Học sinh Giỏi (Bình Định)

SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
…………………….. CẤP TỈNH, NĂM HỌC 2005-2006
-----------------------------
Đề chính thức Môn : TOÁN ( Vòng 2 )
( Bảng A ) Thời gian làm bài :180 phút ( Không kể thời gian phát đề)
Ngày thi : 19 – 11 – 2005
------------------------------------------------------------------
Câu 1 : (5 điểm).
Xét dãy số thực a
1
, a
2
, a
3
, …….. thỏa mãn các điều kiện: 0 < a
n
< 1 và
a
n+1
(1 – a
n
)
≥
4
1
với mọi n = 1, 2, 3, …….
Chứng minh rằng
2
1
-
n2

1
< a
n

≤

2
1
với mọi n = 1, 2, 3, ……..
Câu 2 : (5 điểm).
Tìm tất cả các hàm số thực f(x), g(x) thỏa mãn:
f(x) – f(y) = cos(x – y) . g(x – y) với mọi số thực x , y.
Câu 3 : (5 điểm).
Cho hai đa thức f(x) = x
4
– (1 + e
2
)x
2
+ e
2
và g(x) = x
4
– 1 ( e là cơ số của lôgarit tự
nhiên).
Chứng minh rằng với các số dương a, b phân biệt thỏa mãn a
b
= b
a
thì

f(a) . f(b) < 0 và g(a) . g(b) > 0.
Câu 4 : (5 điểm).
Cho 5 điểm phân biệt A
1
, A
2
, A
3
, A
4
, A
5
không đồng phẳng nhưng cùng nằm trên một
mặt cầu. Chứng minh rằng các mặt phẳng, mỗi mặt đi qua trọng tâm của tam giác có các đỉnh
là 3 trong 5 điểm nói trên và vuông góc với đường thẳng nối hai điểm còn lại, thì đồng quy.
-------------------------Hết------------------------