Chuyên đề Hàm số Luyện thi THPT quốc gia môn Toán 2017 khoá học Moon Đặng Việt Hùng

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
/>
CHUẨN KĨ NĂNG ĐẠI SỐ 2017

fb

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

.c

1. KĨ NĂNG XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC

o

Nguyên tắc:

m

/g

+) Phân tích biểu thức cần xét dấu hay bất phương trình về dạng tích, rồi loại bỏ những hạng tử là lũy thừa bậc chẵn.
+) Sắp xếp các nghiệm của các hạng tử sau khi đã “thanh lọc” các hạng tử chẵn theo thứ tự từ bé đến lớn trong bảng
xét dấu.
+) Tiến hành xét dấu theo quy tắc đan dấu khi biết dấu của một khoảng nào đó.
+) Việc xét dấu biểu thức chúng ta chỉ được quy đồng mẫu số mà không được nhân chéo.

ro

Các ví dụ điển hình:

1
3
−
.
x x −1
4x − 2 2x + 1 5
d) f ( x) =
−
− .
3
2
4
x+2 x−2
f) f ( x) =
−
.
3x + 1 2 x − 1
1
2
3
h) f ( x) =
+
− .
x−2 x+2 x

b) f ( x) = 2 −

T

s/

p

iL
a

x+2
+ 3.
3 − 4x
( x + 3)(3 − 2 x)
c) f ( x) =
.
1− x
x 2 − 3x + 2
e) f ( x) =
− x.
x −1
1 x −1
2
g) f ( x) = +
−
.
x x + 1 x2 + x

a) f ( x ) =

u

Ví dụ 1: [ĐVH]. Xét dấu các biểu thức sau

Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các bất phương trình sau
1
2
3
+
<
.
x x+3 x+2

b)

n

O

u

x − 2 x − 3 x 2 + 4 x + 15
+
≥
.
1− x x +1
x2 − 1
x4 − 4x2 + 3
e) 2
≥ 0.
x − 8 x + 15

c)

2
1
−4
+ ≤ 2
.
x + 2 2 x + 2x
x 4 − 3 x3 + 2 x 2
d)
> 0.
x 2 − x − 30
x3 − 3 x 2 − x + 3
f)
> 0.
x(2 − x)

ie

a)

2. KĨ NĂNG SỬ DỤNG LƯỢC ĐỒ HOOCNER CHIA ĐA THỨC

T

Nguyên tắc:

f ( x)

k
g ( x)

g ( x)
+) Để chia đa thức bằng lược đồ Hoocner ta phải sắp xếp đa thức chia theo lũy thừa giảm dần, số hạng nào khuyết ta
cho hệ số bằng 0.

h

+) f(x) chia cho g(x) được h(x) và dư là k thì ta có thể viết f ( x ) = g ( x ) .h ( x ) + k ⇔

Ví dụ: Thực hiện các phép chia sau

−3x 3 + x 2 − 2 x + 10
= ……….................................
x −1
2 x2 + ( 2 − m ) x2 + 2
d)
= ………................................
2x + 1

b)

1

0

Xét phương trình: f ( x ) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e = 0, (1) .

c

3. KĨ NĂNG NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC

o

x 4 + 3 x3 − 2 x 2 + x
= ………...........................
x+3
2 x 2 + mx + m
c)
= ………...................................
x −1

a)

iH
a

Các ví dụ điển hình:

iD

+) Thực hiện chia theo quy tắc: đầu rơi - nhân ngang - cộng chéo.

= h( x) +

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

/>

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
/>

(

)

Nếu x = xo là một nghiệm của phương trình (1) thì (1) ⇔ f ( x ) = ( x − xo ) ax3 + b′x 2 + c′x + d ′ = 0
f ( x)
x − xo

fb


→

= ax 3 + b′x 2 + c′x + d ′

Nguyên tắc:

.c

+) Nếu tổng các hệ số của phương trình bằng 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1.

o

+) Nếu tổng các hệ số bậc chẵn của x bằng tổng hệ số bậc lẻ của x thì phương trình có một nghiệm x = − 1.

m

+) Nếu phương trình không tuân theo hai quy tắc trên thì chúng ta nhẩm nghiệm bắt đầu từ các nghiệm đơn giản như
0; ±1; ±2…

/g

+) Với các phương trình có chứa tham số, để nhẩm nghiệm của phương trình ta cho phần hệ số của tham số m bằng 0,
được nghiệm x ta thay vào phương trình kiểm tra lại.

Các ví dụ điển hình:

ro

Ví dụ 1: [ĐVH]. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) f ( x ) = 2 x 4 + 4 x3 − 3x 2 − 2 x − 1

u

b) f ( x ) = 4 x 3 − 2 x 2 − 7 x − 1

a) f ( x ) = 2 x 4 + 4 x3 − 3x 2 − 2 x − 1

T
s/

p

c) f ( x ) = x3 − ( m + 1) x 2 − ( m − 1) x + 2m − 1
Hướng dẫn giải :

iL
a

Xét phương trình f ( x ) = 0 ⇔ 2 x 4 + 4 x3 − 3x 2 − 2 x − 1 = 0

Ta nhận thấy phương trình có tổng các hệ số bằng 0 nên có một nghiệm là x = 1.
2 x 4 + 4 x3 − 3x 2 − 2 x − 1
Khi đó f ( x ) = 0 ⇔ ( x − 1) .g ( x ) = 2 x 4 + 4 x3 − 3x 2 − 2 x − 1 
→ g ( x) =
x −1
Dùng lược đồ Hoocner ta được
2 x 4 + 4 x3 − 3x 2 − 2 x − 1
= 2 x3 + 6 x 2 + 3 x + 1 
→ 2 x 4 + 4 x3 − 3 x 2 − 2 x − 1 = ( x − 1) 2 x 3 + 6 x 2 + 3 x + 1
x −1
b) f ( x ) = 4 x 3 − 2 x 2 − 7 x − 1

)

u

ie

Xét phương trình f ( x ) = 0 ⇔ 4 x3 − 2 x 2 − 7 x − 1 = 0

(

T

n

O

Tổng hệ số bậc chẵn là −2 − 1 = −3, tổng hệ số bậc lẻ của phương trình là 4 − 7 = −3
Từ đó ta thấy phương trình có một nghiệm x = −1.

4 x3 − 2 x 2 − 7 x − 1
Khi đó f ( x ) = ( x + 1) .g ( x ) ⇔ 4 x3 − 2 x 2 − 7 x − 1 = ( x + 1) .g ( x ) 
→ g ( x) =
x +1
Dùng lược đồ Hoocner ta được
4 x3 − 2 x 2 − 7 x − 1
g ( x) =
= 4 x 2 − 6 x − 1 
→ f ( x ) = 4 x3 − 2 x 2 − 7 x − 1 = ( x + 1) 4 x 2 − 6 x − 1
x +1
c) f ( x ) = x3 − ( m + 1) x 2 − ( m − 1) x + 2m − 1

)

h

(

iD

Tổng các hệ số đa thức là 1 − ( m + 1) − ( m − 1) + 2m − 1 = 0 nên f(x) = 0 có một nghiệm x = 1.

(

)

Tiến hành chia đa thức ta được f ( x ) = x3 − ( m + 1) x 2 − ( m − 1) x + 2m − 1 = ( x − 1) x 2 − mx − 2m + 1

iH
a

Ví dụ 2: [ĐVH]. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) f ( x ) = −3 x 4 − x 2 + 2 x + 6 = ……………………………………………………………...
b) f ( x ) = x3 + 4 x 2 − 6 x + 1 = ………………………………………………………………

4. KĨ NĂNG XỬ LÝ VỚI TAM THỨC BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1

f) f ( x ) = −2 x3 − x 2 + 4 x − 4 = …………………………………………………………….

0

e) f ( x ) = x3 + x 2 − 6 x − 8 = ……………………………………………………………….

c

d) f ( x ) = x3 − 2 x 2 + (1 − m ) x + m = ……………………………………………………….

o

c) f ( x ) = x3 + mx 2 − x − m = ……………………………………………………………….

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

/>

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95

/>Xét phương trình bậc hai: f ( x ) = ax 2 + bx + c = 0,

(1)

a) Giải và biện luận phương trình (1):

m

o

.c

fb

Nếu a = 0 thì (1) ⇔ bx + c = 0, (*)
+ nếu b = 0 và c = 0 thì (*) nghiệm đúng với mọi x.
+ nếu b = 0 và c ≠ 0 thì (*) vô nghiệm.
c
+ nếu b ≠ 0 thì (*) ⇔ x = −
b
 ∆ = b 2 − 4ac
Nếu a ≠ 0 thì (1) là phương trình bậc hai có biệt thức 
2
 ∆′ = b′ − ac; ( b′ = 2b )

/g

+ nếu ∆ > 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt x1;2 =

ro

+ nếu ∆ = 0 thì (1) có nghiệm kép x =
+ nếu ∆ = 0 thì (1) vô nghiệm.

u

b) Hệ thức Vi-ét:

−b
.
2a

−b ± ∆ −b ± b 2 − 4ac
=
.
2a
2a

T
s/

p

b

 S = x1 + x2 = − a
Khi (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thì ta có hệ thức Vi-ét: 
P = x x = c
1 2


a
Một số các kết quả cần lưu ý:
2

iL
a

x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = S 2 − 2 P

x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = S 3 − 3SP
3

(

x14 + x24 = x12 + x22

)

2

(

− 2 x12 x22 = S 2 − 2 P

)

− 2P2

c) Tính chất nghiệm của phương trình bậc hai:

u

ie

( x1 − x2 )2 = ( x1 + x2 )2 − 4 x1 x2 = S 2 − 4 P

2

T

n

O


b 2 − 4ac > 0

∆ > 0
−b

Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi 
⇔  S = x1 + x2 =
>0
a
 x1 ; x2 > 0

c

 P = x1 x2 = a > 0


b 2 − 4ac > 0

∆ > 0
−b

Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi 
⇔  S = x1 + x2 =
<0
a
 x1 ; x2 < 0 
c

 P = x1 x2 = a > 0
Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn α khi

b 2 − 4ac > 0
b 2 − 4ac > 0
∆ > 0


∆ > 0

−b
−b


⇔  x1 + x2 > 2α
⇔  S = x1 + x2 =
> 2α

⇔  S = x1 + x2 =
> 2α

a
a
 x1 ,x2 > α
 x −α x −α >0


)( 2 )
( 1
b
 x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α 2 > 0
c
2

 a + α. a + α > 0

h

1

0

c

o

iH
a

iD

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

/>

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
/>Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều nhỏ hơn α khi

/g

m

o

.c

fb


b 2 − 4ac > 0
b 2 − 4ac > 0
∆ > 0


∆ > 0

−b

−b


⇔
x
+
x
<
2α
⇔
S
=
x
+
x
=
<
2α
⇔
< 2α

 1 2

 S = x1 + x2 =
1
2
a
a
 x1 ,x2 < α
 x −α x −α >0 


)( 2 )
( 1
b
 x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α 2 > 0
c
2

 a + α. a + α > 0
∆ > 0
∆ > 0
∆ > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều khác α khi 
⇔
⇔ 2
 x1 ; x2 ≠ α
 g ( α ) ≠ 0 aα + bα + c ≠ 0
Phương trình có một nghiệm và nghiệm này lớn hơn α khi
 ∆ = 0
 ∆ = 0
 ∆ = 0
 ∆ = 0







−b



b

−
b

−
x1 = x2 =
>α
 x =x =
 x =x =

  x1 = x2 = −b > α
α
>
α
>

2
2
2a
 1
 1


2
a

2

a
 

2a
⇔
⇔
⇔



 ∆ > 0
0
∆
>
0
∆
>


 
 ∆ > 0
 c
b
2
 x x − α ( x + x ) + α2 < 0
 ( x1 − α )( x2 − α ) < 0
  x1 < α < x2
  + α. + α < 0
1
2



  1 2
a
 a
Phương trình có một nghiệm và nghiệm này nhỏ hơn α khi
 ∆ = 0
 ∆ = 0
 ∆ = 0
 ∆ = 0




  x1 = x2 = −b < α
  x = x = −b < α
  x = x = −b < α

  x1 = x2 = −b < α

1
2
1
2

2a

2a
2a
 

2a
⇔ 
⇔ 
⇔



  ∆ > 0
  ∆ > 0
  ∆ > 0
 ∆ > 0
 c
b
2
 x x − α ( x + x ) + α2 < 0
 ( x1 − α )( x2 − α ) < 0
  x1 < α < x2
  + α. + α < 0
1
2


  1 2
a
a



T
s/

p

u

ro

iL
a

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho phương trình ( m + 1) x 2 + 4mx + 2m + 3 = 0, (1)

ie

a) Giải và biện luận phương trình đã cho.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, và cả hai nghiệm đều nhỏ hơn −1.

a) Giải và biện luận phương trình.

u

Hướng dẫn giải :

n

O

5
Nếu m + 1 = 0 ⇔ m = −1 thì (1) ⇔ −4 x − 5 = 0 ⇔ x = − .

4
Nếu m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 thì (1) là phương trình bậc hai có ∆′ = 4m 2 − ( m + 1)( 2m + 3) = 2m 2 − 5m − 3

T

1
+ Nếu ∆′ < 0 ⇔ 2m 2 − 5m − 3 < 0 ⇔ − < m < 3 thì (1) vô nghiệm.
2
m
 =3
b′ −2m
2
+ Nếu ∆′ = 0 ⇔ 2m − 5m − 3 = 0 ⇔ 
thì (1) có nghiệm kép x = − =
.
1
m = −
a m +1

2
m > 3
−2m ± 2m 2 − 5m + 3
2
+ Nếu ∆′ > 0 ⇔ 2m − 5m − 3 > 0 ⇔ 
thì (1) có 2 nghiệm phân biệt x1;2 =
.
1
m < −
m +1


2
m > 3
2
′
b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi ∆ > 0 ⇔ 2m − 5m − 3 > 0 ⇔ 
( *)
m < − 1

2
Gọi hai nghiệm phân biệt là x1 ; x2 với x2 > x1.
b
4m

 x1 + x2 = − a = m + 1
Theo định lí Vi-ét ta có 
 x x = c = 2m + 3
1 2
a m +1


h

1

0

c

o

iH
a

iD

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

/>

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
/>
fb

−1 < m < 0
 4m
−
>
0

x + x > 0
 m + 1
  m > −1
Hai nghiệm đều dương khi  1 2
⇔
⇔ 

→ vno .
 x1 x2 > 0
 2m + 3 > 0

m < − 3
 m + 1
 
2

/g

m

o

.c

( x1 + 1)( x2 + 1) > 0
c) Hai nghiệm đều nhỏ hơn −1 khi 
 x1 + x2 < −2
 2 m + 3 4m
 −m + 4
 −1 < m < 4
−
+1 > 0 
>0

 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 1 > 0  m + 1 m + 1
 m +1

⇔
⇔
⇔ m > 1
⇔ 1 < m < 4.


 x1 + x2 < −2
 − 4m < −2
 4m − 2 > 0   m < −1

 m + 1
 m + 1
Đối chiếu với điều kiện (*) vể tồn tại hai nghiệm phân biệt ta được 3 < m < 4 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho phương trình ( x + 2 ) ( x 2 + mx − 2m + 1) = 0, (1) .

ro

a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm âm.

u

c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 < 7.

p

Hướng dẫn giải :

T
s/

 x = −2
a) Ta có (1) ⇔ 
2

 g ( x) = x + mx − 2m + 1 = 0, ( 2 )
Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt và khác −2.
  m > −4 + 2 5


2
∆ g > 0
m2 + 8m − 4 > 0   m < −4 − 2 5
m − 4 (1 − 2m ) > 0
Điều đó xảy ra khi 
⇔
⇔
⇔ 
(*)
 g (−2) ≠ 0 4 − 2m − 2m + 1 ≠ 0 4m ≠ 5

5
m ≠
4

  m > −4 + 2 5


Vậy với   m < −4 − 2 5 thì phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

5
m ≠
4

b) Do nghiệm x = −2 < 0 nên để (1) có 3 nghiệm trong đó 2 nghiệm âm thì (2) phải có hai nghiệm trái dấu.

1
Từ đó ta có P < 0 ⇔ 1 − 2m < 0 ⇔ m > .
2
Giá trị này thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm.
c) Không mất tính tổng quát, giả sử x1 = −2. Khi đó x2 ; x3 là hai nghiệm phân biệt của (2).
 x2 + x3 = −m
Theo định lí Vi-ét ta được 
 x2 x3 = 1 − 2m

T

n

O

u

ie

iL
a

h

2

Kết hợp với điều kiện (*) ta được −4 + 2 5 < m < 1 là giá trị cần tìm.

Bài 1: [ĐVH]. Cho phương trình ( m − 1) x 2 − 2mx + m + 1 = 0.

iH
a

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

iD

Khi đó x12 + x22 + x32 < 7 ⇔ 4 + ( x2 + x3 ) − 2 x2 x3 < 7 ⇔ m 2 − 2 (1 − 2m ) − 3 < 0 ⇔ m 2 + 4m − 5 < 0 ⇔ −5 < m < 1.

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ≠ 1.

o

b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình.

1

a) Với m = 2, tính y ' và giải phương trình y ' = 0 .

0

Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = (x – 1)(x2 + mx + m).

x1 x2 5
+ + = 0.
x2 x1 2

c

c) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

/>

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
/>b) Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −1 song song với đường thẳng d: y = −2x − 3

c) Tìm m để phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 < 4.

fb

d) Tim m để phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm lớn hơn 2.

Bài 3: [ĐVH]. Cho phương trình mx2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0.

.c

a) Tìm m để phương trình có nghiệm.

o

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
c) Xác định m để các nghiệm x1, x2 của phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3.

m

d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m.

/g

Bài 4: [ĐVH]. Cho phương trình x 2 − mx + m − 1 = 0 , (với m là tham số).
a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm x1, x2 với mọi m. Tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trị của

ro

m tương ứng

b) Đặt A = x12 + x22 − 6 x1 x2 .

p

Tìm m để A = 8,

u

Chứng minh A = m2 – 8m + 8.

T
s/

Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng.

c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia.
d) Tim m để phương trình có hai nghiệm đều lớn hơn 1.

iL
a

Bài 5: [ĐVH]. Cho phương trình ( x − 1) ( x 2 + 2mx + m − 3) = 0.
a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.

b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt đều dương.

ie

c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 = 15.
d) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm âm.

T

n

O

u
h
1

0

c

o

iH
a

iD

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

/>

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
/>
SỰ BIẾN THIÊN và CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

.c

fb

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

o

VẤN ĐỀ 1. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Sự biến thiên của hàm không có tham số

m

/g

Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính y ' và giải phương trình y ' = 0 để tìm các nghiệm.
+ Lập bảng biến thiên (hoặc chỉ cần bảng xét dấu y ' ) và kết luận trên cơ sở các điểm tới hạn.
Chú ý: Quy tắc xét dấu của hàm đa thức và phân thức.

Các ví dụ điển hình:

ro

u

Ví dụ 1: [ĐVH]. Xét sự biến thiên của các hàm số sau đây:
a) y = −2 x 3 + 3 x 2 + 1.
b) y = x3 − 3x 2 + 3x + 1.
1
1
x2
d) y = x5 − x 4 − x3 +
+ 2 x − 1.
5
4
2
Lời giải:

T
s/

p

c) y = x 4 − 2 x 2 − 1.
a) y = −2 x 3 + 3 x 2 + 1.
Tập xác định: D = R.

−

y'

0

+

ie

iL
a

x = 0
Đạo hàm: y′ = −6 x 2 + 6 x = −6 x ( x − 1) 
→ y ′ = 0 ⇔ −6 x ( x − 1) = 0 ⇔ 
x =1
Bảng xét dấu của đạo hàm:
x
−∞
0
1

+∞

−

0

Vậy hàm số đã cho luôn đồng biến trên tập xác định.
c) y = x 4 − 2 x 2 − 1
Tập xác định: D = R.

T

n

O

u

Vậy hàm số đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (−∞; 0) và (1; +∞).
b) y = x3 − 3x 2 + 3x + 1.
Tập xác định: D = R.
2
Đạo hàm: y′ = 3 x 2 − 6 x + 3 = 3 ( x − 1) ≥ 0 
→ y′ ≥ 0, ∀x ∈ D.

x = 0
Đạo hàm: y′ = 4 x3 − 4 x = 4 x x 2 − 1 
→ y′ = 0 ⇔ 4 x x 2 − 1 = 0 ⇔ 
 x = ±1
Bảng xét dấu của đạo hàm:
x
−∞
−1
0
1

(

0

+

0

−

0

+

1

0

2

c

Do ( x + 1) ≥ 0, ∀x nên dấu của y ' chỉ phụ thuộc vào biểu thức (x − 1)(x − 2).

o

Hàm số đồng biến trên (−1; 0) và (1; +∞); hàm số nghịch biến trên (−∞; −1) và (0; 1).
1
1
x2
d) y = x5 − x 4 − x3 + + 2 x − 1.
5
4

2
Tập xác định: D = R.
 x = −1
2
4
3
2
Đạo hàm: y′ = x − x − 3 x + x + 2 = ( x + 1) ( x − 1)( x − 2 ) 
→ y ′ = 0 ⇔  x = 1
 x = 2

+∞

iH
a

−

)

iD

y'

)

h

(

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

/>

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
/>Bảng xét dấu của đạo hàm:
x

−∞

−1

fb

y'

+

1

0

+

2
−

0

+∞

0

+

.c

Hàm số đồng biến trên (−∞; 1) và (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (1; 2).

/g

m

o

Ví dụ 2: [ĐVH]. Xét sự biến thiên của các hàm số cho dưới đây:
x +1
x 2 + 3x + 3
a) y =
b) y =
.
.
2x − 2
x +1
2
c) y = 1 − x +
d) y = x 2 − 2 x + 2.
.
x +1

2x + 1
e) y = 2 x − x 2 .
f) y =
.
3x − 2
Lời giải:
x +1
a) y =
.
2x − 2
Tập xác định: D = R \ {1} .

u

ro

−4

> 0, ∀x ∈ D 
→ hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.

T
s/

( 2 x − 2 )2

p

Đạo hàm: y′ =

x 2 + 3x + 3
.
x +1
Tập xác định: D = R \ {−1} .

b) y =

( 2 x + 3)( x + 1) − x 2 − 3x − 3 = x 2 + 2 x 
x = 0
→ y′ = 0 ⇔ x 2 + 2 x = 0 ⇔ 
2
2
 x = −2
( x + 1)
( x + 1)
−∞

−2

y'

+

−1

0

ie

Bảng xét dấu của đạo hàm:

x

iL
a

Đạo hàm: y′ =

−

0

−

||

+∞

0

+

Đạo hàm: y′ = −1 −

n

O

u

Hàm số đồng biến trên (−∞; 2) và (0; +∞); hàm số nghịch biến trên (−2; −1) và (−1; 0).

2
c) y = 1 − x +
.
x +1
Tập xác định: D = R \ {−1} .
2

< 0, ∀x ∈ D 
→ hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định của nó.

T

( x + 1)2

h

d) y = x 2 − 2 x + 2.

Hàm số xác định khi x 2 − 2 x + 2 ≥ 0 ⇔ ( x − 1) + 1 > 0, ∀x 
→ D = R.
2

(x

2

− 2x + 2

)′ =

x −1
x − 2x + 2
2

x
y'


→ y ′ = 0 ⇔ x = 1.

−∞

1
−

0

+∞
+

Hàm số đồng biến trên (1; +∞) và nghịch biến trên (−∞; 1).

2

2 2 x − x2

1− x
2x − x2



→ y′ = 0 ⇔ x = 1.

1

Đạo hàm:

0

′
2x − x )
(
y′ =
=

c

Hàm số xác định khi 2 x − x 2 ≥ 0 ⇔ x ( x − 2 ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 
→ D = [ 0; 2].

o

e) y = 2 x − x 2 .

iH
a

2 x − 2x + 2
Bảng xét dấu của đạo hàm:
2

iD

Đạo hàm: y′ =

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

/>

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
/>Bảng xét dấu của đạo hàm:
x

0

1

fb

y'

+

2
−

0

/g

m

o

.c

Hàm số đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (1; 2).
2x + 1
f) y =
.
3x − 2
1

2 x + 1 ≥ 0  x ≥ −


 1
 2
2
Hàm số xác định khi 
⇔

→ D = − ; + ∞ \  .
2
 2
 3
 x ≠ 3
x ≠ 2

3

2
( 3x − 2 ) − 3 2 x + 1 3x − 2 − 3 ( 2 x + 1)
−3 x − 5
5
1
x
2
2
+
1
Đạo hàm: y′ =
=
=

→ y′ = 0 ⇔ x = − < −
2
2
2
3
2
( 3x − 2 )
( 3x − 2 ) . 2 x + 1 ( 3x − 2 ) . 2 x + 1
Bảng xét dấu của đạo hàm:
x
1
2
−
+∞
2
3

u

ro

−

p

y’

−

||

T
s/

 1 2
2

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên  − ;  và  ; +∞  .
 2 3
3


BÀI TẬP LUYỆN TẬP

3) y = −2 x3 + 3x 2 + 2.
5) y = x 4 − 2 x 2 + 5.

4) y = x 3 − 3 x 2 + 3 x − 12.
6) y = − x 4 + 4 x 2 − 1.

8) y = 2 x + 3 x 2 + 1.
2x −1
10) y =
.
x +1
x2 + 3x + 3
12) y =
.
x +1
1
14) y = 2 x − 3 −
.
x +1

T

n

O

u

Dạng 2. Sự biến thiên của hàm có tham số

2) y = x 3 − 3 x + 2.

ie

7) y = x 3 + x 2 + 2 x − 2.
x +1
9) y =
.
x−2
1− x
11) y =
.
3x − 2
1
13) y = x + .
x

iL
a

Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
1) y = −2 x + 5.

a < 0
+) f ( x ) < 0, ∀x ∈ R ⇔ 
∆ < 0
+) f ( x ) < 0, ∀x ∈ ( α; β ) :

a > 0 
→ x1 < α < β < x2
 x1 < x2 < α < β
a < 0 

→
 α < β < x1 < x2

0

c

Các ví dụ điển hình:

 x > x2
f ( x) < 0 ⇔ 
 x < x1

o

 x < x2 < α < β
a > 0 
→ 1
+) f ( x ) > 0, ∀x ∈ ( α; β ) :
 α < β < x1 < x2
a < 0 
→ x1 < α < β < x2

+) Nếu a < 0:

iH
a

a > 0
+) f ( x ) > 0, ∀x ∈ R ⇔ 

∆ < 0

f ( x ) > 0 ⇔ x1 < x < x2

iD

+) Nếu a > 0:

 x > x2
f ( x) > 0 ⇔ 
 x < x1
f ( x ) < 0 ⇔ x1 < x < x2

h

Phương pháp: Sử dụng các tính chất của tam thức bậc hai để giải
Xét tam thức bậc hai: f ( x ) = ax 2 + bx + c, gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình f(x) = 0, với x1 < x2

1

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm m để hàm số
x3
a) y =
− x 2 + ( m − 1) x + m đồng biến trên R.
3
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

/>

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95
/>
o

.c

fb

1
b) y = − x3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 1 nghịch biến trên R.
3
3
m − 1) x
(
c) y =
+ mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 2 đồng biến trên R.
3
Lời giải:
3
x
a) y =
− x 2 + ( m − 1) x + m 
→ y′ = x2 − 2 x + m − 1
3
Hàm số đồng biến trên R khi y′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ ≤ 0 ⇔ 1 − ( m − 1) ≤ 0 ⇔ m ≥ 2.

/g

m

Vậy hàm số đồng biến trên R khi m ≥ 2.
1
b) y = − x3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 1 
→ y ′ = − x 2 + 2mx + 3m − 2.
3
Hàm số nghịch biến trên R khi y′ ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆′ ≤ 0 ⇔ m 2 + ( 3m − 2 ) ≤ 0 ⇔

ro

Vậy hàm số đồng biến trên R khi

−3 − 17
−3 + 17
≤m≤
.
2
2

u

( m − 1) x 3 + mx 2 +

−3 − 17
−3 + 17
.
≤m≤
2
2

→ y ′ = ( m − 1) x 2 + 2mx + 3m − 2

( 3m − 2 ) x + 2 
3
Để hàm số luôn đồng biến trên R thì y′ ≥ 0, ∀x ∈ R.
c) y =

p

T
s/

Khi m − 1 = 0 ⇔ m = 1 
→ y′ = 2 x + 1.

iL
a

 1

Ta thấy hàm số chỉ đồng biên trên  − ; +∞  nên không thỏa mãn yêu cầu.
2


m − 1 > 0 m > 1
m > 1
Khi m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 
→ y′ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ 
⇔ 2
⇔
2
m − ( m − 1)( 3m − 2 ) ≤ 0 −2m + 5m − 2 ≤ 0

 ∆′ ≤ 0

u

ie

m > 1

m ≥ 2
⇔ 

→ m ≥ 2.
m ≤ 1
 
2
Vậy với m ≥ 2 thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên R.

O

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

T

n

x3
− x 2 + ( m − 1) x + m đồng biến trên R.
3
2) Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3 ( 2m − 1) x + 1 đồng biến trên R.

1) Tìm m để hàm số y =

iH
a

DẠNG 1. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC I

iD

VẤN ĐỀ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

h

1
3) Tìm m để hàm số y = − x3 + mx 2 + ( 3m − 2 ) x + 1 nghịch biến trên R.
3
3
x
5
4) Tìm m để hàm số y =
+ ( m − 1) x 2 + ( 2m − 3) x + đồng biến trên R.
3
3

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:

1

0

c

o

Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính y ' và giải phương trình y ' = 0 để tìm các nghiệm.
+ Lập bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên để kết luận về điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
Chú ý: Với một số dạng hàm đặc biệt (thường là hàm vô tỉ) thì ta phải tính giới hạn tại các điểm biên để cho bảng
biến thiên được chặt chẽ hơn.
Các ví dụ điển hình:

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

/>

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
/>a) y = 2 x3 + 3 x 2 − 36 x − 10.

b) y = x 4 + 2 x 2 − 3.
1
d) y = x 4 − x3 + 3.
4
Lời giải:

c) y = 2 x 2 − x 4 .

fb

.c

a) y = 2 x3 + 3 x 2 − 36 x − 10.
Tập xác định: D = R.
 x = −3
Đạo hàm: y ' = 6 x 2 + 6 x − 36 = 6 x 2 + x − 6 
→ y ' = 0 ⇔ x2 + x − 6 = 0 ⇔ 
x = 2
Bảng biến thiên:
x
−∞
−3
2

/g

m

o

(

)

y'

+

−

0

0

+∞

+
+∞

71

ro
y

−∞

−54

u
(

Bảng biến thiên:

T
s/

p

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; 3) và (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (−3; 2).
Hàm số đạt cực đại tại x = −3; y = 71 và đạt cực tiểu tại x = 2; y = −54.

b) y = x 4 + 2 x 2 − 3.
Tập xác định: D = R.
Đạo hàm: y′ = 4 x3 + 4 x = 4 x x 2 + 1 
→ y ′ = 0 ⇔ x = 0.

)

y'

iL
a

−∞

x

−

0

+∞

0

+

+∞
y

+∞

ie

−3

(

)

(

n

O

u

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; 0) và nghịch biến trên (0; +∞).
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y = −3.
c) y = 2 x 2 − x 4 .
Tập xác định: D = R.
x = 0
Đạo hàm: y′ = 4 x − 4 x3 = 4 x 1 − x 2 
→ y′ = 0 ⇔ x 1 − x 2 = 0 ⇔ 
 x = ±1
Bảng biến thiên:

)

T

−∞
+

0

0
−

0

1
−∞

+

0
1

0

+∞
−

iH
a

y

1

iD

y'

−1

h

x

−∞

1

0

c

o

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (0; 1); hàm số nghịch biến trên (−1; 0) và (1; +∞).
Hàm số đạt cực đại tại x = −1; y = 1 và x = 1; y = 1.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y = 0.
1
d) y = x 4 − x3 + 3.
4
Tập xác định: D = R.
x = 0
Đạo hàm: y′ = x 3 − 3 x 2 = x 2 ( x − 3) 

→ y ′ = 0 ⇔ x 2 ( x − 3) = 0 ⇔ 
x = 3

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

/>

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
/>Dấu của y’ chỉ phụ thuộc vào dấu của biểu thức (x − 3) nên ta có bảng biến thiên như hình vẽ
−∞

x

fb

0
−

y'

3

0

−

+∞

0

+

.c

+∞

+∞

y

15
4

m

o

−

/g

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (3; +∞) và hàm số nghịch biến trên (−∞; 3).
15
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3; y = − .
4
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:
x +1
a) y = x 1 − x 2 .
b) y = 2 x + 3 x 2 + 1.

c) y =
.
x+3
Lời giải:

u

ro

a) y = x 1 − x 2 .

1 − x2

Bảng biến thiên:

=


→ y′ = 0 ⇔ 1 − 2 x 2 = 0 ⇔ x = ±

1 − x2

−1

−

−

y'

0

y

+

1
2

+1
−

0
1
2

0

O

u

−

1
2

1
2

ie

0

1
2

iL
a

x

1 − 2x2

T
s/

x2

Đạo hàm: y′ = 1 − x 2 −

p

Hàm số xác định khi 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 
→ D = [ −1;1].

T

n

1 
 1 1 

 1 
;
;1 .
Hàm số đồng biến trên  −
 ; hàm số nghịch biến trên  −1; −
 và 
2 2
2


 2 
1
1
1
1
Hàm số đạt cực đại tại x =
;y=
và đạt cực tiểu tại x = −
;y =−
.
2
2
2
2

3x
x +1

=

2 x 2 + 1 + 3x

iD

Đạo hàm: y′ = 2 +

h

b) y = 2 x + 3 x 2 + 1.
Tập xác định: D = R.


→ y ′ = 0 ⇔ 2 x 2 + 1 + 3 x = 0 ⇔ 2 x 2 + 1 = −3 x

)

1

0

(

c

)

o

(

2

iH
a

x +1
x < 0
2
 x < 0
 x < 0

⇔ 2
⇔ 2
⇔
→x = −
2 
2
5
4 x + 4 = 9 x
5 x = 4  x = ± 5

Giới hạn:


1 
1 
lim 2 x + 3 x 2 + 1 = lim  2 x + 3 x 1 + 2  = lim x  2 − 3 1 + 2  = +∞

x 
→ −∞
x 
→−∞
x  x → −∞ 
x 



1 
1 
lim 2 x + 3 x 2 + 1 = lim  2 x + 3 x 1 + 2  = lim x  2 + 3 1 + 2  = +∞
x 
→ +∞
x 
→+∞
x  x → +∞ 
x 

Bảng biến thiên:
2

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

/>

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
/>−∞

x

fb

2
5

−
−

y'

+∞

0

+

0

.c

+∞

+∞

y

m

o

5

/g

2 

 2

Hàm số đồng biến trên  −∞; −
; +∞  .
 ; hàm số nghịch biến trên 
5

 5

2
Hàm số đạt cực tiểu tại x = −
; y = 5.
5
x +1
c) y =
.
x+3

ro

x +1
( x + 3) + 2 

x+5
2 x + 3 = 2 ( x + 3) − x − 1 =
=
→ y ′ > 0, ∀x ∈ D.
x+3
2 ( x + 3) x + 3 2 ( x + 3) x + 3 2 ( x + 3) x + 3

x+3 −

Bảng biến thiên:
x

−3

y
−∞

+∞
+

iL
a

y'

T
s/

p

Đạo hàm: y′ =

u

Hàm số xác định khi x + 3 > 0 ⇔ x > −3 
→ D = [ −3; + ∞ ].

+∞

ie

Hàm số đã cho luôn đồng biến trên miền xác định và không có cực trị.

1) y = 3x 2 − 2 x3

5) y = x 4 − 4 x 2 + 5.

DẠNG 2. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC II

T

x4
− x 2 + 3.
2

2) y = x3 − 2 x2 + 2 x − 1.

n

4) y =

O

Tìm cực trị của các hàm số sau bằng quy tắc I:

u

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1
3) y = − x 3 + 4 x 2 − 15 x.
3
x4
3
6) y = − + x 2 + .
2
2

h

iH
a

iD

Phương pháp:
+) Tìm tập xác định của hàm số.
+) Tính y ' và giải phương trình y ' = 0 để tìm các nghiệm.
+) Tính y '' tại các giá trị nghiệm tìm được ở trên rồi kết luận.
Chú ý: Quy tắc II tìm cực trị thường được áp dụng cho các hàm số khó lập bảng biến thiên như hàm lượng giác,
hàm siêu việt, hàm vô tỉ...

Các ví dụ điển hình:

1

0

c

o

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:
1
a) y = sin 2 x − x.
b) y = cos x + cos 2 x.
c) y = x + 2 x − x 2 .
2
Lời giải:
a) y = sin 2 x − x.
Tập xác định: D = R.
1
π
π
Đạo hàm: y′ = 2cos 2 x − 1 
→ y ′ = 0 ⇔ cos 2 x = ⇔ 2 x = ± + k 2 π 
→ x = ± + kπ
2
3
6

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

/>

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
/>
fb

π

π

y ′′  + kπ  = −4sin  + k 2π  = −2 3 < 0
6

3

→
Đạo hàm bậc hai: y′′ = −4sin 2 x 
 π

 π

y ′′  − + kπ  = −4sin  − + k 2π  = 2 3 > 0
6
3





.c

Vậy hàm số đạt cực đại tại x =

π
3 π
 π
 π
+ kπ; y = sin  − + k 2π  + − kπ = −
+ − kπ.
6
2 6
 3
 6

m

o

Hàm số đạt cực tiểu tại x = −

π
3 π
π
 π
+ kπ; y = sin  + k 2π  − − kπ =
− − kπ.
6
2 6

3
 6

/g

1
b) y = cos x + cos 2 x.
2
Tập xác định: D = R.

u

ro

1
2π


cos x = −
x=±
+ k 2π


Đạo hàm: y′ = − sin x − sin 2 x = − sin x (1 + 2cos x ) 
→ y′ = 0 ⇔
2⇔
3


sin x = 0

 x = kπ
Đạo hàm bậc hai: y′′ = − cos x − 2cos 2 x

T
s/

p

 2π

 2π

 4π
 3
+ 4nπ  = − cos  ±
+ 4nπ  − 2cos  ±
+ 8nπ  = > 0
y ′′  ±
+ Nếu k = 2n 
→
 3

 3

 3
 2
y ′′ ( 2nπ ) = − cos ( 2nπ ) − 2cos ( 4nπ ) = −3 < 0
 2π

 2π


 4π
 3
+ 4nπ + 2π  = − cos  ±
+ 4nπ + 2π  − 2cos  ±
+ 8nπ + 4π  = > 0
y ′′  ±
+ Nếu k = 2n + 1 
→
 3

 3

 3
 2
y ′′ ( π + 2nπ ) = − cos ( π + 2nπ ) − 2cos ( 2π + 4nπ ) = −1 < 0

iL
a

3
 2 ; k = 2n
1
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = kπ; y = cos ( kπ ) + cos ( k 2π ) = 
2
 − 1 ; k = 2n + 1
 2

ie

O

u

 3
− ; k = 2n
2π
 2π
 1
 4π
  4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±
+ kπ; y = cos  ±
+ kπ  + cos  ±
+ k 2π  = 
3
 3
 2
 3
  1 ; k = 2n + 1
 4

c) y = x + 2 x − x 2 .

2 − 2x

2 x − x2 + 1 − x

 x ≥ 1


→ y′ = 0 ⇔ 2 x − x2 + 1 − x ⇔ 2 x − x2 = x − 1 ⇔ 
2
2
 2 x − x = x − 2 x + 1
1
→x =
2 
2

(1 − x )2

iH
a

− 2x − x −
2
2
′
1
2 x − x2 = x − 2 x − x + 2 x − 1 = −
<0
 =
2
2
2
2
2x − x
2x − x
2x − x
2x − x

2x − x2


(

)

1

Tìm cực trị của các hàm số sau bằng quy tắc II:

0

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

)

c

2+ 2
; y = 1 + 2.
2

(

o

Vậy hàm số đạt cực đại tại x =

2+ 2

.
2

1

2

 1− x
Đạo hàm bậc hai: y′′ = 

2
 2x − x

iD

2x − x2
x ≥ 1

2+ 2

x
≥
1
=1+

 x =
⇔ 2
⇔ 
2
 2 x − 4 x + 1 = 0  

 x = 2 − 2 = 1 −
2
 

h

2 2 x − x2

=

T

y′ = 1 +

n

Hàm số xác định khi 2 x − x 2 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 
→ D = [ 0; 2].
Đạo hàm:

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

/>

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
/>2) y = x 2 − 2 x + 5.

4) y = cos 2 3 x.

5) y = sin

fb

1) y = x x 2 − 4.

3) y = x − 4sin 2 x.

x
x
− cos .
2
2

6) y =

x2 − 4
.
3x − 2

DẠNG 3. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

.c

o

Phương pháp:
+) Hàm số có cực trị khi y ' = 0 có nghiệm và đổi dấu qua các nghiệm.
+) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1; x2 thì khi đó x1; x2 là hai nghiệm của y ' = 0.

/g

m

 y′ ( x0 ) = 0
+) Hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x0 khi 
 y′′ ( x0 ) < 0
 y′ ( x0 ) = 0
+) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x0 khi 
 y′′ ( x0 ) > 0
Các ví dụ điển hình:

ro

T
s/

p

u

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 2 x − 3m + 1 . Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực trị.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 3.
c) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 2.
d) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = –1.
Lời giải:
a) Ta có y′ = 3x 2 − 6mx + 2
Hàm số đã cho có cực trị khi y ' = 0 có nghiệm và đổi dấu khi qua các nghiệm.

n

O

 x1 + x2 = 2m

Theo định lí Vi-ét ta có 
2
 x1 x2 = 3

u

ie

iL
a


6
m >
2
3
⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0 ⇔ 9m 2 − 6 > 0 ⇔ m 2 > ⇔ 
3

6
m < −
3

6

6
Vậy với m >
; m<−
thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu.
3
3
b) Gọi x1; x2 là hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó x1; x2 là nghiệm của phương trình y ' = 0 .

T



 x1 + 2 x2 = 3
 x1 = 4m − 3


→  x1 + x2 = 2m ⇔  x2 = 3 − 2m
Theo giải thiết ta có x1 + 2x2 = 3 


2
2
 x1 x2 =
( 4m − 3)( 3 − 2m ) =
3
3


29


→ 8m 2 − 18m +
= 0 ⇔ 24m 2 − 54m + 29 = 0 
→ phương trình vô nghiệm.
3
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài.
c) Ta có y′′ = 6 x − 6m
7

 y′ ( 2 ) = 0
3.4 − 12m + 2 = 0 m =
7
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 khi 
⇔
⇔
→m = .
6 
6
 y′′ ( 2 ) > 0 12 − 6m > 0
m < 2

h

1

0

5

3 + 6m + 2 = 0 m = −
5

 y′ ( −1) = 0
d) Hàm số đạt cực đại tại x = –1 khi 
⇔
⇔
→m = − .
6 
6
 y′′ ( −1) < 0 −6 − 6m < 0
m > −1

c

7
thỏa mãn điều kiện tồn tại cực trị nên là giá trị cần tìm.
6

o

iH
a

iD

Giá trị m =

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

/>

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95
/>Giá trị m = −

5
thỏa mãn điều kiện tồn tại cực trị nên là giá trị cần tìm.
6

fb

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

.c

1
Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + mx 2 + ( 2m + 3) x + 2. Tìm giá trị của m để
3

a) hàm số có cực trị.

o

b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn 2x1 + 3x2 = –2.

m

c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 0.
d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = –2.

/g

a) hàm số có cực trị.

ro

1
Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + mx 2 + ( m + 6 ) x − 1 . Tìm giá trị của m để
3

u

1 1 x1 + x1
+ =
.
x1 x2
3

b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn

p

c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 1.

T
s/

d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
Bài 3: [ĐVH]. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị ?
b) y = mx3 + 3mx2 – (m – 1)x – 1.
Bài 4: [ĐVH]. Tìm a, b để hàm số

a) y = ax4 + bx2 đạt cực trị bằng –9 tại điểm x = 3.

c) y =

ax 2 + 2 x + b
đạt cực đại bằng 5 tại điểm x = 1.
x2 + 1

)

(

)

T

n

Bài 5: [ĐVH]. Tìm m để hàm số

(

O

ax 2 + bx + ab
đạt cực trị tại x = 0 và x = 4.
bx + a

u

b) y =

ie

iL
a

a) y = x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 4.

a) y = x3 + 2 ( m − 1) x 2 + m2 − 4m + 1 x − 2 m2 + 1 đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho

h

iD

1
b) y = x3 − mx 2 + mx − 1 đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho x1 − x2 ≥ 8.
3

1 1 1
+ = ( x1 + x2 ) .
x1 x2 2

1

0

c

o

iH
a

1
1
c) y = mx3 − (m − 1) x 2 + 3(m − 2) x + đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho x1 + 2x2 = 1.
3
3

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

/>

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
/>
TÍNH LỒI LÕM và TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

fb

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

.c

VẤN ĐỀ 1. ĐIỂM UỐN, TÍNH LỒI LÕM

o

Quy tắc xét tính lồi lõm, tìm điểm uốn:

/g

m

Tính đạo hàm y ' rồi tính tiếp y ''
Giải phương trình y '' = 0 , từ đó tìm được tọa độ điểm uốn.
Xét dấu của y '' để kết luận:
+ nếu y '' > 0 thì đồ thị hàm số lõm.
+ nếu y '' < 0 thì đồ thị hàm số lồi.

ro

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm tọa độ điểm uốn và các khoảng lồi, lõm của đồ thị các hàm số sau:
b) y = x3 + 6x – 4.
x4 x2
d) y =
+
− 2.
4
2

p

u

a) y = 2x3 – 6x2 + 2x.
1
5

c) y = x 4 − 3x 2 + .
2
2

T
s/

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm a, b để hàm số y = ax3 + bx2 + x + 2 nhận điểm U(1; –1) làm điểm uốn.
Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm m để hàm số y = x 3 +

3x 2
+ 1 nhận điểm U(–1; 3) làm điểm uốn.
m

iL
a

BÀI TẬP TỰ LUYỆN :

Bài 1: [ĐVH]. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số
a) y = x3 + 3x2 – mx + 2 song song với đường thẳng d: y = 3x – 5.
b) y = x3 + 3mx2 – 2mx + 3 vuông góc với đường thẳng ∆: y = x – 3.

ie

Bài 2: [ĐVH]. Tìm m, n để đồ thị các hàm số

x3
2
− x 2 + mx + có điểm uốn nằm trên đường thẳng d : y = x + 2.

3
3

O

b) y = −

u

a) y = x 4 − 2 x3 − 6 x 2 + mx + 2m − 1 có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2).

n

Bài 3: [ĐVH]. Tìm m, n để đồ thị các hàm số

a) y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 có điểm uốn thuộc đường thẳng d: y = x + 1.

T

b) y = 3x3 – 9x2 + 6x + m – 2 có điểm uốn nằm trên trục hoành.

h

c) y = x3 – 3mx2 + (3 + 2m2)x + m2 + 3 có điểm uốn cách đều hai trục tọa độ Ox, Oy.

1) Nhắc lại một số giới hạn quan trọng
 +∞ khi a > 0

 −∞ khi a < 0

1

0

c

o

iH
a

 
b c

lim ( ax n + bx n −1 + cx n − 2 ...) = lim  x n  a + + 2 + ...   =
x 
→∞
x 
→∞
x x

 
1
1

lim = 0 
→ lim n = 0
 x 
x 
→∞ x

→∞ x

1


lim + = +∞


x 
→0 x
 lim 1 = ∞ 
→
 x → 0 x
 lim 1 = −∞

 x → 0− x


iD

VẤN ĐỀ 2. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

/>

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
/>
.c

fb


 0; khi m > n
a n x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 
lim
=  ∞; khi m < n
m
m −1
x 
→∞ b x + b
+ ... + b1 x + b0 
m
m −1 x
 an ; khi m = n
 bm

2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

o

Định nghĩa: Đường thẳng x = a được gọi là tiệm cận đứng (TCĐ) của đồ thị y = f(x) khi lim f ( x) = ∞
x 
→a

m

+ nếu lim f ( x) = +∞ thì x = a là tiệm cận đứng bên phải.
x 

→a

+ nếu lim f ( x) = −∞ thì x = a là tiệm cận đứng bên trái.
x 
→a

/g

ro

Cách tìm tiệm cân đứng:
Đồ thị hàm phân thức thường có tiệm cận đứng, và giá trị x = a thường là nghiệm của mẫu số, hoặc tại x = a thì hàm
số đã cho không xác định.

u

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm tiệm cận đứng của các đồ thị hàm số sau
x+2
x
a) y =
b) y = 2
2
x + 4x − 5
x −9

p

Hướng dẫn giải :

T

s/


x 
a) Ta có lim 
→ x = ±3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
 = ∞ 
x 
→±3  x 2 − 9 


x =1
b) Xét phương trình x 2 + 4 x − 5 = 0 ⇔ 
 x = −5

 x+2 
 2
=∞
 x lim
1

→

 x + 4x − 5 
Ta có 

→ x = 1; x = 5 là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+
2
x



 lim
 2
=∞
 x →−5  x + 4 x − 5 
x−2
Ví dụ 2: [ĐVH]. Biện luận theo m số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = 2
.
x + 3x + m
Hướng dẫn giải :
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm khác 2 của phương trình x2 + 3x + m = 0.

O

u

ie

iL
a

T

n

9
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi x2 + 3x + m = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 ⇔ 9 − 4m < 0 ⇔ m > .
4
Đồ thị hàm số có một tiệm cận khi phương trình x2 + 3x + m = 0 có nghiệm kép khác 2, hoặc có hai nghiệm phân

biệt, trong đó một nghiệm x = 2.

9
 ∆ = 0 ⇔ 9 − 4m = 0 ⇔ m = 4
9


→m =
4
 x = − b ≠ 2 ⇔ − 3 ≠ 2

2a
2
Điều đó xảy ra khi 

9

 ∆ > 0 ⇔ 9 − 4m > 0 ⇔ m < 4 
→ m = −10
 2
 2 + 6 + m = 0 ⇔ m = −10

h

c

o

iH
a

iD

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận khi phương trình x2 + 3x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 2.
9
9


 ∆ > 0 ⇔ 9 − 4m > 0 ⇔ m <
m <
Khi đó ta có 
→
4 
4
 22 + 6 + m ≠ 0 ⇔ m ≠ −10
 m ≠ −10

3) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
x 
→∞

1

Cách tìm tiệm cân ngang:

0

Định nghĩa: Đường thẳng y = b được gọi là tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị y = f(x) khi lim f ( x) = b

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

/>

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
/>Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận ngang khi bậc của tử số không lớn hơn bậc của mẫu số. Thông thường, với
hàm phân thức ta thường chia cả tử và mẫu số cho lũy thừa mũ cao nhất của x để tìm tiệm cận ngang.

fb

Chú ý: Với các giới hạn mà hàm số có chứa căn thì chúng ta thực hiện theo quy tắc sau:

A+

B C
+
=
x x2

B C
+
khi x 
→ +∞
x x2

−x A +

m

o

.c

B C

Ax 2 + Bx + C = x 2  A + + 2  = x
x x 


x A+

B C
+
→ −∞
khi x 
x x2

Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau

x2 + 2
.
x −3

b) y =

ro

d) y =

x +1

.
2x − 3

/g

a) y =

e) y =

3 − 2x
.
x +1

c) y =

x +1
.
x − 2x + 1
2

x +1

u

.
2x2 + 3
Hướng dẫn giải :

2

T
s/

p

x +1
3
= +∞ 
→ x = là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
3
2
x 
→ 2x − 3

a) Ta có lim

n

O

u

ie

iL
a

1
1+
x +1

1
x = 1 
Mặt khác, lim
= lim
→ y = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
3 2
x 
→∞ 2 x − 3
x 
→∞
2
2−
x
3 − 2x
b) Ta có lim
= +∞ 
→ x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x 
→−1 x + 1
3
−2
3 − 2x
Mặt khác, lim
= lim x
= −2 
→ y = −2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
1
x 
→∞ x + 1
x 

→∞
1+
x
x +1
c) Ta có lim 2
= +∞ 
→ x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x 
→1 x − 2 x + 1
1 1
+ 2
x +1
Mặt khác, lim 2
= lim x x = 0 
→ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
2 1
x 
→∞ x − 2 x + 1
x 
→∞
1− + 2
x x
x 
→3

x2 + 2
= +∞ 
→ x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x−3

T

d) Ta có lim

h

1

0

c

o

iH
a

iD

2 

2
x 2 1 + 2 
x 1+ 2
x +2
 x 
x
Xét lim
= lim
= lim

x 
→∞ x − 3
x 
→∞
x 
→∞
x −3
x−3
2
2
1+ 2
x 1+ 2
x = lim
x = 1 
Khi x 
→ +∞ thì |x| = x nên ta được lim
→ y = 1 là tiệm cận ngang.
3
x 
→+∞
x 
→+∞
x −3
1−
x
2
2
−x 1+ 2
− 1+ 2
x = lim

x = −1 
Khi x 
→ −∞ thì |x| = −x nên ta được lim
→ y = −1 là tiệm cận ngang.
3
x 
→−∞
x 
→−∞
x −3
1−
x
x +1
x +1
x +1
e) Xét lim
= lim
= lim
x 
→∞ 2 x 2 + 3
x 
→∞
x

→∞
3
3 

x 2+ 2
x2  2 + 2 

x
x 

2

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

/>

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
/>Khi x 
→ +∞ thì |x| = x nên ta được

lim

x 
→+∞

x +1

= lim

x +1

x 
→+∞

fb

3
x 2+ 2
x

3
x 2+ 2
x

1
x = 1
3
2
2+ 2
x

1+

= lim

x 
→+∞

1
là tiệm cận ngang.
2

o

.c

⇒y=

Khi x 
→ −∞ thì |x| = −x nên ta được

lim

x +1

m

x 
→−∞

x 2+

3
x2

x +1

= lim

x 
→−∞

−x 2 +

3
x2

= lim

−1
là tiệm cận ngang.
2
4) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Định nghĩa:
Đường thẳng y = ax +b được gọi là tiệm cận xiên (TCX) của đồ thị y = f(x) khi lim

x 
→−∞

1
x

− 2+

3
x2

=

−1
2

/g

⇒ y=

1+

ro

x 
→∞

[ f ( x) − (ax + b)] = 0

x 
→∞

Cách 2:

T
s/

p

u

Cách tìm tiệm cân xiên:
Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận xiên khi bậc của tử số phải lớn hơn bậc của mẫu số một bậc.
Cách 1:
f ( x)
+ Tìm hệ số a = lim
x
x 
→∞
+ Tìm b = lim [ f ( x) − ax ] . Từ đó suy ra đường tiệm cận xiên là y = ax + b.

Suy ra lim

x 
→∞

g ( x)
r ( x)
r ( x)
= ax + b +
⇒ f ( x) − (ax + b) =
h( x )
h( x )
h( x)

lim
[ f ( x) − (ax + b)] = x 
→∞

iL
a

Thực hiện phép chia đa thức f ( x) =

r ( x)
= 0 do r(x) có bậc nhỏ hơn h(x).
h( x )

ie

Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm các tiệm cận của các đồ thị hàm số sau
x2 + x + 1
.
x−2

b) y =

−2 x 2 + x + 3
.
2x + 1
Hướng dẫn giải :

c) y =

T

n

x2 + x + 1
.
x−2
+) Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là x = 2.
x2 + x + 1
7
7
+) Ta có y = f ( x) =
= x −3+
⇒ f ( x) − ( x − 3) =
x−2
x−2

x−2
7
Suy ra lim [ f ( x) − ( x − 3) ] = lim
= 0 ⇒ y = x − 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
x 
→∞
x 
→∞ x − 2
−2 x 2 + x + 3
b) y =
.
2x + 1
1
+) Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là x = − .
2
2
−2 x + x + 3
2
2
+) Ta có y = f ( x) =
= x +1+
⇒ f ( x) − ( x + 1) =
2x + 1
2x + 1
2x + 1
2
Suy ra lim [ f ( x) − ( x + 1)] = lim
= 0 ⇒ y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
x 
→∞

x 
→∞ 2 x + 1
3x 2 + x + 3
c) y =
.
x+2
+) Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là x = −2.
3x 2 + x + 3
13
13
+) Ta có y = f ( x) =
= 3x − 5 +
⇒ f ( x) − (3 x − 5) =
x+2
x+2
x+2

a) y =

3x 2 + x + 3
.
x+2

O

u

a) y =

h

1

0

c

o

iH
a

iD

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

/>

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
/>Suy ra lim

x 
→∞

lim
[ f ( x) − (3x − 5)] = x 
→∞

13

= 0 ⇒ y = 3x − 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
x+2

fb

Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm m để đồ thị hàm số y =

2 x 2 + mx − 2
có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ một tam giác có
x +1

diện tích bằng 4.

.c

Hướng dẫn giải :

2 x 2 + mx − 2
m
= 2x + m − 2 −
x +1
x +1
Đồ thị có tiệm cận xiên khi m ≠ 0.
Với m ≠ 0 thì tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = 2x + m – 2, (d).
2−m 
+) Giả sử A = d ∩ Ox, B = d ∩ Oy uy ra A 
;0  , B (0; m − 2)
 2

2−m

1
; OB = 2 − m . Tam giác OAB vuông tại O nên SOAB = OA.OB ⇒ OA.OB = 8
Ta dẽ dàng tính được OA =
2
2
2−m
m = 6
. 2 − m = 8 ⇔ (2 − m) 2 = 16 ⇔ 
⇔
2
 m = −2
Vậy m = 6 và m = –2 là các giá trị cần tìm.

/g

m

o

+) Ta có y =

p

u

ro

m2 + 1
. Tìm m biết rằng
x +1

a) tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng y = 3x – 5.
1
b) tiệm cận xiên của đồ thị cách gốc tọa độ O một khoảng bằng
.
17

T
s/

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2mx + m + 2 −

iL
a

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

1
x2

−3x

e) y =

x2 + 3

O

x +4
2

17) y = 2 x − 4 x 2 − x + 2
20) y = 3x 2 − 2 x + 4

12) y =
15) y =

x
x + x +1
2

2x2 + 1
2x −1

18*) y =

4x2 − 5x + 1
x −1

Bài 3: [ĐVH]. Biện luận theo tham số m số tiệm cận của các đồ thị hàm số sau
2 x 2 + mx − 4
x+m

c) y =

mx + 1
x+m

d) y =

mx3 − 1

x 2 − 3x + 2

1

b) y =

0

c

o

19) y = 2 x − 3 + x 2 + x + 4

9) y = x2 + x + 1

iH
a

14) y = 2 x + 1 + 4 x 2 − 2 x + 1

x 2 + 3x + 4
x2 + 1
5 − 3x 2
6) y =
1 − x2

iD

13) y = x − x2 − 4 x + 1

x2 + x + 2

x2 + 2
x −1

h

11) y =

−2 x − 1

T

x2

10) y = x − x 2 + 1

16) y =

1
4 − x2

3) y =

n

Bài 2: [ĐVH]. Tìm các đường tiệm cận các đồ thị hàm số sau :
x2
x 2 + 3x + 4

1) y =
2) y =
x−2
1− x
3
x +2
2x
4) y = 2
5) y = 2
x −1
6 x + 11x − 10
1
−1
7) y =
8) y =
2
( 2 x − 3) 2
x + 5x + 6

c) y =
f) y =

u

d) y = 1 +

ie

Bài 1: [ĐVH]. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang các đồ thị hàm số sau :
1

2x + 3
a). y =
b) y =
1− x
x −1

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

/>

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
/>Bài 4: [ĐVH]. Tim m để đồ thị hàm số y =

fb

Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số y =

x 2 + 2mx + m − 4
có tiệm cận xiên đi qua điểm M(1; 2).
x +1

2 x 2 + (m + 1) x − 3
x+m

.c

a) Tìm m để đồ thị có tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 1).

o

b) Tìm m để giao của hai tiệm cận thuộc (P): y = x 2 + 3 .

m

Bài 6: [ĐVH]. Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số
x 2 + (m − 2) x + −2
tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.
x −1

b) y =

x 2 + mx − 1
tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
x −1

c) y =

2 x 2 + 3mx − m + 2
tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
x −1

/g

a) y =

u

ro

2x + m
. Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và các tiệm cận
mx − 1

T
s/

p

Bài 7: [ĐVH]. Cho hàm số y =

cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8.

Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số y =

iL
a

mx 2 + (3m + 1) x − m + 2
.
x +1

Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên ∆ biết ∆ tiếp xúc với đường tròn tâm I(1; 2), bán kính R = 2 .

Bài 9: [ĐVH]. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị của các hàm số sau đến hai tiệm

a) y =

b) y =

2 x2 + 5 x − 4
x+3

c) y =

x2 + x − 7
x −3

T

n

O

u

x2 − x + 1
x −1

ie

cận luôn là một hằng số

h
1

0

c

o

iH
a

iD
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!

/>

/>Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA – P1

fb

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

.c

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

o

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x3 − 3x 2 + 4 ( C ) . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( C ) .

m

Lời giải:

/g

• Tập xác định: D = R
• Sự biến thiên:

x →−∞

x →−∞

x →+∞

−∞

y’
y

−∞

x →+∞

0
+

T
s/

x

p

u

- Bảng biến thiên:

ro

x = 0
- Đạo hàm: y ' = 3 x 2 − 6 x = 0 ⇔ 
x = 2
- Giới hạn: lim y = lim ( x 3 − 3 x 2 + 4 ) = −∞ ; lim y = lim ( x 3 − 3 x 2 + 4 ) = +∞ .
2
−

0

+∞

0

+

4

+∞
0

iL
a

Nhận xét: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCD = −4 ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yCT = −8 .
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞;0 ) và ( 2; +∞ ) .; hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 )

• Đồ thị.

T

n

O

u

ie
h
iH
a

iD

Lời giải:

1

0

• Tập xác định: D = R
• Sự biến thiên:

c

o

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số: y = − x 3 + 3x + 2 ( C ) . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
/>

/>Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95

fb

 x = −1
- Đạo hàm: y ' = −3 x 2 + 3 = 0 ⇔ 
x = 1
- Giới hạn: lim y = lim ( − x 3 + 3 x + 2 ) = +∞ ; lim y = lim ( − x 3 + 3 x + 2 ) = −∞
x →−∞

x →−∞

x →+∞

x →+∞

- Bảng biến thiên:

.c

−∞

x

o

y’

-1
+

0

1
−

+∞

0

m

+∞

+

4

y
−∞

0

/g

Nhận xét: Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 và yCT = 0 ; hàm số đạt cực đại tại x = 1 và yCD = 4 .
• Đồ thị.

T
s/

p

u

ro

Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;1) ; hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) .

T

n

O

u

ie

iL
a

1

0

c

o

iH
a

2

x = 3
- Đạo hàm: y ' = 3 x 2 − 4 = 0 ⇔ 
2

x = − 3


iD

• Tập xác định: D = R
• Sự biến thiên:

Lời giải:

h

Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x3 − 4 x + 1 ( C ) . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
/>