Tổng hợp tài liệu toán lớp 10 phần (160)

Khoá học Toán 10 - Thầy Lưu Huy Thưởng

Chuyên đề 03. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

BÀI 7. ÔN TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LƯU HUY THƯỞNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 7. Ôn tập phương trình đường thẳng thuộc khóa
học Toán 10 – Thầy Lưu Huy Thưởng tại website Hocmai.vn giúp các bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được
giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 7. Ôn tập phương trình đường thẳng. Để sử dụng hiệu quả, bạn cần học trước
bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung cho Bài 7 + Bài 8)

Baøi 1. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường

thẳng d:
a) M(2; 3), d: 4x  10y  1  0

b) M(–1; 2), dOx

c) M(4; 3), d  Oy

Giải
 

a) cã VTPT n  n d  4;10  VTCP u  10;4

x  2  10t

 PTTS : 




y  3  4t
x 2 y 3
PTCT :

10
4
PTTQ : 4 x  2 10 y  3  0  2x  5y  11  0
 

b) cã VTPT n  nd  0;1  VTCP u  1;0
 x  1  t

 PTTS : 



y  2
PTTQ : y  2
 

c) cã VTPT n  nd  1;0  VTCP u  0;1

x  4
 PTTS : 



y  3  t

PTTQ : x  4
Baøi 2. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường

thẳng d:
a) M(2; 3), d: 4x  10y  1  0

b) M(–1; 2), dOx

c) M(4; 3), d  Oy

Giải
 

a) cã VTCP u  n d  4;10  VTPT n  10;4


x  2  4t
 PTTS : 



y  3 10t
x 2 y 3
PTCT :

4
10
PTTQ :10 x  2  4 y  3  0  5x  2y  32  0
 


b) cã VTCP u  n d  0;1  VTPT n  1;0

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khoỏ hc Toỏn 10 - Thy Lu Huy Thng

Chuyờn 03. Phng phỏp to trong mt phng

x 1

PTTS :



y 2 t
PTTQ : x 1


c) có VTCP u n d 1;0 VTPT n 0;1
x 4 t

PTTS :

y 3
PTTQ : y 3
Baứi 3. Cho tam giỏc ABC. Vit phng trỡnh cỏc cnh, cỏc ng trung tuyn, cỏc ng cao ca tam

giỏc vi:
a) A(1; 1), B(1; 9), C(9; 1)




a) AB 2;10, BC 8;8, AC 10;2

b) A(4; 1), B(3; 2), C(1; 6)
Gii

PT cạnh AB :10 x 1 2 y 1 0 5x y 4 0
PT cạnh BC : 8 x 1 8 y 9 0 x y 10 0
PT cạnh AC : 2 x 1 10 y 1 0 x 5y 4 0
PT đường cao với AB: 2 x 1 10 y 1 0 x 5y 6 0
PT đường cao với BC: 8 x 1 8 y 9 0 x y 8 0
PT đường cao với AC: 10 x 1 2 y 1 0 5x y 6 0
Gọi I,J,K lần lượt l trung điểm của AB, BC, AC


=>I 0;4 , J 4;4, K 4;0 AJ 5;5 u AJ 1;1




BK 3; 9 u BK 1; 3, CI 9;3 u CI 3;1

PT đường trung tuyến AJ: x 1 y 1 0 x y 0
PT đường trung tuyến BK: 3 x 4 y 0 0 3x y 12 0
PT đường trung tuyến CI: 1x 0 3 y 4 0 x 3y 12 0
b) Lm tng t
Baứi 4. Cho tam giỏc ABC, bit phng trỡnh ba cnh ca tam giỏc. Vit phng trỡnh cỏc ng cao ca

tam giỏc, vi: AB : 2x y 2 0, BC : 4x 5y 8 0, CA : 4x y 8 0
Gii

Toạ độ điểm A l nghiệm của hệ

x 1
2x y 2 0



A 1; 4




4x

y

8

0
y

4




Toạ độ điểm B l nghiệm của hệ

x 3
2x y 2 0




B 3;4




4x

5y

8

0
y

4

Toạ độ điểm C l nghiệm của hệ

x 2
4x y 8 0



C 2;0



4x

5y

8

0
y

0




Hocmai.vn Ngụi trng chung ca hc trũ Vit

Tng i t vn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khoá học Toán 10 - Thầy Lưu Huy Thưởng

Chuyên đề 03. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng


§­êng cao qua A nhËn u BC 5; 4 l¯m VTPT
=>PT ®­êng cao qua A: 5 x 1 -4 y  4 =0  5x  4y  21  0

§­êng cao qua B nhËn u AC 1;4 l¯m VTPT
=>PT ®­êng cao qua B: 1x  3 +4 y  4 =0  x  4y 1  0

§­êng cao qua C nhËn u AB 1; 2 l¯m VTPT
=>PT ®­êng cao qua C: 1x  2  2 y  0 =0  x  2y  2  0
Baøi 5. Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh



3
1
BC,CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P, với: M 2;  , N 1;  , P (1; 2)


2
2

Giải

 
3   
1
MN  1;1 , NP  0;  ; MP  1;  


2
2

Cã AB // MN=>u AB  1;1 v¯ P  AB
 PT c¹nh AB: x  1  y  2  0  x  y  1  0
 PT ®­êng trung trùc cña AB : -1x 1  y  2  0  x  y  3  0
 
3
Cã BC // NP=>u BC  0;   v¯ M  BC

2

3
3
x  2  0 y    0  x  2

2
2
3
3
3
 PT ®­êng trung trùc cña BC: 0 x  2 - y   =0  y=

2
2
2
 
1
Cã AC // MP=>u AC  1;   v¯ N  AC

2

1
1
 PT c¹nh AC: x  1  1y    0  x  2y  2  0

2
2
1
1
 PT ®­êng trung trùc cña AC: -1x 1 - y   =0  4x  2y-3=0
2 
2
 PT c¹nh BC:

Baøi 6. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và chắn trên hai trục toạ độ 2 đoạn bằng nhau, với:

M(–3; –2)
Giải
Phương trình đường thẳng chắn trên 2 trục toạ độ
x y
  1(d) v× (d) ch¾n 2 trôc to¹ ®é 2 ®o¹n = nhau nªn |a| = |b|  0.
a b

M 3;2  d  3b  2a  ab


ab



a  b


3b  2a  ab a  b  5


|a| = |b|





VËy ta cã hÖ 


a


b



a  1;b  1





3b

2a

ab
a


b







3b

2a

ab






3b  2a  ab

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khoỏ hc Toỏn 10 - Thy Lu Huy Thng

Chuyờn 03. Phng phỏp to trong mt phng

PT đường thẳng cần tìm x y 5 0;x y 1 0
Baứi 7. Vit phng trỡnh ng thng i qua im M v cựng vi hai trc to to thnh mt tam giỏc

cú din tớch S, vi:M(2; 1), S = 4
Gii
Phng trỡnh ng thng chn trờn 2 trc to
x y
1a, b 0 (d) vì (d) chắn 2 trục toạ độ tạo thnh 1 tam giác có S=4
a b
1
=> |a|.|b|=4=>|a|.|b| 8
2
2 1
2b
M 2; 1 d 1 2b a ab a
a b
1 b

2b 2 8 8b
b 2 4b 4 0
2b

.b 8

2
2
1 b
2b 8 8b b 4b 4 0

b 2 8 a 4 2 8

3 8

b 2 a 4

Thay a,b vo (d) ta được đường thẳng cần tìm
Baứi 8. Tỡm hỡnh chiu ca im M lờn ng thng d v im M i xng vi M qua ng thng d :

vi:M(4; 1), d : x 2y 4 0
Gii
PT đường thẳng d qua M v vuông góc với d:
2 x 4 1y 1 0 2x y 9 0
có hình chiếu của M lên d l nghiệm của hệ
2x y 9 0
14
17
x ;y

x 2y 4 0
5
5
14
8
17
29
4 ;y M ' 2. 1
5
5
5
5
Baứi 9. Lp phng trỡnh ng thng d i xng vi ng thng d qua ng thng , vi:
d : x y 1 0, : x 3y 3 0
x M ' 2.

Gii
Xột 2 im A(1;0) v B(2;-1) thuc d. Gi A v B l 2 im i xng ca A v B qua => Phng trỡnh
ng d i xng vi d qua l PT ng AB
Cú phng trỡnh ng thng qua A v vuụng gúc vi : 1x 1 1y 0 0 x y 1 0
x y 1 0
x 3


Hỡnh chiu ca A xung l nghim ca h




x 3y 3 0

y 2





xA ' 2.3 1 5; yA' 2.2 0 4 A ' 5;4

Cú phng trỡnh ng thng qua B v vuụng gúc vi : 1x 2 1y 1 0 x y 3 0

Hocmai.vn Ngụi trng chung ca hc trũ Vit

Tng i t vn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khoá học Toán 10 - Thầy Lưu Huy Thưởng

Chuyên đề 03. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

x  y  3  0
x  6


 Hình chiếu của A xuống ∆ là nghiệm của hệ 





x  3y  3  0
y3





 x B'  2.6  2  10; yB'  2.3  1  7  B '  10;7


 uA ' B '  5; 3  nA ' B '  3; 5

Vậy Pt đường A’B’(PT đường d’):

3 x  10  5 y  7  0  3x  5y  5  0
Baøi 10. Lập phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, với:

d : 2x  3y  1  0, I  O(0;0)
Giải
Xét 2 điểm A(1;1) và B(4;3) thuộc d. Gọi A’ và B’ là 2 điểm đối xứng của A và B qua I=> Phương trình
đường d’ đối xứng với d qua I là PT đường A’B’. Ta có
x A  x A '  2x I  x A '  2.0 1  1
y A  y A '  2y I  y A '  2.0 1  1
x B  x B'  2x I  x B'  2.0  4  4
y B  y B'  2y I  y B'  2.0  3  3


 u A ' B '  3;2  n A ' B '  2;3
 PT ®­êng ®èi xøng víi d qua t©m O l¯ pt ®­êng th¼ng qua A',B'
2 x  1  3 y  1  0  2x  3y 1  0

Baøi 11. Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường cao. Viết phương trình hai cạnh và

đường cao còn lại, với: BC : x  y  2  0, BB  : 2x  7y  6  0, CC  : 7x  2y  1  0
Giải
Gọi G là giao điểm của 2 đường cao
 G là nghiệm của hệ
2x  7y  6  0
 1 8

1
8

x 
; y    G  ;  


7x  2y  1  0
9
9
 9 9 



n AG  u BC  1;1


1
8
 pt AG : 1 x    1. y    0  x  y  1  0
9 

9 



+PT đường cao còn lại AA’ là :
x y 1  0
+Để viết Pt 2 cạnh còn lại ta đi tìm toạ độ 2 điểm B và C
Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ


2x  7y  6  0  x  4; y  2  B 4; 2




x y  2  0



n AB  u BB '  7;2

 pt AB : 7 x  4  2. y  2  0  7x  2y  32  0

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -

Khoá học Toán 10 - Thầy Lưu Huy Thưởng

Chuyên đề 03. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ
7x  2y  1  0


 x  1; y  3  B 1; 3


x y  2  0



n AC  uCC '  2;7

 pt AC : 2 x  1  7 y  3  0  2x  7y  23  0

Baøi 12. Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh và phương trình hai đường cao. Viết phương trình các

cạnh của tam giác đó, với: A(1; 0), BB  : x  2y  1  0, CC  : 3x  y  1  0
Giải



n AB  uCC '  1; 3

 Pt AB: 1x  1  3 y  0  0 hay x-3y-1=0



n AC  u BB'  2;1

 Pt AC: 2 x  1  1y  0  0 hay 2x+y-2=0

Gọi G là giao điểm của 2 đường cao
 G là nghiệm của hệ


x  2y  1  0  x  1 ; y  4  G  1 ; 4 



 7 7 
3x  y  1  0
7
7




 6 4
u AG   ;   u AG  3;2
 7 7 

Ta có toạ độ điểm B là nghiệm của hệ
x  2y  1  0


 x  5; y  2  B 5; 2



x  3y  1  0



n BC  u AG  3;2

 ptBC : 3 x  5  2 y  2  0 hay -3x+2y-11=0

Baøi 13. Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh và phương trình hai đường trung tuyến.Viết phương trình

các cạnh của tam giác đó, với: A(3;9), BM : 3x  4y  9  0, CN : y  6  0
Hướng dẫn giải
Gọi B(xB;yB), C(xC;yC) vì B, C thuộc AM , CN nên

3x  9 
B  x B ;
 , C  x C ;6

4 
Vì M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB nên
x 3
6  9 15
xM  C
;y M 

2
2
2

x 3
15
M  BM  3. C
 4.  9  0  x C  11  C 11;6
2
2
x 3
3x  9
xN  B
;y N  B
2
2
3x  9
N  CN  B
 6  x B  1  y B  3  B 1;3
2
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Khoá học Toán 10 - Thầy Lưu Huy Thưởng

Chuyên đề 03. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Vậy ta đã biết được toạ độ 3 đỉnh của tam giác ABC=> PT các cạnh của tam giác ABC
Baøi 14. Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường trung tuyến. Viết phương trình các

cạnh còn lại của tam giác đó, với: AB : x  2y  7  0, AM : x  y  5  0, BN : 2x  y  11  0
Hướng dẫn giải
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ
x  2y  7  0


 x  1; y  4  A 1; 4

x y 5  0




Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ

x  2y  7  0


 x  3; y  5  B 3;5


2x  y  11  0



Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là nghiệm của hệ
x y 5  0




 x  6; y  1  G 6; 1

2
x

y

11

0




Ta có
xG 
yG 

x A  x B  xC
3
yA  yB  yC
3

 xC  14
 yC  12

Toạ độ điểm C (14;-12)
=>PT các cạnh còn lại của tam giác
Baøi 15. Cho tam giác ABC, biết phương trình hai cạnh và toạ độ trung điểm của cạnh thứ ba. Viết phương

trình của cạnh thứ ba, với: AB : x  y  1  0, AC : 2x  y  1  0, M(2;1)
Giải
a) Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ

x  y 1  0


 x  0;y  1  A 0;1



2x  y  1  0
Cã M l¯ trung ®iÓm cña BC
=>x B  x C  2x M  4
y B  y C  2y M  2
B  AB  B x B ;x B  1
C  AC  C x c ;1  2x C 


x B  x C  4
x B  x C  4
4
 

 x C  ;x B  3



3
x B  1  1  2x C  2 

x B  2x C  0



 4 5 
x B  3  y B  4
 
 B 3;4, C  ; 

 3 3  => Pt cạnh BC


xC  4 / 3  y C  5 / 3
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Khoá học Toán 10 - Thầy Lưu Huy Thưởng

Chuyên đề 03. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Baøi 16. Cho tam giác ABC, biết toạ độ một đỉnh, phương trình một đường cao và một trung tuyến. Viết

phương trình các cạnh của tam giác đó, với: A(0; 2), BH : x  2y  1  0, CN : 2x  y  2  0
Giải
Cách làm:
-

Viết phương trình cạnh AC qua A có vtpt là vtcp của BH

-

Tìm toạ độ điểm H là giao của AC với BH

-

Tìm toạ độ điểm C là giao của AC với CN

-

Tìm toạ độ điểm B 2xN  xA;2yN  yA  với N xN ; yN   CN  yN  2xN  2 kết hợp với

BH vuông góc với AC => xN =>toạ độ B.
 PT các cạnh của tam giác
Baøi 17. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng , với:

A(1; 2), B(2;1),  : 2x  y  2  0
Giải
Gọi tâm đường tròn I(a; b)

co ' dI ; 

2a  b  2
5

2
2

2
2

a  1  b  2  a  2  b  1
IA2  IB 2


2
  2
 
2a  b  2
IA  d 2 I ;


2
2
 
a  1  b  2 


5
2a  1  4b  4  4a  4  2b  1
  2
5a  10a  5  5b 2  20b  20  4a 2  b 2  4  4ab  4b  8a

a  b
 2
a  2a  4b 2  24b  21  4ab  0

 a 2  2a  4a 2  24a  21  4a 2  0

 a 2  22a  21  0

a  1  b  1  R  2a  b  2  5

5
 
2a  b  2

 13 5
a  21  a  21  R 

5
2

2

2

2

=>PT đường tròn: x  1  y  1  5 ; x  21  y  21  845
Baøi 18. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B, với:

A(2;1),  : 3x  2y  6  0, B(4;3)
HD Giải
Gọi tâm đường tròn I(a; b) co ' dI ; 

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

3a  2b  6
13
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -


Khoá học Toán 10 - Thầy Lưu Huy Thưởng

Chuyên đề 03. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

2
2
2
2



a  2  b  1  a  4  b  3
2
2




IA

IB



2
 

 2

2
3a  2b  6



2
2
IA

d


I ;


a  2  b  1 


13


=>Tương tự như trên ta giải hệ tìm được a,b,R=> Pt đường tròn cần tìm

Baøi 19. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2, với:

A(1;3), 1 : x  2y  2  0, 2 : 2x  y  9  0

HD Giải
Gọi tâm đường tròn I(a; b)

co ' dI ;  

a  2b  2

2a  b  9

5
2


a

2
b

2


2
2
IA2  d 2
a  1  b  3 

I1;
5

  2


2
2
IA  d

I 2 ;

 a  1 2  b  3 2  2a  b  9
  

5
Giải hệ tìm được a,b,R=> Pt đường tròn cần tìm
1

5

;dI ;  
2

Baøi 20. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường thẳng

d, với: 1 : 4x  3y  16  0, 2 : 3x  4y  3  0, d : 2x  y  3  0
HD Giải
Gọi tâm đường tròn I(a; b) vì I nằm trên d nên b  2a  3

dI ;  
1

4a  3 2a  3  16
5
3a  4 2a  3  3

dI ;  
2
5
co ' dI ;   dI ;   R
1
2




2a  25

5
11a  15
5

2a  25  11a  15
 2a  25  11a  15  
2a  25  11a  15
a  40 / 13  b  .....  R  pt : ..
 
a  10 / 9  b  .....  R  pt : ..

Baøi 21. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, với:

AB : x  y  2  0, BC : 2x  3y  1  0, CA : 4x  y  17  0

HD Giải
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ
x  y  2  0


 x  3; y  5  A 3;5


4x  y  17  0


Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 9 -


Khoá học Toán 10 - Thầy Lưu Huy Thưởng

Chuyên đề 03. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng



x  y  2  0  x  1; y  1  A 1;1

 


2x  3y  1  0


Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ


4x  y  17  0  x  5; y  3  A 5; 3

 

2x  3y  1  0


Gọi I (a,b) là tâm đường tròn goại tiếp tam giác ABC
IA2  IB 2


=> 
 2

IA  IC 2



=>(a,b)=> bán kính R => PT đường tròn
Baøi 22. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với:
a) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3)
b) AB : 2x  3y  21  0, BC : 3x  2y  6  0, CA : 2x  3y  9  0

Giải

Cách làm
+Viết phương trình 2 đường phân giác trong của 2 góc bất kì trong tam giác ABC
+ Tâm I của đường tròn là giao điểm của 2 đường phân giác trong đó
Cách viết đường phân giác trong
a) Gọi D (x,y) là chân đường phân giác trong hạ từ đỉnh A
Theo tính chất đường phân giác ta có

AB 
DB
AB

BD

.DC
vì AD là đường phân giác trong nên ta có
AC
DC
AC
2

AB  22  3  13, AC 

2

5  2

2

 3  3 2

 Toạ độ điểm D
PT đường phân trong AD
b) Ta có phương trình đường phân giác của góc A là
y  2

2x  3y  21
2x  3y  9


x  15
13
13

2
Đặt f1 x , y   y  2, f2 x , y   x 

15
2

Tìm toạ độ điểm B và C
+ Nếu f1 xB ; yB .f1 xC ; yC   0 thì B và C nằm cùng phía với đường f1 x ; y   0 => f2 x ; y   0 là
đường phân giác trong của góc A
+ Nếu f1 xB ; yB .f1 xC ; yC   0 thì B và C nằm khác phía với đường f1 x ; y   0 => f1 x ; y   0 là
đường phân giác trong của góc A
Giáo viên: Lưu Huy Thưởng
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 10 -