Luận văn tiếp cận tối ưu véc tơ với mô hình nash cournot suy rộng

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠ I HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

ĐINH THỊ THU PHƯƠNG

TIẾP CẬN TỐI ƯU VÉC Tơ
VỚI MÔ HÌNH NASH-COURNOT SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
ĐINH THỊ THU PHƯƠNG

TIẾP CẬN TỐI ƯU VÉC Tơ
VỚI MÔ HÌNH NASH-COURNOT SUY RỘNG

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
Hà Nội — Năm 2016

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜ NG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘ I 2

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS.NGUYỄN VĂN QUÝ

Hà Nội — Năm 2016


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của luận văn tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới
thầy giáo hướng dẫn TS. Nguyễn Văn Quý, người thầy đã định hướng chọn đề tài và tận
tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo
giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn cổ vũ, động
viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 1 năm 2016
Tác giả

Đinh Thị Thu Phương


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Quý, luận văn
chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “ Tiếp cận tối Iiu véc tơ với Mô hình NashCournot suy rộng ” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kết quả
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Tác giả

Đinh Thị Thu Phương


Mục lục

1.3.1.................................................................................................
1.3.2

Điểm Pareto (Điểm hữu hiệu) trong không gian


LỜI MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Mô hình cân bằng thị trường độc quyền Nash-Cournot do A.Cournot đưa
ra vào năm 1838 và đã được rất nhiều các tác giả trên thế giới tập trung
nghiên cứu. Mô hình Nash-Cournot là một Mô hình cơ bản trong kinh tế học.
Ngày nay, Mô hình Nash-Cournot đã được phát triển và mở rộng thêm
nhiều bởi tính ứng dụng của nó không chỉ trong lĩnh vực kinh tế mà còn trong
nhiều lĩnh vực khác. Nghiên cứu các tính chất và phương pháp giải với Mô
hình Nash-Cournot cổ điển và suy rộng là một chủ đề đang được nhiều nhà
toán học trong và ngoài nước quan tâm.
Hiện nay, các cách tiếp cận trong nghiên cứu Mô hình Nash-Cournot là
tiếp cận bất đẳng thức biến phân, tiếp cận cân bằng và tiếp cận tối ưu véc tơ.
Với mỗi cách tiếp cận đều có những ưu điểm nhất định trong việc đưa ra các
phương pháp giải mô tả các ứng dụng của Mô hình.
Đề tài chọn cách tiếp cận tối ưu véc tơ để nghiên cứu và đưa ra phương
pháp giải với Mô hình Nash-Cournot suy rộng là một đề tài có tính khoa học,
tính thời sự và tính thực tiễn.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cách tiếp cận tối ưu véc tơ với Mô hình Nash-Cournot suy
rộng và đưa ra phương pháp giải.

6


3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Mô tả Mô hình kinh tế Nash-Cournot cổ điển và suy rộng dưới dạng bài
toán tối ưu véc tơ và trình bày phương pháp giải bài toán.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Trong luận văn sử dụng các kiến thức bổ trợ chủ yếu là Giải tích lồi và Lý
thuyết tối ưu véc tơ. Đối tượng áp dụng chính là Mô hình kinh tế NashCournot cổ điển và Mô hình kinh tế Nash-Cournot suy rộng.

5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các tài liệu từ giáo viên hướng dẫn. Tìm tòi thu thập thêm tư
liệu từ các bài giảng, sách, báo, internet,...từ đó sắp xếp, biên soạn lại hình
thành nội dung đề tài.

Chương 1
Kiến thức cơ bản
1.1 Tập lồi và hàm lồi trong không gian Rn
1.1.1

Tập lồi

Định nghĩa 1.1.
[2]
Tập D c K " khác rỗng được gọi là lồi nếu với mọi X, y £ D và với mọi

7


0 < A < 1 ta đều có:
X x + (1 — X ) y £ D .
Định nghĩa 1.2. [2]
Ta nói X là tổ hợp lồi của các véc tơ X1,x k £ Mn nếu:

X = E \x\
3=

1

trong đó X j > 0 với mọi j = 1, 2,n và X j = 1.

k

3=

1

Mệnh đề dưới đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Mệnh đề 1.1. [2]
(i) Giao của một họ hữu hạn hoặc vô hạn các tập lồi là một tập lồi.
(ii)

Tích Đề-Các của một họ hữu hạn các tập lồi là một tập lồi.

(iii) Cho Ả và B là hai tập lồi trong không gian Mn. Khi đó, tổng đại số
của A và B được định nghĩa và ký hiệu bởi:
A + B {x + y : X
(iv) Cho

c

e

A,y e B}.

là một tập lồi trong không gian Rn và X là một số thực bất

kỳ. Khi đó, tập:
C\ := {Aa; : X £ C}.
(v)

Ảnh và nghịch ảnh của một tập lồi qua một ánh xạ tuyến tính cũng

là một tập lồi.
Định nghĩa 1.3. [2]
Cho A là một tập khác rỗng trong không gian M n. Tập hợp tất cả các tổ
hợp lồi của một số hữu hạn các điểm thuộc A được gọi là bao lồi của A và ký
hiệu bởi CoA.

8


Mệnh đề 1.2. [2]
Cho A là một tập khác rỗng trong không gian Mn.
(i)

CoA là một tập lồi.

(ii)

Co A là một tập lồi nhỏ nhất chứa Ả.

(iii) A lồi khi và chỉ khi A = Co A.
Định nghĩa 1.4. [1]

Một tập được gọi là tập lồi đa diện, nếu nó là giao của một số hữu hạn các
nửa không gian đóng.
Do mỗi phương trình tuyến tính có thể biểu diễn tương đương bằng hai
bất phương trình tuyến tính nên một tập đa diện cũng là tập hợp nghiệm của
một hệ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính.
Định nghĩa 1.5. [1]
Một tập hợp s cRn được gọi là một đơn hình có thứ nguyên bằng k (hoặc
nói ngắn gọn là k—đơn hình), nếu s là tổ hợp lồi của k + 1 véc tơ độc lập aphin. Các véc tơ này được gọi là đỉnh của đơn hình.
Định nghĩa 1.6. [1]
Điểm X* được gọi là điểm cực biên của tập lồi D nếu không tồn tại hai
điểm khác nhau x l , x 2 G D sao cho:
*11
X = -Xị H—Xo.
22
Điều này tương đương với nếu X ị , x 2 G D thỏa mãn:
11

X = 2X l

thì X * = X i — x 2 .

9

+

2X 2 Ĩ


Tập các điểm cực biên của tập lồi ký hiệu là E x t ( D ) .
1.1.2 Nón lồi

Định nghĩa 1.7. [2]
Cho K là một tập khác rỗng trong Mn.
(a)

K được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu với mọi X G K và với mọi A > 0

ta đều có:
Xx G K.
(b) K được gọi là nón có đỉnh tại x0, nếu K — x0 là nón có đỉnh tại 0.
(c)

Nón K (đỉnh tại 0 hoặc x0) được gọi là nón lồi nếu K là một tập lồi.

(d) Nón K (đỉnh tại 0 hoặc xữ) được gọi là nón lồi đóng nếu K là một tập
lồi đóng.
Mệnh đề 1.3. [2]
K là một nón lồi, có đỉnh tại 0 khi và chỉ khi với mọi x,y G K và với mọi
x,p > 0 ta đều có:
XX + ịiy & K.

Ví dụ 1.1.1. Các tập trong Rn sau đây:
R" := {(£i,---,£n) ẽ Rn :

> 0,Vi = 1 ,...,nị (orthan không âm).

M++ := {(6, •••, £n) e Mn : & > 0, Vi = 1,..., n} (orthan dương).
Đều là các nón lồi có đỉnh tại 0. Đây là các nón lồi quan trọng trong Mn.
Hệ quả 1.1. [2]
Tập K khác rỗng trong R71 là nón lồi có đỉnh tại 0 khi và chỉ khi K chứa
tất cả các tỗ hợp tuyến tính dương của một

Tức là, với mọi

Xi,

...,xm G K (m là một

1
0

số

số

hữu hạn các phần tử trong K.

tự nhiên bất kỳ) và với mọi Xị,...,


Xm > 0 thì:
XịXi e K.
i= 1
Hệ quả 1.2. [2]
Giả sử A là tập bất kỳ trong Rn, K là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính
dương của Ả. Khi đó, K là nón lồi nhỏ nhất chứa Ả.
Định nghĩa 1.8. [1]
Cho c là một tập lồi khác rỗng trong Rn và điểm xữ £ c.
(a)

Điểm X * £ Mn được gọi là véc tơ pháp tuyến ngoài (hay pháp tuyến

ngoài) của c tại xữ nếu:
(x*,x — x°) < 0 với mọi X £ c.
(b) Tập tất cả các véc tơ pháp tuyến ngoài của c tại x° ký hiệu là Nc(x°).
Mệnh đề 1.4. [1]
Cho c ỉà một tập ỉồỉ khác rỗng trong Kn và điểm x° £ c. Tập Nc{xữ) là một
nón lồi đóng có đỉnh tại 0.
Chứng minh.
Hiển nhiên 0 £ Nc{x°) nên suy ra Nc{x°) là khác rỗng.
Mặt khác, giả sử u,v £ Nc(x°) và À,/z > 0.
Từ định nghĩa ta có:
{u, X — xữ) <0 và (v, X — a:0) < 0,
và dẫn đến:
(Xu + pv, X — xữ} = À(u, X — x°) + ịí(v, X — xữ} < 0 với mọi X £ c.

1
1


Từ đó suy ra Au + ịiv £ Nc(x°) và theo Mệnh đề (1.3) thì Nc(x°) là một nón
lồi có đỉnh tại 0.
Để chứng tỏ Nc(xũ) là một tập đóng ta giả sử {un} là một dãy
nằm trong Nc{x°) và un —> u khi và chỉ khi n —> 00.
Ta phải chứng minh ũ E Nc(xũ). Thực vậy, với mỗi X G c cố định thì:
fx(u) = (u:x — x°) < 0 với mọi u E Nc(x°):
và là một hàm liên tục trên Nc(xữ). Từ đó, và theo tính chất của giới hạn suy
ra:
lim fx(un) = (ũ,x - X o ) < 0.
n—>oo

Điều này đúng với mọi X G c .

Vậy ũ & Nc{xữ) và ta có điều cần chứng minh.

□

Định nghĩa 1.9. [2]
Giả sử i c M" là một tập lồi và khác rỗng. Ta nói tập A lùi xa theo phương
d E Mn, d ^ 0, nếu:
A + Ằd c A, VA > 0,
hay
X

+ Ád E A với mọi X E A và mọi A > 0.

(1.1)

Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra, nếu tập các phương lùi xa của tập A mà
khác rỗng thì nó là một nón có đỉnh tại 0.
Định nghĩa 1.10. [2]
Tập các véc tơ d E Rn thỏa mãn (1.1) và véc tơ d = 0 được gọi là nón lùi
xa của A, ký hiệu là 0+ A.

1
2


Mệnh đề 1.5. [2]
Nếu A là một tập lồi thì 0+ A là một nón lồi có đỉnh tại 0.
1.1.3 Hàm lồi
Trước tiên chúng ta trình bày một số khái niệm thông thường. Cho D c Mn
là tập lồi khác rỗng và hàm số / : D —> Ẽ.

Ta ký hiệu:
domf := {x & D I f(x) < +oo}.
Tập domf được gọi là miền hữu hiệu của /. Tập: epif :=
{{x,ịi) G Ử x R | f ( x ) < f i }
được gọi là trên đồ thị của hàm /.
Một hàm / được gọi là chính thường nếu d o m ĩ = 0 và f ( x ) > — o o
với mọi X .
Bằng cách cho f ( x ) = +oo nếu X ị D: ta có thể coi / được xác định trên
toàn không gian và hiển nhiên là:
domf — {x € Rn I f ( x ) < +00}
và
epif = { ( x , f i ) e r X I I f ( x ) < fi}.
Khi làm việc với hàm số nhận cả giá trị —00 và +00, như thường lệ, ta quy
ước: Nếu A = 0 thì Af ( x ) = 0 với mọi X .
Định nghĩa 1.11. [1]
Cho D c Rn là một tập lồi, khác rỗng và / : D — > Ẽ. Ta nói / là hàm lồi
trên D , nếu e p ỉ f là một tập lồi trong Mn+1.

1
3


Mệnh đề 1.6. [1]
Cho D c Rn là một tập ỉồi, khác rỗng và f : D —> M U {+00}. Khi đó, f là
hàm lồi trên D khi và chỉ khi:
f { X x + (1 - A) y ) < Af ( x ) + (1 - A) f { y ) ,

(1.2)

v ớ i m ọ i x , y £ D v à v ớ i m ọ i X £ [0,1].

Chứng minh.
Với A = 0 hay A = 1 thì (1.2) luôn đúng.
Nên ta chỉ xét với 0 < A < 1.
Giả sử / là hàm lồi trên D . Nếu X ị dom ĩ hoặc y ị domf thì hiển nhiên
(1.2) là đúng.
Bây giờ ta xét với X , y £ d o m f . Do:
(x, f(x)) £ epỉf ; (y, f(y)) £ epỉf,
mà e p i f lồi nên:
{ X x + (1 - X ) y , X f ( x ) + (1 - A)/(Theo định nghĩa của e p i f suy ra (1.2).
Ngược lại, giả sử (1.2) đúng, ta cần chứng minh e p i f là lồi. Thực vậy,
với mọi ( x , ị i ) , ( y , u ) £ e p i f ta phải chứng minh:
A(z, ị i ) + (1 - X ) ( y , V ) = ( X x + (1 - X ) y , X f i + (1 - X ) u ) £ e p i f .
Điều này đúng vì theo định nghĩa của epif và A > 0, (1 — A) > 0
X f ( x ) < X ị i ; (1 - \ ) ỉ { y ) < (1 - X ) v , kết hợp
với (1.2) suy ra:
f ( X x + (1 - X ) y ) < X f ( x ) + (1 - X ) f ( y ) < X ị i + (1 - X ) ư .

1
4


Vậy mệnh đề được chứng minh.

□

Hệ quả 1.3. [1]
Nếu f là hàm lồi và nhận giá trị hữu hạn trên tập lồi D, thì với mọi số tự
nhiên m, mọi X 1 , ...,xm £ D và với mọi bộ số:
Ai > 0,..., X m > 0, X j = 1,

3=

1

ta đều có:
X j X Ì ) < Y 2 X j f ( x j ) (Bất đẳng thức Jensen).
3=

1

3=

1

Định nghĩa 1.12. [1]
Cho D là một hàm lồi khác rỗng trong Mn.
(a) Hàm / được gọi là lồi chặt trên D nếu:
/ ( X x + (1 - A) y ) < Af ( x ) + (1 - X ) f { y ) ,

(1.3)

với mọi x , y G D và với mọi A £ (0,1).
(b)

Hàm / : Mn —» M u {+oo} được gọi là lồi mạnh trên D với hệ số ĩ )

> 0, nếu VÆ, y £ D,\/X £ (0,1) có:
f ( X x + (1 - A) y ) < X f { x ) + (1 - X ) ĩ { y ) - Ỉ^A(1 - X ) \ \ x - y\\2.

1

5


(c)

Hàm / được gọi là một hàm lõm trên D, nếu —/là hàm lồi trên D.

(d) Hàm / được gọi là tựa lồi trên D nếu VA €: M tập mức dưới:
L\f := {x € D : f ( x ) < X }
là tập lồi.
(e)

Hàm / được gọi là tựa lõm trên D nếu —/là hàm tựa lồi trên D.

Mệnh đề 1.7. [1]
Cho D là một tập lồi khác rỗng trong Mn. Hàm f lồi mạnh trên D vói hệ
số ĩ} > 0 khi và chỉ khi hàm:
K) :=/(.) -¡INI2Mệnh đề 1.8. [1]
Một hàm f : D —»■ Ẽ là lồi trên D khi và chỉ khi:
V x , y £ D,Va > f { x ) , v p > /(y),vA € [0,1],
=>■ / ( X x + (1 - A) y ) < X a + (1 - X)ị3.
Chứng minh.
Chứng minh điều kiện cần:
Giả sử / lồi. Chọn X, y, a, ¡3 như đã nêu trong mệnh đề. Chọn
á e (f { x ) , a ) và ¡ 3 ' Vậy (x , á ) và ( y , f 3 ) thuộc e p i f .
Do epif lồi , nên:
((1 - X)x + Xy, (1 - A)c/ + X ß ' ) € e p i f .
Do đó:

/((1 — A)x + A y ) < (1 — A)«7 + X ß ' < (1 — A)cc + X ß .
Chứng minh điều kiện đủ:
Chọn ( X , Ị Ẳ ) và ( y , u ) thuộc epif và A e (o, 1).
Thế thì với mọi £ > 0, ta có:
f(x) < ụ. + E,f{y) < V + E.
Do đó:
/[(1 — A)o: + X ß ] < (1 — A)(/z + s) + A { y + s)
= (1 — A)!:.Í T X U T £ .

Điều này đúng với mọi £ > 0, nên cho £ —»■ 0, ta được:
/[(1 — A)cc + X ß ] < (1 — X ) ị Ấ + X u .
Chứng tỏ:
(1 - A)(z, p ) + A ( y , u ) G e p i f .
Vậy / là hàm lồi.

□

Mệnh đề 1.9. [1]
Cho c là một tập lồi khác rỗng trong Kn. Khi đó, hàm chỉ của tập
c được định nghĩa trên toàn Rn theo công thức:

{Q,x e C\
+oo, X ị c.
là hàm lồi trên Rn.


Định nghĩa 1.13. [3]
Cho A là một ma trận vuông, đối xứng cấp n X n.
(a) Ma trận A được gọi là xác định dương nếu:

xTAx > 0 với mọi X e Rn,:r Ỷ 0.
(b) Ma trận A được gọi là nửa xác định dương nếu:
X T Ax

> 0 với mọi X e Rn,

và tồn tại X ^ 0 để xTAx = 0.
Mệnh đề 1.10. [3]
Cho A là một ma trận vuông, đối xứng cấp n X n.
(i) Ma trận A là xác định dương khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của
A đều dương.
(ii) Ma trận A là nửa xác định dương khi và chỉ khi tất cả các giá trị
riêng của A đều không âm và có tồn tại ít nhất một giá trị riêng bằng không.
Mệnh đề 1.11. [3]
Cho A là một ma trận vuông, đối xứng cấp n x n , v à v é c t ơ c e Rn.
(i)

Nếu A là ma trận xác định dương thì hàm toàn phương:
q(x) = X T Ax + C T X

là một hàm lồi mạnh trên Mn.
(ii) Nếu A là ma trận nửa xác định dương thì hàm toàn phương:
q ( x ) = xTAx + C T X là một hàm lồi trên Mn.


1.1.4 Dưới vi phân của hàm lồi
Định nghĩa 1.14. [1]
Cho / : Rn —»■ M u {+oo}. Ta nói X * e Mn là dưới đạo hàm của / tại X
nếu:
(x*,z- x) + f(x) <

Tương tự như đối với hàm lồi khả vi thông thường, biểu thức này có
nghĩa là phương trình tiếp tuyến nằm dưới đồ thị của hàm số. Tuy nhiên khác
với trường hợp khả vi, tiếp tuyến ở đây có thể không tồn tại duy nhất.
Ký hiệu tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của / tại X là d f ( x ) . Nói
chung, đây là một tập (có thể bằng rỗng) trong R71.
Khi d f ( x ) ^ 0, thì ta nói hàm / khả dưới vi phân tại X .
Theo định nghĩa, một điểm X * G d f ( x ) khi và chỉ khi nó thỏa mãn một
hệ vô hạn các bất đẳng thức tuyến tính. Như vậy d f ( x ) là giao của các nửa
không gian đóng.
Vậy d f ( x ) luôn là một tập lồi đóng (có thể rỗng). Như trong lý thuyết
toán tử đa trị, ta sẽ ký hiệu:
dom(df ) := {x I d f ( x ) 7^ 0}.
Ví dụ 1.1.2. Xét hàm: f ( x ) = ||æ||,æ G Rn.
Tại điểm X = 0 hàm này không khả vi, nhưng nó khả dưới vi phân. Thực
vậy, theo định nghĩa ta có:
d f ( 0) = {Æ* G R71 : (x*,x) < ||x||,Va; G R71}.
Từ bất đẳng thức này ta có thể suy ra ô/(0) chính là hình cầu đơn vị có


tâm tại 0.
Mệnh đề 1.12. [1]
Cho f : Rn —> R u {+oo} lồi, chính thường. Khi đó:
(i) Nếu X * ị d o m f , t h ì d f ( 0) = 0.
(i)

Nếu

X

G ỉ n t ( d o m f ) , thì d f ( 0) = 0 và com-pắc. Ngược lại, nếu

df(0) = 0 và com-pắc thì X G r i ( d o m f ) .
Chứng minh.
(i) Cho Z G domf thì f(z) < +00.
Vậy nếu X

Ệ

d o m f , thì f ( x ) = +00 và do đó không thể tồn tại X * thỏa

mãn:
( x * , z — x ) + f { x ) < f ( z ) < Too.
Vậy d f ( 0) = 0.
(ii) Trước hết ta giả sử X G ỉ n t ( d o m f ) . Ta có điểm ( x ,

f(x))

nằm trên

biên của e p i f .
Do / lồi, chính thường nên tồn tại siêu phẳng tựa của bao đóng của epif đi
qua (x, f ( x ) ) , tức là tồn tại p G Mn,

t

€ M không đồng thời bằng 0 thỏa

mãn:
( P : x ) + t f ( x ) < (p , y ) + t y , V ( y , y ) e e p i f .

(1.4)

Ta có t ^ 0, vì nếu t — 0 thì:
(p,x) < (p,y),Vy G domf.
Nhưng do X £
Hơn nữa

t

int(domf),

> 0, vì nếu

t

nên điều này kéo theo p = 0. Vậy t

Ỷ

0.

< 0 thì trong bất đẳng thức (1.4), khi cho Ị J L


— > o o ta suy ra mâu thuẫn vì vế trái cố định.
Chia hai vế của (1.4) cho t > 0, đồng thời thay y = f ( y ) và đặt
X*

= —ta đươc: t
( x * , y - x ) + f ( x ) < ( x * , y ) + f ( y ) , Vy e d o m f .

Hay là:
{ x * , y - x ) + f ( x ) < ỉ{y),\/y.
Chứng tỏ X * ẽ d f ( x ) .
Cách chứng minh trên cho thấy dưới đạo hàm của / tại

X

chính là véc tơ

pháp tuyến của siêu phẳng tựa của bao đóng của e p ỉ f tại ( x , f ( x ) ) . Thực ra
/ khả dưới vi phân tại mọi điểm X E r i ( d o m f ) .
Điều này có thể chứng minh ngắn gọn như sau:
f ( x , y ) = max ( x * , y ) ,
x*£df(x)

và f ' ( x , y ) hữu hạn, nên d f ( x ) Ỷ 0Bây giờ ta chỉ ra tập d f ( x ) com-pắc. D o x Ẽ d o m f , theo Mệnh đề
(1.12), X * G d f ( x ) khi và chỉ khi:
f(x,d) > (x*,d):Vd.
Lấy é véc tơ đơn vị thứ ỉ ( i = 1

(1.5)

của IRn (tọa độ thứ ỉ của é

bằng 1 và mọi tọa độ khác là 0).
Áp dụng (1.5) lần lượt với d = é với i = 1,n , ta có X * < f ' ( x , é ) .
Tương tự, áp dụng với d = — e i với ỉ = 1,..., k , ta có:
-X*

< f ' ( x : -e¿).

Hay:
X* > -f'{x, —ei).
Tóm lại:
- / ( x , - ^ ) < X* < ¡'{x^e^^i = 1,..., n.
Theo Mệnh đề (1.12), do X G r i ( d o m f ) , nên f ( x , y ) hữu hạn với mọi
y . Nói riêng f ' ( x , — é ) và f ( x : e*) hữu hạn với mọi % — 1, ...,n.
Vậy d f ( x ) bị chặn, và do tính đóng, nên nó com-pắc.


Ngược lại, giả sử rằng d f ( x ) khác rỗng và com-pắc.
Ta chỉ ra rằng X
Nếu trái lại X

£ ri(domf).

ị ri(domf),

Do d f ( x )

thì X

ở

0, nên X £

trên biên tương đối của

domf.

domf.

Do d o m f

lồi, theo mệnh đề về siêu phẳng tựa, tồn tại một siêu phẳng tựa của bao đóng
của d o m f tại X , tức là tồn tại một véc t ơ

p £ M.n,p

^ 0 sao cho:

pTx > pTz,Vz £ domf.

Lấy X * £ d f ( x ) . Từ đây và theo định nghĩa dưới vi phân ta có:
f ( z ) — f ( x ) > ( x * , z — x ) > ( x * + X p , z — x ) , V X > 0,Vz.
Chứng tỏ

X*

+ Ằp £ d f ( x ) , \ / X > 0. Điều này mâu thuẫn với tính bị

chặn của d f ( X ) . Vậy X

£

rỉ(domf).

□

1.1.5 Hàm lồi khả vi

Cho một hàm / xác định trên một lân cận của

X

£ Mn. Theo định nghĩa,

hàm / được gọi là khả vi tại X , nếu tồn tại X * sao cho:
lim ẨMn/M ~ ( X * 1Z ~

II z — a:||

X

)

= 0 “~>x

Có thể kiểm tra được một điểm X * như thế này, nếu tồn tại sẽ duy nhất và
được gọi là đạo hàm của / tại X . Thông thường đạo hàm này được ký hiệu là
v/(x) hoặc f ' ( x ) .
Giả sử / : Mn —» M u {+oo} chính thường và X £

domf.

Nếu / khả


f{x + Ằy)-f{x)-(x7f{x),\y}^
A\o
A||y||

Hay là:
f ' ( x : y ) - (v/(ar),y) =
llyll
Suy ra f ' ( x , y ) = ( ụ f { x ) , y ) với mọi y . Lấy y = e \ i = 1

là

véc tơ đơn vị thứ % của Mn, ta có:
Vậy:

n

ỉ ' ( x , y ) = ^ 2 v i ( 9 f I ỡaĩiXa:).
¿=1
Ta có các mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.13. [1]
Giả sử f : Mn —>■ Mu {+oo} lồi, chính thường và X G d o m f . K h i đ ó
f khả vi tại

X

khi và chỉ khi tồn tại

X* G

Mn s a o c h o f

' ( x , y ) = ( x * , y ) với mọi y. Ngoài ra X G int (dom/) và ụ f ( x ) = X * .
Chứng minh.

Nếu / khả vi tại X thì, như ở trên, ta đã chỉ ra rằng:
ỉ ' { x , y ) = ( ụ f ( x ) , y ) với mọi y .
Vậy f ( x , y ) hữu hạn trên toàn Mn, nên X G int(dom/).
Giả sử ngược lại f ( x , y ) = ( x * , y ) với mọi y .


Trước hết ta có X e int {domĩ) vì f ' ( x , .) hữu hạn trên toàn Rn. Để chứng
minh tính khả vi của / tại X , ta lấy:
g(y) := f(x + y) - f(x) - (x*,y).
Do / lồi, chính thường và / hữu hạn, nên g cũng là một hàm lồi, chính
thường trên Mn. Ta cần chứng tỏ

r

s(y) _ n

lim = 0.

—>'0 IIỉ/II

y

Trước hết để ý là từ f ( x , ỳ ) = ( x * , y } : theo định nghĩa của f ( x , y ) : ta
có g ( y ) > 0 với mọi y và #(0) = 0. Nếu y 7^ 0 thì véc tơ IPỊỊ thuộc siêu hộp
H := [—1, l]n.
Vậy theo định lý Kerein-Milman điểm - r ^ — r biểu diễn được bởi một
tổ hợp lồi các đỉnh của H : tức là tồn tại các số thực / 3 ị (phụ thuộc y )
y

sao cho Ị 3 ị > 0, Ỵ 2 P i — 1 và

iel
=

iel

trong đó vi(i e I) là các đỉnh của H.
Ta có:
9Ív ) = »(NI/77) = ơdlĩ/ll

M tĩ

Theo tính lồi của g thì:
9{ y ) = g ( ỉ 2 Piịịyịịv * ) < ^ Pigiịịyịịv * ) .