Luận văn dao động tự do của vỏ nón cụt FGM

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

LÊ THỊ NGỌC ÁNH

DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA VỎ NÓN CỤT FGM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội



ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

LÊ THỊ NGỌC ÁNH

DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA VỎ NÓN CỤT FGM
Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số:

60440107

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. ĐÀO VĂN DŨNG

Hà Nội


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy giáo PGS. TS Đào
Văn Dũng đã tận tình hướng dẫn khoa học và tạo mọi điều kiện giúp đỡ để
em có thể hoàn thành luận văn tốt nghiệp này.
Em xin cảm ơn các thầy cô bộ môn Cơ học, khoa Toán – Cơ – Tin
học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQGHN đã dạy em những kiến
thức cơ bản về phương pháp, nghiên cứu, lý luận để em có thể hoàn thành
luận văn một cách thuận lợi nhất.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến ban lãnh khoa Toán – Cơ – Tin học;
trường Đại học Khoa học Tự nhiên, phòng Sau Đại học và ban lãnh đạo Viện
Cơ học cùng các đồng nghiệp phòng Cơ học Vật rắn đã tạo mọi điều kiện
quan tâm, động viên và giúp đỡ để em hoàn thành luận văn.
Cuối cùng, em xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, bạn bè, và
những người thân luôn ở bên động viên, khích lệ em trong quá trình hoàn
thành luận văn này.

Lê Thị Ngọc Ánh

Mục lục


MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
Chương 1 - TIẾP CẬN GIẢI TÍCH..................................................................5
1.1 Các hệ thức cơ bản..................................................................................5
1.1.1. Vỏ nón vật liệu cơ tính biến thiên...................................................5
Hình 1. Hình vẽ vỏ nón cụt ES – FGM.....................................................6
1.1.2. Phương trình cơ bản........................................................................7

1.2. Phương pháp giải..................................................................................11
1.2.1. Điều kiện biên..............................................................................11
1.2.2. Dạng nghiệm.................................................................................11
1.2.3. Phương trình tìm tần số riêng .....................................................11
(1.29)..........................................................................................................16
Chương 2 – TÍNH TOÁN SỐ.........................................................................17
2.1. So sánh kết quả.....................................................................................17
2.2. Kết quả số cho vỏ nón cụt ES – FGM .................................................18
2.2.2. Ảnh hưởng của tỉ phần thể tích ....................................................23
2.2.3. Ảnh hưởng của tốc độ quay ..........................................................25
2.2.4. Ảnh hưởng của góc nón ................................................................26
2.2.5. So sánh tham số tần số trong trường hợp vỏ nón cụt có gân gia
cường và không gân gia cường...............................................................27
2.2.6. Ảnh hưởng của tỉ số .....................................................................30
2.2.7. Ảnh hưởng của tỉ số .....................................................................31
2.2.8. Ảnh hưởng của số gân ..................................................................32
KẾT LUẬN.....................................................................................................36
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................38
PHỤ LỤC..........................................................................................................1


MỞ ĐẦU
Vỏ nón có cơ tính biến thiên (FGM) là một trong những kết cấu được
ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực công nghệ khoa học kỹ thuật như hàng
không, tên lửa, động cơ đẩy và các thiết bị vũ trụ khác. Chính vì vậy mà có
nhiều bài toán liên quan đến ổn định và dao động của các kết cấu vỏ nón được
sự quan tâm của các nhà nghiên cứu. Bài toán dao động tự do đóng vai trò
quan trọng trong việc xác định tần số riêng của vỏ nón.
Các kết quả đối với bài toán dao động của kết cấu làm từ vật liệu
Composite, trong đó có vật liệu FGM ngày càng công bố nhiều hơn. Hua L.

[2] đã phân tích tần số vỏ nón cụt trực hướng với các điều kiện biên khác
nhau. Tác giả này [3] cũng đã khảo sát đặc trưng tần số của vỏ nón cụt
composite phân lớp với điều kiện biên tựa đơn. Nghiên cứu này dựa trên lý
thuyết bậc nhất Love và phương pháp Galerkin có tính đến gia tốc Coriolis để
khảo sát sự biến thiên của tham số tần số khi các tham số hình học, mode dao
động và tốc độ quay thay đổi. Lam và các cộng sự [5,6] đã đề xuất phương
pháp cầu phương vi phân (DQM) đối với các nghiên cứu với ảnh hưởng của
các điều kiện biên đến các đặc trưng dao động tự do của vỏ nón cụt. Ở đây có
xem xét đến sự ảnh hưởng của góc đỉnh nón đến tham số tần số. Talebitooti
và các cộng sự [7] đã đề cập đến dao động tự do của vỏ nón composite có gắn
gân dọc và gân tròn. Dựa vào lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất của vỏ và
phương pháp cầu phương vi phân QDM, Malekzadeh và Heydarpour [8] đã
nghiên cứu ảnh hưởng của gia tốc Coriolis kết hợp với các tham số hình học
và vật liệu phân tích dao động tự do của vỏ nón cụt FGM quay với một số
điều kiện biên khác nhau. Các kết quả về dao động của vỏ nón, vỏ trụ FGM
và các kết cấu tấm hình khuyên với bốn tham số phân bố theo quy luật lũy
thừa dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất được nghiên cứu bởi

1


Tornabene và các cộng sự [11].
Trong những năm gần đây, các kết cấu làm bằng vật liệu có cơ tính
biến thiên (FGM) được sử dụng rộng rãi trong các ngành kỹ thuật vì vậy mà
các ứng xử dao động cũng như ổn định của tấm và vỏ FGM ngày càng được
nhiều quan tâm nghiên cứu của các nhà khoa học. Trong số đó có Sofiyev [9]
đã nghiên cứu về dao động và ổn định tuyến tính của vỏ nón cụt FGM không
có gân với các điều kiện biên khác nhau. Chính tác giả này cũng đã để xuất
dao động phi tuyến [10] của vỏ nón cụt FGM. Đối với các bài toán phân tích
tuyến tính thì việc sử dụng lý thuyết vỏ Donnell cải tiến để tìm phương trình

chủ đạo và phương pháp Garlekin được sử dụng để tìm ra biểu thức đóng xác
định tải vồng tới hạn dạng rẽ nhánh hoặc biểu diễn các tần số cơ bản; trong
khi đó phân tích phi tuyến sử dụng lý thuyết chuyển vị lớn dạng von Karman
– Donnell của phi tuyến động.
Nhận thấy rằng các kết quả công bố trên hầu hết nghiên cứu với các kết
cấu không có gân gia cường. Tuy nhiên trong thực tế thì các kết cấu tấm và vỏ
bao gồm cả vỏ nón thường được tăng cường bởi hệ thống các gân để đảm bảo
độ cứng của khả năng mang tải mà chỉ cần một khối lượng nhỏ được gắn
thêm vào. Hiện nay các kết cấu được làm từ FGM ngày càng trở nên phổ biến
hơn. Việc nghiên cứu ổn định và dao động các kết cấu FGM dạng tấm và vỏ
là một trong những vấn đề được quan tâm hàng đầu nhằm mục đích đảm bảo
cho các kết cấu làm việc an toàn và tối ưu. Trong thực tế để tăng cường khả
năng làm việc của kết cấu người ta thường gia cố bằng các gân gia cường.
Cách làm này có ưu điểm là trọng lượng của gân thêm vào ít mà khả năng
chịu tải của kết cấu lại tăng lên nhiều, hơn nữa chỉ cần gia cố ở những vị trí
xung yếu, do vậy đây là phương án rất tối ưu về vật liệu.
Gần đây, các kết cấu FGM có gân gia cường nhận được nhiều quan tâm
nghiên cứu chủ yếu tập trung vào phân tích ổn định, mất ổn định sau vồng và
2


dao động của kết cấu tấm và vỏ của các nhà khoa học trong nước. Tác giả Đ.
H. Bích cùng các cộng sự [12] đã để cập đến ứng xử vồng của panel nón
FGM chịu tác dụng của tải cơ. Tác giả Đ. V. Dũng cùng các cộng sự [13] đã
nghiên cứu sự mất ổn định của vỏ nón cụt có gân gia cường chịu tác dụng của
tải cơ. Phương trình cân bằng và ổn định tuyến tính nhận được dựa trên lý
thuyết vỏ kinh điển và kỹ thuật san đều tác dụng gân.
Nhìn tổng quan các tài liệu chỉ Ω ra rằng vẫn chưa có nhiều các nghiên
cứu về dao động tự do của vỏ nón cụt FGM có gân gia cường lệch tâm (ES –
FGM ) quay quanh trục đối xứng. Dựa trên tài liệu tham khảo của Hua L. [3],

nghiên cứu đặc trưng tần số của vỏ nón cụt composite phân lớp quay quanh
trực đối xứng không gân gia cường, luận văn phát triển và nghiên cứu đặc
trưng tần số đối với vỏ nón FGM có gân gia cường quay quanh trục đối xứng.
Luận văn tập trung vào giải quyết bài toán bằng phương pháp giải tích dựa
trên lý thuyết vỏ Donell, kỹ thuật san đều tác dụng gân và phương pháp
Galerkin. Các phân tích tiến hành để đánh giá ảnh hưởng của gân, tham số vật
liệu và tham số hình học cũng như tác dụng của gia tốc Coriolis (sinh ra do vỏ
nón quay với tốc độ quay ) đến tham số tần số đối với dao động tự do của vỏ
nón cụt FGM có gân gia cường.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục
và các chương chính như sau:
Chương 1. Tiếp cận giải tích: Trình bày các hệ thức cơ bản và các
phương trình chuyển động viết qua các thành phần chuyển vị của vỏ nón cụt
FGM; diễn giải chi tiết cách giải phương trình chuyển động để tìm ra tần số
riêng của vỏ nón.
Chương 2. Tính toán bằng số: Các tính toán số so sánh với các công bố
trước đó để khẳng định sự tin cậy của tính toán giải tích và khảo sát các ảnh
hưởng của các tham số hình học, vật liệu cũng như tốc độ quay đến tham số
3


tần số của vỏ nón.
Nội dung cụ thể của các chương sẽ được trình bày dưới đây.

4


Chương 1 - TIẾP CẬN GIẢI TÍCH
1.1 Các hệ thức cơ bản
1.1.1. Vỏ nón vật liệu cơ tính biến thiên

v, z )
L
hrx,z,θ
xθw
( xrux,,αΩ
0R

Xét vỏ nón cụt mỏng

FGM có bề dày , chiều dài và góc nón quay quanh trục đối xứng nối
tâm nón và chóp nón với tốc độ quay không đổi (Hình 1), trong đó lần
lượt là bán kính đáy nhỏ và đáy lớn của vỏ nón cụt. Chọn hệ trục tọa độ
đối với vỏ nón là hệ trục tọa độ cong , trong đó gốc tọa độ đặt tại mặt
giữa của vỏ, trục theo chiều đường sinh tính từ chóp của vỏ nón, trục
theo chiều của đường tròn và trục vuông góc với mặt phẳng (), hướng
theo pháp tuyến ngoài của nón; là khoảng cách từ chóp nón đến đáy
nhỏ . Kí hiệu và lần lượt là các thành phần chuyển vị của điểm tại mặt
trung bình theo các phương và .

5


Hình 1. Hình vẽ vỏ nón cụt ES – FGM
Giả sử vỏ nón được làm từ hỗn hợp hai vật liệu là gốm và kim loại với
thành phần vật liệu chỉ thay đổi dọc theo chiều dày của vỏ theo quy luật lũy
thừa như sau:
Vm ( z ) =12−z V+c h( z),k
Vc ( z ) = 
÷,
 2h 

(1.1)
−h / 2kc≤,h≥zm0≤ h / 2 trong đó , và là chỉ số tỉ phần
thể tích xác định sự phân bố vật liệu theo bề dày của vỏ FGM. Các chỉ số
dưới kí hiệu tương ứng là thành phần gốm và kim loại.

6


Các tính chất hiệu dụng của Preff vật liệu FGM được xác định bởi
công thức:
Preff ( z ) = Prc Vc ( z ) + Prm Vm ( z )
(1.2)
E ( z ) trên, ta có mô đun đàn hồi Young
Theo quy luật đã nêu như ρ
và mật độ khối được viết dưới dạng sau:
k

(1.3) E ( z ) = E + E  2 z + h 
cm 
÷
m
 2h k
ρEcm == ρEcc −−ρE2mmz. + h 
trong đó ,
ρ ( z ) = ρcm
+ ρ cm 
÷
m
 2h 
Hệ số Poisson giả thiết là hằng số. υ

1.1.2. Phương trình cơ bản

Sử dụng lý thuyết vỏ z Donnell cùng với kỹ thuật san đều tác
dụng gân để thiết lập phương trình chủ đạo của vỏ. Vì vậy biến dạng
dài và biến dạng trượt tại điểm bất kì cách mặt trung bình một khoảng
có dạng [1]:

ε x = ε xm + zk x ,
ε θ = ε θ m + zkθ ,
(1.4)

γ xθ = γ xθ m + 2 zk xθ ,

εkxm
γxk,x,xθθεmkθθm trong đó là biến dạng dài và là
biến dạng trượt tại mặt trung bình của vỏ; và tương ứng là biến thiên của độ
cong và độ xoắn. Các thành phần này có thể viết qua chuyển vị như sau [1]

ε xm = u, x

εθ m =

,

1
u w
v,θ + + cot gα
x sin α
x x
7

,


(1.5)

γ xθ m =

1
v
u,θ − + v, x
x sin α
x

,
và

k x = − w, xx ,
coswα
1
kθ =+ − 2−2 ,2x ,2 v,θw,θθ
x xsinsin
x αα
cos
cos1αα1
k xθ+= −
vv,w
x, ,−
θw, xθ
2

xx2sin
sin
sin
x sin
ααα α

(1.6)

Liên hệ giữa ứng suất –

biến dạng theo định luật Hooke đối với vỏ nón FGM cho bởi
E ( z)
( ε x + υεθ ) ,
1−υ2
E ( z)
=
( εθ + υε x ) ,
1−υ2

σ xsh =
σ θsh

σ xshθ =
và đối với gân

(1.7)

E( z)
γ xθ ,
2( 1 + υ )

σ xs = Esε x ,

σ θs = Erε θ ,

(1.8)

θxsrs hiệu là vỏ và gân, và tương ứng là
E
trong đó các chỉ số và tương ứng kí sh
mô đun đàn hồi của các gân theo phương và theo phương . Để đảm bảo sự
liên tục giữa gân và vỏ, các gân được gắn vào sẽ là gân kim loại ở mặt kim
loại, và gắn gân bằng gốm nếu mặt vỏ gốm.
Để tính đến tác dụng của các gân ta sử dụng kỹ thuật san đều tác dụng
gân và bỏ qua sự xoắn của gân bởi vì các hằng số xoắn này là nhỏ hơn rất
nhiều so với momen quán tính. Thêm vào nữa, sự thay đổi của khoảng cách
giữa các gân dọc theo đường sinh cũng được tính đến. Lấy tích phân các
phương trình liên hệ ứng suất - biến dạng và momen của chúng theo bề dày
8


của vỏ ta được biểu thức của tổng nội lực, tổng momen và các lực cắt của vỏ
nón ES - FGM như sau:

EA 
N x =  A11 + s 1 ÷ε xm + A12εθ m + [ B11 + C1 ( x) ] k x + B12kθ ,
d1 ( x) 


EA 

Nθ = A12ε xm +  A22 + r 2 ÷εθ m + B12 k x + ( B22 + C2 )kθ ,
d2 


(1.9)

N xθ = A66γ xθ m + 2 B66k xθ ,

,


EI 
M x = [ B11 + C1 ( x ) ] ε xm + B12εθ m +  D11 + s 1 ÷k x + D12 kθ ,
 ++ d1 ( x) 
B22θ D
+
=12C
BkE12
ε2xm
(M
I+
2xr)ε
θm
 D22 +
÷kθ
d2 
(1.10)


,

M+
DB
kγxθxθ m
xθ2=
6666

trong đó các hệ số và được cho bởi AijD, ijBij công thức sau
d01AA(21x2=
)hhπE
=E
b++sin
hC
A
hA
h102211x0α
z ,,,,,,,,.
1r2L
sλ
C
λzC
d=(==2x±±)== ,12
210z211=
2n2dλsr x20
, ,

1
b12h1323 + A12zz1222
12
υEE E

A11AA
=12=A=22 = 11 2 1 2
66
2(1
1 −+
1υ−
υυ
)

II21 =

,,,

υEE E , , ,
B11BB66=12=
B=22 = 222 2 2
2(1
1 −+
1υ−
υυ
)
,,,
và
E1 = Em h +
(1.12)
.

Ecm h
,
k +1

(1.11)

υ
EE3E33
D11 D
= 66D12
=
=
22
2(1
1 −+υ 2)

 1
1 
E2 = Ecm h 2 
−
,
 ( k + 2) (2k + 2) 
1111cm h3  3
+
E

E3= E+−m h
++234) 
kkk+12
(4
nhIhzd12s11d,θ1x,(2zInbA
x2212r2)
Ở đây kí hiệu tương ứng d1 =A

9


là số gân dọc theo đường sinh và số gân vòng; là bề dày, chiều rộng của gân
dọc (theo phương ) và là bề dày, chiều rộng của gân vòng (theo phương ). Và
, tương ứng là khoảng cách giữa hai gân dọc và hai gân vòng. Các đại lượng
là phần diện tích mặt cắt ngang của các gân . là các momen quán tính bậc hai
của phần cắt ngang các gân liên hệ với mặt trung bình của vỏ; và biểu diễn
độ lệch tâm của các gân dọc và gân vòng so với mặt giữa của vỏ.
Phương trình chuyển động đối với bài toán dao động tự do của vỏ nón
cụt ES - FGM có dạng [2,3]
1 ∂N xθ 
∂v
ρθo3  ∂2u∂ρ23u
 1)
∂N x
1
N
Ω
αα sin α ∂w ÷
+ + ( N x −−N+θρ)2+2+2  2ρ÷2 + 2 =2÷0,
− xsin
cos
∂t
∂x x sinxα ∂θ  x sinx α
∂x 
 ∂t ∂xθ 
cot α
∂N∂xM
1 cos∂αN ∂M 2)

θ xθ
+ + 2 2θ + θ
x ∂x ∂x x sin
x αsin∂θα ∂θ
v
1
∂u2,M
2 ∂M x
θ
+ 2 2
+
2
x sin α ∂θ
x ∂x
1 ∂M θ
Nθo ∂u 
 ∂2w
α2 ÷
 − x2 −∂xxsin+αxcos
2
sin
α
∂
θ
2
o α ) ∂x 

u(sin
αNα
cos

cot
w
cos
α
+
+− 2 θ 2Nθ
x xsin α

3)

trong đó (rad/s) là tốc
độ quay của vỏ nón.

ρwv θ
Nθo  ∂u∂u ρ3  ∂2+∂2v22u∂∂N
2sin
Ω
+x sin
+2 =3x0,
−α2 α
ρ 2−+
+ 2sin
x+
α÷ρ 2 αα
+÷
 sin
cos
 α∂θ∂t x  ∂∂tx∂∂θxxt 
x sin

ρΩ

Nθ0 =  ρ 2 + 3 ÷Ω 2 x 2 sin 2 α ,
x 


h +=ρρρsAAc21−,. ρ m 
ρ 2 = ρ
ρ3 m +r
(1.14)
λd0k2 + 1 ÷


Ở đây là mật độ khối của gân

ρ r , ρ s vòng và gân dọc tương ứng.

10

2
 ∂cos
wαρ∂3 v
Ω
+−
2  ρ2 +
= 0,÷
2
3)  ∂t x∂t

(1.1

1.2. Phương pháp giải
Trong phần này phương trình xác định tần số dao động của vỏ nón cụt
ES – FGM được tìm bằng phương pháp giải tích.
1.2.1. Điều kiện biên
Giả sử rằng vỏ nón tựa đơn ở hai đầu. Khi đó điều kiện biên
được viết dưới dạng như sau:
xxvw0===
+x0,0L
0,

tại ,

N
M
xx0x=x+==xL
0,
00,

tại .

(1.15)
1.2.2. Dạng nghiệm
Nghiệm gần đúng thỏa mãn các điều kiện biên (1.15) có thể chọn dưới
dạng
u = U cos

mπ ( x − x0 )
cos(nθ + ωt ),

L

v = V sin

mπ ( x − x0 )
sin(nθ + ωt ),
L

(1.16)
w = W sin
trong đó lần lượt là

mπ ( x − x0 )
cos(nθ + ωt ),
Lω
m, n

số nửa sóng hướng theo dọc đường sinh vỏ nón và số sóng theo hướng
vòng tương ứng; (rad /s) là tần số riêng của vỏ nón quay.
1.2.3. Phương trình tìm tần số riêng
Trước hết thế các phương trình liên hệ giữa nội lực, momen với biến
dạng ở (1.9) và (1.10) vào hệ phương trình (1.13) ta được

11


(1.17)

T11 (u ) + T12 (v) + T13 ( w) = 0,
T21 (u ) + T22 (v) + T23 ( w) = 0,

(1.18)
(1.19)

T31 (u ) + T32 (v) + T33 ( w) = 0,

trong đó
22
∂E 2A 
 1∂A∂ρ
 +
11 
T11 ρ
=22+A1122 3+2+÷AΩ66s +1 ÷
∂∂xxθxα∂xλ x
 x sin
 − ρ1E3r A∂202 
−( ρ
A22
+ 2 ) ÷2 ,
2 +
xxd 2∂t 


 α ∂ρ3, 
+Ω
2 sin
ρ2 + ÷
∂xt 


,

2+
+( B×
B(B
222
(B
2B
B
+66
+C
)+222))C10 
11212
1366C
 1−
B
∂
∂
∂

22
11
cot
α2 + ÷
T13=+−−A12
23 B
2 +
2+
∂x2θ113∂x2 α

2x x∂xθ∂xsin
x 
cot
∂αEα
ρ
−os


Ω−xc
sin
α
A
3
r 2 
ρ
+
A
+
2
2

÷
 22 ∂x x ÷
d 2 
 

C
12 2α− B66 ) 
 ( B22+ +Ecot
rA

 A22++ x 23 sin α+ ×A 66 ÷
 d2



+

2C )
(B22
2cot
3cot
2cot
cot
∂∂2+12E
ααA

α

2 α
rr I 22
+
T22 =+
A
+
+
A
D
D
+
662432 2 2 222 66

÷ B66
22
22
÷
x
x
sin
α
x
∂
∂
x
θ
x
d
d
cot
12∂α 222  2 
ρ α
  4cot
B6666Dx−−66sin α 
+  ρ 2 ++ 233÷A
Ω
x
∂
x
x
x
x



22
ρ3   
 cot1∂α
4cot
α
B
+− −
66+÷
 ρ 232 +A,66D
  xxx∂4t 2 x 66  +

αI2 )  
∂+3E1C
 −+( B22cot
r 2
D
+
4
3 33 ÷
xx∂3sin
 22
sin
2
θ
)  I  
α
122αα
∂+ dC
  +(+B−22cot

E
r 2
4
D
−
D
−
2
 66 2 x∂3x22
÷
sin
α
sin
α
∂∂E
αθrαA2d2 
− 4cot
α cot
 cot
+ 3 +
A224 +2( B22 D+66÷C2 ) 
xΩ
sin
∂θsin
αdαρ2α  
x sin
αxc∂os

−2  ρ 2 +, 3 ÷
∂t −2 B2x20B) )3

( B22
+2cot
1(B
∂C∂31+22α+
C∂C
12
6666∂
+
+
(
B
)+
−
A112
T31 = +2 B3112B2211
+222 2+
22÷
x x∂xx∂sin
sin
xθ ∂αxα  ∂x3
12

2 )
+( B12 + 2 B+66E
(+
B
AB12
+ot
1+2+α1B
(r 12

c22
∂AC∂66

A
2
2
+ A66 ×÷
 A22 +T−12=xx223sin
∂sin
xα∂α
∂θα
θ
d 2  xsin


+
B
(B661∂A
α)266+)
ρ3  (+A212
 cot

12
= x 2sin α 
 ρ 2 + T21÷Ω
x  xx ∂sin
x∂α
θ


sin
ρ∂∂α
 2Ωsin
;
−+2 Ω
ρ 2 + α3 ÷
∂
θ
t
x



((D
B12 cot
+ 22∂α
D
B
13 )
T23 = 12
− 2 2 66 
x x∂sin
xsinα
∂α
θ


c2cot
αρcααos
∂os

sin
Ω+21xΩ
sin
α
E
A2α×) 
(
−
B
ρ 2+22+ +2 r 3C
3 22
÷2 ÷
xA
∂
x
x
x

d
34 D2  )
+∂α
1cot
( D12

T32 =  2 2 ( B1266 + 2 B66 )
x∂xsin
α∂3 α
θ
 x sin
+E1C

αI2 )  
 22c∂ot
 ++( B
r 2
D
+
3 33 ÷
xx4∂3sin
 22
sin
θ2 d 2αα 
2 (B
+)(22
22cot
+2266C
∂ρ
1∂B
c∂Bot
α)+
α23C
 (1 − cot α
α


2B 
E+2E
E2r )A
r Ir2I 2 66
α
,

+
−2DD
ρ
+
+ 2(
+
)
D
D
+
+
A
+
2
c266os
÷
3
4
−DD12122 +++44Ω
3 22 22
÷ ÷
∂xsin
θ∂sin
xx∂66
xsin
xt322d 2 d 2d÷
θα∂αα
x
sin
α

2
3
4
4


4
D
(BD
+∂∂++
C
D
)2II66
)1 ) ∂  2  
+
124Eα
2α
2cot
22cot
∂2ID
E
12
22
66
12
1+(2(
rE
s
r
−

−
+
D
T33+= −2 D
+211++24 2242 2B312÷2÷÷ 4
×D
22342311
22sin
x
x
x∂θx∂θθd∂λα
x2αd0 x2 ∂x
x  ∂∂xxsin
C
  1 −(Bρ22
cot
∂3cot
∂∂+2ρ22E2ρ
α
2r I22E
A
E
2)
2r I2 
3r 3
−
+
ρ
+
×

+
+
ρ
ρ
+
−
+
Ω
.
c
Ω
os
α
D
−
4
A
D
D
+
+
D
+
2
4
2

÷
2
2

3


÷
÷
 12  3 22x66x∂22
22 22 ÷÷  ÷
∂
sin
α
x
x
θ
t
x



x
d
d
 d 2 
Do điều kiện , tức   x0 ≤ xx x≤≠32x002+ 2L
,

+

+

là và để thuận lợi trong việc tính tích phân, ta nhân phương trình (1.17)

với và nhân các phương trình (1.18), (1.19) với . Thay nghiệm (1.16) vào
hệ phương trình hệ quả và áp dụng phương pháp Galerkin cho các phương
trình đó, tức là
csin(
os(
dFdt
dFdt
nθm=
+π=ω
0,
(0xt )− x0 )
132
L

os
∫∫∫ Φ csin
t F

(1.20)

dF =Fdθ dx trong đó là diện tích thiết diện
theo phương dọc đường sinh và theo phương vòng của vỏ nón () và

[ T11 (u ) +ΦT121 =(vx) 2+ T13 ( w)]
,

,

[ T21 (u ) +ΦT222 (=v)x3+ T23 (w) ]
(1.21)

.

[ T31 (u ) +ΦT323 =(vx) 3+ T33 ( w)]

Sau khi thay ngiệm (1.16) vào phương trình (1.20) và tính các tích
phân, ta nhận được hệ phương trình
,

L11U + L12V + L13W = 0

,

L21U + L22V + L23W = 0
(1.22)
13


L31U + L32V + L33W = 0

.

Hệ phương trình (1.22) viết lại dưới dạng ma trận như sau
L
(1.23)  11
 L21
trong đó các hệ số của  L
 31
ma trận được trình bày

L13  U   0 
÷  ÷
L23 ÷
÷ V ÷ =  0 ÷
 ÷  ÷
LL33ij ÷
 W   0 

L12
L22
L32

trong phụ lục.
U, V
Lij, W

Đây là hệ phương trình đại

số tuyến tính thuần nhất của . Để hệ có nghiệm không tầm thường thì định
thức của ma trận phải bằng 0, tức là
,

L11
(1.24) L21
L31
trong đó các hệ thức được

L12 L13
L22 L23 = 0
L32 L33

Lij

cho bởi dạng sau:
,

,

00 0
LL11
L 11
LL1112L=13
= =12+13+L,L
ω
1112
ω
ω
ω
LL022023
21
LL2223
=
=
++LL122121
ω, ,
21
23
ωω

LL033032L031 11
LL3332L

==31 = ++LL,3332ω, .
ωω ω

(1.25)

Thay các biểu thức từ (1.25)

Lij

vào (1.24) được
0
L11
+ L111ω
ω
L021
+ L121
ω
L031
ω

0
L12
+ L112
ω
0
L22
+ L122ω
ω
L032
+ L132

ω

14

0
L13
ω
0
23

(1.26)

L
+ L123 = 0
Khai triển
ω
định thức ở
L033
+ L133ω
ω
phương trình

ω


(1.26) ta được phương trình hiển bậc sáu đối với
,

g 0ω 6 + g1ω 5 + g 2ω 4 + g 3ω 3 + g 4ω 2 + g5ω + g 6 = 0
(1.27)

trong đó các biểu thức như sau:

gi
g 0 = L111L122 L133 ,
g1 = 0,

0 1
g 2 = L111L122 L033 + L11
L22 L133 + L111L022 L133 − L112 L121L133 − L111L132 L123 ,

0 1 1
1 0 1
1 1
0
1 0 1
(1.28) g3 = −  L12 L21L33 + L12 L21L33 + L11L32 L23 + L11L32 L23  ,
0 1
0 0 1
0 1 1
g 4 = L11
L22 L033 + L111L022 L033 + L11
L22 L33 + L13
L21L32 + L031L123 L112 +

0 0 1
0 0 1
0 1 1
− L13
L31L22 − L112 L121L033 − L12

L21L33 − L111L023 L032 − L11
L32 L23 ,
0 0 1
0 1
0
g5 = L13
L21L32 + L13
L21L032 + L023 L112 L031 + L031L123 L12
0 1
0 1
0 0 1
− L12
L21L033 − L112 L021L033 − L11
L32 L023 − L11
L32 L23 ,
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
g 6 = L11
L22 L33 + L13
L21L32 + L031L12
L23 − L13
L31L22 − L12
L21L33 − L11
L32 L23 .

Ω

> n0 nghiệm, trong số nghiệm này có hai
=
mω
,<
Phương trình (1.27) có sáu Ω

nghiệm mà giá trị tuyệt đối của chúng là nhỏ nhất, một nghiệm là số thực
dương và một nghiệm là số thực âm [3]. Hai giá trị riêng này gọi là hai
nghiệm riêng. Đối với tốc độ quay cho trước với mỗi mode dao động tức là
đối với một cặp (), hai giá trị riêng tương ứng với quá trình sóng lùi, sóng
tiến. Điều này cũng tương ứng vỏ nón quay với vận tốc góc là âm hoặc dương
(vận tốc góc quay ngược chiều kim đồng hồ là vận tốc dương, còn quay thuận
chiều kim đồng hồ là vận tốc góc âm). Giá trị dương của ứng với sóng lùi khi

15


tốc độ quay . Và ngược lại giá trị âm của ứng với sóng tiến khi tốc độ quay .
Khi vỏ nón đứng yên () thì sóng là sóng đứng. Và khi vỏ nón bắt đầu quay thì
chuyển động sóng đứng sẽ thay đổi sang sóng lùi hoặc sóng tiến tùy thuộc
vào chiều quay của tốc độ quay .
Sau khi tìm được tần số riêng ωf của dao động tự do của vỏ nón cụt
FGM chính là hai giá trị riêng có trị tuyệt đối nhỏ nhất, để thuận tiện cho việc
tính toán và so sánh ta đưa vào công thức tính tham số tần số cho bởi dạng
sau

(1.29)

f = ωR

ρ2
,
A11

trong đó là bán kính đáy lớn của vỏ R nón,
A
(1.30) ρ 2 = hρ+m ρ+r ρ c2 −. ρ m ÷
dk2 + 1 

Công thức (1.29) là
công thức tính tham số tần số dao dộng tự do của vỏ nón cụt FGM có gân gia
cường được xây dựng bằng phương pháp giải tích mà luận văn sử dụng tính
toán số cụ thể trong Chương 2.

16


Chương 2 – TÍNH TOÁN SỐ
Trong chương này, các kết quả tính toán tham số tần số riêng của vỏ
nón cụt ES – FGM dựa theo công thức (1.29) đã thiết lập ở Chương 1.
2.1. So sánh kết quả
Để đánh giá tính chính xác của kết quả luận văn, Bảng 1 so sánh kết
quả tính toán tham số tần số theo công thức (1.29) cho vỏ nón không gân,
đẳng hướng với các kết quả đã được công bố bởi Hua L. [3] và Irie T et al.
[4]. Đây là trường hợp đặc biệt của bài toán tổng quát mà luận văn thực hiện.
Bảng 1. So sánh tham số tần số của vỏ nón cụt không gân, đẳng hướng với
kết quả của Hua L. [3] và Irie T et al. [4].
n

α = 45o

α = 30o

Present

α = 60o

Ref[3]

Ref[4] Present Ref[3] Ref[4] Present Ref[3] Ref[4]

2 0.8360

0.8420

0.7910

0.7589

0.7655

0.6879

0.6322

0.6348

0.5722

3 0.7365

0.7376

0.7284

0.7175

0.7212

0.6973

0.6223

0.6238

0.6001

4 0.6378

0.6362

0.6352

0.6725

0.6739

0.6664

0.6138

0.6145

0.6054

5 0.5550

0.5528

0.5531

0.6322

0.6323

0.6304

0.6106

0.6111

0.6077

6 0.4962

0.4950

0.4949

0.6034

0.6035

0.6032

0.6161

0.6171

0.6159

7 0.4652

0.4661

0.4653

0.5908

0.5921

0.5918

0.6327

0.6350

0.6343

8 0.4624

0.4660

0.4654

0.5967

0.6001

0.5992

0.6618

0.6660

0.6650

9 0.4854

0.4916

0.4892

0.6216

0.6273

0.6257

0.7036

0.7101

0.7084

sin
h1314(
=/×αR
0,
/ =R9m
0.01,
=/0.25.
1,m
E = 4.8265
ρL=Ω
10
kg
(=Pa
), 3υ) = 0.3 So sánh được tiến hành

với vỏ nón cụt không gân, làm từ vật liệu đẳng hướng, điều kiện biên tựa đơn
với các tính chất vật liệu và tham số hình học được lấy theo [3] ,[4] cụ thể
như sau: , ,

17


Các kết quả thể hiện ở Bảng 1, nhận thấy rằng kết quả thu được rất gần
với kết quả của [3,4] đã được công bố trước đó.
2.2. Kết quả số cho vỏ nón cụt ES – FGM

Để minh họa cho cách tiếp cận của luận văn, ta xét một vỏ nón cụt
FGM được cấu thành từ Nhôm và Nhôm ôxit. Vỏ nón được tăng cường bởi
các gân dọc và gân vòng làm bằng kim loại. Điều kiện biên là vỏ nón tựa đơn
ở hai đầu. Các tính chất vật liệu và tham số hình học của vỏ nón cụt ES FGM như sau:

υ
=m70= 0.3
(kg
GPa
ρ mE=m 2702(
/ m) 3 )

- ,,

=υc380(
= 0.3
GPa
ρcE=c 3800(
kg
/ m)3 )

- ,,

h = 0.004 (m)
Lr / hr = 2.5
20

- Bề dày vỏ nón
- Các tỉ số: ,

0.002((m
m))
- Chiều rộng và bề dày của các hb11 ==0.004
gân dọc: ,
0.002 ( m)
- Chiều rộng và bề dày gân bh2 = 0.004
vòng: ,,
- tương ứng là số gân dọc, gân nst , nr vòng.
2.2.1. Ảnh hưởng của số sóng

n
Ω
100
kstr====1
1
n
nm
30
30

Xét vỏ nón cụt FGM được

làm từ hai vật liệu Nhôm và Nhôm ôxit. Vỏ nón được gia cường bởi gân
dọc, gân vòng, quay với tốc độ quay là (rad/s), , .

18


1.6
o

α =30 (sóng lùi)

1.4

o

α =30 (sóng tiê'n)
o

α =45 (sóng lùi)

1.2

o

α =45 (sóng tiê'n)
o

f

1

α =60 (sóng lùi)
o

α =60 (sóng tiê'n)

0.8
0.6

0.4
0.2
1

2

3

4

5
n

6

7

8

Hình 2. Ảnh hưởng của số sóng đến tham số tần số đối với các trường
hợp góc nón khác nhau .

αnf

19

9


2.5

2.5

k=1
k=1
k=3
k=3
k=5
k=5

22

f
f

1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0

2
2

4 n
6
4
no 6

(α=30 )o
(α=30 )

8
8

10
10

α =n30o Hình 3. Ảnh hưởng của số sóng
đến tham số tần số (), ( đường nét liền ứng với trường hợp sóng lùi, đường nét
đứt ứng với trường hợp sóng tiến).

20