Phương pháp giải các dạng bài tập gặp nhau trong chuyển động cơ học.

phßng gi¸o dôc & ®µo TẠO .......................
TRƯỜNG THCS .............
----------  ----------

BÁO CÁO KẾT QUẢ
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Tên sáng kiến kinh nghiệm:
Phương pháp giải các dạng bài tập
gặp nhau trong chuyển động cơ học.
Cấp: Cơ sở

Tỉnh

Môn: Vật Lý
Tổ: Khoa học tự nhiên
Mã: 32
Người thực hiện:
Điện thoại: Email:

1


PHẦN I.
ĐẶT VẤN ĐỀ
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong giai đoạn hiện nay, khoa học và công nghệ có những bước phát triển như vũ
bão, việc đào tạo con người không chỉ nắm vững về kiến thức cơ bản mà còn phải biết
vận dụng kiến thức đó để giải quyết những tình huống ngoài thực tiễn, ngoài ra cần có
năng lực sáng tạo. Đó là nhân tố quyết định trong công cuộc phát triển khoa học kỹ
thuật của đất nước.

Vật lý là cơ sở của nhiều ngành khoa học kỹ thuật quan trọng. Sự phát triển của khoa
học thì vật lý có tác động to lớn tới sự phát triển của các ngành công nghiệp trên toàn
thế giới. Vì vậy, vật lý có giá trị to lớn trong đời sống và sản xuất, đặc biệt trong công
cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa của đất nước.
Môn vật lý giúp phát huy khả năng tự học, phát triển khả năng tư duy, độc lập,
sáng tạo cho học sinh, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề. Rèn luyện kỹ
năng vận dụng kiến thức học được vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại hứng
thú học tập cho học sinh. Trong việc phát triển tư duy sáng tạo, môn vật lý có vị trí nổi
bật vì vật lý giúp học sinh rèn luyện tư duy, cách nghĩ, phương pháp tìm tòi và vận
dụng kiến thức.
Nhiệm vụ chương trình vật lý THCS là: Cung cấp cho học sinh một hệ thống kiến
thức cơ bản, bước đầu hình thành ở học sinh những kỹ năng cơ bản phổ thông và thói
quen làm việc khoa học, góp phần hình thành cho các em năng lực nhận thức và các
phẩm chất, nhân cách mà mục tiêu giáo dục THCS đã đề ra.
Trong chương trình vật lý THCS, phần cơ học, nhất là các bài tập cơ học chuyển
động rất thiết thực, gần gũi, gắn bó với cuộc sống hàng ngày của các em. Tuy nhiên
các bài tập dạng này rất đa dạng và khó đối với học sinh. Hơn nữa, trong phân phối
chương trình lại ít có tiết bài tập để luyện tập và chữa bài tập. Do đó, học sinh rất lúng
túng khi giải các bài tập ở sách bài tập và khó khăn hơn khi giải bài tập khi đi thi HSG
ở kỳ thi các cấp.
Kiến thức trong bài học tuy không khó và nhiều nhưng khả năng vận dụng lại
khó và cũng khá phức tạp, bài tập trong sách bài tập thì khó đối với học sinh. Các bài
tập trong sách bài tập hầu như học sinh không làm được, vì nó đa dạng trong khi đó
giáo viên lại không có điều kiện chữa bài cho học sinh.
Qua một số năm bồi dưỡng đội tuyển HSG của trường tôi thấy hầu như kiến
thức và kỹ năng giải bài tập phần cơ học, đặc biệt là phần cơ học chuyển động của các
học sinh đã được lựa chọn vào học đội tuyển là yếu và kém, do đó kết quả thi môn vật
lý của nhiều trường là chưa cao.
Chính vì những lý do nêu trên, tôi đã định hướng cách giải và hệ thống phương
pháp giải bài tập phần cơ học chuyển động một cách ngắn gọn theo những bước cơ

bản dưới dạng một chuyên đề với tên là: “Phương pháp giải các dạng bài tập gặp
nhau trong chuyển động cơ học” chuyên đề này này nhằm giúp cho các em học sinh
nói chung và học sinh của đội tuyển nắm vững được phương pháp giải, biết vận dụng
vào các dạng bài tập và có cách nhìn nhận một cách đơn giản bài toán chuyển động cơ
học, giúp cho các em hứng thú trong học tập, rèn luyện và yêu thích môn học.
2


Trong chuyên đề này, tôi chủ yếu hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về phần
chuyển động cơ học và định hướng về mặt phương pháp giải, kèm theo đó là hệ thống
một số bài tập mẫu, bài tập mở rộng và nâng cao.
2. MỤC ĐÍCH CỦA SKKN
- Định hướng phương pháp giải các dạng bài tập chuyển động cơ học, đặc biệt là các
bài tập gặp nhau trong chuyển động cơ học, phân tích các nội dung lý thuyết có liên
quan. Hướng dẫn cho học sinh vận dụng lý thuyết, phân tích bài toán, tìm ra phương
pháp giải cụ thể, ngắn gọn, dễ hiểu.
- Phân tích các vấn đề liên quan đến việc tư duy để giải một bài toán chuyển động
phức tạp, định hướng trình bày các cách giải một bài toán khoa học, ngắn gọn.
- Qua việc giải bài tập hay và khó, giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo, tăng hứng
thú học tập bộ môn, ham mê tìm hiểu khám phá, nghiên cứu khoa học. Tạo thói quen
làm việc khoa học, rèn đức tính chăm chỉ, chịu khó và kiên trì.
- Cung cấp thêm tư liệu cho học sinh, các bậc phụ huynh và các đồng nghiệp.
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
- Lý thuyết về chuyển động cơ học trong chương trình Vật lý THCS.
- Định hướng phương pháp giải các dạng bài tập chuyển động cơ học, đặc biệt là các
bài tập gặp nhau trong chuyển động cơ học, phân tích các nội dung lý thuyết có liên
quan.
-Nghiên cứu trên đối tượng học sinh khối 8 Trường THCS Lũng Hòa – Vĩnh Tường –
Vĩnh Phúc.
4. PHẠM VI NGHIÊN CỨU

-SKKN được nghiên cứu sử dụng trong phạm vi trường THCS Lũng Hòa.
-SKKN được ngiên cứu trong một năm ( từ tháng 9 năm 2014 đến tháng 9 năm 2015)
5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu lý luận, thực tiễn và tiến hành khảo sát trên đối tượng cụ thể.
- Phương pháp quan sát sư phạm.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
-Nghiên cứu tư liệu, tài liệu, sách giáo khoa, các sách tham khảo.
-Điều tra trên đối tượng cụ thể.
6. CẤU TRÚC CỦA SKKN
Phần I: Đặt vấn đề.
Phần II: Nội dung
Chương I: Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Chương II: Một số kiến thức cơ bản về phần chuyển động cơ học
Chương III: Một số phương pháp giải các dạng bài tập gặp nhau trong chuyển động cơ
học
3


Chương IV: Một số bài tập áp dụng nâng cao
Chương V: Một số bài tập mở rộng của bài toán gặp nhau.
Phần III: Kết luận
PHẦN II. NỘI DUNG
CHƯƠNG I.
THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
- Qua tìm hiểu,thu thập tư liệu tại trường THCS Lũng Hòa – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc,
trong ba năm trở lại đây, từ 2011 đến 2013 việc học sinh tiếp thu vận dụng các kiến
thức phần chuyển động cơ học còn hạn chế, kết quả chưa cao. Sự nhận thức và ứng
dụng thực tế cũng như vận dụng vào việc giải các bài tập vật lý ( Đặc biệt là các dạng
bài tập gặp nhau trong chuyển động cơ học) còn nhiều yếu kém. Học sinh không chủ
động trong việc sử dụng các phương pháp đểgiải bài tập, đa số học sinh đều mò mẫm

tìm đường đi mà không có định hướng cho một dạng cụ thể. Tiến hành khảo sát
chuyên đề này ở lớp 8A – Trường THCS Lũng Hòa năm học 2014 – 2015 cho kết quả
như sau:
Bảng 1: Kết quả khảo sát chất lượng trước khi áp dụng SKKN trong giảng dạy.
Tổng
số

35 hs

Lần
khảo
sát

Kết quả khảo sát chất lượng
Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu - Kém

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

1

2

5,7

5

14,3

18

51,4

10

28,6

2

3

8,6

6

17,1

15

42,9

11

31,4

3

2

5,7

5

14,3

19

54,3

9

25,7

- Nhìn vào kết quả khảo sát dễ dàng nhận thấy tỉ lệ học sinh đạt loại giỏi là rất thấp. Tỉ
lệ đó thể hiện rõ nét vấn đề mà tôi đã nêu ra trong phần mở đầu. Đa số các em chỉ
dừng lại ở mức độ trung bình và khá, điều đó thể hiện mức độ nắm bắt kiến thức của
các em ở phần kiến thức này còn nhiều hạn chế. Bên cạnh đó, tỉ lệ học sinh yếu cao
cho thấy thái độ học tập của các em đối với phần kiến thức này là không hứng thú. Có
thể nói nhiều học sinh sợ và không quan tâm đến phần kiến thức này, mà đây là phần
kiến thức vô cùng quan trọng, là tiền đề cho chương trình vật lý cơ học ở lớp 10 bậc
THPT.
- SKKN “Phương pháp giải các dạng bài tập gặp nhau trong chuyển động cơ học”
ở chương trình Vật lý THCS ra đời nhằm góp phần cải thiện thực trạng học tập như
trên, giúp nâng cao chất lượng học sinh khá giỏi, đồng thời đem lại hứng thú học tập
cho học sinh.

4


CHƯƠNG II:
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHẦN CHUYỂN ĐỘNG CƠ HỌC
1. Chuyển động cơ học:
- Sự thay đổi vị trí của một vật so với vật mốc gọi là chuyển động cơ học.
- Vật mốc là vật được coi là đứng yên so với vật đang xét.
- Chuyển động và đứng yên có tính tương đối, tuỳ thuộc vào vật được chọn làm mốc
mà vật đang xét được coi là là đứng yên hay chuyển động.
- Quỹ đạo là đường mà vật chuyển động vạch ra trong không gian.
- Tuỳ thuộc vào hình dạng của quỹ đạo chuyển động mà ta có chuyển động thẳng,
chuyển động cong, chuyển động tròn. Chuyển động tròn là 1 trường hợp đặc biệt của
chuyển động cong.
2. Chuyển động đều

- Chuyển động đều là chuyển động mà vận tốc có độ lớn không thay đổi theo thời
gian.
- Vận tốc của chuyển động đều cho biết mức độ nhanh hay chậm của chuyển động và
được đo bằng quãng đường đi được trong một đơn vị thời gian .
- Công thức tính vận tốc: v =

s
t

Trong đó: s là quãng đường đi được (km, m,..)
t: thời gian đi hết quãng đường (h, s…)
Đơn vị tính vận tốc: Tuỳ theo đơn vị S và đơn vị của t mà ta xác định
được đơn vị của v; đơn vị hợp pháp là m/s và km/h.
- Đổi đơn vị vận tốc: 1m/s = 100 cm/s = 3,6 km/h
3. Chuyển động không đều, vận tốc trung bình:
- Chuyển động không đều là chuyển động mà vận tốc có độ lớn thay đổi theo thời
gian.
- Công thức tính, vận tốc trung bình của chuyển động:

vtb =

s1 + s2 + ... s
=
t1 + t2 + ... t

Trong đó: S là tổng quãng đường đi được ( m, km)
t: Tổng thời gian đã đi ( s, h)
vtb: Vận tốc trung bình. (m/s, km/h)
4. Kiến thức toán có liên quan:
Cho phương trình bậc hai :

ax2 + bx + c = 0

(a#0)

∆ = b2 - 4ac

( b, c là hằng số)

- Nếu ∆ < 0 ⇔ phương trình vô nghiệm
- Nếu ∆ = 0 ⇔ phương trình có nghiệm kép: x =

−b
2a

−b+ ∆
- Nếu ∆ > 0 ⇔ phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 =
và x2
2a

=

−b− ∆
2a

5


CHƯƠNG III.
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP GẶP NHAU TRONG

CHUYỂN ĐỘNG CƠ HỌC
Dạng I. Bài toán gặp nhau dựa vào quãng đường.
- Đọc và tóm tắt đầu bài như các bài toán vật lý thông thường
- Giả sử sau thời gian t tính từ lúc chuyển động thì 2 vật gặp nhau.
- Xác đinh quãng đường mà hai (hay nhiều vật) chuyển động được sau thời gian
t.
- Vẽ sơ đồ chuyển động, dựa vào sơ đồ chuyển động để thiết lập phương trình
của bài toán và tìm ẩn.
a) Khi hai vật chuyển động ngược chiều.( Khoảng cách giữa hai vật thường
là AB = s cho trước)
Trường hợp 1: Hai vật xuất phát cùng lúc. (vật 1 xuất phát từ A với vận tốc v 1 vật
2 xuất phát từ B với vận tốc v2)
S1

A

S2

C

B

Cách 1: Gọi t là thời gian hai vật gặp nhau tại C ( hình vẽ ).
AC s1
=
(1)
v1
v1
BC
s2

s1 s2
Thời gian vật 2 đi từ B đến C là: t =
=
(2). Tử (1) và (2) suy ra: =
(Có
v2
v2
v1 v2
s1 s2 s1 + s2
s
=
thể áp dụng tỷ lệ thức: = =
). Kết hợp với dữ liệu bài toán để tìm
v1 v2 v1 + v2 v1 + v2

Thời gian vật 1 đi từ A đến C là: t =

ra ẩn số của đề bài .
Cách 2:
Gọi t là thời gian hai vật gặp nhau tại C ( hình vẽ ).
AC
suy ra: AC = s1 = v1.t (1)
v1
BC
Thời gian vật 2 đi từ B đến C: t =
suy ra: BC = s2 = v2.t (2)
v2
AB
s
Ta có: AB = AC+BC = v1.t + v2.t = t(v1 + v2) suy ra: t =

=
(3)
v1 + v2 v1 + v2

Thời gian vật 1 đi từ A đến C: t =

Kết hợp với dữ liệu bài toán tìm ẩn số của đề bài ( Nếu bài toán yêu cầu tìm vị trí gặp
nhau cách A hoặc cách B là bao nhiêu? Thay (3) vào (1) ta tính được AC hoặc thay (3)
vào (2) ta tính được BC)
Ví dụ 1: Quãng đường AB dài 60km, lúc 6h một người xe máy đi từ A về B với
vận tốc v1 = 30km/h, cùng lúc đó từ B một người đi xe đạp về A với vận tốc v 2 =
10km/h.
a) Hai người gặp nhau lúc mấy giờ?
b) Vị trí gặp nhau cách A bao nhiêu km?
Giải.
6


a) Gọi t là thời gian hai xe gặp nhau tại C ( hình vẽ ).
- Sau thời gian t (h) người đi xe máy đi được quãng đường: S 1 = v1.t =30.t
(km)
- Sau thời gian t(h) người đi xe đạp đi được quãng đường: S 2 = v2.t =10.t
(km)
- Từ sơ đồ chuyển động ta có:
S1

S2

A

C

B

S1+ S2 = SAB
⇔ 30.t + 10.t = 60 ⇒ t = 1,5h. Vậy hai người gặp nhau lúc 7h30 phút
b) Vị trí gặp nhau các A quãng đường S1= 30.1,5 = 45km.
Ví dụ 2: Cho hai xe nhỏ A và B cùng chuyển động trên một đường tròn với tốc độ
không đổi. Biết hai xe khởi hành từ cùng một điểm trên đường tròn, xe A chuyển động
một vòng hết 10 phút, xe B chuyển động một vòng hết 70 phút. Hỏi khi xe B đi một
vòng thì gặp xe A mấy lần? (không tính thời điểm khởi hành) hãy tính trong trường
hợp: Hai xe đi ngược chiều.
Gọi tốc độ của xe B là v → tốc độ của xe A là 7v.
Gọi t là thời gian tính từ lúc khởi hành đến lúc 2 xe gặp nhau.
→ (0 < t ≤ 70); C là chu vi của đường tròn.
Khi 2 xe đi ngược chiều:
Ta có: s1 + s2 = m.C (m là lần gặp nhau thứ m, m∈ N*)
→ 7v.t + v.t = m.70v ⇔ 7t + t = 70m → 8t = 70m → t =
Vì 0 < t ≤ 70 → 0 <

70
m
8

70
m ≤ 70
8

→ 0 < m ≤ 8 → m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8. Vậy 2 xe đi ngược chiều sẽ gặp nhau 8 lần.
Ví dụ 3: Tại hai địa điểm A và B trên cùng một đường thẳng cách nhau 120km, hai ô

tô cùng khởi hành một lúc chạy ngược chiều nhau. Xe đi từ A có vận tốc v 1=30 km/h.
Xe đi từ B có vận tốc v2 = 50 km/h.
a. Xác định thời điểm và vị trí hai xe gặp nhau?
b. Xác định thời điểm và vị trí hai xe cách nhau 40 km?
Giải:
a. Gọi t (h) là thời gian hai xe gặp nhau tại C (Hình vẽ)
S1

A

S2

C

B

- Sau thời gian t xe đi từ A đi được quãng đường: S1 = v1.t = 30.t
- Sau thời gian t xe đi từ B đi được quãng đường: S2 = v2.t = 50.t
- Theo sơ đồ chuyển động ta có: S1 + S2 = SAB ⇔ 30.t + 50.t = 120 ⇒ t = 1,5h
- Vị trí gặp nhau cách A là: S1= 30.1,5 = 45km
b. TH1: Trước khi hai xe gặp nhau. (Hình vẽ)
7


S1

S2

L=40km

B

A
D

C

- Gọi t’ là thời gian được tính từ lúc hai xe xuất phát đến khi hai xe cách nhau 40km.
- Trong thời gian t’ xe đi từ A đi được quãng đường: S1’ = v1.t’ = 30.t’
- Trong thời gian t’ xe đi từ B đi được quãng đường: S2’ = v2.t’ = 50.t’
- Theo sơ đồ chuyển động ta có: S 1’ + S2’ + L = SAB ⇔ 30.t’ + 50.t’ + 40 = 120 ⇒ t’ =
1h
- Vị trí xe đi từ A cách A: S1’ = 30 km; xe đi từ B cách A: 70km
TH2: Sau khi hai xe gặp nhau tại C.( Hình vẽ)
S1’’
L

A
D

C
=
4

B
E
S2’’

- Gọi t’’ là thời gian được tính từ lúc hai xe xuất
0 phát đến khi hai xe cách nhau 40 km.

- Trong thời gian t’’ xe đi từ A đi được quãngk đường: S1’’ = v1.t’’ = 30.t’’
- Trong thời gian t’’ xe đi từ B đi được quãngmđường: S2’’ = v2.t’’ = 50.t’’
- Theo sơ đồ chuyển động ta có: S 1’’ + S2’’ = SAB + L ⇔ 30.t’’ + 50.t’’ = 120 + 40 ⇒ t’’
= 2h.
- Vị trí xe đi từ A cách A: S1’’ = 60 km; xe đi từ B cách A: 20km
Trường hợp 2: Hai vật xuất phát không cùng lúc.
+ Vật 1 xuất phát trước vật 2 là thời gian T cho trước. Trong thời gian T vật 1 đi được
quãng đường AA1 = v1.T . Khi đó vật 1 coi như xuất phát từ A1 cùng lúc với vật 2 xuất
phát từ B và cách nhau khoảng: A 1B = AB – AA1. Lúc này cách làm tương tự với
trường hợp 1.
A1

A

B

+ Vật 2 xuất phát trước vật 1 trong thời gian T cho trước. Trong thời gian T vật 2 đi
được quãng đường BB1 = v2.T . Khi đó vật 2 coi như xuất phát từ B 1 cùng lúc với vật
1 xuất phát từ A và cách nhau khoảng: AB 1 = AB – BB1. Lúc này cách làm cũng tương
tự với trường hợp 1.
A

B1

B

Ví dụ : (Khi hai vật không cùng xuất phát)
Quãng đường AB dài 60km, lúc 6h một người xe máy đi từ A về B với vận tốc
v1 = 30km/h. Lúc 6h20 từ B một người đi xe đạp về A với vận tốc v2 = 10km/h.
a) Hai người gặp nhau lúc mấy giờ?

8


b) Vị trí gặp nhau cách A bao nhiêu km?
1
3

Giải: Trong thời gian T= 20 phút = h người đi xe máy đi được quãng đường AA 1 =
v1.T= 30.

1
= 10 km. Khi đó người đi xe máy coi như xuất phát từ A 1 cùng lúc với
3

người đi xe đạp xuất phát từ B và cách nhau khoảng: A 1B = AB – AA1= 60-10 = 50
km.
- Gọi t(h) là thời gian hai người gặp nhau tại C ( mốc thời gian là 6h20 phút)
- Sau thời gian t người đi xe máy đi được quãng đường: S1 = v1.t = 30.t (km)
- Sau thời gian t kể từ lúc xuất phát người đi xe đạp đi được: S 2 = v2.t = 10.t (km)
- Tính đến lúc gặp nhau ta có:
S1 + S2 = A1B ⇔
10km

S1

S2

A

B

A1

C

Từ đó ta có: 30.t + 10.t = 50 ⇒ t = 1,25h = 1h15 phút.
Vậy hai người gặp nhau lúc: 7h35 phút, cách A quãng đường A 1A + S1 = 10+37,5 =
47,5km
b) Khi hai vật chuyển động cùng chiều.
Trường hợp 1: Hai vật xuất phát cùng lúc, cách nhau khoảng cách là s =AB cho
trước.
S2
B
A
C
S1
Gọi t là thời gian hai vật gặp nhau tại C ( hình vẽ ).
AC
suy ra: AC = s1 = v1.t (1)
v1
BC
Thời gian vật 2 đi từ B đến C: t =
suy ra: BC = s2 = v2.t (2)
v2
AB
s
Ta có: AB = AC - BC = v1.t - v2.t = t(v1 - v2) suy ra: t =
=
(3)
v1 − v2 v1 − v2

Thời gian vật 1 đi từ A đến C: t =

Kết hợp với dữ liệu bài toán tìm ẩn số của đề bài ( Nếu bài toán yêu cầu tìm vị trí gặp
nhau cách A hoặc cách B là bao nhiêu? Thay (3) vào (1) ta tính được AC hoặc thay (3)
vào (2) ta tính được BC)
Ví dụ 1. Trên đường thẳng có hai điểm A và B cách nhau 100m, từ hai vị trí A
và B hai bạn An và Bình cùng chạy theo hướng từ A tới B (An xuất phát tại A, Bình
xuất phát tại B) với vận tốc của An và Bình lần lượt là: v 1 = 8m/s và v2 = 4 m/s. Sau
bao lâu kể từ lúc xuất phát thì An đuổi kịp Bình, khi gặp nhau họ cách B bao nhiêu
mét?
Giải: Gọi t(s) là thời gian kể từ lúc hai bạn xuất phát thì họ gặp nhau tại C (hình vẽ)
9


S2

B
A

C
S1

- Sau thời gian t (s) An chạy được quãng đường: S1 = v1.t = 8.t (m)
- Sau thời gian t (s) Bình chạy được quãng đường; S2 = v2 .t = 4.t (m)
- Tính đến lúc gặp nhau ta có: S1 = S2 + SAB ⇒ 8.t = 4.t + 100 ⇒ t = 25s
Vậy sau 25s kể từ lúc xuất phát An đuổi kịp Bình, khi gặp Bình hai bạn cách B quãng
đường : S = S2 = 4.t = 4.25 = 100m.
Ví dụ 2: Cho hai xe nhỏ A và B cùng chuyển động trên một đường tròn với tốc
độ không đổi. Biết hai xe khởi hành từ cùng một điểm trên đường tròn, xe A chuyển
động một vòng hết 10 phút, xe B chuyển động một vòng hết 70 phút. Hỏi khi xe B đi

một vòng thì gặp xe A mấy lần? (không tính thời điểm khởi hành) hãy tính trong
trường hợp: Hai xe đi cùng chiều.
Gọi tốc độ của xe B là v → tốc độ của xe A là 7v.
Gọi t là thời gian tính từ lúc khởi hành đến lúc 2 xe gặp nhau.
→ (0 < t ≤ 70); C là chu vi của đường tròn.
Khi 2 xe đi cùng chiều:
Quãng đường xe A đi được: s1 = 7v.t; Quãng đường xe B đi được: s2 = v.t
Ta có: s1 - s2 = n.C; với C = 70v; n là lần gặp nhau thứ n
→ 7v.t - v.t = 70v.n → 7t - t = 70n → 6t = 70n → t =
Vì 0 < t ≤ 70 → 0 <

35n
3

35n
3

≤ 70 → 0 < 35n ≤ 210 → n = 1, 2, 3, 4, 5. Vậy 2 xe sẽ gặp

nhau 5 lần
Trường hợp 2: Hai vật xuất phát không cùng lúc và tại cùng một địa điểm.
(Nếu 2 vật xuất phát cùng địa điểm và đi cùng chiều nhưng thời gian xuất phát khác
nhau thì ta nên đưa về dạng trường hợp 1)
Bài toán cho hai vật chuyển động cùng chiều, vật một đi với vận tốc v 1, vật hai đi với
vận tốc v2 (v1 > v2 ) nhưng vật hai xuất phát trước với thời gian T cho trước. Các bước
làm như sau:
A

B

C

Trong thời gian T vật hai đi được quãng đường: AB = v 2.T. Khi đó coi như vật hai
xuất phát cùng lúc với vật một và vật hai cách vật một khoảng cách là AB. Lúc này
các bước làm tương tự trường hợp 1.
Ví dụ: Hà và Thu cùng khởi hành từ Thành phố Huế đến Đà Nẵng trên quãng đường
dài 120km. Hà đi xe máy với vận tốc 45km/h. Thu đi ôtô và khởi hành sau Hà 30 phút
với vận tốc 60km/h.
a. Hỏi Thu phải đi mất bao nhiêu thời gian để đuổi kịp Hà ?
b. Khi gặp nhau, Thu và Hà cách Đà Nẵng bao nhiêu km ?
10


c. Sau khi gặp nhau, Hà cùng lên ôtô với Thu và họ đi thêm 25 phút nữa thì tới Đà
Nẵng. Hỏi khi đó vận tốc của ôtô bằng bao nhiêu ?
Giải :

a.Trong thời gian T= 30 phút =

1
h Hà đi được quãng đường là:
2

1
2

HH1 = v1.T = 45. =22,5 km.

S2
C

H1

Đ

H
22,5km

SCĐ

S1

Khi đó Hà đi xe máy coi như xuất phát từ H 1 cùng lúc với Thu đi xe ô tô xuất phát từ
H và cách nhau khoảng: HH1 = 22,5 km.
- Gọi t(h) là thời gian hai người gặp nhau tại C.
- Sau thời gian t Hà đi xe máy đi được quãng đường: S1 = v1.t = 45.t (km)
- Sau thời gian t Thu đi ô tô đi được quãng đường: S2 = v2.t = 60.t (km)
- Từ sơ đồ chuyển động ta có : S2 – S1 = HH1 ⇒ 60.t – 45.t = 22,5 ⇒ t = 1,5h
Vậy sau 1,5h Thu đuổi kịp Hà.
b.Quãng đường sau khi gặp nhau đến Đà Nẵng là :
SCD = S – S2 = S – v2t = 120 – (60.1,5) = 30(km)
c.Sau khi gặp nhau, vận tốc của xe ôtô là:
v=

SCD 30
12
=
= 30 = 72(km / h)
5
t

5
12

c) Hai vật vừa cùng chiều vừa ngược chiều
Ví dụ 1: Hai bạn Toàn và Thắng cùng xuất phát tại một vị trí và chạy trên một
đường thẳng về đích, biết rằng bạn nào tới đích trước thì lập tức quay lại. Xác định
thời gian và vị trí hai bạn gặp nhau trên đường chạy kể từ lúc xuất phát. Biết vận tốc
của Toàn là v1 = 4m/s và vận tốc của Thắng là v 2 = 6m/s và khoảng cách từ vị trí xuất
phát tới đích là 60m
Giải:
-Giả sử sau thời gian t(s) kể từ lúc hai bạn xuât phát thì họ gặp nhau trên đường chạy
tại C (hình vẽ)
C
S1

SBC

A
SAB

B
Đích

-Sau thời gian t(s) kể từ lúc xuất phát quãng đường mà Toàn chạy được là:
S1= SAC = v1.t = 4.t (m)
11


-Sau thời gian t(s) kể từ lúc xuất phát quãng đường mà Thắng chạy được là:
S2= SAB + SBC = 6.t (m)

-Tính đến lúc gặp nhau tại C ta có S 1 + S2 = 2SAB ⇔ 4.t + 6.t = 120 ⇒ t = 12s. Vậy
sau thời gian t = 12 giây kể từ lúc xuất phát thì hai bạn gặp nhau tại vị trí cách vị trí
xuất phát quãng đường S1 = 4.12 = 48m.
Ví dụ 2: Lúc 6 giờ, một người đạp xe từ thành phố A về phía thành phố B ở
cách thành phố A 114 km với vận tốc 18km/h. Lúc 7h, một xe máy đi từ thành phố B
về phía thành phố A với vận tốc 30km/h .
a) Hai xe gặp nhau lúc mấy giờ và nơi gặp cách A bao nhiêu km ?
b) Trên đường có một người đi bộ lúc nào cũng cách đều xe đạp và xe máy, biết
rằng người đó cũng khởi hành từ lúc 7h. Tính vận tốc của người đó, người đó đi theo
hướng nào, điểm khởi hành của người đó cách A bao nhiêu km?
Giải:
a) Chọn A làm mốc
Gốc thời gian là lúc 7h
Lúc 7h xe đạp đi được từ A đến C
AC = v1. t = 18. 1 = 18 Km.
Giải sử sau thời gian t(h) kẻ từ lúc xe máy xuất phát (7h) thì hai xe gặp nhau tại D:
Sau thời gian t (h) quãng đường mà xe đạp đi được: S1 = 18.t
(1)
Sau thời gian t(h) quãng đường mà xe máy đi được: S2 = 30.t
(2)
⇒
Khi hai người gặp nhau tại D ta có: AC + S1 + S2 = 114
18 + 18.t + 30.t = 114
⇒ t = 2h. Vậy hai xe gặp nhau lúc 7 + 2 = 9h cách A quãng đường AD = 18 + 36 =
54km.
b) Vì người đi bộ lúc nào cũng cách đều người đi xe đạp và xe máy nên:
* Lúc 7 h phải xuất phát tại trung điểm của CB tức cách A là :
AE = AC + CB/2 = 18 +

114 − 18

= 66 ( km )
2

* Lúc 9 h ở vị trí hai xe gặp nhau tức cách A: 54 Km
Vậy sau khi chuyển động được 2h người đi bộ đã đi được quãng đường là:
S = 66- 54 = 12 ( km )
Vận tốc của người đi bộ là : v3 =

12
= 6 (km/h)
2

Ban đầu người đi bộ cách A: 66km . Sau khi đi được 2h thì cách A là 54 km nên người
đó đi theo chiều từ B về A. Điểm khởi hành cách A là 66km
Dạng II. Bài toán gặp nhau dựa vào thời gian
- Đọc và tóm tắt đầu bài như các bài toán vật lý thông thường
- Vẽ sơ đồ chuyển động, xác định các quãng đường mà vật chuyển động đi qua
- Tính tổng thời gian của các chuyển động trên các chặng đường chuyển động
- Dựa vào đầu bài đưa ra phương trình hoặc hệ phương trình, giải và tìm ẩn.
Chú ý: Hướng giải bài toán gặp nhau dựa vào thời gian có một điểm quan trọng đó
là tính từ một thời điểm nào đó ta chọn làm mốc thời gian thì tính đến lúc gặp nhau
thời gian để các vật đi qua các chặng đường là bằng nhau (t 1 = t2): Ví dụ lúc 7h sáng có
hai người cùng xuất phát tại nhà để đi làm (mỗi người một cơ quan khác nhau), qua
một khoảng thời gian nhất định đến trưa thì họ gặp nhau, thì thời gian để họ đi qua các
quãng đường của mỗi người vẫn bằng nhau tính từ 7h sáng đến thời điểm lần sau họ
gặp nhau.
12


Hướng giải này khiến học sinh dễ nhớ và rất hiểu vấn đề:

Ví dụ 1: Một xuồng máy đang đi ngược dòng thì gặp một bè đang trôi xuôi.
Sau khi gặp bè 1/2 giờ thì động cơ tàu bị hỏng. Trong trong thời gian máy hỏng, xuồng
bị trôi theo dòng. Được 15 phút thì sửa xong máy, xuồng quay lại đuổi theo bè (vận
tốc đối với nước như cũ), và gặp bè tại điểm cách điểm gặp lần trước một đoạn l
=2,5km. Tìm vận tốc của dòng nước.
Giải:
Gọi vận tốc của xuồng đối với nước là v 1, gọi vận tốc nước là v 2. gọi A là điểm xuồng
gặp bè lần thứ nhất, B là điểm xuồng hỏng máy, C là điểm sửa xong máy, D là điểm
xuồng gặp bè lần hai.
Từ sơ đồ chuyển động trên ta có:
- Tổng thời gian để bè trôi từ A đến D là: t1 =

AD 2,5
=
v2
v2

(1)

1 1
CD
+ +
(2)
2 4 v1 + v1
10 + 2v1 − 3v 2
1
1
Với CD = 2,5 + AC = 2,5 + (AB – BC) = 2,5 + (v1 − v 2 ) − v 2 =
(3)
2

4
4
3 10 + 2v1 − 3v 2
Thay (3) vào (2) và rút gọn ta được: t 2 = +
(4)
4
4(v1 + v 2 )

- Tổng thời gian để xuồng đi từ A → B → C → D là: t 2 =

Tính đến lúc xuồng gặp bè tại D ta có: t1 = t2

2,5 3 10 + 2v1 − 3v 2
= +
⇒ 10.(v1 + v2) = 3.v2(v1+v2) + v2(10 +2v2 - 3v3)
v2
4
4(v1 + v 2 )
⇒ 10v1+10v2 = 3v1.v2 + 3v22 + 10v2 + 2v1.v2 – 3.v22 ⇒ 10v1 = 5.v1.v2 ⇒ v2 = 5

Vậy vận tốc dòng nước là 5km/h.
Ví dụ 2. Một canô chạy trên sông, cả khi xuôi dòng và ngược dòng đều có vận
tốc đối với nước không đổi. Khi chạy xuôi dòng, nó vượt qua một chiếc bè tại A. Sau
đó 40 phút canô quay ngược lại và gặp bè tại điểm B ở phía hạ lưu đối với điểm A và
cách A 4km. Tính vận tốc của dòng nước.
Giải: Gọi vận tốc của canô so với nước là v1, gọi vận tốc của nước là v2, A là điểm
canô gặp bè lần 1, B là điểm canô gặp bè lần 2, C là điểm canô quay đầu.
Từ sơ đồ chuyển động ta có:
- Tổng thời gian bè trôi từ A đến B là:
t1 =

AB 4
=
v2
v2

(1)

- Tổng thời gian canô đi từ A đến C rồi đến B là: t 2 =
Với
t2 =

BC =

2
BC
+
3 v1 − v 2

(2)

2(v1 + v 2 ) − 12
2
(v1 + v 2 ) − 4 =
thay vào (2) ta có:
3
3

2 2(v1 + v 2 ) − 12
+

3
3(v1 − v 2 )

(3)

Kể từ lúc ca nô gặp bè tại A đến lúc gặp bè tại B ta có: t1 = t2
13


4 2 2(v1 + v 2 ) − 12
= +
⇔ 12(v1 – v2) =2v2(v1 – v2) +2v2(v1 + v2) - 12.v2 ⇒ v2
v2 3
3(v1 − v 2 )

=3
Vậy vận tốc dòng nước là v = 3km/h.
Ví dụ 3. Một chiếc thuyền bơi từ bến A đến bến B ở cùng một bên bờ sông với
vận tốc đối với nước là v1 = 3km/h. Cùng lúc đó một ca nô chạy từ bến B theo hướng
đến bến A với vận tốc đối với nước là v2 = 10km/h. Trong thời gian thuyền đi từ A đến
B thì ca nô kịp đi được 4 lần quãng đường đó và về đến B cùng một lúc với thuyền.
Hãy xác định:
a. Hướng và độ lớn vận tốc của nước sông.
b. Nếu nước chảy nhanh hơn thì tổng thời gian cano đi trong quá trình trên (với
quãng đường như câu a) có thay đổi không? Vì sao?
Gải:
a) Gọi khoảng cách giữa hai bến sông là S = AB, giả sử nước chảy từ A đến B
với vận tốc u ( u < 3km/h )
S
v1 + u

2S
2S
+
- Thời gian chuyển động của ca nô là: t2 =
v2 − u v2 + u
S
2S
2S
+
Theo bài ra: t1 = t2 ⇔
=
v1 + u v 2 − u v 2 + u
1
2
2
+
⇒ u 2 + 4v 2 u + 4v1v 2 − v 22 = 0 thay số ta được
Hay:
=
v1 + u
v2 − u v2 + u

- Thời gian thuyền chuyển động từ A đến B là: t1 =

u 2 + 40u + 20 = 0 (1)

Giải phương trình (1) ta được: u ≈ - 0,506 km/h
Vậy nước sông chảy theo hướng BA với vận tốc gần bằng 0,506 km/h

v + u + v2 − u

4.S .v
2S
2S
+
= 2S ( 2 2
) = 2 22
2
v2 − u v2 + u
v2 − u
v2 − u
2
2
Khi nước chảy nhanh hơn (u tăng) ⇒ v - u giảm ⇒ t2 tăng (S, v2 không đổi)

b) Thời gian ca nô đi và về: t2 =

Ví dụ 4:
Một vận động viên bơi xuất phát tại điểm A trên sông và bơi xuôi dòng. Cùng thời
điểm đó tại A thả một quả bóng. Vận động viên bơi đến B với AB = 1,5km thì bơi quay
lại, sau 20 phút tính từ lúc xuất phát thì gặp quả bóng tại C với BC = 900m. Coi nước
chảy đều, vận tốc bơi của vận động viên so với nước luôn không đổi.
a/ Tính vận tốc của nước chảy và vận tốc bơi của người so với bờ khi xuôi dòng
và ngược dòng.
b/ Giả sử khi gặp bóng vận động viên lại bơi xuôi, tới B lại bơi ngược, gặp bóng
lại bơi xuôi... cứ như vậy cho đến khi người và bóng gặp nhau ở B. Tính tổng thời gian
bơi của vận động viên.
Giải:
a. Thời gian bơi của vận động viên bằng thời gian trôi của quả bóng, vận tốc dòng
nước chính là vận tốc quả bóng.
vn = vb =

AC
= 1,8 km/h.
t
14


Gọi vận tốc của vận động viên so với nước là v0, vận tốc so với bờ khi xuôi dòng và
ngược dòng là v1 và v2 => v1= v0 + vn ; v2 = v0 - vn.
AB
AB
=
Thời gian bơi xuôi dòng t1 =
(1)
v1
v0 + vn
CB
CB
=
Thời gian bơi ngược dòng t 2 =
(2)
v2 v0 − vn
Theo bài ra ta có t1 + t2 =

1
h.
3

(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có v 02 − 7, 2v 0 = 0 => v0 = 7,2km/h.
 Khi xuôi dòng v1 = 9(km/h); Khi ngược dòng v2 = 5,4km/h.
b. Tổng thời gian bơi của vận động viên chính là thời gian bóng trôi từ A đến B:
AB
≈ 0,83 h.
 t3 =
vn
Dạng III. Bài toán gặp nhau dựa vào quãng đường và thời gian.
Cách giải này thường được áp dụng cho những bài toán phức tạp.
Một số điểm cần chú ý:
- Đặt ẩn như các bài toán thông thường
- Vẽ sơ đồ của chuyển động
- Biểu diễn các quãng đường cho các chuyển động
Ví dụ 1: Hải, Quang và Tùng cùng khởi hành từ A lúc 8 giờ để đi đến B, với
AB = 8 km. Do chỉ có một xe đạp nên Hải chở Quang đến B với vận tốc v 1 = 16 km/h,
rồi liền quay lại đón Tùng. Trong lúc đó Tùng đi bộ dần đến B với vận tốc v2 = 4 km/h.
a, Hỏi Tùng đến B lúc mấy giờ? Quãng đường Tùng phải đi bộ là bao nhiêu km?
b, Để Hải đến B đúng 9 giờ, Hải bỏ Quang tại một điểm nào đó rồi lập tức quay lại
chở Tùng cùng về B, Quang tiếp tục đi bộ về B. Tìm quãng đường đi bộ của Tùng và
của Quang. Quang đến B lúc mấy giờ?
Biết xe đạp luôn chuyển động đều với vận tốc v 1, những người đi bộ luôn đi với vận
tốc v2.
a)
- Gọi C là điểm gặp nhau của Hải và Tùng.
- Trong cùng khoảng thời gian t1:
Hải đi xe đạp đoạn đường s + s1 và Tùng đi bộ quãng đường s3.
Ta có:
s + s1 = v1.t1 ; s3 = v2.t1 ; s1 + s3 = s
⇒ s + s1 + s3 = v1.t1 + s3 ⇒ 2s = v1.t1 + v2.t1
⇒ t1 =

2s
= 0,8 (h)
v1 + v 2

- Sau đó từ C, Hải và Tùng cùng về B với vận tốc v1 trong thời gian t2 :
t2 =

s1 s - s3
8 − 4.0,8
=
=
= 0,3 (h)
v1
v1
16

- Thời gian tổng cộng của Tùng đi là : t = t1 + t2 = 0,8 + 0,3 = 1,1(h) = 1 giờ 6 phút.
- Vậy Tùng đến B lúc 9 giờ 6 phút và quãng đường Tùng đi bộ là :

15


s3 = v2.t1 = 4.0,8 = 3,2 (km).

b) Gọi t1 là thời gian Hải đi xe đạp chở Quang từ A đến D rồi quay về E, cũng
là thời gian Tùng đi bộ từ A đến E (AE = s3).
s3 = v2.t1
(1)
-Sau đó Hải và Tùng cùng đi xe đạp từ E đến B (EB = s1) trong khoảng thời gian t2.

Ta có : s1 = v1.t2
(2)
t1 + t2 = 9 – 8 = 1 (h)
(3)
s3 + s1 = 8 (km)
(4)
Từ (1), (2), (3) và (4), giải ra ta có: t1 =

2
(h)
3

- Quãng đường đi bộ của Tùng là : s3 = v2.t1 =

8
≈ 2,67 (km)
3

- Ta cũng có : AD + DE = v1.t1
(5)
- Từ (1) và (5) => AD + DE + AE = 2AD = v1.t1 + v2.t1 = t1(v1 + v2)
=> AD =

=

=

(km)

- Quãng đường đi bộ của Quang : DB = s2 = AB – AD = 8 - Tổng thời gian Quang đi từ A → B là : t3 =

+

=

=
+

≈ 1,33 (km)
=

(h) = 45 ph

Vậy Quang đến B lúc 8 giờ 45 phút.
Ví dụ 2.
Cùng một lúc hai người chuyển động đều, cùng chiều nhau với vận tốc là V 1=
40km/h; V2 = 30km/h, cách nhau một quãng L. Cùng lúc đó người thứ ba ở cùng vị trí
người thứ nhất nhưng chuyển động ngược chiều với hai người trên. Khi gặp người thứ
hai thì người thứ ba lập tức quay lại đuổi theo người thứ nhất với vận tốc như cũ là V 3
= 50km/h. Kể từ khi gặp người thứ hai và quay lại đuổi kịp người thứ nhất thì người
thứ ba đi mất thời gian 5,4 phút.
a) Tính khoảng cách L?
b) Khi gặp lại người thứ nhất, họ cách người thứ hai bao xa?
a) Đổi 5,4 phút = 0,09 h
Gọi t (h) là thời gian từ khi bắt đầu khởi hành đến khi xe thứ ba gặp xe thứ hai(t > 0)
Suy ra độ dài quãng đường L là: L = (30+50).t
(1)
Lúc xe thứ ba gặp xe thứ hai thì chúng cách xe thứ nhất là :
L + (40 - 30).t (km)
Mặt khác kể từ lúc gặp xe thứ hai xe thứ ba quay lại đuổi kịp xe thứ nhất mất thời gian

0,09 h nên lúc xe thứ ba gặp xe thứ hai thì chúng cách xe thứ nhất là:
(50 - 40).0,09 = 0,9 (km)
Vậy ta có phương trình: L+ (40 - 30).t = 0,9 thay (1) vào ta có
(30+50).t + (40 - 30).t = 0,9
Giải ra ta có t = 0,01h
Vậy L = (30+50).0,01 = 0,8(km)
16


b) Xe thứ ba vừa gặp xe thứ hai liền đuổi kịp xe thứ nhất mất thời gian 0,09 h nên
trong thời gian đó xe thứ nhất gia tăng thêm khoảng cách so với xe thứ hai là:
0,09.(40 - 30) = 0,9 (Km)
Vậy khi gặp lại xe thứ nhất thì chúng cách xe thứ hai là :
0,9 + 0,9 =1,8(Km)
CHƯƠNG IV.
MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG NÂNG CAO
Bài 1: Hai người đi xe đạp xuất phát đồng thời từ 2 điểm A, B cách nhau L=10km
đi lại gặp nhau. Hai người dự định sẽ đi với vận tốc v = 20km/h và khi tới địa điểm kia
sẽ lập tức quay trở lại. Nhưng suốt thời gian đi trên đường có gió thổi liên tục với
hướng và tốc độ không đổi. Biết rằng khi chuyển động theo gió tốc độ tăng bao nhiêu
thì khi đi ngược gió vận tốc giảm bấy nhiêu. Người ban đầu đi thuận chiều gió tới địa
điểm kia rồi quay về ngay, còn người ban đầu đi ngược chiều gió khi tới đích phải
nghỉ ngơi tại đó sau đó mới quay lại đi tiếp. Biết rằng họ gặp nhau ở M và N cách A
lần lượt là LM = 2km và LN = 6km. Người đi xe đạp ban đầu bị ngược gió nghỉ lại ở
điểm nào? Trong bao lâu?
Giải:
Xét 2 trường hợp:
a.Nếu gió thổi từ A đến B. Gọi vận tốc gió là v 0. Ta thấy AN > NB điểm gặp nhau
lần đầu tiên tại N, thời gian từ lúc xuất phát đến lúc gặp nhau là bằng nhau:
S AN

S
= BN
v + v0 v − v0

=> v0 = 4km/h.

Vì gió thổi từ A đến B nên người đi từ B sẽ nghỉ tại A một khoảng thời gian t;
Kể từ lúc gặp nhau lần thứ nhất tại N đến lúc gặp nhau lần thứ 2 tại M thì thời gian của
hai người đi qua các quãng đường là bằng nhau: Ta có.
Kể từ lúc gặp nhau tại N, người đi từ A đi tiếp về B và quay lại M hết tổng thời gian:
t1 =

S BN
S
+ BM
v + v 0 v − v0

Kể từ lúc gặp nhau tại N người đi từ B đi tiếp về A (nghỉ tại đó thời gian t) sau đó đi
tiếp về M hết tổng thời gian:
t2 =

S AN
S
+ AM + t
v − v0 v + v 0

Khi hai người gặp nhau tại M ta có t1 = t2
S BN
S
S

S
+ BM = AN + AM + t , thay số ta được t = 12,5 phút.
v + v0 v − v0 v − v0 v + v0

b.Nếu gió thổi theo chiểu từ B đến A, tương tự như trên ta có v 0 = 12km/h, và người
đi từ A phải nghỉ tại B khoảng thời gian là t, tính toán tương tự ta được t =

−5
(h) vô
16

lý.
17


Vậy gió thổi từ A đến B, người đi từ B nghỉ tại A thời gian 12,5 phút.
Bài 2: Một người đến bến xe buýt chậm 20 phút sau khi xe buýt đã rời bến A,
người đó bèn đi taxi đuổi theo để kịp lên xe buýt ở bến B kế tiếp. Taxi đuổi kịp xe
buýt khi nó đã đi được 2/3 quãng đường từ A đến B. Hỏi người này phải đợi xe buýt ở
bến B bao lâu ? Coi chuyển động của các xe là chuyển động đều.
Giải:
C

A

B

-Gọi C là điểm taxi đuổi kịp xe buýt và t là thời gian taxi đi đoạn AC.
-Khi taxi chạy thì xe buýt đã chạy được 20 phút.
2

3

1
3

-Theo đầu bài ta có: AC = AB; CB = AB ⇒ AC = 2CB
- Thời gian xe buýt đi đoạn AC là: t + 20 (phút);
- Thời gian mỗi xe đi tỷ lệ thuận với quãng đường đi của chúng, nên thời gian
đoạn CB là:

taxi đi

t
(phút).
2

t + 20 t
= + 10 (phút)
2
2
t
 t
Vậy thời gian người đó phải đợi xe buýt ở bến B là:  + 10 − = 10 phút)
2
 2

-Thời gian xe buýt đi đoạn CB là:

Bài 3: Lúc 6h30ph, ba bạn An, Bình, Chiến cùng xuất phát đi thăm bạn Dũng ở
xã bên cạnh, cách đó 6km. Vì chỉ có 1 chiếc xe đạp nên họ vạch ra kế hoạch đi để cả 3

cùng đến nơi một lúc là: Bình trở An còn Chiến đi bộ, đi được một đoạn thích hợp An
xuống xe đi bộ còn Bình quay lại đón Chiến, nhưng dọc đường quay lại xe bị hỏng
phải dừng lại sửa do đó Bình và Chiến đến nhà Dũng trễ sau An 5 phút. Biết vận tốc đi
bộ của các bạn là v1= 4km/h, vận tốc đạp xe là v2 = 12km/h. Bỏ qua thời gian quay đầu
và lên xuống xe.
1. An đến nhà Dũng lúc mấy giờ?
2. Tính thời gian sửa xe.
Giải:
1. Thời điểm An đến nhà Dũng là đúng như dự định, gọi vị trí xuất phát là A, vị trí
đích là B, vị trí An xuống xe để đi bộ là N và vị trí Bình gặp Chiến (trường hợp xe
không hỏng) là N hình vẽ.

Gọi t1 là tổng thời gian đi bộ của An, t2 là tổng thời gian An ngồi xe,
Ta có: v1.t1 + v2.t2 = SAB
(1)
Tổng quãng đường xe đạp phải đi là: SAB + 2.SNM
Ta có: v2(t1 + t2) = SAB + 2.SNM
(2)
Ta đi xác định SNM như sau: Thời gian Bình quay lại gặp Chiến kể từ lúc xuất phát là:
t=

v −v  S
2S AN
v .2 S
2.v .S
⇒ S AM = 1 AN ⇒ S NM = S AN − S AM = S AN − 1 AN = S AN . 2 1  = AN
v1 + v 2
v1 + v 2
v1 + v 2
2

 v 2 + v1 
18


Thay vào (2) và rút gọn ta có: v 2(t1 + t2) = SAB + SAN; với SAN = SAB – v1.t1 thay vào ta
có hệ phương trình:
v .t + v 2 .t 2 = S AB
4.t + 12.t 2 = 6
4.t + 12.t 2 = 6
⇒ 1 1
⇒  1
⇒ 1
v1 .t1 + v 2 .t 2 = S AB + S AB − v1 .t1
12.t1 + 12.t 2 = 12 − 4.t1
16.t1 + 12.t 2 = 12

Giải hệ ta được t1 = 30 phút, t2 = 20 phút.
Vậy An đến nhà Dũng lúc 7h20phút.
2. Giả sử khoảng thời gian sửa xe là t3, trong thời gian sửa xe Chiến đi thêm được
quãng đường là: v1.t3 do đó tổng quãng đường xe đạp đi sẽ được giảm: 2.v1.t3
Và tổng thời gian xe đạp đi được giảm:

2.v1 .t 3
v2

Theo đầu bài bạn Bình và Chiến đến trễ 5 phút so với An ta có:
t3 −

2.4.t 3
2.v1 .t1

5
1
1
=
⇔ t3 −
=
⇒ t3 = h
v2
60
12
12
4

Vậy thời gian Bình sửa xe là 15 phút:
Bài 4. Thường ngày vào lúc 11h, khi Nam tan học và về nhà thì bố Nam cũng
đạp xe đón Nam về nhà cho nhanh kẻo nắng. Nếu bố Nam xuất phát đúng lúc Nam rời
trường về nhà thì hai bố con gặp nhau sau 30 phút ở một vị trí nhất định. Nhưng hôm
đó do có việc nên Nam rời trường về nhà muộn hơn thường ngày 15 phút, vì thế vị trí
Nam gặp bố cách vị trí thường ngày vẫn gặp 400m. Quãng đường từ nhà đến trường là
5km. Tìm vận tốc của 2 bố con Nam.
Giải:
Gọi vận tốc đi bộ của Nam là v1, vận tốc đạp xe của bố Nam là v2.
+ Khi 2 bố con cùng xuất phát ta có:

1
(v1 + v 2 ) = 5
2

⇒ v1 + v2 = 10

(1)

+ Giả sử sau t (h) tính từ lúc Nam rời trường về nhà thì 2 bố con Nam gặp nhau:
1
5 = ( v1 + v 2 ).t + .v 2 (2)
4

+ Vị trí Nam gặp bố thường ngày cách trường: S1 = v1.1/2
+ Vị trí Nam gặp bố hôm về trễ 15p:
S2 = v1.t

(3)
(4)

v2
Từ (1) và (2) ta có: t =
4 = 20 − v 2 = 20 − (10 − v1 ) = 1 + v1
v1 + v 2 4(v1 + v 2 )
40
4 40
1
Khoảng cách giữa 2 vị trí gặp nhau là: S1 – S2 = v1 . − v2 .t
2
2
1
1 v
⇔ 0,4 = v1 . − v1 ( + 1 ) ⇔ 0,4 = v1 − v1 − v1 ⇔ v12 – 10v1 +16 = 0 ⇒
2
4 40
2 4 40

5−

v1 = 2, v1= 8 (loại giá trị 8 vì nếu vậy thì vận tốc đạp xe của bố Nam chậm hơn, không
phù hợp đầu bài là đi đón Nam để về sớm.)
Bài 5. Trên quãng đường AB có hai xe chuyển động. Xe 1 đi từ A đến B nửa
quãng đường đầu chuyển động đều với vận tốc v 1, nửa quãng đường sau chuyển động
đều với vận tốc v2 . Xe 2 chuyển động từ B tới A nửa thời gian đầu chuyển động đều
với vận tốc v1, nửa thời gian sau chuyển động đều với vận tốc v 2. Biết v1 = 20 km/h; v2
= 30 km/h. Hai xe đến đích cùng lúc, xe 1 xuất phát sớm hơn xe 2 một khoảng thời
gian 6 phút.
19


a. Tính quãng đường AB.
b. Nếu hai xe xuất phát cùng lúc thì hai xe gặp nhau ở vị trí cách B bao xa?
Giải:

a. Gọi chiều dài quãng đường từ A đến B là S
Thời gian đi từ A đến B của xe A là t1
t1 =

S (v1 + v 2 )
S
S
+
=
2v1 2v 2
2v1v 2

Vận tốc trung bình của xe A trên quãng đường AB sẽ là:

vA =

2v1v 2
S
2.20.30
=
=
= 24(km / h)
t1 v1 + v 2 20 + 30

Gọi thời gian đi từ B đến A của xe B là t2. Ta có:
S=

t2
t
v + v2
v1 + 2 v 2 = t 2 ( 1
)
2
2
2

Vận tốc trung bình của xe B đi trên quãng đường BA là:
S v1 + v 2 20 + 30
=
=
= 25(km / h)
t2
2
2

Theo bài ra ta có : t1 − t 2 = 0,1(h)
S
S
−
= 0,1(h)
hay
v A vB
vB =

Thay giá trị của vA ; vB vào ta có: S = 60 km.
b. Gọi C là quãng đường xe 2 đi trong nửa thời gian đầu. D là vị trí xe 1 khi xe 2 đi hết
nửa thời gian đầu, E là điểm hai xe gặp nhau, I là điểm chính giữa quãng đường AB
B

I

A
D

E

C

Thời gian xe 2 đi hết quãng đường AB : t 2 =
Ta có BC = v1

S
60 12
=
= h

v B 25 10

6
t2
= 20. = 24 km
5
2

Thời gian xe 1 đi hết nửa quãng đường đầu là t 3 =
Có

AI 30
=
= 1,5h
v1
20

t2
t
6
< t 3 vậy D thuộc AI ⇒ AD = v1 2 = 20. = 24 km
2
2
5

Khoảng cách hai xe lúc này: DC = AB -AD - BC = 60 - 24 - 24 = 12 km.
Lúc này xe 1 chuyển động với vận tốc v1 , xe 2 chuyển động với vận tốc v 2 mà v2 > v1
nên E thuộc DI.
Thời gian hai xe đi từ C,D đến khi gặp nhau :
t4 =

CD
12
=
= 0,24h
v1 + v 2 50

Vậy CE = t4 v2 = 0,24.30 = 7,2 km
BE = BC + CE = 24 + 7,2 = 31,2 km
20


Bài 6. Ba người đi xe đạp xuất phát từ A đi về B. Người thứ nhất đi với vận tốc
v1 = 8km / h . Sau đó 15 phút người thứ hai xuất phát với vận tốc v2 = 12km / h . Người
thứ ba đi sau người thứ hai 30 phút. Sau khi gặp người thứ nhất, người thứ ba đi thêm
30 phút nữa thì sẽ ở cách đều người thứ nhất và người thứ hai. Tính vận tốc người thứ
ba.
Giải:
- Khi người thứ ba xuất phát thì:
3
+ Người thứ nhất đã đi được: l1 = v1t 01 = 8 = 6km
4
+ Người thứ hai đã đi được: l2 = v2t 02 = 12.0,5 = 6km
- Gọi t1 là thời gian người thứ ba đi đến gặp người thứ nhất:

v3t1 = l1 + v1t1 ⇒ t1 =
-Sau t 2 = t1 + 0,5( h ) thì:

l1
6

=
(1)
v3 − v1 v3 − 8

+ Quãng đường người thứ nhất đi được: S1 = l1 + v1t 2 = 6 + 8( t1 + 0,5)

+ Quãng đường người thứ hai đi được: S 2 = l2 + v2t 2 = 6 + 12( t1 + 0,5)
+ Quãng đường người thứ ba đi được: S3 = v3t 2 = v3 ( t1 + 0,5)
-Theo đề: S 3 − S1 = S 2 − S 3 ⇔ S1 + S 2 = 2S 3
⇔ 6 + 8( t1 + 0,5) + 6 + 12( t1 + 0,5) = 2[ v3 ( t1 + 0,5) ]

⇔ 12 = ( t1 + 0,5)( 2v3 − 20 )( 2 )

-Thay (1) vào (2) ta được: v3 − 18v3 + 56 = 0
-Giải ra:
+ v3=4 km/h (loại vì v3 < v1, v2)
+ v3=14 km/h (nhận)
2

Bài 7: Trên một đường đua thẳng, hai bên lề đường có hai hàng dọc các vận động
viên chuyển động theo cùng một hướng: một hàng là các vận động viên chạy việt dã
và hàng kia là các vận động viên đua xe đạp. Biết rằng các vận động viên việt dã chạy
đều với vận tốc 20km/h và khoảng cách đều giữa hai người liền kề nhau trong hàng là
20m; những con số tương ứng đối với hàng các vận động viên đua xe đạp là 40km/h
và 30m. Hỏi một người quan sát cần phải chuyển động trên đường với vận tốc bằng
bao nhiêu để mỗi lần khi một vận động viên đua xe đạp đuổi kịp anh ta thì chính lúc
đó anh ta lại đuổi kịp một vận động viên chạy việt dã tiếp theo?
Giải:
- Ký hiệu vận tốc của VĐV chạy, người quan sát và VĐV đua xe đạp lần lượt là v 1, v2
và v3; khoảng cách giữa hai VĐV chạy liền kề là l 1 và giữa hai VĐV đua xe đạp liền

kề là l2.
- Tại một thời điểm nào đó ba người ở vị trí ngang nhau thì sau thời gian t người
quan sát đuổi kịp VĐV chạy và VĐV đua xe đạp phía sau đuổi kịp người quan sát. Ta
có các phương trình:
v2t − v1t = l1 (1)
v3t − v2t = l2 (2)
- Cộng hai vế các phương trình trên rồi tìm t, ta được:
21


t=

l1 + l2
v3 − v1

(3)

- Thay (3) vào (1) ta được: v2 = v1 +

l1 (v3 − v1 )
l1 + l2

(4)

- Thay số vào (4) ta có: v2 = 28 (km/h)
CHƯƠNG V.
MỘT SỐ BÀI TẬP MỞ RỘNG CỦA BÀI TOÁN GẶP NHAU.
Dạng toán mở rộng của bài toán gặp nhau, thường rơi vào những bài toán chuyển động
mà sự gặp nhau xảy ra nhiều lần trong quá trình chuyển động. Sau đây là một vài bài
tập ví dụ cho dạng toán này.

Để giải được dạng bài tập này, cần phân tích, yêu cầu HS đọc kỹ đề bài để nắm rõ
được các quá trình chuyển động, rút ra được quy luật và cách giải nhanh gọn.
Bài 1. Khoảng cách từ nhà đến trường là 12km. Tan trường bố đi đón con, cùng
với một con chó. Vận tốc của con là v 1 = 2km/h, vận tốc của bố là v 2 = 4km/h. Vận tốc
của con chó thay đổi như sau:
Lúc chạy lại gặp con với vận tốc v 3 = 8km/h, sau khi gặp đứa con thì quay lại
chạy gặp bố với vận tốc v4 = 12km/h, rồi lại tiềp tục quá trình trên cho đến khi hai bó
con gặp nhau.
Hỏi khi hai bố con gặp nhau thì con chó đã chạy được quãng đường là bao nhiêu?
Giải:
Thời gian hai bố con gặp nhau là: t =

S
12
=
= 2(h).
v1 + v2
2+4

+ Tính vận tốc trung bình của con chó:
- Thời gian con chó chạy lại gặp người con lần thứ nhất là:
t1 =

S
12
=
= 1,2 (h).
v1 + v3
2+8

- Quãng đường con chó đã chạy được là:
S1 = t1.v3 = 1,2.8 = 9,6 (km).
- Thời gian con chó chạy lại gặp bố lần thứ nhất là:
t2 =

S1
9,6 − 1,2.4
=
= 0,3 (h).
v2 + v4
4 + 12

- Quãng đường con chó đã chạy được là:
S2 = t2.v4 = 0,3.12 = 3,6 (km).
⇒ Vận tốc trung bình của con chó là:
vtb =

S1 + S 2 9,6 + 3,6
=
= 8,8(km).
t1 + t 2
1,2 + 0,3

Vận tốc trung bình của con chó không thay đổi trong suốt quá trình chạy do đó:
Quãng đường con chó chạy được cho đến khi hai bố con gặp nhau là:
Schó = vtb.t = 8,8.2= 17,6(km).
Vậy đến khi hai bố con gặp nhau thì con chó đã chạy được quãng đường là:
S = 17,6 km.
Bài 2: Hai vật chuyển động cùng chiều trên hai đường thẳng đồng tâm, có chu
vi lần lượt là : C1 = 50m và C 2 = 80m. Chúng chuyển động với các vận tốc lần lượt là:

22


v1 = 4m/s và v2 = 8m/s. Giả sử tại một thời điểm cả hai vật cùng nằm trên cùng một bán

kính của vòng tròn lớn, thì sau bao lâu chúng lại nằm trên cùng một bán kính của vòng
tròn lớn?
Giải:
Bài này có nhiều cách giải, sau đây là hai cách giải của tôi.
Cách giải 1:
Thời gian vật 1 đi hết 1 vòng tròn nhỏ là: t1 =

C1 50
=
= 12,5 (s).
v1
4

Thời gian vật thứ hai đi hết một vòng tròn lớn là:
t2 =

C 2 80
=
= 10 (s).
v2
8

Giả sử sau khi vật thứ nhất đi được x vòng và vật thứ hai đi được y vòng thì hai vật
lại cùng nằm trên một bán kính của vòng tròn lớn.
Ta có: T là thời gian chuyển động của hai vật.

T = t1 x = t 2 y ⇒

x t2
10
4
= =
= .
y t1 12,5 5

Mà x, y phải nguyên dương và nhỏ nhất do đó ta chọn x = 4 và y = 5.
Nên thời gian chuyển động của hai vật là: T = t1 x = 12,5.4= 50 (s).
Cách giải 2:
Ta lấy vật thứ 3 trên đường tròn lớn sao cho bất kì lúc nào thì vật thứ 3 và vật thứ
nhất luôn luôn nằm trên cùng một bán kính của đường tròn lớn.
Do vậy thời gian vật thứ 3 chuyển động hết đường tròn lớn đúng bằng thời gian vật
thứ nhất chuyển động hết đường tròn nhỏ. Cho nên vận tốc của vật thứ 3 là :
v3 =

C2
80
=
= 6,4 m/s.
t1
12,5

Bây giờ bài toán trở thành bài toán vật thứ hai đuổi vật thứ 3 trên đường tròn lớn.
Đến lúc vật thứ hai đuổi được vật thứ 3 thì vật thứ hai đã chuyển động hơn vật thứ
nhất quãng đường đúng bằng chu vi vòng tròn lớn.
Ta có:

C 2 = T( v2 − v3 ) ⇒ T =

C2
80
=
= 50 (s).
v2 − v3 8 − 6,4

Bài 3: Một người ra đi vào buổi sáng, khi kim giờ và kim phút chồng lên nhau và
ở trong khoảng giữa số 7 và 8. khi người ấy quay về nhà thì trời đã ngã về chiều và
nhìn thấy kim giờ, kim phút ngược chiều nhau. Nhìn kĩ hơn người đó thấy kim giờ
nằm giữa số 1 và 2. Tính xem người ấy đã vắng mặt mấy giờ.
Giải:
Vận tốc của kim phút là 1 vòng /giờ. Vận tốc của kim giờ là 1 vòng/ 12 giờ.
Coi kim giờ là đứng yên so với kim phút.
Vận tốc của kim phút so với kim giờ là: (1 – ) = vòng/giờ.
Thời gian để kim giờ và kim phút gặp nhau giữa hai lần liên tiếp là: = (giờ)
Khi đó kim giờ đi được 1 đoạn so với vị trí gặp trước là: . = vòng.
Khi đó kim phút đã đi được 1 vòng tính từ số 12. nên thời gian tương ứng là (1 + )
giờ.
23


Khi gặp nhau ở giữa số 7 và số 8 thì kim phút đã đi được 7 vòng, nên thời điểm đó là:
7 + giờ.
Tương tự. giữa 2 lần hai kim đối nhau liên tiếp cũng có thời gian là giờ.
Chọn tại thời điểm 6h. kim phút và kim giờ đối nhau. Thì khi tới vị trí kim giờ nằm
giữa số 1 và
số 2. thì thời gian là: 7 + giờ.
Chọn mốc thời gian là 12h. thì khi hai kim đối nhau mà kim giờ nằm giữa số 1 và số 2

thì thời điểm đó là (6 + 7 + ) giờ.
Vậy thời gian người đó vắng nhà là (13 + ) – (7+ ) = 6 giờ.
Bài 4: Chiều dài của một đường đua hình tròn là 300m. Hai xe đạp chạy trên
đường này hướng tới gặp nhau với vận tốc V 1 = 9m/s và V2 = 15m/s. Hãy xác định
khoảng thời gian nhỏ nhất tính từ thời điểm họ gặp nhau tại một nơi nào đó trên đường
đua đến thời điểm họ lại gặp nhau tại chính nơi đó
Giải:
Thời gian để mỗi xe chạy được 1 vòng là: t1= = (s) , t2 = = 20(s)
Giả sử điểm gặp nhau là M. Để gặp tại M lần tiếp theo thì xe 1 đã chạy được x
vòng và xe 2 chạy được y vòng. Vì chúng gặp nhau tại M nên: xt1 = yt2 nên: =
X, y nguyên dương. Nên ta chọn x, y nhỏ nhất là x = 3, y = 5
Khoảng thời gian nhỏ nhất kể từ lúc hai xe gặp nhau tại một điểm đến thời điểm gặp
nhau cũng tại điểm đó là t = xt1 = 3. =100 (s)

CHƯƠNG VI.
KẾT QUẢ THỰC HIỆN.
- Việc ứng dụng SKKN tại trường THCS Lũng Hòa đã để lại kết quả khả quan. Đa
số học sinh sau khi được học tập đã hiểu và hứng thú với môn học, đặc biệt các em
không còn lo sợ khi gặp dạng bài tập chuyển động cơ học gặp nhau nữa. Học sinh đã
biết tự mình vẽ sơ đồ chuyển động, qua đó phân tích được đề bài, tìm hướng giải quyết
của bài toán và không còn gặp khó khăn như trước.
- Sau khi ứng dụng SKKN trong giảng dạy, tiến hành khảo sát chuyên đề môn vật
lý ở lớp 8A – Trường THCS Lũng Hòa năm học 2015 – 2016, và ở lớp 8B năm học
2015-2016, thu được kết quả như sau:
Bảng 2: Kết quả khảo sát chất lượng học sinh
sau khi áp dụng SKKN trong giảng dạy.
( Lớp 8A năm học 2015- 2016)
24

Tổng
số

35 hs

Lần
khảo
sát

Kết quả khảo sát chất lượng
Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu – Kém

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

1

4

11,4

10

28,6

15

42,9

6

17,1

2

5

14,3

10

28,6

16

45,7

4

11,4

3

5

14,3

11

31,4

14

40

5

14,4

Bảng 3: Kết quả khảo sát chất lượng học sinh
sau khi áp dụng SKKN trong giảng dạy.

( Lớp 8B năm học 2015- 2016)

Tổng
số

32 hs

Lần
khảo
sát

Kết quả khảo sát chất lượng
Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu – Kém

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

1

2

6,25

15

46,88

8

25

7

21,84

2

3

12

11

6

3

3

12

12

5

- Qua thực tế dạy học và căn cứ vào kết quả khảo sát tôi thấy rằng, sau khi áp
dụng SKKN học sinh đã có sự thay đổi lớn về thái độ nhận thức cũng như thành tích
học tập.
- Việc ứng dụng SKKN đem lại hiệu quả thiết thực và tiết kiệm được nhiều thời
gian, công sức trong việc bồi dưỡng học sinh.
PHẦN III: KẾT LUẬN
1. Kết luận.
Việc bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhiệm vụ quan trọng đối với mỗi nhà trường
và mỗi giáo viên. Nhằm phát hiện nuôi dưỡng tài năng cho đất nước. Đẩy mạnh sự
nghiệp giáo dục. Đáp ứng mục tiêu: Năng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng
nhân tài phục vụ cho sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước trong thời kỳ
mới.
Áp dụng SKKN này vào giảng dạy phần chuyển động cơ học tôi thấy học sinh hiểu
và không thấy lo sợ dạng toán này nữa. Vật lý là môn khoa học tự nhiên hay và khó,
đặc biệt là các bài tập về chuyển động cơ học. Chúng thường yêu cầu người học phải
biết tư duy linh hoạt, kiến thức sâu rộng, vận dụng tốt các kiến thức, kỹ năng. Việc

tiếp cận các dạng bài tập này của học sinh rất ít do không có nhiều thời lượng trong
chương trình. Đa số học sinh nếu ham muốn tìm hiểu thường tự mày mò, nghiên cứu ở
nhà thiếu sự hướng dẫn một cách hệ thống của giáo viên, đồng thời kỹ năng trình bày
cũng gặp nhiều khó khăn.
25