Sáng kiến kinh nghiệm SKKN một số phương pháp tính thể tích hình chóp

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH HÌNH CHÓP"

1


A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LỜI MỞ ĐẦU.
Trong chương trình Hình học 12 thì phần thể tích khối đa diện, trong đó có bài toán tính
thể tích khối chóp là một phần rất quan trọng. Các năm gần đây, ở các đề thi tốt nghiệp
THPT và các đề thi Đại học, Cao đẳng thường xuyên có một câu về tính thể tích khối đa
diện và chủ yếu là tính thể tích khối chóp.
Tuy nhiên thời lượng học chương trình này lại rất ít. Ở chương trình chuẩn chỉ có 2 tiết,
chương trình nâng cao cũng chỉ có 3 tiết. Bên cạnh đó nội dung trong sách giáo khoa
chưa phân được các dạng toán cụ thể . Chẳng hạn để tính thể tích khối chóp, ở chương
trình SGK nâng cao Hình học lớp 12, chỉ đưa ra được một ví dụ minh họa đó là: “Tính
thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng a”. SGK chỉ dừng lại ở ví dụ trên mà không
có thêm bất cứ một ví dụ nào khác, cũng như không nêu rõ các bước giải toán khi mà
hình chóp không phải là hình chóp đều. Điều này đã gây khó khăn lớn với hầu hết học
sinh khi làm bài tập tính thể tích các khối chóp khác nhau.
II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
1.Thực trạng:
Thực tế, qua nhiều năm giảng dạy ở trường THPT Đặng Thai Mai, với phần đa số là học
sinh thuộc trung bình, tôi nhận thấy rằng phần lớn các em đều không hứng thú học hình
không gian trong đó có phần tính thể tích khối chóp. Các em gần như bỏ qua phần này
hoặc chỉ học mang tính chất đối phó. Điều đó dẫn đến các em không đạt yêu cầu khi giải
các bài toán về thể tích khối chóp.
2.Kết quả của thực trạng
Tôi đã cho tiến hành khảo sát ở ba lớp12 năm học 2009 - 2010: 12C1, 12C2, 12C3 tại

trường THPT Đặng Thai Mai về bài tính thể tích khối chóp ngay sau bài thể tích khối đa
diện với bài toán sau:
“Tính thể tích khối chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đôi một vuông góc và có độ dài đều
bằng a”.
Kết quả thu được như sau:
Lớp

Sĩ số

Vẽ hình

Xác định

đúng

được
đường

Tính đúng Trình
bày
thể tích
đúng

2


cao
12C1

45

15(33,3%) 13(28,9%)

10(22,2%)

7
(15,6%)

12C2

47

11(23,4%) 9(19,1 %)

6(12,8%)

4 (8,5%)

12C3

43

12(27,9%) 7(16,2%)

5(11,6%)

3 (7 %)

Từ bảng trên ta thấy có đến hơn 67% không vẽ đúng hình, trên 71% học sinh
không xác định được đường cao của hình chóp, trên 77% không tính được thể tích và trên

84% không biết trình bày hoặc lập luận chưa chính xác.
Từ thực trạng trên, để giúp các em có thể tiếp thu dễ dàng hơn các bài toán tính thể tích
khối chóp, tôi đã tìm tòi, nghiên cứu, sắp xếp, phân loại các dạng toán tính thể tích khối
chóp gần giống với các dạng toán trong Đại số qua sáng kiến kinh nghiệm :
“Một số phương pháp tính thể tích khối chóp”.
Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn rằng học sinh được trang bị một cách
tương đối đầy đủ và toàn diện về phương pháp tính tính thể tích của khối chóp. Giúp học
sinh để có một cái nhìn sâu hơn về bài toán tính thể tich khối chóp nói riêng và các bài
toán thể tích khối đa diện nói chung, đáp ứng được yêu cầu ngày càng cao trong các kì thi
tốt nghiệp THPT và tuyển sinh Đại học, Cao đẳng.
B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
1.Cơ sở lí luận:
- Các tính chất của quan hệ vuông góc, quan hệ song song trong không gian, các công
thức tính diện tích tam giác, tứ giác:
- Một số dạng tính thể tích khối chóp:
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào công thức V=

1
B.h
3

( B là diện tích đáy, h là chiều cao)
Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ giữa các cạnh của nó với các cạnh của
khối chóp khác đã biết thể tích và công thức:
VSA ' B 'C ' SA '.SB '.SC '
=
VSABC
SA.SB.SC

3

(A’,B’,C’ lần lượt nằm trên các cạnh SA,SB,SC của hình chóp S.ABC)
Dạng 3: Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ và công thức thể tích
1 uuur uuur uuur

khối chóp ABCD: V= 3  AB, AC  . AD
2.Các biện pháp để tổ chức thực hiện:
Bài giảng được thực hiện qua các tiết dạy bồi dưỡng học sinh, tự chọn, ôn tập hoặc phụ
đạo nhằm khắc phục thời lượng hạn chế theo Phân phối chương trình.
Cung cấp cho học sinh các dạng toán tính thể tích khối chóp (phương pháp, ví dụ minh
họa và bài tập áp dụng giúp học sinh tự rèn luyện, ôn tập) :
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào công thức V=

1
B.h
3

(1)

( B là diện tích đáy, h là chiều cao)
Dạng này được sử dụng ở các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Khối chóp có cạnh bên nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng chứa đa giác đáy.
Phương pháp:
- Xác định đường cao (chính là cạnh bên vuông góc với đáy).
- Tính đường cao và diện tích đáy. Từ đó và áp dụng công thức (1)
để tính thể tích khối chóp.
Một số ví dụ minh họa .
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).SA=a, tam

giác ABC vuông tại B và BA=BC= b. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Lời giải:

S

Ta có SA ⊥ ( ABC ) nên SA
là đường cao của hình chóp S.ABC
S ABC

C

a

1
b2
= BA.BC =
2
2
b

1
1 1
1
b
Ta có thể tích khối chóp S.ABC là: V= ASA.S ∆ABC
= a. b 2 = ab 2 (đvtt)
3
3 2 B 6

4

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=a,
tam giác ABC có A= α và AB=b, AC=c. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Lời giải:

S

Ta có SA ⊥ ( ABC ) nên SA
là đường cao của hình chóp S.ABC
S ABC =

1
bc sin α
AB. AC sin α =
2
2

.

C

a

Thể tích khối chóp S.ABC là:
c

1
1 1
1

V = SA.S ∆ABC = a. bc sin α = abc sin α (đvtt)
3
3 2
6
b
A

α

B

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông
góc với đáy.Góc giữa SC và đáy bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Lời giải:
Vì SA vuông góc với mặt phẳng

S

(ABCD) nên SA là đường cao của hình
chóp S.ABCD.
Mặt khác AC=

AB 2 + AC 2 = a 2
A

AC là hình chiếu vuông góc của SC

D

trên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa SC

và mặt phẳng (ABCD) là góc SCA.
B
Suy ra SCA =600 và SA=AC.tanSCA=
a

2 .tan60

0

=a

6

C

Diện tích đáy ABCD bằng SABCD=AB2=a2.
Thể tích khối chóp S.ABCD bằng:

V=

1
1
a3 6
SA.S ABCD = a 6.a 2 =
3
3
3

(đvtt)

Bài tập áp dụng:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt đáy.Tính
thể tích khối chóp S.ABCD biết:
a) Cạnh AB= a, AD=2a, SA=3a.
b) Cạnh đáy AB=a

3,

AD=a, góc giữa AC với mặt phẳng (SBC) bằng 300.
5


Trường hợp 2: Khối chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với mặt đáy.
Phương pháp:
- Xác định đường cao .
(chính là cạnh chung của hai mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy).
- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1)
để tính thể tích khối chóp.
Một số ví dụ minh họa .
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có hai mặt bên (SAB), (SAD) vuông góc với đáy. SA
=a, đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc A=1200. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Lời giải:
Vì (SAB) và (SAD) cùng vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) nên
SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) hay SA là đường cao của
hình chóp S.ABCD.
Ta

có

SABCD=2SACD
2

Suy ra thể
S.ABCD

tích

khối

1
1 a 2 3 a3 3
V = SA.S ABCD = a.
=
3
3
4
12

A

mà

B

2

1
1a 3 a 3

DA.DC.sin D =
=
2
2 2
4
2
a 3
⇒ S ABCD =
2
S ABCD =

S

D

C

chóp
(đvtt)

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông cạnh a. Các mặt
phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SC tạo với đáy một góc
300. Tính thể tích khối chóp
Lời giải:
Vì (SAB) và (SAD) cùng vuông

S

góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay

B

A

D

C

6


SA là đường cao của hình chóp
Ta có: SABCD=AB2=a2,
AC= AB 2 + BC 2 = a 2 . SA ⊥ AC (vì SA ⊥ (ABCD) ), suy ra AC là hình chiếu vuông góc
của SC xuống mặt phẳng (ABCD) nên góc SCA bằng 300.
Xét tam giác SAC vuông tại A có SA=AC.tanSCA =
Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD :

a 2.tan 300 =

a 6
3

1
1 a 6 2 a3 6
V = SA.S ABCD =
.a =
3
3 3
9

(đvtt)

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác vuông cân tại B,
AB=BC=2a. Các mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng(ABC).Gọi M
là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc
giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.BCMN.
Lời giải:
Vì (SAB) và (SAD) cùng vuông

S

góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) hay SA là
đường cao của hình chóp S.BCMN .
Vì AB ⊥ BC (giả thiết) nên

C
N

A

SB ⊥ BC (định lí ba đường vuông góc)

M

Và góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc SBA.
Suy ra SA=AB.tan SBA = 2a.tan600 = 2

B

3 a.

Mặt khác MN// BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC và
S BCMN =

3
3 1
3a 2
S ABC = . BA.BC =
4
4 2
2
1

Thể tích khối chóp S.BCMN: V= 3 .SA.S BCMN

= a3 3

(đvtt)

Bài tập áp dụng:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC=a, hai mặt phẳng
(SAC) và (SAB) cùng vuông góc với đáy.Góc tạo bởi SC và mặt đáy bằng 60 0.Tính thể
tích khối chóp.

7


Trường hợp 3: Khối chóp có hai mặt phẳng đi qua đỉnh (không chứa mặt bên) cùng

vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
Phương pháp:
- Xác định đường cao. (nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng
cùng vuông góc với mặt đáy).
- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức
(1) để tính thể tích khối chóp.
Một số ví dụ minh họa .
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A ,
AB=AD=2a, CD =a, góc giữa SC và (ABCD) bằng 60 0.Gọi I là trung điểm cạnh AD.
Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD theo a.
Lời giải:
Vì (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SI vuông
S

góc với mặt phẳng (ABCD) hay SI là
đường cao của hình chóp S.ABCD .
IC là hình chiếu vuông góc của SC
Xuống mặt phẳng (ABCD) nên góc

B

A

giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc SCI

I

0

=60 .Theo định lí Pitago ta có:

600

IC = ID 2 + DC 2 = a 2 + a 2 = a 2 ⇒ SI=IC

D
.tan
SCI= a

C

2.tan 600 = a 6

Tứ giác ABCD là hình thang cân nên ta có
SABCD= S ABCD =

( AB + CD). AD (2a + a)2a
=
= 3a 2
2
2
1

1

Thể tích khối chóp S.ABCD: V= 3 SI .S ABCD = 3 .a

6.3a 2 = a 3 6

(đvtt)

8


Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Gọi M là trung
điểm của AB, hai mặt phẳng (SMC) và (SMB) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 45 0. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
theo a.
Lời giải:

S

Vì (SBI) và (SCI) cùng vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) nên SI vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) hay SI là
B

A

đường cao của hình chóp S.ABCD .
Gọi N là trung điểm của BC ta có

600

M

MN là đường trung bình của hình
D

vuông ABCD nên MN ⊥ BC suy ra SN
(ABCD) là góc SNM= 450.

⊥ BC

N

C

và góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và

Ta có MN=a và SM=MN.tanSNM=a.tan450=a. SABCD=AB.AD=a2
Thể tích khối chóp S.ABCD: V=

1
a3
SM .S ABCD =
3
3

(đvtt)

Ví dụ 9:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD=120 0. Gọi O là giao
điểm của AC và BD, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) .Góc giữa hai mặt phẳng SA và (ABCD) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp
S.ABCD theo a.
Lời giải:
Vì (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SO vuông góc với mặt
phẳng (ABCD) hay SO là đường cao của hình chóp S.ABCD

AO là hình chiếu vuông góc của SA

S

xuống mặt phẳng (ABCD) nên
góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD)
là góc SAO = 600. Ta có OAB = 600
nên AO

= AB.cos600 =

a
2

D

C

và
O
A

B

9


SO=AO.tan SAO=

a

a 3
tan 600 =
.
2
2
a2 3
2

SABCD=AB.AD.sinBAD =a2.sin1200 =
Thể tích khối chóp S.ABCD: V=

.

1
1 a 3 a2 3 a3
SO.S ABCD = .
.
=
3
3 2
2
4

(đvtt)

Bài tập áp dụng:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB và AD. H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và SH= a .Tính thể tích khối chóp S.CDMN
Trường hợp 4: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy.

Phương pháp:
- Xác định đường cao (hạ từ đỉnh xuống cạnh đáy là giao giữa
mặt bên đó với mặt đáy ).
- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức
(1) để tính thể tích khối chóp.
Một số ví dụ minh họa .
Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có đáy lớn là AB =
2a, AD =CD =a và hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với nhau, tam giác SAB
đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB khi đó SH

⊥ AB

3
= a 3 .Gọi
2

của hình chóp.SH=SA.sin600= 2a.
khi đó
2

a
a 3
KD = AD − AK = a −  ÷ =
2
2
2

2

2

suy ra SH ⊥ (ABCD) hay SH là đường cao

.

K là hình chiếu vuông góc của D trên AB
S

1
3 3a 2
SABCD= KD.( AB + CD) =
2
4

Thể tích khối chóp S.ABCD:
V=

1
1
3 3a 2 3a 3
.SH .S ABCD = .a 3.
=
3
3
4
4

(đvtt)

A

K

D

B

H

C

10


Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. SA=a,SB= a 3
và mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN.
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của S trên AB ta có SH ⊥ (ABCD) hay SH là đường cao của hình
chóp S.BMDN.
S

Mặt khác tam giác SAB có
SA2 +SB2=AB2 (a2+3a2=4a2)
Nên vuông tại S suy ra
1
1
1
a 3

= 2 + 2 ⇒ SH =
2
SH
SA SB
2

.

Thể tích khối chóp S.BMDN:
V=

1
1 a 3
a3 3
SH .S BMND = .
.2a 2 =
3
3 2
3

H

A

1
SBMND= MN .DB = 2a 2
2

M

B
N

C

D

(đvtt)

Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. SA=SB và mặt
phẳng (SAB) vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng 45 0 . Tính theo a thể
tích khối chóp S.ABCD.
Lời giải:
Gọi I là trung điểm của AB suy ra SI

S

⊥ AB

và SI

⊥ (ABCD)

hay SI là đường cao của hình chóp S.ABCD.
Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD)
là góc SCI =450.

A

B

I

Xét tam giác vuông SCI vuông cân tại I
D

C

11


Có SI =IC=

CB 2 + BI 2 = a 2 + a 2 = a 2 ,

SABCD=AB2=4a2
Thể tích khối chóp S.ABCD:

V=

1
4a 3 2
SI .S ABCD =
3
3

(đvtt)

Bài tập áp dụng:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên (SAB) vuông góc với

đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết
a)

AB=2a, AD=2a, tam giác SAB đều.

b)

AB=2a, AD=a và tam giác SAB cân tại S, góc giữa SC và mặt đáy bằng 45 0.

Trường hợp 5: Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau thuộc mặt đáy.
Phương pháp:
- Xác định đường cao (chính là cạnh bên đó ).
- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1)
để tính thể tích khối chóp.
Một số ví dụ minh họa .
Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đôi một vuông góc,
SA=AB=AC=a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Lời giải:
SA ⊥ AB
⇒ SA ⊥ ( ABC )
SA ⊥ AC

Ta có 

S

nên SA là đường cao của hình chóp S.ABC
S ABC =

1
a2
AB. AC =
2
2

a
C

Thể tích khối chóp S.ABC là:
1
1 1
1
V = SA.S ∆ABC = a. a 2 = a 3 (đvtt)
3
3 2
6

Ví dụ 14:

a
A
a
B

12


Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đôi một vuông góc, SA=a, AB=AC= b.
Tính thể tích khối chóp S.ABC.

S
Lời giải:
SA ⊥ AB
⇒ SA ⊥ ( ABC )
SA ⊥ AC

Ta có 

C

nên SA là đường cao của hình chóp S.ABC
S ∆ABC

A

1
b2
= AB. AC =
2
2
1
3

1
3

1
2

1

6

B

Thể tích khối chóp S.ABC là: VS.ABC= SA.S ∆ABC = a. b 2 = ab 2 (đvtt)
Bài tập áp dụng:
Cho hình chóp S.ABC trong đó SA,AB,AC đôi một vuông góc, SA=a, AB=b,
AC=c.Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Trường hợp 6: Khối chóp đa giác đều.
Phương pháp:
- Xác định đường cao (hạ từ đỉnh xuống tâm của đa giác đáy ).
- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1)
để tính thể tích khối chóp.
Một số ví dụ minh họa .
Ví dụ 15:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết cạnh bên bằng a
mặt đáy bằng 450. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCS

2

,góc tạo bởi cạnh bên và

Lời giải:
Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có SO ⊥ (ABC)
nên SO là đường cao của hình chóp. Xét tam giác SOA vuông tại O có góc
giữa SA và mặt phẳng (ABC) là góc
SAO =450.Suy ra AO=SA.cosSAO=a ,A
SO=SA.sin SAO=a. Gọi M là trung điểm
của BC ta có :

B
M

O
C

13


3

AM= 2 AO =
SABC=

3a
AM
, AB =
=a 3.
2
sin 600

1
3 3a 2
AM .BC =
2
4

Thể tích khối chóp S.ABCD: V=

1

a3 3
.SO.S ABC =
3
4

(đvtt)

Ví dụ 16:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt
đáy bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
Lời giải:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, khi đó SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay SO là
đường cao của hình chóp. Gọi M là trung điểm của
cạnh BC khi đó OM ⊥ BC và SM ⊥ BC, góc giữa Smặt phẳng
(SBC) và mặt phẳng (ABCD) là
góc SMO =600.
Xét tam giác SOM vuông tại O có
SO=OM.tan600=

D

a
a 3
. 3=
2
2

SABCD=AB2=a2.
Thể tích khối chóp S.ABCD: V=

C

M
O
A

1
a3 3
SO.S ABCD =
3
6

B

(đvtt)

Bài tập áp dụng:
Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy
bằng 450. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ giữa các cạnh của nó với các cạnh của
khối chóp khác đã biết thể tích và công thức:
VSA ' B ' C ' SA '.SB '.SC '
=
VSABC
SA.SB.SC

(A’,B’,C’ lần lượt nằm trên các cạnh SA,SB,SC của hình chóp S.ABC)

14

Phương pháp:
- Tính thể tích khối chóp S.ABC
- Lập tỉ số các cạnh từ đó suy ra thể tích khối chóp S.A’B’C’.
Một số ví dụ minh họa .
Ví dụ 17:
Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Gọi B’ và D’ lần lượt là trung điểm của AB và
AD. Mặt phẳng (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần. Tính thể tích hai phần đó
Lời giải: Ta có

A

VAB 'CD ' AB '. AC. AD ' 1
1
=
= ⇒ VAB 'CD ' = V
VABCD
AB. AC. AD
4
4

D'
B'

1
3
⇒ VBCDD ' B ' = V − V = V
4
4

D
B

Ví dụ 18: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hìnhC vuông cạnh a. SA vuông góc
với mặt đáy và SA =2a . Gọi B’,D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Mặt phẳng
(AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Lời giải: Ta có AB’ ⊥ SB và AB’ ⊥ CB (CB ⊥ (SAB) suy ra AB’ ⊥ SC
Tương tự AD’ ⊥ SC suy ra SC ⊥ AC’

S

Do tính đối xứng nên ta có
VS.AB’C’D’=2VS.AB’C’.Mặt khác

C'

VS . AB 'C ' SB '.SC ' SB.SB ' SC.SC '
=
=
.
VSABC
SB.SC
SB 2
SC 2
=

2

2

2

B'
D

2

A

SA SA
4a .4a
8
. 2 = 2 2 =
2
SB SC
5a .6a
15

Suy ra

8
VS.AB’C’= VS . ABC
15

D'

O

mà

B

C

1
1
1 2 a3
VS.ABC= .SA.S ABC = .2a. a =
3
3
2
3

15


nên thể tích khối chóp S.AB’C’D’ : V = 2.

8 a 3 16a 3
. =
15 3
45

(đvtt)

Bài tập áp dụng: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 5 , đường
chéo AC =4, đoạn thẳng SO= 2 2 (O là tâm của hình thoi) vuông góc với đáy.Gọi M là
trung điểm của cạnh SC. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp
S.ABMN.
Dạng 3: Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ và công thức thể tích

khối chóp ABCD:
Phương pháp:

1  uuur uuur  uuur
V=  AB, AC  . AD
3

(2)

- Chọn hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxyz phù hợp

- Tọa độ hóa bài toán.
- Áp dụng công thức (2) để tính thể tích khối chóp .
Một số ví dụ minh họa .
Ví dụ 19:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=a 2 , SA=a và
SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC,
I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tich khối tứ diện ANIB.
Lời giải:

E

Dựng hệ trục tọa độ Oxyz
Sao cho O trùng với A,Ox
Trùng với tia AD,Oy trùng
với tia AB,Oz trùng với tia

H

A

B

OS.
F

Trong hệ trục này ta có
A(0;0;0), D(a

2 ;0;0),

D

G

C

16


a 2
a 2 a a
; ; ).
;0;0), N(
2
2 2 2
uuur
uuu
r −a 3 a − a uuur −a 2 a − a
1

1 uur
a 3 a
IB ⇒ IM = − IB ⇒ I (
; ;0) NA (
; − ; ), NB (
; ; )
2
2
2 3
2
2 2
2
2 2

B(0;a;0), C(a

2 ;a;0),

S(0;0;a).

Khi đó M(

Ta có MI=

uur − a 2 a − a
uuu
r uuur
 a2
a2 2 
, NI (

; − ; ) ⇒  NA , NB  =  ;0;
÷
2
6 2
2 ÷
 2


Thể tích khối tứ diện ANIB :
V=

r uuur uur 1 − a 3 2 a 3 2 a 3 2
1  uuu
NA
, NB  .NI =
+
=
6
6 12
4
36

(đvtt)

Ví dụ 20:
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B. AB=a,
AA’=2a, A’C=3a. Gọi M là trung điểm của A’C’ và I là giao điểm của AM và AC. Tính
thể tich khối tứ diện ABCI.
Lời giải: Xét hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O trùng với B, Ox trùng với tia BC, Oy trùng
với tia BA,Oz trùng với tia BB’.Khi đó ta có A(0;a;0), B(0;0;0),C(2a;0;0).Do A’M=

1
2
4a
AC ⇒ IH = AA ' =
.
2
3
3

Kẻ HN//BC và HP//AB khi đó

1
2a
2
2a
2 a 2a 4 a
HN = BC =
, HP = AB =
⇒ I( ; ; )
3
3
3
3
3 3 3 A'
uu
r  2a a 4a  uur  2a 2a 4a 
⇒ IA  − ; ; − ÷, IB  − ; − ; − ÷,
3 
3
3 

 3 3
 3
2
uur  4a 2a 4a  uu
r uur  4a
2a 2 


IC  ; − ; − ÷,  IA, IB  =  −
;0;
÷
3
3 
3 
 3
 3

C'
M

B'

Thể tích khối tứ diện ABCI:
V=

r uur uur 1 −16a 3 8a3 4a 3
1  uu
IA
, IB  .IC =
−

=
6
6 9
9
9

(đvtt)
A

Bài tập áp dụng:

C

H
P
N

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. M, N, P lầnB lượt là trung điểm
của các cạnh AB, AD và A’D’ . Tính theo a thể tích khối chóp C’.MNP

17


C.KẾT LUẬN
1.Kết quả nghiên cứu:
Sau khi áp dụng phương pháp trên vào ba lớp đã nêu, tôi đã cho học sinh kiểm tra qua ba
bài toán sau:
Bài 1(6 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt
phẳng (SAC) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Góc tạo bởi (SCD) và mặt đáy bằng 60 0.
Tính thể tích khối chóp.

Bài 2(4 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên
(SAB)vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết AB=2a, tam giác SAB
cân tại S, góc giữa SC với mặt đáy bằng 600, khoảng cách giữa AB và (SCD) bằng a 3 .
Kết quả thu được như sau
Lớp

Sĩ số

Điểm

Điểm

Điểm

Điểm

Điểm

9-10

7-8,5

5-6,5

3-4,5

0-2,5

12C1

45

5(11,1%) 23(51,1%) 16(35,6%) 1(2,2%) 0(0 %)

12C2

47

6(12,8%) 20(42,6%) 19(40,4%) 2(4,2%) 0(0 %)

12C3

43

4(9,3%)

17(39,5%) 9(20,9 %)

2(4,7
%)

1(2,3 %)

Kết quả cho thấy chất lượng từ trung bình trở lên đạt trên 97% trong đó có trên 21% đạt
khá giỏi. Như vậy có thể thấy hiệu quả rõ rệt khi thực hiện phương pháp trên vào dạy
học. Điều đặc biệt quan trọng hơn nữa mà phương pháp đem lại đó là đã tạo được niềm
tin ở bản thân, sự say mê và hứng thú rất cao của các em khi giải các bài toán tính thể
tích khối chóp nói riêng và bài toán hình học không gian nói chung.
2.Ý kiến đề xuất:

18


- Với khả năng, kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế, việc áp dụng phương pháp cũng
như hệ thống bài tập đưa ra ở trên chắc chắn sẽ không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong các
đồng nghiệp cũng như quý vị độc giả góp ý để SKKN này được hoàn thiện hơn .

19