skkn một số sai lầm thường gặp của học sinh khi học chủ đề đại số tổ hợp và cách khắc phục.

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài
Lý thuyết về đại số tổ hợp được hình thành từ rất sớm trong lịch sử phát triển
của Toán học, là một công cụ để nghiên cứu xác suất, giải quyết nhiều bài toán
trong thực tế. Nó góp phần bồi dưỡng tư duy logic cho học sinh. Vì vậy, việc
dạy học nội dung chủ đề Đại số tổ hợp ở trường phổ thông có một ý nghĩa rất
lớn.
Thực tế cho thấy học Toán tổ hợp luôn là việc khó đối với học sinh. Học
sinh thường phân vân khi sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân hay thường nhầm
lẫn trong việc dùng công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp… Để dạy học phần Đại
số tổ hợp có hiệu quả đòi hỏi người giáo viên phải đề ra được những biện pháp
hợp lý về cách chọn nội dung và phương pháp: Dạy cái gì? Dạy như thế nào để
học sinh tiếp thu bài giảng một cách có hiệu quả, làm thế nào để học sinh không
bị nhầm lẫn kiến thức khi làm bài tập? là những vấn đề được nhiều người quan
tâm và nghiên cứu.
Chính từ các yêu cầu cấp bách và nhận thức trên đây, tôi chọn đề tài
nghiên cứu là:
“Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi học chủ đề Đại số tổ hợp và
cách khắc phục”.
- 1 -
2. Mục đích nghiên cứu.
Tìm hiểu khó khăn của học sinh khi giải toán tổ hợp, phân tích các sai làm
phổ biến và nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh trung học phổ thông. Từ
đó nghiên cứu, đề xuất một số cách sửa chữa, khắc phục sai lầm cho học sinh
khi giải toán tổ hợp, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán trong
trường trung học phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Nhiệm vụ nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm bao gồm:
3.1. Bước đầu làm sáng tỏ một số khó khăn và sai lầm của học sinh trong
quá trình học Đại số tổ hợp.
3.2. Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm.

3.3. Nghiên cứu và đề xuất một số vấn đề cơ bản về cách khắc phục sai
lầm.
3.4. Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm chức tính khả thi và hiệu
quả của những đề xuất.
3.5. Đưa ra những kết luận cần thiết.
4. Phương pháp nghiên cứu.
4.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, những tài liệu về
phương pháp dạy học toán, các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, các công
trình nghiên cứu có liên quan đế đề tài của một số tác giả, các sách tham khảo…
4.2. Điều tra tìm hiểu: Tiến hành tìm hiểu về các số liệu thông qua giáo
viên toán ở các trường phổ thông, qua bài kiểm tra học sinh trung học phổ thông
Đặng thai Mai.
4.3. Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm một số tiết ở trường
trung học phổ thông Đặng Thai Mai.
- 2 -
PHẦN 2 : NỘI DUNG
NỘI DUNG: MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHỦ ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ
HỢP VÀ CÁCH KHẮC PHỤC.
1.1. Thực trạng học chủ đề Đại số Tổ Hợp của học sinh THPT hiện
nay.
Chúng tôi đã tiến hành khảo sát thực trạng kết quả học chủ đề Đại số Tổ
hợp của 100 học sinh lớp 11 – Ban nâng cao trường THPT Đặng Thai Mai với
hình thức ra bài kiểm tra tự luận (thời gian: 20 phút)
Đề kiểm tra
1. Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá, 8 học sinh
trung bình. Có bao nhiêu cách chia 16 học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người,
sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá?
(Đáp án: 3780 cách)
2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số phân biệt sao cho tổng các chữ
số là một số chẵn?

(Đáp án: 64800 số)
*Chúng tôi trình bày một số lời giải sai của học sinh :
Câu 1:
- Lời giải 1:
- 3 -
Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên có 1 học sinh giỏi, tổ kia có 2
học sinh giỏi. Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi. Số cách thành lập tổ A chính là số
cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán. Có 2 trường hợp chọn tổ A:
Trường hợp 1: Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Số cách
chọn tổ A trong trường hợp này là:
A
1
3
.A
2
5
.A
5
8
= 403200 cách
Trường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Số cách
chọn tổ A trong trường hợp này là:
A
1
3
.A
3
5
.A
4

8
= 302400 cách
Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là:
403200 + 302400 = 705600 cách
Nhận xét: Học sinh không nắm vững khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp nên đã
sử dụng sai công thức.
- Lời giải 2:
Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên 1 tổ có 1 học sinh giỏi, tổ kia có
2 học sinh giỏi. Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi. Số cách thành lập tổ A chính là
số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán. Có 2 trường hợp chọn tổ A:
Trường hợp 1: Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Số cách
chọn tổ A trong trường hợp này là:
A
1
3
+A
2
5
+A
5
8
= 6743 cách
Trường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Số cách
chọn tổ A trong trường hợp này là:
A
1
3
+ A
3
5

+ A
4
8
= 1743 cách
Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là:
6743 + 1743 = 8486 cách
Nhận xét: Học sinh sử dụng sai quy tắc.
- Lời giải 3:
Mỗi cách chọn thành viên tổ 1 chính là cách chọn thành viên tổ 2. Như
vậy ta chỉ cần xét cho tổ 1. Có 2 trường hợp:
- 4 -
Trường hợp 1: 1 học sinh giỏi xảy ra 2 khả năng:
* Khả năng 1: 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Có:
C
1
3
.C
2
5
.C
5
8
= 1680 cách
* Khả năng 2: 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Khả năng
này có:
C
1
3
.C
3

5
.C
4
8
= 2100 cách
Trường hợp 2: 2 học sinh giỏi. Có 2 khả năng:
* Khả năng 1: 2 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Khả năng
này có:
C
2
3
.C
2
5
.C
4
8
= 2100 cách
* Khả năng 2: 3 học sinh khá và 3 học sinh trung bình. Khả năng
này có:
C
2
3
.C
3
5
.C
3
8
= 1680 cách

Theo quy tắc cộng ta có kết quả là:
1680 + 2100 + 1680 + 2100 = 7560 cách
Nhận xét: Học sinh phân chia trường hợp riêng chưa chính sác dẫn đến
lặp. Do 2 tổ bình đẳng với nhau nên các cách xếp tổ 1 ở trường hợp 2 chính là
các cách xếp tổ 2 ở trường hợp 1.
- Lời giải đúng là:
Có 3 học sinh giỏi được chia cho 2 tổ nên 1 tổ có 1 học sinh giỏi, tổ kia có
2 học sinh giỏi. Gọi A là tổ có 1 học sinh giỏi. Số cách thành lập tổ A chính là
số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán. Có 2 trường hợp chọn tổ A:
Trường hợp 1: Tổ A có 2 học sinh khá và 5 học sinh trung bình. Số cách
chọn tổ A trong trường hợp này là:
C
1
3
.C
2
5
.C
5
8
= 1680 cách
Trường hợp 2: Tổ A có 3 học sinh khá và 4 học sinh trung bình. Số cách
chọn tổ A trong trường hợp này là:
C
1
3
.C
3
5
.C

4
8
= 2100 cách
Theo quy tắc cộng ta có số cách chia tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là:
- 5 -
1680 + 2100 = 3780 cách
Câu 2:
- Lời giải 1:
Số có 6 chữ số thoả mãn: Tổng các chữ số là một số chẵn có thể xảy ra ở
hai trường hợp:
Trường hợp 1: Có 2 chữ số lẻ, 4 chữ số chẵn có C
2
5
.C
4
5
.6! số.
Trường hợp 2: Có 4 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn có C
4
5
.C
2
5
.6! số.
Trong đó số các số có 6 chữ số mà chữ số 0 đứng đầu là:
A
5
9
= 15120 số.
Vậy kết quả của bài toán là:

C
2
5
.C
4
5
.6! – 15120 = 56880 số.
Nhận xét: Thực tế học sinh phân chia số có 6 chữ số mà tổng các chữ số là
một số chẵn gồm hai tập hợp. Giả sử:
A: Gồm các số có 6 chữ số có tổng các chữ số là số chắn.
B: Gồm các số có 6 chữ số và có chữ số 0 đứng đầu.
C: Gồm các chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán.
Nhận thấy rằng: Bø
(Vì xét một số ở tập B có 0 đứng đầu nhưng tổng các chữ số còn lại không
phải là số chẵn suy ra nó không thuộc tập A). Từ đó dẫn đến sai lầm trong kết
quả.
- Lời giải 2:
Gải sử số cần tìm là a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a

1
+ a
2
+a
3
+a
4
+a
5
+ a
6
là số chẵn xảy ra 2 trường hợp :
Trường hợp 1 : Có 2 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn ta được :
C
2
5
.C
4
5
.6 ! = 36000 số
Trường hợp 2 : Có 4 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn ta được :
C
4
5
.C
2
5
.6 ! = 36000 số
Vậy số số tự nhiên cần tìm có 6 chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán là :
- 6 -

36000 + 36000 = 72000 số
Nhận xét : Học sinh nắm chưa chính xác khái niệm cơ bản toán học nên
đã không trừ đi những số có 6 chữ số phân biệt có chữ số 0 đứng đầu.
- Lời giải đúng là :
Giả sử số cần tìm là a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
1
+ a
2
+a
3
+a
4
+a
5
+ a
6
là số chẵn xảy ra 2 trường hợp :
Trường hợp 1 : Có 2 chữ số lẻ, 4 chữ số chẵn ta được :

C
2
5
.C
4
5
.6 ! - C
2
5
.C
3
4
.5 ! = 31200 số
Trường hợp 2 : Có 4 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn ta được :
C
4
5
.C
2
5
.6 ! – C
4
5
.C
1
4
.5 ! = 33600 số
Vậy số số tự nhiên cần tìm có 6 chữ số thoả mãn yêu cầu bài toán là :
31200 + 33600 = 64800 số
*Một số sai lầm mà học sinh có thể mắc phải trong đề kiểm tra trên :

Sai lầm 1 : Nhớ lẫn lộn giữa công tác tính số tổ hợp và số chỉnh hợp .
Sai lầm 2 : Sử dụng sai quy tắc .
Sai lầm 3 : Phân chia trường hợp riêng chưa đúng dẫn đến lặp.
Sai lầm 4 : Không biết phối hợp giữa các công thức, quy tắc.
Sai lầm 5 : Hiểu sai khái niên cơ bản của toán học .
* Kết quả :
Quan thực tế chúng tôi thấy số học sinh mắc sai lầm khi giải bài tập về
chủ đề ”Đại số tổ hợp” khá nhiều, kể cả một số học sinh khá trong lớp. Đa số
học sinh mắc sai lầm trong việc vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân, phân
chia trường hợp riêng.
Qua đó cho thấy trình độ giải toán của học sinh còn yếu. Câu hỏi
đặt ra là trong khi học chủ đề ”Đại số tổ hợp” học sinh có thể mắc những sai lầm
nào ? Cách hạn chế và khắc phục sai lầm cho học sinh ra sao để nâng cao hiệu
quả cho việc dạy học chủ đề Đại Số Tổ Hợp nói riêng và nâng cao chất lượng
dạy học môn toán nói chung.
- 7 -
2.2. Một số sai lầm phổ biến của học sinh khi học chủ đề Đại Số Tổ
Hợp.
2.2.1. Sai lầm do hiểu sai khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: ”Định nghĩa một khái niệm là một thao tác
tư duy nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này và các đối tượng
khác, thường bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó”. Trong quá trình học
chủ đề Đại Số Tổ Hợp, nhiều học sinh vẫn chưa hiểu được bản chất của khái
niệm tổ hợp nên thường nhầm lẫn giữa ký hiệu của đối tượng và đối tượng được
định nghĩa. Theo A.A.Stôliar thì không ít học sinh còn yếu trong việc nắm vững
cú pháp của ngôn ngữ toán học, học sinh hay nhầm giữa lý hiệu với khái niệm
được định nghĩa…
Ví dụ 1 :
Học sinh thường phát biểu : ‘Tổ hợp chập k của n là C
k

n
’’ mà phát biểu
đúng là: ‘Số tổ hợp chập k của n là C
k
n
’’ hoặc ‘Chỉnh hợp chập k của n là A
k
n
’’
mà phát biểu đúng là: ‘Số chỉnh hợp chập k của n phân tử là A
k
n
” .
Cũng có những học sinh áp dụng công thác rất thành thạo nhưng lại
không hiểu ý nghĩa của công thức.
Ví dụ 2 :
Khi gặp bài tập chứng minh C
n
n
-k
= C
k
n
.
Học sinh dế dàng làm được bằng cách áp dụng trực tiếp công thức :


C
k
n

=

!
( )! !
n
n k k−

Tuy nhiên ít học sinh chứng minh được dựa vào định nghĩa của C
k
n
, học
sinh không hiểu được bản chất tập X gồm n phần tử có bao nhiêu tập con gồm k
(k ≤ n) phần tử thì sẽ có bấy nhiêu tập con gồm (n-k) phần từ.
Do không hiểu rõ khái niệm nên học sinh thươừng nhầm lẫn khi sử dụng
quy tắc cộng và quy tắc nhân.
Quy tắc cộng: ‘’Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương
án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện
phương án B. Khi đó công việc có thể được thực hiện bởi n+m cách”.
- 8 -
Quy tắc nhân: ‘Giả sử một công việc nào đó bao gồm 2 công đoạn A và
B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì
công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m
cách”.
Hai khái niệm nếu không được giải thích rõ ràng thì dễ làm học sinh nhầm
lẫn cụm từ ‘một trong hai phương án” và ‘’ hai công đoạn liên liếp”… gây ra
sai lầm trong giải toán.
Ví dụ 3 :
Lớp 11A có 40 học sinh, trong đó có 20 học sinh nam. Có bao nhiêu cách
bầu ra ban cán sự lớp gồm hai bạn: 1 nam và 1 nữ?
♠. Học sinh giải như sau:

Số học sinh nữ là: 40 – 20 = 20 (học sinh).
Vận dụng quy tắc cộng ta có :
20 + 20 = 40 cách.
♠. Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh đã không hiểu rõ khái niệm vì khi chọn ra hai bạn: 1 nam, 1 nữ
là ta đã thực hiện hai hành động liên tiếp chọn 1 bạn nam và sau đó chọn 1 bạn
nữ (hoặc ngược lại), hai hành động này phụ thuộc nhau (ứng với mỗi cách chọn
1 bạn nam có 20 cách chọn ra bạn nữ).
♠. Lời giải đúng là:
Số học sinh nữ trong lớp là:
40 – 20 = 20 (học sinh)
Việc chọn ban cán sự được chia làm hai công đoạn:
Công đoạn 1: Chọn 1 bạn nam có 20 cách.
Công đoạn 2: Ứng với mỗi cách chọn 1 bạn nam có 20 cách chọn 1 bạn
nữ.
Vận dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn ra ban cán sự gồm một bạn
nam và 1 bạn nữ là:
20.20 = 400 (cách chọn)
- 9 -
Khi giải các bài toán liên quan đến chỉnh hợp, tổ hợp nhiều học sinh vẫn
chưa hiểu rõ được khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp.
Dịnh nghĩa chỉnh hợp: ‘‘Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) và số
nguyên k với 1≤ k ≤ n. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ
tự,ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp
chập k của A)”.
Định nghĩa tổ hợp: ‘‘Cho tập hợp A có n phần tử và số nguyên k với
1≤ k ≤ n . Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n
phẩn tử của A (gọi tắt là một tổ hợp chập k của A)”.
Do học sinh không nắm vững khái niệm nên khi sử dụng công thức tính
số tổ hợp, số chỉnh hợp thường xảy ra nhầm lẫn.

Ví dụ 4 :
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt ?
♠. Học sinh giải như sau:
Giả sử a
1
a
2
a
3
là số thoả mãn yêu cầu bài toán suy ra a
1
≠ 0. Tổng số cách
chọn 3 chữ số trong 10 chữ số từ 0 đến 9 là C
3
10
, trong đó số cách sắp xếp a
1
= 0
là C
2
9
. Do đó kết quả của bài toán là:
C
3
10
– C
2
9
= 84
♠. Nguyên nhân sai lầm:

Học sinh chưa nắm được chỉnh hợp là một tập con gồm k phần tử sắp thứ
tự trong khi bài toán này với 3 chữ số a
1
a
2
a
3
phân biệt có 6 cách xếp thành
những số khác nhau (chẳng hạn a
1
a
2
a
3
≠ a
1
a
2
a
3
).
♠. Lời giải đúng là:
Giả sử a
1
a
2
a
3
là số thoả mãn yêu cầu bài toán suy ra a
1

≠ 0, ứng với mỗi
cách sắp xếp cho ta một số duy nhất. Tổng số cách sắp xếp 3 chữ số trong 10
chữ số từ 0 đến 9 là A
3
10
, trong đó số cách sắp xếp a
1
= 0 là A
2
9
. Do đó kết quả
của bài toán là :
A
3
10
– A
2
9
= 648 (số)
Ví dụ 5:
- 10 -
Trong một buổi giao lưu kết bạn có 9 nữ và 7 nam. Người ta tổ chức cuộc
chơi gồm 3 cặp thi với nhau, mỗi cặp có 1 nam và 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn ra cặp để tham gia trò chơi?
♠. Học sinh giải như sau:
Mỗi cách sắp xếp thứ tự 3 bạn nam trong 7 bạn nam là một chỉnh hợp
chập 3 của 7, nên số các chọn 3 nam có thứ tự là A
3
7
= 210 cách. Tương tự số

cách chọn 3 nữ có thứ tự là: A
3
9
= 504 cách. Vậy theo quy tắc nhân, số cách
chọn 3 cặp để tham gia trò chơi là:
A
1
3
.A
3
5
= 210.504 = 105840 (cách)
♠. Sai lầm học sinh mắc phải:
Việc sắp xếp thứ tự 3 nam và 3 nữ dẫn đến việc lặp lại. Giả sử 3 bạn nam
xếp thứ tự là A,B,C ghép với 3 nữ theo thứ tự a, b, c. Ta có 3 cặp (A,a), (B,b),
(C,c). Nếu lấy thứ tự khác của 3 nam là B,C,A và 3 nữ là b,c,a thì ta cũng có 3
cặp (B,b), (C,c), (A,a) giống trước. Như vậy trong bài toán này ta phải dùng
công thức tính số tổ hợp chứ không dùng công thức tính số chỉnh hợp.
♠. Lời giải đúng là:
Xem việc lập 3 cặp để tham gia trò chơi gồm 3 công đoạn:
Công đoạn 1: Chọn 3 học sinh nam. Số cách chọn là:
C
1
3
= 35 cách
Công đoạn 2: Chọn 3 học sinh nữ. Số cách chọn là:
C
3
9
= 84 cách

Công đoạn 3: Sắp xếp 6 bạn trên thành 3 đôi nam nữ. Có 3! Cách xếp.
Theo quy tắc nhân số cách chọn 3 cặp nam nữ thoả mãn yêu cầu bài toán
là:
3!. 84.35 = 17640 cách
2.2.2. Hiểu sai khái niệm cơ bản toán học.
Trong quá trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm và
ngoại diên khái niêm sẽ dẫn tới học sinh hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu sai
lệch bản chất khái niệm. Nhiều khái niệm là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái
- 11 -
niệm trước, việc không nắm vững và hiểu không đúng khái niệm có liên quan
làm học sinh không hiểu, không nắm được khái niệm mới.
Sai lầm về khái niệm toán học, nhất là các khái niệm cơ bản sẽ dẫn đến
việc tất yếu là học sinh giải toán sai.
Với ngôn ngữ của toán học cổ điển, trong lý thuyết tập hợp người ta hay
sử dụng cụm từ “Tập hợp A gồm n phần tử”.
Chẳng hạn như các chữ cái trong cụm từ “Đaihocvinh”, tập hợp các chữ
cái có mặt trong cụm từ là {Đ; a; i; h; o; c; v; n} (Có 8 phần tử khác nhau).
Theo quan điểm của lý thuyết tổ hợp thì cụm từ trên gồm 10 chữ cái (10
phần tử).
Chính vì thói quen hiểu theo lý thuyết tập hợp mà học sinh thường mắc
phải sai lầm khi giải toán tổ hợp.
Ví dụ 6:
Với các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 có thể viết thành bao nhiêu số có 8 chữ
số trong đó chữ số 7 có mặt hai lần và mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?
♠. Lời giải của học sinh:
Giả sử số thoả mãn yêu cầu bài toán là: a
1
a
2
a

3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
Số a
1
có 7 cách viết {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.
Số a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8

có 7! Cách viết (là hoán vị của tập hợp gồm 7 chữ
số khác nhau).
Nếu coi hai chữ số 7 khác nhau thì số a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
có 7.7! cách viết.
Do số 7 xuất hiện hai lần nên với hai vị trí của hai chữ số 7 sẽ có hai hoán vị như
nhau. Vậy kết quả của hai bài toán là:
7.7!
17640
2
=
(cách viết)
♠. Sai lầm ở đây là:
Nếu coi hai chữ số 7 là khác nhau thì số a
1
có 8 cách viết. Nghĩa là phải

giả sử hai chữ số 7 khác nhau ngay từ đầu.
♠. Lời giải đúng là:
- 12 -
Nếu coi hai chữ số 7 là khác nhau thì số a
1
có 8 cách viết {1; 2; 3; 4; 5; 6;
7; 7}. Số a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
có 7! Cách viết.
Với hai vị trí nào đó của hai chữ số 7 thì có hai hoán vị như nhau.
Vậy số a
1
a
2
a
3

a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
có:
8.7!
20160
2
=
(cách viết)
Trong các bài toán đếm ta hay gặp cụm từ “Có thể lập được bao nhiêu số gồm k
chữ số khác nhau”. Với cụm từ này thì dụng ý của tác giải viết sách là: Số gồm k
chữ số a
1
a
2
…a
k
thì các a
1
(i = 1,k) phải khác nhau từng đôi một. Tức là: a
i
≠

a
j
với i,j =1,k ; i ≠ j
Tuy nhiên, cũng có học sinh hiểu các số gồm k chữ số khác nhau tức là
a
1
a
2
…a
k
≠ b
1
b
2
…b
k
dẫn đến sai lầm trong giải toán.
Trong các bài toán về chủ đề Đại số tổ hợp sử dụng rất nhiều kiến thức
toán học cơ bản như: Một số dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, …; cách lập các số
chẵn, số lẻ,… Nhiều học sinh không nắm vững những khái niệm cơ bản này nên
đã có nhiều sai lầm đáng tiếc khi giải bài tập.
Ví dụ 7:
Từ các chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số phân biệt
và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5?
♠. Lời giải của học sinh:
Số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt lấy từ {1; 2; 3; 4; 5} là:
A
4
6
= 360 cách

Mỗi cách lập cho ta một số có 4 chữ số phân biệt thoả mãn yêu cầu bài
toán.
Trong đó số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt không có mặt chữ số 5
là:
A
4
5
= 120 cách
Theo quy tắc cộng ta có kết quả của bài toán là:
A
4
6
- A
4
5
= 360 – 120 = 240 (Số)
♠. Sai lầm ở đây là:
- 13 -
Học sinh tính số cách lập các số có 4 chữ số phân biệt nhưng trong các số
lập được có số dạng 0abc, đây là dạng số có 4 chữ số không thoả mãu yêu cầu
bài toán.
Như vậy học sinh đã không trừ đi các số không thoả mãn yêu cầu dẫn đến
tính sai kết quả.
♠. Lời giải đúng ở đây là:
Giả sử a
1
a
2
a
3

a
4
là số thoả mãn yêu cầu bài toán, suy ra a
1
≠ 0.
Số cách sắp xếp 4 chữ số trong 6 chữ số từ 0 đến 5 là A
4
6
– A
3
5
= 300
cách.
Trong đó số cách sắp xếp 4 chữ số trong 6 chữ số từ 0 đến 5 và không có
mặt chữ số 5 là: A
4
5
– A
3
4
= 96 cách.
Mỗi cách sắp xếp cho ta một số duy nhất. Sử dụng quy tắc công ta có kết
quả của bài toán là:
300 – 96 = 204 số.
Ví dụ 8:
Trong một buổi giao lưu kết bạn có 9 nữ và 7 nam. Người ta tổ chức cuộc
chơi gồm 3 cặp thi với nhau, mỗi cặp có 1 nam và 1 nữ. Hỏi có nhiêu cách chọn
ra 3 cặp để tham gia trò chơi?
♠. Lời giải của học sinh:
Xem việc chọn 3 cặp nam nữ là một công việc gồm 3 công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn cặp nam nữ thứ nhất. Có C
1
9
C
1
7
cách chọn.
Công đoạn 2: Chọn cặp nam nữ thứ hai. Có C
1
8
C
1
6
cách chọn.
Công đoạn 3: Chọn cặp nam nữ thứ ba. Có C
1
7
C
1
5
cách chọn.
Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn ra 3 cặp nam nữ để tham gia trò
chơi là:
C
1
9
C
1
7
.C

1
8
C
1
6
.C
1
7
C
1
5
= 105840 cách
♠. Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh áp dụng quy tắc nhân, xem việc chọn 3 cặp nam nữ trải qua 3
công đoạn nhưng các cách thực hiện sau lại phụ thuộc vào các cách thực hiện
- 14 -
công đoạn trước. Ví dụ: Trải qua 3 công đoạn ta chọn được 3 cặp là: (A,a),
(B,b), (C,c). Trong công đoạn 1 ta có thể chọn 1 cặp là (B,b), công đoạn 2 chọn
1 cặp là (A,a), công đoạn 3 chọn 1 cặp là (C,c). Như vậy ta được 3 cặp nam nữ
khác là (B,b), (A,a), (C,c). Hai cách chọn này thực chất là một vì thế học sinh đã
tính lặp.
2.2.3. Phân chia trường hợp riêng.
Phân chia trường hợp là biện pháp hay dùng khi giải các bài tập tổ hợp.
Đứng trước bài toán phức tạp, phân chia trường hợp làm đơn giản hoá bài toán
giúp học sinh giải bài tập một cách chính xác. Tuy nhiên, để có thể phân chia
đúng, học sinh cần nắm vững quy tắc cộng và quy tắc nhân. Nếu là quy tắc nhân
thì phân chia thành các công đoạn thích hợp, còn nếu là quy tắc cộng thì phân
chia thành các tập hợp con. Nhiều học sinh chưa nắm vững tiêu chí của sự phân
chia nên đã dẫn đến sai lầm khi giải toán. Để phân chia một khái niệm thành
những khái niệm nhỏ thì phải dựa vào dấu hiệu (tiêu chí) của sự phân chia.

Đối với quy tắc cộng phải thoả mãn tính đầy đủ và độc lập. Chẳng hạn
như ta chia tập hợp A thành các tập con:
A = A
1

∪
A
2
∪
…
∪
A
k
Thì phải thoả mãn: * A
1
∩
A
j
≠ 0; i ≠ j
Và *
1
k
i=
∪
A
1
= A ; i,j = 1,k
Nhiều học sinh trong quá trình phân chia một khái niệm thành những khái
niệm nhỏ đã vi phạm tính đầy đủ hoặc độc lập nên dẫn đến sai lầm trong giải
toán.

Ví dụ 9:
Cho 10 người ngồi trên 10 cái ghế, xung quanh một bàn tròn, trong đó có
4 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho không
có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau?
♠. Lời giải của học sinh:
Ta xét bài toán gián tiếp: Tính số cách sắp xếp sao cho mỗi học sinh nữ
đều ngồi cạnh một học sinh nam khác.
- 15 -
Ta có A
2
4
cách chọn 2 học sinh nữ bất kỳ (có thứ tự). Như vậy 4 học sinh
nữ được chia làm 2 nhóm. Ta cần tìm 2 trong số 5 cặp chỗ ngồi cho 2 cặp học
sinh nữ này. Có C
2
5
cách chọn chỗ ngồi cho 2 cặp học sinh nữ.
6 học sinh nam còn lại được xếp tuỳ ý giữa các học sinh nữ, ta cố định vị
trí của một học sinh nam thì 5 học sinh nam còn lại có 5! Cách xếp vòng tròn.
Vậy số cách xếp để mỗi học sinh nữ đều ngồi cạnh học sinh nữ khác là:
A
2
4
.C
2
5
.5! = 14400 cách.
Mặt khác, 10 người xếp quanh bàn tròn thì có 9! Cách xếp
Vậy số cách xếp 2 học sinh nữ không ngồi cạnh nhau là:
9! – 14400 = 348480 cách.

♠. Nguyên nhân sai lầm:
Do học sinh phân chia thiếu trường hợp 3 nữ ngồi cạnh nhau, học sinh nữ
còn lại không ngồi cạnh bạn nữ nào.
♠. Lời giải đúng là:
Giả sử đã xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh nam. Vì 4 học sinh nữ không ngồi
cạnh nhau nên họ được chọn 4 trong 6 vị trí xen kẽ giữa học sinh nam. Số cách
chọn là: A
4
6
. Vì 2 cách xếp vị trí cho 10 người với cùng một thứ tự quanh bàn
tròn được coi là một nên ta có thể chọn trước vị trí cho một học sinh nam nào
đó, số hoán vị của 5 học sinh nam còn lại vào các vị trí là 5!.
Vậy theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp là:
A
4
6
.5! = 43200 cách.
2.3. Một số cách khắc phục sai lầm của học sinh trong khi học chủ đề
Đại số tổ hợp.
2.3.1. Một số yêu cầu trong quá trình phát hiện và sửa chữa sai lầm cho
học sinh.
Giáo viên cần phải diễn đạt chính xác, từ ngôn ngữ thông thường đến
ngôn ngữ toán học, phải mẫu mực về phương pháp, tư duy và lời giải phải chính
xác cho từng bài toán.
- 16 -
Giáo viên không được phủ định lời giải sai của học sinh một cách chung
chung mà phải chỉ ra sai lầm, nguyên nhân sai lầm của học sinh một cách chính
xác và thuyết phục.
Tính chính xác đòi hỏi các bài toán của giáo viên đưa ra không được sai
lầm, và việc đánh giá bài giải của học sinh qua điểm số phải công bằng. Sau khi

học sinh trình bày lời giải, ngoài việc giáo viên nhận xét đúng, sai thì cần phải
chính xác hoá lời giải cho học sinh từ khâu trình bày, diễn đạt … giúp học sinh
ngày càng tiến bộ hơn.
2.3.2. Giáo viên cần nhấn mạnh các dấu hiệu đặc trưng của các khái niệm,
quy tắc…
Trong việc dạy học toán cũng như việc dạy học bất kỳ một môn học nào ở
trường phổ thông, điều quan trọng nhất là hình thành một cách vững chắc cho
học sinh hệ thống khái niệm. Đó là nền tảng toàn bộ kiến thức toán học của học
sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức
đã học.
Muốn làm được bài tập, điều quan trọng nhất là học sinh phải nắm vững
những kiến thức liên quan đến bài tập đó. Tức là những khái niệm, định lý, quy
tắc. Học tốt các khái niệm toán chính là điều kiện cơ bản để đảm bảo tư duy toán
học chính xác, nếu không học tốt khái niệm, định lý sẽ là nguyên nhân mất gốc
dẫn đến sai lầm khi giải bài tập toán.
Về mặt kỹ năng, cần rèn luyện cho học sinh biết vận dụng quy tắc cộng và
quy tắc nhân, kết hợp hai quy tắc để giải các bài tập toán đếm.
* Khi phát biểu quy tắc cộng ta ngầm hiểu các phương án là phân biệt, tức
là mỗi cách thực hiện công việc thuộc một và chỉ một phương án. Quy tắc cộng
có thể phát biểu dưới dạng tổng số phần tử của các tập hợp không giao nhau.
* Trong quy tắc nhân đã phát biểu: Với mỗi cách thực hiện ở công đoạn
A
i
thì công đoạn tiếp theo A
i+1
có thể làm theo n
i+1
cách. Như vậy, số cách thực
hiện ở công đoạn tiếp theo A
i+1

luôn bằng n
i+1
không phụ thuộc vào bất kỳ cách
nào đã được thực hiện ở công đoạn hiện tại.
Khi dạy các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp giáo viên cần giúp học
sinh nắm được:
- 17 -
- Thế nào là một hoán vị của một tập hợp, hai hoán vị của một tập hợp
khác nhau nghĩa là gì, nhớ công thức tính số hoán vị của một tập hợp.
- Thế nào là một chính hợp chập k phần tử của một tập hợp có n phần tử,
hiểu được một chỉnh hợp chập n của n phần tử chính là một hoán vị của tập hợp
đó. Hai chỉnh hợp chập k của n phần tử của A khác nhau ở chỗ nào, nhớ công
thức tính số chỉnh hợp.
- Hiểu rõ thế nào là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập hợp A, sự
khác nhau giữa hai tổ hợp, công thức tính số tổ hợp.
- Cần phân biệt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp với số hoán vị, số chỉnh hợp,
số tổ hợp.
Ngoài ra giáo viên cần giúp học sinh nhận biết lúc nào thì dùng công thức
về tổ hợp, khi nào thì dùng công thức về chỉnh hợp trong các bài toán đếm. Thực
tế cho thấy học sinh thường nhầm lẫn khái niệm chỉnh hợp và tổ hợp. Trong quá
trình dạy hai khái niệm này giáo viên cần lưu ý cho học sinh phân biệt cách sử
dụng khái niệm chỉnh hợp và tổ hợp:
Tổ hợp là không kể đến thứ tự của các phần tử được chọn ra nghĩa là việc
thay đổi vị trí của các phần tử không tạo ra cách mới.
Chỉnh hợp thì ngược lại, nó kể đến thứ tự của các phần tử được chọn ra,
việc thay đổi thứ tự của các phần tử sẽ sinh ra cách mới.
2.3.3. Hướng dẫn học sinh giải bài toán gián tiếp.
Một loại toán có thể có nhiều phương pháp giải khác nhau, học sinh cần
biết lựa chọn phương pháp tối ưu để giải quyết bài toán cụ thể, giáo viên cần gợi
ý cho học sinh tìm ra phương pháp giải toán cho một lớp bài toàn. G.Pôlya đưa

ra 4 bước quan trọng cho việc đi tìm đến lời giải của bài toán:
- Tìm hiểu nội dung bài toán.
- Xây dựng chương trình giải.
- Thực hiện chương trình giải.
- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Khi dạy về quy tắc cộng và quy tắc nhân, trong các bài toán đếm phức tạp
giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chuyển về giải bài toán gián tiếp: Trong
một số bài toán đếm, nếu số phần tử của tập E có tính chất A là khó đếm nhưng
- 18 -
việc đếm số phần tử của E không có tính chất A dễ hơn thì ta nên dùng bài toán
gián tiếp, tức là đếm số phần tử của E không có tính chất A, sau đó tính số phần
tử của tập E có tính chất A bằng số phần tử của tập E trừ đi số phần tử của tập E
không có tính chất A.
E = B
∪
B
Trong đó B là tập hợp các phần tử có tính chất A còn B là tập hợp các
phần tử không có tính chất A
E
B B
Khi đó: /B/ = /E/ - /B/
- Nếu là bài toán chuẩn của dạng đã biết thì hãy sử dụng quy tắc đã biết để
giải.
- Nếu bài toán là không chuẩn thì cần hành động theo 2 hướng: Tách từ
bài toán ra hoặc chia nhỏ bài toán ra thành những bài toán nhỏ có dạng chuẩn
hoặc diễn đạt lại bài toán theo một cách khác, dẫn đến bài toán đến một bài toán
có dạng chuẩn.
Nhiều học sinh cũng biết cách chuyển về bài toán gián tiếp nhưng trong
quá trình chuyển đổi thì lại gặp sai sót. Giáo viên cần đưa ra những ví dụ dễ gặp
những sai sót và hướng dẫn học sinh giải cẩn thận.

PHẦN 3 : KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU.
3.1. Nội dung .
3.1.1. Cách thức tiến hành.
Thực nghiệm được tiến hành tại trường trung học phổ thông Đặng Thai
Mai tôi chọn lớp 11B
1
là lớp thực nghiệm và lớp 11B
2
là lớp đối chứng. Trình độ
chung về môn toán của 2 lớp này là tương đương. Giáo viên dạy lớp thực
nghiệm cũng là giáo viên dạy đối chứng.
3.1.2. Nội dung .
- 19 -
Thực nghiệm được tiến hành trong 6 tiết đầu chương: Tổ hợp và xác suất
(Sách giáo khoa Đại số 11 – nâng cao). Sau khi dạy thực nghiệm, chúng tôi cho
học sinh làm bài kiểm tra. Nội dung đề kiểm tra như sau:
Đề kiểm tra: 20 phút
1. Cho 8 chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Từ 8 chữ số trên lập được bao nhiêu
số có 4 chữ số phân biệt và chia hết cho 5?
(Đáp án: 390)
2. Một lớp học có 7 nam sinh và 4 nữ sinh ưu tú (trong đó có nam sinh
Cường và nữ sinh Hoa). Cần lập một ban cán sự gồm 6 người ưu tú với yêu cầu
có ít nhất 2 nữ, ngoài ra Cường và Hoa không thể làm việc chung với nhau trong
ban cán sự. Hỏi có bao nhiêu cách lập ra ban cán sự?
(Đáp án: 260 cách)
3.2. Đánh gái kết quả .
3.2.1. Đánh giá định kỳ:
Qua các giờ thực nghiệm cho thấy học sinh tiếp thu khá tốt các kiến thức
về Đại số tổ hợp được trang bị. Học sinh học tập một cách tích cực hơn. Nhưng
khó khăn và sai lầm của học sinh đã giảm đi rất nhiều. Qua tiết kiểm tra cho

thấy học sinh tích cực suy nghĩ làm bài kiểm tra và đạt kết quả khá cao.
3.2.2. Đánh giá định lượng:
Kết quả làm bài kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm (TN) và học sinh
lớp đối chứng (ĐC) được thể hiện thông qua bảng thống kê sau:
Điểm
Lớp
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
TN(11B
1
) 32 hs 0 0 1 2 2 3 6 5 6 5 2
ĐC(11B
2
) 32 hs 0 1 2 4 4 4 6 4 5 2 0
* Lớp thực nghiệm 11B
1
có: 84,4% học sinh đạt điểm trung bình trở lên;
trong đó có 56,3% số học sinh đạt điểm khá, giỏi.
* Lớp đối chứng 11B
2
có: 65,6% học sinh đạt điểm trung bình trở lên;
trong đó có 34,4% học sinh đạt điểm khá giỏi.
3.2.3. Kết luận:
- 20 -
Kết quả cho thấy người giáo viên hoàn toàn có khả năng dự đoán được
những sai lầm mà học sinh có thể mắc phải trong giải toán. Đồng thời có thể đưa
ra những biện pháp sư phạm nhằm hạn chế những sai lầm này.
Trong khuôn khổ của đề tài này, tôi không có tham vọng sẽ phân tích
được hết những sai lầm của học sinh và cũng sẽ không tránh khỏi những sai sót.
Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Hội đồng khoa học
trường Trung học phổ thông Đặng Thai Mai, của Hội đồng khoa học Sở Giáo

dục và Đào tạo Thanh Hóa và của quý thầy cô.
Thanh Hoá, ngày 10 tháng 05 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
không sao chép của người khác.
(ký ghi rõ họ tên)

Nguyễn Thị Hà
- 21 -