Luận văn phép tính TENXƠ và một số ứng dụng trong cơ học vật rắn biến dạng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------

ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------

ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

Mã số: 60440107
Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS VŨ ĐỖ LONG

Hà Nội


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi
điều kiện thuận lợi và thường xuyên động viên để tác giả hoàn thành luận văn này.
Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trường đại học Khoa học Tự nhiên,
ĐHQGHN và các thầy, cô trong Khoa Toán – Cơ – Tin học đã quan tâm, giúp đỡ và tạọ điều kiện
thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại Khoa.
Tác giả xin cảm ơn các nhà khoa học, các thầy cô giáo trong seminar Cơ học vật rắn biến dạng đã
có những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện luận văn.
Tác giả xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự
nhiên – ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình nghiên cứu của tác giả.
Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn bè thân thiết của tác giả, những người đã luôn
ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này.
Tác giả
Đào Thị Bích Thảo



MỤC LỤC
TỔNG QUAN......................................................................................................................................1
Chương 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ.........................................................................3
1.1 Một số khái niệm cơ bản.........................................................................................................3
1.2. Phép biến đổi tọa độ..............................................................................................................4
1.2.1. Hệ tọa độ Đề các..................................................................................................................4
1.2.2. Hệ tọa độ cong....................................................................................................................6
1.2.3. Phép biến đổi tọa độ...........................................................................................................7
1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide..............................................................................11
1.3. Thành phần vật lý của tenxơ.................................................................................................15

1.3.1. Tenxơ hạng nhất................................................................................................................15
1.3.2. Tenxơ hạng hai..................................................................................................................15
1.3.3. Khai triển cụ thể................................................................................................................15
1.4. Đạo hàm hiệp biến...............................................................................................................17
1.4.1. Đạo hàm véctơ cơ sở........................................................................................................17
1.4.2. Kí hiệu Christoffel..............................................................................................................18
1.4.3. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất...........................................................................21
1.4.4. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai.............................................................................22
Chương 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ...............................................................23
2.1. Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động.........................................23
2.2. Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị..............................26
2.3. Ứng dụng tenxơ trong bài toán vỏ mỏng..............................................................................28
2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi..................................................................................28
2.3.2. Thành phần biến dạng của vỏ mỏng..................................................................................29
2.3.3. Phương trình cân bằng......................................................................................................30
2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu...............................................................................................31


TỔNG QUAN

Tenxơ là một khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải quyết
các vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực như cơ học môi trường liên tục, lý thuyết đàn
hồi, lý thuyết tương đối rộng… Tenxơ lần đầu tiên được nghiên cứu bởi các nhà
toán học Tullio Levi-Civita và Gregorio Ricci- Curbastro cùng một số nhà toán học
khác. Trong luận văn này tenxơ được sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ giữa các
tập véctơ hình học.
Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi người ta thường sử dụng hệ các
phương trình cân bằng, phương trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng chuyển vị. Việc thiết lập các phương trình đó dựa trên các hệ tọa độ cong như hệ tọa
độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tương đối phức tạp. Vì vậy trong các bài báo hay các
giáo trình cơ học nói chung thường chỉ nêu ra trực tiếp phương trình cân bằng, hệ

thức Côsi mà không nói rõ các bước biến đổi để thu được kết quả.
Luận văn trình bày rõ ràng các khái niệm, phép tính cơ bản, các phép biến đổi
của tenxơ. Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ để xác định các phương
trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, các phương trình cân bằng- chuyển động trong
hệ tọa độ cong bất kỳ. Từ kết quả trên sau khi biến đổi, tác giả đã thu được các
phương trình liên hệ biến dạng – chuyển vị cũng như hệ phương trình cân bằng
trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu.
Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chương, phần kết luận và tài
liệu tham khảo. Nội dung chính của luận văn bao gồm:
-

Chương 1 trình bày khái niệm, thành phần vật lý của tenxơ, một số phép tính
của tenxơ và đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng nhất, hạng hai. Đồng thời
tác giả cũng trình bày cách biến đổi để thu được hệ véctơ cơ sở, tenxơ mêtric
hiệp biến và phản biến, các thành phần của kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé
trong hệ tọa độ cong, cụ thể là hệ tọa độ trụ và cầu, từ đó giúp ích cho việc
xác định các phương trình cân bằng- chuyển động, phương trình liên hệ biến
dạng- chuyển vị ở chương 2.

1


-

Chương 2 vận dụng các hệ thức cơ sở của phép tính tenxơ để xây dựng các
phương trình cân bằng- chuyển động và xây dựng các phương trình liên hệ
biến dạng- chuyển vị. Đồng thời cũng trình bày ứng dụng của tenxơ trong bài
toán vỏ mỏng, cụ thể hơn là áp dụng khai triển cho vỏ trụ và vỏ cầu.

Nội dung của luận văn sẽ được trình bày chi tiết dưới đây:

2


Chương 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ
1.1 Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa
Tenxơ là trường hợp riêng của hệ thống phần tử, các thành phần của hệ là hằng số
hoặc là hàm số xác định trong hệ cơ sở đã cho, với phép biến đổi tuyến tính của hệ
cơ sở các thành thay đổi theo một quy luật xác định.
Hệ thống kí hiệu
Các kí hiệu trong hệ thống đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số trên và dưới.
Ví dụ như .
Theo quy ước: các chỉ số bằng chữ la tinh lấy cá giá trị 1,2,3. Ví dụ, nếu kí hiệu
nghĩa là biểu thị 1 trong 3 phần tử biểu thị 1 trong 9 phần tử , , , ,
Hạng của tenxơ
Hạng của tenxơ xác định bằng số lượng chỉ số trong kí hiệu tenxơ. Như phụ thuộc
vào một chỉ số nên là hệ thống hạng 1 bao gồm 3 hạng tử. phụ thuộc vào 2 chỉ số
nên là hệ thống hạng 2 bao gồm phần tử.
Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n chỉ số là hệ thống hạng n gồm phần tử.
Quy ước về chỉ số
Chỉ số trong hệ thống tenxơ tuân theo quy ước: “ Trong một biểu thức, nếu chỉ số
lặp lại 2 lần , nó biểu thị tổng đó từ 1 đến 3”. Chỉ số như vậy là chỉ số câm nên nó
có thể thay bằng chữ khác.
Ví dụ:
Hệ thống đối xứng
Xét hệ thống hạng hai
Nếu thay đổi chỗ của 2 chỉ số cho nhau, các thành phần của hệ thống không thay
đổi dấu giá trị thì hệ thống gọi là hệ thống đối xứng.

.
Nếu thay đổi vị trí của 2 chỉ số cho nhau, thành phần của hệ thống chỉ thay đổi dấu
mà không thay đổi giá trị tuyệt đối thì hệ thống là hệ thống phản đối xứng.

3


Ví dụ hệ thống Kronecker
nếu
nếu

là hệ thống đối xứng

Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số
Hệ thống đối xứng với hai chỉ số nào đấy, nếu thành phần của nó không thay đổi
khi đổi chỗ hai chỉ số đó cho nhau.
Ví dụ: Nếu hệ thống đối xứng theo 2 chỉ số thì
Hệ thống Levi-Civita là một hệ thống phản đối xứng hạng 3
khi 2 chỉ số bất kỳ bằng nhau
khi là hoán vị chẵn của các số 1, 2, 3.
khi là hoán vị lẻ của các số 1, 2, 3
Cụ thể:

,

,
Cách thành phần còn lại của .
Loại tenxơ
Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) được xác định bởi vị trí của chỉ số.
Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hiệp biến hạng hai.

Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ phản biến hạng hai.
Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hỗn hợp hạng hai

1.2. Phép biến đổi tọa độ
1.2.1. Hệ tọa độ Đề các

4


Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc với
véc tơ cơ sở (Hình 1)
là véctơ bán kính của điểm P bất kỳ
trong hệ tọa độ Đềcác.
O
Hình 1.

Véc tơ được biểu diễn dưới dạng
(1.1)
Xét điểm Q là lân cận của điểm P.
là độ dài bình phương vô cùng nhỏ của
Do trong hệ tọa độ Đềcác hệ các véctơ cơ sở là các véctơ đơn vị và trực giao nên
tích vô hướng =0 nếu , nếu nên .
Suy ra:
a. Các phép tính đối với tenxơ hạng nhất ( vectơ )
Xét một hệ thống có các thành phần trong hệ cơ sở .
Phép cộng
Nhân với một số
Nhân vô hướng
Nhân véctơ
Hay viết dưới dạng:

Tích hỗn hợp

5


Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ là )
b. Các phép tính đối với tenxơ hạng hai. Tenxơ hạng cao
Đối với tenxơ hạng hai và tenxơ hạng cao, các phép tính cũng được thực hiện tương
tự như đối với tenxơ hạng nhất.
Chú ý là phép tính cộng, trừ chỉ áp dụng được với các tenxơ cùng hạng và cùng
loại. Phép nhân có thể thực hiện với hai tenxơ có hạng bất kỳ.
Ví dụ: xét tenxơ hạng hai :
Phép cộng

Phép trừ
Phép nhân vô hướng

Tích tenxơ
Phép nhân( tích tenxơ) của các ten xơ dẫn đến tenxơ hạng cao hơn với chú ý sau các
phép cộng và nhân tenxơ, chỉ số dưới vẫn là chỉ số dưới, chỉ số trên vẫn là chỉ số
trên.
1.2.2. Hệ tọa độ cong

6


Hệ tọa độ cong với hệ véc tơ cơ sở
(Hình 2).
là véctơ bán kính của điểm P bất kỳ
trong hệ tọa độ cong.

Biểu diễn véc tơ dưới dạng :

O

Hình 2

Lấy điểm là lân cận của điểm .
Độ dài bình phương của véc tơ vô cùng nhỏ được xác định bằng
Trong đó
Phép tính đối với vectơ
Cho hai véctơ

và

Phép cộng, trừ
Tích vô hướng

1.2.3. Phép biến đổi tọa độ

Bán kính của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác biểu diễn dưới dạng:
Với các véc tơ cơ sở là không đổi.
Trong tọa độ cong bất kỳ, các biến liên hệ với tọa đồ Đề các trong miền đang xét

7


bằng phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân được, đơn trị.
và
Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn nghịch đều khác không.
Ta có:

Suy ra 2 ma trận là nghịch đảo của nhau.
Ta kí hiệu :
hay
(1.3)
Các véctơ thay đổi từ điểm này sang điểm khác gọi là hệ véctơ cơ sở hiệp biến của
hệ tọa độ cong. Trong đó
là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ;
là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ;
là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ .
Cùng với hệ véctơ cơ sở , ta đưa vào hệ véctơ cơ sở phản biến liên hệ theo hệ thức
sau
(1.4)
Nếu xét một lân cận vô cùng nhỏ của điểm P trong tọa độ cong, thì chuyển dịch vô
cùng nhỏ từ tới điểm cho ta vi phân vô cùng nhỏ của véc tơ bán kính của điểm .
Vậy véctơ được biểu diễn dưới dạng:
Phép biến đổi đơn trị, thuận nghịch vi phân được từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa
độ cong khác
Ta kí hiệu là các rêpe địa phương trong hệ tọa độ cong Do đó sẽ được xác định
từ biểu thức:
Thay ở (1.3) vào ( 1.6), biểu thức trở thành:
Khai triển cụ thể sẽ được kết quả:

8


Ngược lại, nếu biến đổi từ hệ tọa độ cong sang hệ tọa độ cong
Khai triển cụ thể (1.9)
Xét một véctơ (tenxơ hạng nhất) bất kỳ . Có thể biểu diễn véc tơ dưới dạng:
Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác, véctơ không đổi.
Biểu diễn với các thành phần phản biến

Suy ra:
Khai triển (1.11) cho biểu thức sau:
Biểu diễn với các thành phần hiệp biến

từ đó suy ra
Biểu diễn cụ thể (1.14) như sau
Đối với tenxơ hạng hai
Một tenxơ hạng hai bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng:
Trong đó là các thành phần 2 lần phản biến của tenxơ.
là các thành phần 2 lần hiệp biến của tenxơ.
là các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến của tenxơ.
Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác với cơ sở tenxơ hạng
2 sẽ được biểu diễn trong hệ cơ sở mới với các thành phần 2 lần phản biến như sau:

9


Suy ra:
bao gồm 9 thành phần:
Ví dụ nếu khai triển chi tiết thành phần ta sẽ được
Tượng tự với 8 thành phần còn lại của với chú ý là
Nếu biểu diễn dưới dạng các thành phần hiệp biến, tenxơ bậc 2 sẽ có dạng:
Vậy:
Hệ thống gồm có 9 phần tử
trong đó
Ví dụ, ta khai triển chi tiết 1 phần tử sẽ được:
Biểu diễn tenxơ hạng 2 với các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến:
Vậy:
Tương tự đối với tenxơ hạng cao ta có:
Tenxơ kết hợp

Do các véc tơ đều là các véctơ cơ sở nên véctơ
véctơ cơ sở và ngược lại.
Ví dụ:
Nhân cả hai vế của (1.19) với ta được
Vì nên

(1.21 )

Thay (1.21) và ( 1.20) có
Làm tương tự, ta nhân hai vế của ( 1.19) với
10

có thể biểu diễn thông qua hệ


Tương tự tính được
Thay các

vào ( 1.19) suy ra

Ngược lại véc tơ có thể biểu diễn qua các cơ sở . Ví dụ
Nhân cả 2 vế của ( 1.23) với sẽ được
Do nên
Thực hiện tương tự, nhân hai vế của ( 1.23) với sẽ có
Nhân 2 vế của ( 1.23) với
Thay vào ( 1.23)
Hay
Từ ( 1.22) và ( 1.24) ta có phép nâng, hạ chỉ số như sau:
( phép nâng chỉ số)
( phép hạ chỉ số)

1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide

a. Tenxơ mêtric hiệp biến
Xét trong hệ tọa độ Đềcác. Gọi là độ dài bình phương của véctơ vô cùng nhỏ là
Xét trong tọa độ cong
Trong đó là tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cong.
Từ biểu thức ( 1.25) ta biến đổi

11


Đồng nhất (1.26) với (1.27) nhận được
Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến như sau
b. Xác định tenxơ mêtric phản biến.
Hệ véctơ cơ sở phản biến liên hệ với các véctơ cơ sở hiệp biến qua biểu thức
-

tenxơ Kronecker

Với hệ cơ sở đã biết ta xác định được
hay
Đặt:
Hoặc
Trong đó :
Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao (, các véc tơ cơ sở trùng nhau về hướng nhưng
độ lớn khác nhau.
Thật vậy, ta có

mà

Suy ra : cùng hướng, khác nhau về độ lớn.
Tương tự các cặp cũng cùng chiều và khác độ lớn.
Trong trường hợp này:
Sử dụng biểu thức (1.4) thay vào phép tính ta được:

Thực hiện tương tự ta cũng nhận được

Giống như trên ta có thể suy ra .

12


c. Ví dụ:
Hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu là hai hệ tọa độ cong trực giao. Ta đi xác định tenxơ
metric trong hai hệ tọa độ này.
Tọa độ trụ
( Hình 3.)

z

Phép biến đổi tọa độ

P

Hình 3.

Ta tính được
Suy ra từ công thức (1.31)
Thay (1.31) vào (1.29) ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa
độ trụ

Vậy:
Suy ra
Thay (1.32) vào (1.30) ta sẽ thu được các thành phần của tenxơ metric phản biến
trong hệ tọa độ trụ
Suy ra :

Vậy:

13


,

Trong hệ tọa độ cầu (Hình 4)
Phép biến đổi tọa độ:

Hình 4.

Ta tính được các đạo hàm riêng

Vậy từ (1.3) ta có

Thay (1.33) vào (1.29) ta có các thành phần tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ
cầu

Từ (1.34) ta tính được

Vậy theo (1.30) ta có:
14

Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric phản biến trong tọa độ cong.

1.3. Thành phần vật lý của tenxơ
1.3.1. Tenxơ hạng nhất

Xét véctơ ( tenxơ hạng nhất )
Gọi các véc tơ là các véctơ phản biến và hiệp biến đơn vị
Suy ra:
Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao, trùng nhau về hướng, khác nhau về độ lớn nên
các véc tơ trùng nhau. Vậy
Ta gọi là thành phần vật lý của tenxơ hạng nhất.
Kí hiệu:
gọi là hệ số Lamé. Thành phần vật lý của véctơ có dạng :
( không tổng theo i )
1.3.2. Tenxơ hạng hai

Một tenxơ hạng 2 bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng:
Suy ra:
( không tổng theo )
là thành phần vật lý của tenxơ hạng hai.
Tương tự như trên ta có thể xác định được thành phần vật lý của tenxơ hạng bất kỳ.
1.3.3. Khai triển cụ thể

15


Áp dụng đối với hệ tọa độ trụ
Đối với hệ tọa độ cầu

Tổng kết lại ta có bảng giá trị sau:
Tọa độ trụ (Hình 3).

Tọa độ cầu

16

(Hình 4).


Bảng 1.

1.4. Đạo hàm hiệp biến
1.4.1. Đạo hàm véctơ cơ sở

Sử dụng công thức (1.3) thu được đạo hàm hiệp biến của véctơ cơ sở
Ta biểu thị qua các véctơ cơ sở như sau :
Vậy :
Các đại lượng là hệ số liên quan hay Christoffel loại 1 và loại 2.
Để xác định các thành phần của Christoffel ta dựa trên công thức biến đổi hệ véctơ
cơ sở.
Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc với hệ véctơ cơ sở
Ta có:
Trong đó
Xét

Nhân 2 vế của (1.41) với . Do hệ cong trực giao nên , nên
Suy ra:
Tiến hành tương tự, ta nhân lần lượt hai vế của (1.41) với sẽ thu được
Suy ra:

Công thức tổng quát là

17


Suy ra
Đạo hàm theo biến
Ta thay từ (1.42) vào (1.44)

1.4.2. Kí hiệu Christoffel

Kí hiệu Christoffel đã được xuất hiện ở biểu thức (1.39). Và trong mục này sẽ đi
vào xác định các thành phần của kí hiệu đó thông qua tenxơ mêtríc và đạo hàm
véctơ cơ sở.
Theo biểu thức (1.39):
Ta đồng nhất (1.45) và (1.39) rút ra được:
a. Xác định biểu thức qua tenxơ mêtríc
Ta có:
Suy ra:

nên

Tương tự ta tính được :

Vậy có
Suy ra:
Đạo hàm véctơ cơ sở phản biến
Để xác định đạo hàm véctơ cở sở phản biến ta xuất phát từ biểu thức (1.22): suy ra
Trong đó:
Thay (1.49) vào (1.48), (1.48) trở thành:

18


Xét tổng
Với:
Thay (1.52) vào (1.51) cho kết quả
Lại có:
Vậy
Hay:
Thay (1.53) vào (1.50) ta nhận được:
Biểu thức (1.54) là biểu thức xác định thành phần của đạo hàm véctơ cơ sở phản
biến.
b. Biểu thức liên hệ giữa các thành phần và đạo hàm của véctơ cơ sở
Do ta đã xác định được biểu thức

Để xét ta thay ở biểu thức (1.45) vào tích

sẽ có

Vậy tổng hợp 3 biểu thức trên ta được kết quả như sau:
Trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc các véctơ cơ sở không đổi,
Suy ra:
Hay
Trong hệ tọa độ cong trực giao, với thì
Suy ra
Thay vào công thức (1.47) suy ra:
19


Thay vào biểu thức (1.40) suy ra

Sử dụng biểu thức (1.47) tính được các hạng tử
c. Ví dụ
Để tính các thành phần của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ trụ và cầu, ta sử dụng
bảng giá trị ở bảng 1, ta tính ra được các rồi thay vào (1.58) sẽ cho ta kết quả.
Trong hệ tọa độ trụ,cầu có 27 thành phần nhưng do tính chất (9 cặp) nên ta chỉ cần
tính 18 thành phần Christoffel.
Trong hệ tọa độ trụ ( Christoffel loại hai )
Do
Nên:
Từ (1.58) suy ra:

Theo (1.55) ta có

Vậy trong hệ tọa độ trụ chỉ có 3 thành phần của kí hiệu Christoffel khác không. .
Trong hệ tọa độ cầu (Christoffel loại 2 )
Ta có
suy ra
Vậy

20