Sự dịch chuyển phổ của các dao động tử biến dạng (LV01858)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2

KHƢƠNG THỊ HOA

SỰ DỊCH CHUYỂN PHỔ
CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
PGS.TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

HÀ NỘI, 2016


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới
PGS. TS Nguyễn Thị Hà Loan, người đã giảng dạy, tận tình hướng dẫn tôi
trong quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này. Cô đã cung cấp tài liệu và
truyền thụ cho tôi những kiến thức và phương pháp nghiên cứu khoa học. Sự
quan tâm bồi dưỡng của cô đã giúp tôi hoàn thành luận văn cũng như trong
quá trình học tập và nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô công tác tại phòng Sau Đại Học,
Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ đã
trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về chuyên
môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến những người thân trong
gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong
suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.

Hà Nội,ngày 10 tháng 06 năm 2016
Tác giả

Khương Thị Hoa


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân
cùng sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của cô giáo PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan.
Tôi cũng xin cam đoan rằng các sổ liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận
văn là trung thực, và không trùng với các luận văn khác.
Hà Nội,ngày 10 tháng 06 năm 2016
Tác giả

Khương Thị Hoa


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu.................................................................................. 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................. 2
4. Đối tượng nghiên cứu ................................................................................ 2
5. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................... 2
6. Giả thuyết khoa học (những đóng góp mới của đề tài) ............................. 2
Chương 1. PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ............................... 3
1.1.Dao động tử .............................................................................................. 3
1.1.1. Dao động tử Boson ..................................................................... 3
1.1.2. Dao động tử Fermion ................................................................. 6
1.2. Phổ năng lượng của dao động tử ............................................................ 8

1.2.1. Phổ năng lượng của dao động tử Boson ..................................... 8
1.2.2. Phổ năng lượng của dao động tử Fermion ............................... 11
Chương 2. SỰ DỊCH CHUYỂN PHỔ NĂNG LƯỢNGCỦA DAO ĐỘNG
BIẾN DẠNG -q............................................................................................... 14
2.1. Sự dịch chuyển phổ năng lượng của dao động tử biến dạng - q Boson 14
2.1.1. Dao động tử biến dạng - q Boson ............................................. 14
2.1.2. Sự dịch chuyển phổ năng lượng của dao động tử biến dạng - q
Boson ................................................................................................. 16
2.2. Sự dịch chuyển phổ năng lượng của dao động tử biến dạng - q Fermion 20
2.2.1. Dao động tử biến dạng - q Fermion .......................................... 20
2.2.2. Sự dịch chuyển phổ năng lượng của dao động tử biến dạng - q
Fermion………………………………………………………………………...21


Chương 3. SỰ DỊCH CHUYỂN PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA CÁC DAO
ĐỘNG TỬ BOSON BIẾN DẠNG (q, R) ...................................................... 25
3.1. Phổ năng lượng của dao động tử Boson biến dạng – R ........................ 26
3.1.1 Dao động tử Boson biến dạng – R ............................................. 26
3.1.2 Phổ năng lượng của dao động tử Boson biến dạng – R ............. 27
3.2 Sự dịch chuyển phổ năng lượng của dao động tử Boson biến dạng (q, R)29
3.2.1 Dao động tử Boson biến dạng (q, R) ......................................... 28
3.2.2. Sự dịch chuyển phổ năng lượng của dao động tử Boson biến
dạng (q, R) ......................................................................................... 32
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 39


1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Vật lý được xem như là ngành khoa học cơ bản bởi vì các định luật vật
lý chi phối các ngành khoa học tự nhiên khác.
Để giải thích một số hiện tượng và hiệu ứng mới được phát hiện vào
những năm cuối thế kỷ 19 mà vật lý học cổ điển không thể giải thích được,
các nhà vật lý lỗi lạc của thế kỷ 20 như Max Planck, Albert Einstein và Niels
Bohr đã lần lượt đề xuất những giả thuyết lượng tử khác nhau mà tất cả đều
thừa nhận tính chất gián đoạn của năng lượng của một số loại hệ vi mô.
Những giả thuyết đó đã trở thành cơ sở của thuyết lượng tử bán cổ điển - giai
đoạn quá độ chuyển từ vật lý học cổ điển sang vật lý học lượng tử

6,11,12,13.
Khi nghiên cứu phổ năng lượng của một số hệ vi mô điển hình trong vật
lý lượng tử ta sẽ thấy rằng tuỳ theo dạng cụ thể của thế năng của trường lực
tác dụng lên hạt vi mô mà phổ năng lượng có thể chỉ gồm các giá trị gián
đoạn gọi là các mức năng lượng hoặc chỉ gồm các giá trị liên tục gọi là phổ
liên tục, hoặc là gồm một dãy các mức năng lượng gián đoạn và một vùng các
giá trị liên tục, hoặc là gồm một số vùng liên tục gọi là các vùng năng lượng
phân cách nhau bởi các vùng cấm bao gồm những giá trị mà năng lượng của
hạt vi mô không thể có. Với dao động tử điều hoà phổ năng lượng chỉ gồm
các giá trị gián đoạn, các mức năng lượng cách đều nhau, với các dao động tử
biến dạng các mức năng lượng không cách đều nhau nữa, nghĩa là phổ năng
lượng đã bị dịch chuyển đi. Sự dịch chuyển phổ năng lượng của các dao động
tử biến dạng vẫn thu hút được sự quan tâm của các nhà khoa học. Với lý do
đó tôi chọn đề tài nghiên cứu: “SỰ DỊCH CHUYỂN PHỔ CỦA CÁC DAO


2
ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu sự dịch chuyển phổ năng lượng của các dao động tử

biến dạng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu dao động tử biến dạng
- Tìm hiểu sự dịch chuyển phổ năng lượng của các dao động tử biến dạng.
4. Đối tƣợng nghiên cứu
- Nghiên cứu các dao động biến dạng
- Nghiên cứu phổ năng lượng của dao động tử điều hoà
- Nghiên cứu phổ năng lượng của dao động tử biến dạng và sự dịch
chuyển phổ của các dao động biến dạng.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp vật lý lý thuyết.
6. Giả thuyết khoa học (những đóng góp mới của đề tài)
Sử dụng phương pháp lý thuyết biến dạng để tìm phổ năng lượng của
dao động tử biến dạng, kết quả cho thấy phổ năng lượng của dao động tử biến
dạng là gián đoạn và khoảng cách giữa các vạch phổ là không bằng nhau.
Điều này gợi ý rằng có thể sử dụng lý thuyết biến dạng để nghiên cứu các hệ
vật lý sẽ cho kết quả gần với thực tế hơn dùng phương pháp lý thuyết thông
thường tương ứng.


3
Chƣơng 1
PHỔ NĂNG LƢỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả nghiên cứu cơ bản
về một số dao động tử lượng tử và phổ năng lượng của chúng, bao gồm dao
động tử Boson và dao động tử Fermion. Những kết quả nghiên cứu này là cơ
sở có thể mở rộng để xác định phổ năng lượng của các dao động tử biến dạng.
1.1.Dao động tử 1, 2
1.1.1. Dao động tử Boson
Dao động tử Boson là dao động của các hạt có spin nguyên.

Với các toán tử hủy, sinh aˆ , aˆ  dao động tử Boson đơn mode tuân hệ thức
giao hoán sau:

 aˆ , aˆ    aa
ˆ ˆ   aˆ  aˆ  1

(1.1)

Toán tử số dao động N có dạng:

Nˆ  aˆ  aˆ

(1.2)

ˆ ˆ
Nˆ  1  aa
Kết hợp (1.1) và (1.2) ta có:

 Nˆ , aˆ    aˆ  aˆ , aˆ 


 
 aˆ   aˆ , aˆ    aˆ  , aˆ  aˆ
 aˆ  aˆ , aˆ  

 aˆ

(1.3)

 Nˆ , aˆ     aˆ  aˆ , aˆ  



 
 aˆ   aˆ , aˆ     aˆ  , aˆ   aˆ
 aˆ 

(1.4)


4
Không gian Fock là không gian mà véc tơ cơ sở của nó là những trạng
thái với số hạt xác định.
Xét không gian Fock với trạng thái chân không 0 , được xác định là
trạng thái thỏa mãn điều kiện:

aˆ 0  0

(1.5)

Gọi n là các véctơ cơ sở trong không gian Fock, mà là các vector riêng
của toán tử số dao động N có dạng:

(aˆ  ) n
n 
0
n!

n=0,1

(1.6)

trong đó, toán tử số N thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng:

N n n n

(1.7)

Thật vậy, chúng ta có:

N n  aˆ  aˆ n
n
1
aˆ   0

n!

 aˆ  aˆ


n
1 
aˆ aˆ  aˆ   0
n!



n
n
1
aˆ   aˆ ,  aˆ     aˆ   aˆ   aˆ 0



n!



n
1 
aˆ aˆ ,  aˆ    0

n ! 



n
1
n  aˆ   0
n!



n 1
1 
aˆ n  aˆ   0
n!





5



n
n
aˆ   0

n!

n n
Bây giờ, ta hãy chứng minh rằng:

 aˆ ,  aˆ  n   n  aˆ  n1



(1.8)

Để chứng minh (1.8) ta sử dụng phương pháp quy nạp sau:
Với n=1:

 aˆ , aˆ    1
Với n=2:

 aˆ ,  aˆ  2   aˆ  aˆ  2   aˆ  2 aˆ


2

2
ˆ ˆ     aˆ  aa
ˆ ˆ    aˆ   aˆ 
  aˆ  aˆ    aˆ  aa

 


ˆ ˆ   aˆ  aˆ  aˆ   aˆ   aa
ˆ ˆ   aˆ  aˆ 
  aa

 aˆ   aˆ , aˆ     aˆ , aˆ   aˆ 
 2aˆ 
Nhận thấy (1.8) đúng với n=1,2.
Dùng phương pháp quy nạp, giả sử biểu thức (1.8) đúng với n=k, tức là:

 aˆ ,  aˆ  k   k  aˆ  k 1


Ta hãy chứng minh biểu thức (1.8) đúng với n=k+1:

 aˆ ,  aˆ  k 1   aˆ  aˆ  k 1   aˆ  k 1 aˆ


  aˆ  aˆ  


k 1

k
k
k 1
 aˆ  aˆ  aˆ      aˆ  aˆ  aˆ     aˆ   aˆ 
 



6
k
k
k
ˆ ˆ   aˆ  aˆ  aˆ    aˆ   aˆ  aˆ     aˆ   aˆ 
  aa


k
k
  aˆ , aˆ    aˆ    aˆ   aˆ ,  aˆ   



  aˆ    aˆ  k  aˆ  
k

  aˆ    kaˆ   aˆ  
k

  k  1  aˆ  

k 1

k 1

k

Vậy phương trình (1.8) đúng với n=k+1
Suy ra (1.8) đúng với mọi n.
Tác dụng của các toán tử aˆ , aˆ  lên các véc tơ trạng thái n là:

aˆ n  n n  1
aˆ  n  n  1 n  1

(1.9)

1.1.2. Dao động tử Fermion  2
Dao động tử Fermion là dao động của các hạt có spin bán nguyên.
Dao động tử Fermion đơn mode tuân theo hệ thức phản giao hoán sau:

bˆ, bˆ   1
bˆ   bˆ   0


2



2

(1.10)

Toán tử số dao động N có dạng:

N  bˆ bˆ
ˆ ˆ
1  N  bb
Trong đó:

bˆ : là toán tử hủy dao động tử

bˆ  : là toán tử sinh dao động tử

(1.11)


7
Ta có, toán tử số dao động N thỏa mãn hệ thức giao hoán:

 Nˆ , bˆ   bˆ  bˆ, bˆ 

 

 bˆ  bˆ, bˆ   bˆ  , bˆ  bˆ
 bˆ bˆ, bˆ  

 bˆ

(1.12)

 Nˆ , bˆ    bˆ  bˆ, bˆ  


 

 bˆ  bˆ, bˆ    bˆ  , bˆ   bˆ

 bˆ

(1.13)

Đại số (1.12) và (1.13) có thể thực hiện trong không gian Fock với các
véc tơ cơ sở là các véc tơ riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N:

n 


bˆ

n

0 , n  0,1

n!



 bˆ

n

0

(1.14)

(n=0,1 vì đây là hệ Fermion nên phải thỏa mãn nguyên lý loại trừ Pauli)
Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử số dao động N:

N n n n

n=0,1

Khi ấy tác dụng của toán tử bˆ, bˆ lên trạng thái n :

bˆ 0  0
bˆ 1  0
bˆ  0  1
bˆ  1  0

(1.15)


8
1.2. Phổ năng lƣợng của dao động tử 8,9,10
1.2.1. Phổ năng lượng của dao động tử Boson
Toán tử Hamiltonian của dao động tử Boson có dạng:

1 2 1
Hˆ 
pˆ  m 2 xˆ 2
2m
2

(1.16)

Với pˆ , xˆ lần lượt là toán tử xung lượng và toán tử tọa độ
m là khối lượng của dao động tử

 là tần số dao động
là hằng số Plank
Các toán tử tọa độ xˆ và toán tử xung lượng pˆ có thể biểu diễn qua toán
tử sinh, hủy aˆ  , aˆ như sau:

xˆ 

 aˆ
2m

pˆ  i

m
2



 aˆ 
(1.17)

 aˆ  aˆ 


Hệ thức giao hoán:



 pˆ , xˆ   i


m
2

 aˆ  aˆ  ,


 aˆ
2m




 aˆ  




i 
ˆ  aˆ   ,  aˆ   aˆ  
a


2



i  
aˆ  aˆ  aˆ   aˆ    aˆ   aˆ  aˆ   aˆ  


2

ˆ ˆ   aˆ  aˆ 
 i  aa
 i  aˆ , aˆ  

 i


9
Từ biểu thức (1.16):

1 2 1
Hˆ 
pˆ  m 2 xˆ 2
2m
2
Thay pˆ , xˆ từ (1.17) vào biểu thức trên, chúng ta viết lại:
2

1 
m
Hˆ 
 i

2m 
2








 aˆ  aˆ     12 m 2  2m  aˆ   aˆ  




 aˆ  aˆ 

 2

4




4

 aˆ



 aˆ 

2

2



2
  
 2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
a

a

a

a
 





2
   2 

ˆ ˆ   aˆ 2  aˆ 2  aa
ˆ ˆ   aˆ  aˆ   aˆ   
 aˆ   aˆ aˆ  aa



4 

4 











 2aˆ  aˆ  2aa
ˆ ˆ  
4



  
ˆ aˆ   aa
ˆ ˆ   aˆ  aˆ  
2

a





  
ˆ ˆ  ˆ ˆ 
 2a a   a, a  

2

2

Thế (1.1) và (1.2) vào biểu thức trên chúng ta được:

H


2

 2 N  1 


2

 2 N  1

(1.18)

Phổ năng lượng của dao động tử được xác định bởi phương trình hàm
riêng và trị riêng của toán tử H:

Hˆ n  En n
với toán tử năng lượng được xác định bởi (1.18):
Thayvào (1.19),chúng ta được:

(1.19)


10


2

 2 N  1 n

 En n

1

   N+  n  En n
2


 1
   n+  n  En n
 2
 1
 En    n+  n=0,1,2,…

 2

(1.20)

- Trường hợp n = 0, năng lượng của dao động tử:

E0 


2

(1.21)

Giá trị năng lượng dao động tử được xác định bởi (1.21) tương ứng với
năng lượng dao động tử ở trạng thái nền (hay trạng thái chân không)
- Trường hợp n =1, năng lượng của dao động tử:

E1 

3
2

(1.22)

- Trường hợp n = 2, năng lượng của dao động tử:

E2 

5
2

(1.23)

- Trường hợp n = 3 , năng lượng của dao động tử:

E3 

7
2

(1.24)

………………………..
Hiệu hai mức năng lượng:

En  En1  En



(1.25)


11
Từ kết quả tính toán ở hệ thức (1.20) và (1.25), chúng ta thấy rằng phổ
năng lượng của dao động tử Boson là gián đoạn, các vạch phổ phân bố cách
đều nhau,khoảng cách giữa hai vạch phổ kế tiếp bằng 
1.2.2. Phổ năng lượng của dao động tử Fermion
Toán tử Hamiltonian của dao động tử Fermion có dạng:

1 2 1

Hˆ 
pˆ  mw 2 xˆ 2
2m
2
Với

(1.26)

pˆ , xˆ lần lượt là toán tử xung lượng và toán tử tọa độ
m là khối lượng của dao động tử

w là tần số dao động
là hằng số Plank
Các toán tử tọa độ và xung lượng được biểu diễn qua các toán tử sinh,
hủy bˆ , bˆ như sau:

pˆ  i
xˆ 

bˆ  bˆ 

mw
2



bˆ

2mw



 bˆ

(1.27)



Chúng ta xác định hệ thức giao hoán:


mw
ˆ
ˆ
p
,
x

  i
2


bˆ  bˆ ,


bˆ  bˆ 
2mw












 











i  ˆ ˆ ˆ ˆ 
bb , b b

2



i  ˆ ˆ ˆ ˆ
b  b b  b  bˆ   bˆ bˆ   bˆ 


2

ˆ ˆ   bˆ  bˆ 
 i bb


 i






12
Thay pˆ , xˆ từ (1.27) vào biểu thức (1.26), chúng ta được:

1 
mw
Hˆ 
 i
2m 
2

w
4
w 

4 


w

4
w

2
w

2

bˆ  bˆ 





2

2

 1


bˆ  bˆ   mw 2 
bˆ   bˆ 
 2
 2mw










w ˆ ˆ
b b
4

 





2

2



2
bˆ  bˆ  bˆ  bˆ 


 

 bˆ



 bbˆ ˆ



2

 
2

2

  

ˆ ˆ  bˆ  bˆ  bb
ˆ ˆ   bˆ bˆ  bˆ 
 bˆ bˆ  bb

 bˆ  bˆ

2



bˆ, bˆ 


Từ (1.10) suy ra:

H

w
2

(1.28)

Phổ năng lượng của dao động tử được xác định bởi phương trình hàm
riêng và trị riêng của toán tử H:

Hˆ n  En n

(1.29)

với toán tử năng lượng được xác định bởi (1.28)
Thay vào (1.29), chúng ta được:

w
n  En n
2
w
 En 
2

(1.30)

Kết quả tính toán ở công thức (1.30) phù hợp với nguyên lý loại trừ Pauli:
“Không tồn tại hai Fermion có cùng các trạng thái lượng tử”. Mỗi dao động tử

Fermon ở trạng thái xác định có năng lượng En 

w
.
2


13

Kết luận chƣơng 1
Trong chương 1 chúng tôi đã trình bày một cách logic, đầy đủ về hình
thức luận của các dao động tử Boson, dao động tử Fermion. Trình bày được
các hệ thức giao hoán của các dao động tử tương ứng, xác định được biểu
thức tính năng lượng và phổ năng lượng của chúng.
Có thể mở rộng những kết quả trên cho trường hợp của dao động biến
dạng để xác định phổ năng lượng và sự dịch chuyển phổ của các dao động tử
biến dạng trong các chương tiếp theo.


14
Chƣơng 2
SỰ DỊCH CHUYỂN PHỔ NĂNG LƢỢNG
CỦA DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG -q
2.1. Sự dịch chuyển phổ năng lƣợng của dao động tử biến dạng - q Boson
2.1.1. Dao động tử biến dạng - q Boson 7
Dao động tử Boson đơn mode biến dạng q được mô tả bởi các toán tử
hủy và toán tử sinh dao động tử aˆ , aˆ  theo hệ thức giao hoán sau:

ˆ ˆ   qaˆ  aˆ  q  N
aa

Trong đó:

(2.1)

q là thông số biến dạng.
N là toán tử số dao động tử

Toán tử số dao động biến dạng N thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị
riêng:

N n

q

n n

(2.2)

q

Và N thỏa mãn các hệ thức giao hoán:

 Nˆ , aˆ    aˆ 


 Nˆ , aˆ   aˆ



(2.3)

Các véc tơ cơ sở của không gian Fock mà là véc tơ riêng của toán tử số
dao động biến dạng có dạng:

 aˆ 

 n

n

q



 n q !

0

(2.4)

Ở đây ta sử dụng kí hiệu:

 nq

qn  qn

q  q 1

 nq !   nq . n  1q . n  2q ......1q

(2.5)


15
Trong đó 0 là trạng thái nền (trạng thái chân không),

n là trạng thái số hạt n.
Ta dễ dàng chứng minh được:

aˆ  aˆ n
ˆ ˆ n
aa

q

  n q n

q

  n  1q n

q

(2.6)
q

ˆ ˆ  lên véc tơ trạng thái riêng n q như sau:
Thật vậy.Ta tác dụng aˆ  aˆ , aa

 aˆ 

 aˆ aˆ

 n


 aˆ aˆ n



q

 nq !

0

Ta có:

aˆ  aˆ   0   qaˆ  aˆ  q  N  aˆ  
n


 q
 q

 q  N  aˆ  
N

 aˆ 

N

 aˆ  

n 1

 n 1

n 1

n 1

0

 qaˆ  aˆ  aˆ  

n 1

0

 qaˆ   qaˆ  aˆ  q  N  aˆ  
 q  N  2  aˆ  

n 1

n2

0

 q 2  aˆ   aˆ  aˆ  
2

n2

0

……………………………….…………



Dẫn tới:

aˆ  aˆ  aˆ   0 
n

Suy ra:

 q

 q

 N 1

N

 q  N  2  ...  q  N  2 n2  aˆ  

n 1

 q  N 3  .....  q  N  2 n1  aˆ    q n  aˆ  
n



 q n  aˆ   aˆ 0
n

n 1



aˆ 0


16



aˆ aˆ n

q



 q

 N 1

 q  N 3  ...  q  N  2 n1  aˆ    q n  aˆ  
n

 nq !

  q  n1  q  n3  ...  q n1  n
qn  qn

n
q  q 1
  n q n

q

0   qaˆ  aˆ  q  N 

 nq !

 qaˆ  aˆ

q

q

 aˆ 

ˆ ˆ
 aa

 aˆ  

n

 nq !

0  q N

 qaˆ  aˆ n q  q  N n

 aˆ  

  n  1q n

 n

 nq !

0

n

 nq !

0

q

q n1  q  n1  q  n1  q  n1

n
q  q 1
q n1  q  n1


n
q  q 1

 aˆ 

q

qn  qn
q
n q  qn n
1
qq

Vậy

0

aˆ

q

 n

ˆ ˆ n
 aa

n 1

q

q

q

aˆ  aˆ n q   nq n
ˆ ˆ n
aa

q

q

  n  1q n

q

2.1.2. Phổ năng lượng của dao động tử biến dạng - q Boson
Hamiltonian của dao động tử biến dạng - q Boson được biểu diễn qua
toán tử tọa độ xˆ và toán tử xung lượng pˆ có dạng:


17

pˆ 2 1
Hˆ 
 m 2 xˆ 2
2m 2

(2.7)

Ta định nghĩa toán tử hủy và sinh dao động tử aˆ , aˆ  của dao động biến dạng q:

aˆ 
aˆ  

m
2

i


ˆ
ˆ
x

p


m 


(2.8)

m 
i

pˆ 
 xˆ 
2 
m 

Từ đó, các toán tử tọa độ và xung lượng có thể biểu diễn ngược lại qua các
toán tử hủy và sinh dao động tử aˆ , aˆ  :

xˆ 

 aˆ  aˆ 
2m


m
pˆ  i
2

(2.9)

 aˆ  aˆ 


Hệ thức giao hoán giữa toán tử tọa độ và xung lượng:

 xˆ, pˆ  

i  
ˆ  aˆ  ,  aˆ   aˆ  
a


2



i
ˆ ˆ   aˆ  aˆ  aˆ  aˆ  aa
ˆ ˆ 
aa

2



i
 aˆ , aˆ     aˆ  , aˆ 
2



 i  aˆ , aˆ  
i

ˆˆ
 aa

i

 N  1



 aˆ  aˆ 

q

  N q






18
Từ (2.9) chúng ta có:


m
 pˆ 2   i
2




ˆ
ˆ
a

a




2



m
2



2
m  2
ˆ ˆ   aˆ  aˆ   aˆ   
aˆ  aa

2 

 aˆ  aˆ  aˆ  aˆ 




 xˆ 2  
aˆ  aˆ   

 2m




2



aˆ  aˆ  aˆ  aˆ 

2m



2
 aˆ 2  aa
ˆ ˆ   aˆ  aˆ   aˆ   

2m 





(2.7) được viết thành

1 2 1
Hˆ 
pˆ  m 2 xˆ 2
2m
2
1  m  2
1


 2

2


 2
 aˆ 2  aa
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Hˆ 
a

aa

a
a

a

m


a

a

a



  


  2
2m  2 
 2m 





2
  2

ˆ ˆ   aˆ  aˆ   aˆ    
aˆ  aa
 4
4 


4


2

ˆˆ
 2aa



ˆˆ
 aa

 aˆ  aˆ 



2
 aˆ 2  aa
ˆ ˆ   aˆ  aˆ   aˆ   



 2aˆ  aˆ 

Phổ năng lượng của dao động biến dạng q được cho bởi:


19

Hˆ n







ˆˆ
 aa

2


2


2

q

 En n


 aˆ  aˆ  n

 N  1

q

n  1

 En 

q


2

q

q

 En n

q



  N q n  En n



  n q n

n  1

q

 En n

q

  n q

q



(2.10)

Nếu sử dụng ký hiệu:

qn  qn
 nq 
q  q 1
q n1  q  n1
 n  1q 
q  q 1
Thay vào (2.10) ta có thể viết lại biểu thức của En như sau:

En 

  q n1  q  n1

2 

 En1 

q  q 1

qn  qn 



q  q 1 

  q n 2  q  n2

2 

q  q 1

q n1  q  n1 


q  q 1 

Xét hiệu:

En  En1  En


  q n 2  q  n2  q n  q  n 

2 

q  q 1




Như vậy, phổ năng lượng của dao động tử biến dạng q Boson cũng bị gián
đoạn, mức thấp nhất (với n=0) được gọi là năng lượng “không” vẫn bằng


 0 ,những mức tiếp theo không cách đều nhau tức là các vạch phổ bị dịch
2


20
chuyển đi so với các mức năng lượng của dao động tử điều hòa thông thường,
và khi 0Khi q = 1 thì phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q sẽ trở về
phổ năng lượng của dao động tử điều hòa một chiều:

En 


2

 2n  1

n=0,1,2…

2.2. Sự dịch chuyển phổ năng lƣợng của dao động tử biến dạng - q Fermion
2.2.1. Dao động tử biến dạng - q Fermion 7
Các toán tử sinh dao động tử bˆ  và hủy dao động tử bˆ của dao động tử
Fermion biến dạng - q tuân theo các hệ thức giao hoán sau:

ˆ ˆ   qbˆ  bˆ  q  N
bb

 

bˆ 2  bˆ 

2

(2.11)

0

Trong phương trình (2.11) nếu q = 1 thì trở về hệ thức dạng dao động tử
điều hòa (1.10).
Toán tử số dao động tử biến dạng - q Fermion N thỏa mãn các hệ thức
giao hoán sau:

 N , bˆ   bˆ


 N , bˆ    bˆ 



(2.12)

Và N cũng thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng như sau:

N n

q

n n

(2.13)

q

Với các trạng thái riêng đã chuẩn hóa của toán tử N trong không gian
Fock được xác định theo công thức:

n

q



 
bˆ 

n

nq !

0

(2.14)