Một số chuyên đề về tổ hợp dành cho học sinh có năng khiếu ở trung học phổ thông

Một số chuyên đề về tổ hợp dành
cho học sinh có năng khiếu toán
bậc trung học phổ thông


▼ô❝ ❧ô❝

▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥

✶

▼ë ➤➬✉

✸

❈❤➢➡♥❣ ✶✳

❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥

✻

✶✳✶✳

◗✉② t➽❝ ❝é♥❣ ✈➭ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✷✳

❍♦➳♥ ✈Þ ✈➭ tæ ❤î♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✸✳

◆❣✉②➟♥ ❧ý ❝❤✉å♥❣ ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉ ✭◆❣✉②➟♥ ❧ý ❉✐r✐❝❤❧❡t✮

✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✹✳

❍♦➳♥ ✈Þ ✈➭ tæ ❤î♣ tæ♥❣ q✉➳t

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✶✳✺✳

❈➠♥❣ t❤ø❝ ❜❛♦ ❤➭♠ ✈➭ ❧♦➵✐ trõ

❈❤➢➡♥❣ ✷✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹

▼ét sè ❝❤✉②➟♥ ➤Ò ✈Ò tæ ❤î♣ ❞➭♥❤ ❝❤♦ ❤ä❝ s✐♥❤ ❝ã ♥➝♥❣

❦❤✐Õ✉ t♦➳♥ ❜❐❝ tr✉♥❣ ❤ä❝ ♣❤æ t❤➠♥❣

✶✼

✷✳✶✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✶✿ ◗✉② t➽❝ ❝é♥❣ ✈➭ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽

✷✳✷✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✷✿ ❍♦➳♥ ✈Þ ✈➭ tæ ❤î♣

✷✳✸✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✸✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❝❤✉å♥❣ ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾

✷✳✹✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✹✿ ❈➳❝ sè ❘❛♠s❡② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷

✷✳✺✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✺✿ ❈➳❝ sè ❈❛t❛❧❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽

✷✳✻✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✻✿ ❈➳❝ sè ❙t✐r❧✐♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶

✷✳✼✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✼✿ ❍♦➳♥ ✈Þ ✈➭ tæ ❤î♣ tæ♥❣ q✉➳t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼

✷✳✽✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✽✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❜❛♦ ❤➭♠ ✈➭ ❧♦➵✐ trõ

✷✳✾✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✾✿ ◆❤÷♥❣ sù ①➳♦ tré♥ ✈➭ ♥❤÷♥❣ sù s➽♣ ➤➷t tr➢í❝ ✳ ✳ ✺✹

✷✳✶✵✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✶✵✿ ➜➵✐ ❧➢î♥❣ ❜✃t ❜✐Õ♥

❈❤➢➡♥❣ ✸✳

▼ét sè ❜➭✐ t❐♣ ➤Ò ♥❣❤Þ

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✵

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✼

✻✵

✷


ở

ó tể ó t ề tổ ợ r ờ từ rt sớ tờ ờ t

ết ế ì ẽ ó q ế ữ ì t í ờ ổ
trết ọ rt số ở tế ỷ tứ trớ
ết tí số từ từ ột ữ trớ t
ọ Pt ọ trò ủ tì r ề số ó tí t
ệt ệ tì r ợ số ò ỏ ó ột ệ tt tổ ợ
t ị ó tể ó r ý tết tổ ợ ợ ì t
ột t ọ ớ q tế ỷ ột t trì
ứ tú ủ t ọ t s Ps rt
t r ù tr sốt tế ỷ rỡ tổ ợ ó
trò ề tr ệ ứ tự ế ớ sự ỗ trợ ự ủ
tí tổ ợ ể s ĩ ự t ứ ụ ớ sự t trể
ẽ ó ề ết q ó í ờ

tứ ợ trò ủ ý tết tổ ợ ố ớ ờ số ệ ý
tết tổ ợ ợ trì ọ ổ t ế ột
tr ỳ t t qố qố tế ở ớ t t ệ
ết ề tổ ợ ề ó sẽ t ột t
ệ ề tổ ợ ọ s ổ t ệt ữ ọ
s ó ế t ú t ọ sẽ ứ
ợ ò tí t ọ ủ ồ tờ
ũ ột t ệ ể ồ ệ t

ồ ột ú t trì ột số ế




tứ ủ tổ ợ t ột s ớ s ổ t
sự ớ ọ s trọ t ủ r
ọ s ợ tì ể ờ ề

ề

1 t ộ q t

ề

2 ị tổ ợ

ề

3 ý ồ ồ

ề

4 số s

ề

5 số t

ề

6 số tr

ề

7 ị tổ ợ tổ qt

ề

8 ý trừ

ề

9 ữ sự trộ ữ sự s t trớ

ề

10 ợ t ế

r ỗ ề t tờ ợ t t ữ ủ ề
t ị ó ọ s tự tì t ì ữ ế tứ q
ế ủ ề ợ ồ tờ ỗ ề ó ờ tết ọ
s t t ờ ờ ít tr t ệ ề tổ ợ ó
tr tị trờ ọ í ề í tí sự ể ết
ò s ủ ọ s ó ế t ó ộ
ữ t ề ị ợ ọ ự ĩ ỡ ú ụ
ữ ế tứ t ợ từ trớ ể ỹ t
tổ ợ ủ ì

ột tờ ứ ợ t sẽ
tr ỏ ề s sót í sự ó ý ủ qý t
ồ ệ ọ s ú t t




❈❤➢➡♥❣ ✶
❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥
✶✳✶✳

◗✉② t➽❝ ❝é♥❣ ✈➭ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥

◗✉② t➽❝ ❝é♥❣✿

◆Õ✉

Ei (i = 1, ..., k) ❧➭ k

sù ❦✐Ö♥ t❤♦➯ ♠➲♥✿

(i) ❑❤➠♥❣ ❝ã ❤❛✐ sù ❦✐Ö♥ ♥➭♦ tr♦♥❣ sè ❝❤ó♥❣ ①➯② r❛ ➤å♥❣ t❤ê✐
(ii) Ei

❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦

t❤× ♠ét tr♦♥❣

k

ni

sù ❦✐Ö♥ ❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦

▼ét ❧í♣ ❤ä❝ ❝ã

❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✶

18 + 12 = 30

❝➳❝❤

18

(n1 + n2 + ... + nk ) ❝➳❝❤✳

❤ä❝ s✐♥❤ ♥❛♠ ✈➭

12

❤ä❝ s✐♥❤ ♥÷ t❤× ❝ã

❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ♠ét ❤ä❝ s✐♥❤ ✭❦❤➠♥❣ ❦Ó ♥❛♠✱ ♥÷✮ ❧➭♠ ♥❣➢ê✐ ➤➵✐

❞✐Ö♥ ❝❤♦ ❧í♣✳
❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✷

●✐➯ t❤✐Õt

E

❧➭ sù ❦✐Ö♥ ❝❤ä♥ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè ♥❤á ❤➡♥

❧➭ sù ❦✐Ö♥ ❝❤ä♥ ❝➳❝ sè tù ♥❤✐➟♥ ❝❤➼♥ ♥❤á ❤➡♥
❚❤×✿

E

❝ã

4

❝➳❝❤ ①➯② r❛✱

F

❝ã

4

tè ❝❤➼♥ ♥➟♥ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ sù ❦✐Ö♥

10✳

❝➳❝❤ ①➯② r❛✳ ◆❤➢♥❣ ✈×

E

❤♦➷❝

F

10 ✈➭ F

2

❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥

❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦

4+4−1 = 7

❝➳❝❤✳
◗✉② t➽❝ ♥❤➞♥✿

n1

❝➳❝❤❀

E2

◆Õ✉

❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦

r❛ ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦✮❀

E1

✈➭

E2

Ei (i = 1, ..., k)

E3

n2

❧➭

k

sù ❦✐Ö♥ ✈➭

E1

❝➳❝❤ ✭❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝ ➤Õ♥ ✈✐Ö❝

❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦

n3

❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✸

nk

− 1✮ sù ❦✐Ö♥ tr➢í❝ ①➯② r❛ ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦✮✱ t❤× k

r❛ ➤å♥❣ t❤ê✐ t❤❡♦

n1 .n2 .n3 ...nk

▼ét ❣✐➳ s➳❝❤ ❝ã

E1

①➯②

❝➳❝❤ ✭❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝ ➤Õ♥ ✈✐Ö❝

①➯② r❛ ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦✮✱✳✳✳✱Ek ❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦

t❤✉é❝ ➤Õ♥ ✭k

❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦

❝➳❝❤ ✭❦❤➠♥❣ ♣❤ô

sù ❦✐Ö♥ ❝ã t❤Ó ①➯②

❝➳❝❤✳

6 q✉②Ó♥ s➳❝❤ t✐Õ♥❣ ❆♥❤ ➤➠✐ ♠ét ❦❤➳❝ ♥❤❛✉❀ 8

q✉②Ó♥ s➳❝❤ t✐Õ♥❣ P❤➳♣ ➤➠✐ ♠ét ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ✈➭

10

q✉②Ó♥ s➳❝❤ t✐Õ♥❣ ➜ø❝ ➤➠✐

♠ét ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳

(i) ❈ã 6.8.10 = 480 ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ❧✃② 3 q✉②Ó♥ s➳❝❤ tr♦♥❣ ➤ã ♠ç✐ q✉②Ó♥ ♠ét
✻


tứ tế

(ii) ó 6 + 8 + 10 = 24 ọ 1 qể s t ỳ tr số

qể s ó tr
ế ột t tr ệ ó

í ụ

8

ỏ ỗ ỏ ó

3

tr ờ ột ú s số
ọ tr ờ ủ tt



ị tổ ợ



X

ị ĩ

tử

r

ột số

n
r ị ủ X

ột

ột ộ s tứ tự ồ

r

tử

n tử ủ X

ột
ố

n

ột t ợ ồ

ỏ

từ

8 ỏ tr 38 = 6561

n ị ủ X

ợ ọ ột ị ủ

X

r ị ủ ột t ợ n tử ợ ý ệ P (n, r)

í ụ

{2, 3, 4}



{2, 4, 3}



3

ị ủ

X =

{1, 2, 3, 4, 5}
ị ĩ

ột

rtổ ợ ủ X

ột t ồ

r tử ủ X

rtổ ợ ủ ột t ợ n tử ợ ý ệ C(n, r)
n!
ị ý (i) P (n, r) =
(n r)!
P (n, r)
n!
(ii) C(n, r) =
=
= C(n, n r)
r!
r!(n r)!

ố

ở ú t r từ

m! (1).(2)...(m)
ứ

t tr

r

(i)

ó

ị trí ó

n



0! 1

ọ ột tử t ỳ ủ

(n 1)

X

ọ ột tử từ ó

tử ò ể ế ị trí tứ tr số

r

ị trí

(n 1)

ị trí ú ý r số ọ

tử ế ị trí tứ ụ tộ ọ tử ế ở
ị trí tứ t tế

ó t q t ị trí t ó tể ở

r

tt

n(n 1)

ị trí ó tể ở

n!
(n r)!

P (n, r) = n(n 1)...(n r + 1) =


(ii) ể C(n, r) ú ý r ột r ị ủ t ợ n tử X
rt ó ủ X

ị ủ ột
ữ ữ

rt ệt s r rtổ ợ ệt ó

q t ộ t ó

P (n, r) = P (r, r) + P (r, r) + ... + P (r, r)
ố số ở ế số

rt ủ X

tứ

C(n, r) ó t

ó

P (n, r) = C(n, r)P (r, r) = C(n, r)r!
ỗ

rt ủ X

(n r)t

ó ột t ù t

ừ ó

t ó ột q ệ q trọ

C(n, r) = C(n, n r)
ệt số ị ủ

n tử
P (n, n) = n!

ét

ợ ó

r

ị ủ ột t

ủ

n tử ột r tổ

r trì ổ t ột

n tử ợ ọ ột ỉ ợ r

ợ ủ ột t ợ ó

n tử ợ ọ ột tổ ợ r

ủ

n

tử ó
í ụ

ột ộ ồ

9

ọ s ố

10

4

ọ s ố

11 3

12 ọ s ố 12 10 ọ s ố 11

r ột ệ ồ
ọ s ố

10


t ó

4

ọ s ố

C(12, 4) =

12

12!
= 495
4!8!

ọ

4 ọ s ố 12 C(10, 4) = 210 ọ 4 ọ s ố 11

C(9, 3) = 84

ọ

3

ọ s ố

ọ r ệ tr



10

q t số ể

495.210.84 = 8731800

ý ồ ồ ý rt

ột số ết q s s ủ ý tết tổ ợ t t từ ột ệ ề

ế

n ồ ồ trú ủ ít t (n + 1) ồ

tì ó ít t ột ồ ứ từ ồ trở
í ụ

tết r ó ề ế tt ỏ ề ế tt tr

ề ế tt ở tr ộ ỏ từ ộ ó r ít t
ế tt ì tr ể ợ

2 ế ù



ỗ ột ợ ột ồ ồ


n = 3 ó ế

n + 1 = 4 ế tt tì ít t ó ế tt ù

ột tổ qt

ủ ý ồ ồ s
ế

k

n ồ ồ trú ủ kn + 1 ồ ớ

ột số tì ít t ó ột ồ ứ từ

k + 1

ồ trở
í ụ

ó

tự í ụ

1.3.1 ế 6 ế tt ù tì t

n = 3 ể r ột ề tr số ồ

ó ứ

k+1 = 6

ề ồ tì ú t

kn + 1 = 16 ó số 16 ế tt
í ụ

ột tủ ứ

ế tr

20

ế s tr ó ó

4

ế ỏ

7

9 ế ỏ r ít t ế

ợ ì tủ ể ợ



r = 4, 5, 6, 7, 8, 9

ế


ù


) rờ ợ 1 r = 4 = k + 1 r k = 3 ó 3 n = 3 ó
r ít t

kn + 1 = 3.3 + 1 = 10 ế s

) rờ ợ 2 r = 5 = k + 1

r

k = 4

P tí t

ú t tở tợ r ữ ế ợ r từ tủ ột t tự
ì ố í sự ể t

4

ế t t ù

ỏ ó ế ò r ó tr
ể

r=5

ế r ó ù tì

t ó tr r

n = 2

ố ợ ít

kn + 1 = 4.2 + 1 = 9 t

ý ồ ồ r ít t

4 + 9 = 13 ế

) rờ ợ 3 r = 6 = k + 1 r k = 5 tự trờ ợ

2 ết q 4 + kn + 1 = 4 + 5.2 + 1 = 15 ế r
)

rờ ợ

4 r = 7 = k + 1

r

k = 6

tự ết q

4 + kn + 1 = 4 + 6.2 + 1 = 17 ế r
) rờ ợ 5 r = 8 = k + 1 r k = 7 ờ ế r ữ
ế ỏ tr tì ề trị ó số ế
r

)

4 + 7 + kn + 1 = 4 + 7 + 7.1 + 1 = 19 ế

rờ ợ

6 r = 9 = k + 1

tự trờ ợ

5

t ó ết

q

4 + 7 + kn + 1 = 4 + 7 + 8.1. + 1 = 20 ế r



S

ột t ợ t t ở

ố tợ ó ệ
tợ ó ệ
t ồ

vr

n

2 x3 x2
í ệ

vr

x1

ố tợ ó ệ

ố tợ ó ệ

1 x2 x1

3 xn xn1

ố

số ỏ t t tt

tử ủ ỗ t ứ ít t



r

ố tợ ó


ù ột ệ ó




n(r 1) + 1,

(n 1)(r 1) + 1 + x1 ,



vr = (n 2)(r 1) + 1 + x1 + x2 ,





..........................................





(1)(r 1) + 1 + x + x + ... + x ,
1
2
n1
ị ĩ

ế

x

r x1
x1 < r x2
x2 < r x 3

xn1 < r xn

ột số tự tì ủ

số ớ t ỏ

m

í ệ

[x]

x

n ồ
(m 1)
ồ ứ từ p + 1 trở ớ p =
.
n
ế ốt

ị ý

x

ồ

tì ít t ột

p

m1
= m1 < m
số ồ ỏ np n
n
ứ

sử ợ tt ồ ề ứ ề t

t
sử ó 26 s m = 26 7 ế t ể ở ọ
25
ó p =
= 3 ó ó ít t ột ế t ở từ 4 s trở
7
í ụ



ị tổ ợ tổ qt

ị ĩ

ế

X

ột t ồ

ệt t ỳ ột sự s ế ủ
ột

r ị tổ qt ủ X

tổ qt ủ

X

í ụ

t

ế

n

t tết

r n t từ t X

ợ ọ

r = n ú t ọ ị

X = {A, A, B, B, B, C, C}

ó

AABCBBC

ột

ị tổ qt ủ

ni (i = 1, 2, ..., k) r n k + 2 số t n1 + n2 +
P (n, r)
... + nk = r n t t P (n; n1 , n2 , ..., nk )
n1 !n2 !...nk !
ế




ừ

ét

P (n, r) =

P (n, n)
(n r)!

t ó

P (n; n1 , n2 , ..., nk ) = P (n; n1 , n2 , ..., nk , n r)
í ụ

P (18, 3 + 4 + 6) P (18, 13)
18!
=
=

3!4!6!
3!4!6!
3!4!6!5!
P (18; 3 + 4 + 6 + 5)
=
3!4!6!5!
= P (18; 3, 4, 6, 5) ợ tứ số

P (18; 3, 4, 6) =

ị ủ ột t ở ị ý s
ố ị tổ qt ủ ột t

ị ý

ố ó ù ệ

i (i = 1, 2, ..., k)



X

ồ

P (n; n1 , n2 , ..., nk )

ni

t

ở

n = n1 + n2 + ... + nk
ứ

ủ

X

ọ

p

ệt tì

ị t ở

n1

tổ số ị tổ qt ủ

n1

ị t

ế

n

t

P (n, n) số ị ủ X ó s s số

t ệt ó ệ

ị t ở

X

1



n n1

t ố ó ệ

tử ò ớ số

1 n n1

t ò tì số

n1 ! ề ũ ú ố ớ ữ t ó ệ

i (i = 2, 3, ..., k) ó t q t t q = n1 !n2 !...nk ! tì t ó
p=
í ụ

X

P (n, n)
= P (n; n1 , n2 , ..., nk )
q

X = {C, E, E, I, M, M, O, T, T } tì số ị

tổ qt ủ



P (9, 1, 2, 1, 2, 1, 2) =
ét

9!
= 45360
1!2!1!2!1!2!

r trì ổ t ị tổ qt ọ

ị
í ụ

ỏ ó ế ết

4 q ó ỏ ố

3 q ó tr ố 5 q ó ố 18
ị trí t trớ ỗ ị trí ó ề t

1 ó


ố ế

P (18; 4, 3, 5) =
sử r

r

X

n

t ợ

18!
= 514594080
4!3!5!6!
S

tử

ột t t ỳ ủ

tử ột sự ó q t ế tứ tự ủ

rtổ

ợ tổ qt ủ

X

ế

r = n

S

X

ó

ợ ọ ột

ú t ó ệ tổ ợ tổ

qt ủ
ố

rtổ

ứ tứ
ó

ợ tổ qt ủ

2 nk

X

ó

n1

tử ở ứ tứ

tử ở ứ tứ

n1 + n2 + ... + nk = r

k

í ệ

1 n2

tử ở

C(n; n1 , n2 , ..., nk ) tr



C(n; n1 , n2 , ..., nk ) = C(n, n1 )C(n n1 , n2 )....C(n n1 n2 ... nk1 )
=

P (n, r)
n!
=
n1 !n2 !...nk !(n r)! n1 !n2 !...nk !


C(n; n1 , n2 , ..., nk ) = P (n; n1 , n2 , ..., nk ) tr ó n1 + n2 +

ị ý

... + nk = r n
í ụ

ó

17 s ố ự tệ ó 5 t ế ó ọ

số ỗ ồ ò trố tr


5 4, 4, 2, 5 1 ó ỉ ủ ỗ ồ

16 s số ở 16 s tr 17 s tr
C(17; 4, 4, 2, 5, 1) =

ệ q

ố q t ế tứ tự ủ ột t

ợ ó ự ợ

n2 pk

17!
4!4!2!5!1!1!

n t p1 t ó ự ợ n1 p2 t ó ự ợ

t ó ự ợ

nk

tr ó

ni (i = 1, 2, ..., k) ệt

k

pi ni = n ợ ở tứ



i=1
p1 số

p2 số

pk số

C(n; n1 , ...n1 , n2 , ...n2 , ..., nk , ...nk )

n!
=
p1 !p2 !...pk !
[p1 !(n1 !)p1 ][p2 !(n2 !)p2 ]...[pk !(nk !)pk ]



sử ó s t trì ế sứ ù

í ụ

t ọ ó t t ột ế

(i)

ố s ệ ổ s ề

tố ỗ ổ ờ

C(12; 4, 4, 4)

(ii) ố s t ó ỗ ó ó ờ


(ii)

C(12; 4, 4, 4)/3!

ố s ứ ử ỗ ử ột s

C(12; 4, 4, 4)
.4!
3!



ét

r tr trì ổ t ú t ò sử

ụ ế ệ ỉ ợ tổ ợ
ỉ ợ

t ợ ồ

n

tử ỗ ó ộ

r

ồ

tử ủ t ỗ tử ó tể ề ợ s
ế t ột tứ tự t ị ợ ọ ột ỉ ợ
tử tộ t ố ỉ ợ
từ t

r

tử ế t

ổ ợ

r

ủ

r

ủ

n tử số

n tử nr

t ợ ồ

t tết ỏ ủ

n

n tử ột tổ ợ r r
tử tộ ột ộ ồ

r

tử

ỗ tử ột tr ữ tử ủ ố tổ ợ

ủ

n

r

n tử C(n + r 1, r)



tứ trừ

ố ợ tử ủ ột t ợ ữ

A

ợ í ệ

n(A)



| A | ễ ứ ợ r
n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)
tr ó

A B t ợ ữ ó ể tí số tử ủ A B

ú t ộ

n(A)



n(B)

s ó trừ



n(A B)

từ tổ ó ú t


trừ ữ ì ủ t ợ ý tở ủ ý
trừ
ế
ó ế

A ột t ủ X
A B

n (A B)


A tr X

t ý ệ ù ủ

t ủ

X



A

tì t ó tứ s

= n(X) n(A B) = n(X) [n(A) + n(B) + n(A B)]

(A B) = A B

ó

n(A B ) = n(X) [n(A) + n(B)] + n(A B)
ị ĩ

ó ủ

ế

x

ột tử t ỳ ủ

X

A

ột t

X tì é ế ủ x tr A 1 ế x ở tr A

0 ế x ở tr A
ứ ột ị ý tổ qt s
ị ý

tứ ế

ột t ữ

X

A1 , A2 , ..., Am

ữ t ủ

tì

n(A1 A2 ... Am ) = n(X) S1 + S2 ... + (1)m Sm
tr ó

Sk

ý ệ ủ tổ ự ợ ủ tt ữ

ợ t r từ

k ộ



m t ợ ở tr
n(Ai Aj ), ....)

(S1 = n(A1 ) + n(A2 ) + ... + n(Am ); S2 =
i,j=1,m
i=j
ứ

ế ủ

x



x ột tử tỳ ý ủ t ợ X ỉ r r é

ó ết q ố ở ế ủ trì tr ú

t q t tớ

2 trờ ợ

(i) x tử ủ t ỳ t ợ tr số m t ợ tr
(ii) x tử ủ ú r t ợ tr số m t ợ tr r 1 ú

t ó tể tết

A1 , A2 , ..., Ar

r trờ ợ é ế ủ

x 1 ở ế ủ trì

r trờ ợ s é ế ủ

x

ở ế tr

0

ố ớ ế

ú t ó

Sk =

n(Ai1 Ai2 ... Aik )


(k = 1, 2, ..., m)


P❤Ð♣ ➤Õ♠ ❝ñ❛

x ë ✈Õ ♣❤➯✐ ❧➭✿

1 − C(r, 1) + C(r, 2) − C(r, 3) + ... + (−1)r C(r, r) = (1 − 1)r = 0
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✺✳✸

❱í✐ ❦ý ❤✐Ö✉ ❣✐è♥❣ ♥❤➢ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✼

n(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Am ) = S1 − S2 + ... + (−1)m−1 Sm
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿

❚❛ ❝ã

n(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Am ) = n(X) − n(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ Am )

s✉② r❛ ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

✶✻


❈❤➢➡♥❣ ✷
▼ét sè ❝❤✉②➟♥ ➤Ò ✈Ò tæ ❤î♣ ❞➭♥❤ ❝❤♦ ❤ä❝
s✐♥❤ ❝ã ♥➝♥❣ ❦❤✐Õ✉ t♦➳♥ ❜❐❝ tr✉♥❣ ❤ä❝ ♣❤æ
t❤➠♥❣
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② t➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ tr×♥❤ ❜➭② ✶✵ ✈✃♥ ➤Ò✿
❈❤✉②➟♥ ➤Ò

1✿ ◗✉② t➽❝ ❝é♥❣ ✈➭ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò

2✿ ❍♦➳♥ ✈Þ ✈➭ tæ ❤î♣✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò

3✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❝❤✉å♥❣ ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò

4✿ ❈➳❝ sè ❘❛♠s❡②✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò

5✿ ❈➳❝ sè ❈❛t❛❧❛♥✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò

6✿ ❈➳❝ sè ❙t✐r❧✐♥❣✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò

7✿ ❍♦➳♥ ✈Þ ✈➭ tæ ❤î♣ tæ♥❣ q✉➳t✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò

8✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❜❛♦ ❤➭♠ ✈➭ ❧♦➵✐ trõ✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò

9✿ ◆❤÷♥❣ sù ①➳♦ tré♥ ✈➭ ♥❤÷♥❣ sù s➽♣ ➤➷t tr➢í❝✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò

10✿ ➜➵✐ ❧➢î♥❣ ❜✃t ❜✐Õ♥✳

❚r♦♥❣ ♠ç✐ ❝❤✉②➟♥ ➤Ò✱ ❝➳❝ ❜➭✐ t❐♣ t❤➢ê♥❣ ➤➢î❝ ❞➱♥ ❞➽t t❤❡♦ ♥❤÷♥❣ ❝❤ñ ➤Ò
♥❤✃t ➤Þ♥❤✳ ◗✉❛ ➤ã ❤ä❝ s✐♥❤ tù t×♠ t❤✃② ❝❤♦ ♠×♥❤ ♥❤÷♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❧✐➟♥ q✉❛♥
➤Õ♥ ❝❤ñ ➤Ò ➤➢î❝ ♥➟✉✳ ➜å♥❣ t❤ê✐✱ ♠ç✐ ❜➭✐ ➤Ò✉ ❝ã ❧ê✐ ❣✐➯✐ ❝❤✐ t✐Õt✱ ♥❣➽♥ ❣ä♥✱
➤➬② s➳♥❣ t➵♦ ✈➭ ❜✃t ♥❣ê✳ ❈➳❝ ❧ê✐ ❣✐➯✐ ♥➭② Ýt ❣➷♣ tr♦♥❣ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ö✉ ✈Ò tæ ❤î♣
❝ã tr➟♥ t❤Þ tr➢ê♥❣✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ❤✐ ✈ä♥❣ ❝❤Ý♥❤ ➤✐Ò✉ ♥➭② ❦Ý❝❤ t❤Ý❝❤ sù ❤❛♠ ❤✐Ó✉
❜✐Õt✱ ❧ß♥❣ s❛② ♠➟ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤ä❝ s✐♥❤ ❝ã ♥➝♥❣ ❦❤✐Õ✉ t♦➳♥✳

✶✼




ề t ộ q t

ụ í ủ ề ù q t ế tì ể ột
số tí t ề số r ỗ ị tự ố từ ó
ù sở ể ột số t tổ ợ tr ề tế
t r ò ó ột số t ụ q t
ế ột ờ ộ ọ s ó tể tì t sự tú ị q
ết số ở

2.1.5

tr

2.1.9 2.1.10 t ì tì số tí số

tì r ố ệ ữ

2.1.7



2.1.8

t tí ủ số tố ù t tì số
ột t ợ t ứ t t ợ rỗ
ị ĩ

ột r ột ữ ý tự ọ

ọ ợ í ụ
t

ABEU EBA

ỏ ó r ó

7 ữ số 8 ữ số ết

r tr số ó ó ữ số t ệ ề



sử ột số r ó ộ

q t ế
t ế

4

n+1
2

4

tí ố ứ t ỉ

ị trí t ụ tể tr t ỉ q

ị trí ị trí t

ọ ị trí tứ
trí tứ

n

ó ó

2

2 8

0

ó

ọ ị trí tứ

(9).(9).(8).(7) = 4536

9

3 7

ọ ó

9

ọ ị

số r t

t
ị í

ứ r ột số r ó ộ tì

ết 11
ứ

(1)

t ế ỏ ữ số t ữ số ố ù ủ

ột số r tì t ợ ột số r ớ ó t ứ

(1) t q

sử

N

ột số r ó ộ

ế

k = 1 tì (1) ể ú

ế

k 2 t ó


2k


N = a2k1 .102k1 + a2k2 .102k2 + ... + ak .10k + ak .10k1 + ... + a2k2 .101
+ a2k1 .100 = a2k1 (102k1 + 100 ) + (a2k2 .102k2 + ... + a2k2 .101 ) =
a2k1 .P + Q
r ó


P = 100...001 = 11. 9090...9091
2k ữ số

2k2

Q = a2k2 .10

+ ... +

tết q
t

2k2ữ số
a2k2 .101

Q ết 11 n ết 11

r ột số r ị ữ số ứ

ữ ữ số tế t ó tể
ị ó ộ





0 1 ế tt số r

n

2[

n1

2 ]

n1
n+1
1 =
2
2
1 ữ số 0 ó tt

2.1.2 ú t ỉ q t ế

ị trí ỗ ị trí ó tể ữ số


số t t

t

r

100000 số t ó số

tr ể ễ t ủ ó ứ ú ột ữ số
ột ữ số



1

3

ột ữ số

4



5

ết

100000 số t t s

ố

0 ết 00000

ố

1 ết 00001

ố

2 ết 00002


ố

99999 ết 99999

ết tr ỗ số tì ó
ột tr

5 ị trí ữ số 3 ó tể ọ t ỳ

5 ị trí s ó ữ số 4 ó tể ọ t ỳ ột tr 4 ị

trí ò ữ số

5 ó tể ọ t ỳ ột tr 3 ị trí ò

trí t ó tể ọ t ỳ ữ số tộ t ợ

ò ị

{0, 1, 2, 6, 7, 8, 9} ó

(5).(4).(3).(7).(7) = 2940 số t t
t

ì số ớ tự sự ủ số

số



441000 ột ớ tự sự ủ ột

n t ỳ ớ ủ n 1 n

ột số t ỳ ó tể ể tị t tí ủ ỹ từ




số tố ụ tể

441000 = (23 ).(32 ).(53 ).(72 ).

t ỳ ột ớ

tự sự tự sự số ó

(2a ).(3b ).(5c ).(7d )

0 a 3; 0 b 2; 0 c 3; 0 d 2

r ể ễ

ó

4

ọ

b

ó

3

ọ

c

ó

4

ọ

d ó 3

tr ó

a

ọ

q t tổ số ớ tự sự t sẽ

(4).(3).(4).(3) 2 = 142
t

số

ế số ớ tự sự ủ ột số

N

ết

N

ó ết q

tí r từ số tố s

N = pn1 1 pn2 2 ...pnk k
tr ó



p1 , p2 , ..., pk



ớ số tố

2.1.6 số ớ tự sự ủ N



(n1 + 1)(n2 + 1)...(nk + 1) 2
t

ột t ợ ồ

ni

t ồ t ó ệ i tr ó

i = 1, 2, ..., k ó r ít t ột t từ t ợ tr


sử ữ t ó ệ

tố ủ số
ớ ủ

N

tr

i ữ t pi pi tử

2.1.7 t t tự ế số

N ồ số 1 2.1.7 ết q tì
(n1 + 1)(n2 + 1)...(nk + 1) 1

t



ì số tí

441000 t tử m n s

m > 1, n > 1 m, n ỉ ó ớ 1

ó

m n

số tố ù



ét t ợ

số tố ủ

X = {23 ; 32 ; 53 ; 72 }

441000

q ế sự tí r từ

õ r r ỗ tử ủ

tr sự tí r từ số tố ủ
t ệ ồ tờ ở
t

X

X

t ệ

m ủ n ợ

2 số ữ sự tí ủ m n ợ

ứ số tí

441000 t m, n


ớ số




X

n.m

sự tí ố ết q t

t

2

t rỗ q t ế tứ tự ì

X

m.n

tí

tứ tự t

X = {23 } + {32 , 53 , 72 } = {32 } + {23 , 53 , 72 }
= {72 } + {23 , 32 , 53 }
= {23 , 32 } + {53 , 72 } = {23 , 53 } + {32 , 72 }
= {23 , 72 } + {32 , 53 }
ó ết q ủ t
t

ổ qt

số tố

(k 2)

4 + 3 = 7 = 241 1
2.1.9 t ó ế N = pn1 1 pn2 2 ...pnk k p1 , p2 , ..., pk

ì số tí

N = m.n

s

m, n

số tố ù

2k1 1


(m > 1, n > 1)

ứ q t




k

k = 2 ết q ễ t
k 3

ú t ỉ r r ột t ợ

k

tử ệt

Z = {a1 , a2 , ..., ak1 , ak } ó 2k1 1 t
rỗ tí tứ tự tết ết q ú ớ ữ t ợ ó
tử ệt ột sự ủ

(k 1)

Z

Z = {ak } {a1 , a2 , ..., ak1 }
{ak } W
ờ tết q

W

ó

2k2 1 t

ứ ớ ỗ ó t t
ủ


Z

ak

ột tr tì ợ

í t ở tr t ó ết q số

Z t t
1 + (2k2 1).2 = 2k1 1().

ị ĩ

1

X

r ột ỗ ị tử

ột t ợ tt ỗ ị ó ộ



0
n

ột


í ủ

n ế ột từ X

t



ự ợ ủ

f

Y = {0, 1}

ì số í ệt ủ

X



n ế

r = 2n ó số í t 2r

ột í ợ ọ tự ố ế trị ủ

ị ĩ



tớ t ợ

t ổ ế ỗ tử tộ ề ị ủ

ổ ữ số
í ụ



f

t

0 ổ t số 1 ợ

n = 6, f (101101) = f (010010)



f

ột í

tự ố
t



ó

4

ệt tt í tự ố ế

í ố từ t ợ

X = {00; 01; 10; 11}

tớ t ợ

Y = {0; 1}
a)f1 (00) = f1 (11) = f1 (01) = f1 (10) = 0
b)f2 (00) = f2 (11) = f2 (01) = f2 (10) = 1

c)f3 (00) = f3 (11) = f3 (01) = f3 (10) = 1
d)f4 (00) = f4 (11) = f4 (01) = f4 (10) = 0
n ế
r
2.1.12 X ó tể t
= 2n1 (, ) tr ó
2
ỗ ó ợ từ t 0 t 1 ợ ố ớ ỗ
r
tì trị ủ í tự ố ó tể 0 1 ó ó 2 2
t

ì số ợ í tự ố ủ

í ủ tổ số í
t

ế

ột ớ ồ út ợ số từ

0

n t ề từ tr s từ 0 ế m t ề từ ớ tr

ỏ ó ờ từ út ế út ế ỉ
é tr t ề s tr


ột ờ tế ợ ồ

n + m ỗ ột

ỗ ỉ ợ ọ ột tr trị t
s t ố ú
s ú

m số

n t ế ệ tì ó ị



ộ

n + m tr ó ó ú m t ũ í

số t
ế

m

tử ủ ột t

n

tử ì tế số ờ

C(n + m, m)

t

ó

n+m

tử



m n số ớ ột t ợ

A1 , A2 , ..., Am

ữ t ủ tết r t ỳ

Ai

tử tr ờ ũ ó ột t ợ

Ai

ở tr

r



ở tr

Ai

ở tr

Ai

ứ

n 2m

ú t ết ỗ tử

ữ số
ế

Ai

s ở tr

a(x) = (x1 , x2 , ..., xm )

x tr ớ ột ị ó m

tỏ

xi = 1

ế

x

ở tr

Ai



xi = 0

x ở tr Ai ự ột số
f : S T = {(x1 , x2 , ..., xm ) | xi {0, 1}}


ừ tết ế

x



y

tì

f (x)



f (y)

ột

ì số tử ủ t ợ ề số tử ủ
t ễ t số tử ủ

(x1 , x2 , ..., xm )
ó

2m

ở ì ỗ t

ỉ ó tể ột tr trị

0



1

xi

ủ

ó t

n 2m



ề ị tổ ợ

ột từ t ữ t ữ ú t ề ết
r ế tì

n(A) n(B) ế t tì n(A) n(B)

ò ế s tì

n(A) = n(B) í sở ủ

tết s ể ột số t tổ ợ ột số s
ũ ủ ề t t r tr ề ế ế
ột số t ề ị ò q ọ s ó tể t tí tú ớ
sự t ệ ợ ý ủ ữ ế ế tr ữ ủ ề tứ




ề ế ó ứ ý tổ ợ ó
tể ụ ứ ột số tứ tổ ợ
ù ề ế tứ tí t ó tứ ề
tổ ợ trở ễ ớ ố ớ
ị ĩ

ột

ột ế ứ tử
ệt tộ
t

ó

x



f

từ t ợ

A tớ t ợ B

y

ệt ủ

A

ợ ọ ột

f (x), f (y)

tì ó

B

ì số ột ột từ

A tớ B ết A ó m tử B

n tử (n m).



ó

P (n, m) sự ự ọ ề trị ủ số ó ó P (n, m)

ột ột ệt t t
t

ờ ứ ợ t

n

ò

ệ s ó ò ợ ề ột ứ ì số
t ệ ết

a)n = 14
b)n = 6
a) P (14, 10)

b)

t

2.2.1

ó số ứ ề số ò ó ú t từ t

ợ ò tớ t ợ ứ ết q tì
ị ĩ

P (10, 6)

ột ị ò q ột sự s ế tử

ệt q ột ò trò ỉ ột ờ é
í
t



ì số ị ò q ủ

số ị trí

tờ ệ t sẽ ó

n

n tử ệt

tử ệt ợt

1, 2, ..., n

n! s ế ó ết q

ú tr trờ ợ ì tự tế ị tế tí ợ
ột ị ò q í ụ ị

ABCD

ị ò q ết q ủ t tr
tt ột tử

A1

t ỳ tr số





BCDA ợ ột

(n 1)! Pé ứ

n tử ở tr ợ t


n1

ột ị trí ó tr ò trò ò

tử ợ s ế

n 1 ị trí ò tr ò trò ó ó tt (n 1)! s ế t
t
ị ĩ

ị tế tí ủ

ớ ế tử tứ t ở
tử tứ ở
t ở

p

q

tử tứ

n1

ở

p

n

p



q

ợ ọ

tử ố ù ở

q

ột ị ò q ủ

tử

n

tử ố ù ở

p

tử

n1



2 ị tì ợ ệt
ì số ị ủ

t

tử ợ ọ ột

ị ế ợ ị ở ột ị tế tí ủ
tử

q

ỗ ị ò q ị

ị

t

n tử ệt

2 ị ó số

(n 1)!
2

ó s ế ỗ ồ

n ọ s ữ n

ọ s q ột trò ết r ữ ọ s ữ ột ọ
s

ó

(n 1)! s ế ỗ ồ n ọ s ữ ờ ứ ữ

ọ s ữ t ột ế ể ột ọ s ồ ó

n! s ế ỗ ồ n ọ s ết q n!(n 1)! s
ế t
t



2

ó

n

ờ t ự ột ộ ọ tr ó ó

1

ố

ó ố ỏ ó s ế ỗ ồ

ó q ột trò s ố

n

ờ

2 ó ố ồ

ố ồ ở ữ ó ố ồ ở



ố ồ ột ế ế ở

ó ố ó ó s ế ỗ ồ ó ố
ò

n 3 ờ ồ n 3 ế ó ó (n 3)! s ế

ờ ò ết q ó
t

2.(n 3)! s ế t

ỏ ó s ế ỗ ồ



r

ờ tr


số

n ờ q ột trò số ò ồ q ột trò


ó

t ọ r

r ờ ế tứ t ó C(n, r) ọ

(r 1)! s ế ỗ ồ ở tứ t ó (n r 1)! s

ế ỗ ồ ở tứ ết q tì

C(n, r)(r 1)!(n r 1)!
ó s ế ỗ ồ

t

n

ọ s

(m < n)

m ọ s ữ

q ột ế trò s ó

ọ s ữ ồ

t

n

ế ế q s ó s ế ỗ ồ

ọ s ó

n

(n 1)! s ế n ọ s ế ó ứ ữ

ọ s t t ột ế ế ó
ế ỗ ồ

m

ọ s ữ

n

n

ế ế ớ t

ế ế ó ó

P (n, m)

s ế t ọ s ữ ồ ết tì ữ ế
từ ỏ r ó tt

(n 1)!P (n, m)

s ế t


t

ột é ứ ý tổ ợ ột é

ứ sử ụ ữ ý tổ ợ t tế ữ é tí t
ù é ứ ý tổ ợ ứ tứ

C(m + n, 2) C(m, 2) C(n, 2) = m.n


ét ột ó ồ

t ó

m.n

m ọ s n ọ s ữ q

ọ r ột ọ s ột ọ s ữ

ũ ế ết q t tự ó
ọ s t ỳ s ó trừ

C(m + n, 2)



C(m, 2) C(n, 2) số ọ r ọ

s ù ù ữ
t ứ ột số tứ q tộ ề tổ ợ
t

tứ Ps



ử ụ é ứ ý tổ ợ ứ

C(n, r) = C(n 1, r) + C(n 1, r 1)

ét ột t

X

ồ

n tử ệt Y

ột t