Sáng kiến kinh nghiệm SKKN ứng dụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa để giải bài toán về dao động điều hòa

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"ỨNG DỤNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU
VÀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN VỀ DAO ĐỘNG
ĐIỀU HÒA"

-1-


A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Như chúng ta đều biết mục tiêu của giáo dục Việt Nam hiện nay là đào tạo con người
Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp.
Trung thành với lí tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, hình thành và bồi dưỡng
nhân cách, năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu sự nghiệp đổi mới và bảo vệ tổ quốc.
Để thực hiện được mục tiêu đó thì ngành giáo dục cần đổi mới phương pháp dạy - học,
nâng cao chất lượng và hiệu quả giáo dục đào tạo.
Vì vậy trong thực tế ở các trường THPT, nhiều giáo viên đã và đang chú trọng nâng
cao trình độ chuyên môn và nghiệp vụ sư phạm của mình. Mục tiêu giáo dục là cả một
quá trình, một hệ thống và đối với các trường THPT trong đó, để học sinh tiếp tục có cơ
hội học tập và phát triển toàn diện hơn ngoài việc thực hiện mục tiêu chung là giáo dục
con người phát triển toàn diện xuyên suốt trong hệ thống giáo dục quốc dân thì một yêu
cầu đặt ra đó là nâng cao số lượng học sinh thi đỗ vào các trường chuyên nghiệp, để các
em tiếp tục có cơ hội phát triển toàn diện, thành một công dân có tri thức phục vụ cho đất
nước, cho xã hội.
Hiện nay thi trắc nghiệm khách quan được đưa vào ứng dụng rộng rãi và có hiệu
quả trong các kì thi quan trọng như thi tốt nghiệp THPT, thi đại học của các môn khoa
học cơ bản: Lí, hoá, sinh…. Phương pháp thi TNKQ yêu cầu học sinh phải có sự bao quát
kiến thức và đặc biệt phải có kĩ năng tốt, tính toán nhanh với các bài tập để có được kết
quả cao trong các kì thi có môn thi TNKQ.
Từ thực tế giảng dạy bộ môn vật lí lớp 12 bản thân tôi thấy rằng học sinh nói chung

và đặc biệt đối với học sinh miền núi, vùng cao, vùng sâu nói riêng khả năng tư duy và
làm các bài tập vật lí nhanh phù hợp với yêu cầu thi cử hiện tại còn rất hạn chế. Trong
những năm gần đây đề thi đại học, cao đẳng môn vật lí kiến thức trong đề thi chủ yếu tập
trung ở lớp 12, trong đó chương " Dao động điều hoà" chiếm tỷ trong khá nhiều trong các
đề thi (từ 8 - 12 câu trong tổng số 50 câu trắc nghiệm khách quan). Vây để góp phần nâng
cao kết quả của bài thi thì việc giải tốt, nhanh các bài tập về chương dao động cơ là cần
thiết. Vì vậy tôi mạnh dạn đưa ra một phương pháp giúp học sinh có khả năng làm nhanh
và chính xác các một số dạng bài tập về dao động điều hoà, đó là đề tài: "Ứng dụng mối
liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hoà - phương pháp véc tơ quay để
giải bài tập về dao động điều hoà" để các đồng nghiệp tham khảo. Rất mong nhận được
sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

-2-


B. TỔ CHỨC THỰC HIỆN
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
* Kiến thức liên quan đến mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn
đều được đưa ra trong sách giáo khoa Vật lý 12 ( bài 6- chương trình nâng cao và bài 1 chương trình chuẩn); sách Bài tập Vật lý 12 (chương trình chuẩn và nâng cao) và ở một
số sách tham khảo.
* Số tiết bài tập vận dụng trên lớp thực hiện theo Phân phối chương trình không
nhiều nên học sinh không được luyện tập nhiều bài tập dạng này. Thực tế khảo sát trên
một số lớp như sau:
Lớp

% HS giải được

% HS còn lúng túng

% HS không biết

12A3

5%

10%

85%

12A4

8%

25%

67%

12A8

7%

15%

77%

* Đề tài chỉ nghiên cứu các bài toàn thuộc chương Dao động cơ trong chương trình
vật lí lớp 12 THPT.
II. CƠ SỞ LÍ THUYẾT:
1. Những kiến thức cơ bản về dao động điều hoà:

1.1. Các khái niệm:
+ Dao động là những chuyển động có giới hạn trong không gian, lặp đi lặp lại nhiều lần
xung quanh vị trí cân bằng.
+ Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái dao động lặp lại như cũ sau những
khoảng thời gian bằng nhau (là dao động mà sau những khoảng thời gian bằng nhau vật
trở về vị trí cũ, theo hướng cũ).

-3-


+ Chu kì dao động là khoảng thời gian để vật thực hiện được một dao động toàn
phần (là khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái dao động lặp lại như cũ): T = Δt/N (N là
số dao động thực hiên được trong khoảng thời gian Δt )
+ Tần số là số dao động toàn phần vật thực hiện được trong một đơn vị
thời gian. f = 1/T = N/Δt
1.2. Dao động điều hoà và các đại lượng đặc trưng.
1.2.1. Khái niệm:
- Dao động điều hoà là dao động mà li độ (vận tốc, gia tốc) được biểu thị bằng một
biểu thức dạng sin hoặc cos theo thời gian:
x = A cos ( ωt + ϕ ).
+ A, ω, φ là những hằng số đối với thời gian (A,ω > 0).
+ Vị trí cân bằng x = 0.
+ Li độ x là độ lệch so với vị trí cân bằng, x có thể dương, âm, hoặc bằng 0
+ Biên độ A là giá trị cực đại của li độ (bằng li độ lúc cos ( ωt + ϕ ) = 1).
+ Pha ban đầu ϕ cho phép xác định trạng thái ban đầu của vật tại thời
điểm t = 0.
+( ωt + ϕ ) Pha dao động là đại lượng cho phép xác định trạng thái dao động tại thời
điểm t (nghĩa là cho biết li độ, vận tốc, gia tốc tại thời điểm t).
+Tần số góc ω là đại lượng trung gian cho phép xác định chu kỳ và tần số .
ω=

2π
= 2πf
T

1.2.2. Vận tốc, gia tốc trong dao động điều hoà.
Xét dao động điều hoà: x = A cos ( ωt + ϕ )
a. Vận tốc tức thời: v = x’ = - A ω sin ( ωt + ϕ ) = A ω cos ( ωt + ϕ +
* Nhận xét:

-4-

π
).
2


- Vận tốc cũng biến thiên điều hoà theo thời gian với tần số bằng tần số của li độ
nhưng sớm pha hơn một góc

π
.
2

- Công thức độc lập đối với thời gian:
Trong đó: A =

v 2 + ω2 x 2
;
ω2

x= ±

v2 + ω2x2 = ω2A2

ω2 A 2 − v 2
;
ω2

v = ± ω2 A 2 − ω2 x 2

- Đồ thị biểu diễn vận tốc theo li độ ( hoặc li độ theo vận tốc), có dạng đường elíp vì:
v2
x2
+
=1
ω2 A 2 A 2
'
''
2
b. Gia tốc: a = v(t ) = x (t ) = − ω A cos(ωt + ϕ) = - ω2x.

* Nhận xét:
+ Gia tốc cũng biến thiên điều hoà theo thời gian với tần số bằng tần số li độ nhưng
ngược pha so với li độ (sớm pha π so với li độ).
+ Đồ thị gia tốc theo li độ: Là đoạn thẳng qua gốc toạ độ. (vì li độ chỉ biến thiên
trong khoảng từ -A đến A).
c.Vận tốc trung bình, tốc độ trung bình:
+ Vận tốc trung bình: vtb =
+ Tốc độ trung bình: V =

∆x x 2 − x1
=
∆t
∆t
S
t

* Khi tính quãng đường cần chú ý:
+ Quãng đường đi được sau một chu kỳ là 4A
+ Quãng đường đi được sau một nửa chu kỳ là 2A
+ Khi chất điểm không đổi chiều chuyển động từ vị trí có li độ x 1 đến vị trí có li độ
x2 thì:
S = x 2 − x1
1.2.3. Năng lượng trong dao động điều hoà.
- Xét dao động điều hoà: x = Acos ( ωt + ϕ ).
- Ta có:
-5-


+ Động năng: Wđ
Wđ =

1 2 1
1
1
mv = m.ω2A 2 sin 2 (ωt + ϕ). = mω2 A 2 − mω2 A 2cos 2(ωt + ϕ).
2
2
4

4

+ Thế năng: Wt
Wt =

1
1
1
1
mω2 x 2 = mω2A 2cos 2 (ωt + ϕ) = mω2 A 2 + mω2 A 2 cos2(ωt + ϕ).
2
2
4
4

+ Cơ năng:
W = W đ + Wt =

1
mω2 A 2 = hằng số.
2

* Nhận xét:
- Cả động năng và thế năng trong dao động điều hoà đều biến thiên điều hoà theo
thời gian t với ω’ = 2ω hay T’ = T/2. (với ω, T, tần số góc và chu kì của li độ).
- Cơ năng của vật dao động điều hoà không đổi theo t, nó tỉ lệ với bình phương
biên độ dao động (phụ thuộc điều kiện ban đầu).
2. Mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hoà:
2.1. Mối liên hệ:
- Xét một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo là đường tròn tâm O bán

kính OM. Chọn một trục Ox qua tâm của quỹ đạo (theo phương
đường kính bất kì), gốc trọc toạ độ trùng
M (t 0)

với tâm O của quỹ đạo. Xét chuyển động
của hình chiếu P của điểm M lên trục Ox, nhận thấy:
- Tại thời điểm ban đầu t = 0
(M chưa chuyển dộng OM hợp với Ox một góc φ )
- Tại thời điểm t bất kì OM quét được một góc: ωt
(ω là tốc độ góc của M).
Vậy tại thời điểm t OM hợp vơi Ox một góc là (ωt+φ )
- Khi đó khoảng cách từ P đến O (toạ độ của P) là x:

-6-

ωt
ϕ
O P

M

+

(t =0)

x


x = OM.cos(ωt+φ ) có dạng là phương trình dao động điều hoà. Vậy điểm P dao động
điều hoà trên trục Ox với vị trí cân bằng là O.

2.2 Kết luận:
- Hình chiếu của một chuyển động tròn đều lên một trục bất kì đi qua tâm của quỹ đạo là
một dao động điền hoà với VTCB là tâm của đường tròng quỹ đạo chuyển động. Đoạn
OM có độ dài là biên độ của dao động điều hoà.
- Trên cơ sở ấy ta thấy rằng để khảo sát một dao động điều hoà ta có thể khảo sát chuyên
động tròn đều tương ứng với dao động điều hoà ấy như đã trình bày trên về mặt thời
gian, trạng thái chuyển động.
- Thời gian, thời điểm trong chuyển động nói chung và trong dao động điều hoà nói
riêng là một yếu tố vật lí hết sức quan trọng, quyết định giúp chúng ta xác định được
trạng thái chuyển động của vật và các đại lượng khác liên quan đến chuyển động của vật
như vận tốc, gia tốc, năng lượng….
- Công thức xác định thời gian: để xác định thời gian vật dao động điều hoà từ vị trí có
toạ độ x1 đến vị trí có toạ độ x 2 ta sẽ xác định thời gian vật chuyên động tròn đều từ M 1
đến M2 với x1, x2 là hình
chiếu của M1, M2 lên trục đi qua tâm quỹ đạo: Ta xác định góc
uuuur
quét α của véc tơ OM khi M di chuyển từ M1 đến M2 (chiều dương của chuyển động
tròn là chiều ngược chiều kim đồng hồ)
α
α = ω.∆t ⇒ ∆t =
ω

M

M

(α = β+γ)

- Aγ
2

Với ω = 2π/T (tốc độ góc của chuyển động

α

1

β

x2 O x
1

tròn đều - tần số góc của dao động điều hoà)

A

x

2.3. Véc tơ quay:
- Từ các kết luận
trên ta thấy rằng: Li
độ của điểm P trên trục ox là độ dài hình chiếu của
uuuur
uuuur
véc tơ quay OM , uuuu
Mặt
khác véc tơ OM còn biểu thị được chiều chuyển động của P, như
r
vậy véc tơ quay OM biểu diễn cho dao động điều hòa của P. Từ đây ta khái quát hóa:
Một dao động điều hòa được biểu diễn bời một véc tơ quay.

- Cách biểu diễn một dao dộng điều hòa bằng véc tơ quay:
+ Phương trình dao động điều hòa: x = Acos (ωt+φ) (1)
+ Chọn trục chuẩn (trục pha) ox.
+ (t=0) có đặc điểm sau:
+ Véc tơ OM biểu diễn dao động (1) tại thời điểm ban đầu
M

O

-7-φ

x


uuuur

Độ
dài OM tỉ lệ với A.
uuuur
( OM , ox) = φ

+ Để phù hợp với chiều quy ước của đường tròn lượng giác ta chon chiều dương
ngược chiều kim đồng hồ.
III. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
1. Dạng 1: Xác định khoảng thời gian vật dao động điều hoà thực hiện một quá
trình:
1.1. Phương pháp giải:
+ Bước 1: Xác định vị trí của điểm đầu M1 và điểm cuối M2 trên đường tròn.
+ Bước 2: Xác định góc quét α của vectơ quay biểu diễn dao động khi vật đi từ M 1
đến M2.

+ Bước 3: Thời gian vật thực hiện quá trình là:
α = ω.∆t ⇒ ∆t =

α
T
=α
ω
2π

(góc α: rad)

1.2. Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Định thời gian theo li độ:

Một vật

π
3

dao động điều hoà với phương trình x = 5cos(2 π t + )cm. Xác định thời gian ngắn nhất
vật đi từ li độ 2,5cm đến li độ -2,5 3 cm?
* Giải:
+ Thời gian ngắn nhất
đi từ li độ 2,5cm
đến li độ
M
1
M
-2,5 3 cm
tương

ứng
với
vật 2
chuyển
động
trên
đường
tròn
từ
vị
trí
M1
đến -5 vị
trí β M2
(vận
tốc
5
x
trên trục x chưa đổi chiều):
-2,5
O 2,5

α
γ

-8-


2,5
π

2,5 3
π
⇒ β = ;sin γ =
⇒γ =
5
6
5
3
π
⇒α = β +γ =
2
sin β =

+ Thời gian ngắn nhất vật vật đi từ M1 đến M2 là:

π
α
1
∆t = = 2 = ( s )
ω 2π 4

* Nếu giải bằng phương pháp đại số học sinh sẽ phải xác định thời điểm t 1 tại li độ x =
2,5cm theo chiều âm và xác định thời điểm t 2 tại li độ x = -2,5 3 cm khi đó xẽ xác định
được Δt = t2 - t1 (việc làm này sẽ dài và mất thời gian, dễ bị tính toán sai).
Bài tập 2: Định thời gian theo vận tốc:
Một vật dao động điều hoà với chu kì 2s biên độ bằng 5cm. Tính thời gian ngắn nhất để
vật tăng tốc từ 2,5π cm/s đến 5π cm/s?
* Giải: Tốc độ cực đại: vmax = Aω = 5.

2π

= 5π (cm / s) .
2

+ Vì vận tốc cũng biến thiên điều hoà theo thời
gian với cùng tần số với li độ nên cũng được
biểu diễn bằng một véc tơ quay giống li độ (trục
chuẩn là trục Ov), biên độ của vận tốc tức thời là
tốc độ cực đại.
+ Thời gian ngắn nhất để vật tăng tốc từ 2,5π cm/s
đến 5π cm/s tương ứng với thời gian vật chuyển
động trên đường tròn từ vị trí M1 đến vị trí M2 :
cos α =

2,5π
π
⇒α =
5π
3

π
→ ∆t = α = 3 = 1 ( s )
ω π
3

Bài tập 3*: Định thời gian theo lực:

-9-

O

2,5π

M

α 5π
M
1

2

v


Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với phương trình
x = 5cos(5πt + π) (cm) (gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống). Biết độ
cứng của lò xo là 100N/m và gia tốc trọng trường tại nơi đặt con lắc là g = π2 (m/s2).
Trong một chu kì, tìm khoảng thời gian lực đàn hồi tác dụng lên quả nặng có độ lớn lớn
hơn 1,5N ?
* Giải: Tại vị trí cân bằng, độ dãn của lò xo là: ∆l =

g
π2
=
= 0,04m
ω 2 (5π ) 2

+ Lực đàn hồi tác dụng lên quả nặng:
F = k (∆ l + x) = k∆ l + kx = 100.0,04 + 100.0,05 cos(5πt + π ) = 4 + 5 cos(5πt + π ) ( N ) + Nhận xét:
lực đàn hồi biến thiên điều hòa với biên độ 5N xung quanh vị trí cân bằng có toạ độ F =
4N. Ta biểu diễn lực đàn hồi qua vectơ quay như sau:

Khoảng thời gian lực đàn hồi tác dụng lên quả nặng có độ lớn lớn hơn 1,5N tương
ứng với thời gian vật chuyển động từ M 1 đến M2 trên đường tròn Góc do vectơ quay quét
M

được trong thời gian đó là:

2, 5
π
2π 4π
cos β =
⇒ β = ⇒ α = 2π
−
=
2
5
3
3
3
β

4π
Thời gian cần tìm: ∆t = α = 3 = 4 ( s)
ω 5π 15

− 11,5

4

α

9

F

M
1

Bài
tập
4:
Định
thời
gian
theo
năng
lượng:
Một vật dao động với phương trình x = 2cos3 πt (cm). Tính thời gian ngắn nhất để vật đi
từ vị trí có động năng bằng thế năng đến vị trí động năng bằng 3 lần thế năng?
* Giải: Đối với dạng toán này ta nên đưa về tính theo li độ.
+ Tại vị trí có động năng bằng thế năng: W = Wđ + Wt = 2Wt
⇔

1
1
A
mω 2 A 2 = 2 mω 2 x 12 ⇒ x 1 = ±
2
2
2

+ Tại vị trí có động năng bằng ba lần thế năng: W = Wđ + Wt = 4Wt
⇔

1
1
A
mω2 A 2 = 4 mω2 x 22 ⇒ x 2 = ±
2
2
2

M2

α

+ Vì tại t = 0 vật ở vị trí biên dương nên thời gian
-10- − A

−

A
2

A A
2 2

M1

A

x


ngắn nhất suy ra vật đi từ vị trí có x 1 = +
đến x 2 = +

A
2

A
tương ứng với thời gian vật chuyển
2

động trên đường tròn từ vị trí M1 đến vị trí M2
(hoặc ngược lại): Góc quét được là: α =
Thời gian:

π π π
− =
3 4 12

π
α
1
∆t = = 12 = ( s)
ω 3π
36

1.3. Bài tập đề nghị:

Bài 1: Một vật dao động với tần số 2Hz và biên độ 4cm. Tính thời gian ngắn nhất để vật
đi giữa 2 li độ 2cm và -2

3 cm

?

Đs:

1
s
8

Bài 2: Một vật dao động điều hoà có vận tốc khi đi qua vị trí cân bằng là 6π cm/s. Tính
thời gian ngắn nhất để vật thay đổi vận tốc từ 3π 2 (cm/s) đến 3π 3 (cm/s) ?
Đs:

T
s
24

Bài 3: Một vật dao động với phương trình x = 2cos3πt (cm). Tính thời gian ngắn nhất để
vật đi từ vị trí ban đầu đến vị trí động năng bằng 3 lần thế năng?
Đs:

1
s
18

Bài 4: Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo có độ cứng K = 100N/m. Vật có khối

lượng 0,5 kg dao động với biên độ 5 2 cm. Tính thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có
lực tác dụng lên điểm treo cực đại đến vị trí lực tác dụng lên điểm treo cực tiểu? Lấy g =
10m/s2.
Đs: 0,17s
Bài 5: Một vật có khối lượng 100g được treo vào lò xo có độ cứng 100N/m. Tìm thời
gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có hợp lực tác dụng lên vật cực đại đến vị trí có lực tác
dụng lên vật bằng nửa cực đại?
Đs: 0,2s

-11-


Bài 6: Một vật dao động điều hoà trong 4 giây thực hiện được 20 dao động. Khoảng cách
từ vị trí cân bằng đến điểm có vận tốc cực tiểu là 3cm. Tìm thời gian để vật tăng tốc từ
15π đến 15 3 π cm/s?
Đs:

1
s
30

2. Dạng 2 Xác định thời điểm vật qua một vị trí cho trước:
2.1.
Phương
+ Bước 1: Cần xác định chính xác vị trí của vật ở

M

pháp

1

x1

đầu trên đường tròn (vị trí M0).
+ Bước 2: Xác định vị trí có tọa độ x1 mà vật sẽ đi
qua theo bài ra trên đường tròn (vị trí M1 hoặc M2).

α

M

thời điểm ban đầu trên trục Ox (xo) suy ra vị trí ban

M

O

xo

giải
0

x

2

* Chú ý: Vị trí có toạ độ x = x1 tương ứng có 2 vị
trí trên đường tròn, vị trí đó khi vật đang đi theo
chiều âm (M1) và vị trí đó khi vật đang đi theo chiều dương (M 2): (xác định theo chiều

của trục Ox, không phải chiều của đường tròn)
+ Bước 3: Nếu tìm thời điểm qua x1 theo chiều âm ta làm như sau:
Xác định khoảng thời gian vật đi từ vị trí M0 tới M1 lần đầu tiên từ công thức:
α = ω.∆t ⇒ ∆t =

α
ω

Trong đó α là góc mà véc tơ quay biểu diễn dao động điều hoà đã quét được khi vật di
chuyển
từ
vị
trí
M0
đến
M 1.
t = ∆t +

+ Bước 4. Thời điểm cần tìm là:

2nπ

ω

= ∆t + n.T (n ∈ N )(1)

* Các trường hợp đặc biệt:
- Xác định thời điểm vật qua vị trí theo chiều âm hoặc chiều dương lần thứ k:
+ Vật đi qua vị trí x = x1 lần thứ k theo chiều âm trong biểu thức (1)

-12-


lấy
n
=
k-1.
+ Nếu tìm thời điểm qua x1 theo chiều dương ta làm tương tự chỉ khác là khoảng thời
gian
là khoảng thời gian từ vị trí đầu M0 đến vị trí M2 trên đường tròn
- Nếu xác định thời điểm qua vị trí lần thứ n mà không yêu cầu đến chiều chuyển động:
+ Trong một chu kì thi chất điểm qua một ví trí bất kì là hai lần.

Nếu bài toán là: Tìm thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x 1 lần thứ n (không yêu
cầu về chiều) với n là số lẻ thì thời điểm cần tìm là:
t = ∆t +

Trong đó

n −1
.T (n ∈ N )(2)
2

là khoảng thời gian vật đi từ vị trí ban đầu M0 đến vị trí M1.

Giải
thích
biểu
thức:
- Trong khoảng thời gian

vật tới M1 nghĩa là qua x1 lần thứ nhất. Để vật qua x 1 lần thứ
n = 3 thì véctơ bán kính phải quay được 1 vòng. Thời gian vật đi khi véc tơ quay được 1
3 − 1 2π
.
vòng đúng bằng
. Để vật qua vị trí x1 lần thứ n = 5 thì véctơ bán kính phải quay
2 ω
thêm 2 vòng kể từ thời điểm t = . Khoảng thời gian cần dùng để véc tơ bán kính quay
5 − 1 2π
.
thêm hai vòng này là:
. Vậy công thức (2) là đúng.
2 ω

Nếu bài toán là: Tìm thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x 1 lần thứ n với n là số
chẳn thì thời điểm cần tìm là:
t = ∆t +

n −2
.T (n ∈ N )(3)
2

Trong đó

là khoảng thời gian vật đi từ vị trí ban đầu M0 đến vị trí M2.

Giải
thích
biểu
thức:

- Trong khoảng thời gian
vật tới M2 nghĩa là qua x1 lần thứ hai. Để vật qua x1 lần thứ n
= 4 thì véc tơ bán kính phải quay được 1 vòng . Thời gian vật đi khi véctơ quay được 1
4 − 2 2π
.
vòng đúng bằng:
. Để vật qua vị trí x 1 lần thứ n = 6 thì véctơ bán kính phải
2
ω
quay thêm 2 vòng kể từ thời điểm t = . Khoảng thời gian cần dùng để véc tơ bán kính
6 − 2 2π
.
quay thêm hai vòng này là:
. Vậy công thức (3) là đúng.
2
ω

-13-


2.2. Bài tập ví dụ:

π
)(cm) Xác
3
định thời điểm vật qua vị trí x= - 3cm lần thứ 2011 theo chiều âm. (đề thi ĐH năm 2011)
Bài tập 1: Cho một dao động điều hoà có phương trình: x = 6 cos( 2πt +

* Giải:

π

Tại thời điểm ban đầu t = 0, tọa độ vật là x0 = 6 cos( ) = 3(cm) .
3
+ Vị trí ban đầu trên đường tròn là M0
+ Vị trí vật qua x1 = -3(cm) theo chiều âm là vị trí M1 trên đường tròn.
α
α 3
π
+ Thời gian vật đi từ M 0 đến M1 là ∆t =
Với ω = 2π (radM/1 s ) ; sin M = ⇒ α = Suy
20 6
3
ω
π
α6
1
-6
ra
∆t = = 3 = ( s )
-3 O 3 ωx 2π
6
+
Vì
vật
qua
lần
thứ
2011
nên

ta
có
n
=2010

α

Thay số ta được: t = ∆t +

2nπ 1
= + 2010.T = 2010,167( s)
ω
6

Bài tập 2: Cho một dao động điều hoà có phương trình: x = 10 cos(5πt −
định thời điểm vật qua vị trí x = -5

2 cm

π
)(cm) . Xác
6

lần thứ 2012 theo chiều dương?

* Giải: Tại thời điểm ban đầu t = 0, tọa độ vật là:
+ Vị trí ban đầu trên đường tròn là M0

-14-

π
x = 10 cos(− ) = 5 3 (cm) .
6


+

Vị

trí
vật
qua
x
=
-5
vị
trí
M2
5 3
5 2
sin β =
⇒ β = π ; cos γ =
⇒γ =π
3
4
10
10
π π π 13π
⇒α = + + =
3 2 4 12

2 cm

theo

M1

trên
10

-5

α

chiều
M0
β đường
10

γO

M

5

dương

là
tròn.

x

2

13π
α
+ Thời gian vật đi từ M0 đến M2 là:
∆t = = 12 = 13 ( s )
60
ω 5π
+ Vì vật qua lần thứ 2012 nên n =2011
+ Thay số ta được: t = ∆t +

2nπ 13
=
+ 2011.T = 2011, 217( s)
ω
60

Chú ý: Có hai điểm M1, M2 tương ứng với li độ x = -5
nên ta lấy điểm M2.

2 cm

nhưng vì theo chiều dương

Bài tập 3: Cho một dao động điều hoà có phương trình: x = 6 cos(2πt +

π
)(cm) Xác

3

định thời điểm vật qua vị trí x = -3cm lần thứ 2011.
* Giải:
+ Làm hoàn toàn tương tự như bài tập 1.
+ Vật qua lần thứ n = 2011 là số lẻ nên kết quả là :
t = ∆t +

n −1
1 2011 − 1
.T = +
.T = 1005,167( s )
2
6
2

Bài tập 4: Cho một dao động điều hoà có phương trình: x = 10 cos(5πt −
định thời điểm vật qua vị trí x = -5

2 cm

lần thứ 2012?

* Giải:
+ Làm tương tự như bài tập 3.
-15-

π
)(cm) . Xác
6

+ Vật qua lần thứ n = 2012 là số chẵn nên kết quả là :
t = ∆t +

n−2
13 2012 − 2
.T =
+
.T = 402, 217( s )
2
60
2

2.3. Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho một dao động điều hoà có phương trình: x = 10 cos(5πt +

π
)(cm)
4

Xác định thời điểm vật qua vị trí x = 5 3 cm lần thứ 1001?
Đs: 200,017s
Bài 2: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục x theo phương trình

π
)(cm) . Tìm thời điểm vật qua vị trí x = 2,5 2 cm lần thứ1999 theo
6
chiều dương?
Đs: 1998,96s

π
Bài 3: Cho một dao động điều hoà có phương trình: x = 6 cos(5πt + )(cm)
2
x = 5 cos(2πt −

Xác định thời điểm vật qua vị trí x = 3 3 cm lần thứ 2012 theo chiều âm?
Đs: 804,33s
3. Dạng 3: Tính quãng đường trong dao động điều hòa:
3.1. Phương pháp
Một trong những thói quen đáng tiếc của đa số học sinh là thường xuyên sử dụng công
thức tính quãng đường S = v.t cho mọi chuyển động. Mặc dù công thức đó chỉ đúng cho
chuyển động đều. Do đó cần giúp các em học sinh khắc phục khuyết điểm nói trên. Trước
khi tìm hiểu phương pháp ta có một số nhận xét:
- Quãng đường đi trong một chu kỳ bằng 4A Do đó nếu ∆t = nT thì S = 4nA
- Quãng đường vật đi trong nửa chu kỳ luôn bằng 2A, do đó nếu thời gian dao động ∆t
= n. T/2 thì quãng đường vật đi được là S = n.2A
* Phương pháp:
Bài toán yêu cầu tính quãng đường trong một khoảng thời gian từ t 1 đến t2 ta thực hiện
các bước sau :
+ Bước 1: Tính khoảng thời gian ∆t = t2 – t1 so sánh với chu kỳ dao động T
-16-


+ Bước 2: Thiết lập biểu thức: ∆t = nT + τ; (τ < T)
Trong đó n nguyên ( n∈ N) Ví dụ : T =1s, ∆t = 2,5s thì ∆t =2.T +0,5
+ Bước 3: Quãng đường được tính theo công thức:
S = 4nA + ∆S (∆S là quãng đường đi được trong khoảng thời gian τ)
+ Bước 4: Tính ∆S:
- Xác định trạng thái thứ nhất: x1 = Asos(ωt1 +ϕ ); v1 = - ωAsin(ωt1 + ϕ )
- Và trạng thái thứ hai: x2 = Asos(ωt2 +ϕ ) ; v2 = - ωAsin(ωt2 + ϕ )

(v1, v2 chỉ cần xác định dấu để biết chiều chuyển động)
- Dựa vào v1 và v2 để tính ∆S.
* Trường hợp đặc biệt:
-

Nếu t = 0 lúc vật ở biên: thì cứ T/4 thì vật

đi được quãng đường A. Ta có thể tính S
bằng cách phân tích ∆t = n. T/4 + τ; (τ < T/4)
+ Nếu n lẻ thì

S = n.A + A.sin ω τ

+

chẵn

-

Còn

n

thì

S

=

n.A

+

A.(1-

cos

Nếu t = 0 lúc vật ở vị trí cân bằng: thì ta làm
tương tự nhưng:

ωτ

+ n lẻ (hình 8.1)thì áp dụng công thức
S = n.A + A.(1- cos ω τ )
+ n chẵn (hình 8.2) thì áp dụng công thức
S = n.A + A.sin ω τ
3.2. Bài tập vận dụng:

-17-

Hình 8.2

ω

τ

)


Bài tập 1: Vật dao động điều hoà với chu kì T=2s, biên độ A=2cm. Lúc t = 0 nó bắt đầu

chuyển động từ biên. Sau thời gian t =2,25s kể từ lúc t= 0 nó đi được quãng đường là
bao nhiêu?
M

* Giải:
∆ t = 2,25s ; T = 2s ⇒ ∆t = T + 0,25

ωτ

Do vật xuất phát từ biên. Ta có S = 4. A + A(1 – cos(ωτ)

O

Thay số: A = 2cm, ω = π rad/s, τ =0,25s
ta có: S = 4.2 + 2(1 – cos 0,25π) = (10 -

B

x

∆s
2 )cm

Bài tập 2: Một vật dao động với biên độ 4cm và chu kỳ 2s. Mốc thời gian khi vật có động
năng cực đại và vật đang đi theo chiều dương. Tìm quãng đường vật đi được trong 3,25s
đầu
* Giải:
+ t = 0 khi x = 0, v > 0.
+ Ta có t = 3,25s = 6.T/4 + 0,25s
+ Do vật xuất phát từ vị trí cân bằng và n chẵn nên :

S = n.A + A.sin ω τ = 6.4 + 4 sin( π.0,25) = 26,83 cm.
Bài tập 3: Một vật dao động điều hoà với phương trình: x = 6cos(4 πt + π/3)(cm;s). Tính
quãng đường vật đi được từ lúc t = 1/24s đến thời điểm 77/48s
* Giải:
+ Lúc t = 0: x = 3cm; v < 0 ; chu kì T =
+ Ta có : ∆t = t2 – t1 =

2π
= 0,5s
4π

B
M

77 1
−
= 1,5625s = 3T + 0,0625 s
48 24

Quãng đường : S = 3.4.6 + ∆S

ωτ
∆s

-18-

x


Lúc t =

1
s thì x = 0 , v < 0
24

Lúc t =

77
s thì x = − 3 2 cm , v < 0.
48

O

Vì vật chưa đổi chiều chuyển động nên ∆S = A sin ω τ
Vậy :

S = 3.4.6 + 6. sin (4π. 0,0625) = 76,24 cm.

3.3. Bài tập đề nghị:
Bài 1. Một vật dao động điều hòa với biên độ bằng 3 cm. Khi t = 0 vật ở vị trí có động
năng bằng không. Tìm quãng đường vật đi được từ đó đến khi động năng bằng một phần
3 thế năng lần thứ 3 ?
ĐS: (9 -1,5 3 )cm
Câu 2. Tìm quãng đường ngắn nhất để vật đi từ vị trí có pha bằng π/6 đến vị trí lực phục
hồi bằng nửa cực đại ? Biết biên độ dao động bằng 3cm. ĐS : 1.06cm
Câu 3. Một vật dao động theo phương trình x = 4cos(10πt + π/4) cm. t tính bằng giây.
Tìm quãng đường vật đi được kể từ khi vật có tốc độ 0,2π 3 m/s lần thứ nhất đến khi
động năng bằng 3 lần thế năng lần thứ tư?
ĐS : 12cm
Câu 4. Vật dao động điều hoà trên 1 đoạn thẳng có chiều dài 10cm. Tìm quãng đường

ngắn nhất vật đi được giữa 2 thời điểm có động năng bằng thế năng?
ĐS : 5(2- √2)
Câu 5. Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng ngang không ma sát. vật có khối lượng 200g,
lò xo nhẹ có độ cứng 50N/m. người ta kéo vật theo phương trục lò xo cho lò xo giãn 3cm
rồi thả nhẹ. Tính quãng đường vật đi được từ lúc thả vật đến thời điểm động năng bằng
11,25mJ lần thứ 100?
ĐS :(303 – 1,5

2 )cm

4. Dạng4 :Tính quãng đường cực trị trong dao động điều hòa:
4.1. Phương pháp:
* Trước hết ta xác định quãng đường cực đại và cực tiểu trong khoảng thời gian t ≤ T/2
(quãng đường ≤ 2A)
+ Tính quãng đường cực đại.

-19-


Ta đã biết trong dao động điều hòa vật chuyển động càng nhanh nếu vật chuyển
động càng gần vị trí cân bằng và chuyển động càng chậm nếu vật chuyển động càng gần
biên, do đó trong cùng một khoảng thời gian ∆t ≤ T/2 vật chuyển động được quãng
đường dài nhất nếu vật chuyển động giữa 2 điểm đối xứng nhau qua vị trí cân bằng.
+ Theo hình vẽ ta có:
+ Mà

MOˆ N

Smax = 2A.sin

ˆ
MON
2

= ω ∆t thay vào (1) ta có:
Smax = 2A.sin

ω.∆t
2

N

M
ω.
O
S

(1)

+ Trường hợp tính quãng đường ngắn
nhất trong khoảng thời gian ∆t thì vật đi từ một điểm

x

ma
x

đến biên rồi quay lại chính điểm đó, tương tự trường
hợp cực đại ta có:
Smin = 2A(1- cos

ω.∆t
)
2

* Trường hợp tổng quát ∆t >T/2 thì ta làm như sau :
+ Lập biểu thức : ∆t =
+ Tính :

N

(2)
O

T
+ τ; (τ < T/2)
2

Smax = 2A + 2A.sin

ω.

S min
2

x

M

ω.τ

2

(trong đó 2A là quãng đường trong khoảng thời gian T/2,
trong khoảng thời gian τ quãng đường đi được xác định như trên )
Smin = 2A + 2A(1- cos

ω.τ
)
2

4.2. Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ 2s, biên độ 4cm. Tìm quãng đường dài
nhất, ngắn nhất vật đi được trong khoảng thời gian 5/3s?
-20-


* Giải:
Ta có : ∆t =

2π
T
2
= π (rad / s )
+ (s) ; ω =
2
3
T

Suy ra : Smax = 2A + 2A.sin

π .2
3
= 2.4 + 2.4.
= 14,93 cm
2.3
2

Smin = 2A + 2A(1- cos

π .2
) = 3.4 = 12 cm.
2.3

Bài tập 2: Một vật dao động điều hoà khi đi từ 2 vị trí có động năng bằng thế năng mất
thời gian ngắn nhất là 0,25s. Tính quãng đường cực đại khi vật đi trong khoảng thời gian
2/3s? Biết khoảng cách 2 điểm xa nhau nhất khi vật dao động đi qua bằng 10cm.
* Giải:
Hai điểm xa nhau nhất khi vật dao động đi qua bằng 10cm:
2A = 10 => A = 5 cm.
Động năng bằng thế năng sau những khoảng thời gian ngắn nhất là
T
= 0,25s ⇒ T = 1s
4

Ta có : ∆t =

2π
T
1
= 2π (rad / s )

+ (s) ; ω =
2
6
T

Suy ra : Smax = 2A + 2A.sin

1
2π .1
= 2.5 + 2.5. = 15 cm
2.6
2

4.3. Bài tập đề nghị:
Bài 1. Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo thẳng. Biết khoảng cách 2 điểm xa nhau
nhất bằng 5cm. Thời gian tối thiểu để vật tăng tốc từ không đến cực đại là 0,6s. Tính
quãng đường cực đại và cực tiểu vật đi được trong 0,4s?
Đs: 2,5cm; 5(1-

3
)cm
2

Bài 2. Tính quãng đường cực đại trong khoảng thời gian bằng thời gian cần thiết để động
năng chuyển hóa hết thành thế năng? Biết biên độ dao động điều hoà bằng 4cm.
Đs: 4 cm
-21-


Bài 3. Tính quãng đường dài nhất vật đi được trong 2 phần ba chu kỳ dao động điều hoà?

Biết li độ khi có động năng bằng thế năng là 3 cm.
Đs:

6 3

cm

Bài 4: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox, quanh vị trí cân bằng O với biên độ
A và chu kỳ T. Trong khoảng thời gian T/4, tìm quãng đường lớn nhất mà vật có thể đi
được ? ( Đề thi CĐ năm 2008)
Đs: A

IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Ưu điểm của phương pháp sử sụng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và doa
động điều hoà - phương pháp giản đồ vectơ quay là đơn giản, dễ nhớ. Do đó, sau khi
hướng dẫn học sinh áp dụng giản đồ vectơ quay vào giải từng loại bài tập cụ thể như trên,
tôi nhận thấy các em học sinh thấy được rõ hơn mối quan hệ giữa dao động điều hòa và
chuyển động tròn đều, từ đó tự tin vận dụng rất tốt để giải các loại bài tập liên quan. Đặc
biệt khi làm các bài tập trắc nghiệm, các em tìm ra kết quả rất nhanh và chính xác, phát
huy được khả năng phân tích, tổng hợp và tư duy sáng tạo của các em.
Sau khi đưa ra cách phân loại và cách giải trên, kết quả khảo sát và thống kê ở 3
lớp 12 trường THPT Hà Văn Mao năm học 2012 - 2013 cho thấy:
Lớp

% HS giải được

% HS còn lúng
% HS không biết
túng

12A3

47%

33%

20%

12A4

55%

40%

5%

12A8

63%

23%

14%

C. KẾT LUẬN
I. TỔNG KẾT:
-22-


Với việc đưa ra phương pháp giải bài tập dao động điều hoà bằng mối liên hệ giữa

chuyển động tròn đều và dao động điều hoà - phương pháp giản đồ vectơ quay đã giúp
các em học sinh chủ động hơn và tìm ra đáp án một cách nhanh nhất khi gặp những bài
tập liên quan đến thời gian trong dao động điều hoà. Từ đó kích thích khả năng tìm tòi
sáng tạo của các em, hình thành cho các em phương pháp phân tích, chọn lọc, tổng hợp
trong quá trình tiếp thu kiến thức.
Trên đây chỉ là một số dạng bài tập điển hình vận dụng mối liên hệ giữa chuyển động
tròn đều và dao động điều hoà, trên cơ sở các dạng bài tập này học sinh sẽ mở rộng vận
dụng cho các dạng bài tập khác, đặc biệt hiệu dụng cho những học sinh khá giỏi, đam mê
môn vật lí trong việc giải các bài tập về dao động điều hoà.
Đề tài này còn có thể phát triển và vận dụng ở dạng bài tập về sóng cơ (tìm biên độ,
độ lệch pha, bước sóng, tốc độ truyền sóng …), bài tập về dòng điện xoay chiều; bài tập
về dao động điện từ.... trong những chương tiếp theo của chương trình vật lí 12 THPT.
Do kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế nên chắc chắn rằng đề tài còn nhiều thiếu sót,
tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các quý thầy cô vào SKKN của mình, để
được học hỏi thêm những kinh nghiệm quí báu và góp phần nâng cao tính khả thi cho đề
tài.
II. BÀI HỌC KINH NGHIỆM, SỰ PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI:
Để việc truyền đạt kiến thức cho học sinh có hiệu quả, cụ thể là kỹ năng giải bài
tập khắc sâu kiến thức, người giáo viên cần có cách nhìn tổng quát đồng thời phải biết
chọn lọc trong quá trình giảng dạy. Như vậy từ những kiến thức đã có trong sách giáo
khoa người thầy cần phải nghiên cứu, tham khảo rồi phân tích, tổng hợp để tích luỹ thêm
nhiều kiến thức, nhiều dạng bài tập để định hướng tư duy cho học sinh, hướng dẫn các
em biết phân loại và tìm ra cách giải tối ưu, lựu chọn cách giải nhanh nhất, dễ nhớ nhất,
đặc biệt đối với những môn thi TNKQ.
Phương pháp dùng mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và doa động điều hoà phương pháp vectơ quay để giải bài tập dao động đã giúp các em học sinh khắc sâu có
hiệu quả đặc tính của một dao động điều hòa. Những kiến thức này các em đã được nghe
giảng trong giờ học lý thuyết nhưng nếu không được hướng dẫn phân tích, tổng hợp và
áp dụng để tìm ra cách giải bài tập thì việc ghi nhớ kiến thức là điều khó đối với các em.
Phương pháp dùng giản đồ vectơ quay để giải bài tập dao động điều hoà còn được
áp dụng mở rộng và phát triển trong các chương tiếp theo của chương trình vật lí 12 cụ

thể:

-23-


1. Chương trình Vật lý lớp 12 (chương trình chuẩn):
Chương I: DAO ĐỘNG CƠ (đã nghiên cứu)
Chương II: SÓNG CƠ VÀ SÓNG ÂM
Chương III: DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU
chương IV: DAO ĐỘNG VÀ SÓNG ĐIỆN TỪ
2. Chương trình Vật lý lớp 12 (chương trình nâng cao):
Chương II: DAO ĐỘNG CƠ
Chương III: SÓNG CƠ
Chương IV: DAO ĐỘNG VÀ SÓNG ĐIỆN TỪ
Chương V: DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU
Nhìn chung phương pháp sử dụng mối liên hệ giữu chuyển động tròn đều và dao
động điều hoà - phương pháp véc tơ quay có thể được thao tác tính toán vận dụng cho các
đại lượng vật lí biến thiên điều hoà theo thời gian.
III. ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ:
Để làm tốt công tác giảng dạy, người giáo viên không chỉ nắm vững kiến thức mà còn
phải có những kỹ năng dạy học cần thiết kết hợp với thực tế cuộc sống thì mới có thể
hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức có hiệu quả. Đặc biệt môn vật lí là môn khoa học
thực nghiệm, để học sinh tiếp thu kiến thức một cách chủ động và vận dụng được kiên
thức vật lí vào thực tiễn thông qua việc giải các bài tập định tính, định lượng, giải thích
hiện tượng vật lí trong thực tế.... thì người giáo viên cần có phương pháp để học sinh có
thể hình dung đuợc quy trình của một chuyển động hay hiện tượng vật lí thông qua việc
mô phỏng hoặc sử dụng đồ dùng dạy học trực quan....
Muốn học tốt môn vật lí phải hiểu được hiện tượng vật lí, các định luật, định lí trong vật
lí chỉ là phương tiện, công cụ cho chúng ta tiếp cận, thao tác với các chuyển động, hiện
tượng vật lí. Bên cạnh đó cộng cụ về toán học trong vật lí hết sức quan trọng, vì vậy song

song với việc hướng dẫn học sinh tiếp cận với một phần kiến thức vật lí nào đó thì người
giáo viên cần nhắc lại những kiến thức toán học liên quan, đối với lớp 12 thì các kiến
thức toán như: Lượng giác, số mũ, tích phân, hàm số....là phương tiện toán học xuyên
suất cả chương trình.
Trong vật lí thì việc phân dạng bài tập chỉ là tương đối, mỗi bài tập lại có nhiều cách giải
khác nhau vì vậy người giáo viên cần có sự đúc kết các cách giải, hướng dẫn học sinh tìm

-24-


tòi cách giải nhanh và chính xác nhất để phù hợp với yêu cầu, mức độ kiểm tra đánh giá
hiện nay, đồng thời cùng là rèn luyện kĩ năng tư duy sáng tạo cho học sinh.
Để làm tốt được công tác giảng dạy bộ môn vật lí ở trường THPT người giáo viên phải
thường xuyên tự bồi dưỡng về chuyên môn, nghiệp vụ cho bản thân. thông qua việc
tham khảo các tư liệu cần thiết như:
- Sách tham khảo chuyên sâu, tạp chí Vật lý, các đĩa, băng từ về giáo dục, về những
thông tin mới trong lĩnh vực vật lý…
- Đầu tư và sử dụng có hiệu quả các trang thiết bị để phục vụ tốt cho công tác giảng dạy.
Đối với tổ chuyên môn cần có những buổi thảo luận về phương pháp giảng dạy, phương
pháp giải bài tập của một nội dung kiến thức vật lí nào đó trong chương trình THPT, qua
đó trao đổi kinh nghiệm, học hỏi lẫn nhau. Có thể tập hợp các phương pháp lại thành hệ
thống để làm tư liệu dạy học của mỗi cá nhân trong tổ./.

-25-