Trình chiếu mối liên hệ giữa môđun liên tục của hệ số và tính tựa giải tích của nghiệm trong bài toán cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh

Chương 1

Chương 2

Chương 3

MỐI LIÊN HỆ GIỮA MÔĐUN LIÊN TỤC CỦA HỆ SỐ
VÀ TÍNH TỰA GIẢI TÍCH CỦA NGHIỆM TRONG BÀI
TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
HYPERBOLIC MẠNH
Người hướng dẫn khoa học : TS. Phạm Triều Dương
Học viên : Lê Đức Tâm
Mã học viên : K24-0137

Hà Nội, 26-10-2016

Học viên: Lê Đức Tâm

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

1 / 25


Chương 1

Chương 2

Chương 3

1. Lý do chọn đề tài

Học viên: Lê Đức Tâm

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

2 / 25


Chương 1

Chương 2

Chương 3

1. Lý do chọn đề tài
Bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh trong [0, T ] × Rn :
utt − a(t, x)uxx = 0,

(t, x) ∈ (0, T ) × Rn ,

u(0) = u0 (x); u (0) = u1 (x),
với hệ số a(t, x) chỉ liên tục theo thời gian và thỏa mãn điều kiện
hyperbolic ngặt: a(t, x) ≥ γ > 0

Học viên: Lê Đức Tâm

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

2 / 25


Chương 1

Chương 2

Chương 3

1. Lý do chọn đề tài
Bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh trong [0, T ] × Rn :
utt − a(t, x)uxx = 0,

(t, x) ∈ (0, T ) × Rn ,

u(0) = u0 (x); u (0) = u1 (x),
với hệ số a(t, x) chỉ liên tục theo thời gian và thỏa mãn điều kiện
hyperbolic ngặt: a(t, x) ≥ γ > 0
Mối liên hệ của các môđun liên tục đối với hệ số đảm bảo cho sự tồn
tại nghiệm của các lớp rộng hơn tính giải tích thực thông thường.

Học viên: Lê Đức Tâm

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

2 / 25


Chương 1

Chương 2

Chương 3

1. Lý do chọn đề tài
Bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh trong [0, T ] × Rn :
utt − a(t, x)uxx = 0,

(t, x) ∈ (0, T ) × Rn ,

u(0) = u0 (x); u (0) = u1 (x),
với hệ số a(t, x) chỉ liên tục theo thời gian và thỏa mãn điều kiện
hyperbolic ngặt: a(t, x) ≥ γ > 0
Mối liên hệ của các môđun liên tục đối với hệ số đảm bảo cho sự tồn
tại nghiệm của các lớp rộng hơn tính giải tích thực thông thường.
Thiết lập các tích phân dao động và chứng minh tính đặt đúng trong
bài toán tổng quát với hệ số a(t, x) phụ thuộc vào cả biến không gian
và thời gian

Học viên: Lê Đức Tâm

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

2 / 25


Chương 1

Chương 2

Chương 3

1. Lý do chọn đề tài
Bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh trong [0, T ] × Rn :
utt − a(t, x)uxx = 0,

(t, x) ∈ (0, T ) × Rn ,

u(0) = u0 (x); u (0) = u1 (x),
với hệ số a(t, x) chỉ liên tục theo thời gian và thỏa mãn điều kiện
hyperbolic ngặt: a(t, x) ≥ γ > 0
Mối liên hệ của các môđun liên tục đối với hệ số đảm bảo cho sự tồn
tại nghiệm của các lớp rộng hơn tính giải tích thực thông thường.
Thiết lập các tích phân dao động và chứng minh tính đặt đúng trong
bài toán tổng quát với hệ số a(t, x) phụ thuộc vào cả biến không gian
và thời gian

Học viên: Lê Đức Tâm

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

2 / 25


Chương 1

Chương 2

Chương 3

Cấu trúc luận văn

Học viên: Lê Đức Tâm

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

3 / 25


Chương 1

Chương 2

Chương 3

Cấu trúc luận văn

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

Học viên: Lê Đức Tâm

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

3 / 25


Chương 1

Chương 2

Chương 3

Cấu trúc luận văn

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh
hệ số phụ thuộc thời gian.

Học viên: Lê Đức Tâm

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

3 / 25

Chương 1

Chương 2

Chương 3

Cấu trúc luận văn

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh
hệ số phụ thuộc thời gian. Phần này, ta trình bày về các định nghĩa
tương đương về lớp các siêu khả vi với trọng số theo Beurling và Ruomieu,
đặc số các dạng dao động quan trọng của hệ số, kết quả về tính đặt đúng,
tính tối ưu của các điều kiện thông qua phản ví dụ.

Học viên: Lê Đức Tâm

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

3 / 25


Chương 1

Chương 2

Chương 3

Cấu trúc luận văn

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh
hệ số phụ thuộc thời gian. Phần này, ta trình bày về các định nghĩa
tương đương về lớp các siêu khả vi với trọng số theo Beurling và Ruomieu,
đặc số các dạng dao động quan trọng của hệ số, kết quả về tính đặt đúng,
tính tối ưu của các điều kiện thông qua phản ví dụ.
Chương 3: Bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh
hệ số phụ thuộc vào cả không gian và thời gian.

Học viên: Lê Đức Tâm

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

3 / 25


Chương 1

Chương 2

Chương 3

Cấu trúc luận văn

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh

hệ số phụ thuộc thời gian. Phần này, ta trình bày về các định nghĩa
tương đương về lớp các siêu khả vi với trọng số theo Beurling và Ruomieu,
đặc số các dạng dao động quan trọng của hệ số, kết quả về tính đặt đúng,
tính tối ưu của các điều kiện thông qua phản ví dụ.
Chương 3: Bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic mạnh
hệ số phụ thuộc vào cả không gian và thời gian. Ở đây, ta đưa ra các
kết quả của tính phân dao động, ứng dụng của lý thuyết giả vi phân trong
nghiên cứu tính đặt đúng.

Học viên: Lê Đức Tâm

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

3 / 25


Chương 1

Chương 2

Chương 3

Chương 2:Bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic
mạnh hệ số phụ thuộc thời gian

Học viên: Lê Đức Tâm

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

4 / 25


Chương 1

Chương 2

Chương 3

Chương 2:Bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic
mạnh hệ số phụ thuộc thời gian

Xét bài toán Cauchy với phương trình hyperbolic mạnh trên [0, T ] × Rx
utt − a(t)uxx = 0

(2.1)

u(0, x) = u0 , ut (0, x) = u1

ở đó hệ số a(t) là một hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện hyperbolic
mạnh
γ −1 ≥ a (t) > γ > 0.
(2.2)

Học viên: Lê Đức Tâm

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

4 / 25


Chương 1

Chương 2

Chương 3

2.2.1. Hàm trọng số

Học viên: Lê Đức Tâm

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

5 / 25


Chương 1

Chương 2

Chương 3

2.2.1. Hàm trọng số

Định nghĩa 2.2.1.
Cho ω : [0, +∞) → [0, +∞) là hàm liên tục và tăng. Hàm ω được gọi là
hàm trọng số nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(α) ω (2y ) K (1 + ω (y )) với một hằng số K > 1 và với mọi y .
(β) ω (y1 ) /y1 C ω (y2 ) /y2 với y1 y2 R > 0, C > 0.
(γ) log y = o (ω (y )) khi y → +∞.
(δ) ϕ (y ) := ω (e y ) là lồi trên R.

Học viên: Lê Đức Tâm

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

5 / 25


Chương 1

Chương 2

Chương 3

2.2.1. Hàm trọng số
Định nghĩa 2.2.1.
Cho ω : [0, +∞) → [0, +∞) là hàm liên tục và tăng. Hàm ω được gọi là
hàm trọng số nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(α) ω (2y ) K (1 + ω (y )) với một hằng số K > 1 và với mọi y .
(β) ω (y1 ) /y1 C ω (y2 ) /y2 với y1 y2 R > 0, C > 0.
(γ) log y = o (ω (y )) khi y → +∞.

(δ) ϕ (y ) := ω (e y ) là lồi trên R.

Định nghĩa 2.2.4.
+∞

Nếu
1

ω(y )
y2

dy < +∞ thì hàm trọng số ω được gọi là không tựa giải

tích, ngược lại được gọi là tựa giải tích.
Học viên: Lê Đức Tâm

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

5 / 25


Chương 1

Chương 2

Chương 3

2.2.2. Hàm siêu khả vi

Học viên: Lê Đức Tâm

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

6 / 25


Chương 1

Chương 2

Chương 3

2.2.2. Hàm siêu khả vi
Định nghĩa 2.2.8. Giả sử ω là hàm trọng số. Với mỗi tập compact
K ⊂ Rn và λ > 0, ta đưa vào định nghĩa
Eω (K , λ) := f ∈ C ∞ (K ) : f

K ,λ

ở đó
f

Học viên: Lê Đức Tâm

K ,λ

:= sup sup f (α) (x) e −λϕ

< +∞ ,
∗ (|α|/λ)

.

x∈K α

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

6 / 25


Chương 1

Chương 2

Chương 3

2.2.2. Hàm siêu khả vi
Định nghĩa 2.2.8. Giả sử ω là hàm trọng số. Với mỗi tập compact
K ⊂ Rn và λ > 0, ta đưa vào định nghĩa
Eω (K , λ) := f ∈ C ∞ (K ) : f

K ,λ

ở đó

f

K ,λ

:= sup sup f (α) (x) e −λϕ

< +∞ ,
∗ (|α|/λ)

.

x∈K α

Ta định nghĩa các không gian
E(ω) := f ∈ C ∞ (Rn ) : f
E{ω} := f ∈ C ∞ (Rn ) : ∀K

Học viên: Lê Đức Tâm

K ,λ

< +∞ ∀λ > 0, ∀K

Rn , ∃λ > 0 : f

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

K ,λ

Rn

< +∞

Hà Nội, 26-10-2016

6 / 25


Chương 1

Chương 2

Chương 3

2.2.2. Hàm siêu khả vi
Định nghĩa 2.2.8. Giả sử ω là hàm trọng số. Với mỗi tập compact
K ⊂ Rn và λ > 0, ta đưa vào định nghĩa
Eω (K , λ) := f ∈ C ∞ (K ) : f

K ,λ

ở đó
f

K ,λ

:= sup sup f (α) (x) e −λϕ

< +∞ ,
∗ (|α|/λ)

.

x∈K α

Ta định nghĩa các không gian
E(ω) := f ∈ C ∞ (Rn ) : f
E{ω} := f ∈ C ∞ (Rn ) : ∀K

K ,λ

< +∞ ∀λ > 0, ∀K

Rn , ∃λ > 0 : f

K ,λ

Rn
< +∞

Các phần tử của E(ω) được gọi là các hàm ω-siêu khả vi loại Beurling trên
Rn . Các phần tử của E{ω} được gọi là các hàm ω-siêu khả vi loại Roumieu
trên Rn . Ta kí hiệu chung các không gian trên là E∗ .
Học viên: Lê Đức Tâm

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

6 / 25

Chương 1

Chương 2

Chương 3

2.3 Phép hiệu chỉnh chính quy hóa hệ số và thiết lập các
đánh giá trung gian. Chứng minh các kết quả của tính đặt
đúng

Học viên: Lê Đức Tâm

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

7 / 25


Chương 1

Chương 2

Chương 3

2.3 Phép hiệu chỉnh chính quy hóa hệ số và thiết lập các
đánh giá trung gian. Chứng minh các kết quả của tính đặt
đúng

Với hàm a(t) như ở (2.2) và thỏa mãn
|a(t + τ ) − a(t)| ≤ M |τ | ω

1
|τ |

, M > 0, t, t + τ ∈ [0, T ], τ = 0 (2.3)

với ω là một hàm trọng số ta có Định lí sau.

Học viên: Lê Đức Tâm

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

7 / 25


Chương 1

Chương 2

Chương 3

2.3 Phép hiệu chỉnh chính quy hóa hệ số và thiết lập các
đánh giá trung gian. Chứng minh các kết quả của tính đặt
đúng
Định lí 2.3.1.
Giả sử hàm a(t) thỏa mãn các điều kiện (2.2) và (2.3) với hàm trọng số

s , u ∈ H s−1 bài toán Cauchy (2.1) có nghiệm
ω. Khi đó, với mọi u0 ∈ H(ω)
1
(ω)
s ) ∩ C 1 ([0, T ]; H s−1 )
duy nhất u ∈ C ([0, T ]; H(ω)
(ω)
ˆ C > 0 sao cho nghiệm thỏa mãn đánh giá
Hơn nữa, tồn tại các hằng số M,

u(t)

ˆ
s,λ−Mt,ω

+ ut (t)

ˆ
s−1,λ−Mt,ω

≤ C ( u0

s,λ,ω

+ u1

s−1,λ,ω )

(2.4)

ˆ và mọi t ∈ [0, T ].
với mọi λ > MT

Học viên: Lê Đức Tâm

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

8 / 25


Chương 1

Chương 2

Chương 3

2.3 Phép hiệu chỉnh chính quy hóa hệ số và thiết lập các
đánh giá trung gian. Chứng minh các kết quả của tính đặt
đúng
Chứng minh. Ta kí hiệu v (t, ξ) là phép biển đổi Fourier của u(t, x) ứng
với biến không gian x. Trong trường hợp tính liên tục Lipschitz của hệ số
a(t), tính đặt đúng trong không gian Sobolev thông thường có thể thu
được bằng phương pháp Gronwall bằng cách lấy đạo hàm của vi năng
lượng:
2
E (t, ξ) = v (t, ξ) + ξ 2 a(t)|v (t, ξ)|2 .

Học viên: Lê Đức Tâm

Người hướng dẫn: TS. Phạm Triều Dương

Hà Nội, 26-10-2016

9 / 25