Mối liên hệ giữa môđun liên tục của hệ số và tính tựa giải tích của nghiệm trong bài toán cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh

LỜI CẢM ƠN
Khóa luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Phạm Triều
Dương. Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS. Phạm Triều Dương, người
đã gợi ý đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của
tác giả. Đồng thời, tôi chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Tin
trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện cho tôi về tài liệu và thủ
tục để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến
gia đình, bạn bè, các anh chị em trong khóa Cao học Toán K24 (2014-2016)
đã quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình làm luận văn.
Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản khóa luận không
thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo
tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp!
Hà Nội, tháng 08 năm 2016
Học viên

Lê Đức Tâm

i


MỤC LỤC
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Cơ sở giải tích Fourier cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Đại cương về phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Định lí Kovalevskaya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Chương 2. Bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh hệ
số phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
2.2. Không gian siêu khả vi với trọng số theo Beurling-Roumieu . . . . . . . . 12
2.3. Phép hiệu chỉnh chính quy hóa hệ số và thiết lập các đánh giá trung

gian. Chứng minh các kết quả của tính đặt đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4. Xâu dựng phản ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Chương 3. Bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh hệ
số phụ thuộc cả không gian và thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1. Các kết quả của tích phân dao động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2. Ứng dụng của lý thuyết giả vi phân trong nghiên cứu tính đặt đúng . .
31
Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

ii


MỞ ĐẦU
Mục đích nghiên cứu Trong đề tài này chúng tôi nghiên cứu sự tương
quan giữa môđun liên tục theo thời gian của hệ số và tính đặt đúng trong
lớp hàm Beurling - Roumieu bao gồm các hàm và phiếm hàm siêu khả vi
(ultradifferentiable). Ta sẽ thiết lập tính đặt đúng của bài toán khi điều kiện
khả tích thích hợp của các môđun liên tục này được thỏa mãn.
Mô hình của chúng tôi là bài toán Cauchy trong [0, T ] × Rn sau đây

utt − a(t, x)uxx = 0, (t, x) ∈ (0, T ) × Rn ,
u(0) = u0 (x); u (0) = u1 (x),

(1)

với hệ số a(t, x) chỉ liên tục theo thời gian và thỏa mãn điều kiện hyperbolic
ngặt:

a(t, x) ≥ γ > 0

(2)

Như ta đã biết định lí Kovalevskaya cổ điển được phát biểu với điều kiện
các dữ kiện và hệ số trong phương trình hyperbolic là các hàm giải tích thực.
Khi đó bài toán Cauchy tương ứng sẽ có nghiệm trong lân cận của t = 0 và
cũng là hàm giải tích thực.
Ta nhắc lại một khái niệm quen thuộc: với a(t, x) ∈ C([0, T ], X) cho trước
bài toán (1) gọi là đặt đúng trong không gian X nếu và chỉ nếu với mọi dữ
kiện u0 , u1 ∈ X tồn tại duy nhất nghiệm u ∈ C 1 ([0, T ], X).
Trong trường hợp a chỉ phụ thuộc vào t, một kết quả quan trọng của
Colombini, De Giorgi và Spagnolo [3] tìm ra rằng với mọi hàm a(t) liên tục
cho trước luôn tồn tại một mở rộng X của lớp các hàm giải tích thực A thông
thường (X chứa thực sự A) sao cho bài toán (1) là đặt đúng trong X .
Tuy nhiên, trong lớp C ∞ ta đều biết các phản ví dụ cho thấy (1) không
còn đặt đúng nữa. Hơn thế, cũng theo kết qủa của Colombini, De Giorgi và
Spagnolo [3], lớp liên tục Log-Lipschitz (với môđun liên tục t log t) là ngưỡng
tự nhiên để có được tính đặt đúng trong C ∞ . Bên cạnh đó, theo tác giả
Nishitani [6], lớp H¨older tương ứng với môđun tα sẽ cho chính xác tính đặt
đúng theo Gevrey - Beurling dạng Γ1/(1−α)
Trong đề tài này, mục đích chính của ta là tìm ra đặc trưng của môđun
liên tục đảm bảo cho tính đặt đúng trong các không gian tựa giải tích. Đồng
thời ta phải chỉ ra cụ thể các lớp liên tục tối thiểu của hệ số cho phép tính
đặt đúng của bài toán Cauchy trong các lớp hàm nêu trên.
1


Phương pháp nghiên cứu

Các kết quả chính trong luận văn được nghiên cứu dựa trên các phương
pháp sau đây:

• Áp dụng phương pháp đánh giá năng lượng cùng với công cụ của giải
tích Fourier để kiểm soát độ tăng của năng lượng đối với hàm nghiệm.

• Sử dụng các kỹ thuật của lý thuyết toán tử giả vi phân để kiểm soát
phần dư trong trường hợp hệ số biến thiên theo không gian.

• Tìm hiểu các tính chất của các tích phân dạng dao động phụ thuộc vào
môđun liên tục của hệ số a(x, t). .
Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm các
mục chính sau:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này, chúng tôi nhắc lại một số
kiến thức về cơ sở giải tích Fourier cổ điển, đại cương về phương trình truyền
sóng và Định lí Kovalevskaya trong một số trường hợp mở rộng, toán tử giả
vi phân.
Chương 2: Bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh hệ số
phụ thuộc thời gian. Mục này chúng tôi trình bày về các định nghĩa tương
đương về lớp các siêu khả vi vơi trọng số theo Beurling và Ruomieu, đặc số
các dạng dao động quan trọng của hệ số, kết quả về tính đặt đúng, tính tối
ưu của các điều kiện thông qua phản ví dụ.
Chương 3: Bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh hệ số
phụ thuộc vào cả không gian và thời gian . Phần này, chúng tôi đưa ra các
kết quả của tính phân dao động, ứng dụng của lý thuyết giả vi phân trong
nghiên cứu tính đặt đúng.

2

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày những kiến thức về cơ sở giải
tích Fourier cổ điển, đại cương về phương trình truyền sóng và Định lí Kovalevskaya.

1.1

Cơ sở giải tích Fourier cổ điển

1.1.1. Phép biến đổi Fourier trong không gian Schwartz
Định nghĩa 1.1.1. Kí hiệu S là tập hợp tất cả các hàm f (x) ∈ C ∞ (Rn )
sao cho
k

2

1 + |x|

|Dα f (x)| ≤ Ck,α ∀k, α,

ở đó Ck,α chỉ phụ thuộc vào k, α. Sự hội tụ trong S được xác định như
∞
sau: một dãy {fm (x)}m=1 ⊂ S được gọi là hội tụ tới hàm f (x) nếu dãy
2

1 + |x|

k

∞

2

α

k

hội tụ đều tới 1 + |x|

D fm (x)

Dα f (x) khi m → ∞.

m=1

Khi đó S được gọi là không gian Schwartz.
o

Từ định nghĩa không gian Schwartz suy ra C ∞ (Rn ) ⊂ S . Nếu f (x) ∈ S ,
thì
n

1
fˆ (ξ) = √ n
( 2π)

e−ixξ f (x) dx,

xξ =

xj ξj ,

(1.1)

j=1

Rn

được gọi là phép biến đổi Fourier của hàm f (x). Kí hiệu là fˆ (ξ) hoặc
F (f ) (ξ). Người ta còn dùng kí hiệu Fx→ξ f để chỉ rõ phép biến đổi Fourier
chuyển biến x thành biến ξ .
Nhờ phép biến đổi Fourier ta có thể định nghĩa không gian Sobolev theo
một cách khác. Cụ thể, với s là một số thực bất kì thì



1/2




s
2
2
s
n
s
n

ˆ
H (R ) := f ∈ H (R ) : f H s (Rn ) = 
1 + |ξ|
f (ξ) dξ  < ∞ .




n
R

Bổ đề 1.1.2. Nếu f (x) ∈ S thì fˆ (ξ) ∈ S .
3


Định lí 1.1.3 (Phép biến đổi Fourier ngược). Đối với mỗi hàm f (x) ∈ S ,
thì
1
f (x) = √ n eixξ fˆ (ξ) dξ
(1.2)

( 2π)

Rn

được gọi là phép biến đổi Fourier ngược của hàm f (x). Kí hiệu là F −1 (f ) (x)
hoặc F −1 (f ).
Định lí 1.1.4. Đối với mỗi f, g ∈ S , thì

fˆ (ξ) gˆ (ξ) dξ.

f (x) g (x) dx =
Rn

Rn

Nhận xét 1.1.5. Từ Định lí 1.1.4, chọn f = g ta nhận được được: với mọi
f ∈ S , thì
2

2

fˆ (ξ) dξ.

|f (x)| dx =
Rn

Rn

Đẳng thức này có tên là đẳng thức Parseval.

1.1.2. Phép biến đổi Fourier trong không gian L2 (Rn )
Từ đẳng thức Parseval, một cách tự nhiên, có thể mở rộng phép biến đổi
Fourier từ không gian Schwartz S (Rn ) đến một không gian rộng hơn L2 (Rn ).
Giả sử f (x) ∈ L2 (Rn ). Do S (Rn ) trù mật trong L2 (Rn ), nên tồn tại
∞
một dãy {fj (x)}j=1 ⊂ S (Rn ) sao cho

fj (x) − f (x)

L2 (Rn )

→ 0 khi j → ∞.

∞

Từ đó dãy {fj (x)}j=1 là dãy Cauchy trong L2 (Rn ).
Nếu f ∈ S (Rn ) thì phép biến đổi Fourier F (f ) của nó có dạng (1.1).
Tuy nhiên, F (f ) không thể biểu diễn dưới dạng tích phân như ở (1.1) với
một hàm bất kì f ∈ L2 (Rn ), vì khi đó tích phân ở vế phải của (1.1) không
hội tụ. Hơn nữa, cho dù fj (x) → f (x) trong L2 (Rn ) thì chưa chắc đã tồn
tại lim F (fj (x)).
j→∞

Để định nghĩa phép biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược trong không
gian L2 (Rn ) ta xét mệnh đề sau đây:
Mệnh đề 1.1.6. Đối với mỗi f, g ∈ S (Rn ), thì

f (ξ) F −1 (g) (ξ) dξ ;

F (f ) (x) g (x) dx =

(i)
Rn

Rn

4

F −1 (f ) (x) g (x) dx =

(ii)
Rn

f (ξ) F (g) (ξ) dξ .
Rn

Ta có thể viết lại (i) dưới dạng (F (f ) , g) = (f, F −1 (g)) với mọi f, g ∈
S (Rn ). Cố định f ∈ L2 (Rn ). Khi đó tích vô hướng (F (f ) , g) xác định với
o

mọi g ∈ S (Rn ). Do tính trù mật của C ∞ (Rn ) ⊂ S (Rn ) trong L2 (Rn ) nên
với mọi f ∈ L2 (Rn ) và g ∈ S (Rn ), tồn tại duy nhất hàm u ∈ L2 (Rn ) sao
cho (u, g) = (f, F −1 (g)) = T (g) xác định một phiếm hàm tuyến tính liên
tục trên S ⊂ L2 (Rn ). Theo Định lí biểu diễn Riezs, mọi phiếm hàm tuyến
tính liên tục trên không gian Hilbert có biểu diễn duy nhất T (g) = (u, g).
Khi đó hàm u được gọi là biến đổi Fourier của f ∈ L2 (Rn ). Ta kí hiệu
u = F (f ).
Tương tự, (ii) có thể được viết lại là (F −1 (f ) , g) = (f, F (g)) với mọi
f, g ∈ S (Rn ). Ta vẫn cố định f ∈ L2 (Rn ) và với mọi g ∈ S (Rn ), tồn tại
duy nhất hàm v ∈ L2 (Rn ) sao cho (v, g) = (f, F (g)) = G (g) xác định một
phiếm hàm liên tục trên S. Theo Định lí biểu diễn Riezs, với mọi hàm G(g),
tồn tại duy nhất biểu diễn G (g) = (v, g). Khi đó hàm v được gọi là biến
đổi Fourier ngược của f ∈ L2 (Rn ). Kí hiệu v = F −1 (f ). Vì vậy với hàm
f ∈ L2 (Rn ) và g ∈ S (Rn ) ta có

(F (f ) , g)L2 = f, F −1 (g)
F −1 (f ) , g

L2

L2

,

= (f, F (g))L2 .

Định lí 1.1.7 (Đẳng thức Parseval trong L2 (Rn )). Giả thiết f, g ∈ L2 (Rn ).
Khi đó

(F (f ) , F (g))L2 = (f, g)L2 .
Chúng ta thu được F (f )

2
L2

2
L2

= f

trong trường hợp đặc biệt f = g .

Định lí 1.1.8. Giả sử f, g ∈ L2 (Rn ). Khi đó
α

(i) F (Dα f ) = (iξ) F (f ) ;
(ii) F (f ∗ g) =

√

n

2π

F (f ) F (g),

ở đây

f ∗ g (x) =

f (x − y) g (y) dy
Rn

là tích chập của các hàm f và g.
Sau đây ta trình bày về Toán tử giả vi phân, biểu trưng của toán tử để
vận dụng chứng minh tính đặt đúng trong trường hợp tổng quát (1).
5


1.1.3. Toán tử giả vi phân
Ta sẽ đưa vào khái niệm về toán tử giả vi phân p(x, Dx ), Dx = −i∂x , với
biểu trưng trong lớp
m

m
Sσ,δ
:= p(x, ξ) : |p|l < +∞ với mọi l ∈ Z+ , 0 ≤ δ ≤ σ ≤ 1, δ < 1,

với
m
|p|l

= sup sup
|α|+|β|≤l x,ξ

∂ξα ∂xβ p(x, ξ)

ξ

−m+σ|α|−δ|β|

2

ξ = 1 + |ξ|

,

1
2

.

0
Định nghĩa 1.1.9. Lớp biểu trưng S0,0
là không gian các hàm trơn b trên
d
d
R × R sao cho

∂xα ∂ξβ b(x, ξ) ≤ Cα,β ,

x, ξ ∈ Rd ,

với mọi α, β ∈ Nd .
0
Định nghĩa 1.1.10 (Toán tử giả vi phân). Cho b ∈ S0,0
, toán tử giả vi phân
của biểu trưng b, Op(b), là toán tử được định nghĩa bởi

Op(b)ϕ(x) = (2π)−d

eix.ξ b(x, ξ)ϕ(ξ)dξ.

với mọi hàm ϕ trong không gian Schwartz S(Rd ).
Định lí 1.1.11 (Định lí Calderon-Vaillancourt). Tồn tại C, NCV > 0 sao
0
và mọi hàm ϕ ∈ S(Rd )
cho với mọi b ∈ S0,0

Op(b)ϕ
1.2

L2 (Rd )

≤C

max

|α+β|≤NCN

∂xα ∂ξβ b

L∞

ϕ

L2 (Rd ) .

Đại cương về phương trình truyền sóng

1.2.1. Bài toán
Ta xét bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng

utt − a2 ∆u = 0
u (0, x) = ϕ (x) , ut (0, x) = ψ (x) ,

(1.3)

ở đó a là hằng số, x ∈ Rn , n 1, t > 0, ϕ và ψ là các hàm đã cho.
Khi đó tồn tại u(t, x) là nghiệm của bài toán (1.3) và được biểu diễn bằng
6


công thức D’Alambert khi n = 1

1
1
u (t, x) = [ϕ (x − at) + ϕ (x + at)] +

2
2a

x+at

ψ (ξ) dξ,
x−at

bằng công thức Poisson khi n = 2

u (t, x) =

1
2πa

ψ (ξ)
a2 t2

|ξ−x|
2

dξ+

− |ξ − x|

1 ∂
2πa ∂t

ϕ (ξ)

a2 t2

|ξ−x|
2

dξ,

− |ξ − x|

bằng công thức Kirchhoff khi n = 3

u (t, x) =

1
4πa2

1 ∂
ψ (ξ)
dS+
t
4πa2 ∂t
|ξ−x|=at

ϕ (ξ)
dS.
t
|ξ−x|=at

Tuy nhiên nghiệm u(t, x) là chưa duy nhất trong trường hợp số chiều tùy

ý theo các công thức Poisson và Kirchhoff. Để nghiên cứu tính giải được của
bài toán ta đưa vào phương pháp năng lượng.

1.2.2. Phương pháp năng lượng
Giả sử u ∈ C([0, T ], H 1 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ], L2 (Rn )). Ta kí hiệu

E(u)(t) : =

1
2

2

2

|ut (t, x)| + a2 |∇x u (t, x)|

dx

Rn

=

1
ut (t, .)
2

2
L2

+

1 2
a ||∇x u (t, .) ||2L2
2

là năng lượng chỉ phụ thuộc vào biến thời gian t. Ở đây 21 ut (t, .)
động năng và 21 a2 ||∇x u (t, .) ||2L2 kí hiệu năng lượng đàn hồi.

2
L2

kí hiệu

Định lí 1.2.1 (Bảo toàn năng lượng). Giả sử u ∈ C([0, T ], H 1 (Rn )) ∩
C 1 ([0, T ], L2 (Rn )) là một nghiệm Sobolev của bài toán (1.3) với ϕ ∈ H 1 (Rn )
và ψ ∈ L2 (Rn ). Khi đó ta có

1
E(u)(t) = E(u)(0) = (||ψ||2L2 + a2 ||∇ϕ||2L2 ), t 0.
(1.4)
2
Phương pháp năng lượng chỉ ra rằng, với ϕ ∈ H 1 (Rn ) và ψ ∈ L2 (Rn ) thì
tồn tại duy nhất một nghiệm u ∈ C([0, T ], H 2 (Rn )) ∩ C 1 ([0, T ], L2 (Rn )).
Nhưng công thức năng lượng chỉ đòi hỏi u ∈ C([0, T ], H 1 (Rn )) ∩
C 1 ([0, T ], L2 (Rn )). Do đó ta không thể giải quyết được bài toán (1.3) bằng
phương pháp trên. Chính vì vậy phương pháp biến đổi Fourier ra đời.
7

1.2.3. Phương pháp biến đổi Fourier
Giả sử u(t, x) là nghiệm của bài toán (1.3) và v (t, ξ) = F (u (t, x)) là biến
đổi Fourier của hàm u(t, x). Ta có bài toán sau:
2

vtt + |ξ| a2 v = 0
v (0, ξ) = F (ϕ) (ξ) , vt (0, ξ) = F (ψ) (ξ) ,
2

với tham số ξ ∈ Rn . Phương trình vtt + |ξ| a2 v = 0 là phương trình vi phân
cấp hai, có phương trình đặc trưng
2

λ2 + |ξ| a2 = 0 ⇒ λ = ±i |ξ| |a| .
Khi đó nghiệm của phương trình có dạng

v (t, ξ) = c1 (ξ) e−i|ξ||a|t + c2 (ξ) ei|ξ||a|t .
Áp dụng điều kiện Cauchy ta có

c1 (ξ) + c2 (ξ) = F (ϕ) (ξ) ,

−i |ξ| |a| c1 (ξ) + i |ξ| |a| c2 (ξ) = F (ψ) (ξ) .

Suy ra

1
1
1
1
c1 (ξ) = F (ϕ) (ξ)−

F (ψ) (ξ) , c2 (ξ) = F (ϕ) (ξ)+
F (ψ) (ξ) .
2
2i |ξ| |a|
2
2i |ξ| |a|
Từ đó ta có

v (t, ξ) = cos (|ξ| |a| t) F (ϕ) (ξ) +

sin (|ξ| |a| t)
F (ψ) (ξ) .
|ξ| |a|

Theo công thức biến đổi Fourier ngược u (t, x) = F −1 (F (u (t, x))) ta có
công thức nghiệm của bài toán (1.3) là:

u (t, x) = F −1 (cos (|ξ| |a| t) F (ϕ) (ξ)) + F −1

sin (|ξ| |a| t)
F (ψ) (ξ) .
|ξ| |a|

Phương pháp Fourier chỉ ra tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
(1.3) trong trường hợp tổng quát dựa trên Định lí sau.
Định lí 1.2.2. Giả sử ϕ ∈ H s (Rn ) và ψ ∈ H s−1 (Rn ), s ≥ 1, n ≥ 1.
Khi đó bài toán (1.3) có duy nhất một nghiệm u ∈ C([0, T ], H s (Rn )) ∩
C 1 ([0, T ], H s−1 (Rn )).

8

1.3

Định lí Kovalevskaya

Xét trong Rn+1 phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai
n+1

∂ 2u
aij (x, t)
+
∂x
∂x
i
j
i,j=1

n+1

ai (x, t)
i=1

∂u
+ a (x, t) u = f (x, t) ,
∂xi

(1.5)

ở đó aij , ai , a, f là các hàm phức đủ trơn.

Đặt t = xn+1 . Trong vật lí, t giữ vai trò thời gian, còn x = (x1 , ..., xn ) là
các tọa độ không gian. Giả sử trên mặt phẳng {t = 0} và trong một lân cận
của điểm x0 = (x01 , ..., x0n ) cho các điều kiện ban đầu

u (x, 0) = u0 (x) , ut (x, 0) = u1 (x) .

(1.6)

Vấn đề đặt ra là với giả thiết nào thì bài toán Cauchy (1.5), (1.6) có
nghiệm. Vào năm 1874, S. V. Kovalevskaya đã chứng minh được Định lí tồn
tại duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy trong lớp các hàm giải tích.
Giả sử phương trình (1.5) viết được dưới dạng
n

∂ 2u
∂ 2u
=
bij (x, t)
+
∂t2 i,j=1
∂xi ∂xj
n+1

+

bi (x, t)
i=1

n

i=1

∂ 2u
bin (x, t)
+
∂xi ∂t

∂u
+ b (x, t) u + h (x, t) .
∂xi

(1.7)

Định lí 1.3.1 (Định lí Kovalevskaya). Giả sử bij , bin , bi , b, h là các hàm giải
tích trong một lân cận của điểm x0 = (x01 , ..., x0n , 0), còn uj , j = 0, 1 là các
hàm giải tích trong một lân cận của điểm x0 . Khi đó bài toán Cauchy (1.7),
(1.6) có nghiệm giải tích trong một lân cận nào đó của điểm x0 và là nghiệm
duy nhất trong các lớp hàm giải tích.

9


Chương 2
BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
HYPERBOLIC MẠNH HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN

2.1

Mở đầu

Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp m với hai biến độc lập
m

(akj (t, x) ∂x uj + bkj (t, x) uj ) = fk (t, x) ,

∂t uk +

k = 1, ..., m.

j=1
T

Đặt U = (u1 , ...um ) . Khi đó ta có

∂t U + A (t, x) ∂x U + B (t, x) U = F (t, x) .
Định nghĩa 2.1.1. Xét phương trình đạo hàm riêng ở trên, ở đó ma trận A
là thực trên miền G ⊂ Rn+1 . Khi đó phương trình được gọi là

• hyperbolic tại một điểm (t0 , x0 ) ∈ G nếu ma trận A(t0 , x0 ) có các
giá trị riêng thực λ1 = λ1 (t0 , x0 ) , ..., λm = λm (t0 , x0 ) và một tập đầy
đủ các vectơ riêng.

• hyperbolic mạnh tại một điểm (t0 , x0 ) ∈ G nếu ma trận A(t0 , x0 )
có các giá trị riêng thực phân biệt λ1 = λ1 (t0 , x0 ) , ..., λm = λm (t0 , x0 ).
• hyperbolic yếu tại một điểm (t0 , x0 ) ∈ G nếu phương trình trên
là phương trình hyperbolic tại điểm (t0 , x0 ) nhưng không là hyperbolic
mạnh.

• hyperbolic (hyperbolic mạnh, hyperbolic yếu) trên một miền
G nếu toán tử là hyperbolic (hyperbolic mạnh, hyperbolic yếu) tại mọi

điểm (t0 , x0 ) ∈ G
Nếu ma trận A là thực và đối xứng thì phương trình hyperbolic đối xứng
có dạng
n

A0 (t, x) ∂t U +

Ak (t, x) ∂xk U + B (t, x) U =F (t, x) ,
k=1

ở đó A0 là ma trận thực và xác định dương, Ak là ma trận thực và đối xứng.
10


Nhận xét 2.1.2. Mọi phương trình hyperbolic tuyến tính cấp hai với các hệ
số trơn có thể được chuyển về phương trình hyperbolic đối xứng.
Từ những điều trên ta có định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 2.1.3. Phương trình utt − a(t, x)uxx = 0 được gọi là phương
trình hyperbolic mạnh khi và chỉ khi phương trình đặc trưng λ2 − a(t, x) = 0
có hai nghiệm thực phân biệt.
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán Cauchy với phương trình
hyperbolic mạnh trên [0, T ] × Rx

utt − a(t)uxx = 0
u(0, x) = u0 , ut (0, x) = u1

(2.1)

ở đó hệ số a(t) là một hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện hyperbolic mạnh

γ −1 ≥ a (t) > γ > 0

(2.2)

Như ta đã biết, bài toán (2.1) luôn đặt đúng trong không gian A các hàm
giải tích. Trong trường hợp a(t) chỉ phụ thuộc vào t, một kết quả quan trọng
từ đánh giá năng lượng (90)[3]: với bất kì hàm liên tục cho trước a(t) sẽ tồn
tại một không gian X mà chứa A và bài toán Cauchy là đặt đúng. Ngược
lại, bài toán (2.1) có thể không đặt đúng trong C ∞ , các nghiên cứu cho rằng
môđun tlogt (hay liên tục Log-Lipschitz) là ngưỡng tự nhiên cho tính đặt
đúng trong C ∞ và môđun H¨
older tα cho chính xác tính đặt đúng trong lớp
Gevrey-Beurling Γ(1/(1−α) .
Định nghĩa 2.1.4. Ta nói rằng không gian các hàm số X gọi là tựa giải tích
nếu hàm duy nhất trong X có giá compact là hàm tầm thường f ≡ 0. Trong
trường hợp ngược lại, ta nói X là không tựa giải tích.
Định nghĩa 2.1.5. Bài toán Cauchy (2.1) được gọi là đặt đúng nếu với mọi
dữ kiện Cauchy u0 , u1 ∈ X , tồn tại duy nhất nghiệm

u ∈ C 1 ([0, T ] ; X) .
Trước tiên, ta sẽ tìm hiểu không gian các hàm siêu khả vi với trọng số theo
Beurling-Roumieu.

2.2

Không gian các hàm siêu khả vi với trọng số theo
Beurling-Roumieu

2.2.1. Hàm trọng số
11

Định nghĩa 2.2.1. Cho ω : [0, +∞) → [0, +∞) là hàm liên tục và tăng.
Hàm ω được gọi là hàm trọng số nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(α) ω (2y) K (1 + ω (y)) với một hằng số K > 1 và với mọi y .
(β) ω (y1 ) /y1 Cω (y2 ) /y2 với y1 y2 R > 0, C > 0.
(γ) log y = o (ω (y)) khi y → +∞.
(δ) ϕ (y) := ω (ey ) là lồi trên R.
Ví dụ 2.2.2. Một số ví dụ về hàm trọng số.

(a)
(b)
(c)
(d)

ω (y) = y.
ω (y) = y α , 0 < α < 1.
β
ω (y) = (log (1 + y)) , β > 1.
−β
ω (y) = y(log (1 + y)) , β > 0.
m

(e) ω (y) = y/

log(j) (1 + y) với log(j) (1 + y) được xác định bởi

j=1

log(1) (1 + y) = log (1 + y) , log(k+1) (1 + y) = log 1 + log(k) (1 + y) ,

k = 1, ..., j − 1.
Với hàm trọng số ω và ξ ∈ Rn , ta viết ω (ξ) thay cho kí hiệu ω (|ξ|).
Định nghĩa 2.2.3. Hàm liên hợp Young của ϕ (y) được xác định bởi

ϕ∗ (x) := sup {xy − ϕ (y)} .
y

Định nghĩa 2.2.4. Nếu
+∞

ω (y)
dy < +∞,
y2

1

thì hàm trọng số ω được gọi là không tựa giải tích tức là tồn tại một hàm
g = 0 trên một tập compact ∆ Rn là hàm không tầm thường (g ≡ 0).
Ngược lại, nếu
+∞

ω (y)
dy = +∞,
y2

1

thì hàm trọng số ω được gọi là tựa giải tích tức là với mọi hàm g = 0 trên
một tập compact ∆ Rn ta có g phải là hàm tầm thường (g ≡ 0).
Chú ý 2.2.5. Điều kiện (β) trong định nghĩa 2.2.1 suy ra ω (y) = o (y) khi

y → +∞. Hàm trọng số không tựa giải tích ω thỏa mãn ω (y) = o (y) khi
y → +∞.
12


Chú ý 2.2.6. Với mọi hàm trọng số ω ta định nghĩa hàm σ trên C ∞
∞

ψj (y) ω 2j ,

σ (y) =
j=0

ở đó ψj là dãy các hàm cắt, 0
j−1

trong {y : 2

j+1

y

2

ψj (y)

1, sao cho giá của ψj được chứa
} và sao cho ψj (y)
Ck 2−jk . Bởi (α) trong
(k)

định nghĩa 2.2.1, ta có

c1 ω (y)

σ (y)

c2 ω (y) , c1 , c2 > 0,

và

Ck y −k σ (y) , C > 0, y

σ (k) (y)

R > 0.

Dựa trên các tính chất của hàm trọng số trong định nghĩa 2.2.1 ta có thể
chứng minh được bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.7. Cho ω và ϕ∗ được định nghĩa như trong định nghĩa 2.2.1. Với
mọi m, k ∈ N và y 1 ta có
(i) y k e−mω(y)
(ii) inf y −j ekϕ

emϕ
∗

∗

(k/m)

,

e−kω(y)+log y .

(j/k)

j∈N

2.2.2. Hàm siêu khả vi
Định nghĩa 2.2.8. Giả sử ω là hàm trọng số. Với mỗi tập compact K ⊂ Rn
và λ > 0, ta đưa vào định nghĩa

Eω (K, λ) := f ∈ C ∞ (K) : f

K,λ

< +∞ ,

ở đó

f

K,λ

:= sup sup f (α) (x) e−λϕ
x∈K

∗

(|α|/λ)

.

α

Ta định nghĩa các không gian

E(ω) := f ∈ C ∞ (Rn ) : f

K,λ

< +∞ ∀λ > 0, ∀K

Rn

và

E{ω} := f ∈ C ∞ (Rn ) : ∀K

Rn , ∃λ > 0 : f
13

K,λ

< +∞

.

Mỗi một không gian đó đều được trang bị tô pô tự nhiên

E(ω) = proj←K
E{ω} = proj←K

Rn

proj←m∈N Eω (K, m) ,

Rn

ind→m∈N Eω (K, 1/m) .

Các phần tử của E(ω) được gọi là các hàm ω -siêu khả vi loại Beurling trên
Rn . Các phần tử của E{ω} được gọi là các hàm ω -siêu khả vi loại Roumieu
trên Rn . Ta kí hiệu chung cho các không gian trên là E∗ .
Định lí 2.2.9. E∗ là không gian các hàm không tựa giải tích nếu và chỉ nếu ω
là hàm trọng số không tựa giải tích. Đặc biệt, khi ω là hàm trọng số giải tích,
không gian E∗ không chứa bất kì hàm không tầm thường nào với giá compact.
Ví dụ 2.2.10. Chúng ta xét không gian các hàm siêu khả vi tương ứng với
các hàm trọng số trong ví dụ 2.2.2.
(a) ω (y) = y . Trong trường hợp này E{ω} là không gian tất cả các hàm giải
tích thực, E(ω) là không gian tất cả các hàm nguyên thực.
(b) ω (y) = y α , 0 < α < 1. Với trường hợp hàm trọng số không tựa giải tích
này, E(ω) (tương ứng E{ω} ) phù hợp với lớp Gevrey Γ(d) (tương ứng Γ{d} )
với d = 1/α.
β

(c) ω (y) = (log (1 + y)) , β > 1. Không gian E∗ là không tựa giải tích và
nó chứa tất cả các hàm Gevrey có giá compact với chỉ số d > 1.

−β

(d) ω (y) = y(log (1 + y)) , β > 0. Không gian E∗ là không tựa giải tích
với β > 1, tựa giải tích với 0 < β 1.
m

(e) ω (y) = y/

log(j) (1 + y). Hàm trọng số này là tựa giải tích với m bất

j=1

kì. Khi đó E∗ như là trường hợp tới hạn của không gian tựa giải tích.
Chú ý 2.2.11. Giả sử (Mj )j∈N là một dãy các số thực dương có các tính
chất

(M1 ) Mj2 Mj−1 Mj+1 ∀j,
(M2 ) ∃ A, H > 0 với Mj AH j minh j Mh Mj−h ∀j,
và ta kí hiệu E(Mj ) là không gian tất cả các hàm f sao cho
|f α (x)|
< +∞
|α|
x∈K h M|α|

sup sup
α

với mỗi K

Rn và mọi h > 0.

14


Ta có một không gian Beurling của những hàm siêu khả vi do (M1 ) và
(M2 ) đảm bảo cho tính đóng của E(Mj ) tương ứng với phép nhân, phép lấy
đạo hàm và phép hợp thành của những ánh xạ giải tích.
Lấy Mj = j! ta có không gian của tất cả các hàm nguyên.
Nếu dãy (Mj )j∈N thỏa mãn tính chất
∞

Mh−1
Mh
h=j+1

Aj

Mj
,
Mj+1

A > 0,

trừ (M1 ) và (M2 ) thì E(Mj ) là không gian không tựa giải tích.
Ví dụ. Với Mj = j!d , d > 1, ta có không gian Gevrey với số mũ d.
Cách tiếp cận những hàm siêu khả vi này và việc sử dụng những hàm trọng
số là tương đương. Thật vậy, nếu ta định nghĩa

y j M0
ωM (y) := sup log
,

Mj
j

y>0,

thì tồn tại một hàm trọng số κ (y) với

c1 ωM (y)

κ (y)

c2 ωM (y) , c1 , c2 > 0,

và sao cho E(κ) trùng với E(Mj ) .
Ta có các kết quả tương tự cho không gian Roumieu.

2.2.3. Chuỗi Fourier
Trong trường hợp số chiều n = 1, ta có thể dễ dàng đưa ra các đặc trưng
của các hàm tuần hoàn trong E∗ . Từ bổ đề 2.2.7 và (γ) trong định nghĩa
2.2.1, ngay lập tức ta có mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 2.2.12. Giả sử f (x) ∈ C ∞ (R) là hàm tuần hoàn với chu kì 2π ,
+∞

f (x) =
cho |ck |

ck eikx . Khi đó, f ∈ E(ω) nếu và chỉ nếu ∀λ > 0, ∃C > 0 sao

k=−∞
−λω(k)

Ce
với mọi hệ số Fourier. Ngược lại, f ∈ E{ω} khi và chỉ khi
∃λ > 0 và C > 0 sao cho |ck | Ce−λω(k) với mọi hệ số Fourier.

15


2.2.4. Biến đổi Fourier trong không gian Beurling- Roumieu
Giả sử ω là hàm trọng số và E ∗ là không gian đối ngẫu của E∗ . Với mọi
u ∈ E ∗ biến đổi Fourier uˆ được xác định bởi

uˆ (ξ) = u(x), e−ixξ = √

1

e−ix.ξ u (x) dx,

n

2π

Rn

ở đó x.ξ = (x1 ξ1 + x2 ξ2 + ...) là tích vô hướng trong không gian Euclide trên
Rn . Trong trường hợp hàm trọng số ω không tựa giải tích, Định lí PaleyWiener cho các hàm suy ra từ Định lí 7.4 của [2]. Khi ω là giải tích, biến đổi
Fourier của nó được chỉ ra trong [14] với n = 1 và với trường hợp tổng quát
trong [16, Satz 2.19]. Đặc biệt, ta có:
Mệnh đề 2.2.13. Giả sử u ∈ E (ω) (tương ứng E
C > 0 (tương ứng ∀λ > 0, ∃C > 0) sao cho

|ˆ
u (ξ)|

{ω} .

Khi đó, ∃λ > 0 và

Ceλω(ξ) .

Liên quan tới biến đổi Fourier của các hàm siêu khả vi ta sẽ đưa vào các
không gian sau:

DL1 ,(Θ) := f ∈ C ∞ (Rn ) : f

L1 ,λ

< +∞ ∀λ > 0

và

DL1 ,{Θ} := f ∈ C ∞ (Rn ) : ∃λ > 0 : f

L1 ,λ

< +∞

,

ở đó

f

L1 ,λ

:= sup f α
α

L1 e

−λϕ∗ (|α|/λ)

.

Từ (ii) trong bổ đề 2.2.7 và (γ) trong định nghĩa 2.2.1 ta có:
Mệnh đề 2.2.14. Giả sử f ∈ DL1 ,(ω) (tương ứng DL1 ,{ω} ) và biến đổi Fourier
của f kí hiệu là fˆ. Khi đó, ∀λ > 0, ∃C > 0 (tương ứng ∃λ > 0 và C > 0
sao cho

fˆ (ξ)

Ce−λω(ξ) .

Ngược lại, từ (i) trong Bổ đề 2.2.7, nếu biến đổi Fourier fˆ của f ∈ L1
thỏa mãn kết luận của mệnh đề 2.2.14, thì f ∈ E∗ . Đặc biệt DL1 ,∗ ⊂ E∗ .
Trong trường hợp các không gian không tựa giải tích, ta có không gian
không tầm thường

D∗ (K) := {f ∈ E∗ : supp (f ) ⊂K} , K compact, D∗ := ind→ K
16

Rn D∗ (K) .


Mệnh đề 2.2.15. Áp dụng cho các phần tử của E∗ với giá compact.
Thực tế, các phép nhúng

D∗ ⊂ DL1 ,∗ ⊂ E∗
là liên tục với các miền giá trị trong các phép nhúng là trù mật.
Tính đặt đúng của bài toán Cauchy trong C ∞ thường được suy luận từ
các đánh giá tiên nghiệm trong các không gian Sobolev. Đó chính là phương
pháp năng lượng. Đối với các hàm siêu khả vi, ta sử dụng các không gian
Sobolev được định nghĩa bằng giải tích Fourier như ở trên.
Với chỉ số Sobolev s 0, ta kí hiệu

Hωs,λ := f ∈ H s (Rn ) : f

s,λ,ω

< +∞ ,

ở đó

1/2



f

s,λ,ω

ξ

:= 

2s 2λω(ξ)

e

2

fˆ (ξ) dξ  ,

Rn

ξ =

2

1 + |ξ|

và
s
H(ω)
:= proj←m∈N Hωs,m ,

s
H{ω}
:= ind→m∈N Hωs,1/m .

Với s > n/2 ta có phép nhúng H∗s ⊂ E∗ liên tục. Trong trường hợp các
không gian không tựa giải tích, các phép nhúng

D∗ ⊂ H∗s ⊂ E∗ ,

s > n/2

(2.2.1)

là liên tục với các miền giá trị trong các phép nhúng là trù mật.
Sau đây chúng ta trình bày kết quả chính về tính đặt đúng trong trường hợp
hệ số phụ thuộc vào thời gian.

2.3

Phép hiệu chỉnh chính quy hóa hệ số và thiết lập các đánh
giá trung gian. Chứng minh các kết quả của tính đặt đúng

Với hàm a(t) như ở (2.2) và thỏa mãn

|a(t + τ ) − a(t)| ≤ M |τ | ω

1
, M > 0, t, t + τ ∈ [0, T ], τ = 0 (2.3)
|τ |

với ω là một hàm trọng số ta có Định lí sau.
17

Định lí 2.3.1. Giả sử hàm a(t) thỏa mãn các điều kiện (2.2) và (2.3) với
s−1
s
hàm trọng số ω . Khi đó, với mọi u0 ∈ H(ω)
, u1 ∈ H(ω)
bài toán Cauchy (2.1)
s−1
s
1
có nghiệm duy nhất u ∈ C([0, T ]; H(ω) ) ∩ C ([0, T ]; H(ω)
)

ˆ , C > 0 sao cho nghiệm thỏa mãn đánh giá
Hơn nữa, tồn tại các hẳng số M
u(t)

ˆ t,ω
s,λ−M

+ ut (t)

ˆ t,ω
s−1,λ−M

≤ C( u0

s,λ,ω

+ u1

s−1,λ,ω )

(2.4)

ˆ T và mọi t ∈ [0, T ].
với mọi λ > M
Chứng minh. Ta kí hiệu v(t, ξ) là phép biển đổi Fourier của u(t, x) ứng
với biến không gian x. Trong trường hợp tính liên tục Lipschitz của hệ số
a(t), tính đặt đúng trong không gian Sobolev thông thường có thể thu được
bằng phương pháp Gronwall bằng cách lấy đạo hàm của vi năng lượng:
2

2

E(t, ξ) = |v (t, ξ)| + ξ 2 a(t)|v(t, ξ)| .
Ở đây ta không thể đạo hàm hệ số a(t), do đó với
phép hiệu chỉnh chính quy hóa a(t) như sau:

aε (t) :=

a(t + τ )σ

> 0, ta đưa vào một

τ 1
dτ ,
ε ε

(2.5)

ở đó σ ∈ C0∞ ([−1, 1]), 0 ≤ σ ≤ 1, σ(τ )dτ = 1, |σ (τ )| dτ ≤ 4 và ta
đặt a(τ ) = a(T ) với τ > T và a(τ ) = a(0) với τ < 0
Từ (2.2) và

0<γ

σ

τ
τ
d
≤ aε (t) ≤ γ −1
ε
ε

σ

τ
τ
d
ε
ε

nên

0 < γ ≤ aε (t) ≤ γ −1
Khi đó, từ (2.3) ta có:

|aε (t) − a(t)| =

a(t + τ )σ

τ
ε
τ
≤
[a(t + τ ) − a(t)] σ
ε
1
≤ M εω
ε
=

[a(t + τ ) − a(t)] σ

τ
τ
d
− a(t)
ε
ε
τ
τ
τ
d
+ a(t)σ
d
− a(t)
ε
ε

ε
1
τ
d
≤ M |τ | ω
ε
|τ |

18

(2.6)


Vậy ta được:

|aε (t) − a(t)| ≤ M εω
và

|aε (t)| ≤ 4M ω

1
ε

(2.7)

1
ε

(2.8)

Thật vậy ta có:
ε

d
d
aε (t) =
dt
dt

a(t + τ )σ

τ 1
dτ
ε ε

−ε

Đổi biến

t + τ = y, τ = y − t, dτ = dy
Khi đó:
t+ε

d
d
aε (t) =
dt
dt

a (y) σ

y−t
ε

t−ε
t+ε

−1
a (y)
σ
ε

=

t−ε
t+ε

=

a (y) σ
t−ε
t+ε

a (y) σ

=

1
dy
ε

y−t
ε

1
1
y−t
dy +
a (y) σ
ε
ε
ε

t−ε

y−t
ε

−1
1
dy
+
[a (t + ε) σ (1) − a (t − ε) σ (−1)]
ε2
ε

y−t
ε

−1

dy (do σ ∈ C0∞ ([−1, 1])) .
2
ε

t−ε

Đặt

t+ε

y−t
= s ⇒ dy = εds.
ε

Ta được:

d
aε (t) = −
dt

1

a(t + εs)
−1

19

σ (s)
ds
ε

1

⇒ |aε (t)| =
−1
1

1

σ (s)
ds +
[a (t + εs) − a (t)]
ε

a(t)

σ (s)
ds
ε

−1

σ (s)
ds +
[a (t + εs) − a (t)]
ε

−1

1

a(t)

σ (s)
ds
ε

−1

1
M sup ε |s| ω
|εs|
s∈(−1;1)

1

σ (s)
a(t)
ds +
ε
ε

−1

1

|σ (s) ds|.
−1

1

|σ (s) ds| = 0 nên ta có

Vì
−1

1
|εs|

aε (t) ≤ 4M |s| ω
=

1
4M
|εs| ω
ε
|εs|

Đặt |εs| = t, s ∈ (−1, 1)

ω
⇒

1
|t|
1
|t|

≤ε

1
ε

ω
1
ε

(do ω là hàm trọng số)
Nên:

|aε (t)| ≤ 4M ω

1
ε

(2.9)

Biến đổi Fourier v (t, ξ) của nghiệm u(t, x) thỏa mãn

v + a(t)ξ 2 v = 0 ,
⇒ v = −a(t)ξ 2 v
Bây giờ ta giới thiệu vi năng lượng xấp xỉ:
2

2

Eε (t, ξ) = |v (t, ξ)| + ξ 2 aε (t)|v(t, ξ)| , ξ = 0
−1

với cách chọn ε = |ξ|

trong (2.5)

20

(2.10)


Ta có:

d
2
Eε (t, ξ) = 2 (v (t, ξ) v (t, ξ)) + ξ 2 aε (t) |v (t, ξ)|
dt
+ 2ξ 2 aε (t) (v (t, ξ) v (t, ξ))
= 2 v (t, ξ) −a(t)ξ 2 v (t, ξ) + ξ 2 aε (t) |v (t, ξ)|
+ 2ξ 2 aε (t) (v (t, ξ) v (t, ξ))

2

2

= 2ξ 2 (aε (t) − a(t)) v (t, ξ) v (t, ξ) + ξ 2 aε (t) |v (t, ξ)| .
Từ (2.6), (2.9) và (2.10) ta có
2

ξ 2 aε (t)|v(t, ξ)| =

aε (t) 2

2
ξ aε (t)|v(t, ξ)|
aε (t)

4M ω
|aε (t)|
≤
Eε (t, ξ) ≤
aε (t)
γ

1
ε

Eε (t, ξ)

Từ (2.6), (2.7), (2.10) và áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
2

2ξ (aε (t) − a(t)) v (t, ξ) v (t, ξ)
aε (t) − a(t) 2
ξ aε (t) v (t, ξ) v (t, ξ)
aε (t)
|aε (t) − a(t)| 2
≤2
ξ aε (t) v (t, ξ) v (t, ξ)
aε (t)
2
M εω 1ε
1

2
|ξ| 2.
|ξ| aε (t)v(t, ξ) + |v (t, ξ)|
≤ √
γ
2
=2

2

M εω
≤ √
γ

1
ε

1
|ξ| 2.
2

M εω
≤ √
γ

1
ε

M εω
|ξ| Eε (t, ξ) ≤ √

γ

2

|ξ|

aε (t)v(t, ξ) + |v (t, ξ)|
1
ε

|ξ| Eε (t, ξ)

Khi đó

4ω 1ε
εω 1ε
d
Eε (t, ξ) ≤ M
+ √ |ξ| Eε (t, ξ) .
dt
γ
γ
−1

Do cách chọn ε = |ξ|

nên

d
4ω (ξ) ω (ξ)

Eε (t, ξ) ≤ M
+ √
Eε (t, ξ) .
dt
γ
γ
21

(2.11)


Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta có
t

Eε (t, ξ) ≤ Eε (0, ξ) e

M[

0

4ω(ξ) ω(ξ)
√
γ + γ

]dt

= Eε (0, ξ) e

M[

4ω(ξ) ω(ξ)
√
γ + γ

t

]|0

M 4 + √1 ω(ξ)t
= Eε (0, ξ) e [ γ γ ]

ˆ =M
Như vậy có một hằng số dương M

4
γ

+

1
√
γ

sao cho

ˆ

Eε (t, ξ) ≤ Eε (0, ξ) eM ω(ξ)t

(2.12)

Do đó bài toán (2.1) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh (2.4):
Ta có:

u(t)

ˆ t,ω
s,λ−M

u0

=

s,λ,ω

ξ

ˆ t)ω(ξ)
2s 2(λ−M

e

=

ξ

2s 2λω(ξ)

e

1
2

2

|ˆ
u(ξ)| dξ
1
2

2

|ˆ
u0 (ξ)| dξ

Do đó (2.4) hiển nhiên được thỏa mãn theo định nghĩa về nửa chuẩn
u s,λ,ω .
Chú ý 2.3.2. Trong trường hợp lớp không gian Roumieu, với dữ kiện cho
s−1
s
, u1 ∈ H{ω}
sao cho u0 s,λ∗,ω + u1 s−1,λ∗,ω < +∞,
trước Cauchy u0 ∈ H{ω}
bất đẳng thức (2.12) cho nghiệm duy nhất
s
s−1
u ∈ C([0, T ∗]; H{ω}
) ∩ C 1 ([0, T ∗]; H{ω}
)

∗

với thời gian cực đại cho sự tồn tại nghiệm duy nhất T ∗ ≤ λMˆ
Trong trường hợp lớp không gian không tựa giải tích, do tính chất lan truyền
hữu hạn của sóng nên ta có thể giả thiết rằng các dữ kiện Cauchy có giá
compact mà không làm mất tính tổng quát. Vì vậy, Định lí (2.3.1) và các
phép nhúng (2.2.1) suy ra ngay kết quả sau đây:
Định lí 2.3.3. Giả sử hàm a(t) thỏa mãn điều kiện (2.2) và (2.3) với hàm
trọng số không tựa giải tích ω.
Do đó, với mọi u0 , u1 ∈ E(ω) cho trước, bài toán Cauchy (2.1) cho nghiệm
duy nhất u ∈ C 1 ([0, T ]; E(ω) )
Chú ý 2.3.4. Dưới các giả thiết của Định lí 2.3.3, với dữ kiện u0 , u1 trong
không gian không tựa giải thích Roumieu E(ω) , bài toán Cauchy (2.1) có
22


nghiệm duy nhất u(x, t) được xác định trong một lân cận của t = 0, phụ
thuộc vào dữ kiện Cauchy, ở đó tính khả C 1 tương ứng đối với biến t và lớp
E(ω) tương ứng đối với biến x.

2.4

Xây dựng phản ví dụ

Trong phần này, chúng ta đề cập tới tính tối ưu của Định lí 2.3.3. Kết quả
sau đây nói rằng kết quả của tính đặt đúng trong lớp không tựa giải tích
1

ω

có thể không đúng nếu như điều kiện
0

tω

1
t

1
t

dt < +∞ về môđun liên tục

của hệ số a(t) bị vi phạm.

Định lí 2.4.1. Giả sử ω0 là hàm trọng số cố định tựa giải tích. Với bất kỳ
không gian không tựa giải tích E(ω) có một hàm a(t) thỏa mãn

a ∈ C ∞ ([0, 1)) ,

|a(t + τ ) − a(t)| ≤ |τ | ω0

3
1
≤ a(t) ≤
2
2

1
, t, t + τ ∈ [0, 1], τ = 0

|τ |

(2.13)

(2.14)

và dữ kiện Cauchy u0 , u1 ∈ E(ω) sao cho bài toán Cauchy (2.3.3) không chứa
bất kỳ nghiệm nào trong C 1 ([0, 1]; E(ω) ).
Chứng minh. Cách chứng minh tương tự với cách xây dựng các phản
ví dụ khác cho bài toán Caucchy hyperbolic, chi tiết được trình bày trong
[3,4,7]. Hệ số a(t) sẽ dao động càng nhanh hơn trong các đoạn

Ik = [tk − σk /2, tk + σ2 /2] ⊂ [0, 1)
với tk → 1, σk → 0 khi k → +∞ . Trạng thái dao động của nó trong mỗi Ik
sẽ được miêu tả bởi chu kỳ tuần hoàn là hàm αε (τ ) mà ta sẽ giới thiệu sau
đây, ở đó là tham số nhỏ. Nghiệm u(t, x) với t < 1 sẽ được biểu diễn bởi
∞
chuỗi u(t, x) = k=1 vk (t)eihk x ở đó hệ số vk (t) sẽ được xác định thông qua
hàm ω mà ta định nghĩa dưới đây cùng với hàm α . Nghiệm u(t, .) sẽ thuộc
E(ω) tại mọi điểm cố định t < 1 tuy nhiên, nói một cách vắn tắt, tính dao
động của hàm a(t) gây ra nguyên nhân làm mất tính suy giảm trong L∞ của
chuẩn sup0≤t≤tk −σk /2 |vk (t)| của các hệ số Fourier khi k → +∞ và làm cho
u(t, .) là không bị chặn thậm chí trong không gian đối ngẫu E(ω) khi t → 1.
Ta lấy một hàm thực ϕ không âm, tuần hoàn chu kỳ 2π sao cho ϕ(τ ) = 0
23