Bài toán cauchy dirichlet đối với phương trình parabolic trong miền không chính quy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

TRẦN THỊ HÒA

BÀI TOÁN CAUCHY–DIRICHLET ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TRONG MIỀN
KHÔNG CHÍNH QUY

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THÀNH ANH

Hà Nội, năm 2016


MỤC

LỤC
Trang

Lời cảm ơn

0

Mở đầu

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Các không gian H m (Ω), H s (Ω) . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Các không gian phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . 10

1.1.3

Không gian H r,s (Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2

Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3

Định lý Gauss-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4

Định lý xấp xỉ miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Chương 2. Bài toán Cauchy-Dirichlet đối với phương trình
parabolic trong miền không chính quy

17

2.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2

Tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3

Nghiệm của bài toán trong miền xấp xỉ . . . . . . . . . . . 20

2.4

Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

37


Lời cảm ơn
Bằng tấm lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc, tác giả xin gửi lời cảm ơn
đến thầy giáo TS. Nguyễn Thành Anh người đã tận tình hướng dẫn tác
giả hoàn thành luận văn này. Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến tập thể
các thầy cô giáo trong khoa Toán-Tin trường Đại học sư phạm Hà Nội,
những người thầy đã trang bị cho tác giả một nền kiến thức cơ sở vững
vàng trong suốt khóa học.
Thân ái cảm ơn các bạn học viên cao học khóa 24, chuyên ngành Toán
giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội đã luôn sát cánh, giúp đỡ tác
giả trong quá trình học tập và trau dồi kiến thức cho bản thân.
Cuối cùng, tác giả dành lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè những người
đã cho nguồn động viên tinh thần rất lớn để tác giả có thể hoàn thành tốt
khóa học của mình.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót. Tác giả rất mong nhận được những góp ý quý báu từ phía thầy, cô và
các bạn đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 9 năm 2016
Trần Thị Hòa


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Các bài toán biên không dừng (hyperbolic, parabolic, . . . ) thường được

xét trên miền chính quy, nghĩa là miền không thay đổi theo thời gian.
Tuy nhiên, do nhu cầu thực tiễn, các bài toán biên đối với phương trình
không dừng trên miền thay đổi theo thời gian cũng được nhiều nhà toán
học quan tâm nghiên cứu. Miền như vậy người ta gọi là miền không chính
quy (non-regular). Có nhiều cách tiếp cận đối với những bài toán loại này.
Trong khuôn khổ đề tài luận văn, chúng tôi quan tâm đến phương pháp
xấp xỉ miền để xét phương trình parabolic trong miền không chính quy.
Bởi vậy, chúng tôi chọn đề tài “Bài toán Cauchy-Dirichlet đối với
phương trình parabolic trong miền không chính quy”, trong đó nội
dung nghiên cứu dựa trên các kết quả trong công trình [8].
Cụ thể, giả sử Ω là một tập mở trong R2 , xác định bởi

Ω = {(t, x1 ) ∈ R2 : 0 < t < T ; ϕ1 (t) < x1 < ϕ2 (t)},
trong đó T là số dương, hữu hạn; ϕ1 , ϕ2 là các hàm giá trị thực, liên tục
trên [0, T ], liên tục Lipschitz trên [0, T ] sao cho

ϕ(t) := ϕ2 (t) − ϕ1 (t) > 0, khi t ∈ [0,T].
Hàm ϕ có thể triệt tiêu tại t = 0 hoặc t = T.
Cho số dương cố định bi , với i = 1, 2, ..., N − 1. Giả sử Q là miền thuộc
không gian (N + 1) chiều, xác định bởi
N −1
i=1 (0, bi ).

Q=Ω×
1


Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tính giải được duy nhất của
phương trình parabolic với điều kiện biên Cauchy–Dirichlet


∂t u − N ∂ 2 u = f trong Q,
k=1 xk
u = 0 trên ∂Q\Γ ,
T

trong đó ΓT là phần biên của Q khi t = T và f ∈ L2 (Q).
Các giả thiết trên các hàm ϕ1 và ϕ2 là

ϕi (t)ϕ(t) −→ 0 khi t −→ 0, i = 1, 2,
ϕi (t)ϕ(t) −→ 0 khi t −→ T, i = 1, 2.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tính giải được duy nhất của bài toán Cauchy-Dirichlet đối
với phương trình parabolic trong miền không chính quy.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
1) Tìm hiểu tổng quan về bài toán;
2) Nghiên cứu các phương pháp tiếp cận đối với các bài toán biên không
dừng trên miền không chính quy, đặc biệt là phương pháp xấp xỉ
miền;
3) Vận dụng phương pháp xấp xỉ miền để nghiên cứu bài toán, thiết lập
các kết quả trung gian để nhận được kết quả mong muốn cuối cùng.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Bài toán Cauchy-Dirichlet đối với phương trình
parabolic trong miền không chính quy được phát biểu ở trên.
Phạm vi nghiên cứu: Tính giải được duy nhất của bài toán trong không
gian Sobolev.
2

5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp được sử dụng là xấp xỉ miền Q bởi một dãy miền (Qn )
có thể biến đổi được thành miền chính quy, trong đó việc thiết lập các ước
lượng đều là bước quan trọng nhất.

6. Đóng góp chính của đề tài
Chứng minh tính giải được duy nhất của bài toán Cauchy-Dirichlet đối
với phương trình parabolic trong miền không chính quy.
Hà Nội, tháng 12 năm 2015
Tác giả

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Không gian Sobolev đóng vai trò là không gian tìm nghiệm của bài toán
Cauchy-Dirichlet đối với phương trình parabolic trong miền không chính
quy. Nội dung chương này dành sự quan tâm đến các không gian Sobolev
và một vài không gian hàm được nhắc tới trong nội dung Chương 2. Bên
cạnh đó, là một số kiến thức cơ sở nhằm phục vụ cho việc trình bày các
chứng minh ở Chương 2. Hầu hết các nội dung chương này được lấy trong
các tài liệu [6] và [11] trên cơ sở thống nhất về mặt kí hiệu.

1.1

Không gian Sobolev

Một số kí hiệu

• Rn := {x = (x1 , x2 , ..., xn ) : xk ∈ R}.
• X là không gian đối ngẫu của không gian X .
• Ω là một miền trong Rn với biên ∂Ω.
• Cho một véc tơ α = (α1 , α2 , ..., αn ) trong đó α1 , α2 , ..., αn là các số
nguyên không âm và kí hiệu |α| = α1 + α2 + ... + αn . Khi đó α được
gọi là một đa chỉ số cấp α.

• Đạo hàm cấp m của hàm u(t) được kí hiệu là u(m) ,
(m)

u

4

dm u
= m.
dt


• C(Ω): Tập các hàm liên tục trên Ω.
• C k (Ω): Tập các hàm liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục đến
cấp k trên Ω.

• C ∞ (Ω): Tập các hàm khả vi vô hạn trên Ω.
• C0k (Ω): Tập các hàm khả vi liên tục đến cấp k và có giá nằm trong
Ω.
• D(Ω): Tập các hàm khả vi vô hạn và có giá compact trong Ω.
• Lloc (Ω): Tập các hàm f trên Ω sao cho với mọi tập Ω compact trong
Ω thì f khả tích trên Ω .

1.1.1

Các không gian H m (Ω), H s (Ω)

Định nghĩa 1.1 Kí hiệu Lp (Ω), 1 ≤ p < +∞ là không gian Banach bao
gồm tất cả các hàm đo được trên Ω và p khả tích, tức là
ˆ
|u(x)|p dx < +∞.
Ω

Trên Lp (Ω) trang bị chuẩn:

u

Lp (Ω)

ˆ
= ( |u(x)|p dx)1/p .
Ω

Khi p = +∞, Lp (Ω) là không gian Banach các hàm bị chặn trên Ω với
chuẩn được xác định:

u

∞,Ω

= u

= ess supx∈Ω u(x).

L∞ (Ω)

Lp (Ω), 1 ≤ p ≤ +∞ là không gian Banach. Đặc biệt, khi p = 2 thì
L2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng được xác định
ˆ
u, v L2 (Ω) =
u(x) v(x) dx.
Ω

5


Định lý 1.1 ([6]) Giả sử Ω là tập mở trong Rn , (un ) ⊂ Lp (Ω), 1 ≤ p ≤

+∞ sao cho
un −→ u trong Lp (Ω).
Khi đó, tồn tại dãy con (unk ) và hàm v ∈ Lp (Ω) thỏa mãn
(i) unk (x) −→ u(x) h.k.n. trong Ω khi n −→ ∞,
(ii) |unk (x)| ≤ v(x) h.k.n. trong Ω, với mọi n ≥ 1.
Định nghĩa 1.2 (Đạo hàm suy rộng) Giả sử u(x), v(x) ∈ L1oc (Ω) và

α ∈ N. Ta nói rằng v(x) là đạo hàm suy rộng cấp α của u(x), và viết
Dα u = v nếu:

ˆ

ˆ
|α|

v(x)Dα ϕ(x)dx,

u(x)ϕ(x)dx = (−1)
Ω

Ω

với mọi hàm thử ϕ(x) ∈ D(Ω). Trong đó, α = (α1 , α2 , ..., αn ) và |α| =

α1 + α2 + ... + αn .
Ta sẽ kí hiệu:

Dxα u = Dα u =

∂ |α| u
.
∂xα1 1 ...∂xαnn
m

Nếu α = m thì ta có thể coi Dα u là phần tử trong không gian Rn . Đặc
biệt, khi α = 1, ta coi

Du = ∇u = (

∂u
∂u ∂u
,
, ...,
).
∂x1 ∂x2

∂xn

Khi α = 2, ta coi các phần tử của D2 u được sắp trong ma trận
 2

∂ u
∂2u
∂2u
2
∂x1 ∂x2 ... ∂x1 ∂xn 
 ∂x12
2
∂2u
u 
 ∂u
... ∂x∂2 ∂x
 ∂x2 ∂x1

2
∂x22
n
D u=
.
 ...



∂2u
∂2u
∂2u

∂xn ∂x1 ∂xn ∂x2 ...
∂x2
n

Nhận xét. Đạo hàm suy rộng nếu có thì là duy nhất, sai khác trên một
tập có độ đo không. Thật vậy, giả sử u1 (x) và u2 (x) là các đạo hàm suy
rộng của hàm v(x). Khi đó,
ˆ
(u1 (x) − u2 (x))ϕ(x)dx = 0, với ∀ϕ(x) ∈ D(Ω).
Ω

6


Mặt khác, (u1 (x) − u2 (x)) ∈ L1oc (Ω) nên u1 (x) − u2 (x) = 0 h.k.n. trong

Ω, suy ra u1 (x) = u2 (x) h.k.n. trong Ω.
Từ công thức Green cổ điển suy ra một hàm f (x) có đạo hàm (theo
nghĩa cổ điển) liên tục cấp α thì nó có đạo hàm suy rộng cấp α và

∂ α1 +α2 +...+αn f
.
D f=
∂xα1 1 ...∂xαnn
α

Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo nghĩa
thông thường.
Mệnh đề 1.1 ([1]) (i) Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền

Ω thì nó cũng có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền Ω ⊂ Ω. Khi đó,
đạo hàm suy rộng trong miền Ω được gọi là thu hẹp của đạo hàm suy rộng
trong Ω vào Ω .
(ii)

Dα+β v = Dα (Dβ v);
aDα v1 + bDα v2 = Dα (av1 + bv2 ).
(iii) Đạo hàm suy rộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm.
(iii) Khác với đạo hàm cổ điển, đạo hàm suy rộng được xác định ngay với
cấp α mà không cần giả thiết các đạo hàm cấp thấp hơn tồn tại. Nói cách
khác, đạo hàm cấp thấp hơn α có thể không tồn tại nhưng đạo hàm suy
rộng cấp α vẫn tồn tại.
Định nghĩa 1.3 Cho m là một số nguyên dương, kí hiệu không gian

W m,p (Ω) là không gian Sobolev bao gồm tất cả các hàm u : Ω −→ R
sao cho u(x) ∈ Lp (Ω) và tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp α, |α| ≤ m
thuộc Lp (Ω).
Trên W m,p (Ω) trang bị chuẩn
m ˆ
u W m,p (Ω) = (
|Dα u|p dx)1/p , với 1 ≤ p < +∞,
|α|=0

u

W m,p (Ω)

Ω

= max0≤α≤m { Dα u

7

L∞ (Ω) },

với p = +∞.


W m,p (Ω), 1 ≤ p ≤ +∞ là không gian Banach.
Khi p = 2 ta kí hiệu W m,2 (Ω) = H m (Ω). Chuẩn trên H m (Ω) xác định
bởi

m

u

H m (Ω)

Dα u

=(

2
1/2
.
L2 (Ω) )

|α|=0

Hơn nữa, H m (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
m

u, v

H m (Ω)

Dα u, Dα v

=

L2 (Ω) .

|α|=0

Chú ý rằng H 0 (Ω) ≡ L2 (Ω).
Mệnh đề 1.2 ([11]) Nếu m1 > m > 0 thì ta có bao hàm thức nghiêm
ngặt sau

H m1 (Ω) ⊂ H m (Ω) ⊂ L2 (Ω) = H 0 (Ω).
Định nghĩa 1.4 Kí hiệu không gian W0m,p (Ω) là bao đóng của D(Ω) trong
không gian W m,p (Ω).
Như vậy, u(x) ∈ W0m,p (Ω) nếu tồn tại các hàm um ∈ D(Ω) sao cho

um −→ u trong W m,p (Ω). Ta coi W0m,p (Ω) như là tập hợp những hàm
u ∈ W m,p (Ω) sao cho Dα u = 0 trên ∂Ω, ∀α ≤ m − 1.
Khi p = 2, ta kí hiệu W0m,2 (Ω) = H0m (Ω).
Định lý 1.2 (Định lý thác triển [6]) Giả thiết Ω là bị chặn và ∂Ω là

C 1 , chọn một tập mở bị chặn Ω sao cho Ω ⊂⊂ Ω . Khi đó tồn tại một
toán tử tuyến tính bị chặn

E : W 1,p (Ω) −→ W 1,p (Rn ),
sao cho với mỗi u ∈ W 1,p (Ω) :
(i) Eu = u h.k.n. trong Ω;
(ii) Eu có giá trong Ω ;
(iii)

Eu

W 1,p (Rn )

≤C u
8

W 1,p (Ω) ,


hằng số C chỉ phụ thuộc vào p, Ω, Ω .

Eu được gọi là thác triển của u lên Rn .
Sau đây, nhờ có phép biến đổi Fourier ta có thể định nghĩa không gian
Sobolev H s (Rn ).
Định nghĩa 1.5 Với s là một số thực bất kì H s (Rn ) là không gian làm
đầy của D(Rn ) trong chuẩn

u

H s (Rn )

ˆ
= ( (1 + |ξ|2 )s |ˆ

u(ξ)|2 dξ)1/2
Rn

= (1 + |ξ|2 )s uˆ

L2 (Rn ) .

Trong đó, u
ˆ(ξ) là phép biến đổi Fourier của hàm u(x) trong không gian

L2 (Rn ).
Định nghĩa 1.6 Với s là một số thực bất kì, H s (Ω) là không gian hàm
xác định bởi

H s (Ω) = {u| ∃ u ∈ H s (Rn ), u|Ω = u}.
Chuẩn của H s (Ω) là tương đương với chuẩn

u

H s (Ω)

= inf { u

H s (Rn )

: u ∈ H s (Rn ), u|Ω = u}.

Nhận xét. Khi s = m là một số nguyên, H s (Ω) trùng với H m (Ω) đã biết
trước đó.
Khi Ω có biên đủ trơn ta có định lý sau

Định lý 1.3 ([11]) Giả sử Ω là tập mở, bị chặn trong Rn . Khi đó không
gian D(Ω) là trù mật trong H s (Ω).
Định nghĩa 1.7 Kí hiệu H0s (Ω) là bao đóng của D(Ω) trong không gian

H s (Ω).

9


1.1.2

Các không gian phụ thuộc thời gian

Cho X là một không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.8 Kí hiệu C([0, T ]; X) là không gian bao gồm tất cả các
hàm liên tục u : [0, T ] −→ X . Trên C([0, T ]; X) trang bị chuẩn

u

C([0,T ];X)

= max0≤t≤T u(t)

X.

Định nghĩa 1.9 Kí hiệu không gian Lp (0, T ; X) là không gian bao gồm
tất cả các hàm đo được Lebesgue u : [0, T ] −→ X sao cho

u

Lp (0,T ;X)

< +∞,

trong đó

u

Lp (0,T ;X)

ˆ
:= (

T

u(t)

0

p
1/p
X dt)

với 1 ≤ p < +∞

và

u

Lp (0,T ;X)

:= ess sup0≤t≤T u(t)

X

với p = +∞.

Lp (0, T ; X) là không gian Banach và là không gian Hilbert khi p = 2.
Không gian đối ngẫu của Lp (0, T ; X) là không gian Lq (0, T ; X ), trong
đó

1
p

+

1
q

= 1.

Sự hội tụ trong Lp (0, T ; X) được hiểu như sau
Hội tụ mạnh: un −→ u trong Lp (0, T ; X) khi và chỉ khi

un − u

ˆ

ˆ

T

un (t), v(t)
0

−→ 0 khi n −→ ∞.

u trong Lp (0, T ; X) khi và chỉ khi ∀v(t) ∈ Lq (0, T, X )

Hội tụ yếu: un
ta có

Lp (0,T ;X)

X,X

T

dt −→

u(t), v(t)
0
2

X,X

dt.

Chú ý. Không gian L2 (0, T ; H 0 (Ω)) = L (Q) = H 0 (Q).
Không gian L2 (0, T ; H 2m (Ω)) trùng với không gian các hàm u sao cho:

u ∈ L2 (0, T ; H 0 (Ω)) = L2 (Q) = H 0 (Q) và Dxα u ∈ H 0 (Q), với |α| ≤ 2m.
10


Định nghĩa 1.10 Cho m là số nguyên dương, kí hiệu H m (0, T ; X) là
không gian Sobolev bao gồm tất cả các hàm u ∈ L2 (0, T ; X) sao cho các
đạo hàm u(1) , u(2) , ..., u(m) tồn tại và thuộc L2 (0, T ; X).
Trên H m (0, T ; X) trang bị chuẩn
m

u

H m (0,T ;X)

ˆ

T

u(j) (t)

=(

2 1/2
.
X)

0

j=0

H m (0, T ; X) là không gian Hilbert với tích vô hướng
m ˆ T
u, v =
u(j) (t), v (j) (t) X dt.
0

j=0

Khi m = 0 thì H 0 (0, T ; X) ≡ L2 (0, T ; X).

1.1.3

Không gian H r,s (Q)

Giả sử 0 < T < ∞, kí hiệu

Q = (0, T ) × Ω = {(t, x) : t ∈ (0, T ); x ∈ Ω}
gọi là trụ trong Rn+1 với đáy Ω, chiều cao T .
Định nghĩa 1.11 (i) Kí hiệu C k (Q) là tập hợp các hàm u : Q −→ R có
đạo hàm đến cấp k trong Q, liên tục trên Q.
(ii) Kí hiệu C ∞ (Q) là tập hợp các hàm thuộc C k (Q), k = 1, 2, ...
Không gian H 0,1 (Q).

H 0,1 (Q) = {u(t, x) ∈ L2 (Q) : Dx u ∈ L2 (Q)}.
Chuẩn trên H 0,1 (Q) được xác định
ˆ Tˆ
u =(
(|u|2 + |∇u|2 )dxdt)1/2 .
0

Ω

Không gian H 1,1 (Q).

H 1,1 (Q) = {u(t, x) ∈ L2 (Q) :

∂u
∈ L2 (Q); Dx u ∈ L2 (Q)}.
∂t

11


Chuẩn trên H 1,1 (Q) được xác định
ˆ Tˆ
∂u
u =(
(|u|2 + |∇u|2 + | |2 )dxdt)1/2 .
∂t
0
Ω
Không gian H 1,2 (Q).

H 1,2 (Q) = {u(t, x) ∈ L2 (Q) :

∂u
; Dx u; Dx2 u ∈ L2 (Q)}.
∂t

Chuẩn trên H 1,2 (Q) được xác định
ˆ Tˆ
∂u
u =(
(|u|2 + |∇u|2 + |Dx2 u|2 + | |2 )dxdt)1/2 .
∂t
0
Ω
Định nghĩa 1.12 Cho r, s là hai số thực không âm, định nghĩa

H r,s (Q) := H 0 (0, T ; H s (Ω)) ∩ H r (0, T ; H 0 (Ω)).
Trên H r,s (Q) trang bị chuẩn
ˆ T
(
u(t) 2H s (Ω) dt + u
0

2
1/2
,
H r (0,T ;H 0 (Ω)) )

trong đó

H 0 (0, T ; H s (Ω)) = L2 (0, T ; H s (Ω));
H r (0, T ; H 0 (Ω)) = H r (0, T ).

Định lý 1.4 ([11]) Không gian H r,s (Q) là không gian được hạn chế tới

Q các phần tử của H r,s (Ω × R).

Mệnh đề 1.3 ([11]) Nếu u ∈ H r,s (Q) với r, s > 0, j, k là các số nguyên
sao cho

j k
1 − ( + ) ≥ 0.
r s

Ta có

Dxj
với

∂k
u ∈ H µ,ν (Q),
k
∂t

µ ν
j k
= = 1 − ( + ).
r
s
r s
12


Định lý 1.5 ([10]) Nếu Ω là miền bị chặn với biên đủ trơn thì D(Q) là
trù mật trong H r,s (Q).

1.2

Một số bất đẳng thức

Bất đẳng thức Young
Cho 1 < p, q < ∞, p1 +

1
q

= 1. Khi đó

ap b q
+ với a, b > 0.
ab ≤
p
q
Bất đẳng thức Young với

ab ≤ ap + C( )bq , với a, b, > 0,
trong đó C( ) = ( p)−q/p q −1 .
Bất đẳng thức Holder
Cho 1 ≤ p, q ≤ ∞, p1 + 1q = 1, khi đó nếu u ∈ Lp (Ω), v ∈ Lq (Ω) thì
ˆ
|uv|dx ≤ u Lp (Ω) v Lq (Ω) .
Ω

Bất đẳng thức Holder dạng tổng quát
Cho 1 ≤ p1 , ..., pm ≤ ∞, p11 + p12 + ... + p1n = 1 và giả thiết uk ∈ Lpk (Ω), k =

1, 2, ..., m. Khi đó

ˆ

m

|u1 ...um |dx ≤
Ω

uk

Lpk (Ω) .

k=1

Bất đẳng thức Poincare
Giả sử Ω là tập mở, bị chặn liên thông của Rn với ∂Ω là C 1 , 1 ≤ p ≤ ∞.
Khi đó tồn tại hằng số C chỉ phụ thuộc vào n, p, Ω sao cho

u − (u)Ω

Lp (Ω)

≤ C Du

Lp (Ω) ,

với mọi u ∈ W 1,p (Ω), trong đó
˛
(u)Ω :=
udy := trung bình của U trên Ω.
Ω

13


1.3

Định lý Gauss-Green

Định nghĩa 1.13 (i) Nếu ∂Ω là C 1 thì dọc theo ∂Ω xác định một trường
véc tơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài. Pháp tuyến đơn vị tại một điểm
bất kì x0 ∈ ∂Ω là ν(x0 ) = (ν1 , ν2 , ..., νn ) = ν .
¯ , ta gọi
(ii) Cho u ∈ C 1 (Ω)
∂u
:= νDu
∂ν
là đạo hàm pháp tuyến hướng ra ngoài của u.
Định lý 1.6 (Công thức tích phân từng phần) Giả sử Ω ⊂ Rn là
miền bị chặn với biên ∂Ω. Với x0 ∈ ∂Ω ta kí hiệu ν(x0 ) = (ν1 , ν2 , ..., νn )
là véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị tại x0 , dσ(x) là phần tử diện tích của
¯ ta có công thức tích phân từng
∂Ω. Khi đó, ∀u(x), v(x) ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω)
phần sau

ˆ

∂u
vdx = −
Ω ∂xi

ˆ

∂v
u
dx +
Ω ∂xi

ˆ

uvνi dσ,
∂Ω

i = 1, 2, ..., n.
¯ ,
Bổ đề 1.1 (Công thức Green thứ nhất) Giả sử u(x) ∈ C 2 (Ω)∩C 0 (Ω)
¯ . Khi đó, ta có công thức Green thứ nhất
v(x) ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω)
ˆ
ˆ
ˆ
∂u
v∆udx + ∇u∇vdx =
v dσ,
Ω
Ω
∂Ω ∂ν
trong đó
n

∆u =

i=1

∇u = (

∂ 2u
;
∂x2i

∂u ∂u
∂u
,
, ...,
) = Du.
∂x1 ∂x2
∂xn

Chứng minh. Ta có
ˆ

ˆ

v

v∆udx =
Ω

n

Ω

i=1

14

∂ ∂u
(
)dx
∂xi ∂xk


ˆ
n
∂u
∂u ∂v
dx +
νi )dσ
=−
v(
∂x
i
∂Ω
Ω i=1 ∂xi ∂xi
i=1
ˆ
ˆ
∂u
= − ∇u∇vdx +
v dσ.
Ω
∂Ω ∂ν

ˆ

n

Bổ đề 1.2 (Công thức Green thứ hai) Giả sử u(x), v(x) ∈ C 2 (Ω) ∩
¯ . Khi đó, ta có công thức Green thứ hai
C 0 (Ω)
ˆ
ˆ
∂v
∂u
(v∆u − u∆v)dx =
− u )dσ.
(v
∂ν
Ω
∂Ω ∂ν
Chứng minh. Theo công thức Green thứ nhất, ta có
ˆ
ˆ
ˆ
∂u
v∆udx + ∇u∇vdx =
v dσ;
Ω
Ω
∂Ω ∂ν
ˆ
ˆ
ˆ

∂v
u∆vdx + ∇v∇udx =
u dσ.
Ω
Ω
∂Ω ∂ν
Trừ các vế của hai đẳng thức trên ta được:
ˆ
ˆ
∂u
∂v
(v∆u − u∆v)dx =
(v
− u )dσ.
∂ν
Ω
∂Ω ∂ν

¯ , khi đó
Định lý 1.7 (Định lý Gauss-Green [3]) Giả sử u ∈ C 1 (Ω)
ˆ
ˆ
uxi dx =
uνi dσ,
Ω

∂Ω

với i = 1, 2, ..., n.

1.4

Định lý xấp xỉ miền

Định nghĩa 1.14 Cho Ω là miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω. Ta nói
rằng biên ∂Ω là thuộc lớp C k nếu với mỗi điểm x0 ∈ ∂Ω tồn tại một lân
cận Ux0 của điểm x0 trong Rn sao cho ∂Ω ∩ Ux0 nằm trên siêu mặt

xi = f (x1 , ..., xi−1 , xi+1 , ..., xn ),
15


với f ∈ C k (G), trong đó G là miền biến thiên của các đối số

x1 , ..., xi−1 , xi+1 , ..., xn
(ta có thể đổi tọa độ nếu cần thiết). Ta nói biên ∂Ω trơn nếu ∂Ω thuộc
lớp C ∞ .
Định lý 1.8 (Xấp xỉ miền [2]) Giả sử Ω là miền tùy ý, bị chặn trong
Rn . Khi đó, tồn tại một dãy miền Ω , > 0 sao cho

Ω = {x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) > }
và

lim Ω = Ω, nghĩa là lim µ(Ω\Ω ) = 0,
−→0

−→0

với ∂Ω trơn.

16


Chương 2
Bài toán Cauchy-Dirichlet đối với
phương trình parabolic trong miền
không chính quy
2.1

Phát biểu bài toán

Giả sử Ω là một tập mở trong R2 , xác định bởi

Ω = {(t, x1 ) ∈ R2 : 0 < t < T ; ϕ1 (t) < x1 < ϕ2 (t)},
trong đó T là số dương, hữu hạn; ϕ1 , ϕ2 là các hàm giá trị thực, liên tục
trên [0, T ], liên tục Lipschitz trên [0, T ] sao cho

ϕ(t) := ϕ2 (t) − ϕ1 (t) > 0, khi t ∈ [0,T].
Hàm ϕ có thể triệt tiêu tại t = 0 hoặc t = T .
Trong luận văn này, chúng tôi giả thiết các hàm ϕ1 và ϕ2 thỏa mãn

ϕi (t)ϕ(t) −→ 0 khi t −→ 0, i = 1, 2,

(2.1)

ϕi (t)ϕ(t) −→ 0 khi t −→ T, i = 1, 2.

(2.2)

Cho các số dương cố định bi , với i = 1, 2, ..., N − 1. Giả sử Q là miền

thuộc không gian (N + 1) chiều, xác định bởi

Q=Ω×

N −1
i=1 (0, bi ).

17


Xét bài toán

∂t u − N ∂ 2 u = f trong Q,
k=1 xk
u = 0 trên ∂Q\Γ ,
T

(2.3)

trong đó ΓT là phần biên của Q khi t = T và f ∈ L2 (Q).
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tính giải được duy nhất của
bài toán (2.3) trong không gian Sobolev

H01,2 (Q) = {u ∈ H 1,2 (Q) : u|∂Q\ΓT = 0},
với

H 1,2 (Q) = {u ∈ L2 (Q) : ∂t u ∈ L2 (Q); ∂xi11 ∂xi22 ...∂xiNN ∈ L2 (Q);
1 ≤ i1 + i2 + ... + iN ≤ 2}.

Định nghĩa 2.1 Nghiệm mạnh của bài toán (2.3) là hàm u thuộc không

gian H01,2 (Q) và thỏa mãn
N

∂x2k u = f với h.k.n. (t, x) ∈ Q.

∂t u −
k=1

2.2

Tính duy nhất nghiệm

Định lý 2.1 Nghiệm của bài toán (2.3) là duy nhất.
Chứng minh. Giả sử rằng u1 , u2 ∈ H01,2 (Q) là hai nghiệm của bài toán
(2.3). Đặt u(t, x) = u1 − u2 thì u(t, x) ∈ H01,2 (Q) và thỏa mãn

∂t u − N ∂ 2 u = 0 trong Q,
k=1 xk
u = 0 trên ∂Q\Γ .
T

Giả sử ν = (νt , νx1 , νx2 , ..., νxN ) là véc tơ pháp tuyến đơn vị ngoài trên ∂Q.
Ta có
ˆ

ˆ

u∂t udtdx1 dx2 ...dxN = −
Q

ˆ

|u|2 νt dσ.

u∂t udtdx1 dx2 ...dxN +
Q

∂Q

18


ˆ

Suy ra

1
u∂t udtdx1 dx2 ...dxN =
2
Q

ˆ

|u|2 νt dσ.
∂Q

Mặt khác, có
ˆ

ˆ

N

Q k=1

u∂x2k udtdx1 dx2 ...dxN

ˆ
2

=−

|∇u| dtdx1 dx2 ...dxN +
Q

u
∂Q

ˆ

ˆ

|∇u|2 dtdx1 dx2 ...dxN +

=−
Q

∂u
dσ
∂ν

u∇uνdσ.
∂Q

Như vậy,
ˆ

ˆ

N

∂x2k u)udtdx1 dx2 ...dxN

(∂t u −
Q

k=1

ˆ

n

1
u∂xk uνxk )dσ
=
( |u|2 νt −
∂Q 2
k=1

(|∂x1 u|2 + |∂x2 u|2 + ... + |∂xN u|2 )dtdx1 dx2 ...dxN .

+
Q

Do điều kiện biên nên
ˆ

n

u∂xk uνxk dσ = 0.
∂Q k=1

Mặt khác,
ˆ

ˆ

|u| νt dσ =
∂Q

ˆ

bN −1

2

b1

ˆ

ϕ2 (T )

...
0

0

|u|2 dx1 dx2 ...dxN .

ϕ1 (T )

Do đó,
ˆ

N

∂x2k u)udtdx1 ...dxN

(∂t u −
Q

k=1

1
=
2

ˆ

ˆ

bN −1

b1

ˆ

ϕ2 (T )

...
0

0

|u|2 dx1 ...dxN

ϕ1 (T )

ˆ

(|∂x1 u|2 + |∂x2 u|2 + ... + |∂xN u|2 )dtdx1 ...dxN .

+
Q

Từ phương trình ta có
ˆ

N

∂x2k u)udtdx1 dx2 ...dxN = 0

(∂t u −
Q

k=1

19


ˆ

nên

(|∂x1 u|2 + |∂x2 u|2 + ... + |∂xN u|2 )dtdx1 dx2 ...dxN = 0,
Q

bởi vì

1
2

ˆ

ˆ

bN −1

b1

ˆ

ϕ2 (T )

...
0

0

|u|2 dx1 dx2 ...dxN ≥ 0.

ϕ1 (T )

Điều này có nghĩa rằng

|∂x1 u|2 + |∂x2 u|2 + ... + |∂xN u|2 = 0 trên Q,
và do đó

∂x21 u = ∂x22 u = ... = ∂x2N u = 0.
Khi đó, do
N

∂x2k u = 0

∂t u −
k=1

nên ∂t u = 0. Vậy u là hằng số. Điều kiện biên cho ta khẳng định u = 0
trong Q.
Định lý được chứng minh.

2.3

Nghiệm của bài toán trong miền xấp xỉ

Trước khi chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.3), chúng ta
cần có một kết quả về tính giải được duy nhất của bài toán (2.3) khi Q có
thể biến đổi vào trong một trụ Pα nhờ một phép biến đổi ψ , với điều kiện
giả thiết rằng ϕ(0) > 0 và ϕ(T ) > 0. Cụ thể, ở phần này chúng ta thay
miền Q bởi

1
1
Qα = {(t, x1 ) ∈ R : < t < T − ; ϕ1 (t) < x1 < ϕ2 (t)} ×
α
α

N −1

2

với α > 0. Do đó ϕ( α1 ) > 0 và ϕ(T − α1 ) > 0.

20

(0, bi ),
i=1


Định lý 2.2 Bài toán


∂t u − N ∂ 2 u = f trong Qα ,
k=1 xk
u = 0 trên ∂Q \Γ 1 ,
α
T−α
có một nghiệm duy nhất u ∈ H01,2 (Qα ). Trong đó, ΓT − α1 là phần biên của

Qα khi t = T −

1
α

và f ∈ L2 (Qα ).

Chứng minh. Trước khi chứng minh định lý, chúng ta chú ý rằng Định
lý 2.2 có thể được phát biểu theo một cách khác về sự tồn tại một phép
đồng phôi giữa hai không gian Hilbert H01,2 (Qα ) và L2 (Qα ) [11].
Ta có thể tìm một ánh xạ đổi biến ψ biến đổi Qα vào trong trụ

1
1
Pα = ( , T − ) × (0, 1) ×
α
α

N −1

(0, bi ).
i=1

Ánh xạ đổi biến xác định bởi

ψ : Qα −→ Pα
(t, x1 , x2 , ..., xN ) → (t, y1 , y2 , ..., yN ) = (t,

x1 − ϕ1 (t)
, x2 , ..., xN ).
ϕ(t)

Đặt

v(t, y1 , y2 , ..., yN ) = u(t, x1 , x2 , ..., xN ),
g(t, y1 , y2 , ..., yN ) = f (t, x1 , x2 , ..., xN ).
Khi đó, bài toán (2.3) được biến đổi trong Pα như sau

∂t v + a(t, y1 )∂y v − c(t)∂ 2 v − N ∂ 2 v = g trong Pα ,
y1
1
k=2 yk
v = 0 trên ∂P \
1,
α

trong đó

T − α1

T−α

là phần biên của Pα khi t = T − α1 ,

a(t, y1 ) = −

(ϕ (t)y1 + ϕ1 (t))
1
; c(t) = 2 .
ϕ(t)
ϕ (t)
21


Sự đổi biến này của các biến bảo tồn các không gian H 1,2 (Q) và L2 (Q).
Nói cách khác

f ∈ L2 (Qα ) ⇔ g ∈ L2 (Pα );
u ∈ H 1,2 (Qα ) ⇔ v ∈ H 1,2 (Pα ).
Bây giờ ta sẽ chứng minh toán tử
N

L = ∂t −

c∂x21

∂x2k

−
k=2

là một phép đồng phôi từ H01,2 (Pα ) vào L2 (Pα ), với

H01,2 (Pα ) = {u ∈ H 1,2 (Pα ) : u|∂Pα \

1
T −α

= 0}.

Xét bài toán

∂t u − c∂ 2 u − N ∂ 2 u = g trong Pα ,
x1
k=2 xk
u = 0 trên ∂P \
α
T− 1 .

(2.4)

α

Ta biết rằng với ∀g ∈ L2 (Pα ), tồn tại duy nhất u ∈ H01,2 (Pα ) là nghiệm
của bài toán (2.4). Hơn nữa, bất đẳng thức sau đây thỏa mãn

u

H 1,2 (Pα )

≤C g

L2 (Pα ) ,

với hằng số C không phụ thuộc vào g và u (xem, chẳng hạn, LadyzhenskayaSolonnikov-Ural’tseva [10]). Từ đó suy ra toán tử L là một đồng phôi từ

H01,2 (Pα ) vào L2 (Pα ).
Đến đây, xét toán tử
N

L = ∂t + a∂y1 −

c∂y21

∂y2k .

−
k=2

Khi đó,

L = L + a∂y1 ,
L là một phép đồng phôi từ H01,2 (Pα ) vào L2 (Pα ) nên nó là toán tử
Fredholm với chỉ số không. Mặt khác, ta biết rằng a∂y1 là toán tử compact
22