2
2
2











1
1
1
 GA.2GI  GB.2GJ   GC .2GK 
2
2
2
     
1
 GAGI  GBGJ  GCGK   GA2  GB 2  GC 2   ...
2
d)
BD
CD
Vì AD là tia phân giác nên ta có:

AB
AC



 
BD
DC

 AC .BD  AB.DC  0
AB
AC
 
 


 AC . BA  AD  AB. DA  AC  0



 
 AC .BA  AC AD  ABAD  ABAC  0


 ABAC  AC AB
 AD 
AC  AB





 









 













Baøi 8. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 60 . M là trung đi m c a BC.
0

a) Tính BC, AM.
b) Tính IJ, trong đó I, J đ

   

2


0,

2
IA
IB
JB
JC
.

c xác đ nh b i:

Gi i
a) Tính BC, AM.

1
BC 2  AB 2  AC 2  2AB.AC .c os 600   4  9  2.2.3.  7
2
 BC  7
AM 
2

2 AC 2  AB 2   BC 2
4

 AM 

19
2

b) Tính IJ, trong đó I, J đ

2 9  4  7 19

4
4



   


c xác đ nh b i: 2IA  IB  0, JB  2JC

Ta có c os IBJ  c os ABC 

AB 2  BC 2  AC 2
4 79
1


2AB.BC
2.2. 7
2 7

2
2
2
1
2

IJ  IB  BJ  2.IB.BJ .c os IBJ   AB   2BC   2. AB.2BC .
3

3
2 7
2



2

2

16
2
1
224
 28  2. .2.2 7.

9
3
2 7
9

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

 IJ 

224
3

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khoá h c Toán 10 – Th y L u Huy Th

ng

Chuyên đ 02. Tích vô h

ng c a 2 Véc –T và ng d ng

Baøi 9. Cho t giác ABCD.

 
a) Ch ng minh AB2  BC 2  CD2  DA2  2AC .DB .
b) Suy ra đi u ki n c n và đ đ t giác có hai đ ng chéo vuông góc là:
AB 2  CD 2  BC 2  DA2 .
Gi i

a)

AB 2  BC 2  CD 2  DA2
 2  2  2  2
 AB  BC  CD  DA
   
   
 AB  BC AB  BC  CD  DA CD  DA
  
  
 AC AB  BC  AC CD  DA
    
 AC AB  BC  CD  DA
 
 
 AC DB  BC  CD 

 
 2AC DB








 












b.





2 đ ng chéo vuông góc v i nhau thì

 
AC DB  0
 AB 2  BC 2  CD 2  DA2  0
 AB 2  CD 2  BC 2  DA2

Baøi 10. Cho tam giác ABC có tr c tâm H, M là trung đi m c a BC. Ch ng minh:

  1
MH .MA  BC 2 .
4

Gi i
Ta c n ch ng minh
  1
MH .MA  BC 2  BM 2
4
 


 
  BA  CA
  BC  2CA
MH .MA  MB  BH .
 MB  BH .
2
2











1
 MB.2BM  BA  AH 2BM  2MB 2BM  BA 
2
     
 
 MBBM  BA  AH BM  MB 2BM  BA
     
 BM 2  BABM  MBBA  MB 2MB



































 BM 2  2BM 2  BM 2  dpcm 
Giáo viên : L u Huy Th
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn

- Trang | 5 -