Sáng kiến kinh nghiệm một số sai lầm thường gặp của học sinh khi học chủ đề đại số tổ hợp và cách khắc phục

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI HỌC
CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ CÁCH KHẮC PHỤC"

-1-


PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài
Lý thuyết về đại số tổ hợp được hình thành từ rất sớm trong lịch sử phát triển của
Toán học, là một công cụ để nghiên cứu xác suất, giải quyết nhiều bài toán trong thực tế.
Nó góp phần bồi dưỡng tư duy logic cho học sinh. Vì vậy, việc dạy học nội dung chủ đề
Đại số tổ hợp ở trường phổ thông có một ý nghĩa rất lớn.
Thực tế cho thấy học Toán tổ hợp luôn là việc khó đối với học sinh. Học sinh
thường phân vân khi sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân hay thường nhầm lẫn trong việc
dùng công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp… Để dạy học phần Đại số tổ hợp có hiệu quả
đòi hỏi người giáo viên phải đề ra được những biện pháp hợp lý về cách chọn nội dung
và phương pháp: Dạy cái gì? Dạy như thế nào để học sinh tiếp thu bài giảng một cách có
hiệu quả, làm thế nào để học sinh không bị nhầm lẫn kiến thức khi làm bài tập?... là
những vấn đề được nhiều người quan tâm và nghiên cứu.
Chính từ các yêu cầu cấp bách và nhận thức trên đây, tôi chọn đề tài nghiên cứu là:
“Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi học chủ đề Đại số tổ hợp và cách khắc
phục”.
2. Mục đích nghiên cứu.
Tìm hiểu khó khăn của học sinh khi giải toán tổ hợp, phân tích các sai làm phổ biến
và nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh trung học phổ thông. Từ đó nghiên cứu, đề
xuất một số cách sửa chữa, khắc phục sai lầm cho học sinh khi giải toán tổ hợp, góp phần
nâng cao chất lượng dạy học môn toán trong trường trung học phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.

Nhiệm vụ nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm bao gồm:
-2-


3.1. Bước đầu làm sáng tỏ một số khó khăn và sai lầm của học sinh trong quá trình
học Đại số tổ hợp.
3.2. Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm.
3.3. Nghiên cứu và đề xuất một số vấn đề cơ bản về cách khắc phục sai lầm.
3.4. Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm chức tính khả thi và hiệu quả của
những đề xuất.
3.5. Đưa ra những kết luận cần thiết.
4. Phương pháp nghiên cứu.
4.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, những tài liệu về phương pháp
dạy học toán, các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, các công trình nghiên cứu có liên
quan đế đề tài của một số tác giả, các sách tham khảo…
4.2. Điều tra tìm hiểu: Tiến hành tìm hiểu về các số liệu thông qua giáo viên toán ở
các trường phổ thông, qua bài kiểm tra học sinh trung học phổ thông Đặng thai Mai.
4.3. Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm một số tiết ở trường trung học
phổ thông Đặng Thai Mai.

PHẦN 2 : NỘI DUNG
NỘI DUNG: MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ
HỢP VÀ CÁCH KHẮC PHỤC.
1.1. Thực trạng học chủ đề Đại số Tổ Hợp của học sinh THPT hiện nay.

-3-


Chúng tôi đã tiến hành khảo sát thực trạng kết quả học chủ đề Đại số Tổ hợp của
100 học sinh lớp 11 – Ban nâng cao trường THPT Đặng Thai Mai với hình thức ra bài

kiểm tra tự luận (thời gian: 20 phút)
Đề kiểm tra
1. Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá, 8 học sinh trung bình.
Có bao nhiêu cách chia 16 học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người, sao cho mỗi tổ đều có
học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá?
(Đáp án: 3780 cách)
2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số phân biệt sao cho tổng các chữ số là một
số chẵn?
(Đáp án: 64800 số)
*Chúng tôi trình bày một số lời giải sai của học sinh :
Câu 1:
- Lời giải 1:
Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên có 1 học sinh giỏi, tổ kia có 2 học sinh
giỏi. Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi. Số cách thành lập tổ A chính là số cách chia tổ thoả
mãn yêu cầu bài toán. Có 2 trường hợp chọn tổ A:
Trường hợp 1: Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A
trong trường hợp này là:
A13.A25.A58 = 403200 cách
Trường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A
trong trường hợp này là:
-4-


A13.A35.A48 = 302400 cách
Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là:
403200 + 302400 = 705600 cách
Nhận xét: Học sinh không nắm vững khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp nên đã sử dụng
sai công thức.
- Lời giải 2:
Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên 1 tổ có 1 học sinh giỏi, tổ kia có 2 học

sinh giỏi. Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi. Số cách thành lập tổ A chính là số cách chia tổ
thoả mãn yêu cầu bài toán. Có 2 trường hợp chọn tổ A:
Trường hợp 1: Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A
trong trường hợp này là:
A13+A25+A58= 6743 cách
Trường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A
trong trường hợp này là:
A13 + A35 + A48 = 1743 cách
Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là:
6743 + 1743 = 8486 cách
Nhận xét: Học sinh sử dụng sai quy tắc.
- Lời giải 3:
Mỗi cách chọn thành viên tổ 1 chính là cách chọn thành viên tổ 2. Như vậy ta chỉ
cần xét cho tổ 1. Có 2 trường hợp:

-5-


Trường hợp 1: 1 học sinh giỏi xảy ra 2 khả năng:
* Khả năng 1: 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Có:
C13.C25.C58 = 1680 cách
* Khả năng 2: 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Khả năng này có:
C13.C35.C48 = 2100 cách
Trường hợp 2: 2 học sinh giỏi. Có 2 khả năng:
* Khả năng 1: 2 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Khả năng này có:
C23.C25.C48 = 2100 cách
* Khả năng 2: 3 học sinh khá và 3 học sinh trung bình. Khả năng này có:
C23.C35.C38 = 1680 cách
Theo quy tắc cộng ta có kết quả là:
1680 + 2100 + 1680 + 2100 = 7560 cách

Nhận xét: Học sinh phân chia trường hợp riêng chưa chính sác dẫn đến lặp. Do 2 tổ
bình đẳng với nhau nên các cách xếp tổ 1 ở trường hợp 2 chính là các cách xếp tổ 2 ở
trường hợp 1.
- Lời giải đúng là:
Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên 1 tổ có 1 học sinh giỏi, tổ kia có 2 học
sinh giỏi. Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi. Số cách thành lập tổ A chính là số cách chia tổ
thoả mãn yêu cầu bài toán. Có 2 trường hợp chọn tổ A:
Trường hợp 1: Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A
trong trường hợp này là:

-6-


C13.C25.C58 = 1680 cách
Trường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Số cách chọn tổ A
trong trường hợp này là:
C13.C35.C48 = 2100 cách
Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là:
1680 + 2100 = 3780 cách
Câu 2:
- Lời giải 1:
Số có 6 chữ số thoả mãn: Tổng các chữ số là một số chẵn có thể xảy ra ở hai trường
hợp:
Trường hợp 1: Có 2 chữ số lẻ, 4 chữ số chẵn có C25.C45.6! số.
Trường hợp 2: Có 4 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn có C45.C25.6! số.
Trong đó số các số có 6 chữ số mà chữ số 0 đứng đầu là:
A59 = 15120 số.
Vậy kết quả của bài toán là:
C25.C45.6! – 15120 = 56880 số.
Nhận xét: Thực tế học sinh phân chia số có 6 chữ số mà tổng các chữ số là một số

chẵn gồm hai tập hợp. Giả sử:
A: Gồm các số có 6 chữ số có tổng các chữ số là số chắn.
B: Gồm các số có 6 chữ số và có chữ số 0 đứng đầu.
C: Gồm các chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán.
-7-


Nhận thấy rằng: Bø
(Vì xét một số ở tập B có 0 đứng đầu nhưng tổng các chữ số còn lại không phải là
số chẵn suy ra nó không thuộc tập A). Từ đó dẫn đến sai lầm trong kết quả.
- Lời giải 2:
Gải sử số cần tìm là a1a2a3a4a5a6
a1 + a2 +a3 +a4 +a5 + a6 là số chẵn xảy ra 2 trường hợp :
Trường hợp 1 : Có 2 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn ta được :
C25.C45.6 ! = 36000 số
Trường hợp 2 : Có 4 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn ta được :
C45.C25.6 ! = 36000 số
Vậy số số tự nhiên cần tìm có 6 chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán là :
36000 + 36000 = 72000 số
Nhận xét : Học sinh nắm chưa chính xác khái niệm cơ bản toán học nên đã không
trừ đi những số có 6 chữ số phân biệt có chữ số 0 đứng đầu.
- Lời giải đúng là :
Giả sử số cần tìm là a1a2a3a4a5a6
a1 + a2 +a3 +a4 +a5 + a6 là số chẵn xảy ra 2 trường hợp :
Trường hợp 1 : Có 2 chữ số lẻ, 4 chữ số chẵn ta được :
C25.C45.6 ! - C25.C34.5 ! = 31200 số
Trường hợp 2 : Có 4 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn ta được :
C45.C25.6 ! – C45.C14.5 ! = 33600 số
-8-

Vậy số số tự nhiên cần tìm có 6 chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán là :
31200 + 33600 = 64800 số
*Một số sai lầm mà học sinh có thể mắc phải trong đề kiểm tra trên :
Sai lầm 1 : Nhớ lẫn lộn giữa công tác tính số tổ hợp và số chỉnh hợp .
Sai lầm 2 : Sử dụng sai quy tắc .
Sai lầm 3 : Phân chia trường hợp riêng chưa đúng dẫn đến lặp.
Sai lầm 4 : Không biết phối hợp giữa các công thức, quy tắc.
Sai lầm 5 : Hiểu sai khái niên cơ bản của toán học .
* Kết quả :
Quan thực tế chúng tôi thấy số học sinh mắc sai lầm khi giải bài tập về chủ đề ”Đại
số tổ hợp” khá nhiều, kể cả một số học sinh khá trong lớp. Đa số học sinh mắc sai lầm
trong việc vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân, phân chia trường hợp riêng.
Qua đó cho thấy trình độ giải toán của học sinh còn yếu. Câu hỏi đặt ra là
trong khi học chủ đề ”Đại số tổ hợp” học sinh có thể mắc những sai lầm nào ? Cách hạn
chế và khắc phục sai lầm cho học sinh ra sao để nâng cao hiệu quả cho việc dạy học chủ
đề Đại Số Tổ Hợp nói riêng và nâng cao chất lượng dạy học môn toán nói chung.
2.2. Một số sai lầm phổ biến của học sinh khi học chủ đề Đại Số Tổ Hợp.
2.2.1. Sai lầm do hiểu sai khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp...
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: ”Định nghĩa một khái niệm là một thao tác tư duy
nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này và các đối tượng khác, thường
bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó”. Trong quá trình học chủ đề Đại Số Tổ
Hợp, nhiều học sinh vẫn chưa hiểu được bản chất của khái niệm tổ hợp nên thường nhầm
-9-


lẫn giữa ký hiệu của đối tượng và đối tượng được định nghĩa. Theo A.A.Stôliar thì không
ít học sinh còn yếu trong việc nắm vững cú pháp của ngôn ngữ toán học, học sinh hay
nhầm giữa lý hiệu với khái niệm được định nghĩa…
Ví dụ 1 :

Học sinh thường phát biểu : ‘Tổ hợp chập k của n là C kn ’’ mà phát biểu đúng là:
‘Số tổ hợp chập k của n là Ckn’’ hoặc ‘Chỉnh hợp chập k của n là Akn ’’ mà phát biểu
đúng là: ‘Số chỉnh hợp chập k của n phân tử là Akn ” .
Cũng có những học sinh áp dụng công thác rất thành thạo nhưng lại không hiểu ý
nghĩa của công thức.
Ví dụ 2 :
Khi gặp bài tập chứng minh Cnn-k = Ckn.
Học sinh dế dàng làm được bằng cách áp dụng trực tiếp công thức :
Ck n =

n!
(n − k )! k !

Tuy nhiên ít học sinh chứng minh được dựa vào định nghĩa của C kn, học sinh không
hiểu được bản chất tập X gồm n phần tử có bao nhiêu tập con gồm k (k ≤ n) phần tử thì
sẽ có bấy nhiêu tập con gồm (n-k) phần từ.
Do không hiểu rõ khái niệm nên học sinh thươừng nhầm lẫn khi sử dụng quy tắc
cộng và quy tắc nhân.
Quy tắc cộng: ‘’Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A
hoặc phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B.
Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n+m cách”.

- 10 -


Quy tắc nhân: ‘Giả sử một công việc nào đó bao gồm 2 công đoạn A và B. Công
đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có
thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách”.
Hai khái niệm nếu không được giải thích rõ ràng thì dễ làm học sinh nhầm lẫn cụm
từ ‘một trong hai phương án” và ‘’ hai công đoạn liên liếp”… gây ra sai lầm trong giải

toán.
Ví dụ 3 :
Lớp 11A có 40 học sinh, trong đó có 20 học sinh nam. Có bao nhiêu cách bầu ra
ban cán sự lớp gồm hai bạn: 1 nam và 1 nữ?
♠. Học sinh giải như sau:
Số học sinh nữ là: 40 – 20 = 20 (học sinh).
Vận dụng quy tắc cộng ta có :
20 + 20 = 40 cách.
♠. Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh đã không hiểu rõ khái niệm vì khi chọn ra hai bạn: 1 nam, 1 nữ là ta đã
thực hiện hai hành động liên tiếp chọn 1 bạn nam và sau đó chọn 1 bạn nữ (hoặc ngược
lại), hai hành động này phụ thuộc nhau (ứng với mỗi cách chọn 1 bạn nam có 20 cách
chọn ra bạn nữ).
♠. Lời giải đúng là:
Số học sinh nữ trong lớp là:
40 – 20 = 20 (học sinh)
Việc chọn ban cán sự được chia làm hai công đoạn:
- 11 -


Công đoạn 1: Chọn 1 bạn nam có 20 cách.
Công đoạn 2: Ứng với mỗi cách chọn 1 bạn nam có 20 cách chọn 1 bạn nữ.
Vận dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn ra ban cán sự gồm một bạn nam và 1 bạn
nữ là:
20.20 = 400 (cách chọn)
Khi giải các bài toán liên quan đến chỉnh hợp, tổ hợp nhiều học sinh vẫn chưa hiểu
rõ được khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp.
Dịnh nghĩa chỉnh hợp: ‘‘Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) và số nguyên k với
1≤ k ≤ n. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự,ta được một chỉnh
hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A)”.

Định nghĩa tổ hợp: ‘‘Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với
1≤ k ≤ n . Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phẩn tử
của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A)”.
Do học sinh không nắm vững khái niệm nên khi sử dụng công thức tính số tổ hợp,
số chỉnh hợp thường xảy ra nhầm lẫn.
Ví dụ 4 :
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt ?
♠. Học sinh giải như sau:
Giả sử a1a2a3 là số thoả mãn yêu cầu bài toán suy ra a1 ≠ 0. Tổng số cách chọn 3
chữ số trong 10 chữ số từ 0 đến 9 là C 310, trong đó số cách sắp xếp a1 = 0 là C29. Do đó kết
quả của bài toán là:
C310 – C29 = 84
- 12 -


♠. Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh chưa nắm được chỉnh hợp là một tập con gồm k phần tử sắp thứ tự trong
khi bài toán này với 3 chữ số a1a2a3 phân biệt có 6 cách xếp thành những số khác nhau
(chẳng hạn a1a2a3 ≠ a1a2a3 ).
♠. Lời giải đúng là:
Giả sử a1a2a3 là số thoả mãn yêu cầu bài toán suy ra a 1 ≠ 0, ứng với mỗi cách sắp
xếp cho ta một số duy nhất. Tổng số cách sắp xếp 3 chữ số trong 10 chữ số từ 0 đến 9 là
A310, trong đó số cách sắp xếp a1 = 0 là A29. Do đó kết quả của bài toán là :
A310 – A29 = 648 (số)
Ví dụ 5:
Trong một buổi giao lưu kết bạn có 9 nữ và 7 nam. Người ta tổ chức cuộc chơi gồm
3 cặp thi với nhau, mỗi cặp có 1 nam và 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra cặp để tham
gia trò chơi?
♠. Học sinh giải như sau:
Mỗi cách sắp xếp thứ tự 3 bạn nam trong 7 bạn nam là một chỉnh hợp chập 3 của 7,

nên số các chọn 3 nam có thứ tự là A 37 = 210 cách. Tương tự số cách chọn 3 nữ có thứ tự
là: A39 = 504 cách. Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn 3 cặp để tham gia trò chơi là:
A13.A35 = 210.504 = 105840 (cách)
♠. Sai lầm học sinh mắc phải:
Việc sắp xếp thứ tự 3 nam và 3 nữ dẫn đến việc lặp lại. Giả sử 3 bạn nam xếp thứ
tự là A,B,C ghép với 3 nữ theo thứ tự a, b, c. Ta có 3 cặp (A,a), (B,b), (C,c). Nếu lấy thứ
tự khác của 3 nam là B,C,A và 3 nữ là b,c,a thì ta cũng có 3 cặp (B,b), (C,c), (A,a) giống

- 13 -


trước. Như vậy trong bài toán này ta phải dùng công thức tính số tổ hợp chứ không dùng
công thức tính số chỉnh hợp.
♠. Lời giải đúng là:
Xem việc lập 3 cặp để tham gia trò chơi gồm 3 công đoạn:
Công đoạn 1: Chọn 3 học sinh nam. Số cách chọn là:
C13 = 35 cách
Công đoạn 2: Chọn 3 học sinh nữ. Số cách chọn là:
C39 = 84 cách
Công đoạn 3: Sắp xếp 6 bạn trên thành 3 đôi nam nữ. Có 3! Cách xếp.
Theo quy tắc nhân số cách chọn 3 cặp nam nữ thoả mãn yêu cầu bài toán là:
3!. 84.35 = 17640 cách
2.2.2. Hiểu sai khái niệm cơ bản toán học.
Trong quá trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm và ngoại diên
khái niêm sẽ dẫn tới học sinh hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất khái
niệm. Nhiều khái niệm là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước, việc không nắm
vững và hiểu không đúng khái niệm có liên quan làm học sinh không hiểu, không nắm
được khái niệm mới.
Sai lầm về khái niệm toán học, nhất là các khái niệm cơ bản sẽ dẫn đến việc tất
yếu là học sinh giải toán sai.

Với ngôn ngữ của toán học cổ điển, trong lý thuyết tập hợp người ta hay sử dụng
cụm từ “Tập hợp A gồm n phần tử”.

- 14 -


Chẳng hạn như các chữ cái trong cụm từ “Đaihocvinh”, tập hợp các chữ cái có mặt
trong cụm từ là {Đ; a; i; h; o; c; v; n} (Có 8 phần tử khác nhau).
Theo quan điểm của lý thuyết tổ hợp thì cụm từ trên gồm 10 chữ cái (10 phần tử).
Chính vì thói quen hiểu theo lý thuyết tập hợp mà học sinh thường mắc phải sai
lầm khi giải toán tổ hợp.
Ví dụ 6:
Với các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 có thể viết thành bao nhiêu số có 8 chữ số trong đó
chữ số 7 có mặt hai lần và mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?
♠. Lời giải của học sinh:
Giả sử số thoả mãn yêu cầu bài toán là: a1a2a3a4a5a6a7a8
Số a1 có 7 cách viết {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.
Số a1a2a3a4a5a6a7a8 có 7! Cách viết (là hoán vị của tập hợp gồm 7 chữ số khác
nhau).
Nếu coi hai chữ số 7 khác nhau thì số a1a2a3a4a5a6a7a8 có 7.7! cách viết. Do số 7
xuất hiện hai lần nên với hai vị trí của hai chữ số 7 sẽ có hai hoán vị như nhau. Vậy kết
quả của hai bài toán là:

7.7!
= 17640
2

(cách viết)

♠. Sai lầm ở đây là:

Nếu coi hai chữ số 7 là khác nhau thì số a1 có 8 cách viết. Nghĩa là phải giả sử hai
chữ số 7 khác nhau ngay từ đầu.
♠. Lời giải đúng là:
Nếu coi hai chữ số 7 là khác nhau thì số a1 có 8 cách viết {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 7}. Số
a1a2a3a4a5a6a7a8 có 7! Cách viết.

- 15 -


Với hai vị trí nào đó của hai chữ số 7 thì có hai hoán vị như nhau.
Vậy số a1a2a3a4a5a6a7a8 có:

8.7!
= 20160 (cách
2

viết)

Trong các bài toán đếm ta hay gặp cụm từ “Có thể lập được bao nhiêu số gồm k chữ số
khác nhau”. Với cụm từ này thì dụng ý của tác giải viết sách là: Số gồm k chữ số a1a2 …
ak thì các a1 (i = 1,k) phải khác nhau từng đôi một. Tức là: ai ≠ aj với i,j =1,k ; i ≠ j
Tuy nhiên, cũng có học sinh hiểu các số gồm k chữ số khác nhau tức là a1a2 …ak ≠
b1b2 …bk dẫn đến sai lầm trong giải toán.
Trong các bài toán về chủ đề Đại số tổ hợp sử dụng rất nhiều kiến thức toán học cơ
bản như: Một số dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, …; cách lập các số chẵn, số lẻ,… Nhiều
học sinh không nắm vững những khái niệm cơ bản này nên đã có nhiều sai lầm đáng tiếc
khi giải bài tập.
Ví dụ 7:
Từ các chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số phân biệt và trong

đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5?
♠. Lời giải của học sinh:
Số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt lấy từ {1; 2; 3; 4; 5} là:
A46 = 360 cách
Mỗi cách lập cho ta một số có 4 chữ số phân biệt thoả mãn yêu cầu bài toán.
Trong đó số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt không có mặt chữ số 5 là:
A45 = 120 cách
Theo quy tắc cộng ta có kết quả của bài toán là:

- 16 -


A46 - A45 = 360 – 120 = 240 (Số)
♠. Sai lầm ở đây là:
Học sinh tính số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt nhưng trong các số lập được
có số dạng 0abc, đây là dạng số có 4 chữ số không thoả mãu yêu cầu bài toán.
Như vậy học sinh đã không trừ đi các số không thoả mãn yêu cầu dẫn đến tính sai
kết quả.
♠. Lời giải đúng ở đây là:
Giả sử a1a2a3a4 là số thoả mãn yêu cầu bài toán, suy ra a1 ≠ 0.
Số cách sắp xếp 4 chữ số trong 6 chữ số từ 0 đến 5 là A46 – A35 = 300 cách.
Trong đó số cách sắp xếp 4 chữ số trong 6 chữ số từ 0 đến 5 và không có mặt chữ
số 5 là:

A45 – A34 = 96 cách.

Mỗi cách sắp xếp cho ta một số duy nhất. Sử dụng quy tắc công ta có kết quả của
bài toán là:
300 – 96 = 204 số.
Ví dụ 8:

Trong một buổi giao lưu kết bạn có 9 nữ và 7 nam. Người ta tổ chức cuộc chơi gồm
3 cặp thi với nhau, mỗi cặp có 1 nam và 1 nữ. Hỏi có nhiêu cách chọn ra 3 cặp để tham
gia trò chơi?
♠. Lời giải của học sinh:
Xem việc chọn 3 cặp nam nữ là một công việc gồm 3 công đoạn:
Công đoạn 1: Chọn cặp nam nữ thứ nhất. Có C19C17 cách chọn.

- 17 -


Công đoạn 2: Chọn cặp nam nữ thứ hai. Có C18C16 cách chọn.
Công đoạn 3: Chọn cặp nam nữ thứ ba. Có C17C15 cách chọn.
Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn ra 3 cặp nam nữ để tham gia trò chơi là:
C19C17 .C18C16 .C17C15 = 105840 cách
♠. Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh áp dụng quy tắc nhân, xem việc chọn 3 cặp nam nữ trải qua 3 công đoạn
nhưng các cách thực hiện sau lại phụ thuộc vào các cách thực hiện công đoạn trước. Ví
dụ: Trải qua 3 công đoạn ta chọn được 3 cặp là: (A,a), (B,b), (C,c). Trong công đoạn 1 ta
có thể chọn 1 cặp là (B,b), công đoạn 2 chọn 1 cặp là (A,a), công đoạn 3 chọn 1 cặp là
(C,c). Như vậy ta được 3 cặp nam nữ khác là (B,b), (A,a), (C,c). Hai cách chọn này thực
chất là một vì thế học sinh đã tính lặp.
2.2.3. Phân chia trường hợp riêng.
Phân chia trường hợp là biện pháp hay dùng khi giải các bài tập tổ hợp. Đứng trước
bài toán phức tạp, phân chia trường hợp làm đơn giản hoá bài toán giúp học sinh giải bài
tập một cách chính xác. Tuy nhiên, để có thể phân chia đúng, học sinh cần nắm vững quy
tắc cộng và quy tắc nhân. Nếu là quy tắc nhân thì phân chia thành các công đoạn thích
hợp, còn nếu là quy tắc cộng thì phân chia thành các tập hợp con. Nhiều học sinh chưa
nắm vững tiêu chí của sự phân chia nên đã dẫn đến sai lầm khi giải toán. Để phân chia
một khái niệm thành những khái niệm nhỏ thì phải dựa vào dấu hiệu (tiêu chí) của sự
phân chia.

Đối với quy tắc cộng phải thoả mãn tính đầy đủ và độc lập. Chẳng hạn như ta chia
tập hợp A thành các tập con:
A = A1

∪ A2 ∪ … ∪ Ak

- 18 -


* A1 ∩ Aj ≠ 0; i ≠ j

Thì phải thoả mãn:
Và

*

k

∪ A1 = A ; i,j = 1,k
i=1

Nhiều học sinh trong quá trình phân chia một khái niệm thành những khái niệm
nhỏ đã vi phạm tính đầy đủ hoặc độc lập nên dẫn đến sai lầm trong giải toán.
Ví dụ 9:
Cho 10 người ngồi trên 10 cái ghế, xung quanh một bàn tròn, trong đó có 4 học
sinh nữ và 6 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho không có hai học sinh
nữ nào ngồi cạnh nhau?
♠. Lời giải của học sinh:
Ta xét bài toán gián tiếp: Tính số cách sắp xếp sao cho mỗi học sinh nữ đều ngồi
cạnh một học sinh nam khác.

Ta có A24 cách chọn 2 học sinh nữ bất kỳ (có thứ tự). Như vậy 4 học sinh nữ được
chia làm 2 nhóm. Ta cần tìm 2 trong số 5 cặp chỗ ngồi cho 2 cặp học sinh nữ này. Có C 25
cách chọn chỗ ngồi cho 2 cặp học sinh nữ.
6 học sinh nam còn lại được xếp tuỳ ý giữa các học sinh nữ, ta cố định vị trí của
một học sinh nam thì 5 học sinh nam còn lại có 5! Cách xếp vòng tròn. Vậy số cách xếp
để mỗi học sinh nữ đều ngồi cạnh học sinh nữ khác là:
A24.C25.5! = 14400 cách.
Mặt khác, 10 người xếp quanh bàn tròn thì có 9! Cách xếp
Vậy số cách xếp 2 học sinh nữ không ngồi cạnh nhau là:
9! – 14400 = 348480 cách.

- 19 -


♠. Nguyên nhân sai lầm:
Do học sinh phân chia thiếu trường hợp 3 nữ ngồi cạnh nhau, học sinh nữ còn lại
không ngồi cạnh bạn nữ nào.
♠. Lời giải đúng là:
Giả sử đã xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh nam. Vì 4 học sinh nữ không ngồi cạnh nhau
nên họ được chọn 4 trong 6 vị trí xen kẽ giữa học sinh nam. Số cách chọn là: A 46. Vì 2
cách xếp vị trí cho 10 người với cùng một thứ tự quanh bàn tròn được coi là một nên ta
có thể chọn trước vị trí cho một học sinh nam nào đó, số hoán vị của 5 học sinh nam còn
lại vào các vị trí là 5!.
Vậy theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp là:
A46.5! = 43200 cách.
2.3. Một số cách khắc phục sai lầm của học sinh trong khi học chủ đề Đại số tổ
hợp.
2.3.1. Một số yêu cầu trong quá trình phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh.
Giáo viên cần phải diễn đạt chính xác, từ ngôn ngữ thông thường đến ngôn ngữ
toán học, phải mẫu mực về phương pháp, tư duy và lời giải phải chính xác cho từng bài

toán.
Giáo viên không được phủ định lời giải sai của học sinh một cách chung chung mà
phải chỉ ra sai lầm, nguyên nhân sai lầm của học sinh một cách chính xác và thuyết phục.
Tính chính xác đòi hỏi các bài toán của giáo viên đưa ra không được sai lầm, và
việc đánh giá bài giải của học sinh qua điểm số phải công bằng. Sau khi học sinh trình
bày lời giải, ngoài việc giáo viên nhận xét đúng, sai thì cần phải chính xác hoá lời giải
cho học sinh từ khâu trình bày, diễn đạt … giúp học sinh ngày càng tiến bộ hơn.
- 20 -


2.3.2. Giáo viên cần nhấn mạnh các dấu hiệu đặc trưng của các khái niệm, quy
tắc…
Trong việc dạy học toán cũng như việc dạy học bất kỳ một môn học nào ở trường
phổ thông, điều quan trọng nhất là hình thành một cách vững chắc cho học sinh hệ thống
khái niệm. Đó là nền tảng toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng
để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học.
Muốn làm được bài tập, điều quan trọng nhất là học sinh phải nắm vững những
kiến thức liên quan đến bài tập đó. Tức là những khái niệm, định lý, quy tắc. Học tốt các
khái niệm toán chính là điều kiện cơ bản để đảm bảo tư duy toán học chính xác, nếu
không học tốt khái niệm, định lý sẽ là nguyên nhân mất gốc dẫn đến sai lầm khi giải bài
tập toán.
Về mặt kỹ năng, cần rèn luyện cho học sinh biết vận dụng quy tắc cộng và quy tắc
nhân, kết hợp hai quy tắc để giải các bài tập toán đếm.
* Khi phát biểu quy tắc cộng ta ngầm hiểu các phương án là phân biệt, tức là mỗi
cách thực hiện công việc thuộc một và chỉ một phương án. Quy tắc cộng có thể phát biểu
dưới dạng tổng số phần tử của các tập hợp không giao nhau.
* Trong quy tắc nhân đã phát biểu: Với mỗi cách thực hiện ở công đoạn A i thì công
đoạn tiếp theo Ai+1 có thể làm theo ni+1 cách. Như vậy, số cách thực hiện ở công đoạn tiếp
theo Ai+1 luôn bằng ni+1 không phụ thuộc vào bất kỳ cách nào đã được thực hiện ở công
đoạn hiện tại.

Khi dạy các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp giáo viên cần giúp học sinh nắm
được:

- 21 -


- Thế nào là một hoán vị của một tập hợp, hai hoán vị của một tập hợp khác nhau
nghĩa là gì, nhớ công thức tính số hoán vị của một tập hợp.
- Thế nào là một chính hợp chập k phần tử của một tập hợp có n phần tử, hiểu được
một chỉnh hợp chập n của n phần tử chính là một hoán vị của tập hợp đó. Hai chỉnh hợp
chập k của n phần tử của A khác nhau ở chỗ nào, nhớ công thức tính số chỉnh hợp.
- Hiểu rõ thế nào là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập hợp A, sự khác nhau
giữa hai tổ hợp, công thức tính số tổ hợp.
- Cần phân biệt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp với số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp.
Ngoài ra giáo viên cần giúp học sinh nhận biết lúc nào thì dùng công thức về tổ
hợp, khi nào thì dùng công thức về chỉnh hợp trong các bài toán đếm. Thực tế cho thấy
học sinh thường nhầm lẫn khái niệm chỉnh hợp và tổ hợp. Trong quá trình dạy hai khái
niệm này giáo viên cần lưu ý cho học sinh phân biệt cách sử dụng khái niệm chỉnh hợp
và tổ hợp:
Tổ hợp là không kể đến thứ tự của các phần tử được chọn ra nghĩa là việc thay đổi
vị trí của các phần tử không tạo ra cách mới.
Chỉnh hợp thì ngược lại, nó kể đến thứ tự của các phần tử được chọn ra, việc thay
đổi thứ tự của các phần tử sẽ sinh ra cách mới.
2.3.3. Hướng dẫn học sinh giải bài toán gián tiếp.
Một loại toán có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau, học sinh cần biết lựa
chọn phương pháp tối ưu để giải quyết bài toán cụ thể, giáo viên cần gợi ý cho học sinh
tìm ra phương pháp giải toán cho một lớp bài toàn. G.Pôlya đưa ra 4 bước quan trọng cho
việc đi tìm đến lời giải của bài toán:
- Tìm hiểu nội dung bài toán.
- 22 -

- Xây dựng chương trình giải.
- Thực hiện chương trình giải.
- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Khi dạy về quy tắc cộng và quy tắc nhân, trong các bài toán đếm phức tạp giáo viên
có thể hướng dẫn học sinh chuyển về giải bài toán gián tiếp: Trong một số bài toán đếm,
nếu số phần tử của tập E có tính chất A là khó đếm nhưng việc đếm số phần tử của E
không có tính chất A dễ hơn thì ta nên dùng bài toán gián tiếp, tức là đếm số phần tử của
E không có tính chất A, sau đó tính số phần tử của tập E có tính chất A bằng số phần tử
của tập E trừ đi số phần tử của tập E không có tính chất A.
E=B

∪B

Trong đó B là tập hợp các phần tử có tính chất A còn B là tập hợp các phần tử
không có tính chất A

E

B
Khi đó:

B

/B/ = /E/ - /B/

- Nếu là bài toán chuẩn của dạng đã biết thì hãy sử dụng quy tắc đã biết để giải.
- Nếu bài toán là không chuẩn thì cần hành động theo 2 hướng: Tách từ bài toán ra
hoặc chia nhỏ bài toán ra thành những bài toán nhỏ có dạng chuẩn hoặc diễn đạt lại bài

toán theo một cách khác, dẫn đến bài toán đến một bài toán có dạng chuẩn.

- 23 -


Nhiều học sinh cũng biết cách chuyển về bài toán gián tiếp nhưng trong quá trình
chuyển đổi thì lại gặp sai sót. Giáo viên cần đưa ra những ví dụ dễ gặp những sai sót và
hướng dẫn học sinh giải cẩn thận.

PHẦN 3 : KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU.
3.1. Nội dung .
3.1.1. Cách thức tiến hành.
Thực nghiệm được tiến hành tại trường trung học phổ thông Đặng Thai Mai tôi
chọn lớp 11B1 là lớp thực nghiệm và lớp 11B 2 là lớp đối chứng. Trình độ chung về môn
toán của 2 lớp này là tương đương. Giáo viên dạy lớp thực nghiệm cũng là giáo viên dạy
đối chứng.
3.1.2. Nội dung .
Thực nghiệm được tiến hành trong 6 tiết đầu chương: Tổ hợp và xác suất (Sách
giáo khoa Đại số 11 – nâng cao). Sau khi dạy thực nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm
bài kiểm tra. Nội dung đề kiểm tra như sau:
Đề kiểm tra: 20 phút
1. Cho 8 chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Từ 8 chữ số trên lập được bao nhiêu số có 4
chữ số phân biệt và chia hết cho 5?
(Đáp án: 390)
2. Một lớp học có 7 nam sinh và 4 nữ sinh ưu tú (trong đó có nam sinh Cường và
nữ sinh Hoa). Cần lập một ban cán sự gồm 6 người ưu tú với yêu cầu có ít nhất 2 nữ,

- 24 -

ngoài ra Cường và Hoa không thể làm việc chung với nhau trong ban cán sự. Hỏi có bao
nhiêu cách lập ra ban cán sự?
(Đáp án: 260 cách)
3.2. Đánh gái kết quả .
3.2.1. Đánh giá định kỳ:
Qua các giờ thực nghiệm cho thấy học sinh tiếp thu khá tốt các kiến thức về Đại số
tổ hợp được trang bị. Học sinh học tập một cách tích cực hơn. Nhưng khó khăn và sai
lầm của học sinh đã giảm đi rất nhiều. Qua tiết kiểm tra cho thấy học sinh tích cực suy
nghĩ làm bài kiểm tra và đạt kết quả khá cao.
3.2.2. Đánh giá định lượng:
Kết quả làm bài kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm (TN) và học sinh lớp đối
chứng (ĐC) được thể hiện thông qua bảng thống kê sau:
Điể
m

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

TN(11B1) 32 hs

0

0

1

2

2

3

6

5

6

5

2

ĐC(11B2) 32 hs

0

1

2

4

4

4

6

4

5

2

0

Lớp

* Lớp thực nghiệm 11B1 có: 84,4% học sinh đạt điểm trung bình trở lên; trong đó
có 56,3% số học sinh đạt điểm khá, giỏi.
* Lớp đối chứng 11B 2 có: 65,6% học sinh đạt điểm trung bình trở lên; trong đó có

34,4% học sinh đạt điểm khá giỏi.
3.2.3. Kết luận:
- 25 -