Bất đẳng thức jensen có trọng và ứng dụng trong đánh giá mũ các hệ có trễ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN BÁ HÙNG

BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG
TRONG ĐÁNH GIÁ MŨ CÁC HỆ CÓ TRỄ

Chuyên ngành: Toán Giải tích
(Phương trình vi phân và tích phân)
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Lê Văn Hiện

HÀ NỘI-2016


1

MỤC LỤC
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Một số kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 1. Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. Hệ phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
Chương 2. Bất đẳng thức tích phân Jesen có trọng . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Bất đẳng thức tích phân Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3. Bất đẳng thức tích phân có trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Chương 3. Tính ổn định mũ của một số lớp hệ tuyến tính có trễ . . 28
3.1. Hệ có trễ phân phối và rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2. Hệ có trễ biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


MỞ ĐẦU

Nghiên cứu tính ổn định của các hệ phương trình vi phân có trễ là một
trong những chủ đề nghiên cứu có tính thời sự trong vài thập kỉ qua. Xuất
phát từ thực tế rằng, nhiều lớp hệ trong các mô hình ứng dụng, từ khoa học
đời sống, kinh tế, môi trường đến các mô hình sinh học và mô hình kĩ thuật
trong vật lí, hóa học, cơ học, điều khiển tự động v.v. thường xuất hiện các độ
trễ thời gian [1, 2]. Sự xuất hiện của các độ trễ này ảnh hưởng đến dáng điệu
của hệ cũng như ảnh hưởng đến tính ổn định, một trong những tính chất phổ
dụng của các hệ kĩ thuật. Vì vậy bài toán nghiên cứu tính ổn định của các
hệ phương trình vi phân có trễ và ứng dụng nó trong các mô hình điều khiển
đã và đang thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả trong và ngoài
nước trong vài thập kỉ gần đây [3–7].
Trong các kết quả nghiên cứu đã được công bố gần đây về tính ổn định
của các hệ vi phân có trễ, phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii (LKF) và
các biến thể của nó (chẳng hạn Định lí Lyapunov–Razumikhin) là một công
cụ chính được sử dụng rộng rãi trong việc thiết lập các lớp điều kiện đảm bảo
tính ổn định của hệ [2]. Mặc dù cho đến nay chưa có một phương pháp thống
nhất nào trong việc xây dựng LKFs, nhưng dựa trên các định lí ổn định dạng

trừu tượng, đối với rất nhiều lớp hệ có ứng dụng quan trọng (hệ điều khiển
tuyến tính, hệ không chắc chắn, hệ đa diện, hệ nơ-ron v.v) các tác giả đã đề
xuất được các hàm LKFs để thiết lập các điều kiện tương ứng. Thông qua
việc xây dựng các hàm LKFs phù hợp, các điều kiện đủ cho tính ổn định của
hệ được thiết lập thông qua các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs).
Các điều kiện ổn định đó có thể chia thành hai loại: (i) các điều kiện ổn định
độc lập với độ trễ và (ii) các điều kiện ổn định phụ thuộc độ trễ. Các điều
2


kiện loại (ii) sử dụng cả các thông tin về tham số của hệ lẫn độ lớn của trễ
trong đánh giá tính ổn định của hệ. Thực tế cho thấy các hệ có trễ thường chỉ
ổn định với một độ trễ nhất định, vì vậy các tiêu chuẩn ổn định phụ thuộc
độ trễ có nhiều ứng dụng và được quan tâm nghiên cứu, phát triển mạnh mẽ
trong những năm gần đây [5]. Thông thường, tính bảo thủ của các tiêu chuẩn
ổn định phụ thuộc không chỉ vào việc xây dựng các hàm LKFs mà còn phụ
thuộc rất nhiều vào các kĩ thuật đánh giá đạo hàm các phiếm hàm đó [8].
Hơn nữa, việc xây dựng các hàm LKFs phức tạp có thể không cải thiện nhiều
về độ trễ mà dẫn tới độ phức tạp tính toán quá lớn.
Nhằm mục đích giảm tính bảo thủ của các điều kiện ổn định, ba phương
pháp thường được các tác giả sử dụng, bao gồm: (i) Xây dựng các phiếm hàm
LKFs mới; (ii) cải tiến các kĩ thuật ước lượng đạo hàm của LKFs; và (iii) sử
dụng thêm các biến phụ, biến đổi mô hình hay phân hoạch đoạn trễ. Nhờ bất
đẳng thức tích phân Jensen [3], nhiều kết quả quan trọng về tính ổn định của
các hệ có trễ, đặc biệt các hệ ô-tô-nôm đã được công bố. Tuy nhiên, như đã
được thảo luận trong [8], bất đẳng thức Jensen thường tạo ra tính bảo thủ
(ngặt) của các điều kiện ổn định tương ứng. Cải tiến bất đẳng thức này là
một vấn đề quan trọng và vẫn là vấn đề có tính mở mà nhiều tác giả quan
tâm nghiên cứu tìm các giải pháp hiệu quả hơn. Gần đây, trong [8], dựa trên
một bất đẳng thức trong giải tích Fourier, bất đẳng thức Wirtinger, các tác

giả đã tìm được một cải tiến thực sự của bất đẳng thức tích phân Jensen, gọi
tắt là WBI (Wirtinger-based integral inequality). Nhiều kết quả nghiên cứu
áp dụng WBI đã được công bố gần đây thể hiện tính vượt trội của WBI. Rất
gần đây, đã đề xuất một số dạng bất đẳng thức Jensen cải tiến mà bất đắng
thức Jensen cổ điển và WBI là những dạng đặc biệt. Bằng một kĩ thuật hiệu
chỉnh đặc biệt, các tác giả trong [5] thu được một cải tiến mới của bất đẳng
thức Jensen. Kết quả trong [5] bao hàm kết quả trong [8] như một trường
3


hợp riêng.
Mặt khác, ta biết rằng tính ổn định tiệm cận của hệ đảm bảo quỹ đạo
nghiệm với các điều kiện đầu khác nhau (trong thực tiễn thường là không
biết) sẽ hội tụ về điểm cân bằng. Do đó các trạng thái của hệ sẽ nằm trong
một lân cận của điểm cân bằng sau khoảng thời gian đủ lớn. Tuy nhiên, tính
ổn định tiệm cận không cho một ước lượng thời điểm để trạng thái của hệ ở
trong một lân cận cho trước của điểm cân bằng. Vì vậy, bài toán nghiên cứu
tính ổn định mũ với chỉ số mũ cho trước đóng vai trò quan trọng trong thiết
kế và điều khiển hệ thống. Cách tiếp cận được sử dụng rộng rãi là phương
pháp hàm LKF có trọng [7, 9, 10]. Tuy nhiên, trong các kết quả đã biết, việc
ước lượng tách rời giữa hàm trọng và trạng thái (xem [10]) sẽ đưa đến các
điều kiện bảo thủ, đặc biệt là chỉ số mũ. Mới đây, trong [6], các tác giả đề
xuất một cách tiếp cận mới là đánh giá trực tiếp hàm trọng và trạng thái
bằng một bất đẳng thức mới gọi là bất đẳng thức tích phân Jensen có trọng
(WII) và một số dạng cải tiến.
Nội dung chính của Luận văn này là trình bày một số kết quả nghiên cứu
mới trong bài báo [6] của người hướng dẫn và cộng sự. Trong bài báo đó, các
tác giả xem lại khả năng ứng dụng của bất đẳng thức Jensen trong nghiên
cứu tính ổn định mũ của các hệ có trễ. Bằng một kỹ thuật hiệu chỉnh rất đặc
biệt, các tác giả đề xuất một số bất đẳng thức có trọng và các làm mịn của

nó. Trong trường hợp tới hạn, khi chỉ số mũ dần tới không các tác giả thu
được cả bất đẳng thức tích phân Jensen [3] và WBI [8].
Nội dung của luận văn được trình bày trong 3 chương. Chương 1 trình bày
một số kết quả liên quan, ở đó chúng tôi nhắc lại Định lí Lyapunov–Krasovskii
cho tính ổn định tiệm cận và ổn định mũ và một số kiến thức liên quan về
giải tích ma trận dùng trong trình bày nội dung các chương sau. Chương 2
4


trình bày các dạng cơ bản của các bất đẳng thức tích phân Jensen, bất đẳng
thức Jensen có trọng và dạng cải tiến của nó. Chương 3 trình bày một số kết
quả về tính ổn định mũ của hai lớp hệ tuyến tính có trễ bao gồm hệ tuyến
tính có trễ hỗn hợp dạng phân phối và rời rạc và hệ có trễ biến thiên trên
một đoạn dựa trên nội dung bài báo [6].
Luận văn được hoàn thành tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Lê Văn Hiện. Qua
Luận văn này, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô trong Bộ
môn Giải tích, các thầy cô trong Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội nói chung, và đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy
PGS. TS. Lê Văn Hiện, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ em
trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành Luận văn này.

5


MỘT SỐ KÍ HIỆU
R+

Tập tất cả các số thực không âm.

Rn

Không gian Euclide n−chiều với tích vô hướng
x, y =

xT y

và chuẩn vectơ x =

n
2
i=1 xi

Rn×r

Tập hợp các ma trận kích thước n × r.

A⊤

Ma trận chuyển vị của ma trận A.

I

Ma trận đơn vị.

λ(A)

Tập tất cả các giá trị riêng của A.

λmax (A)

= max{Reλj (A) : λj (A) ∈ λ(A)}.

λmin (A)

= min{Reλj (A) : λj (A) ∈ λ(A)}.

A>0

Ma trận A xác định dương, tức là

1
2

.

x⊤ Ax > 0, ∀x ∈ Rn , x = 0.
A≥0

Ma trận A nửa xác định dương, tức là
x⊤ Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn .

A>B

Ma trận A − B xác định dương.

S+
n

Tập các ma trận đối xứng xác định dương n × n chiều.

C([a, b], Rn )

Tập các hàm liên tục trên [a, b] với chuẩn
x = supt∈[a,b] x(t) .

LMIs

Bất đẳng thức ma trận tuyến tính.

A⊗B

Tích Kronecker của ma trận A và B .

6


Chương 1
MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về phương trình hàm,
phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii (LKF) trong nghiên cứu tính ổn
định tiệm cận và ổn định mũ của hệ phương trình vi phân hàm và một số
kiến thức liên quan bổ trợ cho việc trình bày kết quả trong các chương sau.

1.1.

Hệ phương trình vi phân hàm

Với số thực h > 0, kí hiệu C = C([−h, 0], Rn ) là không gian Banach các hàm

liên tục trên đoạn [−h, 0] với chuẩn
φ =

sup

φ(s) .

−h≤s≤0

Xét bài toán Cauchy (IVP) cho phương trình vi phân hàm
x(t)
˙
= f (t, xt ),
x(t) = φ(t),

t ≥ t0 ,

(1.1)

t ∈ [t0 − h, t0 ],

ở đó f : D = [t0 , ∞) × C → Rn và φ ∈ C là hàm ban đầu.
Định lí sau đây về sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán (1.1)
Định lí 1.1.1 (xem [1]). Giả sử f : D → Rn là hàm liên tục, thỏa mãn điều
kiện Lipschitz địa phương theo biến thứ hai trên D. Khi đó, với mỗi φ ∈ C ,
tồn tại tφ = tφ,t0 ,f ∈ (t0 , ∞] sao cho
(i) Bài toán (1.1) có nghiệm x(t, φ) trên khoảng [t0 , tφ ).
(ii) Trên mọi đoạn [t0 , t1 ] ⊂ [t0 , tφ ), nghiệm x(t, φ) là duy nhất.
7

(iii) [t0 , tφ ) là khoảng tồn tại cực đại của nghiệm x(t, φ).
(iv) Nghiệm x(t, φ) phụ thuộc liên tục vào φ, f .
Trong Định lí 1.1.1, nếu hàm f thỏa mãn thêm điều kiện tăng trưởng kiểu
dưới tuyến tính, tức là
(1.2)

f (t, φ) ≤ A(t) φ + B(t),

ở đó A(.), B(.) ∈ C[t0 , ∞) thì nghiệm x(t, φ) tồn tại toàn cục, tức là tφ = ∞
(xem [1]). Tổng quát hơn, nếu hàm f thỏa mãn điều kiện dạng Nagumo
f (t, φ) ≤ Φ(t, φ ),

(1.3)

∀(t, φ) ∈ D,

ở đó Φ : [t0 , ∞) × R+ → (0, ∞) là hàm liên tục, không giảm theo t, thỏa mãn
điều kiện
∞
0

ds
= ∞,
Φ(t, s)

t ≥ t0 ,

thì khi đó nghiệm x(t, φ) tồn tại toàn cục.

1.2.

Phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii

Trong mục này, hàm f (t, φ) được giả thiết thỏa mãn điều kiện sao cho với mỗi
t0 ∈ [0, ∞), φ ∈ ([−h, 0], Rn ), bài toán (1.1) có nghiệm duy nhất xác định trên
[t0 , ∞). Hơn nữa, giả sử rằng f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0. Khi đó (1.1) có nghiệm x = 0.

Định nghĩa 1.2.1 ( [2]). Nghiệm x = 0 của (1.1) được gọi là:
(i) Ổn định nếu với mọi t0 ∈ R+ , ε > 0, tồn tại δ = δ(t0 , ε) > 0 sao cho, với
bất kì nghiệm x(t, φ) của (1.1), nếu φ < δ thì x(t, φ) < ε,

∀t ≥ t0 ;

(ii) Ổn định đều nếu số δ nói trên không phụ thuộc t0 , tức là với mọi ǫ > 0
tồn tại δ(ǫ) > 0 sao cho φ < δ(ǫ) kéo theo x(t, φ) < ǫ, ∀t ≥ t0 .
8


Định nghĩa 1.2.2 ( [2]). Nghiệm x = 0 của (1.1) được gọi là:
(i) Ổn định tiệm cận (AS) nếu nó ổn định và với mỗi t0 ≥ 0 tồn tại δ(t0 ) > 0
sao cho limt→∞ x(t, φ) = 0 với mọi φ thỏa mãn φ < δ(t0 ); nghiệm
x = 0 là ổn định tiệm cận toàn cục (GAS) nếu số δ(t0 ) lớn tùy ý;

(ii) Ổn định tiệm cận đều (UAS) nếu nó ổn định đều và tồn tại δa > 0 sao
cho với mọi η > 0 tồn tại T (δa , η) > 0 sao cho
φ < δa ⇒ x(t, φ) < η,

∀t ≥ t0 + T (δa , η);

(iii) Ổn định tiệm cận toàn cục đều (GUAS) nếu số δa nói trên lớn tùy ý;
(iv) Ổn định mũ toàn cục (sau này ta nói gọn là ổn định mũ GES) nếu tồn
tại các số dương α, β sao mọi nghiệm x(t, φ) của (1.1) thỏa mãn đánh giá
x(t, φ) ≤ β φ e−α(t−t0) ,

∀t ≥ t0 .

(1.4)

Hơn nữa, nếu số α > 0 cho trước và mọi nghiệm của (1.1) thỏa mãn (1.4)
thì ta nói hệ (1.1) là α-ổn định mũ.
Hệ (1.1) là GAS, GUAS, GES nếu nghiệm x = 0 là GAS, GUAS, GES.
Ví dụ 1.2.1. Phương trình
(1.5)

x(t)
˙
= −x(t)x4 (t − h(t)), t ≥ 0,

¯ là hàm liên tục diễn tả độ trễ của hệ, ổn định đều. Thật
ở đó 0 ≤ h(t) ≤ h

vậy, vì
d 2
(x (t)) = −2x2 (t)x4 (t − h(t)) ≤ 0,
dt

∀t ≥ 0,

nên mọi nghiệm x(t, φ) của (1.5) thỏa mãn |x(t, φ)| ≤ φ . Với mọi ǫ > 0, chọn

δ = ǫ, khi đó φ < δ kéo theo |x(t, φ)| < ǫ, ∀t ≥ 0.

9


Hơn nữa (1.5) ổn định tiệm cận toàn cục. Thật vậy, cho x(t) = x(t, φ) là
một nghiệm bất kì của (1.5). Giả sử lim inf t→∞ |x(t)| > 0. Khi đó tồn tại η > 0
và Te > 0 sao cho |x(t)| ≥ η, ∀t ≥ Te . Từ (1.5) có
d 2
¯
(x (t)) = −2x2 (t)x4 (t − h(t)) ≤ −2η 4 x2 (t), t ≥ t∗ = Te + h.
dt

Lấy tích phân hai vế bất đẳng thức trên ta được
4

η ≤ |x(t)| ≤ |x(t∗ )|e−η t → 0, t → ∞.
¯ 0], R). Vậy (1.5)
Mâu thuẫn đó chứng tỏ limt→∞ |x(t, φ)| = 0 với mọi φ ∈ C([−h,

là GUAS.
Nhận xét 1.2.1. Trong việc xét tính ổn định của (1.5), phiếm hàm V (x) = x2
đóng vai trò quan trọng. Hàm V (x) như trên là hàm Lyapunov đối với (1.5).
Ta thấy V (x) = x2 thỏa mãn các tính chất: (i) λ1 x2 ≤ V (x) ≤ λ2 x2 , ở đó λ1 , λ2
là các hằng số tùy ý thỏa mãn 0 < λ1 < 1 < λ2 ; và (ii) đạo hàm theo (1.5)
V˙ (x(t)) xác định âm. Một cách tổng quát, tính ổn định tiệm cận của hệ (1.1)

thường được kiểm thông qua phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii (LKF).
Ví dụ 1.2.2. Xét phương trình vi phân sau
x(t)

˙
= −ax(t) + b sin(x(t − h)), t ≥ 0,

(1.6)

ở đó h > 0 là trễ hằng số và a, b là các hằng số.
Nếu |b| < a thì phương trình (1.6) ổn định mũ với bất kì độ trễ h. Để chứng
minh điều này chúng tôi áp dụng phương pháp trong [6]. Một cách tổng quát
của phương pháp này sẽ được trình bày ở chương sau. Cho trước độ trễ h > 0.
Do |b| < a nên tồn tại số α > 0 đủ nhỏ sao cho
1 + e2αh |b| + 2(α − a) < 0.

Xét hàm LK sau
t
2

e2α(s−t) x2 (s)ds.

V (t) = x (t) + |b|
t−h

10

(1.7)


Từ (1.7) suy ra
x2 (t) ≤ V (t) ≤ (1 + |b|h) sup x2 (t + s).
−h≤s≤0

Đạo hàm của V (t) theo (1.6) được đánh giá như sau
V˙ (t) = 2x(t)x(t)
˙ + |b| x2 (t) − e−2αh x2 (t − h) − 2α

t

e2α(s−t) x2 (s)ds
t−h

= 2x(t) − ax(t) + b sin(x(t − h)) + |b| x2 (t) − e−2αh x2 (t − h)
− 2α(V (t) − x2 (t)).

Mặt khác, ta có
2bx(t) sin(x(t − h)) ≤ 2|b||x(t)|| sin(x(t − h))|
≤ |b| e2αh x2 (t) + e−2αh x2 (t − h) .

Do đó
V˙ (t) ≤

1 + e2αh |b| + 2α − 2a x2 (t) − 2αV (t).

(1.8)

Do 1 + e2αh |b| + 2α − 2a < 0 nên từ (1.8) ta có V˙ (t) + 2αV (t) ≤ 0. Lấy tích
phân từ 0 đến t bất đẳng thức trên ta nhận được V (t) ≤ V (0)e−2αt . Cuối cùng,
từ (1.7) ta có đánh giá mũ
|x(t)| ≤

1 + |b|h φ e−αt .

Vậy phương trình (1.6) là GES.
Giả sử V : R+ × C → R là hàm liên tục và x(t, φ) là một nghiệm của (1.1) đi
qua (t0 , φ). Đạo hàm của hàm V (t, φ) dọc theo nghiệm x(t, φ) được xác định
bởi
1
V˙ (t, φ) = lim sup V (t + s, xt+s (t, φ)) − V (t, φ) .
s→0+ s

Định lí 1.2.1 (Định lí Lyapunov–Krasovskii [2]). Giả sử f : R+ × C → Rn
biến mỗi tập bị chặn trong R+ × C thành tập bị chặn trong Rn và tồn tại hàm
11


liên tục V : R+ × C → R, các hàm u, v, w : R+ → R+ liên tục, không giảm,
u(s), v(s) > 0, với mọi s > 0 và u(0) = v(0) = 0 thỏa mãn các điều kiện sau

(i) u(|φ(0)|) ≤ V (t, φ) ≤ v( φ );
(ii) V˙ (t, φ) ≤ −w( φ(0) ).
Khi đó, nếu w(s) > 0, ∀s > 0, thì (1.1) là UAS. Hơn nữa, nếu limt→∞ u(s) = ∞
thì (1.1) là GUAS.
Định lí sau đây cho kết quả tổng quát đối với tính ổn định của các hệ có
trễ như trong Ví dụ 1.2.2.
Định lí 1.2.2 (Định lí ổn định mũ [7]). Giả sử tồn tại một hàm liên tục
V : R+ × C → R và các số dương λ1 , λ2 và λ3 thỏa mãn các điều kiện sau

(i) λ1 x(t)

2

≤ V (t, φ) ≤ λ2 xt 2 ;

(ii) V˙ (t, φ) + 2λ3 V (t, φ) ≤ 0,
ở đó xt = sup−h≤s≤0 x(t + s) . Khi đó hệ (1.1) là GES. Hơn nữa, mọi
nghiệm của (1.1) thỏa mãn đánh giá mũ
x(t, φ) ≤

λ2
φ e−1/2λ3 t , t ≥ 0.
λ1

Ví dụ 1.2.3. Xét phương trình
x(t)
˙
= −ax3 (t) + bx3 (t − h),

(1.9)

a > 0, b ∈ R.

Kí hiệu xt ∈ C([−h, 0], R), xt (s) = x(t + s) với chuẩn xt = sup |x(t + s)|.
−h≤s≤0

Xét phiếm hàm
t

V (xt ) = 1/2αx4 (t) + β

x6 (s)ds,
t−h

12

α, β > 0.


Ta có
1/2α|x(t)|4 ≤ V (xt ) ≤ α/2 xt

4

+ βh xt

6

nên V (xt ) thỏa mãn điều kiện (i) của Định lí 1.2.1.
Bây giờ ta tính đạo hàm của V (xt ) dọc theo quỹ đạo nghiệm x(t, φ) của
(1.9). Ta có
V˙ (xt ) = 2αx3 (t)x(t)
˙ + β x6 (t) − x6 (t − h)
= 2αx3 (t) −ax3 (t) + bx3 (t − h) + β x6 (t) − x6 (t − h)



= x3 (t) x3 (t − h) 

−2aα + β
αb

αb
−β




x3 (t)
x3 (t −

h)



.

Do đó V˙ (xt ) xác định âm (điều kiện (ii) của Định lí 1.2.1) khi và chỉ khi







−2aα + β αb 


<0
Π = 


(1.10)
αb

−β






α > 0, β > 0.

Như vậy một điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận của (1.9) được đặc

trưng bởi điều kiện ở dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính (linear matrix
inequalities-LMIs) (1.10). Cho a = 1, b = 0.95, sử dụng LMI toolbox Matlab
ta tìm được α = 0.8167 và β = 0.7709 thỏa mãn (1.10). Theo Định lí 1.2.1,
phương trình (1.9) là GUAS.
Ví dụ 1.2.4. Trở lại với Ví dụ 1.2.2. Câu hỏi đặt ra là cho trước số α > 0.
Với điều kiện nào của a, b thì phương trình (1.6) ổn định mũ với chỉ số mũ α?
Tương tự cách tiếp cận đã trình bày trong Ví dụ 1.2.2 (xem thêm [7]), ta xét
hàm LKF sau
t
2

e2α(s−t) x2 (s)ds,

V (t) = px (t) + q
t−h

13

ở đó p, q là các hằng số dương sẽ được xác định sau. Rõ ràng điều kiện (i)
trong Định lí 1.2.2 thỏa mãn với λ1 = p và λ2 = p + hq .
Bằng một số đánh giá tương tự trong Ví dụ 1.2.2, ta có
2αh

e
V˙ (t) + 2αV (t) ≤ −2pa + q + 2αp + (pb)2

q

x2 (t).

(1.11)

Từ (1.11), theo Định lí 1.2.2, phương trình (1.6) là α-ổn định mũ nếu
− 2pa + q + 2αp + (pb)2

e2αh
≤ 0.
q

(1.12)

Mặt khác, theo Bổ đề Schur (xem Bổ đề 1.3.1 dưới đây), (1.12) đúng khi và
chỉ khi bất đẳng thức sau được thỏa mãn



−2pa + q + 2αp

pb

pb

−e−2αh q



 < 0.

(1.13)

Rõ ràng với α > 0 và độ trễ h cho trước, điều kiện (1.13) là một bất đẳng
thức ma trận tuyến tính đối với các biến p > 0, q > 0. Vì vậy, LMI (1.13) có
thể được sử dụng trong việc kiểm tra tính ổn định mũ của (1.6) với chỉ số
ổn định mũ α > 0 cho trước. Để minh họa, chúng tôi cho a = 2, b = 1. Với
α = 0.25, sử dụng gói LMI toolbox trong Matlab để giải (1.13) chúng tôi thu

được độ trễ cực đại h = 2.2384. Với h = 2.2384, nghiệm p, q của (1.13) được
cho bởi p = 18.8007 và q = 32.9018. Vậy phương trình (1.6) là ổn định mũ với
chỉ số mũ α = 0.25.
Nhận xét 1.2.2. Các ví dụ trên minh họa cho một phương pháp thông dụng
trong việc xét tính ổn định, ổn định mũ của các hệ có trễ dựa trên phương
pháp hàm Lyapunov–Krasovskii và cách tiếp cận bằng bất đẳng thức ma trận
tuyến tính (linear matrix inequalities LMIs). Trong chương sau chúng tôi đi
sâu phân tích các kĩ thuật áp dụng của phương pháp này và ứng dụng nghiên
cứu tính ổn định của một số lớp hệ có trễ.
14

1.3.

Một số kiến thức bổ trợ

Mục này giới thiệu một số khái niệm và kết quả cơ bản về phép tính ma trận
được sử dụng trong trình bày các kết quả trong các chương tiếp theo.
Cho ma trận A = (aij ) ∈ Rn×m . Ma trận chuyển vị của A, kí hiệu bởi A⊤
xác định bởi A⊤ = (aji ) ∈ Rm×n . Với mọi ma trận A, B có số chiều thích hợp,
ta có
(A + B)⊤ = A⊤ + B ⊤ ,
(AB)⊤ = B ⊤ A⊤ ,

(cA)⊤ = cA⊤ , c ∈ R,

(A−1 )⊤ = (A⊤ )−1 .

Ma trận A ∈ Rn là ma trận đối xứng nếu A = A⊤ . Ma trận đối xứng A là
nửa xác định dương, viết A ≥ 0, nếu x⊤ Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn , và A là xác định
dương, viết A > 0, nếu x⊤ Ax > 0 với mọi x ∈ Rn , x = 0. Kí hiệu Sn , S+
n là tập
các ma trận đối xứng và ma trận đối xứng xác định dương trong Rn×n .
Một số tính chất của ma trận đối xứng, xác định dương:
• Nếu A ∈ Sn thì λ(A) ⊂ R. Tức là mọi giá trị riêng của ma trận đối xứng

đều thực.
• Ma trận A ∈ S+
n khi và chỉ khi mọi giá trị riêng λj (A) > 0.
• Ma trận A ∈ Sn xác định dương khi và chỉ khi mọi định thức con chính
Dk (A) > 0, ở đó Dk là định thức con chính cấp k của A (điều kiện

Sylvester).
• Nếu A ∈ S+
n thì (bất đẳng thức Rayleigh)
λmin (A) x

2

≤ xT Ax ≤ λmax x 2 ,

∀x ∈ Rn .

⊤
+
• Nếu A ∈ S+
n thì tồn tại ma trận Q ∈ Sn sao cho Q Q = A. Ma trận Q

gọi là căn bậc hai của ma trận dương A, viết Q = A 2 .
1

15


Tích Kronecker
Cho A, B tương ứng là các ma trận cỡ (m, n) và cỡ (p, q). Tích Kronecker
của A và B là một ma trận cỡ (mp, qq), ký hiệu bởi A ⊗ B , được xác định như
sau:



a11 B

...


 .
A ⊗ B =  ..


a1n B

..
.

···

am1 B . . . amn B





.


Một số tính chất sau của tích Kronecker có thể xem trong [11]:
A ⊗ (B + C) = A ⊗ B + A ⊗ C,

(A + B) ⊗ C = A ⊗ C + B ⊗ C,

(kA) ⊗ B = A ⊗ (kB) = k(A ⊗ B),

(A ⊗ B)(C ⊗ D) = (AC) ⊗ (BD),
(A ⊗ B)⊤ = A⊤ ⊗ B ⊤ ,

(A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C),
A ⊗ B = (A ⊗ In )(Im ⊗ B),

(A ⊗ B)−1 = A−1 ⊗ B −1 .

Từ các tính chất trên suy ra, nếu P, Q là các ma trận đối xứng xác định
dương thì P ⊗ Q cũng là ma trận đối xứng xác định dương.
Bổ đề 1.3.1 (Bổ đề Schur). Cho trước các ma trận X, Y, Z với số chiều thích
hợp, X = X ⊤ và Z = Z ⊤ > 0. Khi đó


X Y⊤



Y

−Z

 < 0 ⇔ X + Y ⊤ Z −1 Y < 0.

Chứng minh. Từ phép phân tích ma trận sau






In
0

−Y Z −1
In

X



Y⊤

Y

Z



In

0

−Z −1 Y ⊤

In



X

Y⊤

Y

−Z

và giả thiết Z > 0 suy ra ma trận 

X − Y Z −1 Y ⊤ < 0.

16



=


X

− Y Z −1 Y ⊤
0

0
Z




 xác định âm khi và chỉ khi

Chương 2
BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN JENSEN CÓ TRỌNG

Mục đích chính của chương này là trình bày một số kết quả nghiên cứu
gần đây về một số dạng cải tiến của bất đẳng thức tích phân Jensen và bất
đẳng thức tích phân Jensen có trọng từ kết quả của bài báo [6]. Đây là một
công cụ quan trọng trong việc ước lượng đạo hàm các phiếm hàm LKFs để
tìm các điều kiện ổn định dạng LMIs phụ thuộc độ trễ.

2.1.

Mở đầu

Để bắt đầu, chúng tôi xét lớp hệ điều khiển tuyến tính (LTI) sau
x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0,

(2.1)

y(t) = Cx(t),

ở đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái của hệ, u(t) ∈ Rm là điều khiển đầu vào và
y(t) ∈ Rp là tín hiệu đo được đầu ra của hệ, A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C ∈ Rp×n

là các ma trận cho trước.
Ta biết rằng hệ mở của (2.1) (không có điều khiển) là GAS khi và chỉ khi
tập các giá trị riêng của A nằm trên nửa mặt phẳng mở bên trái của mặt

phẳng phức, λ(A) ⊂ C− [12]. Một điều kiện tương đương là LMI sau có nghiệm
P ∈ S+
n
A⊤ P + P A < 0.

(2.2)

LMI (2.2) là bất đẳng thức Lyapunov cổ điển. Chú ý rằng (2.2) có thể thiết
lập bằng hàm Lyapunov toàn phương V (x) = x⊤ P x. Ứng dụng cho bài toán
ổn định hóa hệ (2.1) với điều khiển ngược theo trạng thái, ta cần tìm ma trận
17


K ∈ Rm×n sao cho với điều khiển u(t) = Kx(t), hệ đóng x(t)
˙
= (A + BK)x(t)

là GAS. Lời giải của bài toán này cho bởi LMI sau:
AX + XA⊤ + BZ + Z ⊤ B ⊤ < 0,

X ∈ S+
n,

(2.3)

ở đó Z là ma trận bất kì trong Rm×n . Khi đó hàm điều khiển được thiết kế
dạng u(t) = ZX −1 x(t).
Tuy nhiên, trong thực tế vectơ x(t) không có sẵn để điều khiển (có những
thành phần không đo được). Do đó người ta thường dùng đầu ra y(t) để điều
khiển. Do quá trình truyền tín hiệu từ các thiết bị đo (sensors) đến trạm điều

khiển qua các kênh (cáp hoặc wifi) với băng thông hạn chế nên tín hiệu đầu
vào thường bị trễ một lượng (giả sử là hằng số ) τsc (sensor-to-control). Khi
đó tín hiệu điều khiển có dạng u(t) = Ly(t − τsc ) (xem Hình 2.1).
System

‫)ݐ(ݑ‬

‫ݔ‬ሶ (‫ )ݐ(ݔܣ = )ݐ‬+ ‫)ݐ(ݑܤ‬

‫)ݐ(ݕ‬

Delay ߬௦௖

Hình 2.1: Mô hình hệ điều khiển có trễ
Hệ đóng (closed-loop system) của (2.1) trở thành
x(t)
˙
= Ax(t) + BLC x(t − τsc ).

(2.4)

Ad

Vấn đề thiết kế điều khiển ổn định hóa hệ bây giờ phải dựa trên việc thiết
lập một điều kiện ổn định cho hệ (2.4). Mặt khác, với khái niệm ổn định tiệm
cận, ta biết rằng các nghiệm của hệ (2.4) với điều kiện đầu khác nhau sẽ hội
tụ về điểm cân bằng (và do đó nằm trong lân cận của điểm cân bằng khi thời
18

gian đủ lớn). Vấn đề đặt ra là làm sao có thể ước lượng được thời gian Tb để
từ đó trở đi quỹ đạo nghiệm nằm trong một lân cận cho trước của điểm cân
bằng? Với tính chất ổn định mũ, thời gian Tb có thể xác định được thông qua
chỉ số mũ α. Do đó bài toán nghiên cứu tính chất α-ổn định mũ (chỉ số mũ
α > 0 cho trước tùy theo mục đích ứng dụng) có ý nghĩa quan trọng trong

các ứng dụng cho các mô hình điều khiển.
Để tìm các đánh giá mũ cho hệ (2.4), một số phương pháp đã được đề xuất
như phương pháp dùng lý thuyết độ đo ma trận, phương pháp đổi biến dạng
ξ(t) = eαt x(t) và tìm các điều kiện để nghiệm của hệ đối với ξ(t) là bị chặn

(xem các phân tích trong [6]). Tuy nhiên, các phương pháp nói trên thường
đưa đến các điều kiện rất bảo thủ (ngặt) và không hiệu quả đối với các hệ có
trễ biến thiên hoặc không biết trước (trong thực tiễn, chẳng hạn hệ truyền
tín hiệu bằng cáp quang, độ trễ thường là cục bộ và có tính ngẫu nhiên).
Một phương pháp được nhiều tác giả đề xuất sử dụng là phương pháp hàm
Lyapunov–Krasovskii có trọng, thường được gọi là hàm LKF dạng Kharitonov
(xem [7]). Đối với (2.4), một hàm LKF có trọng cơ bản được chọn dạng
t

e2α(s−t) x⊤ (s)Qx(s)ds.

V (xt ) = x⊤ (t)P x(t) +
t−τsc

Hàm V (xt ) trên thỏa mãn Định lí 1.2.1 nếu LMI sau có nghiệm P, Q ∈ S+
n:




A⊤ P + P A + 2αP + Q

P Ad

A⊤
dP

−e−2ατsc Q

 < 0.

(2.5)

Điều kiện (2.5) là một dạng đơn giản của điều kiện ổn định mũ dạng LMIs.
Mặc dù (2.5) phụ thuộc độ trễ τsc nhưng khi α khá nhỏ (có thể dần tới 0),
(2.5) trở thành điều kiện độc lập với độ trễ. Vì vậy các lớp hệ thỏa mãn (2.5)
rất hẹp. Mặt khác, điều kiện (2.5) không mở rộng trực tiếp được cho trường
hợp trễ τsc biến thiên hoặc không biết chắc chắn. Để khắc phục các hạn chế
đó, các phiếm hàm LKFs thường được xây dựng từ các dạng toàn phương
19


x⊤ (t)P x(t) và một số dạng tích phân đơn, bội hai hoặc bội ba [4]. Chẳng hạn,

phiếm hàm sau đây đã được chỉ ra hiệu quả trong việc thiết lập điều kiện ổn
định phụ thuộc độ trễ [6]
0

t

e2α(u−t) x˙ ⊤ (u)Rx(u)duds
˙

V (xt ) =
−τ

(2.6)

t+s

ở đó α > 0 là số dương xác định chỉ số ổn định mũ, ma trận R > 0 và τ > 0
là hằng số liên quan độ trễ. Đạo hàm của V (xt ) cho bởi
t

V˙ (xt ) = τ x˙ ⊤ (t)Rx(t)
˙ −

e2α(s−t) x˙ ⊤ (s)Rx(s)ds
˙
− 2αV (xt ).

(2.7)

t−τ

Vấn đề ở đây là (2.7) không trực tiếp tạo ra các điều kiện LMIs [5]. Do đó
để thu được các điều kiện LMIs, một đánh giá cho số hạng tích phân trong
(2.7) là yêu cầu bắt buộc. Từ đó nảy sinh bài toán tìm một cận dưới của các
số hạng tích phân của dạng toàn phương sau

q
(ϕ) =
IR

b

ϕT (s)Rϕ(s)ds,

(2.8a)

eα(s−b) ϕT (s)Rϕ(s)ds,

(2.8b)

a
b

Iw (ϕ, α) =
a

ở đó a < b là các hằng số, ϕ ∈ P C([a, b], Rn ), R ∈ S+
n và α > 0 là một hằng
số. Đó là cơ sở cho việc sử dụng bất đẳng thức tích phân Jensen và bất đẳng
thức tích phân có trọng trong việc tìm các điều kiện LMIs cho tính ổn định
và ổn định mũ của lớp hệ có trễ dạng (2.1) và mở rộng của nó.

2.2.

Bất đẳng thức tích phân Jensen

Một trong những kĩ thuật để đánh giá (2.8a) được nhiều tác giả sử dụng là
dùng bất đẳng thức Jensen cho bởi bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.1 (Jensen integral inequality [3]). Với ma trận cho trước R ∈ S+
n
và hàm ϕ ∈ P C([a, b], Rn ), bất đẳng thức sau đúng
q
IR
(ϕ)

1
≥
b−a

b

b

⊤

ϕ(s)ds

ϕ(s)ds .

R
a

a

20

(2.9)


Chứng minh. Chúng tôi giới thiệu một chứng minh ngắn như sau: Từ Bổ đề
Schur có



ϕ⊤ (s)Rϕ(s)

ϕ⊤ (s)

ϕ(s)

R−1



Lấy tích phân hai vế ta được



b ⊤
ϕ (s)Rϕ(s)ds
a
b
ϕ(s)ds
a



 ≥ 0, ∀s ∈ [a, b].


b ⊤
ϕ (s)ds
a


(b − a)R−1

≥ 0.

Dùng Bổ đề Schur lần nữa ta được điều phải chứng minh.
Ký hiệu
JRg (ϕ)

=

q
IR
(ϕ) −

1
b−a

b

b

⊤

ϕ(s)ds

R

ϕ(s)ds

a

a

là độ lệch của (2.9). Như thảo luận trong [8], độ lệch này thường tạo ra tính
bảo thủ trong các điều kiện ổn định. Bổ đề 2.2.1 cho JRg (ϕ) ≥ 0. Một cách tự
nhiên, giảm độ lệch này, hay nói cách khác tìm một cận dưới dương của JRg (ϕ)
sẽ cho những điều kiện ổn định mới bớt ngặt hơn.
Một cải tiến quan trọng của (2.9) dựa trên bất đẳng thức Wirtinger, gọi là
WBI, được đề xuất trong [8].
Bổ đề 2.2.2 (WBI [8]). Với ma trận cho trước R ∈ S+
n và một hàm liên tục
ϕ ∈ C([a, b], Rn ), bất đẳng thức sau đúng
JRg (ϕ) ≥

b

3
b−a

ϕ(s)ds −
a

2
b−a

b

ϕ(s)ds −

×
a

b

s

⊤

ϕ(u)duds
a

2
b−a

a
b

R

s

ϕ(u)duds .
a

(2.10)

a

Nhận xét 2.2.1. Bất đẳng thức (2.10) suy ra (2.9) do một số hạng không
âm được thêm vào ở vế phải. Điều này cho phép WBI tạo ra các điều kiện
bớt bảo thủ hơn các tiêu chuẩn ổn định dùng bất đẳng thức Jensen.
21


Trong một công bố gần đây [5], bằng một phương pháp hiệu chỉnh đặc biệt
các tác giả trong [5] làm mịn bất đẳng thức Jensen cho trong Bổ đề 2.2.1 và
đưa ra một đánh giá mới cho JRg (ϕ).
Bổ đề 2.2.3 (Refined Jensen-based inequality [5]). Với ma trận cho trước
n
R ∈ S+
n , a < b và một hàm ϕ ∈ C([a, b], R ), bất đẳng thức sau đúng

JRg (ϕ) ≥

 ⊤ 

 

1 η1  3R 0  η1 
,
b−a

η2
0 5R
η2

(2.11)

ở đó
b

η1 =

ϕ(s)ds −
a
b

ϕ(s)ds −

η2 =
a

2
b−a
6
b−a

b

s

ϕ(u)duds,

a

a
s

b

ϕ(u)duds +
a

a

12
b − a2

u

s

b

ϕ(v)dvduds.
a

a

a

Nhận xét 2.2.2. Rõ ràng (2.11) suy ra cả (2.9) và (2.10) do số hạng không
âm

5 ⊤
b−a η2 Rη2

được thêm vào vế phải của (2.10). Hơn nữa, với hàm ϕ = ω˙ ∈

C([a, b], Rn ) cho trước, vectơ tăng cường trong (2.11) chứa các số hạng tích

phân đơn và bội hai của ω . Điều này cho phép sử dụng thêm các thông tin về
độ trễ liên quan đến các tích phân bội của trạng thái.
Hệ quả sau cho một công cụ đánh giá đạo hàm các hàm LKFs kiểu (2.6).
1
n
Hệ quả 2.2.1. Với ma trận R ∈ S+
n và hàm ω ∈ C ([a, b], R ), bất đẳng thức

sau đúng
q
IR
(ω)
˙ ≥

ở đó ζ = [ζ1⊤

ζ2⊤

ζ3 = ω(b) − ω(a) +

1 ⊤
ζ diag{R, 3R, 5R}ζ

b−a

ζ3⊤ ]⊤ , ζ1 = ω(b) − ω(a), ζ2 = ω(b) + ω(a) −
6
b−a

b
12
ω(s)ds − (b−a)
2
a

22

b b
ω(u)duds.
a s

(2.12)
2
b−a

b
ω(s)ds
a

và


2.3.

Bất đẳng thức tích phân Jensen có trọng

Phần này chúng tôi giới thiệu bất đẳng thức tích phân có trọng và một số cải
tiến của nó từ nội dung bài báo [6]. Tương tự Bổ đề 2.2.1 ta có các bất đẳng
thức sau.
Bổ đề 2.3.1 (WII [6]). Cho trước các số thực a < b, α > 0 và một ma trận
R ∈ Sn+ . Khi đó, với bất kì hàm ϕ ∈ C([a, b], Rn ), bất đẳng thức sau đúng
b

α
ϕ (s)Rϕ(s)ds ≥
γ0

b

α(s−b) ⊤

e
a
b

b
s

(2.13)

ϕ(s)ds ,

R

ϕ(s)ds

a

a

eα(u−b) ϕ⊤ (u)Rϕ(u)duds ≥
a

b

⊤

b

α2
γ1

b

a

b

⊤

ϕ(u)duds

b

R

ϕ(u)duds ,
a

s

s

(2.14)
ở đó γk biểu thị số dư eα(b−a) −

k
j=0

αj (b − a)j
.
j!

Chứng minh. Bằng cách lấy tích phân của bất đẳng thức


ϕ⊤ (s)Rϕ(s) ϕ⊤ (s)



ta được

ϕ(s)




Iw (ϕ, α)
b
ϕ(s)ds
a

R−1

 ≥ 0, ∀s ∈ [a, b]


b ⊤
ϕ (s)ds
a


ρ(α)R−1

≥ 0.

Dùng Bổ đề Schur ta suy ra (2.13). Bất đẳng thức (2.14) được chứng minh
tương tự.
Nhận xét 2.3.1. Để tìm các điều kiện ổn định mũ cho hệ trễ biến thiên,
phương pháp được sử dụng phổ biến trong các kết quả đã công bố (chẳng
hạn, xem [10] và các tài liêu trích dẫn ở đó), số hạng tích phân Iw (ϕ, α) trước
hết được ước lượng dạng Iw (ϕ, α) ≥ e−α(b−a)I(ϕ). Sau đó, sử dụng bất đẳng
thức Jensen (2.9) và một số biến thể của nó đánh giá I(ϕ). Vì

23

α
> e−α(b−a)
γ0


với mọi α > 0, b > a nên (2.13) cho một cận dưới sát hơn so với ước lượng
kiểu Iw (ϕ, α) ≥ e−α(b−a)I(ϕ).
Nhận xét 2.3.2. Trong trường hợp tới hạn, khi α dần đến 0 các bất đẳng
thức ở trên sẽ lần lượt trở thành bất đẳng thức Jensen ở dạng đơn và kép.
Cụ thể hơn, từ limα→0+
b

(b − a)k
γk
=
ta thu được các kết quả sau
k!
αk
b

1
ϕ (s)Rϕ(s)ds ≥
b−a
⊤

a
b

b

b

⊤
a
b

2
ϕ (u)Rϕ(u)duds ≥
(b − a)2

b

⊤

a

s

(2.15)

ϕ(s)ds ,

R

ϕ(s)ds
a

b

R

ϕ(u)duds
a

b

⊤

ϕ(u)duds .
a

s

s

(2.16)
Trong [6], một số dạng cải tiến của các bất đẳng thức (2.13) và (2.14) được
thiết lập bằng phương pháp hiệu chỉnh tối ưu bậc hai. Dưới đây chúng tôi
trình bày các bất đẳng thức cải tiến đó. Ký hiệu
Jwg (ϕ, α) = Iw (ϕ, α) −

b

α
γ0

b

⊤

ϕ(s)ds

ϕ(s)ds

R
a

a

là độ chênh lệch của bất đẳng thức (2.13). Vấn đề đặt ra là tìm một cận dưới
mới không âm của Jw (ϕ, α). Với các số thực cho trước b > a, α > 0 và hàm
ϕ ∈ C([a, b], Rn ) chúng tôi ký hiệu
ℓ = b − a,
L1 = 1

Aα =
−

γ0
(1 + γ0 )l2
−
,
α2
γ0

αγ0
,
γ1

b

b

b

ϕ⊤ (s)ds

ζ=
a

ϕ⊤ (u)duds
a

⊤

.

s

Sử dụng công thức khai triển Taylor có thể chứng minh được rằng Aα > 0
với mọi α > 0. Bổ đề dưới đây cho một kết quả mở rộng của (2.13).
Bổ đề 2.3.2 (WII [6]). Cho trước số dương α và ma trận R ∈ Sn+ . Khi đó,
với mọi hàm ϕ ∈ C([a, b], Rn ) ta có bất đẳng thức sau:
Jwg (ϕ, α) ≥

ở đó ρ0 =

α ⊤ ⊤

ζ (L1 L1 ⊗ R)ζ,
ρ0

γ0 2
[γ − (αℓ)2 eαℓ ]
γ1 0

24

(2.17)