Phương pháp phân rã dantzig wolfe giải bài toán quy hoạch kích thước lớn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

Trịnh Văn Hải

PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ DANTZIG-WOLFE
GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH KÍCH THƯỚC LỚN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY
Ngành: Toán - Tin ứng dụng

Người hướng dẫn: ThS. Trần Đình Quốc

Hà Nội - 2008



LỜI CẢM ƠN

Qua bản luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong Khoa
Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung và các thầy cô ở bộ môn
Giải tích nói riêng đã dạy bảo và dìu dắt tác giả trong suốt thời gian qua. Đặc
biệt, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Như
Thắng, thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ tác giả trong suốt quá
trình làm luận văn. Cảm ơn bạn bè, gia đình, đồng nghiệp và tất cả mọi người
đã quan tâm, động viên và giúp đỡ để tác giả có thể hoàn thành nhiệm vụ của
mình.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên
bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Tác giả rất mong nhận
được ý kiến đóng góp của quý độc giả để bản luận văn này được hoàn thiện hơn.

Hà Nội, tháng 9 năm 2016
Học viên

Hà Thị Ngoan

2


Phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến đã được
nghiên cứu sâu rộng. Sau bài báo [3] của Brezis-Nirenberg, phương trình nửa
tuyến tính với số mũ Sobolev thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, xem
[1,5,10,15]. Trường hợp số mũ tới hạn kép được nghiên cứu lần đầu vào những
năm 90 và gần đây vẫn tiếp tục được mở rộng khi xét hàm trọng đổi dấu hay
khi xét toán tử suy biến [9,16,17].
Trong luận văn chúng tôi xét lớp các bài toán nửa tuyến tính với số hạng phi
tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng Sobolev, xuất hiện cả trên biên và ở vế
phải:



 −∆u + u = |u|p−2 u,




∂u
= λ|u|q−2 u,
∂n

trong Ω
(1)
trên ∂Ω

trong đó Ω ⊂ RN , N ≥ 3, là một miền bị chặn với biên trơn, n là véc-tơ pháp
tuyến đơn vị ngoài và λ là tham số dương. Các số mũ thỏa mãn điều kiện
1 < p < 2∗ =

2N
,
N −2

1 < q < 2∗b =

2(N − 1)
.
N −2

(2)

Chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu trong luận văn là "Đa tạp Nehari cho bài
3


toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến" dựa trên bài báo [17]
năm 2013 của Zhang và Liu.
Với đề tài này, chúng tôi sử dụng đa tạp Nehari và phương pháp thớ để chứng
minh các kết quả nghiệm bội cho phương trình elliptic nửa tuyến tính với điều
kiện biên phi tuyến. Chúng tôi hạn chế p, q thỏa mãn một trong các trường hợp

sau:
(a) p = 2∗ , q ∈ (1, 2) (b) p ∈ (2, 2∗ ), q = 2∗b

(c) p = 2∗ , q = 2∗b .

Khi đó, luận văn trình bày chi tiết kết quả sau:
Định lí (Zhang& Liu). Tồn tại một số dương λ∗ sao cho với mọi λ ∈ (0, λ∗ ), bài
toán (1) có ít nhất hai nghiệm dương.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu, tổng hợp và trình bày kết quả về
sự tồn tại nghiệm bội dương của bài toán biên nửa tuyến tính với số hạng phi
tuyến xuất hiện cả trên biên và trong vế phải, với số mũ Sobolev tới hạn.
Nhiệm vụ nghiên cứu trước hết là tìm hiểu về lí thuyết đa tạp Nehari và kĩ
thuật ánh xạ phân thớ, và sau đó, chứng minh sự tồn tại ít nhất hai nghiệm
dương của bài toán khi tham số λ đủ nhỏ.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là một lớp bài toán elliptic nửa tuyến tính với số hạng
phi tuyến xuất hiện ở cả vế phải và trên biên, thỏa mãn điều kiện dưới tới hạn
hoặc tới hạn.
Phạm vi nghiên cứu là sự tồn tại nghiệm bội dương của bài toán (1) và bài toán
4


rẽ nhánh từ giá trị riêng đầu tiên của bài toán giá trị riêng tương ứng khi q = 2.
4. Định hướng và phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức đã học về phương trình elliptic, giải tích hàm phi
tuyến và việc tham khảo tài liệu cũng như các bài báo liên quan. Để giải bài
toán (1), chúng tôi sử dụng phương pháp biến phân nghiên cứu các điểm tới hạn
của phiếm hàm:
J(u) =

1
2

(| u|2 + |u|2 ) dx −
Ω

1
p

|u|p dx −
Ω

λ
q

|u|q ds.

(3)

∂Ω

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán đã cho, chúng tôi kết hợp hướng
tiếp cận phân thớ đề xuất bởi Drabek-Pohozaev trong [6] và kĩ thuật phân tích
đa tạp Nehari. Để vượt qua khó khăn trong trường hợp số mũ tới hạn kép (cả p
và q đều trùng với số mũ tới hạn), chúng tôi sử dụng phương pháp compact tập
trung đề xuất bởi Lions trong [10] và vận dụng ý tưởng trong [9].

Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn dự kiến gồm 2

chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu
bài toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến, đưa ra một vài
khái niệm và sơ bộ về ánh xạ thớ và đa tạp Nehari, các kết quả về tính lồi-lõm
trong trường hợp dưới tới hạn.
Chương 2. Sự tồn tại nghiệm dương của bài toán elliptic nửa tuyến
tính với điều kiện biên phi tuyến. Trong chương 2, chúng tôi trình bày sự
tồn tại nghiệm dương của bài toán elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi
5


tuyến trong các trường hợp số mũ tới hạn và trong bài toán rẽ nhánh.

6


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Giới thiệu và các hệ quả chính

Trong luận văn này ta xét bài toán elliptic nửa tuyến tính:



 −∆u + u = |u|p−2 u
trong Ω,





∂u
= λ|u|q−2 u
∂n

(1.1)

trên ∂Ω,

trong đó, Ω ⊂ RN là miền bị chặn với biên ∂Ω trơn và N ≥ 3.

∂
∂n

là đạo hàm

theo hướng pháp tuyến ngoài và λ > 0 là tham số.
Chú ý rằng bài toán (1.1) có 2 số hạng phi tuyến. Một số hạng |u|p−2 u được
lấy từ phương trình và số hạng |u|q−2 u được lấy từ điều kiện biên. Ở đây, số mũ
p và q thỏa mãn:

1
2∗b =

2(N − 1)
và 1 < p
N −2

7

2∗ =

2N
N −2

(N

3).

(1.2)


Sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.1)(có thể là nghiệm bội) được khảo sát
rộng rãi; xem ví dụ [7, 12]. Ở đó, các tác giả đã nghiên cứu bài toán:



 −∆u + u = λf (x)|u|p−2 u trong Ω,
∂u
= g(x)|u|q−2 u
∂n





trên ∂Ω,

với hàm f, g đổi dấu trong Ω. Ta được sự tồn tại nghiệm dương bằng cách sử
dụng phương pháp thớ và kĩ thuật phân tích đa tạp Nehari, được phát triển
trong bài báo [6, 15, 11].
Trong [7, 12], tác giả thảo luận các trường hợp khác nhau với p và q từ dưới
tới hạn đến tới hạn. Hơn nữa, bài toán nửa tuyến tính và tựa tuyến tính với
điều kiện biên phi tuyến được nghiên cứu trong một vài năm gần đây.
Để giải quyết bài toán (1.1), ta sử dụng phương pháp biến phân thông qua
hàm
J(u) =

1
2

(| u|2 + |u|2 ) dx −
Ω

1
p

|u|p dx −
Ω

λ
q

|u|q ds

(1.3)

∂Ω

trong đó ds là độ đo trên biên. Dễ thấy J được xác định và C 1 trong H 1 (Ω) nếu
p và q được thỏa mãn điều kiện (1.2). Nghiệm yếu của bài toán (1.1) tương ứng

với điểm tới hạn của hàm J trên H 1 (Ω), ở đó H 1 (Ω) là không gian Sobolev tiêu
chuẩn trên Ω được trang bị bởi chuẩn:
u

2

(| u|2 + |u|2 ) dx.

=
Ω

Với 1 < q < 2 < p < 2∗ , tính lồi phi tuyến xuất hiện trong phương trình và
tính lõm xuất hiện ở điều kiện biên. Nó được hiểu rằng, có một vài kết quả trên
phương trình elliptic với tính lồi lõm phi tuyến dưới điều kiện biên Dirichlet;
8


xem [1, 5, 16]. Trong trang này các kết quả bội có thể đạt được qua xấp xỉ của
Drabek-Pohozaev [6, 13] và phương pháp đa tạp Nehari của Nehari [11].
Định lí 1.1. Nếu λ thỏa mãn 0<λ<λ0 , khi đó bài toán (1.1) có ít nhất 2 nghiệm
dương u1 và u2 , trong đó λ0 giống trong Bổ đề 1.8 bên dưới.
Sau bài báo [5] của Brezis và Nirenberg, nhiều nghiên cứu dành cho bài toán
với độ tăng trưởng tới hạn. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày lại sự tồn
tại nghiệm khi ta có số mũ tới hạn p = 2∗ hoặc q = 2∗b hoặc số mũ tới hạn kép.
Ta sẽ áp dụng phương pháp compact tập trung được giới thiệu trong [10] và
một vài khái niệm từ [9]. Khi đó bài toán (1.1) có nghiệm bội không tầm thường

trong mỗi trường hợp sau:
Trường hợp a) p = 2∗ và 1 < q < 2;
Trường hợp b) q = 2∗b và 2 < p < 2∗b ;
Trường hợp c) p = 2∗ và q = 2∗b .
Cụ thể, ta đi chứng minh các định lí sau.
Định lí 1.2. Với trường hợp a, tồn tại λ1 > 0 sao cho bài toán (1.1) có ít nhất
2 nghiệm dương với λ ∈ (0, λ1 ).
Định lí 1.3. Với trường hợp b, tồn tại λ2 > 0 sao cho bài toán (1.1) có ít nhất
2 nghiệm dương với λ ∈ (0, λ2 ).
Định lí 1.4. Với trường hợp c, tồn tại λ3 > 0 sao cho bài toán (1.1) có ít nhất
2 nghiệm dương với λ ∈ (0, λ3 ).

9


Trường hợp còn lại q = 2, ta có bài toán rẽ nhánh từ giá trị riêng thứ nhất.
Bài toán giá trị riêng được hiểu như bài toán Steklov




−∆u + u = 0 trên Ω,
(S)






∂u

∂n

= λu trong ∂Ω.

Giá trị riêng thứ nhất λ1S của bài toán (S) phải là hằng số tốt nhất trong
phép nhúng trong không gian Sobolev H 1 (Ω) → L2 (∂Ω) theo nghĩa
λ1S |u|2L2 (∂Ω)

u 2.

Ta sẽ sử dụng phương pháp đa tạp Nehari để giải quyết bài toán (1.1) với
1
Định lí 1.5. Nêú λ thỏa mãn 0 < λ < λ1S và q = 2, 1 < p < 2 thì bài toán (1.1)
có ít nhất một nghiệm uλ sao cho uλ > 0 trong Ω và lim− uλ → ∞ ở đó, λ1S
λ→λ1S

là giá trị riêng thứ nhất của bài toán Steklov.

1.2

Sơ bộ

Ý tưởng trong luận văn này, ta kí hiệu X là không gian Banach với chuẩn
·

X,

X ∗ là không gian đối ngẫu của X . Lp (Ω), Lp (∂Ω) là không gian Lebesgue

với chuẩn thường |·|p,Ω , |·|p,∂Ω . H 1 (Ω) là không gian Sobolev với chuẩn · , ·, ·
là cặp đối ngẫu của không gian X ∗ và X . Ta kí hiệu

( tương ứng →) là hội

tụ yếu (tương ứng với hội tụ mạnh).
Điều đó được hiểu là nghiệm của (1.1) tương ứng với điểm tới hạn của hàm
J xem (1.3). Khi J bị chặn dưới trong không gian Banach H 1 (Ω), J có cực tiểu
10


trên H 1 (Ω), là một điểm tới hạn của J . Trong nhiều trường hợp, hàm như (1.3)
không bị chặn dưới trên H 1 (Ω) nhưng bị chặn dưới trên tập con của H 1 (Ω), được
gọi là đa tạp Nehari. Ta kí hiệu N là đa tạp Nehari
N = u ∈ H 1 (Ω)\ {0} : J (u), u = 0 ,

trong đó, , là đối ngẫu thường giữa H 1 (Ω)∗ và H 1 (Ω). Rõ ràng tất cả các điểm
tới hạn của J phải nằm trên N và N là tập rất bé so với H 1 (Ω). Bởi vậy dễ dàng
nghiên cứu hàm J trên N .
Dễ thấy u ∈ N khi và chỉ khi
u

2

|u|p dx − λ

−
Ω

|u|q ds = 0

(1.4)

∂Ω

Giống như phương pháp được sử dụng bởi Brown-Zhang [15] và Brown-Wu
[5], ta xét ánh xạ thớ φu : t → J(tu) t > 0 được định nghĩa bởi:
φu (t) =

t2
u
2

2

−

tp
p

|u|p dx − λ
Ω

tq
q

|u|q ds.
∂Ω

Nếu u ∈ H 1 (Ω), ta có

φu (t) = t u

2

− tp−1

|u|p dx − λtq−1
Ω

φu (t) = u

2

|u|q ds,
∂Ω

|u|p dx − λ(q − 1)tq−2

− (p − 1)tp−2

(1.5)

Ω

|u|q ds.
∂Ω

Từ (1.4) và (1.5) dễ thấy u ∈ N ⇔ φu (1) = 0 và hơn nữa tu ∈ N ⇔ φu (t) = 0,
. . . , các điểm dừng trong N tương ứng với điểm dừng của ánh xạ thớ φu . Do đó

11


u ∈ N , từ (1.4) ta có
φu (1) = u

2

|u|p dx − λ(q − 1)

− (p − 1)
Ω

∂Ω

|u|p dx + λ(2 − q)

= (2 − p)
Ω

= (2 − q) u

|u|q ds

|u|q ds

∂Ω
2

|u|p dx

− (p − q)
Ω

= (2 − p) u

2

+ λ(p − q)

|u|q ds.

∂Ω

Do đó, ta chia đa tạp Nehari N thành 3 phần:
N + = u ∈ N : φu (1) > 0
N − = u ∈ N : φu (1) < 0

(1.6)

N 0 = u ∈ N : φu (1) = 0

lần lượt tương ứng với điểm cực tiểu địa phương, điểm cực đại địa phương và
điểm uốn. Ta sẽ chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.1) bằng cách chỉ
ra sự tồn tại điểm cực tiểu của hàm J trên tập N . Mặc dù N là tập nhỏ của
H 1 (Ω), ta xem bên dưới, cực tiểu địa phương trên đa tạp Nehari N luôn là điểm

tới hạn của J . Bổ đề sau sẽ chỉ ra điều đó.
Bổ đề 1.6. Giả sử u0 là điểm cực tiểu địa phương của J trên N và u0 ∈ N 0 .
Khi đó, u0 là một điểm tới hạn của hàm J .

Chứng minh ta có thể xem Binding [2] và Brown-zhang [15].
Bây giờ ta sẽ giới thiệu điều kiện (P S)c .
Định nghĩa 1.7. Lấy f ∈ C(X, R) và c ∈ R. Hàm f thỏa mãn điều kiện (P S)c
nếu với mỗi dãy {un } ⊆ X thỏa mãn
12


f (un ) → c và f (un ) → 0 trong X ∗ khi n → ∞.

có một dãy con hội tụ.

1.3

Kết quả về tính lồi-lõm trong trường hợp dưới
tới hạn

Trong mục này, ta xét bài toán (1.1) với 1 < q < 2 < p < 2∗ =

2N
N −2

bằng cách

sử dụng phương pháp thớ và kĩ thuật phân tích đa tạp Nehari.
Ta xét hàm
ψ(t) = t2−q u

2

− tp−q

|u|p dx.
Ω

Rõ ràng, với t > 0, tu ∈ N ⇔ t là nghiệm cuả phương trình
|u|q ds.

ψ(t) = λ

(1.7)

∂Ω

Hơn nữa, điều kiện p − q > 2 − q > 0 có nghĩa là hàm ψ(t) lúc đầu tăng và sau
1
 p−2



 (2−q) u 2 

đó giảm với điểm chuyển hướng đơn t0 = 


 (p−q) |u|p dx 

; xem hình 1.1.

Ω
q

|u| dx > 0, ta hiểu rằng (1.7) không có nghiệm nếu λ thỏa

Từ hình 1.1 và
∂Ω

mãn điều kiện sau
λ

q

|u| dx > ψ(t0 ) =

2−q
p−q

2−q
p−2

−

2−q
p−2

p−q
p−2

u

.

∂Ω

2−q .
 p−2

|u|p dx


Ω

13

2(p−q)
p−2


Hơn nữa, (1.4) và (1.6) suy ra φu (t) < 0. Do đó, ta có tu ∈ N ∀t > 0. Mặt khác,
nếu λ thỏa mãn
|u|q dx < ψ(t0 ),

0<λ
∂Ω

Khi đó, từ hình 1.1 ta biết (1.6) có hai nghiệm t1 , t2 với t1 < t0 < t2 sao cho
φu (t1 ) = φu (t2 ) = 0 và ψu (t1 ) > 0, ψu (t2 ) < 0. Do đó, ta có:





(2 − q)t11−q u
φu (t1 ) = tq−1
1

2

− (p − q)tp−q−1
1

|u|p dx = tq−1
1 ψ (t1 )
Ω





(2 − q)t1−q
φu (t2 ) = tq−1
u
2
2

2

− (p − q)tp−q−1
2

|u|p dx = tq−1

2 ψ (t2 ).
Ω

Suy ra φu (t1 ) > 0 và φu (t2 ) < 0 và bởi vậy ánh xạ thớ φu có điểm cực tiểu
địa phương tại t1 và một điểm cực đại địa phương tại t2 sao cho t1 u ∈ N + và
t2 u ∈ N − .

Bây giờ ta xét hàm ψ và φu tại điểm t0 . Từ ψ (t0 ) = 0 và
φu (t0 ) = (2 − q) u

2

− (p − q)tp−2
0

|u|p dx
Ω

= tq−1
0 ψ (t0 ).

ta có φu (t0 ) = 0 và bởi vậy t0 là điểm uốn của hàm φu . Do đó, ta được hệ quả
sau.
Bổ đề 1.8. Tồn tại hằng số λ0 > 0 sao cho N 0 = ∅ với 0 < λ < λ0 .

14


Chứng minh. Giả sử ngược lại, tồn tại 0 < λ < λ0 sao cho N 0 = ∅ với λ0 =
2−q

cp

2−q
p−2

.

1
p−q

p−q
p−2

. p−2
. Khi đó, với u ∈ N 0 ta có
cq
b

0 = φu (1) = (2 − p) u

2

|u|q ds

+ λ(p − q)
∂Ω

= (2 − q) u

2

|u|p dx.

− (p − q)
Ω

Theo Định lý phép nhúng Sobolev, ta có
u

λ(p − q)cqb
p−2

u

2−q
(p − q)cp

1
2−q

,

(1.8)

,

(1.9)

và
1

p−2

trong đó cb , c là hằng số của phép nhúng Sobolev. Từ (1.8) và (1.9) suy ra λ

λ0 ,

điều này mâu thuẫn. Do đó với hằng số λ0 như trên, λ0 > 0 sao cho N 0 = ∅ với
0 < λ < λ0 .

Bổ đề 1.9. J là cưỡng và bị chặn dưới trên N .
Chứng minh. Theo Định lý phép nhúng Sobolev và 1 < q < 2 < p, ta có
J(u) =

1 1
−
2 p

u 2 −λ

1 1
−
q p

|u|q ds
∂Ω

1 1
−
2 p

u 2 −λ

1 1
−
q p

cqb u

q

ở đó cb là hằng số. Do đó, hàm J là cưỡng và bị chặn dưới trên N . Từ Bổ đề
1.8 và 1.9, với λ ∈ (0, λ0 ), N = N − ∪ N + và J bị chặn dưới trên N − và N + . Do
đó, ta định nghĩa
α0+ = inf + J(u) và α0− = inf − J(u)
u∈N

u∈N

15


Ta có các kết quả sau.
Mệnh đề 1.10. Nếu 0 < λ < λ0 thì hàm J có một điểm cực tiểu u1 trong N +
và thỏa mãn
1) J(u1 ) = inf + J(u) < 0;
u∈N

2) u1 là một nghiệm dương của bài toán (1.1).
Chứng minh. Vì J bị chặn dưới trên N + nên tồn tại dãy cực tiểu hóa {un } ⊆ N +
sao cho:

lim J(un ) = inf + J(u).

n→∞

u∈N

Khi đó, từ Bổ đề 1.9 dãy {un } bị chặn trong H 1 (Ω). Không mất tính tổng quát,
ta có thể giả sử tồn tại u1 ∈ H 1 (Ω) sao cho:
u1 trong H 1 (Ω), vì các phép nhúng compact nên un → u1 trong Lr (Ω) và

un

Ls (∂Ω), với 1

r < 2∗ =

2N
N −2

và 1

|un |p dx →
Ω

s < 2∗b =

|u1 |p dx và
Ω

2(N −1)

N −2

|un |q ds →
∂Ω

3). Suy ra:

(N

|u1 |q ds
∂Ω

khi n → ∞. Từ hình 1.1, tồn tại t1 sao cho t1 u1 ∈ N + và J(t1 u1 ) < 0. Do đó, ta
có inf + J(u) < 0.
u∈N

Bây giờ ta chứng minh un → u1 trong H 1 (Ω). Giả sử ngược lại thì u1
lim inf un . Khi đó, với un ∈ N + , ta có:
n→∞





lim φun (t1 ) = lim t1 un 2 −t1p−1

n→∞

|un |p dx − λtq−1
1

n→∞

Ω

> t1 u1

2

− t1p−1

∂Ω

|u1 |p dx − λtq−1
1
Ω

|u1 |q ds
∂Ω

= φu1 (t1 ) = 0,
16

|un |q ds


φun (t1 ) > 0 với n đủ lớn. Từ un = 1.un ∈ N + , từ hình 1.1 dễ thấy φun (t) < 0 với
t ∈ (0, 1) và φun (1) = 0 ∀n. Khi đó, ta có t1 > 1. Mặt khác, φu1 (t) giảm trên (0, t1 )

và do đó:

J(t1 u1 )

J(u1 ) < lim J(un ) = inf + J(u),
n→∞

u∈N

Điều này mâu thuẫn. Do đó, un → u1 trong H 1 (Ω). Suy ra:
J(un ) → J(u1 ) = inf + J(u) khi n → ∞.
u∈N

Do đó, u1 là một điểm cực tiểu của J trên N + . Từ J(u1 ) = J(|u1 |) và |u1 | ∈ N + ,
sử dụng Bổ đề 1.6 ta có u1 là nghiệm dương của bài toán (1.1).
Tiếp theo, ta đi chứng minh sự tồn tại của điểm cực tiểu địa phương của J
trên N − .
Mệnh đề 1.11. Với 0 < λ < λ0 hàm J có một điểm cực tiểu u2 và thỏa mãn
1) J(u2 ) = inf − J(u);
u∈N

2) u2 là một nghiệm dương của bài toán (1.1).
Chứng minh. Tương tự chứng minh của Mệnh đề 1.10, ta có J bị chặn dưới
trên N − nên tồn tại dãy cực tiểu hóa {un } ⊆ N − sao cho
lim J(un ) = inf − J(u).

n→∞

u∈N

Khi đó, từ Bổ đề 1.9 dãy {un } bị chặn trong H 1 (Ω). Vì H 1 (Ω) là không gian
phản xạ, bằng cách chọn dãy con ta có thể giả sử tồn tại u2 ∈ H 1 (Ω) sao cho

un

với 1

r < 2∗ =

u2 trong H 1 (Ω), un → u2 trong Lr (Ω) và Ls (∂Ω),
2N
N −2

và 1

s < 2∗b =

2(N −1)
N −2

17

(N

3). Suy ra


|un |p dx →
Ω

|u2 |p dx và
Ω

|un |q ds →
∂Ω

|u2 |q ds
∂Ω

khi n → ∞. Từ tính giải tích của ánh xạ thớ φu và hình 2.1, ta hiểu rằng tồn tại
t1 , t2 với t1 < t0 < t2 sao cho t1 u ∈ N + , t2 u ∈ N − và J(t1 u) = J(tu)

J(t2 u).

Bây giờ ta chứng minh un → u2 trong H 1 (Ω). Giả sử ngược lại thì u2 <
lim inf un . Khi đó, với un ∈ N − , ta có J(un )
n→∞

J(t2 u2 ) =

t22
u2
2

2

−

tp2
p

|u2 |p dx − λ
Ω

< lim

n→∞

2

un

tq2
q

|u2 |q ds

2

−

tp2

|un |p dx − λ

p
Ω

= lim J(t2 un )
n→∞

t0 và

∂Ω



2
 t2

J(tun ) ∀t



tq2

|un |q ds

q
∂Ω

lim J(un ) = inf J(u).

n→∞

u∈N −

Điều này mâu thuẫn. Do đó, un → u2 trong H 1 (Ω). Suy ra
J(un ) → J(u2 ) khi n → ∞.

Do đó, u2 là một điểm cực tiểu của J trên N − . Từ J(u2 ) = J(|u2 |) và |u2 | ∈ N − ,
sử dụng Bổ đề 1.6 ta có u2 là nghiệm dương của bài toán (1.1). Định lý được
chứng minh.

Bây giờ ta có thể chứng minh Định lý 1.1.
Chứng minh Định lý 1.1 . Từ Mệnh đề 1.10, 1.11 và Bổ đề 1.6, ta có
bài toán (1.1) có hai nghiệm dương u1 ∈ N + và u2 ∈ N − trong H 1 (Ω). Do
N + ∩ N − = ∅ nên hai nghiệm này phân biệt. Định lý được chứng minh.

Chú ý 1.12. Phương pháp chứng minh trong luận văn có thể áp dụng với điều
kiện 1 < p < 2 < q < 2∗b =

2(N −1)
N −2 ,

p là số hạng lõm và q là số hạng lồi. Chứng

minh hệ quả sự tồn tại giống như chứng minh bài toán (1.1).
18


Hoặc có thể xét bài toán elliptic nửa tuyến tính với hàm thế đổi dấu



 −∆u + u = µf (x)|u|p−2 u trong Ω,




∂u
= λg(x)|u|q−2 u
∂n

trên ∂Ω,

¯ → R là các hàm liên tục, nó đổi dấu trong Ω
¯ và số mũ q, p thỏa mãn
ở đó f, g : Ω
1 < q < 2 < p < 2∗ =

2N
N −2

hoặc 1 < p < 2 < q < 2∗b =

19

2(N −1)
N −2 .


Kết luận chương 1: Trong chương này, chúng tôi giới thiệu bài toán
elliptic nửa tuyến tính với điều kiện biên phi tuyến; đưa ra một vài khái niệm,
sơ bộ về ánh xạ thớ và đa tạp Nehari; các kết quả về tính lồi-lõm trong trường
hợp tới hạn. Kết quả chính trong chương 1 là Định lý 1.1.
Kết quả trong chương 1 được tham khảo từ tài liệu [10]

20


Chương 2
Sự tồn tại nghiệm dương của bài
toán elliptic nửa tuyến tính với điều

kiện biên phi tuyến
2.1

Các kết quả trong trường hợp tới hạn

Sau công trình [3] của Brezis và Nirenberg, nhiều công trình nghiên cứu đã
được dành trọn cho bài toán tới hạn tăng trưởng, chủ yếu cho toán tử −∆ và −∆p
với điều kiện biên Dirichlet; ví dụ, xem [9]. Để chứng minh các kết quả của sự tồn
∗

∗

tại, do thiếu tính compact trong bao hàm H 1 (Ω) → L2 (Ω) và H 1 (Ω) → L2b (∂Ω),
ta sử dụng phương pháp compact tập trung được giới thiệu bởi P. Lions trong
[10]. Chúng ta đưa ra ở đây để thuận tiện cho bạn đọc nhưng bỏ qua phần chứng
minh.
Bổ đề 2.1. Lấy un là dãy hội tụ yếu trong H 1 (Ω) với giới hạn yếu u sao cho
| un |22

∗

dµ, |un |22∗

dν theo phương của độ đo. Khi đó, tồn tại x1 , x2 , · · · , xl ∈ Ω

sao cho:
21


∗

1) dν = |u|22∗ +
2) dµ ≥ | u|22 +

l
j=1 νj δxj ; νj

> 0,

l
j=1 µj δxj ; µj

> 0,

∗

3) Nếu xj ∈ Ω thì Sνj2/2 ≤ µj ,
4) Nếu xj ∈ ∂Ω thì

2/2∗

S
22/N

νj

≤ µj .

ở đó S được cho bởi (2.1)

2.1.1

Trường hợp tới hạn (a): p = 2∗ =

2N
N −2 ,

1 < q < 2.

Trong mục trước, chúng ta nghiên cứu số hạng phi tuyến có độ tăng trưởng
tới hạn trong phương trình và dưới tuyến tính trên biên, đó là:


2N

 −∆u + u = |u| N −2 −2 u trong Ω,




∂u
= λ|u|q−2 u
∂n

trên ∂Ω,

ở đó λ là tham số thực dương và 1 < q < 2.
∗

Chú ý rằng phép nhúng H 1 (Ω) → L2 (Ω) liên tục và không compact, chúng

ta không thể mong đợi điều kiện (P S)c xảy ra. Trong trường hợp này, ta có thể
chứng minh điều kiện địa phương (P S)c sẽ xảy ra nếu J(u) nhận giá trị nào đó.
Lấy S là hằng số tốt nhất của phép nhúng Sobolev
S = inf

Nói riêng, |u|2∗ ,Ω ≤ S

−1
2

u 2
: u ∈ H 1 (Ω)\ {0}
2
|u|2∗ ,Ω

.

(2.1)

u ∀u ∈ H 1 (Ω)\ {0}. Trong trường hợp này, ta sửa đổi

hàm J ánh xạ thớ φu (t) và đa tạp Nehari N , như trong mục 1.3. Khi đó, ta có
các Bổ đề sau:
Bổ đề 2.2. Tồn tại hằng số λ∗ > 0 sao cho N 0 = ∅ với mỗi λ ∈ (0, λ∗ ).
22


Chứng minh. Chứng minh tương tự Bổ đề 1.8.
Bổ đề 2.3. J là cưỡng và bị chặn dưới trên N .
Chứng minh. Với mọi u ∈ N , ta có u

2

∗

|u|2 dx + λ

=
Ω

|u|q ds. Theo bất

∂Ω

đẳng thức H¨older và bất đẳng thức Young, ta có:
J(u) =

1
1
− ∗
2 2

u

2

−λ

1
1

− ∗
q 2

|u|q ds
∂Ω

≥

1
u
N

2

1
1
− λ( − ∗ )cqb u q .
q 2

Vì 1 < q < 2 nên J cưỡng trên N và bị chặn dưới. Chúng ta có khẳng định.
Theo Bổ đề 2.2 và 2.3, với λ ∈ (0, λ∗ ), ta đã biết N = N −

N + , và J bị chặn

dưới trên N + và N − . Vì vậy, chúng ta có thể định nghĩa:
α1+ = inf + và α1− = inf − J(u)
u∈N

u∈N

Bây giờ, ta có thể chứng minh hàm J thỏa mãn điều kiện địa phương (P S)c .
Mệnh đề 2.4. Lấy un ⊆ H 1 (Ω) là một dãy (P S)c của hàm J với
c<

2∗
1 N
S 2 − Kλ 2∗ −q ,
N

khi đó tồn tại dãy con của un hội tụ mạnh trong H 1 (Ω). Ở đó S được cho bởi
(2.1).
Chứng minh. Điều này được suy ra từ Bổ đề 2.3, dãy un bị chặn trong H 1 (Ω).
Khi đó, trong các dãy con, chúng ta có thể giả sử un

u0 trong H 1 (Ω) và

un → u0 trong Lq (∂Ω). Lấy vn = un − u0 . Áp dụng Bổ đề 1.32 của [14], chúng ta
23


có:
vn

2

= un

2

∗

− u0

2

2

|un |2 dx − λ

∗

∗

+ o(1) và |vn |22∗ ,Ω = |un |22∗ ,Ω − |u0 |22∗ ,Ω + o(1).

(2.2)

Khi đó:
J (un ), un = un

∗

−
Ω

|un |q ds

∂Ω



= vn

2

2

+ u0


∗

Ω

= vn

2

∗

|vn |2 dx +

−

|u0 |2 dx − λ
Ω

|u0 |q ds + o(1)

∂Ω

∗

|vn |2 dx + J (u0 ), u0 + o(1).

−
Ω

Do J (u0 ), u0 = 0 và J (un ), un → 0 khi n → ∞ nên ta có:
2

vn

∗

|vn |2 dx → b.

→ b và

(2.3)

Ω

Nếu b = 0, chứng minh kết thúc. Giả sử b > 0, từ (2.1) và (2.3), ta được:

 22∗
un

2

∗

|un |2 dx

≥S

,

Ω

Suy ra b ≥ S · b

2
2∗

=S·b

N −2
N

N

, do đó, b ≥ S 2 .

Kết hợp (2.2) và (2.3), ta có




1
c = lim J(un ) = lim  un

n→∞
n→∞ 2

2

−

1
2∗

∗

|un |2 dx −
Ω

≥ J(u0 ) +

λ
q

|un |q ds
∂Ω

(2.4)

1 N
S2.
N

Nhưng, theo giả thiết c <

1 N2
NS ,

ta có J(u0 ) < 0. Nói riêng, u0 không trùng với

0 và
0<

1
u0
2

2

<

1
2∗

∗

|u0 |2 dx +
Ω

λ
q

|u0 |q ds.
∂Ω

24