PHƯƠNG PHÁP vẽ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH học THCS

PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS

Người thực hiện: Phạm Tiến Quyền
Đơn vị: Trường THCS Đăk Mar, Đăk Hà, Kon Tum
Phần I: PHẦN MỞ ĐẦU
A. 1.LÝ DO
I. Cơ sở lí luận
Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin
như hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triển trong thời kỳ đổi
mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo trước những thời cơ,
thách thức mới. Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo luôn
đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân
trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi mới giáo dục phổ
thông theo Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội”.
Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy
nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông.
Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ
dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học đáp ứng
đầy đủ những yêu cầu đó.
Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập do
Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá
vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng toán hình học có vẽ thêm yếu tố
phụ là một dạng toán rất quan trong chương trình hình học ở bậc THCS, đáp ứng
yêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh có tầm nhìn cao hơn trong việc
phát hiện và tìm ra lời giải của bài toán. Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng
nhận thức của học sinh đại trà mà chương trình chỉ đề cập đến dạng toán hình học
có vẽ thêm yếu tố phụ thông qua những bài tập mà yếu tố đường phụ vẽ thêm là
đơn giản.

Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán dạng toán hình học có vẽ
thêm yếu tố phụ, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này, đòi
hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận xét,
đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳ theo
từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các
phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn.
II. Cơ sở thực tiễn
Năm học 2011- 2012 tôi được nhà trường phân công giảng dạy bộ môn toán
9 ( Trường THCS Triệu Phước) qua thực tế giảng dạy kết hợp với dự giờ các giáo
viên trong và ngoài trường, đồng thời qua các đợt kiểm tra, các kì thi chất lượng
bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ năng thành thạo khi làm các
dạng bài tập như: Chứng minh rằng: Trong một tam giác, nếu có một đường cao
Trường THCS Đăk Mar


PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS

và một đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh và chia góc tại đỉnh đó thành ba
phần bằng nhau thì tam giác đó là tam giác vuông.
Trong thực tế giảng dạy Toán ở trường THCS việc làm cho học sinh có kỹ
năng giải các bài toán về Dạng toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ và các bài
toán liên quan là công việc rất quan trọng và không thể thiếu được. Để làm được
điều này thì người thầy phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản về các
phương pháp giải toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ.
III. Mục đích.
- Trang bị cho học sinh lớp 9 một cách có hệ thống các phương pháp dạng
toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận
dụng tốt dạng toán này.
1. Thời gian - địa điểm
2. Thời gian

Đề tài được nghiên cứu từ tháng 8 năm 2011 tới tháng 4 năm 2012
3. Địa điểm: Trường THCS Đăk Mar, Đăk Hà, Kon Tum
4. Phạm vi :Trường THCS Đăk Mar, Đăk Hà, Kon Tum
5. Giới hạn đối tượng nghiên cứu:
PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS

6. Giới hạn địa bàn
Trường THCS ……………………………………………….
7. Giới hạn khách thể:
Học sinh lớp 9
B. Phương pháp nghiên cứu
I.4.1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
- Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình về phương pháp dạy học Toán, các tài liệu
có liên quan đến sáng kiến kinh nghiệm.
- Nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản về vẽ đường phụ trong giải
toán hình học ở bậc THCS. Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh
phổ thông cơ sở như:
+ Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, 9
+ Sách giáo viên 7, 8, 9
+ Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham khảo cho giáo viên và
học sinh
I.4.2. Phương pháp chuyên gia
Xin ý kiến các đồng nghiệp có kinh nghiệm trong quá trình xây dựng, hoàn
thiện sáng kiến kinh nghiệm.
I.4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
Tổ chức thực nghiệp sư phạm nhằm đánh giá hiệu quả của sáng kiến kinh
nghiệm
I.5. Đóng góp mới về mặt lí luận và thực tiễn
Trường THCS Đăk Mar

PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS

- Về mặt lý luận: Rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, kỹ năng vẽ đường
phụ trong giải toán hình học ở bậc THCS, tính cẩn thận chính xác, tính kiên trì
cho học sinh. Giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huy
năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó.
- Về thực tiễn: Giúp học sinh nắm vững các phương pháp vẽ đường phụ
trong giải toán hình học ở bậc THCS , phát hiện và vận dụng các phương pháp
giải phù hợp với từng bài toán cụ thể ở các dạng khác nhau.
PHẦN II. NỘI DUNG

Chương I: Các phương pháp vẽ yếu tố phụ trong giải
toán hình học ở bậc THCS
I.1.1. Lịch sử nghiên cứu
Trong qúa trình giảng dạy bộ môn Toán ở trường THCS đây là một trong
những nội dung được nhiều giáo viên nghiên cứu ở những mức độ khác nhau và
họ cũng đã thu được những kết quả nhất định. Song việc thực hiện được kết quả
như thế nào còn tùy thuộc vào nhiều yếu tố.
Bản thân tôi không có tham vọng đi sâu và nghiên cứu tất cả các phương
pháp hay các dạng bài quá khó không phù hợp đối với học sinh THCS
I.1.2. Cơ sở lý luận
Trong việc dạy và học bộ môn Toán giáo viên cần phải rèn cho học sinh
tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt tự tìm tòi ra kiến thức mới, và
không chỉ với các phương pháp cơ bản, thông thường mà còn phải hình thành lên
một số phương pháp khó hơn, phải có những thủ thuật riêng đặc trưng từ đó giúp
các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huy năng lực sáng tạo khi
gặp các dạng Toán khó. Đây là một thuận lợi cho cả giáo viên và học sinh trong
đổi mới cách dạy và học.

Chương II: Nội dung vấn đề nghiên cứu
PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS

II.2.1. Thực trạng
Năm học 2005-2012 Tôi được nhà trường phân công giảng dạy bộ môn toán
9 và toán 7 – 8, tự chọn toán 9 , qua thực tế giảng dạy và kết hợp kiểm tra, dự giờ
đồng nghiệp tôi nhận thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi giải những bài toán
có liên quan đến yếu tố phụ. Một số ví dụ minh họa:
Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a, b, c
B Giải
Cách dựng:
c
a
a
b
b
A
Trường THCS Đăk Mar

C

x

c


PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS

- Dựng tia Ax
- Dựng đường tròn ( A;b). Gọi C là giao điểm của đường tròn (A;b) với tia Ax

- Dựng đường trong ( A;c) và đường tròn (C;a), gọi B là giao điểm của chúng.
Tam giác ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b; BC = a
- Chú ý: Nếu hai đường tròn ( A;c) và (C;a) không cắt nhau thì không dựng được
tam giác ABC
Bài toán 2: Dựng một góc bằng một góc cho trước
Cách dựng:
- Gọi xOy là góc cho trước. Dựng đường tròn (O,r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta
được tam giác OAB.
- Dựng ∆O’A’B’ = ∆OAB ( c- c- c)như bài toán 1, ta được Oˆ ' = Oˆ
x

A’

A

O’

O

B’

B
y
Bài toán 3: Dựng tia phân giác của một góc xAy cho trước
Cách dựng:
- Dựng đường tròn ( A,r) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C.

- Dựng các đường tròn ( B,r) và (C,r) chúng cắt nhau ở D. Tia AD là tia phân giác
của xAy. Thật vậy: ∆ABD = ∆ACD ( c- c- c) ⇒ Aˆ1 = Aˆ 2
x

B
r
A

r
D

1
2
r

r
C

y
Bài toán 4: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước.
Trường THCS Đăk Mar

z


PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS

Cách dựng:
- Dưng hai đường tròn (A;AB) và (B;BA) chúng cắt nhau ở C, D. Giao điểm của
CD và AB là trung điểm của AB

C

A

B

D trực của đoạn thẳng cho trước
* Chú ý: đay cũng là cách dựng đường trung
Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng
a cho trước.
Cách dựng:
- Dựng đường tròn (O;r) cắt a tại A,B
- Dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB

O

Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không cần
A
B
nhắc lại cách dựng. Khi cần vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh thì cũng phải căn
cứ vào những đường cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ thêm một cách tùy
tiện
II.2. CƠ SỞ THỰC TẾ

D

Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra những cặp cạnh tương ứng
bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó là lợi ích của việc chứng minh
hai tam giác bằng nhau.
Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau( hay hai góc bằng
nhau) ta thường làm theo các bước sau:
Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng ( hay hai góc) đó là hai cạnh ( hay là hai
góc ) thuộc hai tam giác nào?

Trường THCS Đăk Mar


PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS

Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau
Bước 3: Từ hai tam giác đó bằng nhau, suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc)
tương ứng bằng nhau.
Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần
có cũng được cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới
xuất hiên các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán. Vì vậy yêu cầu đặt ra
là làm thế nào học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm các yếu tố phụ để giải toán
hình học nói chung và hình học 9 nói riêng. Qua thực tế giảng dạy tôi đã tích lũy
được một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết thực.

Chương III: Một số phương pháp vẽ yếu tố phụ
CÁCH 1: VẼ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG, VẼ TIA PÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC.

Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10cm; BC = 12cm, D là trung điểm của
cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC ( H∈BC) thì DH = 4cm. Chứng minh rằng
tam giác ABC cân tại A
1) Phân tích bài toán:Bài cho tam giác ABC có AB = 10cm; BC = 12cm, D là
trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC ( H∈BC) thì DH = 4cm. Yêu
cầu Chứng minh tam giác ABC cân tại A
2) Hướng suy nghĩ: ∆ABC cân tại A ⇔ AB = AC. Ta nghĩ ngay đến điểm phụ K
là trung điểm của BC. Vậy yêu tố phụ phụ cần vẽ là trung điểm của BC.
3) Chứng minh

A

∆ABC; AB = 10cm;
BC = 12 cm;
GT

KL

D

1
DA = DB = AB ; DH ⊥ BC
2

DH = 4 cm
∆ ABC cân tại A.

A
B

H

Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC =

K
1
BC = 6 cm.
2

1
2

Lại có : BD = AB = 5 cm
Xét ∆ HBD có: BHD = 900 ( gt) theo định lí Pitago ta có:DH2 + BH2 = BD2
⇒ BH2 = BD2 - DH2 = 52 – 42 = 9 ⇒ BH = 3 ( cm)
Trường THCS Đăk Mar

C


PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS

Từ đó: BD = DA; BH = HK ( = 3 cm)
⇒ DH // AK ( đường nối trung điểm 2 cạnh của tam giác thì song song với cạnh
thứ 3).
Ta có: DH ⊥ BC, DH // AK ⇒ AK ⊥ BC.
Xét ∆ ABK và ∆ACK có:
• BK = KC ( theo cách lấy điểm K)
• AKB = AKC = 900
• AK là cạnh chung
⇒ ∆ ABK = ∆ACK (c – g – c)
⇒ AB = AC ⇒ ∆ ABC cân tại A.
4) Nhận xét:
Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra hai tam
giác bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc
chứng minh còn sử dụng thêm một bài toán phụ là: Trong một tam giác , đường
thẳng đi qua trung điểm cạnh thứ nhất và cạnh thứ hai thì song song với cạnh thử
ba, kiến thức về đường trung bình này học sinh sẽ được nghiên cứu trong chương
trình toán 8 nhưng ở phạm vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh được, việc
chứng minh dành cho học sinh khá giỏi, trong bài này có sử dụng kết quả của bài
toán mà không chứng minh lại vì chỉ muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố
phụ.

Bài toán 2: Cho tam giác ABC có Bˆ = Cˆ ; chứng minh rằng: AB = AC?( Giải bằng
cách vận dụng trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác).
!) Phân tích bài toán:
Bài cho: tam giác ABC có Bˆ = Cˆ ; Yêu cầu: chứng minh rằng: AB = AC.
2) Hướng suy nghĩ:

A

Đường phụ cần vẽ thêm là tia phân giác AI của BAC (I∈ BC)
3) Chứng minh:
GT
KL

1

ˆ
ˆ =
C
∆ABC; B
AB = AC

2

1
Vẽ tia phân giác AI của BAC (I∈ BC).
Trường THCS Đăk Mar

B

1 2

I

C


PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS

1

ˆ =A
ˆ = BAC
1
2
⇒A
.
2

ˆ
I1 =
I2
⇒ ˆ

ˆ ( gt)
ˆ =
C
Mà B

(1)
(2)

Xét ∆ ABI và ∆ ACI ta có:
•

ˆ
ˆ
I1 =
I 2 ( theo (2))

• Cạnh AI chung
ˆ =A
ˆ ( theo (1))
• A
1
2

⇒ ∆ ABI = ∆ ACI ( g – c – g)
⇒ AB = AC (2 cạnh tương ứng)
4) Nhận xét:
Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC bằng cách kẻ thêm đoạn thẳng
AI là tia phân giác của góc BAC để tạo ra hai tam giác bằng nhau.
CÁCH 2: TRÊN MỘT TIA CHO TRƯỚC, ĐẶT MỘT ĐOẠN THẲNG BẰNG ĐOẠN THẲNG
CHO TRƯỚC.

Bài toán 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh
huyền bằng nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán 7 tập 2)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho Tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạng
1
2

huyền, yêu cầu chứng minh: AM = BC ⇒2 AM = BC
2) Hướng suy nghĩ:
Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn
thẳng đó. Như vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M
A
là trung điểm của AD.
1
3) Chứng minh:
GT
KL

ˆ =900 ;
∆ABC; A

AM là trung tuyến
1
AM = BC
2

B

2
M 1

C

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Xét ∆ MAC và ∆ MDB ta có:
• MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
Trường THCS Đăk Mar

D


PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS

• M1 = M2 ( vì đối đỉnh)
• MB = MC ( Theo gt)
⇒ ∆ MAC = ∆ MDB ( c - g - c)
⇒ AB=CD(2cạnhtươngứng)

(1)

ˆ =D
ˆ (2 góc tương ứng).
và A
1

⇒ AB // CD ( vì có cặp góc so le trong bằng nhau)
Lại có: AC ⊥ AB ( gt)
ˆ =C
ˆ = 900 (2)
⇒ AC ⊥CD (Quan hệ giữa tính song song và vuông góc) hay A

Xét ∆ ABC và ∆ CDA có:
• AB = CD ( Theo (1))
ˆ =C
ˆ = 900 ( Theo (2))
• A

• AC là cạnh chung
⇒ ∆ ABC = ∆ CDA ( c – g – c)
1
2

1
2

⇒ BC = AD (2 cạnh tương ứng) Mà AM = AD ⇒ AM = BC
4) Nhận xét:
1
2

Trong cách giải của bài tập trên, để chứng minh AM = BC ta đã vẽ thêm đoạn
1
2

thẳng MD sao cho MD = MA, do đó AM = AD . Như vậy chỉ còn phải chứng
minh AD = BC. Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng
khác là một trong những cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp bằng nhau
của tam giác.
Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. So
sánh BAM và MAC ?( Bài 7/ 24 SBT toán 7 tập 2)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC.
Yêu cầu : So sánh BAM và MAC?
2) Hướng suy nghĩ:
Hai góc BAM và MAC không thuộc về một tam giác. Do vậy ta tìm một tam giác
có hai góc bằng hai góc BAM và MAC và liên quan đến AB, AC vì đã có AB <
Trường THCS Đăk Mar

PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS

AC. Từ đó dẫn đến việc lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA.
Điểm D là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán này.
A
3) Lời giải:
GT

1 2

∆ABC; AB < AC
M là trung điểm BC
B

KL

1
M

C

2

So sánh BAM và MAC?

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.

Đ

Xét ∆ MAB và ∆ MDC ta có:
• MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
• M1 = M2 ( vì đối đỉnh)
• MB = MC ( Theo gt)
⇒ ∆ MAB = ∆ MDC ( c - g - c)
⇒AB=CD(2cạnhtươngứng)

(1)

ˆ =D
ˆ (2góctươngứng).
và A
1

(2)

Ta có: AB = CD ( Theo (1)), mà AB < AC ( gt) ⇒CD < AC. (3)
Xét ∆ACD có:
CD < AC ( theo (3))
⇒

ˆ ˆ (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)
A
2

ˆ =D
ˆ ( theo (2))
⇒ Mà A

1
ˆ ˆ hay
A
2
1

BAM <

MAC.

4) NhËn xÐt:
Trong cách giải của bài tập trên, ta phải so sánh hai góc không phải trong cùng
một tam giác nên không vận dụng được định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối
diện trong một tam giác. Ta đã chuyển góc A1 và A2 về cùng một tam giác bằng
cách vẽ đường phụ như trong bài giải, lúc đó A 1 = D, ta chỉ còn phải so sánh D và
A2 ở trong cùng một tam giác ADC.
CÁCH 3: NỐI HAI ĐIỂM CÓ SẴN TRONG HÌNH HOẶC VẼ THÊM GIAO ĐIỂM CỦA HAI
ĐƯỜNG THẲNG.

Trường THCS Đăk Mar


PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS

Bài toán 5: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD. CMR: AB = CD, AC = BD?
( Bài 38/ 124 SGK Toán 7 tập 1)

B

A

C

D

( Bài toán còn được phát biểu dưới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng
song song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD.
Yêu cầu chứng minh: AB = CD, AC = BD.
2) Hướng suy nghĩ:
để chứng minh AB = CD, AC = BD cần tạo ra tam giác chứa các cặp cạnh trên,
yếu tố phụ cần vẽ là nối B với C hoặc nối A với D.
3) Chứng minh:

B

A

GT

AB // CD; AC // BD

KL

AB = CD; AC = BD

Xét ∆ ABD và ∆ DCA có:

C

D

• BAD = CDA ( so le trong AB // CD)
• AD là cạnh chung
• ADB = DAC( so le trong AC // BD)
⇒ ∆ ABD = ∆ DCA ( g – c – g)
⇒ AB = CD; AC = BD ( các cạnh tương ứng)
4) Nhận xét:
Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh chung là AD,
muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta chỉ cần chứng minh ∆ ABD = ∆ DCA.
Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau( cạnh chung) nên chỉ cần chứng
minh hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng được trường hợp bằng nhau

Trường THCS Đăk Mar


PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS

góc – cạnh – góc. Điều này thực hiện được nhờ vận dụng tính chất của hai đường
thẳng song song.
CÁCH 4: TỪ MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC, VẼ MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG HAY
VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG.

Bài toán 6: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành
ba góc bằng nhau.
Chứng minh rằng ∆ ABC là tam giác vuông và ∆ ABM là tam giác đều?
1) Phân tích bài toán:
Bài cho ∆ ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc

bằng nhau. Yêu cầu ta chứng minh ∆ ABC là tam giác vuông và ∆ ABM là tam
giác đều.
2)Hướng suy nghĩ:
Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng vuông
góc với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy suy ra
AB ⊥ AC và suy ra A = 900.
A

3) Chứng minh:
∆ ABC; AH ⊥BC;
1

GT trung tuyến AM;

2 3

I

ˆ =A
ˆ =A
ˆ
A
1
2
3

KL

∆ ABC vuông ;

B

∆ ABM đều
Vẽ MI ⊥ AC ( I ∈ AC)

1 2
H

C

M

Xét ∆ MAI và ∆ MAH có:
•

ˆ = ˆI = 900 ( gt)
H

•

AM là cạnh chung)

•

ˆ =A
ˆ (gt)
A
2
3

⇒ ∆ MAI = ∆ MAH ( cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ MI = MH ( 2 cạnh tương ứng)

(1)

Xét ∆ ABH và ∆ AMH có:
•

ˆ =H
ˆ = 90 0 ( gt)
H
1
2

• AH là cạnh chung
•

ˆ =A
ˆ
A
1
2 ( gt)

Trường THCS Đăk Mar

⇒ ∆ ABHI = ∆ AMH ( g – c - g)
⇒ BH = MH( 2 cạnh tương ứng)

(2)

PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS

1
2

1
2

1
2

Mặt khác: H ∈ BM , Từ (1) và (2) ⇒ BH = MH = BM = CM ⇒ MI = CM
1
Xét ∆ vuông MIC có: MI = CM nên Cˆ = 300 từ đó suy ra: HAC = 600 .
2

3
2

3
2

0
0
⇒ BAC = HAC = 60 =90 .Vậy ∆ ABC vuông tại A.

Vì Cˆ = 300 ⇒ Bˆ = 600 ;
Lại có AM =

MB =

1
BC ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong
2

tam giác vuông)
∆ ABM cân và có 1 góc bằng 600 nên nó là tam giác đều.
4) Nhận xét:
Trong bài toán trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tưởng chừng như rất khó
giải, tuy nhiên, chỉ bằng một đường vẽ thêm ( MI ⊥ AC) thì bài toán lại trở lên rất
dễ dàng, qua đó càng thấy rõ vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán
hình học.
Bài toán 7: Cho tam giác ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường
vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại
E. Chứng minh rằng: BD = CE.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho ∆ ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với
tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E.
Yêu cầu chứng minh: BD = CE.
2) Hướng suy nghĩ:
Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ ba,rồi chứng
minh chúng bằng đoạn thẳng thứ ba đó. Đường phụ cần vẽ thêm là đường thẳng
qua B và song song với AC cắt DE ở F, BF chính là đoạn thẳng thứ ba đó.
A
3) Chứng minh:
GT
KL

∆ABC;AB < AC; MB = MC =

1
BC
2

E

AH là tia phân giác BAC;DE ⊥ AH ;
BD = CE

B
D

Trường THCS Đăk Mar

F

H

M

C


PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS

Vẽ đường thẳng qua B và song song với AC, gọi F là giao điểm của đường thẳng
này với đường thẳng DE.
Xét ∆ MBF và ∆ MCE có:
MBF = MCE ( so le trong của BF // CE)

MB = MC ( gt)
BMF = CME ( đối đỉnh)
⇒ ∆ MBF = ∆ MCE (g – c – g)
⇒BF=CE(2cạnhtươngứng)

(1)

Mặt khác ∆ ADE có AH ⊥ DE và AH cũng là tia phân giác của DAE ( gt)
Do đó: ∆ ADE cân tại A ⇒ BDF = AED
Mà BF // CE ( theo cách vẽ) ⇒ BFD = AED
Do đó: BDF = BFD
⇒ ∆ BDF cân tại B
⇒ BF=BD

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: BD = CE
4) Nhận xét:
Cách vẽ đường phụ trong bài toán này nhằm tạo ra đoạn thẳng thứ ba cùng bằng
hai đoạn thẳng cần chứng minh là bằng nhau, đây là cách rất hay sử dụng trong
nhiều bài toán nên giáo viên cần lưu ý cho học sinh nhớ để vận dụng. Cách giải
này cũng được áp dụng để giải một số bài toán rất hay trong chương trình THCS.
5) cách vẽ thêm yếu tố phụ trên nằm trong nhóm phương pháp chung gọi là
phương pháp “ Tam giác bằng nhau ”, sau đây ta sẽ nghiên cứu thêm một phương
pháp mới rất hay nhưng chưa được khai thác nhiều trong giải toán.
CÁCH 6: PHƯƠNG PHÁP “ TAM GIÁC ĐỀU”

Đây là một phương pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm được vào trong
hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán được
thuận lợi. Ta hãy xét một bài toán điển hình:

Bài toán 8: Cho tam giác ABC cân tại A, A = 20 0. Trên cạnh AB lấy điểm D sao
cho AD = BC. Chứng minh rằng DCA =
1) Phân tích bài toán:
Trường THCS Đăk Mar

1ˆ
A.
2


PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS

Bài cho ∆ABC cân tại A, A = 200 ; AD = BC ( D ∈AB)

A

1
Yêu cầu chứng minh: DCA = Aˆ .
2

2) Hướng suy nghĩ:
đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200,

D

0

suy ra góc ở đáy là 80 .
Ta thấy 800 – 200 = 600 là số đo mỗi góc của
tam giác đều ⇒ Vẽ tam giác đều BMC

M

3) Chứng minh:
GT

∆ABC; AB = AC; A = 200
B

AD = BC (D ∈AB)

1
KL DCA = Aˆ .
2

C

Ta có: ∆ABC; AB = AC; A = 200 ( gt)
1800 − 200
= 800
Suy ra: Bˆ = Cˆ =
2

Vẽ tam giác đều BCM ( M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC),
ta được: AD = BC = CM.
∆ MAB = ∆ MAC ( c - c - c) ⇒ MAB = MAC = 200 : 2 = 100
ABM = ACM = 800 – 600 = 200
Xét ∆CAD và ∆ACM có:
AD = CM ( chứng minh trên)
CAD = ACM ( = 200)

AC là cạnh chung
⇒ ∆CAD = ∆ACM ( c – g – c )
⇒ DCA = MAC = 100, do đó: DCA =

1
BAC.
2

4) Nhận xét:
1- Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 20 0, suy ra góc ở đáy là 800. Ta
thấy 800 – 200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều. Chính sự liên hệ này gợi ý
cho ta vẽ tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC. Với giả thiết AD = BC thì

Trường THCS Đăk Mar


PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS

vẽ tam giác đều như vậy giúp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa AD với các cạnh
của tam giác đều giúp cho việc chứng minh tam giác bằng nhau dễ dàng.
2- Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ tam giác đều kiểu khác:
- Vẽ tam giác đều ABM ( M và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB).
- Vẽ tam giác đều ACM ( M và B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AC).
- Vẽ tam giác đều ABM(M và C thuộc hai nửanửa mặt phẳng đối nhau bờ AC).
Ngoài ra còn những cách vẽ tam giác đều khác cũng giúp ta tính được góc DCA
dẫn tới điều phải chứng minh, các cách khác còn tuỳ thuộc vào sự sáng tạo của
mỗi người và bắt nguồn từ việc yêu thích môn Hình học.
Bài toán 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, Cˆ = 150. Trên tia BA lấy điểm O sao
cho BO = 2 AC. Chứng minh rằng tam giác OBC cân.
1) Phân tích bài toán:

Bài cho tam giác ABC vuông tại A, Cˆ = 150. Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO
= 2 AC. Yêu cầu chứng minh ∆ OBC cân tại O.
2) Hướng suy nghĩ:
Ta thấy Cˆ = 150 suy ra Aˆ = 750 - 150 = 600 là số đo của mỗi góc trong tam giác
O
đều ⇒ sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải bài toán.
3) Chứng minh:
GT

∆ABC; Aˆ = 900; Cˆ = 150
O ∈ tia BA: BO = 2AC

H

KL ∆ OBC cân tại O.

M
M

Ta có: ∆ABC; Aˆ = 90 ; Cˆ = 15 (gt)
0

0

⇒ Bˆ = 750
Vẽ tam giác đều BCM
( M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BC)

A
B

Ta có: OBM = 150
Gọi H là trung điểm của OB thì ∆ HMB = ∆ ABC ( c – g – c)
⇒ Hˆ = Aˆ = 900
⇒ ∆ MOB cân tại M ⇒ BMO = 1500
⇒ CMO = 3600 – ( 1500 + 600 ) = 1500
Trường THCS Đăk Mar

C


PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS

∆MOB = ∆MOC ( c – g – c) ⇒ OB = OC, vậy ∆ OBC cân tại O.
4) Nhận xét:
Trong bài toán trên ta đã sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải toán vì
phát hiện thấy Cˆ = 150 suy ra Aˆ = 750 - 150 = 600 là số đo của mỗi góc trong tam
giác đều, điều này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM như trên. Nhờ có các cạnh
của tam giác đều bằng nhau, các góc của tam giác đều là 60 0, ta chứng minh được
∆ HMB = ∆ ABC ( c – g – c); ∆MOB = ∆MOC ( c – g – c) dẫn tới ∆ OBC cân tại
O, đó chính là tác dụng của “phương pháp tam giác đều”.
Phần III: KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
III.1. Kết Luận
Vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học là một vấn đề rộng và khó chương trình
học của học sinh, nó liên quan kết hợp với các phương pháp khác, các dạng toán
khác tạo lên sự lôgíc chặt chẽ của toán học. Các phương pháp được nêu từ dễ đến
khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu hơn và phát triển có hệ thống
các kỹ năng, kỹ xảo phân tích. Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm
chỉ, tính chính xác, năng lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức.
Trong năm học qua tôi đã vận dụng sáng kiến trên vào dạy Vẽ thêm yếu tố

phụ trong hình học cho học sinh và thấy rằng các em rất hào hứng trong quá trình
tìm tòi lời giải hay và hợp lý nhất. Số học sinh nắm vững các phương pháp Vẽ
thêm yếu tố phụ trong hình học và vận dụng được vào các bài tập là 50%.
Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm này, tôi hy vọng giúp các em học
sinh tự tin hơn khi làm các bài tập về vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học. Tuy
nhiên, trong khi trình bày sáng kiến kinh nghiệm của mình không tránh khỏi
những khiếm khuyết, mong bạn đọc và đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung để
sáng kiến kinh nghiệm được hoàn chỉnh và đạt hiệu quả cao.
Xin chân thành cảm ơn !
III.2. Kiến nghị
Để sáng kiến kinh nghiệm trên được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy và
đem lại hiệu quả cần phải có lượng thời gian nhất định. Với lượng thời gian trên
đề tài khó có thể áp dụng và đem lại hiệu quả mong muốn. Vì vậy Tôi xin có một
vài kiến nghị sau:
- Đối với nhà trường: Tạo điều kiện về thời gian, không gian, tổ chức các
chuyên đề cấp trường để giáo viên có thể áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực
tiễn giảng dạy.
- Đối với phòng giáo dục: Tổ chức các chuyên đề về vấn đề nghiên cứu
(Vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học ) để giáo viên được dự giờ, nghiên cứu trao
đổi học hỏi các đồng nghiệp, cùng tìm ra các biện pháp hay.

Trường THCS Đăk Mar


PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS

Đăk, Mar, ngày 4 tháng 4 năm 2012
Người viết:
PHẠM TIẾN QUYỀN

Trường THCS Đăk Mar


PHƯƠNG PHÁP VẼ THÊM ĐƯỜNG PHỤ KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC THCS

Phần IV: DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
IV. Tài liệu tham khảo:
1 - Một số vấn đề đổi mới PPDH ở trường THCS môn toán – Bộ GD&ĐT
2008
2 - Sách GV, SGK Toán THCS - Phan Đức Chính – Tôn Thân – Nhà xuất
bản GD
3 - Nâng cao và phát triển Toán 7 , 8, 9 - Vũ Hữu Bình – Nhà xuất bản GD
4 - Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục THCS môn Toán – Nhà xuất
bản GD
5 – Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên THCS chu kì 1997 –
2000 và chu kỳ 2004 – 2007 môn Toán.
6 – Phương pháp dạy học đại cương môn Toán – Bùi Huy Ngọc- Nhà xuất
bản ĐHSP
7 – Giáo trình phương pháp dạy học các nội dung Toán - Phạm Gia Đức –
Bùi Huy Ngọc - Phạm Đức Quang - Nhà xuất bản ĐHSP
8 – Vẽ thêm một số yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 7, 8, 9 –
Nguyễn Đức Tấn – NXB GD
8 – Tạp chí toán học tuổi thơ 2, tạp chí toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản
giáo dục.
Đăk Mar, ngày 4 tháng 04 năm 2012

Trường THCS Đăk Mar