Nghiên cứu lý thuyết nhiễu loạn và một số ứng dụng của lý thuyết nhiễu loạn trong cơ học lượng tử và trong lý thuyết chất rắn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM THỊ THANH HUYỀN

LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN VÀ MỘT
SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Xuân Hòa, năm 2016


LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn và lịng biết ơn sâu sắc của mình
tới TS - Trần Thái Hoa – Người thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn,
giúp đỡ tôi, cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng và là người trực
tiếp hướng dẫn tơi hồn thành luận văn này.
Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cơ giáo ở phịng sau đại
học, các thầy cơ giáo trong khoa Vật lí Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
2, các giáo sư tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những
kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu
khoa học trong hai năm học tạo tiền đề cho tơi hồn thành bản luận
văn này.
Cuối cùng tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã động
viên và giúp đỡ tôi trong thời gian vừa qua.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng để hồn thành, nhưng thời gian
nghiên cứu có hạn nên luận văn của tơi khó tránh khỏi những thiếu sót.
Tơi rất mong nhận được ý kiến chỉ bảo, ý kiến đóng góp của các thầy
cơ giáo, các bạn học viên và những người quan tâm đến đề tài này.

Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Học viên

Phạm Thị Thanh Huyền


LỜI CAM ĐOAN
Tên tôi là: Phạm Thị Thanh Huyền học viên lớp cao học K18-chuyên
ngành Vật lí lý thuyết và vật lí tốn, khoa Vật lí Trường Đại Học Sư
Phạm Hà Nội 2.
Tôi xin cam đoan đề tài: “ Lý thuyết nhiễu loạn và một số ứng
dụng”, là kết quả nghiên cứu của riêng tôi, đề tài không trùng với kết
quả của các tác giả khác. Nếu có gì khơng trung thực tơi xin hồn tồn
chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học.

Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Học viên

Phạm Thị Thanh Huyền


MỤC LỤC
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mục lục
Mở đầu

1

Chương 1. Lý thuyết nhiễu loạn dừng.

3

1.1. Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Nhiễu loạn dừng khi khơng có suy biến.

. . . . . . . . .

4

1.2.1. Khi λ = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2. Khi λ nhỏ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Nhiễu loạn khi có suy biến.

. . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.1. Sự giảm suy biến khi có nhiễu loạn. . . . . . . . .

7

1.3.2. Việc khử suy biến. . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4. Các bổ chính cho năng lượng và hàm sóng. . . . . . . . .

9

1.4.1

Bổ chính bậc 1 cho năng lượng và hàm sóng . . .

9

1.4.2. Bổ chính bậc 2 cho năng lượng và hàm sóng. . . .

11

1.4.3. Bổ chính bậc 3 cho năng lượng. . . . . . . . . . .

14


Chương 2. Một số bài toán ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn. 15
2.1. Hiệu chỉnh cho năng lượng ở trạng thái cơ bản của dao
động tử điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2. Năng lượng và hàm sóng của hạt trong phép gần đúng
bậc nhất của hạt chuyển động trong trường xuyên tâm. .

22

2.3. Năng lượng được hiệu chỉnh đến bậc 2 của hạt có khối
lượng ở trong giếng thế vng góc một chiều. . . . . . .

24

Chương 3. Một số ứng dụng của lý thuyết nhiễu loạn trong
lý thuyết chất rắn.
28
3.1. Gần đúng liên kết yếu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1

28

Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.1.2. Trường hợp không suy biến. . . . . . . . . . . . .

30

3.1.3. Trường hợp có suy biến. . . . . . . . . . . . . . .

35

3.2. Lý thuyết BCS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.2.1

Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.2.2. Khe năng lượng ở T = 00 K. . . . . . . . . . . . .

45

3.3.3. Tính năng lượng bậc 2. . . . . . . . . . . . . . . .

47

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong cơ học lượng việc giải phương trình Schodinger để tìm năng
lượng và hàm sóng về ngun tắc thì ta hồn tồn tìm được. Tuy nhiên
trong thực tế với nhiều trường hợp thì việc giải phương trình này gặp rất
nhiều khó khăn và giải nó rất phức tạp. Vì vậy người ta đi tìm nghiệm
của phương trình Schodinger bằng các phương pháp gần đúng.
Ta đã biết trạng thái dừng của một hệ được mô tả bằng nghiệm của
phương trình Schodinger dừng:
∧

H Ψ = EΨ

(1)

Đối với một số trường hợp đơn giản ( trường colomb, trường đàn hồi,
trường điện từ đều,. . . .) tương ứng với các hệ lý tưởng hóa phương trình
(1) có thể cho nghiệm chính xác. Nhưng khi nghiên cứu các hệ thực nói
chung thì phương trình (1) khơng cho nghiệm chính xác. Bởi vậy phải
đưa vào các phương pháp tính gần đúng các hàm riêng và các trị riêng
∧

của toán tử H trong phương trình (1).
Một trong các phương pháp tính gần đúng là dựa vào các nghiệm
chính xác của hệ đã lý tưởng hóa, hiệu chỉnh các nghiệm đó để được
nghiệm gần đúng của hệ thực, trong các điều kiện mà hệ thực có thể coi
là khơng khác nhiều so với hệ lý tưởng.
Phương pháp tính các hiệu chỉnh như thế, dưới các điều kiện đặt
ra được gọi là lý thuyết nhiễu loạn. Lý thuyết nhiễu loạn có rất nhiều
ứng dụng trong việc giải một số các bài toán trong cơ học lượng tử, bên
cạnh đó thì lý thuyết nhiễu loạn cũng được sử dụng trong một số vấn

đề của chất rắn và siêu dẫn. Vậy cụ thể lý thuyết nhiễu loạn là gì? Và
những ứng dụng cụ thể của nó trong các vấn đề đã nêu ra như thế nào?


2

Từ những câu hỏi trên mà tôi chọn đề tài: “ Lý thuyết nhiễu loạn và
một số ứng dụng” làm luận văn tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
- Xây dựng lại lý thuyết nhiễu loạn.
- Tìm hiểu một số ứng dụng của lý thuyết nhiễu loạn trong cơ học
lượng tử và trong lý thuyết chất rắn.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài tập trung nghiên cứu lý thuyết nhiễu loạn và một số ứng
dụng của lý thuyết nhiễu loạn trong cơ học lượng tử và trong lý thuyết
chất rắn.
4. Phương pháp nghiên cứu.
- Đọc tài liệu liên quan.
- Sử dụng phương pháp toán lý trong vật lý lý thuyết .
- Sử dụng giải tích tốn học.
5. Kết cấu đề tài.
- Đề tài: “ Lý thuyết nhiễu loạn và một số ứng dụng” có kết cấu
gồm 3 phần: Mở đầu, nội dung và kết luận.
- Phần nội dung được chia làm 3 chương:
+ Chương 1: Lý thuyết nhiễu loạn dừng.
+ Chương 2: Một số bài toán ứng dụng về lý thuyết nhiễu loạn.
+ Chương 3: Một số ứng dụng của lý thuyết nhiễu loạn trong lý
thuyết chất rắn.
6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài.
- Xây dựng được bổ chính cấp 3 một cách ngắn gọn và dễ dàng.

- Ứng dụng được vào thực tiễn trong việc giải các bài toán trong cơ
học lượng tử.


3

Chương 1: Lý thuyết nhiễu loạn
dừng.

1.1. Mở đầu
Ta đặt điều kiện hạn chế cho bài toán nhiễu loạn. Trước hết ta xét lý
thuyết nhiễu loạn cho các bài tốn có phổ gián đoạn.
HΨl = EΨl

(1.1)

với l = 1, 2, 3. . .
Giả sử tốn tử H có thể tách làm 2 thành phần:
H = H0 + V

(1.2)

Trong đó H0 là tốn tử Hamilton của bài tốn đã lý tưởng hóa
Và V được gọi là toán tử nhiễu loạn.
Gọi V là nhỏ, để biểu diễn điều đó ta đặt:
V = λW

(1.3)

Với λ là một thông số nhỏ, không thứ nguyên. Mặt khác, giả sử biết

các nghiệm El0 và ϕl (l=1,2,3. . . ) của phương trình cho hàm riêng và trị
riêng của toán tử H0
H0 ϕl = El ϕl
(1.4)
với l = 1, 2, 3, ...


4

Và giả thuyết các ϕl này đã được trực chuẩn:
ϕl ∗ ϕl dq = δll (1.5)
với l, l = 1, 2, 3. . .
Với các điều kiện hạn chế đó, việc giải phương trình: Hϕ = Eϕ sẽ
quy về việc giải phương trình sau để tìm El và Ψl
H0 + λW Ψl = El Ψl

(1.6)

Nói khác đi chúng ta sẽ hiệu chỉnh cho El và ϕl (l=1,2,3,. . . ) để sau khi
hiệu chỉnh El và ϕl sẽ cho (1.1), (1.4) hay (1.6)
Khi ta xét bài toán nhiễu loạn dừng sẽ có 2 trường hợp xảy ra:
+ Trường hợp bài tốn lí tưởng khơng có suy biến
+ Trường hợp bài tốn lí tưởng có suy biến
Để hiểu rõ hơn ta đi vào từng trường hợp cụ thể:
1.2. Nhiễu loạn dừng khi khơng có suy biến.
Trường hợp mức năng lượng lí tưởng của hệ không bị suy biến.
Chúng ta nghiên cứu trường hợp mức năng lượng E0l (l=1,2,3,. . . )
của hệ lý tưởng không bị suy biến, nghĩa là với một giá trị năng lượng
E0l (l=1,2,3,. . . ) chỉ có một hàm riêng ϕl và sẽ xem xét mức E0 l sẽ thay
đổi như thế nào khi có nhiễu loạn. Giả sử sau khi hiệu chỉnh cho E0 l và

ϕl ta được năng lượng El và hàm sóng Ψl nghiệm đúng (1.6).
∧

Lấy hệ hàm riêng {ϕ1 , ϕ2 , ...} của H0 làm cơ sở và khai triển:
Ψl =

C n ϕn

(1.7)

n

Như vậy việc tìm Ψl đưa về việc tìm các Cn (n=1,2,3,. . . ) tức là hàm
sóng trong E0 - biểu diễn.
Thay (1.7) vào (1.6) ta được:
H0 + λW

Cn ϕn = El
n

C n ϕl
n


5

⇔

Cn H0 + λW ϕl = El
n

C n ϕn
n

với n=1,2,3,. . .
Nhân ϕ∗ m vào bên trái 2 vế rồi lấy tích phân theo các biến số khơng
gian ta có :
ϕ∗m
⇔
n

⇔
n

∧

∧

ϕ∗m El

Cn H 0 + λ W ϕn dq =
n

Cn E0n

ϕ∗m ϕn dq +

Cn E0n δmn + λ

n

∧

ϕ∗m Wϕm dq = El

n

n

λϕ∗m Wϕn dq = El

Cn

Cn

C n ϕn
∧

Cn
n

ϕ∗m ϕn dq

Cn δmn
n

Cn δmn = Cm

Mà
n

⇒ Cm E0m + λ
⇒ El −

E0m

ϕ∗m W ϕn dq = El Cm

Cn
n

(1.8)

Cm = λ

Cn Wmn
n

Với
ϕ∗m W ϕn dq

Wmn =

(1.9)

Wmn là phần tử ma trận (m, n) của ma trận (W) của toán tử nhiễu loạn
W trong E0 -biểu diễn.
1.2.1. Khi λ = 0
Ta có λW = 0 khi đó phương trình (1.6) trở về phương trình (1.4)
và khi đó H = H0 , Ψl = Ψ0l = ϕl

Từ (1.8)
El − E0m Cm = 0

(1.10)

với m, l = 1, 2, 3, ...
Nghiệm của (1.10) là:

 Cm = δml
 E = E0
l

l

(1.11)


6

Cm = δml suy ra từ (2.4) trong 2 trường hợp:


 m = l → Cm = 0
Nếu

 m = l → Ψl = Cn ϕn ≡ ϕl
n

1.2.2. Khi λ nhỏ.
Các giá trị El xê dịch khỏi giá trị E0l và các Cm sẽ lệch ra khỏi các

0
giá trị Cm
. Ta hi vọng độ lệch này sẽ nhỏ. Muốn vậy ta khai triển Cm
và El (m,l=1, 2,3,. . . ) theo chuỗi lũy thừa của λ :

(1)
(2)
 Cm = C 0 + λCm
+ λ2 Cm + ...
m
(1.12)
 E = E0 + λE(1) + λ2 E(2) + ...
l

l

l

l

Trong đó các giá trị tỉ lệ với λk là hiệu chỉnh bậc k tương ứng của Cm
và El .
Thay (1.12) vào (1.8) ta có:
(2)

(1)

E0l − E0m + λEl + λ2 El + ...
(1)

=λ
n

(1)

(2)

0
+ λCm + λ2 Cm + ...
Cm

(2)

Wmn Cn0 + λCn + λ2 Cn + ...
(1.13)

với m, l = 1, 2, 3, . . .
Bây giờ ta so sánh các hệ số của lũy thừa λ với 2 vế của (1.13).
Trước hết với hệ số của λ0 :
0
E0l − E0m Cm
=0
(1.14)
với m, l = 1, 2, 3, . . .

 m = l ⇔ C0 = 0
m
0
⇒ Cm
= δml

 m = l ⇔ C0 = C0
m
l
0
Thay Cm
= δml và Cn0 = δnl vào (1.13) ta có:
(1)

(2)

E0l − E0m + λEl + λ2 El + ...
(1)

=λ
n

(1)

(2)

δml + λCm + λ2 Cm + ...

(2)

Wmn δnl + λC1 + λ2 C1 + ...
(1.15)


7

với m, l = 1, 2, 3, . . .
Giả sử m = l

(1)

El = Wll





(1) (1)
(2)


 El + El Cl =

(a)
(1)

Wln Cl

(b)

n
(2) (1)
Ell Cl

(2)


+
+
= Wln Cl



n



(4)
(3) (1)
(2) (2)
(3)

 El + El Cl + El Cl + E(1)
=
l Cl
(3)
El

(1) (2)
E l Cl

Giả sử m = l

(1)

E0l − E0m Cm = Wml






(2)
(1) (1)
0
0


 El − Em Cm + El Cl =

(c)
(3)

n

Wln Cl

(1.16)

(d)

(a’)
(1)

Wmn Cn

(b’)

n
(2) (1)
E l Cm

(2)
(3)
(1) (2)

= Wmn Cn
(c’)
E0l − E0m Cm + El Cm +



n



(4)
(1) (3)
(2) (2)
(3) (1)
(3)

 E0l − E0m Cm
+ El Cm + El Cm + El Cm = Wmn Cn
(d)
n

(1.17)

Như vậy với cách biểu diễn thành các chuỗi như ở (1.12) ta thu được hệ
phương trình (1.16) và (1.17), về nguyên tắc thì 2 hệ phương trình này
sẽ cho ta các bổ chính ở các bậc khác nhau của năng lượng và hàm sóng.
1.3. Nhiễu loạn khi có suy biến.
1.3.1. Sự giảm độ suy biến khi có nhiễu loạn.
Ta đi xét trường hợp có suy biến tức là với một giá trị của năng
lượng thì có nhiều hàm riêng khác nhau. Ta giả sử mức năng lượng E0l
bị suy biến S lần ( tức là có S hàm sóng (ϕ11 , ϕ12 , ϕ13 , ......ϕ1S )). Khi đó
để làm gần đúng cấp khơng của hàm sóng ta lấy tổ hợp tuyến tính của
các hàm ϕlk (k=1,2,3. . . .S) tương ứng với các mức năng lượng E0l
s

ϕl =

ak ϕlk
k=l

ϕlk thỏa mãn phương trình Schodinger:
H0 ϕlk = El0 ϕlk

(1.18)


8

(l=1,2,. . . ,k=1,2,3. . . S)
Thay (1.18) vào phương trình Hϕl = Eϕl ta được:
s

s

ak ϕlk

ak ϕlk = El

H0 + λW

k=l

k=l

Nhân vào hai vế của phương trình trên với ϕ∗lm (m=1,2,3. . . .s) sau đó
tích phân theo các biến không gian ta được:
ϕ∗lm

ϕ∗lm ak El

ak ϕlk Hdq =
k

→

ak

ϕ∗lk Hϕlk dq =

k

Ta đặt Hmk =
→

ϕlk dq
k

ak El δmk
k

ϕ∗lm Hϕlk dq
ak El δmk

ak Hmk =
k

k
s

với m = 1, 2.3. . . s

ak (Hmk − El δmk ) = 0

→
k=l

Phương trình (1.19) là phương trình đại số bậc 1 tuyến tính thuần
nhất hạng nhất với ẩn a1 , a2 , ........as . Hệ phương trình có ẩn s. Để phương
trình có nghiệm khơng tầm thường thì các định thức của hệ phương trình
phải bằng 0:
(H11 − El )
H21

H12

H13

H1s

(H12 − El ) H23

H2s

...

...

Hs1

Hs2

...

=0

(1.19)

...

Hs3 (Hss − El )

Khai triển định thức trên ta thu được phương trình bậc S đối với giá trị
chưa biết El . Phương trình này được gọi là phương trình thế kỷ, nó có

s nghiệm. Nếu s nghiệm thực của (1.20) khác nhau thì mức E0l suy biến
bội s của bài tốn khơng nhiễu sẽ tách ra làm s mức Ekl khác nhau.
Phương trình này có p«s nghiệm thực. Từ phương trình (1.20) sẽ
cho ta nghiệm El . Giả sử tìm được các nghiệm E11 , E12 , E13 , E1p


9

Thay Eli (i=1,2,3,. . . ,p) vào (1.19) ta được:
Hmk =
⇒ Hmk =

∧

ϕ∗lm H ϕlk dq =
∧

ϕ∗lm H ϕlk dq +

∧

∧

ϕ∗lm H0 + V ϕlk dq
∧

ϕ∗lm V ϕlk dq

⇒ Hmk = E0 δmk + Vmk
Trong các ai tìm được ta thay vào phương trình (1.18) ta tìm được gần

đúng cấp khơng của hàm sóng Ψl .
Như vậy trong phép gần đúng cấp khơng ta tìm được: Eli , Ψl
(i=1,2,3,. . . ,p,p«s ).
1.3.2. Việc khử suy biến.
Chúng ta biết rằng với bài tốn khơng nhiễu, mức năng lượng E0l
suy biến tách ra thành p ≤ s mức E11 , E12 , E13 , ...E1p với p là hằng số,
ϕ11 , ϕ12 , ...ϕ1p độc lập tuyến tính với nhau.
Thành thử nhiễu loạn khi đã khử bớt độ suy biến, từ độ suy biến
bội s bây giờ chỉ còn bội suy biến (s-p). Độ suy biến này ta phải hiểu là
trong p mức năng lượng E11 , E12 , E13 , ...E1p sẽ có một vài mức suy biến
với bội nhỏ hơn hoặc bằng (s - p) sao cho tổng số bội của các mức bị suy
biến bội (s - p) đến các mức còn lại. Điều này cho phép chúng ta lặp lại
phương pháp cho các mức suy biến để tiếp tục khử suy biến.
Q trình đó có thể tiến hành đến khi khử hết suy biến thì dừng
lại, lúc này bài tốn trở về bài tốn khơng suy biến.
1.4. Các bổ chính của năng lượng và hàm sóng.
1.4.1. Bổ chính bậc 1 cho năng lượng và hàm sóng.
Từ (1.16) theo phương trình (a)
(1)

El = Wll
(1)

⇒ λEl = λWll = Vll
Bổ chính bậc 1 cho năng lượng:
(1)

λEl = λWll = Vll =

ϕ∗l (q) V ϕl(q) dq

(1.20)


10

Năng lượng gần đúng cấp 1:
(1)

El = E0l + λEl = E0l + Vll

(1.21)

Từ (1.17) theo phương trình (a’) suy ra:
(1)

Wml
E0l − E0m
Wml
Vml
=λ 0
=
El − E0m
E0l − E0m

Cm =
(1)

⇒ λCm

Do đó phép gần đúng cấp 1 của hàm sóng có thể viết:
(1)

Ψl

(1)

=
m

Cm ϕm = Cl0 + λCl

= ϕl +

(1)
λCl ϕl

(1)

0
Cm
+ λCm

ϕl +

ϕm

m=1

Vml

+
0 − E0 ϕ m
E
m=l l
m

0
Vì Cl0 = 1 và Cm
=0
(1)

(1)

Ở đây còn Cl là chưa biết, ta sẽ xác định Cl từ điều kiện chuẩn
hóa của Ψl có xét đến điều kiện (1.12) và bỏ qua các đại lượng tỉ lệ với
λ2
2
(1)

|Ψl |2 dq =

ϕl + λCl ϕl +
m=l


 1 + λC (1)
l

∗

ϕ∗l


(1)

×  1 + λCl

Vml
ϕm dq = 1
E0l − E0m


Vml ∗
ϕ∗m  ×
+
0
0
E − Em
m=l l

=1
Vml
ϕl +
ϕm  dq
E0l − E0m
m=l

(1)

∗

(1)

ϕ∗l ϕl dq+
∗
Vml
(1)
+ 1 + λCl
ϕ∗l ϕm dq+
0
0
E − Em
m=l l
∗
Vml
(1)
ϕ∗l ϕl dq+
+ 1 + λCl
0
0
E − Em
m=l l
∗
Vml
Vml
+
ϕ∗m ϕm dq = 1
0
0
0

0
El − Em
El − Em

⇔ 1 + λCl

m=l

1 + λCl

m=l


11
∗
Vml
Vml
loại bỏ vì có bậc 2
0
0
0
0
m=l El − Em m=l El − Em

Trong đó:

ϕ∗m ϕl dq = 0

ϕ∗l ϕm dq = 0 và

∗

(1)

(1)

Vậy ta có: 1 + λCl

1 + λCl

=1

2

(1)

|ϕl |2 dq ≈ 1 + λCl

(1)

=1 + λCl
(1)

(1)

Có thể coi Cl là thực vì vậy Cl
cấp 1 của hàm sóng được viết:

(1) ∗

+ λC l

=1

(1.22)

= 0. Thành thử trong phép gần đúng

Ψl = ϕl +
m=l

Vml
ϕm
E0l − E0m

(1.23)

Trên đây ta đã tìm được bổ chính cấp 1 cho năng lượng và hàm sóng do
đó trong phép gần đúng cấp 1 năng lượng và hàm sóng được biểu diễn
như ở phương trình (2.2) và (2.6).
1.4.2. Bổ chính bậc 2 cho năng lượng và hàm sóng.
Để tìm bổ chính bậc 2 cho năng lượng và hàm sóng, xuất phát từ
hệ phương trình (1.16) theo phương trình (b)
(2)

(1)

(1)

El + E l Cl

⇔
(1)

Từ trên ta đã biết Cl
2

λ

(2)
El

=
n=l

(2)
El

n
(2)

= 0 nên El =

(1)
λCl λWln

Wln Cn
n

(1)
Wln Cn

=

(1)

=

(1)

(1)

− El Cl

(1)

Wln Cn
n

Vln Vnl
|Vln |2
=
=
0
0
0
0
n=l El − En
n=l El − En
∧

(Vln = Vln∗ do tính hecmit của tốn tử V )
Vậy bổ chính bậc 2 cho năng lượng:
2

λ

(2)
El

=
n=l

|Vln |2
E0l − E0n

(1.24)


12

Khi đó trong phép gần đúng cấp 2 của năng lượng được viết:
El =

E0l

|Vln |2
E0l − E0n

+ Vll +
n=l

(1.25)

Trong phép gần đúng cấp 2 hàm sóng đươc viết:
(2)

⇒

(1)

Cl0 + λCl

=

Ψl

(2)
Ψl

=

1+

(2)

+ λ2 Cl

(2)
λ2 Cl

(1)

m=l
(1)
(2)
λCm + λ2 Cm

ϕl +

(2)

0
Cm
+ λCm + λ2 Cm

ϕl +

ϕm

ϕm

m=l
(1)

(2)

Trong phương trình này ta thấy ϕl , λCm đã biết, λ2 Cm được xác định
từ hệ phương trình (1.17) theo phương trình (b’)
(1)

(2)

Cm =

m=l

(2)

⇒ λ2 Cm = λ2
(2)

⇒ λ2 Cm =

(1)

(1)

Cn Wmn − El Cm

m=l

E0l − E0m
(1)
(1) (1)
Cn Wmn − El Cm
E0l − E0m
Vnl Vmn

m=l
0

(El − E0n ) (E0l

− E0m )

−

Vll Vml
2

(E0l − E0m )

(2)

Ta cần xác định Cl , tương tự như phép gần đúng cấp 1, ta dùng
phương pháp chuẩn hóa hàm Ψ ta có:
|Ψl |2 dq =1
Ω

2
(2)

1 + λ2 Cl

⇔

m=l

Ω
(2)

1 + λ2 Cl

⇔

(1)
(2)
λCm
+ λ2 Cm
ϕm dq = 1

ϕl +
∗

ϕ∗l +

(1)
(2)
λCm
+ λ2 Cm

∗

ϕ∗m ×

m=l

Ω

×

(2)

1 + λ2 Cl

(1)

(2)

λCm + λ2 Cm

ϕl +
m=l

ϕm

dq = 1


13
∗

(2)

⇔ 1 + λ2 Cl

(2)

1 + λ2 Cl
(1)

+
∗

(2)

λCm + λ2 Cm

+

(1)

(2)

ϕ∗m ϕm dq =

λCm + λ2 Cm

m=l
(2)

= 1 + λ2 Cl

(2) ∗

(2)

+ λ2 C l

⇔ 1 + λ2 Cl
⇒ 2λ

2

(2)
Rl Cl

(2)

⇒ Cl

=−

(2) ∗

+ λ2 C l

2

= 2λ

1
2

(2)

∗

(1)

(2)

λCm + λ2 Cm

m=l
(1)

λ2 Cm

+

2

=1

m=l

(2)
Cl

(1)
Cm

(1)

λCm + λ2 Cm

+

=−

λ

2

(1)
Cm

2

m=l
2

m=l

Bổ chính cấp 2 của hàm sóng là:
(2)

(2)

(2)
λ2 Cm
ϕm + λ2 C l ϕl

Ψl =
m=l

⇒

(2)
Ψl

=
m=l m=l

Vnl Vmn
ϕm −
(E0l − E0n ) (E0l − E0m )

Vll Vml ϕm
m=l

1
−
2
Mà ta đã biết
Wln =

2−

(E0l − E0m )

2

m=l

Vml
ϕl
0
El0 − Em

E0l − E0n

Vậy bổ chính cấp 2 của hàm sóng được viết là:
(2)
Ψl

=
m=l m=l

Vmn Vnl
ϕm −
2W W
ln lm

m=l

Vml Vll ϕm 1
|Vml |2
− ϕl
2 W2
2W 2
2
ln
ml
m=l

Như vậy trong phép gần đúng cấp 2 hàm sóng có dạng:
(1)

(2)

Ψl = Ψ0l + Ψl + Ψl
Vml
ϕm +
⇔ Ψl = Ψ0l +
Wlm
m=l

m=l m=l

−
m=l

Vnl Vmn
ϕm
2W W
ln lm
Vll Vml ϕm 1
|Vml |2
− ϕl
2 W2
2W 2
2
ln
ml
m=l


14

1.4.3. Bổ chính bậc 3 cho năng lượng.
Từ hệ phương trình (1.16) theo phương trình (c)
(3)

(2)

(2)

(1)

Cl Wln − El Cl

El =

(1)

(2)

− El Cl

n
(1)

(2)

(3)

⇒ El =

n

⇒

(3)
λ3 El

=

⇒

(3)
λ3 El

=

(2)

Cl Wln − El Cl
(2)

(1)

(2)

λ2 Cl λWln − λEl λ2 Cl

n

(2)

(2)

λ2 Cl Vln − λ2 Cl Vll

n

(3)

Vậy bổ chính cấp 3 của năng lượng là: λ3 El =

(2)

λ2 Cn Vln
n=l

Mặt khác ta có:
λ2 Cn(2) =

(E0l
m,n=l

Vnm Vml
Vll Vln
−
0
− E0m ) (El − E0n ) (E0l − E0n )2

Khi đó bổ chính của năng lượng bậc 3 được viết dưới dạng:
3

λ

(3)
El

=
m=l n=l

Vnm Vml Vln
− Vll
2W W
ln lm

n=l

|Vln |2
2 W2
ln

(1.26)

Vậy trong phép gần đúng cấp 3 cho năng lượng được viết như sau:
El =

E0l

+ Vll +
n=l

|Vnl |2

+
Wln

m=l n=l

Vnm Vml Vln
− Vll
2W W
ln lm

n=l

|Vln |2
2 W2
ln

Vừa rồi với phép gần đúng ta đã tìm được các bổ chính từ thấp tới cao,
thực chất là ta thu được các chuỗi.


15

Chương 2: Một số bài toán ứng
dụng lý thuyết nhiễu loạn.

2.1. Hiệu chỉnh cho năng lượng ở trạng thái cơ bản
của dao động tử điều hịa.
Tìm hiệu chỉnh cho năng lượng ở trạng thái cơ bản của dao động tử điều
hịa phi tuyến một chiều có thế năng:
1

U (x) = mω 2 x2 + αx3 + βx4
2
trong đó α và β là những hằng số và x là độ lệch nhỏ khỏi vị trí cân
bằng.
Giải:
Tốn tử Hamilton của dao động tử điều hịa phi tuyến tính một
chiều:
2

d2
1
H=−
+
mω 2 x2 + αx3 + βx4 = H0 + αx3 + βx4
2
2m dx
2
2

d2
1
Trong đó H0 = −
+
mω 2 x2 là tốn tử Haminlton của dao động
2m dx2 2
tử điều hịa tuyến tính và V (x) = αx3 + βx4 coi là toán tử nhiễu loạn.
Do số hạng phi điều hòa là rất nhỏ nên có thể áp dụng lý thuyết
nhiễu loạn để tìm các hiệu chỉnh. Dao động tử ở trạng thái cơ bản được

16

mơ tả bởi hàm sóng:
2

mωx
1
mω /4 −
Ψ0 =
e 2
π

Nên hiệu chỉnh bậc nhất cho năng lượng của dao động tử ở trạng thái
∞

=

cơ bản là:

Ψ∗0

∞

Ψ0 dx = β
Ψ∗0 x4 Ψ0 dx
−∞
−∞
mω 2
1/ ∞
1

x
−
mω 2
mω /2
mω
4
= β
dx = β
I4
xe
π
π
−∞
1/
2
3 mω 2 π 5
3
= β
= β 2 2
4
π
m5 ω 5
4 mω

E01

∞

Ở đây tích phân

3

αx + βx

4

Ψ∗0 αx3 Ψ0 dx = 0 do hàm dưới dấu tích phân lẻ.

−∞

Bây giờ chúng ta đi tính hiệu chỉnh bậc hai cho năng lượng. Trước
hết tính đối với số hạng nhiễu loạn :
∞

E02 =
n=0

|V0n |2
=
E0 − En

2

Ψ∗0 (x)

αx

3

Ψn (x) dx

−∞

E0 − En

n=1

Trong đó:
Ψn (ξ) =

4

mω

ξ2
1
√ e 2 Hn (ξ) ,
2n n! π

ξ=x

mω

Là hàm sóng của trạng thái năng lượng:
En = ω n +

1
2

với n=0, 1, 2,. . . . . . . . . ..

Ta biết rằng đa thức Hermite Hn (ξ) thỏa mãn phương trình:
d2
d
H
(ξ)
−
2ξ
Hn (ξ) + 2nHn (ξ) = 0
n
dξ 2
dξ


17

Và có biểu thức:
dn
n (n − 1)
2
Hn (ξ) = (−1) e
e−ξ = (2ξ)n −
(2ξ)n−2
n
dξ
1!
n ξ2

+

n (n − 1) (n − 2) (n − 3)

(2ξ)n−4 − .....
2!

Nó chẵn lẻ cùng n, thỏa mãn điều kiện trực chuẩn:
∞

mω

An Am

2

e−ξ Hn (ξ) Hm (ξ) dξ = δnm , An =

4

mω

−∞

1

√
2n n! π

Và có các tính chất:

dHn (ξ)



= 2nHn−1 (ξ)
dξ

 ξHn (ξ) = nHn−1 (ξ) + 1 Hn+1 (ξ)
2
Trong công thức cuối cùng, nếu thấy n → n ± 1, ta thu được các công
thức:


 ξHn−1 (ξ) = (n − 1) Hn−2 (ξ) + 1 Hn (ξ)
2
1

 ξHn+1 (ξ) = (n + 1) Hn (ξ) + Hn+2 (ξ)
2
Nếu thấy n → n ± 2, ta thu được các công thức:


 ξHn−2 (ξ) = (n − 2) Hn−3 (ξ) + 1 Hn−1 (ξ)
2
1

 ξHn+2 (ξ) = (n + 2) Hn+1 (ξ) + Hn+3 (ξ)
2
Còn nếu thấy n → n ± 3, ta thu được các công thức:


 ξHn−3 (ξ) = (n − 3) Hn−4 (ξ) + 1 Hn−2 (ξ)
2
1


 ξHn+33 (ξ) = (n + 3) Hn+2 (ξ) + Hn+4 (ξ)
2
Từ đây:
1
ξ 2 Hn = ξ (ξHn ) = ξ nHn−1 + Hn+1
2
1
1
= n (n − 1) Hn−2 + n +
Hn + Hn+2
2
4


18

Và:
ξ 3 Hn = ξ ξ 2 Hn = ξ n (n − 1) Hn−2 + n +

1
1
Hn + Hn+2
2
4

3n2
3
1
= n (n − 1) (n − 2) Hn−3 +

Hn−1 + (n + 1) Hn+1 + Hn+3
2
4
8
Tương tự ta cũng tính được:
ξ 4 Hn = ξ ξ 3 Hn = n (n − 1) (n − 2) (n − 3) Hn−4 +
1
+ Hn+4 + n (n − 1) (2n − 1) Hn−2 +
16
2n + 3
3
+
Hn+2 +
2n2 + 2n + 1 Hn
4
4
Bây giờ chúng ta tích các tích phân sau với n ≥ 1:
∞

∞

2

Ψ∗0 (x) αx3 Ψn (x) dx =

−∞

Ψ∗0 (ξ) αξ 3 Ψn (ξ) dξ

mω

−∞
2

=

mω

∞
2

e−ξ H0 (ξ) ξ 3 Hn (ξ) dξ

αA0 An
−∞

Dựa vào biểu thức khai triển của và tính chất trực chuẩn của các đa
thức Hermite chúng ta thấy các tích phân chỉ khác 0 với các giá trị n=1,
n=3. Do đó ( chú ý En − E0 = n ω ):
∞

E02

2
4

−∞

=

=−

=

E0 − En

n=1

mω



∞

4

−∞




∞

Chú ý tích phân
−∞

2

Ψ∗0 αξ 3 Ψ1 dξ
ω

2

e−ξ H02 (ξ) dξ =

2

∞

Ψ∗0 (x) αx3 Ψn (x) dx
mω
∞

Ψ∗0 αξ 3 Ψn dξ

−∞
n=1

n ω
2

Ψ∗0 αξ 3 Ψ3 dξ 

−∞
+

3 ω

mω 1
An
1

√
và
=
A20
A0
2n n!


19

3
3
1
Với n=1, ξ 3 H1 (ξ) = H0 (ξ) + H2 (ξ) + H4 (ξ):
2
2
8
∞

A =

Ψ∗0 (x) αx3 Ψ1 (x) dx

−∞

=
=

2

∞

αA0 A1

mω

−∞
∞

2

3
α
2
mω

A0 A1

2

∞

αA0 A3

mω

= 6α

mω

2

e−ξ H0 (ξ) ξ 3 H3 (ξ) dξ

−∞
∞

2

= 6α

27
1
H2 (ξ) + 3H4 (ξ) + H6 (ξ):
2
8

Ψ∗0 (x) αx3 Ψ3 (x) dx

−∞

=

3/
2

3α
= √
A0
2 2 mω

Với n=3, ξ 3 H3 (ξ) = 6H0 (ξ) +
B=

2

e−ξ H02 (ξ) dξ

−∞

3/
2 A1

3
= α
2
mω

∞

2

e−ξ H0 (ξ) ξ 3 H1 (ξ) dξ

A0 A3

2

e−ξ H02 (ξ) dξ

−∞

3/
2 A3

3α
= √
A0
2 3 mω

mω

3/
2

Và vì vậy:

E02

= −



∞

2

−∞






mω
3

= −

mω

α2
ω

2

∞

Ψ∗0 αξ 3 Ψ1 dξ
ω

9 1
+
8 4

+

Ψ∗0 αξ 3 Ψ3 dξ

−∞

3 ω

2






11 2 α2
=−
8 m3 ω 4

Sau đây chúng ta đi tính hiệu chỉnh bậc 2 cho năng lượng đối với


20

số hạng nhiễu loạn βx4 :
∞

E02 =
n=0

|V0n |2
=
E0 − En

2

Ψ∗0 (x)

βx

4

Ψn (x) dx

−∞

E0 − En

n=1

Biến đổi các tích phân sau ( với n ≥ 1 ):
∞

C =

Ψ∗0 (x) βx4 Ψn (x) dx

−∞

=

5/
2

mω
5/

2

=

mω

∞

Ψ∗0 (ξ) βξ 4 Ψn (ξ) dξ

−∞
∞

βA0 An

2

e−ξ H0 (ξ) ξ 4 Hn (ξ) dξ

−∞

Dựa vào biểu thức khai triển của ξ 4 Hn và tính trực chuẩn của các đa
thức Hermite chúng ta thấy các tích phân chỉ khác 0 với các giá trị n=2,
n=4. Do đó:
∞

2

Ψ∗0 (x) αx3 Ψn (x) dx

−∞

E02 =

E0 − En

n=1

∞

=

=−

5/
2
mω

βξ

4

Ψn (ξ) dξ

−∞
n=1

∞

5

mω

2

Ψ∗0 (ξ)





E0 − En
2

Ψ∗0 (ξ) βξ 4 Ψ2 (ξ) dξ

−∞

2 ω

∞

2

Ψ∗0 (ξ) βξ 4 Ψ4 (ξ) dξ 

−∞
+

4 ω

