Khóa luận tốt nghiệp vật lý: Phương pháp giải bài tập phương trình vật lý toán phần dao động tự do của sợi dây

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC



KIỀU THỊ NGỌC ÁNH



PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH
VẬT LÝ TOÁN PHẦN DAO ĐỘNG TỰ DO
CỦA SỢI DÂY


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC






SƠN LA - 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC


KIỀU THỊ NGỌC ÁNH

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH
VẬT LÝ TOÁN PHẦN DAO ĐỘNG TỰ DO
CỦA SỢI DÂY


CHUYÊN NGÀNH: VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: TS. Khổng Cát Cương




SƠN LA - 2013
LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS. Khổng Cát Cương - Giảng viên
bộ môn Vật lý trường Đại học Tây Bắc - người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ
em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận.
Em xin chân thành gửi lời cảm ơn tới Ban Chủ nhiệm khoa Toán - Lý – Tin.
Các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán – Lý – Tin, phòng KHCN

HTQT, phòng
Đào tạo Đại học, Thư viện trường Đại học Tây Bắc đã tạo mọi điều kiện thuận lợi
giúp đỡ em hoàn thành khóa luận.
Tôi xin chân thành cảm ơn tập thể lớp K50 ĐHSP Vật lý đã có những ý kiến
đóng góp và động viên khích lệ tôi để có thể hoàn thành khóa luận này.
Sự chỉ bảo, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ về nhiều mặt của các thầy, các cô
và các bạn là những bài học quý báu và là niềm động viên to lớn giúp em hoàn
thành khóa luận này.

Sơn La, tháng 5 năm 2013
Sinh viên thực hiện

Kiều Thị Ngọc Ánh

MỤC LỤC

PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
4. Giả thuyết khoa học 2
5. Phương pháp nghiên cứu 2
6. Cấu trúc của khóa luận 2
7. Kế hoạch nghiên cứu 3
PHẦN HAI: NỘI DUNG 4
Chương I: CƠ SỞ TOÁN HỌC 4
1.1. Phương trình vi phân tuyến tính 4
1.1.1. Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 4
1.1.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 4
1.1.2.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất có hệ số không đổi
4
1.1.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất có hệ số
không đổi 5
1.2. Chuỗi Fourier 6
1.2.1. Khái niệm chuỗi Fourier 6
1.2.2. Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier 7
1.2.3. Hàm chẵn và hàm lẻ 9
1.2.4. Các dạng biểu diễn của chuỗi Fourier 10

1.2.4.1. Biểu diễn Fourier dưới dạng lượng giác 10
1.2.4.2. Biểu diễn Fourier dưới dạng mũ 13
1.3. Phương trình sóng một chiều 13
1.3.1. Đại cương về phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình toán
lý 13
1.3.2. Phân loại phương trình toán lý 15
1.3.2.1. Phương trình Hyperbolic 15
1.3.2.2. Phương trình Parabolic 16
1.3.2.3. Phương trình Eliptic 17
BẢNG PHÂN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH DAO
ĐỘNG CỦA DÂY 19
Chương II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH
DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA SỢI DÂY 20
2.1. Thiết lập phương trình dao động của sợi dây 20
2.1.1. Lập phương trình 20
2.1.2. Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên 23
2.2. Một số phương pháp giải bài tập phương trình Vật lý- Toán 24
2.2.1. Phương pháp D’Alambert 24
2.2.1.1. Khái quát chung về phương pháp D’Alambert 24
2.2.1.2. Dao động của sợi dây vô hạn (bài toán Cauchy) 26
2.2.2. Phương pháp tách biến Fourier 29
2.2.2.1. Khái quát chung về phương pháp tách biến Fourier 29
2.2.2.2. Dao động của sợi dây hữu hạn có hai nút gắn chặt 31
2.2.3. Phương pháp đặt hàm phụ 37
2.2.3.1. Khái quát chung về phương pháp đặt hàm phụ 37
2.2.3.2. Dao động tự do của sợi dây có hai đầu dao động theo quy luật 38
Chương III: MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU 42
3.1. Phương pháp D’Alembert 42
3.2. Phương pháp tách biến Fourier 45
3.3. Phương pháp đặt hàm phụ 60

PHẦN BA: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ 69
1. Các kết quả đạt được 69
1.1. Trình bày chi tiết cơ sở khoa học 69
1.2. Lập bảng phân loại các dạng bài tập về phương trình dao động của sợi
dây………………………………………………………………………………….69
1.3. Phân tích 3 phương pháp kèm ví dụ minh họa 69
1.4. Áp dụng kết quả thu được vào việc giải bài tập 69
2. Các vấn đề còn tồn tại và cần tìm hiểu tiếp theo 69
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 71






1
PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Giữa vật lý và toán học luôn luôn có mối quan hệ hết sức mật thiết. Vật lý học
sử dụng công cụ toán học và luôn luôn đặt ra những yêu cầu mới, làm nảy sinh
nhiều ngành toán học mới. Ngược lại sự phát triển của vật lý học phụ thuộc đáng kể
vào sự phát triển của toán học vì toán đã trở thành một công cụ hết sức mạnh mẽ
của việc nghiên cứu vật lý lý thuyết.
Trong bộ môn phương trình Vật lý- Toán có sự giao thoa giữa toán và vật lý,
do đó nó đã và đang được giảng dạy trong các trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
khoa Vật lý của các trường Sư phạm, nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức
toán cần thiết và các kỹ năng sử dụng toán như một công cụ để học cũng như để
nghiên cứu vật lý.

Thực tế, khi nghiên cứu và tiếp thu các kiến thức của các học phần thuộc lĩnh
vực vật lý lý thuyết của sinh viên nói chung gặp rất nhiều khó khăn. Với kiến thức
về toán cao cấp và kiến thức phổ thông đã không đủ đáp ứng nhu cầu học tập và
nghiên cứu các môn học như: Cơ học lượng tử, Điện động lực học, Nhiệt động lực
học, Vật lý thống kê… Vì vậy yêu cầu đặt ra cho mỗi sinh viên là phải nắm vững
kiến thức đại số và giải tích toán học cùng kiến thức cần thiết của phương trình Vật
lý- Toán mới có thể nghiên cứu sâu hơn các môn học này. Việc giải một bài tập đòi
hỏi sinh viên phải biết kết hợp kiến thức vật lý và toán học, điều này thể hiện rất rõ
ở phần bài toán dao động tự do của sợi dây.
Là sinh viên Sư phạm Vật lý tôi nhận thấy bộ môn phương trình Vật lý - Toán
là môn học tương đối khó, trong đó có các bài toán về dao động tự do của sợi dây.
Trong khi đó, ở thời điểm hiện tại, các tài liệu tham khảo về các dạng bài tập này
còn hạn chế, các phương pháp còn mang nặng tính khái quát, thiếu cụ thể.

2
Với lí do như trên, tôi đã chọn đề tài có tên “ Phương pháp giải bài tập
phương trình vật lý toán phần dao động tự do của sợi dây” để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
- Xây dựng phương pháp giải các bài tập phần dao động tự do của sợi dây.
- Cung cấp thêm tài liệu về phần dao động tự do của sợi dây cho sinh viên
trong quá trình học tập học phần phương trình Vật lý- Toán.
- Giúp mở rộng kiến thức của bản thân.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu và đưa ra cơ sở lý thuyết của các phương pháp để giải bài toán dao
động tự do của sợi dây.
- Đưa ra hệ thống bài tập giải mẫu, bài tập tự giải có hướng dẫn và đáp số về
phần dao động tự do của sợi dây.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu áp dụng phương pháp giải phù hợp để giải, các bài tập trở nên đơn giản,
dễ nhớ. Từ đó giúp việc học tập trở nên nhẹ nhàng và đạt hiệu quả cao hơn.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Sưu tầm tài liệu.
- Nghiên cứu kỹ lý thuyết và từ đó đưa ra phương pháp giải ứng với từng bài
tập cụ thể về phần dao động tự do của sợi dây.
6. Cấu trúc của khóa luận
- Phần một: Mở đầu.
- Phần hai: Nộidung.
 Chương I: Cơ sở toán học.
 Chương II: Một số phương pháp giải phương trình dao động tự do của sợi
dây.

3
 Chương III: Một số bài tập mẫu.
- Phần ba: Kết luận và đề nghị.
7. Kế hoạch nghiên cứu
- Từ tháng 9/2012 đến tháng 10/2012: Sưu tầm tài liệu, hoàn thành đề cương
chi tiết.
- Từ tháng 11/2012 đến tháng 1/2013: Nghiên cứu lý thuyết, phân loại các bài
tập, xây dựng phương án giải bài tập phần dao động tự do của sợi dây.
- Từ tháng 2/2013 đến giữa tháng 3/2013: Viết khóa luận, xin ý kiến tham
khảo.
- Từ giữa tháng 3/2013 đến hết tháng 4/2013: Chỉnh sửa và hoàn thiện khóa
luận.
- Tháng 5/2013: Bảo vệ khóa luận.

4
PHẦN HAI: NỘI DUNG
Chương I: CƠ SỞ TOÁN HỌC

1.1. Phương trình vi phân tuyến tính

1.1.1. Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
Phương trình dạng:
y + p(x)y = C(x)

(1.1)
Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số
 Bước 1: Giải phương trình thuần nhất:
y + p(x)y = 0

(1.2)
Nếu
0y 
khi đó phương trình (1.2) trở thành
 
dy
= -p x dx
y
nên
 
- p x dx
1
y = C e


Đây chính là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2), (
y = 0
là nghiệm riêng ứng
với
1
C = 0

)
 Bước 2: Biến thiên hệ số, đặt
 
1
C = C x

thay
 
 
- p x dx
1
y = C x e

vào (1.1)
ta có
 
- p x dx
1
C = C(x)e dx + K



 Bước 3: Nghiệm của phương trình là:
   
 
 
- p x dx - p x dx p x dx
y = Ke + e C x e dx
  


1.1.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
1.1.2.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất có hệ số không đổi
Phương trình dạng:
y + py + qy = 0
 
(1.3)
 Bước 1: Giải phương trình đặc trưng
2
k + pk + q=0
(1.4)
Trong tập số phức C phương trình này có nghiệm là
12
k ,k


5
 Bước 2: Xác định nghiệm tổng quát
+ Nếu k
1
và k
2
là các nghiệm thực khác nhau, khi đó 2 nghiệm riêng của
phương trình là:
1
kx
1
y = e
,
2

kx
2
y = e
.
Do đó:
12
k x k x
12
y=C e +C e
với C
1
, C
2
là các hằng số tùy ý
 Nếu k
1
và k
2
là các nghiệm thực trùng nhau. Khi đó 2 nghiệm riêng của
phương trình độc lập tuyến tính với nhau có dạng:
1
kx
1
y = e
,
 
21
y = u x y

Thay

 
21
y = u x y
vào (1.3) ta được u(x) = x, do đó nghiệm tổng quát của (1.3) có dạng:
 
1
kx
12
y = e C x + C
với C
1
, C
2
là các hằng số
 Nếu k
1
và k
2
là các nghiệm liên hợp phức:
1
k = α + iβ
,
2
k = α - iβ

khi đó hai nghiệm riêng của (1.3) là:
 
α + iβ x
1
y = e

,
 
α - iβ x
2
y = e

Sử dụng công thức Euler, ta có:
 
αx
1
y = cosβx + isinβ e
,
 
αx
2
y = cosβx - isinβx e

Do
1
y
,
2
y
là các nghiệm riêng của (1.3) nên:
αx
12
y + y
y = = e cosβx
2
,

αx
12
y - y
y = = e sinβx
2i

cũng là 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính. Thay vào (1.3) ta có nghiệm tổng quát
của (1.3) có dạng:
 
αx
12
y = e C cosβx + C sinβx
.
1.1.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất có hệ số
không đổi
Phương trình dạng:
y + py + q = f(x)
 
(1.5)
Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng
*
y = y + y
,trong đó:

y
là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng
y + py + q = 0
 
(cách giải phương trình này đã trình bày ở trên).

6

*
y
là một nghiệm riêng của phương trình (1.5).
Khi f(x) có dạng đặc biệt thì nghiệm y
*
này được xác định như sau:
 Trường hợp 1:
αx
n
f(x) = e P (x)
(1.6)
Trong đó
α
là hằng số thực,
n
P (x)
là đa thức bậc n của x.
+ Nếu
α
không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) thì một nghiệm
riêng của phương trình có dạng:
* αx
n
y = e Q (x)
. (1.7)
+ Nếu
α
là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (1.4) thì một nghiệm riêng

của phương trình có dạng:
* αx
n
y = xe Q (x)
. (1.8)
+ Nếu
α
là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (1.4) thì một nghiệm riêng
của phương trình có dạng:
*2αx
n
y = x e Q (x)
. (1.9)
Thay y
*
vào phương trình (1.5) và đồng nhất ta hai vế ta được (n+1) phương
trình bậc nhất của (n+1) ẩn là hệ số của
n
Q (x)
từ đó xác định được
n
Q (x)
.
 Trường hợp 2:
 
αx
mn
f(x) = e P (x)cosβx + P (x)sinβx

Trong đó

m
P (x)
và
n
P (x)
là các đa thức bậc m, n;
α, β
là hằng số thực.
+ Nếu
α ± iβ
không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) thì một
nghiệm riêng của phương trình có dạng:
 
* αx
11
y = e Q (x)cosβx + R (x)sinβx
. (1.10)
+ Nếu
α ± iβ
là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) thì một nghiệm riêng
của phương trình có dạng:
 
* αx
11
y = xe Q (x)cosβx + R (x)sinβx
. (1.11)
Trong đó:
11
Q (x), R (x)
là các đa thức bậc

 
l = max m,n
.
Để xác định Q
1
(x), R
1
(x) thay y
*
vào phương trình rồi cân bằng hệ số của
sinβx
,
cosβx
.
1.2. Chuỗi Fourier
1.2.1. Khái niệm chuỗi Fourier

7
Tập các hàm
nπx nπx
1,sin ,cos
LL



là các hàm riêng trực giao nhau trong khoảng
(-L,L). Hàm f(x) được gọi là trơn từng khúc trong một khoảng nào đó có nghĩa là
khoảng này có thể chia ra nhiều khoảng nhỏ, mà trong mỗi khoảng nhỏ đó, hàm f(x)
và đạo hàm f’(x) liên tục.
Tập các hàm trực giao ở trên có thể dùng để biểu diễn hàm trơn từng khúc f(x)

dưới dạng chuỗi:
0 n n
n = 1
nπx nπx
f(x) = a + a cos + b sin
LL





(1.12)
(1.12) được gọi là chuỗi lượng giác Fourier biểu diễn hàm f(x) trong khoảng (-L,L)
Các hằng số
0n
a , a
và
n
b
được gọi là các hệ số Fourier của chuỗi, trong đó:
 
L
0
2
-L
f,l
1
a = f(x)dx
2L
l



.
L
n
2
-L
nπx
f,cos
1nπx
L
a = f(x)cos dx
LL
nπx
cos
L





.
L
n
2
-L
nπx
f,sin
1nπx
L

b = f(x)sin dx
LL
nπx
sin
L





.
1.2.2. Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier
 Điều kiện Dirichlet để tồn tại một chuỗi Fourier là:
- Hàm f(x) phải đơn trị và tuần hoàn với chu kỳ 2L
- Hàm f(x) có một số hữu hạn các cực đại và cực tiểu, một số hữu hạn các
điểm gián đoạn trong khoảng (-L,L).
 Giả sử khoảng (-L,L) là khoảng Fourier đầy đủ của hàm f(x). Chuỗi Fourier xác
định ở điểm x ngoài khoảng Fourier đầy đủ của hàm f(x), khi đó cho phép khai triển
tuần hoàn hàm f(x) xác định ngoài khoảng Fourier đầy đủ.

8
 Dấu bằng (=) trong biểu thức (1.12) có thể được trình bày bằng dấu gần bằng
(), có nghĩa là "tương đương với ", bởi vì chuỗi bên phải không phải hội tụ thành
hàm f(x) đối với mọi giá trị của x. Chuỗi Fourier chỉ biểu diễn hàm f(x) trong
khoảng Fourier đầy đủ.
Một cách chọn khác, người ta có thể xác định hàm
f(x)
là sự mở rộng của hàm
f(x) bên ngoài khoảng Fourier đầy đủ. Như vậy, hàm
f(x)

là mở rộng tuần hoàn của
hàm f(x), -L  x  L có tính chất
f(x+2L) = f(x)
, ngược lại hàm f(x) đối với mọi x
không phải là hàm tuần hoàn.
 Hàm f(x) gọi là có một biểu diễn chuỗi Fourier khi các hệ số a
o
, a
n
và b
n
được
tính cụ thể. Do đó, có một số hàm không có biểu diễn chuỗi Fourier, ví dụ như các
hàm:
2
11
,
xx
không có biểu diễn chuỗi lượng giác Fourier trong khoảng (-L,L). Chú
ý rằng, các hàm này không xác định ở một hoặc vài điểm trong khoảng (-L,L).
 Hàm f(x) được gọi là có bước nhảy gián đoạn tại điểm x
o
nếu:
 
 
 
 
-+
o 0 0 0
00

00
f x = limf x - ε f x = limf x + ε






Nếu hàm f(x) và hàm
 
fx

là hàm liên tục từng khúc trong khoảng (-L,L) thì
biểu diễn chuỗi Fourier của hàm f(x) thỏa mãn các điều kiện:
 Hội tụ về hàm f(x) tại điểm mà hàm f(x) là liên tục.
 Hội tụ về đoạn mở rộng tuần hoàn của hàm f(x) nếu x ở ngoài khoảng
Fourier đầy đủ.
+ Tại điểm x
0
có bước nhảy gián đoạn hữu hạn thì biểu diễn chuỗi Fourier của
hàm f(x) hội tụ về
   
+-
00
1
f x +f x
2


là giá trị trung bình của giới hạn trái và phải

của bước nhảy gián đoạn.

9
 Hàm
 
N
N 0 n n
n = 1
nπx nπx
S x = a + a cos + b sin
LL




được gọi tổng riêng thứ N, nó biểu
diễn tổng của N số hạng đầu tiên. Người ta thường vẽ xấp xỉ hàm
 
N
Sx
khi biểu
diễn chuỗi Fourier bằng đồ thị. Hàm f(x) bất kỳ có một điểm bước nhảy gián đoạn
thì hàm
 
N
Sx
có đồ thị tại lân cận bước nhảy gián đoạn là dạng hàm dao động.
Hiệu ứng này gọi là hiệu ứng Gibb. Hiệu ứng Gibb luôn có mặt khi người ta dùng
một chuỗi hàm liên tục để biểu diễn một hàm gián đoạn, hiệu ứng này vẫn tồn tại
cho dù tăng giá trị N rất lớn.

 Chuỗi có dạng:
0 n n
n = 1
nπx nπx
a + a cos + b sin
LL







Có thể viết dưới dạng:

0 n n
n = 1
nπx
a + C sin +
L







Trong đó:
22
n n n

C = a +b
được gọi là biên độ;
n
n
n
a
φ = arctg
b



được gọi là pha; số
hạng thứ n:
nn
nπx
C sin +φ
L



được gọi là dao động điều hòa thứ n. Dao động điều
hòa thứ nhất (n = 1) được gọi là dao động điều hòa cơ bản.
1.2.3. Hàm chẵn và hàm lẻ
Hàm f(x) được gọi là hàm chẵn của x nếu
f(-x) = f(x)
với mọi giá trị của x,
hàm chẵn đối xứng dọc theo trục y. Hàm f(x) được gọi là hàm lẻ của x nếu
f(-x) = -f(x)
với mọi giá trị của x. Các tính chất sau của hàm chẵn và hàm lẻ cho
phép đơn giản biểu diễn Fourier.

 Nếu f(x) là một hàm chẵn của x thì
   
LL
-L 0
f x dx = 2 f x dx


Thật vậy, vì f(x) là hàm chẵn nên
f(-x) = f(x)
, do đó:
           
L 0 L L L L
-L -L 0 0 0 0
f ξ dξ = f ξ dξ + f ξ dξ = f ξ dξ + f ξ dξ = 2 f ξ dξ
     


10
 Nếu f(x) là hàm lẻ của x, tức là
f(-x) = - f(x)
thì
 
L
-L
f x dx = 0


Thật vậy:
         
L 0 L L L

-L -L 0 0 0
f ξ dξ = f ξ dξ + f ξ dξ = f -ξ dξ + f ξ dξ = 0
    

 Tích của hai hàm chẵn là một hàm chẵn, tích của hai hàm lẻ là một hàm chẵn,
tích của một hàm chẵn với một hàm lẻ là một hàm lẻ.
- Nếu f(x) là một hàm lẻ, biểu diễn (1.12) có dạng:
n
n = 1
nπx
f(x) = b sin
L


, 0 < x < L
trong đó:
 
L
n
0
2nπx
b = f x sin dx
LL

.
- Nếu f(x) là một hàm chẵn, biểu diễn Fourier của nó là:
 
0n
n = 1
nπx

f x = a + a cos
L


, 0 < x < L
trong đó a
0
và a
n
được xác định theo công thức:
 
L
0
0
1
a = f x dx
L

;
 
L
n
0
2nπx
a = f x cos dx
LL

.
1.2.4. Các dạng biểu diễn của chuỗi Fourier
1.2.4.1. Biểu diễn Fourier dưới dạng lượng giác

Biểu diễn Fourier dưới dạng lượng giác có dạng:
 
0 n n
n = 1
nπx nπx
f x = a + a cos + b sin
LL





, -L < x < L
Với các hệ số:

 
L
0
2
-L
f,l
1
a = = f(x)dx
2L
l

.

11
L

n
2
-L
nπx
f,cos
1nπx
L
a = f(x)cos dx
LL
nπx
cos
L





.
L
n
2
-L
nπx
f,sin
1nπx
L
b = f(x)sin dx
LL
nπx
sin

L





.
Đôi khi người ta còn biểu diễn dưới dạng đối xứng sau:
 
0
nn
n = 1
A
nπx nπx
f x = + A cos + B sin
2 L L





, -L < x < L
trong đó:
 
L
n
-L
1nπx
A = f x cos dx
LL


và
 
L
n
-L
1nπx
B = f x sin dx
LL

.
Ngoài ra, trong một số trường hợp dạng của hàm f(x) được xác định như sau:
 Trường hợp 1: Hàm f(x) xác định trong khoảng



x



2L
Với
   
f x + 2L = f x
có biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác Fourier như
sau:
0 n n
n = 1
nπx nπx
f(x) = a + a cos + b sin

LL






Với các hệ số được xác định theo công thức:
α+2L
0
α
1
a = f(x)dx
2L

.
α+2L
n
α
1nπx
a = f(x)cos dx
LL

.
α+2L
n
α
1nπx
b = f(x)sin dx
LL


.


12
 Trường hợp 2: Hàm f(x) xác định trong khoảng
 
,



Hàm f(x) có biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác Fourier như sau:

0 n n
n = 1
f(x) = a + (a cosnx + b sinnx)



Các hệ số được xác định như sau:
π
0
-π
1
a = f(x)dx
2π

.
π
n

-π
1
a = f(x)cosnxdx
π

.
π
n
-π
1
b = f(x)sinnxdx
π

.
 Trường hợp 3: Hàm f(x) liên tục, khả vi, đơn trị trên khoảng
 
-π,π

Hàm f(x) có thể phân tích thành tích phân Fourier như sau:

 
-
f(x) = A(α)cosαx + B(β)sinβx dx




-
1
A(α) = f(x)cosαxdx

2π




-
1
B(β) = f(x)sinαxdx
2π




- - - -
11
f(x) = f(ξ)(cosαξcosαx + sinαξsinαx)dξ dx = f(ξ)cosα(x - ξ)dξ dx
2π 2π
   
   
   
   
   
   

Dạng phức của chuỗi Fourier được xác định bằng đồng nhất thức Euller:
inπx
L
nπx nπx
e = cos + isin
LL

;
2
i = -1


13

inπx -inπx
LL
nπx e + e
cos =
L2

;
inπx inπx
-
LL
nπx e - e
sin =
L 2i
(1.13)
1.2.4.2. Biểu diễn Fourier dưới dạng mũ
Từ (1.13) ta có khai triển chuỗi Fourier dạng mũ
 
inπx inπx inπx -inπx
-
0
nn
L L L L
n = 1

A
A -iB
f x = + e + e + e - e
2 2 2


   

   

   




   
inπx -inπx
0
LL
n n n n
n = 1 n = 1
A
11
= + A - iB e + A + iB e
2 2 2


.
Các hằng số được xác định như sau:
 

L
0
0
-L
A
1
C = = f x dx
2 2L

.
     
L
n n n
-L
1 1 nπx nπx
C = A - iB = f x cos - if x sin dx
2 2L L L




 
L
-inπx
L
-L
1
= f x e dx
2L


.
     
L
- n n n
-L
1 1 nπx nπx
C = A + iB = f x cos + if x sin dx
2 2L L L




 
L
inπx
L
-L
1
= f x e dx
2L

.
Như vậy:
 
inπx -inπx
LL
0 n -n
n = 1 n = 1
f x = C + C e + C e



.
Thay tổng cuối cùng n bằng (–n) ta có:
 
inπx inπx
LL
0 n - n
n = 1 n = -1
f x = C + C e + C e


.
Biểu thức này là dạng phức của chuỗi Fourier:
 
inπx
L
n
n = 1
f x = C e


.
trong đó:
 
L
-inπx
L
n
-L
1

C = f x e dx
2L

.
1.3. Phương trình sóng một chiều
1.3.1. Đại cương về phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình toán lý
Phương trình đạo hàm riêng cấp m là phương trình có dạng:

14
1n
2 2 m
kk
2
1 n 1 1 2 1 n
u u u u u
F x,u, , , , , , , 0
x x x x x x x

    


      

.
trong đó:
 F là hàm nhiều biến.

1 2 n
x = (x , x , , x )
là vectơ trong không gian Euclide n chiều R

n
.
+
 
ux
là hàm chưa biết
1 2 n
k + k + + k = m
.
Cấp của phương trình là cấp của đạo hàm cao cấp nhất trong phương trình.
Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu nó là bậc nhất đối với
hàm chưa biết và các đạo hàm riêng của chúng.
Phương trình vật lý toán là các phương trình mô tả sự biến thiên của trường
theo thời gian có dạng phương trình vi phân đạo hàm riêng. Các phương trình vật lý
toán cơ bản thường gặp đó là các phương trình dao động sóng, phương trình truyền
nhiệt, phương trình Laplace.
Trong các bài toán vật lý, phương trình thường gặp là các phương trình vi
phân đạo hàm riêng cấp hai (m = 2). Phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai
với hai biến số độc lập x, y là hệ thức liên hệ giữa đạo hàm chưa biết u(x,y) và đạo
hàm riêng của nó đến cấp hai:
x y xx xy yy
F (x, y, u, u , u , u , u , u ) = 0

Phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai được gọi là tuyến tính nếu nó có dạng:

2 2 2
22
u u u u u
A + 2B + C + D + E + Fu = G(x,y)
x x y y x y

    
     
(1.14)
trong đó A, B, C, D, E, F, G là các hàm chỉ phụ thuộc vào x, y.
Nếu các hệ số của phương trình không phụ thuộc vào x, y thì nó là phương trình
tuyến tính với hệ số hằng. Phương trình gọi là tuyến tính thuần nhất khi
 
G x,y =0
.


15
1.3.2. Phân loại phương trình toán lý
Nhờ phép biến đổi thích hợp ta có thể đưa phương trình (1.14) về một trong ba
dạng sau.
1.3.2.1. Phương trình Hyperbolic
Nếu
2
AC - B < 0
trong một miền nào đó thì phương trình (1.14) có thể viết
được dưới dạng:
22
1 1 1 1
22
u u u u
- + D + E + Fu = G (ξ,η)
ξ η ξ η
   
   
(1.15)

Phương trình Hyperbolic còn gọi là phương trình sóng, nó đóng vai trò quan
trọng trong vật lý cũng như trong các ngành kĩ thuật, được thiết lập trên cơ sở nghiên
cứu dao động của dây, màng mỏng, sóng âm, sóng đàn hồi, sóng điện từ …
Phương trình (1.15) là dạng chính tắc thứ hai của phương trình loại
Hyperbolic. Dạng đơn giản nhất của phương trình Hyperbolic là phương trình dao
động của dây:
22
2
22
uu
- a = g(x,t)
tx


(1.16)
nghĩa là
1 1 1
D = E = F 0
.
Trong đó: a là hằng số tốc độ.
- Nếu
 
g x,t = 0
dao động là dao động tự do.
- Nếu
 
g x,t 0
dao động là dao động cưỡng bức.
Để tìm nghiệm dưới dạng tường minh, cần phải có các điều kiện biên cho
phương trình dao động. Các dạng điều kiện biên cho phương trình dao động của dây

thường có dạng sau:
a. Điều kiện Dirichlet: Sự di chuyển của các đầu dây có dạng
x = 0 1
x = l 2
B(u) = u(0,t) = g (t)
B(u) = u(l,t) = g (t)



16
b. Điều kiện biên Neumann: Đạo hàm của các đầu dây có dạng
x = 0 3
x = l 4
u(0,t)
B(u) = = g (t)
x
u(l,t)
B(u) = = g (t)
x





c. Điều kiện biên Robin: Còn được gọi là điều kiện biên hỗn hợp, là tổ hợp
tuyến tính của hai điều kiện biên trên, tức là độ dịch chuyển và độ dốc trên các đầu
dây có dạng:
   
 
5

x = 0
x = 0
x = l 6
x = l
u
B u = + hu = g t
n
u
B(u) = + hu = g t
n











Trong đó:
 
u
= gradu.n
n


;
n

là vectơ pháp tuyến đơn vị.
Điều kiện ban đầu cho bài toán dao động của dây là hình dạng ban đầu và vận
tốc ban đầu:
u(x,0) = f(x)
;
 
 
u x,0
= F x
t



1.3.2.2. Phương trình Parabolic
Nếu
2
AC - B = 0
trong một miền nào đó thì phương trình (1.14) có thể viết
được dưới dạng:
2
2 2 2 2
2
u u u
+ D + E + F u = G (ξ,η)
ξ ξ η
  
  
(1.17)
Phương trình Parabolic còn được gọi là phương trình truyền nhiệt. Ta đã biết
nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao sang nơi có nhiệt độ thấp theo ba cách: quá trình

dẫn nhiệt, quá trình bức xạ nhiệt và quá trình đối lưu. Tất cả các quá trình truyền
nhiệt này được nghiên cứu trong các môn học đại cương ở các chuyên đề về nhiệt.
Phương trình (1.17) gọi là phương trình Parabolic. Dạng giản đơn nhất là
phương trình truyền nhiệt:
2
2
2
u u 1
- a = g(x,t)
t x cρ


(1.18)

17
nghĩa là
22
D = F 0
, trong đó
k
a =
cρ
gọi là hệ số khuếch tán.
1.3.2.3. Phương trình Eliptic
Nếu
2
AC - B > 0
trong một miền nào đó thì phương trình (1.14) có thể viết
dưới dạng:
22

3 3 3 3
22
u u u u
+ + D + E + Fu = G (ξ,η)
ξ η ξ η
   
   
(1.19)
Phương trình Eliptic đóng vai trò quan trọng trong các ngành khoa học và
công nghệ liên quan đến các bài toán dừng. Phương trình này mô tả các hiện tượng
dừng nghĩa là các trạng thái không thay đổi theo thời gian
Phương trình (1.19) được gọi là phương trình Eliptic. Dạng đơn giản nhất của
phương trình Eliptic là phương trình Laplace:
22
22
uu
+ = 0
tx



nghĩa là
3 3 3 3
D = E = F = G 0
.
 Chú ý: Các phương trình vi phân đạo hàm riêng thường có vô số nghiệm, vì vậy
ta phải đặt thêm các điều kiện phụ sau để xác định nghiệm của chúng.
+ Điều kiện ban đầu cho biết trạng thái lúc
t = 0
.

+ Điều kiện biên cho biết quá trình xảy ra ở biên của không gian.
Từ đây hình thành ba bài toán đối với các phương trình vật lý toán.
+ Bài toán hỗn hợp là bài toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn điều
kiện ban đầu và điều kiện biên.
+ Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn điều
kiện ban đầu.
+ Bài toán dừng là bài toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện biên.
Trong các bài toán trên, ta phải đặt ra các điều kiện phụ sao cho nghiệm của
bài toán đó tồn tại duy nhất và phụ thuộc liên tục vào các điều kiện này, nghĩa là sai

18
số nhỏ của các điều kiện phụ (do sai số của các phép đo trong thực tế) chỉ kéo theo
sai số nhỏ của nghiệm.
Dưới đây là bảng phân loại các dạng bài tập về phương trình dao động của
sợi dây.




19
BẢNG PHÂN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ
PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY
(Phương trình sóng một chiều trong tọa độ Đề các)
Chiều dài dây
(đặc điểm hình
học)
Vô hạn
- < x <+

Nửa vô hạn

0< x <+

Hữu hạn
0< x <L
Tính chất vật lí
của dao động
(đặc điểm toán
học của phương
trình)
Dao động tự do
(không có ngoại lực tác dụng)
(phương trình thuần nhất)
2
tt xx
u - a u = 0
 

Dao động cưỡng bức (có ngoại
lực tác dụng) (phương trình
không thuần nhất)

2
tt xx
u - a u = G(x,t)
 

Điều kiện ban đầu
Độ lệch ban đầu
t = 0
u(x,t) = 0

t = 0
u(x,t) = f(x)

Vận tốc ban đầu
t t = 0
u (x,t) = 0


t t = 0
u (x,t) = F (x)


Điều kiện biên
(cho biết quy luật
dao động của các
nút)
Cho giá trị trên biên
của u
x = l
u(x,t) = 0

x = 0
u(x,t) = φ(t)
,
x = l
u(x,t) = ψ(t)

Cho giá trị trên biên
của

x
u


x x = 0
u (x,t) = 0

,
x x = l
u (x,t) = 0


x x = 0
u (x,t) = α

,
x x = l
u (x,t) = β


Cho giá trị trên biên của
x
αu +βu


 
x x = 0
αu + βu = φ(t)


 
x x = l
αu + βu = ψ(t)


Bằng cách lấy các tổ hợp khác nhau của chiều dài, tính chất, điều kiện ban
đầu và các điều kiện biên ta sẽ được các dạng bài toán khác nhau về dao động
của dây. Trong khuôn khổ của đề tài này tôi sẽ nghiên cứu phần dao động tự do
của sợi dây.