phân tích trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt bằng phương pháp phần tử hữu hạn (fem)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ
VŨ DUY CẢNH

PHÂN TÍCH TRẠNG THÁI GIỚI HẠN CỦA TẤM PHẲNG
CÓ VẾT NỨT BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN (FEM)

NGÀNH: CÔNG NGHỆ CHẾ TẠO MÁY - 605204

S KC 0 0 4 1 6 5

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM
KHOA CƠ KHÍ CHẾ TẠO

LUẬN VĂN THẠC SĨ
PHÂN TÍCH TRẠNG THÁI GIỚI HẠN CỦA TẤM PHẲNG
CÓ VẾT NỨT BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
NGÀNH: KỸ THUẬT CƠ KHÍ
MÃ SỐ: 605204

GVHD: PGS.TS. NGUYỄN HOÀI SƠN
HỌC VIÊN:
VŨ DUY CẢNH

MSHV :
10085204002

TP.HCM,

tháng 10 năm 2013


LÝ LỊCH KHOA HỌC
(Dùng cho nghiên cứu sinh & học viên cao học)
I. LÝ LỊCH SƠ LƢỢC:
Họ & tên: Vũ Duy Cảnh
Giới tính: Nam
Ngày, tháng, năm sinh: 21/12/1984
Nơi sinh: Hải Dương
Quê quán: Bình Thuận.
Dân tộc: Kinh
Chức vụ, đơn vị công tác trước khi học tập, nghiên cứu:
Chỗ ở riêng hoặc địa chỉ liên lạc:
Thôn An vinh-Xã Sông phan-Huyện Hàm tân-Tỉnh Bình Thuận.
Điện thoại : 01686861229
Điện thoại nhà riêng:
Fax:
E-mail:
II. QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO:
1. Trung học chuyên nghiệp:
Hệ đào tạo:
Nơi học (trường, thành phố):
Ngành học:

Thời gian đào tạo từ ……/…… đến ……/ ……

2. Đại học:
Hệ đào tạo: Chính Quy
Thời gian đào tạo từ 09/2002 đến 10/ 2007
Nơi học (trường, thành phố): ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp. HCM
Ngành học: Cơ kỹ thuật
Tên đồ án, luận án hoặc môn thi tốt nghiệp: Tính toán chuyển vị và nội lực của kết
cấu nhà xưởng công nghiệp bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM).
Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án hoặc thi tốt nghiệp: Tại trường ĐH Sư Phạm Kỹ
Thuật Tp. HCM
Người hướng dẫn: Th.S Lê Thanh Phong.
3. Thạc sĩ:
Hệ đào tạo: Chính quy
Thời gian đào tạo từ 09/2010 đến 10/ 2012
Nơi học (trường, thành phố): ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp. HCM
Ngành học: Công nghệ chế tạo máy
Tên luận văn: Phân tích trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt bằng phương
pháp phần tử hữu hạn (FEM).
Ngày & nơi bảo vệ luận văn: …/10/2013 tại trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.
HCM
Người hướng dẫn: PGS. TS Nguyễn Hoài Sơn
4. Tiến sĩ:
Hệ đào tạo:
Tại (trường, viện, nước):

Thời gian đào tạo từ ……/…… đến ……/ ……


Tên luận án:

Người hướng dẫn:
Ngày & nơi bảo vệ:
5. Trình độ ngoại ngữ (biết ngoại ngữ gì, mức độ): B1 Anh văn
6. Học vị, học hàm, chức vụ kỹ thuật đƣợc chính thức cấp; số bằng, ngày & nơi cấp:
III. QUÁ TRÌNH CÔNG TÁC CHUYÊN MÔN KỂ TỪ KHI TỐT NGHIỆP ĐẠI
HỌC:
Từ tháng 3/2008 đến 3/2010 công tác tại Công ty TNHH Fusheng.VN
Nơi làm việc: Khu công nghiệp Biên hòa II.
Vị trí công tác: Nhân viên kỹ thuật.

IV. CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ:

XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN
(Ký tên, đóng dấu)

Ngày 01 tháng 10 năm 2013
Ngƣời khai ký tên

Vũ Duy Cảnh


LỜI CẢM ƠN
Trong khoảng thời gian học dưới mái trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật
thân yêu này, tôi đã được học hỏi rất nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu từ quý
Thầy Cô, bạn bè trong học tập cũng như trong cuộc sống. Điều đó đã giúp tôi có
thể hoàn thành tốt luận văn Thạc sĩ này.
Có được kết quả như vậy tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới:
-

Toàn thể Thầy Cô trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp. HCM đã nhiệt

tình truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường.

-

Thầy PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn đã tận tình hướng dẫn, cung cấp tài liệu,
cho tôi những lời khuyên quí báu, truyền đạt những phương pháp nghiên
cứu hiệu quả và luôn động viên tôi trong suốt thời gian thực hiện luận
văn này.

-

Tôi cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp
đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.

-

Cuối cùng tôi xin cảm ơn đến các tác giả đã có rất nhiều cống hiến trong
việc nghiên cứu và viết nhiều cuốn sách tham khảo có giá trị, đó chính là
sự hỗ trợ rất lớn về mặt kiến thức để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Xin chân thành cảm ơn!

Tp. Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 10 năm 2013
Vũ Duy Cảnh


Mục lục

MỤC LỤC
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN................................................................................ 1

1.1. Giới thiệu tổng quan về cơ học phá hủy ..................................................... 1
1.2. Tổng quan về sự phát triển bài toán dao động ........................................... 6
1.3. Tổng quan về sự phát triển bài toán tấm chịu uốn ..................................... 8
1.4. Phương pháp phần tử hữu hạn .................................................................... 9
1.5. Nhiệm vụ của đề tài và phạm vi nghiên cứu ............................................ 10
CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT CƠ HỌC RẠN NỨT, LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI,
LÝ THUYẾT TẤM ............................................................................................ 11
2.1. Lý thuyết cơ học rạn nứt .......................................................................... 11
2.2. Lý thuyết đàn hồi ...................................................................................... 17
2.3. Lý thuyết tấm ............................................................................................ 21
CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ................................. 26
3.1. Phương trình phần tử ............................................................................... 26
3.2. Phần tử tứ giác 8 nút ................................................................................. 28
3.3. Phần tử suy biến điểm ¼ .......................................................................... 30
3.4. Tính toán ứng suất và biến dạng trong FEM ............................................ 33
3.5. Phương pháp tích phân số ......................................................................... 34
3.6. Tính toán hệ số cường độ ứng suất từ kết quả phân tích FEM ................. 35
3.7. Ma trận khối lượng tương thích phần tử ................................................... 37
3.8. Dao động tự do- Xác định tần số dao động riêng theo phần tử hữu hạn .. 38
3.9. Phương pháp Newmark ............................................................................ 40


Mục lục

CHƯƠNG 4: BÀI TOÁN ÁP DỤNG .............................................................. 45
4.1. Sơ đồ khối ................................................................................................. 46
4.2. Khảo sát sự hội tụ cho bài toán tấm không nứt ........................................ 47
4.3. Khảo sát bài toán tấm thép SM490 chịu uốn ........................................... 50
4.5. Khảo sát tấm hợp kim Titanium Ti-6Al-4V. ............................................ 55
4.6. Khảo sát tấm thép AISI-4147 ................................................................... 70

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ............................... 86
5.1. Kết luận về đề tài ...................................................................................... 86
4.2. Đề xuất và hướng phát triển đề tài ............................................................ 87

TÀI LIỆU THAM KHẢO


Chương 1: Tổng quan

CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN
TỔNG QUAN VỀ LĨNH VỰC NGHIÊN CỨU.
VỚI ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU
Phân tích trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt bằng phƣơng
pháp phần tử hữu hạn.
Tác giả sẽ tìm hiểu về các công trình nghiên cứu trong và ngoài nước có liên
quan đến đề tài, các kết quả đạt được trong lĩnh vực cơ học phá hủy và những hạn
chế những vấn đề cần phải nghiên cứu.
Các kết quả nghiên cứu trong và ngoài nước có liên quan đến trạng thái giới
hạn của tấm phẳng có vết nứt. Trong vật liệu trạng thái giới hạn là trạng thái mà
nếu vƣợt quá nó thì kết cấu không sử dụng đƣợc.
Trạng thái giới hạn về cường độ (kết cấu bị đổ vỡ).
Trạng thái giới hạn về biến dạng (kết cấu bị biến dạng lớn đến mức nào đó).
Trạng thái giới hạn về khe nứt (bị nứt hoặc bề rộng khe nứt lớn tới một trị số
nào đó).
Phƣơng pháp tính toán kết cấu Trạng thái giới hạn là phương pháp mới
nhất đang được dùng hiện nay, được giáo sư Lôlâytơ (A. F. Lolejt; 1868 - 1933) đặt
nền móng từ 1931 nhưng mãi đến năm 1953 lần đầu tiên được đưa vào tiêu chuẩn
thiết kế kết cấu.
Nội dung cơ bản của phương pháp này là cho phép kết cấu làm việc tới

Trạng thái giới hạn. Nhờ xét đến một cách chi tiết hơn các yếu tố ảnh hưởng đến độ
an toàn của kết cấu, phương pháp tính theo Trạng thái giới hạn cho kết quả sát với sự
làm việc thực của kết cấu và đạt được hiệu quả kinh tế cao hơn.
1.1 GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ CƠ HỌC PHÁ HUỶ:
Cơ học phá hủy là khoa học chuyên nghiên cứu về độ bền và tuổi thọ của vật
liệu, chi tiết máy hoặc cấu kiện có vết nứt thực tế.

GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HVTH: Vũ Duy Cảnh

Trang 1


Chương 1: Tổng quan

Nội dung nghiên cứu gồm:
Trường ứng suất và biến dạng ở đầu vết nứt, quy luật phát sinh, lan truyền
vết nứt, ảnh hưởng của các loại nhân tố.
Cấu trúc vật liệu, chế độ tải trọng, môi trường nhiệt độ...ảnh hưởng tới sự lan
truyền vết nứt.
Các giải pháp điều khiển và kìm hãm sự lan truyền vết nứt, phương pháp tính
độ bền và tuổi thọ của các kết cấu theo các chỉ tiêu mới (các chỉ tiêu này được xác
định qua thực nghiệm).
Phƣơng pháp nghiên cứu là kế thừa lý thuyết đàn hồi, lý thuyết dẻo, lý
thuyết vật lý kim loại... Cơ học phá hủy xây dựng các giả thiết và các mô hình tính
toán, trên cơ sở đó tiến hành các thí nghiệm để kiểm tra hoặc từ các kết quả thực
nghiệm khái quát hoá xây dựng các công thức tính toán.
Cơ học phá hủy được ứng dụng rộng rãi trong các ngành công nghiệp, luyện
kim, xây dựng, hoá chất, đóng tàu, hàng không, tàu vũ trụ, vv.

Lịch sử phát triển của cơ học phá hủy:
Sử dụng kết quả phân tích ứng suất của Inglis đối với sự phát triển không ổn
định của một crack, và ứng dụng định luật thứ nhất của nhiệt động lực học, năm
1920 Griffith đã xây dựng được lý thuyết phá hủy dựa trên sự cân bằng năng lượng
cơ bản.
1956, Irwin đã phát triển khái niệm về tốc độ giải phóng năng lượng (The
energy release rate) dựa trên lý thuyết của Griffith nhưng ở dạng dễ sử dụng cho
việc giải các bài toán kỹ thuật.
Sau đó trên cơ sở kết quả tính toán về quan hệ giữa ứng suất và chuyển vị
của Westergaard (1938), Irwin đã xây dựng đƣợc phƣơng trình tính một tham
số liên quan đến tốc độ giải phóng năng lƣợng, đƣợc gọi là hệ số cường độ ứng
suất (the stress intensity factor).
Trong những năm 1945 trở lại đây khi nghiên cứu các công trình bị phá hủy,
người ta nhận thấy rằng nguyên nhân gây ra phá hủy là do sự xuất hiện của vết nứt
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HVTH: Vũ Duy Cảnh

Trang 2


Chương 1: Tổng quan

trong kết cấu có ảnh rất lớn, từ đó đã hình thành ngành cơ học phá hủy (Fracture
Mechanics).
Với việc khảo sát lý thuyết và thực nghiệm về các vết nứt. Ngành cơ học
này phát triển rất nhanh.
Đó là những công trình nghiên cứu của Irwin, David Broeke Paris,…về
trường ứng suất ở lân cận đáy vết nứt, sự mở rộng, sự lan truyền của vết nứt với các
dạng khác nhau [4, 32]
Nhưng vấn đề được đặt ra là cần xác định chính xác vị trí của các vết nứt và

trạng thái giới hạn của những chi tiết có vết nứt để từ đó có khả năng dự báo trình
trạng làm việc hiện tại của kết cấu, đồng thời có những giải pháp kịp thời ngăn ngừa
các tai nạn, thiệt hại có thể xảy ra.
Các vết nứt trong các kết cấu cơ khí gây ra sự suy giảm độ cứng cục bộ. Điều
này dẫn đến các đặc trưng tĩnh và động học thay đổi theo. Một số nghiên cứu về các
đặc trưng này điển hình như:
Richard W. Hertzberg. “Cơ học biến dạng và rạn nứt của vật liệu cơ khí”
[36].
Irwin, G.R.“Động học rạn nứt”, “Sự rạn nứt của vật liệu” [18]
Nguyên nhân của sự suy giảm độ cứng cục bộ là do dạng hình học của đầu
vết nứt. Đầu vết nứt thường có dạng nhọn với bán kính tiệm cận bằng không. Độ
nhọn này sinh ra các ứng suất cục bộ có khuynh hướng tiến đến vô cùng khi điểm
quan tâm càng lúc tiến đến gần đầu vết nứt.
Khi đó, các lý thuyết về hỏng hóc, chẳng hạn lý thuyết của Tresca hay Von
Mises, không thể ứng dụng được và lực cần thiết để tạo ra chảy dẻo cục bộ hoặc
việc bắt đầu cho sự lan truyền của vết nứt không thể dự đoán được. Vì vậy, cần phải
có một lý thuyết và những thông số đặc trưng cho tính chất suy biến này.
Năm 1956, Irwin đã đưa ra một thông số đặc trưng dưới những điều kiện của
cơ học rạn nứt đàn hồi tuyến tính (Linear Elastic Fracture Mechanics-LEFM), nó
được biết với cái tên là:
Hệ số cường độ ứng suất (Stress Intensity Factor-SIF) [25, 36, 32]. Hệ số
này được làm tiêu chuẩn để đánh giá sự lan truyền của vết nứt. Tuy nhiên, việc tính
toán hệ số cƣờng độ ứng suất cũng gặp nhiều khó khăn vì hệ số cường độ ứng
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HVTH: Vũ Duy Cảnh

Trang 3


Chương 1: Tổng quan

suất không những phụ thuộc vào lực tác dụng mà còn phụ thuộc vào đặc trƣng
hình học của kết cấu.
Trong những thập niên gần đây, các nhà khoa học không ngừng nghiên cứu
đưa ra những phương pháp để giải quyết một cách chính xác các vấn đề về rạn nứt.
Nhiều phương pháp đã được đưa ra, về lĩnh vực nhận diện và xác định vị trí
vết nứt như:
P. Cawley, R.D. Adams. “Xác định vị trí và khuyết tật trong kết cấu tấm
bằng kết quả đo đạc thực nghiệm tần số tự nhiên” [31];
L.H.Tuấn. “Nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt đến tần số dao động của kết
cấu dầm và khung” [21]…
Về lĩnh vực đánh giá sự phát triển của vết nứt thông qua việc tính toán hệ số
cƣờng độ ứng suất nhƣ:
Wu XR, Carlsson AJ. “Hàm trọng số và hệ số cường độ ứng suất” [44].
Brennan FP, Teh LS. “Xác định SIF bằng tổ hợp hàm trọng số” [6].
Chen DH, Nisitani H, Mori K. “Tính toán SIF trên tấm bán vô hạn có vết
nứt elip dưới ứng suất kéo” [7].
Chongmin Song*, Zora Vrcelj. “Đánh giá hệ số cường độ và ứng suất T
bằng phương pháp điều kiện biên” [8]…
Vào những năm 1960-1961, lý thuyết cơ học phá hủy do các nhà khoa học
xây dựng lúc đó không còn đúng nữa đối với vật liệu dẻo biến dạng. Sau khi nghiên
cứu, Wells phát triển lý thuyết về tham số CTOD – crack tip open displacement
(độ mở đầu vết nứt) đặc trƣng cho vật liệu dẻo.
1968, Rice đã phát triển một tham số khác nữa đặc trưng cho ứng xử của vật
liệu phi tuyến ở đầu vết nứt – J integral.
Các lý thuyết nền tảng trên là cơ sở để các nhà khoa học nghiên cứu về lĩnh
vực cơ học phá hủy trong các giai đoạn tiếp theo.
Ở Việt Nam, một số nghiên cứu thành công trong lĩnh vực này có thể kể
đến nhƣ:
Chẩn đoán dầm đàn hồi có nhiều vết nứt – Nguyễn Tiến Khiêm – Viện cơ

học, Đại học xây dựng Hà Nội.

GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HVTH: Vũ Duy Cảnh

Trang 4


Chương 1: Tổng quan

Nhận dạng vết nứt trong kết cấu dầm khung – Nguyễn Xuân Hùng – Viện cơ
học ứng dụng Tp. HCM.
Nhận dạng vết nứt trong kết cấu giàn khoan – Nguyễn Xuân Hùng, Nguyễn
Xuân Hoàng - Viện cơ học ứng dụng Tp. HCM – Trung tâm khoa học tự nhiên và
công nghệ quốc gia Việt Nam.
Nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt đến tần số dao động của kết cấu dầm
khung – Đỗ Kiến Quốc, Lê Hoàng Tuấn – Trường ĐHBK Tp. HCM 1998.
Nghiên cứu ảnh hưởng của vết nứt đến đặc trưng động lực học của kết cấu
tấm mỏng – Nguyễn Phi Hùng - Luận văn thạc sĩ trường ĐHBK Tp.HCM 2003.

Với đề tài:
Phân tích trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt bằng phƣơng
pháp phần tử hữu hạn.
Trong luận văn này, trước tiên tác giả sử dụng Phƣơng pháp phần tử hữu
hạn (FEM) viết chƣơng trình bằng ngôn ngữ lập trình Matlab để:
Phân tích tĩnh học, động học, cho bài toán tấm mỏng.
Phân tích trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt thông qua việc phân
tích hệ số cường độ ứng suất K.
Nhằm tăng độ chính xác của phương pháp cũng như của bài toán, tác giả
chọn mô hình Phần tử đẳng tham số tứ giác bậc hai (8 nút), kết hợp với Phần tử

đẳng tham số tam giác bậc hai (do phần tử đẳng tham số tứ giác bậc hai suy biến
tạo nên, với nút giữa của cạnh dịch chuyển về vị trí ¼ chiều dài cạnh) do Barsoum
đề xuất.
Việc sử dụng Phần tử đẳng tham số tứ giác bậc hai (8 nút) và Phần tử tam
giác suy biến điểm 1/4 đã mang lại kết quả rất tốt cho việc xác định hệ số cƣờng
độ ứng suất K [22, 33, 34, 39].

Tóm lại:
Nghiên cứu về bài toán tấm, nghiên cứu về trạng thái giới hạn của tấm
phẳng có vết nứt luôn có ý nghĩa lớn lao cho việc ứng dụng vào các kết cấu hữu
dụng hiện hữu xung quanh chúng ta, ví dụ như sàn nhà, vách, nắp hoặc đáy bunker,
hồ nước…v.v…
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HVTH: Vũ Duy Cảnh

Trang 5


Chương 1: Tổng quan

Các tính toán giải tích truyền thống đa phần dựa trên lý thuyết tấm
mỏng của Kirchhoff với giả thuyết về mặt trung bình không biến dạng đã được
phát triển, dù rất tốt với các lời giải của Ritz, Reyleigh, Lévy, Navier..v.v…
Những đề tài này cũng chỉ giới hạn với một số điều kiện biên nhất định và
phần lớn chỉ là dùng để giải tìm nội lực mà thôi.
Đối với phân tích động lực học bài toán tấm, phân tích trạng thái giới
hạn của tấm phẳng thì các nghiên cứu giải tích dựa trên định luật Newton,
phương trình công ảo..v.v… còn hạn chế hơn nữa vì các khó khăn về mặt toán học.
Một số các phương pháp xấp xỉ như phương pháp biến phân, Galerkin..v.v…
cũng được phát triển để giải quyết các khó khăn của các phương pháp truyền thống

tuy nhiên cũng gặp phải các khó khăn tương tự.
Cùng với sự phát triển của công nghệ máy tính hiện nay, các tiếp cận sử
dụng phương pháp số như phần tử hữu hạn, phần tử biên, phương pháp không phần
tử (meshless)..v.v… đã được nghiên cứu áp dụng và cho kết quả rất tốt. Các khó
khăn vì khối lượng tính toán nhiều đã được máy tính với tốc độ và khả năng xử lý
cao giải quyết.
Trong tất cả các phƣơng pháp số thì phƣơng pháp phần tử hữu hạn có
thể đƣợc xem nhƣ một công cụ rất mạnh để giải quyết hầu hết tất cả các bài
toán cơ hiện nay đặc biệt là bài toán tấm.
Với mong muốn đóng góp vào việc nghiên cứu và phát triển các vấn đề cơ
học rạn nứt trong những bài toán tấm bằng phương pháp mới, tác giả đã chọn đề
tài :

Phân tích trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt bằng
phƣơng pháp phần tử hữu hạn.
1.2 SỰ PHÁT TRIỂN CỦA BÀI TOÁN DAO ĐỘNG.

Lịch sử hình thành và phát triển của bài toán dao động:
Bài toán phân tích dao động với những ý tưởng đầu tiên khởi đầu từ những
thập niên cuối thế kỷ 16 và đầu thế kỷ 17.

GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HVTH: Vũ Duy Cảnh

Trang 6


Chương 1: Tổng quan

Galileo (1564-1642) là ngƣời đầu tiên đi đầu trong lĩnh vực phân tích

dao động với bài toán dao động của con lắc đơn. Ông cũng đã có nhiều thí nghiệm
về các hệ dây và tấm phẳng nhưng chưa có một lời giải chính xác bằng giải tích
cho các hệ này.
Chỉ vài thập niên sau, Joseph Sauveur (1653-1716) đã tính đƣợc giá trị
gần đúng tần số cơ bản của một hệ dao động là một hàm theo chuyển vị được đo
tại tâm của nó, tương tự như cách thức tính tần số riêng của hệ dao động lò xo và
khối lượng một bậc tự do từ chuyển vị tĩnh.
Và đây cũng chính là thời kỳ mà khoa học gặt hái được nhiều thành quả nhất.
Đầu tiên là:
Robert Hooke (1635-1703) đã thiết lập được định luật đàn hồi cơ bản
F=kX tiếp theo là.
Newton (1642-1727) thiết lập công thức lực quán tính bằng tích số khối
lượng và gia tốc chuyển động cơ hệ F=ma.
Leibnitz (1646 - 1716) thiết lập được phép tính vi phân….
Năm 1713, nhà toán học người Anh tên Brook Taylor (1658-1731) đã kết
hợp tiếp cận vi phân với định luật hai Newton đã ứng dụng một phần tử của dây liên
tục để tính toán giá trị thực của tần số cơ bản.
Sự tiếp cận này dựa trên nền tảng của dạng dao động đầu tiên được giả định.
Năm 1747, Jean Le Rond d’Almbert (1717-1783) đã tìm thấy nguồn gốc của
phương trình vi phân truyền sóng. Nguyên lý chồng chất của các mode dao động
được Daniel Bernoulli đưa ra đầu tiên vào năm 1747 và cho đến năm 1753, Euler
đã chứng minh được nguyên lý này.
Phương trình dao động ngang của dầm chịu uốn được Daniel Bernoulli tìm
thấy vào năm 1735. Euler là người đã tìm ra các lời giải đầu tiên cho bài toán dầm
đơn giản hai gối tựa và công bố trước khoa học vào năm 1744.
Các công trình nghiên cứu về dao động của tấm cũng tiến triển nhanh trong
giai đoạn này. Chịu ảnh hưởng thành công của Euler trong việc tìm ra phương trình
dao động của màng bằng cách khảo sát sự chồng chất của các dây, James Brnoulli
đã cố công tìm kiếm phương trình dao động của tấm bằng cách khảo sát sự chồng
chất của các dầm giao nhau nhưng kết quả không có gì mỹ mãn.

GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HVTH: Vũ Duy Cảnh

Trang 7


Chương 1: Tổng quan

Cuối cùng vào năm 1811: nhà khoa học Sophie Germaine (1776-1831) đã
cho lời giải gần nhƣ chính xác về phƣơng trình dao động của tấm.
Độ cứng chống uốn và hằng số khối lượng riêng cũng như các điều kiện
biên vẫn chưa được phát biểu đúng trong thời gian này. Lagrange là người đã tìm ra
lời giải chính xác phương trình dao động quen thuộc của tấm hiện nay vào năm
1811 [31].
1.3 SỰ PHÁT TRIỂN CỦA BÀI TOÁN TẤM CHỊU UỐN.

Lịch sử hình thành và phát triển của bài toán tấm chịu uốn:
Vào những năm đầu thế kỷ 19, các bài toán tấm chịu uốn được giải bằng các
mô hình giải tích, tiêu biểu là công trình của S. Germaine (1776-1831), Lagrange
(1736-1813) và Poisson (1781-1840).
Từ những thành tựu này dẫn đến sự ra đời Lý thuyết tấm mỏng cổ điển của
Kirchhoff, trong đó các biến dạng trượt được bỏ qua. Năm 1828, Poisson hoài nghi
về các điều kiện biên và cho rằng cần ba điều kiện biên trên mỗi biên tự do. Tiếp
đến, ông đã xác định chính xác độ cứng chống uốn vào năm 1829.
Tuy nhiên, các điều kiện biên tương thích thì không được triển khai, cho đến
năm 1850 Kirchhoff (1824-1887) mới đề ra Lời giải chính xác đối với tấm tròn
cũng được ông công bố sau đó.
Kirchhoff đưa ra lý do là hai điều kiện biên thì thích hợp hơn ba và định
nghĩa lực cắt tương đương đặc biệt để giảm số lực trên biên tự do từ ba xuống còn
hai. Sau đó vào năm 1883, T. William (1824-1907) và G.T. Peter (1831-1901) bổ

sung biểu thức liên hệ năng lượng của lực cắt tương đương với sự giải thích rõ ràng
về vật lý [1, 4, 38].
Lý thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff là lý thuyết tấm đơn giản nhất
được sử dụng rộng rãi để phân tích tấm. Tính đơn giản thể hiện bằng việc giả thiết
rằng, trước và sau biến dạng pháp tuyến vẫn thẳng và vuông góc với mặt phẳng
trung bình của tấm. Giả thiết này có nghĩa là bỏ qua biến dạng trượt trong tấm, nó
chỉ đúng đối với tấm mỏng còn tấm dày sẽ cho lời giải với sai số lớn.

GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HVTH: Vũ Duy Cảnh

Trang 8


Chương 1: Tổng quan

Năm 1945, E. Reissner công bố lý thuyết tấm chính xác hơn bằng cách kể đến
ảnh hưởng của biến dạng trượt trong tấm đàn hồi chịu uốn. Lý thuyết Reissner
không yêu cầu hệ số hiệu chỉnh cắt bởi vì nó được thành lập bằng cách giả định sự
phân bố ứng suất tiếp theo quy luật Parabol qua chiều dày của tấm.
Sau đó vào năm 1951, R.D. Mindlin đưa ra lý thuyết tấm có kể đến ảnh
hưởng của quán tính quay và biến dạng trượt trong dao động uốn của tấm đàn hồi
đẳng hướng hoàn toàn tương thích với lý thuyết của Reissner.
Lý thuyết Mindlin cho phép các pháp tuyến chịu các góc xoay bằng hằng số
xoay quanh mặt phẳng trung bình trong suốt quá trình biến dạng. Tuy nhiên, sự nới
lỏng về giả thiết pháp tuyến này vi phạm yêu cầu về tĩnh học, đó là ứng suất tiếp
phải bằng không tại biên tự do của tấm.
Để khắc phục sai sót đó, người ta đưa ra hệ số hiệu chỉnh lực cắt. Lý thuyết
tấm có kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang được gọi là lý thuyết tấm
Reissner-Mindlin. Lý thuyết này đã mở rộng lĩnh vực ứng dụng lý thuyết tấm vào

trường hợp tấm dày và tấm trung bình [1, 38].
1.4 TỔNG QUAN VỀ PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (PTHH)
Phƣơng pháp phần tử hữu hạn (Finite element method) là một phương
pháp số đặc biệt có hiệu quả trong việc giải các phương trình vi phân đạo hàm
riêng, bằng cách rời rạc hóa các phương trình này theo các không gian nghiên cứu.
Thuật ngữ Phần tử hữu hạn (Finite element) được biết đến với công trình
nghiên cứu của R. W. Clough năm 1960. Ông đã đề nghị sử dụng phương pháp này
như là một sự lựa chọn cho phương pháp sai phân hữu hạn đối với lời giải số của
bài toán tập trung ứng suất trong cơ học môi trường liên tục.
Sau đó, phương pháp phần tử hữu hạn tiếp tục phát triển và hoàn thiện với
các cống hiến của nhiều nhà khoa học, có thể kể đến như:
O. C Zienkiewicz, R. L. Taylor (1967, 1971, 1977, 1989), G. Strang, G.
Fix (1973), J. N. Reddy (1984, 1993), S. S. Rao (1982, 1989), T. J. T. Hughes
(1979), R. H Gallagher (1975), E. L. Wilson (1971),…

GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HVTH: Vũ Duy Cảnh

Trang 9


Chương 1: Tổng quan

Trong cùng thời kỳ, sự phát triển rất nhanh của ngành công nghệ máy tính,
nhiều công trình nghiên cứu lớn đã được triển khai bằng phân tích phần tử hữu hạn.
Từ đó, phương pháp này ngày càng được sử dụng rộng rãi trong thực tiễn [12, 25,
27, 29, 40, 45].
1.5 NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
Đề tài:
Phân tích trạng thái giới hạn của tấm phẳng có vết nứt bằng phƣơng

pháp phần tử hữu hạn.
Các nội dung nghiên cứu chính trong luận văn:
Nghiên cứu cơ sở lý thuyết cho đề tài đó là lý thuyết về cơ học rạn nứt, lý
thuyết đàn hồi và lý thuyết tấm mỏng. Nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn và
ngôn ngữ lập trình Matlab phục vụ cho đề tài trong việc lập trình tính toán và phân
tích những dữ liệu tìm được.
Khảo sát sự hội tụ cho bài toán tấm không nứt, vật liệu là thép tấm SM490
Khảo sát tấm chịu uốn làm bằng vật liệu thép SM490, một tấm có một vết
nứt ở biên và một tấm có vết nứt ở giữa. Sử dụng phân tích phần tử hữu hạn - FEA
(Finite Element Analysis) kết hợp với ngôn ngữ Matlab viết chương trình tính toán
tĩnh học, động học, động lực học tìm tần số dao động riêng của các mode dao động,
đáp ứng chuyển vị và vận tốc của từng nút.
Khảo sát tấm chịu kéo, tấm thép hợp kim Titanium Ti-6Al-4V có một vết nứt
ở biên, tấm thép AISI-4147 có một vết nứt ở giữa. Sử dụng phần tử tam giác suy
biến điểm ¼ do Barsoum đề xuất nhằm tính hệ số cường độ ứng suất (Stress
Intensity Factor – SIF) của chi tiết tấm chịu kéo có vết nứt.
Cuối cùng, tác giả sẽ đưa ra các kết luận về kết quả đạt được, nêu lên các vấn
đề đã giải quyết được, các vấn đề còn tồn đọng chưa được giải quyết và đề xuất
hướng phát triển của đề tài.

GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HVTH: Vũ Duy Cảnh

Trang 10


Chương 2: LÝ THUYẾT CƠ HỌC RẠN NỨT, LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI, LÝ THUYẾT TẤM

CHƢƠNG 2:
LÝ THUYẾT CƠ HỌC RẠN NỨT, LÝ THUYẾT

ĐÀN HỒI, LÝ THUYẾT TẤM.
2.1. LÝ THUYẾT CƠ HỌC RẠN NỨT
Do giới hạn của đề tài, tác giả trình bày một cách khái quát về các đặc trƣng
đàn hồi của vết nứt trong phạm vi cơ học rạn nứt đàn hồi tuyến tính, trình bày phần
tử suy biến nhằm mô tả sự kỳ dị của ứng suất ở đáy vết nứt. Qua đó tác giả chọn
phần tử đẳng tham số Barsoum ứng dụng vào bài toán khảo sát nhằm tăng độ chính
xác, làm cơ sở để giải quyết các vấn đề đã đề ra [20, 22, 23].
2.1.1. Ảnh hưởng của vết nứt đến độ bền kết cấu [50]
Khảo sát các kết cấu đã hình thành vết nứt, ngƣời ta nhận thấy rằng, kích
thƣớc của vết nứt sẽ phát triển nhanh theo thời gian dƣới tác dụng của tải trọng hoặc
các tác nhân môi trƣờng so với các kết cấu hoàn toàn không có nứt. Sự tập trung
ứng suất càng cao đối với các vết nứt càng lớn. Khả năng làm việc của kết cấu giảm
đáng kể theo sự tăng dần kích thƣớc của vết nứt. Qui luật lan truyền của vết nứt là
một hàm theo thời gian và có thể biểu diễn bằng các đƣờng cong cho trên Hình 2.1a
Khả năng làm việc của kết cấu giảm đáng kể theo sự tăng dần kích thƣớc của
vết nứt. Giới hạn bền của kết cấu cũng suy giảm theo sự tăng dần kích thƣớc của vết
nứt, Hình 2.1b. Sau một thời gian nhất định, giới hạn bền kết cấu giảm dần và
không đủ khả năng để chịu một tải trọng lớn bất thƣờng có thể xảy ra trong quá
trình làm việc của kết cấu. Đây chính là nguyên nhân dẫn đến kết cấu bị phá hủy.
Trong trƣờng hợp tác dụng của tải trọng bất thƣờng có thể không xảy ra, lúc
đó vết nứt tiếp tục phát triển cho đến khi giới hạn bền giảm đến mức thấp nhất, sự
phá hủy kết cấu sẽ xảy ra ngay ở tải trọng tác dụng bình thƣờng.

GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HVTH: Vũ Duy Cảnh

Trang 11


Chương 2: LÝ THUYẾT CƠ HỌC RẠN NỨT, LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI, LÝ THUYẾT TẤM

Kích thƣớc
vết nứt

Giới
hạn
bền

Giới hạn bền khi thiết
kế
Khả năng chịu tải lớn
nhất

Tần số
Thời gian
(t)

a)

Phá
hủy
có thể
xảy ra

Khả năng chịu tải bình
thƣờng
Phá
hủy

Kích thƣớc vết

nứt
Thời gian (t)

b)

Hình 2.1: Ảnh hưởng của vết nứt đến tần số và độ bền
kết cấu

2.1.2. Ứng suất và chuyển vị tại đáy vết nứt

Trong bài toán tổng quát ba chiều, có ba kiểu hình thành vết nứt có thể xảy
ra:

a) Kiểu I

b) Kiểu II

c) Kiểu III

Hình 2.2: Các kiểu hình thành vết nứt

-

Kiểu I: Vết nứt có dạng mở rộng tách vuông góc, Hình 2.2a.

-

Kiểu II: Vết nứt có dạng trƣợt dọc, Hình 2.2b.

-

Kiểu III: Vết nứt có dạng trƣợt ngang, Hình 2.2c.

Khi ứng suất bình thƣờng trong kết cấu gia tăng có thể dẫn đến sự hình thành
vết nứt theo kiểu I. Bề mặt của vết nứt di chuyển theo phƣơng vuông góc với mặt
phẳng có chứa vết nứt.
Kiểu II thƣờng hình thành dƣới tác dụng của lực cắt trong mặt phẳng. Khi
đó, sự chuyển dịch của bề mặt vết nứt ở trong mặt phẳng của vết nứt và vuông góc
với cạnh có chứa vết nứt.
Kiểu III thƣờng xảy ra do tác dụng của các lực cắt ngoài mặt phẳng, chuyển
dịch của bề mặt vết nứt ở trong mặt phẳng của vết nứt và song song với cạnh có
chứa vết nứt.
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HVTH: Vũ Duy Cảnh

Trang 12


Chương 2: LÝ THUYẾT CƠ HỌC RẠN NỨT, LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI, LÝ THUYẾT TẤM

Khảo sát vết nứt trên một tấm vô hạn có bề dày không đổi chịu ứng suất kéo
phân bố, Hình 2.3

y

y

xy

dy

r



x
dx
x

2a

Hình 2.3: Vết nứt trong trường hợp ứng suất kéo

Khi đó, ứng suất tại một điểm bất kỳ trong lân cận đáy vết nứt đối với kiểu
hình thành vết nứt kiểu I cho vật liệu đàn hồi đẳng hƣớng đƣợc xác định:

a
 

3 
. cos .1  sin . sin 
 x   .
2r
2
2
2 


a
 


3 
. cos .1  sin . sin 
 y   .
2r
2
2
2 


a


3
 xy   .
. sin . cos . cos
2r
2
2
2


(2.1)

Ứng suất tại những điểm lân cận đáy vết nứt phụ thuộc vào khoảng cách r.
Các ứng suất này sẽ tiến đến vô hạn (kỳ dị) khi r  0 (đáy vết nứt). Điều này
không phù hợp với thực tế, cho nên khái niệm Hệ số cường độ ứng suất [17, 41]
đƣợc đƣa ra nhằm giải quyết sự kỳ dị ở đáy vết nứt và thể hiện đặc trƣng của vết
nứt ở lân cận đáy vết nứt. Từ đó, công thức (2.1) có thể viết lại:
KI


 

3 
. cos .1  sin . sin 
 x 
2
2
2 
2r


KI
 

3 
. cos .1  sin . sin 
 y 
2
2
2 
2r


KI


3
. sin . cos . cos
 xy 
2

2
2
2r


(2.2)

Chuyển vị:
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HVTH: Vũ Duy Cảnh

Trang 13


Chương 2: LÝ THUYẾT CƠ HỌC RẠN NỨT, LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI, LÝ THUYẾT TẤM


K1
r
 
  
.
. cos .  1  2 sin 2  
u x 
2G 2
2 
 2 


u  K1 . r . cos  .  1  2 sin 2   

 
 y 2G 2
2 
 2 


(2.3)

Trong đó:


3 
1 

: đối với bài toán ứng suất phẳng

G

: module trƣợt.



: hệ số poisson

Ở mặt phẳng   0 ,
x y 

K1
,  xy  0
2r

(2.4)

Đối với các kiểu hình thành vết nứt thứ II và thứ III, ứng suất và chuyển vị ở
lân cận đáy vết nứt là:

K II
 

3 
. sin . 2  cos . cos 
 x 
2 
2
2 
2r

K II



3
. sin . cos . cos
 y 
2
2
2
2r



K II
 

3 
. cos .1  sin . sin 
 xy 
2 
2
2 
2r


(2.5)


K II
r
 
  
.
. sin .  1  2 cos 2  
u x 
2G 2
2 
 2 


u   K II . r . cos  .  1  2 sin 2   
 
 y

2G 2
2 
 2 


(2.6)


K III

. sin
 xz  
2
2r


K III

. cos
 yz 
2
2r


K
r

u z  III .
. sin



2
2

(2.7)

Trong đó:
KI, KII, KIII là hệ số cƣờng độ ứng suất của dạng nứt kiểu I, kiểu II và kiểu III
tƣơng ứng.
Nếu trong cấu trúc có sự kết hợp của 3 kiểu mở rộng vết nứt xảy ra cùng một
lúc thì:
GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HVTH: Vũ Duy Cảnh

Trang 14


Chương 2: LÝ THUYẾT CƠ HỌC RẠN NỨT, LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI, LÝ THUYẾT TẤM

 Hệ số cƣờng độ ứng suất chung KIres đƣợc tính nhƣ sau:
+ Trƣờng hợp ứng suất phẳng:
2
K Ires  K I2  K II2  (1  ) K III

(2.8)

+ Trƣờng hợp biến dạng phẳng:
2
K Ires  (1  2 )( K I2  K II2 )  (1  ) K III

(2.9)

 Ứng suất ở lân cận đáy vết nứt đƣợc xác định theo nguyên lý chồng chất tuyến
tính:
 ijtotal   ijI   ijII   ijIII

(2.10)

Tiêu chuẩn gãy vở của một cấu trúc: KI = KIC
Với KIC: Hệ số cƣờng độ ứng suất tới hạn (ngƣỡng) (Critical Stress Intensity
Factor)
2.1.3. Sự hình thành biến dạng dẻo ở đáy vết nứt [50]
Trong thực tế, mỗi loại vật liệu đều có một giới hạn chảy riêng nhất định, và
khi ứng suất trong kết cấu đạt đến giới hạn chảy thì sẽ xuất hiện biến dạng dẻo.
Điều này có nghĩa là ở đáy vết nứt sẽ luôn tồn tại một vùng biến dạng dẻo, vùng
biến dạng dẻo này có kích thƣớc nhỏ và mang tính chất cục bộ lân cận đáy vết nứt.
Kích thƣớc của vùng biến dạng dẻo ở đáy vết nứt đƣợc xác định theo lý
thuyết của Irwin, trong mặt phẳng  = 0,
y 

K
2rp*

  ch hay r 
*

p

a  


 
2
2 ch 2   ch 
K2

2

(2.11)

Trong đó:  là ứng suất bên trong kết cấu xung quanh vị trí vết nứt; a là
chiều dài vết nứt; ch là ứng suất giới hạn chảy của vật liệu.
Thực tế cho thấy, đối với vật liệu đàn – dẻo, khi xảy ra sự chảy thì ứng suất
có hiện tƣơng phân bố lại để thỏa mãn sự cân bằng. Khi đó vùng biến dạng dẻo với
kích thƣớc rp* không phù hợp nữa vì  y không thể lớn hơn  ch . Do đó, kích thƣớc
vùng biến dạng dẻo phải tăng lên để thỏa mãn điều kiện trên. Theo Irwin thì

rp  2rp* [18, 37], Hình 2.4

GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HVTH: Vũ Duy Cảnh

Trang 15


Chương 2: LÝ THUYẾT CƠ HỌC RẠN NỨT, LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI, LÝ THUYẾT TẤM

y
Đàn hồi

ch

Đàn - dẻo
CTOD

CTOD

rp*

*

rp

COD

x
a

rp  2rp

Vùng biến dạng dẻo

*

Hình 2.4: Vùng biến dạng dẻo tại đáy vết nứt

a  rp*

Hình 2.5: Độ mở rộng của đáy vết nứt

Độ mở rộng ở đáy vết nứt CTOD (Crack Tip Opening Displacement) đƣợc
xác định [11, 18, 37]:

CTOD 

4
4 K I2
. 2arp* 
E
E ch

(2.12)

Độ mở rộng vết nứt COD (Crack Opening Displacement), đƣợc xác định,
Hình 2.5:
COD 

4
E

a  r 

* 2
p

 x2

(2.13)

2.1.4. Hệ số cường độ ứng suất (Stress Intensity Factor) [17, 50]
Nhƣ đã đề cập trên, hệ số cƣờng độ ứng suất đƣợc đƣa ra nhằm giải quyết sự
suy biến tại đáy vết nứt và nó cũng là thông số đặc trƣng cho vết nứt. Nó đƣợc định
nghĩa:

K  lim ( 2r )
r 0

(2.14)

Với hệ tọa độ đƣợc trình bày trong Hình 2.3 và  đƣợc ƣớc lƣợng trong giới
hạn dọc theo đƣờng   0 . Quá trình giới hạn cho ra một hệ số cƣờng độ ứng suất K
là một hàm phụ thuộc vào độ đớn của ứng suất tác dụng và dạng hình học của kết
cấu. Giá trị hữu hạn của K đƣợc xác định:
K   a

GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HVTH: Vũ Duy Cảnh

(2.15)

Trang 16


Chương 2: LÝ THUYẾT CƠ HỌC RẠN NỨT, LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI, LÝ THUYẾT TẤM

Hệ số cƣờng độ ứng suất có tính hữu hạn và làm cơ sở cho việc xác định lực
giới hạn. Điều kiện tới hạn trong cơ học rạn nứt là sự khởi đầu và lan truyền của vết
nứt, trong đó vết nứt phát triển cƣờng độ cao dẫn đến kết cấu bị hƣ hỏng.
Nếu cho rằng vật liệu (kết cấu) bị hƣ hỏng cục bộ do sự kết hợp tới hạn nào
đó của ứng suất và căng suất, việc tiếp theo là rạn nứt sẽ xảy ra tại một hệ số cƣờng
độ ứng suất tới hạn KC. Nhƣ thế, KC là một số đo độ cứng (toughness) và nó đƣợc
xác định bằng thực nghiệm. Khi
K  KC

(2.16)

vết nứt bắt đầu sự lan truyền (phát triển) và hƣ hỏng sẽ xảy ra. Do đó, KC là số đo
sức đề kháng của vật liệu và đƣợc xem là một đặc tính của vật liệu.
Hệ số cƣờng độ ứng suất phụ thuộc vào dạng hình học của kết cấu. Công
thức (2.14) đƣợc đƣa ra trong trƣờng hợp vết nứt kín, dạng elip và chiều dài vết nứt
rất nhỏ so với kết cấu. Đối với trƣờng hợp vết nứt hở hay chiều dài vết nứt tƣơng
đối lớn, khi đó lời giải tiệm cận cho K là [36, 40]:
K  F (a / b) K 

(2.17)

Trong đó, K  là hệ số cƣờng độ ứng suất tƣơng ứng với tấm vô hạn chịu lực
lƣỡng cực và F (a / b) là nhân tử nhƣ một hàm phụ thuộc vào (a/b), với a là chiều
dài vết nứt và b là bề rộng hữu hạn của tấm. Nhân tử F (a / b) cho trƣờng hợp cụ thể
có thể tra trong sổ tay cơ học. Trong luận văn này, giá trị F(a/b) đƣợc tra từ sổ tay
TaDa [41].
2.2. LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Lý thuyết đàn hồi bắt nguồn từ cơ học vật liệu. Về mặt lịch sử, nguồn gốc
của cơ học vật liệu khởi sự vào thế kỷ 17, lý thuyết đàn hồi đƣợc trình bày chi tiết
trong sách “Theory of Elasticity” của S. Timoshenko and J.N. Goodier [39].
Trong giới hạn phạm vi của luận văn, tác giả chỉ tóm tắt về lý thuyết biến
dạng đàn hồi trong trƣờng hợp kết cấu ở trạng thái ứng suất phẳng và lý thuyết tấm
làm cơ sở để giải quyết các vấn đề đƣợc đƣa ra ở chƣơng 1.
2.2.1 Lý thuyết đàn hồi cho bài toán ứng suất phẳng
Một cách tổng quát, ứng suất và biến dạng trên các vật thể bao gồm 6 thành
phần, Hình 2.6 [12, 39].

GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HVTH: Vũ Duy Cảnh

Trang 17


Chương 2: LÝ THUYẾT CƠ HỌC RẠN NỨT, LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI, LÝ THUYẾT TẤM

Đối với ứng suất:  x ,  y ,  z , xy , yz , xz tƣơng ứng với ứng suất pháp theo
phƣơng x, y, z và ứng suất tiếp theo phƣơng z, x, y.
Đối với biến dạng:  x ,  x ,  x ,  xy ,  yz ,  xz tƣơng ứng với biến dạng pháp căng
theo phƣơng x, y, z và trƣợt căng theo phƣơng z, x, y.

Hình 2.6: Các thành phần ứng suất và biến dạng

Dƣới những điều kiện cho trƣớc, trạng thái ứng suất và biến dạng có thể
đƣợc đơn giản hóa. Vì vậy, phân tích vật thể 3D có thể đƣợc đƣa về thành phân tích
2D [12].
Với các vật thể mỏng, kích thƣớc theo phƣơng z rất nhỏ so với hai phƣơng
còn lại, chịu tác dụng của các lực trong mặt phẳng Oxy, Hình 2.7,

Hình 2.7: Mô hình bài toán ứng suất phẳng

Ngƣời ta có thể chấp nhận giả thiết rằng:

 z   xz   yz  0

(2.18)

và biến dạng theo phƣơng z là tự do nên (  z  0 ). Khi đó, ngƣời ta nói kết cấu làm
việc trong trạng thái ứng suất phẳng.
a. Quan hệ ứng suất - biến dạng – nhiệt độ

GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HVTH: Vũ Duy Cảnh

Trang 18