Một số chuyên đề về tổ hợp dành cho học sinh có năng khiếu toán bậc trung học phổ thông

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ĐạI HọC THáI NGUYÊN
Tr-ờng Đại học KHOA học




nguyễn THị NGọC áNH



Một số chuyên đề về tổ hợp dành
cho học sinh có năng khiếu toán
bậc trung học phổ thông







luận văn thạc sỹ TOáN học








THáI NGUYÊN - 2009

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ĐạI HọC THáI NGUYÊN
Tr-ờng Đại học KHOA học
-----------***-----------



nguyễn THị NGọC áNH


Một số chuyên đề về tổ hợp dành
cho học sinh có năng khiếu toán
bậc trung học phổ thông

Chuyên ngành: Ph-ơng pháp toán sơ cấp
Mã số : 60 . 46. 40






luận văn thạc sỹ TOáN học




Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Đức Hoàng

THáI NGUYÊN - 2009


▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥
▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ✈➭ ♥❣❤✐➟♠ ❦❤➽❝
❝ñ❛ ❚❙ ✳ ◆❣✉②Ô♥ ➜ø❝ ❍♦➭♥❣✳ ❚➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❦Ý♥❤ trä♥❣ ✈➭ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉
s➽❝ tí✐ ❚❤➬② ✈➭ ❣✐❛ ➤×♥❤✳
❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥ ❣✐➳♠ ❤✐Ö✉ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝✱ P❤ß♥❣
➤➭♦ t➵♦ ✈➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ➤➲ q✉❛♥ t➞♠ ❣✐ó♣ ➤ì✱ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥
❧î✐ ❝❤♦ t➠✐ ➤➢î❝ ❤ä❝ t❐♣ tèt✳
❚➠✐ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❙ë ●✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➜➭♦ t➵♦ ❚Ø♥❤ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱
❚r➢ê♥❣ ❚r✉♥❣ ❤ä❝ ♣❤æ t❤➠♥❣ ❈❤✉②➟♥ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ➤➷❝ ❜✐Öt ❧➭ tæ ❚♦➳♥ ➤➲
❣✐ó♣ ➤ì t➠✐ ✈Ò t✐♥❤ t❤➬♥ ✈➭ ✈❐t ❝❤✃t tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣✳
✶
▼ô❝ ❧ô❝
▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ✶
▼ë ➤➬✉ ✸
❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ✻
✶✳✶✳ ◗✉② t➽❝ ❝é♥❣ ✈➭ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
✶✳✷✳ ❍♦➳♥ ✈Þ ✈➭ tæ ❤î♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼
✶✳✸✳ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❝❤✉å♥❣ ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉ ✭◆❣✉②➟♥ ❧ý ❉✐r✐❝❤❧❡t✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾
✶✳✹✳ ❍♦➳♥ ✈Þ ✈➭ tæ ❤î♣ tæ♥❣ q✉➳t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶
✶✳✺✳ ❈➠♥❣ t❤ø❝ ❜❛♦ ❤➭♠ ✈➭ ❧♦➵✐ trõ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹
❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ▼ét sè ❝❤✉②➟♥ ➤Ò ✈Ò tæ ❤î♣ ❞➭♥❤ ❝❤♦ ❤ä❝ s✐♥❤ ❝ã ♥➝♥❣
❦❤✐Õ✉ t♦➳♥ ❜❐❝ tr✉♥❣ ❤ä❝ ♣❤æ t❤➠♥❣ ✶✼
✷✳✶✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✶✿ ◗✉② t➽❝ ❝é♥❣ ✈➭ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽

✷✳✷✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✷✿ ❍♦➳♥ ✈Þ ✈➭ tæ ❤î♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸
✷✳✸✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✸✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❝❤✉å♥❣ ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾
✷✳✹✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✹✿ ❈➳❝ sè ❘❛♠s❡② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷
✷✳✺✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✺✿ ❈➳❝ sè ❈❛t❛❧❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽
✷✳✻✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✻✿ ❈➳❝ sè ❙t✐r❧✐♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶
✷✳✼✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✼✿ ❍♦➳♥ ✈Þ ✈➭ tæ ❤î♣ tæ♥❣ q✉➳t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼
✷✳✽✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✽✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❜❛♦ ❤➭♠ ✈➭ ❧♦➵✐ trõ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✵
✷✳✾✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✾✿ ◆❤÷♥❣ sù ①➳♦ tré♥ ✈➭ ♥❤÷♥❣ sù s➽♣ ➤➷t tr➢í❝ ✳ ✳ ✺✹
✷✳✶✵✳ ❈❤✉②➟♥ ➤Ò ✶✵✿ ➜➵✐ ❧➢î♥❣ ❜✃t ❜✐Õ♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✼
❈❤➢➡♥❣ ✸✳ ▼ét sè ❜➭✐ t❐♣ ➤Ò ♥❣❤Þ ✻✵
✷
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✻✼
✸
ở
ó tể ó t ề tổ ợ r ờ từ rt sớ tờ ờ t
ết ế ì ẽ ó q ế ữ ì t í ờ ổ
trết ọ rt số ở tế ỷ tứ trớ
ết tí số từ từ ột ữ trớ t
ọ Pt ọ trò ủ tì r ề số ó tí t
ệt ệ tì r ợ số ò ỏ ó ột ệ tt tổ ợ
t ị ó tể ó r ý tết tổ ợ ợ ì t
ột t ọ ớ q tế ỷ ột t trì
ứ tú ủ t ọ t s Ps rt
t r ù tr sốt tế ỷ rỡ tổ ợ ó
trò ề tr ệ ứ tự ế ớ sự ỗ trợ ự ủ
tí tổ ợ ể s ĩ ự t ứ ụ ớ sự t trể
ẽ ó ề ết q ó í ờ
tứ ợ trò ủ ý tết tổ ợ ố ớ ờ số ệ ý
tết tổ ợ ợ trì ọ ổ t ế ột
tr ỳ t t qố qố tế ở ớ t t ệ

ết ề tổ ợ ề ó sẽ t ột t
ệ ề tổ ợ ọ s ổ t ệt ữ ọ
s ó ế t ú t ọ sẽ ứ
ợ ò tí t ọ ủ ồ tờ
ũ ột t ệ ể ồ ệ t
ồ ột ú t trì ột số ế

tứ ủ tổ ợ t ột s ớ s ổ t
sự ớ ọ s trọ t ủ r
ọ s ợ tì ể ờ ề
ề 1 t ộ q t
ề 2 ị tổ ợ
ề 3 ý ồ ồ
ề 4 số s
ề 5 số t
ề 6 số tr
ề 7 ị tổ ợ tổ qt
ề 8 ý trừ
ề 9 ữ sự trộ ữ sự s t trớ
ề 10 ợ t ế
r ỗ ề t tờ ợ t t ữ ủ ề
t ị ó ọ s tự tì t ì ữ ế tứ q
ế ủ ề ợ ồ tờ ỗ ề ó ờ tết ọ
s t t ờ ờ ít tr t ệ ề tổ ợ ó
tr tị trờ ọ í ề í tí sự ể ết
ò s ủ ọ s ó ế t ó ộ
ữ t ề ị ợ ọ ự ĩ ỡ ú ụ
ữ ế tứ t ợ từ trớ ể ỹ t
tổ ợ ủ ì
ột tờ ứ ợ t sẽ

tr ỏ ề s sót í sự ó ý ủ qý t
ồ ệ ọ s ú t t

❈❤➢➡♥❣ ✶
❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥
✶✳✶✳ ◗✉② t➽❝ ❝é♥❣ ✈➭ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥
◗✉② t➽❝ ❝é♥❣✿ ◆Õ✉ E
i
(i = 1, ..., k) ❧➭ k sù ❦✐Ö♥ t❤♦➯ ♠➲♥✿
(i) ❑❤➠♥❣ ❝ã ❤❛✐ sù ❦✐Ö♥ ♥➭♦ tr♦♥❣ sè ❝❤ó♥❣ ①➯② r❛ ➤å♥❣ t❤ê✐
(ii) E
i
❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦ n
i
❝➳❝❤
t❤× ♠ét tr♦♥❣ k sù ❦✐Ö♥ ❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦ (n
1
+ n
2
+ ... + n
k
) ❝➳❝❤✳
❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✶ ▼ét ❧í♣ ❤ä❝ ❝ã 18 ❤ä❝ s✐♥❤ ♥❛♠ ✈➭ 12 ❤ä❝ s✐♥❤ ♥÷ t❤× ❝ã
18 + 12 = 30 ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ♠ét ❤ä❝ s✐♥❤ ✭❦❤➠♥❣ ❦Ó ♥❛♠✱ ♥÷✮ ❧➭♠ ♥❣➢ê✐ ➤➵✐
❞✐Ö♥ ❝❤♦ ❧í♣✳
❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✷ ●✐➯ t❤✐Õt E ❧➭ sù ❦✐Ö♥ ❝❤ä♥ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ tè ♥❤á ❤➡♥ 10 ✈➭ F
❧➭ sù ❦✐Ö♥ ❝❤ä♥ ❝➳❝ sè tù ♥❤✐➟♥ ❝❤➼♥ ♥❤á ❤➡♥ 10✳
❚❤×✿ E ❝ã 4 ❝➳❝❤ ①➯② r❛✱ F ❝ã 4 ❝➳❝❤ ①➯② r❛✳ ◆❤➢♥❣ ✈× 2 ❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥
tè ❝❤➼♥ ♥➟♥ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ sù ❦✐Ö♥ E ❤♦➷❝ F ❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦ 4 + 4− 1 = 7
❝➳❝❤✳

◗✉② t➽❝ ♥❤➞♥✿ ◆Õ✉ E
i
(i = 1, ..., k) ❧➭ k sù ❦✐Ö♥ ✈➭ E
1
❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦
n
1
❝➳❝❤❀ E
2
❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦ n
2
❝➳❝❤ ✭❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝ ➤Õ♥ ✈✐Ö❝ E
1
①➯②
r❛ ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦✮❀ E
3
❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦ n
3
❝➳❝❤ ✭❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝ ➤Õ♥ ✈✐Ö❝
E
1
✈➭ E
2
①➯② r❛ ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦✮✱✳✳✳✱E
k
❝ã t❤Ó ①➯② r❛ t❤❡♦ n
k
❝➳❝❤ ✭❦❤➠♥❣ ♣❤ô
t❤✉é❝ ➤Õ♥ ✭k− 1✮ sù ❦✐Ö♥ tr➢í❝ ①➯② r❛ ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦✮✱ t❤× k sù ❦✐Ö♥ ❝ã t❤Ó ①➯②
r❛ ➤å♥❣ t❤ê✐ t❤❡♦ n

1
.n
2
.n
3
...n
k
❝➳❝❤✳
❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✸ ▼ét ❣✐➳ s➳❝❤ ❝ã 6 q✉②Ó♥ s➳❝❤ t✐Õ♥❣ ❆♥❤ ➤➠✐ ♠ét ❦❤➳❝ ♥❤❛✉❀ 8
q✉②Ó♥ s➳❝❤ t✐Õ♥❣ P❤➳♣ ➤➠✐ ♠ét ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ✈➭ 10 q✉②Ó♥ s➳❝❤ t✐Õ♥❣ ➜ø❝ ➤➠✐
♠ét ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳
(i) ❈ã 6.8.10 = 480 ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ❧✃② 3 q✉②Ó♥ s➳❝❤ tr♦♥❣ ➤ã ♠ç✐ q✉②Ó♥ ♠ét
✻
tứ tế
(ii) ó 6 + 8 + 10 = 24 ọ 1 qể s t ỳ tr số
qể s ó tr
í ụ ế ột t tr ệ ó 8 ỏ ỗ ỏ ó 3
tr ờ ột ú s số
ọ tr ờ ủ tt 8 ỏ tr 3
8
= 6561
ị tổ ợ
X ột t ợ ồ n tử r ột số
ỏ n
ị ĩ ột r ị ủ X ột ộ s tứ tự ồ r tử
từ n tử ủ X
ột n ị ủ X ợ ọ ột ị ủ X
ố r ị ủ ột t ợ n tử ợ ý ệ P (n, r)
í ụ {2, 3, 4} {2, 4, 3} 3 ị ủ X =
{1, 2, 3, 4, 5}

ị ĩ ột rtổ ợ ủ X ột t ồ r tử ủ X
ố rtổ ợ ủ ột t ợ n tử ợ ý ệ C(n, r)
ị ý (i) P (n, r) =
n!
(n r)!
(ii) C(n, r) =
P (n, r)
r!
=
n!
r!(n r)!
= C(n, n r)
ở ú t r từ
m! (1).(2)...(m) 0! 1
ứ (i) ó n ọ ột tử t ỳ ủ X ị trí
t tr r ị trí ó (n 1) ọ ột tử từ ó (n 1)
tử ò ể ế ị trí tứ tr số r ị trí ú ý r số ọ
tử ế ị trí tứ ụ tộ ọ tử ế ở
ị trí tứ t tế

ó t q t ị trí t ó tể ở n(n 1)
tt r ị trí ó tể ở
P (n, r) = n(n 1)...(n r + 1) =
n!
(n r)!

(ii) ể C(n, r) ú ý r ột r ị ủ t ợ n tử X
ị ủ ột rt ó ủ X
ữ ữ rt ệt s r rtổ ợ ệt ó
q t ộ t ó

P (n, r) = P (r, r) + P (r, r) + ... + P (r, r)
ố số ở ế số rt ủ X tứ C(n, r) ó t
ó
P (n, r) = C(n, r)P (r, r) = C(n, r)r!
ỗ rt ủ X ó ột t ù t (n r)t ừ ó
t ó ột q ệ q trọ
C(n, r) = C(n, n r)
ệt số ị ủ n tử
P (n, n) = n!
ét r trì ổ t ột r ị ủ ột t
ợ ó n tử ợ ọ ột ỉ ợ r ủ n tử ột r tổ
ợ ủ ột t ợ ó n tử ợ ọ ột tổ ợ r ủ n
tử ó
í ụ ột ộ ồ 12 ọ s ố 12 10 ọ s ố 11
9 ọ s ố 10 r ột ệ ồ 4 ọ s ố 12
4 ọ s ố 11 3 ọ s ố 10 t ó C(12, 4) =
12!
4!8!
= 495

ọ 4 ọ s ố 12 C(10, 4) = 210 ọ 4 ọ s ố 11
C(9, 3) = 84 ọ 3 ọ s ố 10 q t số ể
ọ r ệ tr 495.210.84 = 8731800
ý ồ ồ ý rt
ột số ết q s s ủ ý tết tổ ợ t t từ ột ệ ề

ế n ồ ồ trú ủ ít t (n + 1) ồ
tì ó ít t ột ồ ứ từ ồ trở
í ụ tết r ó ề ế tt ỏ ề ế tt tr
ề ế tt ở tr ộ ỏ từ ộ ó r ít t

ế tt ì tr ể ợ 2 ế ù


ỗ ột ợ ột ồ ồ n = 3 ó ế
n + 1 = 4 ế tt tì ít t ó ế tt ù ột tổ qt
ủ ý ồ ồ s
ế n ồ ồ trú ủ kn + 1 ồ ớ
k ột số tì ít t ó ột ồ ứ từ k + 1
ồ trở
í ụ tự í ụ 1.3.1 ế 6 ế tt ù tì t
ó n = 3 ể r ột ề tr số ồ
ó ứ k + 1 = 6 ề ồ tì ú t
kn + 1 = 16 ó số 16 ế tt
í ụ ột tủ ứ 20 ế s tr ó ó 4 ế ỏ 7
ế tr 9 ế ỏ r ít t ế
ợ ì tủ ể ợ r = 4, 5, 6, 7, 8, 9 ế

ù

) rờ ợ 1 r = 4 = k + 1 r k = 3 ó 3 n = 3 ó
r ít t kn + 1 = 3.3 + 1 = 10 ế s
) rờ ợ 2 r = 5 = k + 1 r k = 4 P tí t
ú t tở tợ r ữ ế ợ r từ tủ ột t tự
ì ố í sự ể t 4 ế t t ù
ỏ ó ế ò r ó tr
ể r = 5 ế r ó ù tì n = 2 ố ợ ít
t ó tr r kn + 1 = 4.2 + 1 = 9 t
ý ồ ồ r ít t 4 + 9 = 13 ế
) rờ ợ 3 r = 6 = k + 1 r k = 5 tự trờ ợ
2 ết q 4 + kn + 1 = 4 + 5.2 + 1 = 15 ế r

) rờ ợ 4 r = 7 = k + 1 r k = 6 tự ết q
4 + kn + 1 = 4 + 6.2 + 1 = 17 ế r
) rờ ợ 5 r = 8 = k + 1 r k = 7 ờ ế r ữ
ế ỏ tr tì ề trị ó số ế
r 4 + 7 + kn + 1 = 4 + 7 + 7.1 + 1 = 19 ế
) rờ ợ 6 r = 9 = k + 1 tự trờ ợ 5 t ó ết
q 4 + 7 + kn + 1 = 4 + 7 + 8.1. + 1 = 20 ế r
S ột t ợ t t ở x
1
ố tợ ó ệ 1 x
2
x
1
ố tợ ó ệ 2 x
3
x
2
ố tợ ó ệ 3 x
n
x
n1
ố
tợ ó ệ n í ệ v
r
số ỏ t t tt
t ồ v
r
tử ủ ỗ t ứ ít t r ố tợ ó

ù ột ệ ó

v
r
=























n(r 1) + 1, r x
1
(n 1)(r 1) + 1 + x
1

, x
1
< r x
2
(n 2)(r 1) + 1 + x
1
+ x
2
, x
2
< r x
3
..........................................
(1)(r 1) + 1 + x
1
+ x
2
+ ... + x
n1
, x
n1
< r x
n
ị ĩ ế x ột số tự tì ủ x í ệ [x]
số ớ t ỏ x
ị ý ế ốt m ồ n ồ tì ít t ột
ồ ứ từ p + 1 trở ớ p =

(m 1)
n

.
ứ sử ợ tt ồ ề ứ ề t p
số ồ ỏ np n

m 1
n

= m1 < m
t
í ụ sử ó 26 s m = 26 7 ế t ể ở ọ
ó p =

25
7

= 3 ó ó ít t ột ế t ở từ 4 s trở
ị tổ ợ tổ qt
ị ĩ ế X ột t ồ n t tết
ệt t ỳ ột sự s ế ủ r n t từ t X ợ ọ
ột r ị tổ qt ủ X ế r = n ú t ọ ị
tổ qt ủ X
í ụ t X = {A, A, B, B, B, C, C} ó AABCBBC ột
ị tổ qt ủ
ế n
i
(i = 1, 2, ..., k) r n k + 2 số t n
1
+ n
2

+
... + n
k
= r n t t P (n; n
1
, n
2
, ..., n
k
)
P (n, r)
n
1
!n
2
!...n
k
!

ét ừ P (n, r) =
P (n, n)
(n r)!
t ó
P (n; n
1
, n
2
, ..., n
k
) = P (n; n

1
, n
2
, ..., n
k
, n r)
í ụ P (18; 3, 4, 6) =
P (18, 3 + 4 + 6)
3!4!6!
=
P (18, 13)
3!4!6!
=
18!
3!4!6!5!
=
P (18; 3 + 4 + 6 + 5)
3!4!6!5!
= P (18; 3, 4, 6, 5) ợ tứ số
ị ủ ột t ở ị ý s
ị ý ố ị tổ qt ủ ột t X ồ n
i
t
ố ó ù ệ i (i = 1, 2, ..., k) P (n; n
1
, n
2
, ..., n
k
) ở

n = n
1
+ n
2
+ ... + n
k

ứ ọ p tổ số ị tổ qt ủ X ế n t
ủ X ệt tì P (n, n) số ị ủ X ó s s số
ị t ở n
1
t ệt ó ệ 1 n n
1
tử ò ớ số
ị t ở n
1
t ố ó ệ 1 n n
1
t ò tì số
ị t n
1
! ề ũ ú ố ớ ữ t ó ệ
i (i = 2, 3, ..., k) ó t q t t q = n
1
!n
2
!...n
k
! tì t ó
p =

P (n, n)
q
= P (n; n
1
, n
2
, ..., n
k
)
í ụ X = {C, E, E, I, M, M, O, T, T} tì số ị tổ qt ủ
X
P (9, 1, 2, 1, 2, 1, 2) =
9!
1!2!1!2!1!2!
= 45360
ét r trì ổ t ị tổ qt ọ
ị
í ụ ỏ ó ế ết 4 q ó ỏ ố
3 q ó tr ố 5 q ó ố 18
ị trí t trớ ỗ ị trí ó ề t 1 ó


ố ế
P (18; 4, 3, 5) =
18!
4!3!5!6!
= 514594080
sử r X t ợ n tử S ột t t ỳ ủ X ó
r tử ột sự ó q t ế tứ tự ủ S ợ ọ ột
rtổ ợ tổ qt ủ X ế r = n ú t ó ệ tổ ợ tổ

qt ủ
ố rtổ ợ tổ qt ủ X ó n
1
tử ở ứ tứ 1 n
2
tử ở
ứ tứ 2 n
k
tử ở ứ tứ k í ệ C(n; n
1
, n
2
, ..., n
k
) tr
ó n
1
+ n
2
+ ... + n
k
= r
C(n; n
1
, n
2
, ..., n
k
) = C(n, n
1

)C(n n
1
, n
2
)....C(n n
1
n
2
... n
k1
)
=
n!
n
1
!n
2
!...n
k
!(n r)!
=
P (n, r)
n
1
!n
2
!...n
k
!

ị ý C(n; n
1
, n
2
, ..., n
k
) = P (n; n
1
, n
2
, ..., n
k
) tr ó n
1
+ n
2
+
... + n
k
= r n
í ụ ó 17 s ố ự tệ ó 5 t ế ó ọ
số ỗ ồ ò trố tr 5 4, 4, 2, 5 1 ó ỉ ủ ỗ ồ
16 s số ở 16 s tr 17 s tr
C(17; 4, 4, 2, 5, 1) =
17!
4!4!2!5!1!1!
ệ q ố q t ế tứ tự ủ ột t
ợ ó ự ợ n t p
1
t ó ự ợ n

1
p
2
t ó ự ợ
n
2
p
k
t ó ự ợ n
k
tr ó n
i
(i = 1, 2, ..., k) ệt

k

i=1
p
i
n
i
= n ợ ở tứ
C(n;
p
1
số

n
1
, ...n

1
,
p
2
số

n
2
, ...n
2
, ...,
p
k
số

n
k
, ...n
k
)
p
1
!p
2
!...p
k
!
=
n!
[p

1
!(n
1
!)
p
1
][p
2
!(n
2
!)
p
2
]...[p
k
!(n
k
!)
p
k
]

í ụ sử ó s t trì ế sứ ù
t ọ ó t t ột ế
(i) ố s ệ ổ s ề
tố ỗ ổ ờ C(12; 4, 4, 4)
(ii) ố s t ó ỗ ó ó ờ
C(12; 4, 4, 4)/3!
(ii) ố s ứ ử ỗ ử ột s

C(12; 4, 4, 4)
3!
.4!
ét r tr trì ổ t ú t ò sử
ụ ế ệ ỉ ợ tổ ợ
ỉ ợ t ợ ồ n tử ỗ ó ộ r ồ
tử ủ t ỗ tử ó tể ề ợ s
ế t ột tứ tự t ị ợ ọ ột ỉ ợ r ủ n
tử tộ t ố ỉ ợ r ủ n tử số
từ t r tử ế t n tử n
r

ổ ợ t ợ ồ n tử ột tổ ợ r r
t tết ỏ ủ n tử tộ ột ộ ồ r tử
ỗ tử ột tr ữ tử ủ ố tổ ợ r
ủ n tử C(n + r 1, r)
tứ trừ
ố ợ tử ủ ột t ợ ữ A ợ í ệ n(A)
| A | ễ ứ ợ r
n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)
tr ó A B t ợ ữ ó ể tí số tử ủ AB
ú t ộ n(A) n(B) s ó trừ n(A B) từ tổ ó ú t

trừ ữ ì ủ t ợ ý tở ủ ý
trừ
ế A ột t ủ X t ý ệ ù ủ A tr X A


ó ế A B t ủ X tì t ó tứ s
n

(A B)


= n(X) n(A B) = n(X) [n(A) + n(B) + n(A B)]
(A B)

= A

B

ó
n(A

B

) = n(X) [n(A) + n(B)] + n(A B)
ị ĩ ế x ột tử t ỳ ủ X A ột t
ó ủ X tì é ế ủ x tr A 1 ế x ở tr A
0 ế x ở tr A
ứ ột ị ý tổ qt s
ị ý tứ ế A
1
, A
2
, ..., A
m
ữ t ủ
ột t ữ X tì
n(A

1
A

2
... A

m
) = n(X) S
1
+ S
2
... + (1)
m
S
m
tr ó S
k
ý ệ ủ tổ ự ợ ủ tt ữ kộ
ợ t r từ m t ợ ở tr
(S
1
= n(A
1
) + n(A
2
) + ... + n(A
m
); S
2

=

i,j=1,m
i=j
n(A
i
A
j
), ....)
ứ x ột tử tỳ ý ủ t ợ X ỉ r r é
ế ủ x ó ết q ố ở ế ủ trì tr ú
t q t tớ 2 trờ ợ
(i) x tử ủ t ỳ t ợ tr số m t ợ tr
(ii) x tử ủ ú r t ợ tr số m t ợ tr r 1 ú
t ó tể tết A
1
, A
2
, ..., A
r

r trờ ợ é ế ủ x 1 ở ế ủ trì
r trờ ợ s é ế ủ x ở ế tr 0 ố ớ ế
ú t ó
S
k
=

n(A
i

1
A
i
2
... A
i
k
) (k = 1, 2, ..., m)

P❤Ð♣ ➤Õ♠ ❝ñ❛ x ë ✈Õ ♣❤➯✐ ❧➭✿
1 − C(r, 1) + C(r, 2) − C(r, 3) + ... + (−1)
r
C(r, r) = (1 − 1)
r
= 0
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✺✳✸ ❱í✐ ❦ý ❤✐Ö✉ ❣✐è♥❣ ♥❤➢ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✼
n(A
1
∪ A
2
∪ ... ∪ A
m
) = S
1
− S
2
+ ... + (−1)
m−1
S
m

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❚❛ ❝ã n(A
1
∪ A
2
∪ ...∪ A
m
) = n(X)−n(A

1
∩ A

2
∩ ...∩ A

m
)
s✉② r❛ ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
✶✻
❈❤➢➡♥❣ ✷
▼ét sè ❝❤✉②➟♥ ➤Ò ✈Ò tæ ❤î♣ ❞➭♥❤ ❝❤♦ ❤ä❝
s✐♥❤ ❝ã ♥➝♥❣ ❦❤✐Õ✉ t♦➳♥ ❜❐❝ tr✉♥❣ ❤ä❝ ♣❤æ
t❤➠♥❣
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② t➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ tr×♥❤ ❜➭② ✶✵ ✈✃♥ ➤Ò✿
❈❤✉②➟♥ ➤Ò 1✿ ◗✉② t➽❝ ❝é♥❣ ✈➭ q✉② t➽❝ ♥❤➞♥✳
❈❤✉②➟♥ ➤Ò 2✿ ❍♦➳♥ ✈Þ ✈➭ tæ ❤î♣✳
❈❤✉②➟♥ ➤Ò 3✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❝❤✉å♥❣ ❝❤✐♠ ❜å ❝➞✉✳
❈❤✉②➟♥ ➤Ò 4✿ ❈➳❝ sè ❘❛♠s❡②✳
❈❤✉②➟♥ ➤Ò 5✿ ❈➳❝ sè ❈❛t❛❧❛♥✳
❈❤✉②➟♥ ➤Ò 6✿ ❈➳❝ sè ❙t✐r❧✐♥❣✳
❈❤✉②➟♥ ➤Ò 7✿ ❍♦➳♥ ✈Þ ✈➭ tæ ❤î♣ tæ♥❣ q✉➳t✳

❈❤✉②➟♥ ➤Ò 8✿ ◆❣✉②➟♥ ❧ý ❜❛♦ ❤➭♠ ✈➭ ❧♦➵✐ trõ✳
❈❤✉②➟♥ ➤Ò 9✿ ◆❤÷♥❣ sù ①➳♦ tré♥ ✈➭ ♥❤÷♥❣ sù s➽♣ ➤➷t tr➢í❝✳
❈❤✉②➟♥ ➤Ò 10✿ ➜➵✐ ❧➢î♥❣ ❜✃t ❜✐Õ♥✳
❚r♦♥❣ ♠ç✐ ❝❤✉②➟♥ ➤Ò✱ ❝➳❝ ❜➭✐ t❐♣ t❤➢ê♥❣ ➤➢î❝ ❞➱♥ ❞➽t t❤❡♦ ♥❤÷♥❣ ❝❤ñ ➤Ò
♥❤✃t ➤Þ♥❤✳ ◗✉❛ ➤ã ❤ä❝ s✐♥❤ tù t×♠ t❤✃② ❝❤♦ ♠×♥❤ ♥❤÷♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❧✐➟♥ q✉❛♥
➤Õ♥ ❝❤ñ ➤Ò ➤➢î❝ ♥➟✉✳ ➜å♥❣ t❤ê✐✱ ♠ç✐ ❜➭✐ ➤Ò✉ ❝ã ❧ê✐ ❣✐➯✐ ❝❤✐ t✐Õt✱ ♥❣➽♥ ❣ä♥✱
➤➬② s➳♥❣ t➵♦ ✈➭ ❜✃t ♥❣ê✳ ❈➳❝ ❧ê✐ ❣✐➯✐ ♥➭② Ýt ❣➷♣ tr♦♥❣ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ö✉ ✈Ò tæ ❤î♣
❝ã tr➟♥ t❤Þ tr➢ê♥❣✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ❤✐ ✈ä♥❣ ❝❤Ý♥❤ ➤✐Ò✉ ♥➭② ❦Ý❝❤ t❤Ý❝❤ sù ❤❛♠ ❤✐Ó✉
❜✐Õt✱ ❧ß♥❣ s❛② ♠➟ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❤ä❝ s✐♥❤ ❝ã ♥➝♥❣ ❦❤✐Õ✉ t♦➳♥✳
✶✼
ề t ộ q t
ụ í ủ ề ù q t ế tì ể ột
số tí t ề số r ỗ ị tự ố từ ó
ù sở ể ột số t tổ ợ tr ề tế
t r ò ó ột số t ụ q t
ế ột ờ ộ ọ s ó tể tì t sự tú ị q
ết số ở 2.1.5 tì r ố ệ ữ 2.1.7 2.1.8
tr 2.1.9 2.1.10 t ì tì số tí số
t tí ủ số tố ù t tì số
ột t ợ t ứ t t ợ rỗ
ị ĩ ột r ột ữ ý tự ọ
ọ ợ í ụ ABEUEBA
t ỏ ó r ó 7 ữ số 8 ữ số ết
r tr số ó ó ữ số t ệ ề 2
sử ột số r ó ộ n tí ố ứ t ỉ
q t ế

n + 1
2

ị trí t ụ tể tr t ỉ q
t ế 4 ị trí ị trí t 0 ó 9 ọ ó 9
ọ ị trí tứ 2 8 ọ ị trí tứ 3 7 ọ ị
trí tứ 4 ó ó (9).(9).(8).(7) = 4536 số r t
t
ị í ứ r ột số r ó ộ tì
ết 11 (1)
ứ t ế ỏ ữ số t ữ số ố ù ủ
ột số r tì t ợ ột số r ớ ó t ứ
(1) t q
sử N ột số r ó ộ 2k
ế k = 1 tì (1) ể ú
ế k 2 t ó

N = a
2k1
.10
2k1
+ a
2k2
.10
2k2
+ ... + a
k
.10
k
+ a
k
.10
k1

+ ... + a
2k2
.10
1
+ a
2k1
.10
0
= a
2k1
(10
2k1
+ 10
0
) + (a
2k2
.10
2k2
+ ... + a
2k2
.10
1
) =
a
2k1
.P + Q
r ó P = 100...001

2kữ số
= 11. 9090...9091

2k2ữ số
Q = a
2k2
.10
2k2
+ ... + a
2k2
.10
1
tết q Q ết 11 n ết 11
t r ột số r ị ữ số ứ 1
ữ ữ số tế t ó tể 0 1 ế tt số r
ị ó ộ n
2.1.2 ú t ỉ q t ế

n + 1
2

1 =

n 1
2

ị trí ỗ ị trí ó tể ữ số 1 ữ số 0 ó tt
2
[
n1
2
]

số t t
t r 100000 số t ó số
tr ể ễ t ủ ó ứ ú ột ữ số 3 ột ữ số 4
ột ữ số 5
ết 100000 số t t s
ố 0 ết 00000
ố 1 ết 00001
ố 2 ết 00002

ố 99999 ết 99999
ết tr ỗ số tì ó 5 ị trí ữ số 3 ó tể ọ t ỳ
ột tr 5 ị trí s ó ữ số 4 ó tể ọ t ỳ ột tr 4 ị
trí ò ữ số 5 ó tể ọ t ỳ ột tr 3 ị trí ò ò ị
trí t ó tể ọ t ỳ ữ số tộ t ợ {0, 1, 2, 6, 7, 8, 9} ó
(5).(4).(3).(7).(7) = 2940 số t t
t ì số ớ tự sự ủ số 441000 ột ớ tự sự ủ ột
số n t ỳ ớ ủ n 1 n
ột số t ỳ ó tể ể tị t tí ủ ỹ từ

số tố ụ tể 441000 = (2
3
).(3
2
).(5
3
).(7
2
). t ỳ ột ớ
tự sự tự sự số ó (2
a

).(3
b
).(5
c
).(7
d
) tr ó
0 a 3; 0 b 2; 0 c 3; 0 d 2 r ể ễ a
ó 4 ọ b ó 3 ọ c ó 4 ọ d ó 3 ọ
q t tổ số ớ tự sự t sẽ
(4).(3).(4).(3) 2 = 142 số
t ế số ớ tự sự ủ ột số N ết N ó ết q
tí r từ số tố s
N = p
n
1
1
p
n
2
2
...p
n
k
k
tr ó p
1
, p
2
, ..., p

k
ớ số tố
2.1.6 số ớ tự sự ủ N
(n
1
+ 1)(n
2
+ 1)...(n
k
+ 1) 2
t ột t ợ ồ n
i
t ồ t ó ệ i tr ó
i = 1, 2, ..., k ó r ít t ột t từ t ợ tr
sử ữ t ó ệ i ữ t p
i
p
i
tử
tố ủ số N tr 2.1.7 t t tự ế số
ớ ủ N ồ số 1 2.1.7 ết q tì
(n
1
+ 1)(n
2
+ 1)...(n
k
+ 1) 1
t ì số tí 441000 t tử m n s
m > 1, n > 1 m, n ỉ ó ớ 1 ó m n

số tố ù
ét t ợ X = {2
3
; 3
2
; 5
3
; 7
2
} q ế sự tí r từ
số tố ủ 441000 õ r r ỗ tử ủ X t ệ
tr sự tí r từ số tố ủ m ủ n ợ
t ệ ồ tờ ở 2 số ữ sự tí ủ m n ợ
t X ứ số tí 441000 t m, n ớ số

X t 2 t rỗ q t ế tứ tự ì m.n
n.m sự tí ố ết q t X tí
tứ tự t
X = {2
3
} + {3
2
, 5
3
, 7
2
} = {3
2
} + {2
3

, 5
3
, 7
2
}
= {7
2
} + {2
3
, 3
2
, 5
3
}
= {2
3
, 3
2
} + {5
3
, 7
2
} = {2
3
, 5
3
} + {3
2
, 7
2

}
= {2
3
, 7
2
} + {3
2
, 5
3
}
ó ết q ủ t 4 + 3 = 7 = 2
41
1
t ổ qt 2.1.9 t ó ế N = p
n
1
1
p
n
2
2
...p
n
k
k
p
1
, p
2
, ..., p

k
số tố (k 2) ì số tí N = m.n s m, n
số tố ù
2
k1
1 (m > 1, n > 1)
ứ q t k
k = 2 ết q ễ t
k 3 ú t ỉ r r ột t ợ k tử ệt
Z = {a
1
, a
2
, ..., a
k1
, a
k
} ó 2
k1
1 t
rỗ tí tứ tự tết ết q ú ớ ữ t ợ ó (k 1)
tử ệt ột sự ủ Z
Z = {a
k
} {a
1
, a
2
, ..., a
k1

}
{a
k
} W
ờ tết q W ó 2
k2
1 t
ứ ớ ỗ ó t t a
k
ột tr tì ợ
ủ Z í t ở tr t ó ết q số
Z t t
1 + (2
k2
1).2 = 2
k1
1().
ị ĩ r ột ỗ ị tử 0
1 X ột t ợ tt ỗ ị ó ộ n ột

í ủ n ế ột từ X tớ t ợ Y = {0, 1}
t ì số í ệt ủ n ế
ự ợ ủ X r = 2
n
ó số í t 2
r

ị ĩ ột í ợ ọ tự ố ế trị ủ
f t ổ ế ỗ tử tộ ề ị ủ f t
ổ ữ số 0 ổ t số 1 ợ

í ụ n = 6, f(101101) = f(010010) f ột í
tự ố
t ệt tt í tự ố ế
ó 4 í ố từ t ợ X = {00; 01; 10; 11} tớ t ợ
Y = {0; 1}
a)f
1
(00) = f
1
(11) = f
1
(01) = f
1
(10) = 0
b)f
2
(00) = f
2
(11) = f
2
(01) = f
2
(10) = 1
c)f
3
(00) = f
3
(11) = f
3
(01) = f

3
(10) = 1
d)f
4
(00) = f
4
(11) = f
4
(01) = f
4
(10) = 0
t ì số ợ í tự ố ủ n ế
2.1.12 X ó tể t
r
2
= 2
n1
(,

) tr ó
ỗ

ó ợ từ t 0 t 1 ợ ố ớ ỗ
tì trị ủ í tự ố ó tể 0 1 ó ó 2
r
2
í ủ tổ số í
t ột ớ ồ út ợ số từ 0
ế n t ề từ tr s từ 0 ế m t ề từ ớ tr
ỏ ó ờ từ út ế út ế ỉ

é tr t ề s tr

ột ờ tế ợ ồ n + m ỗ ột
ỗ ỉ ợ ọ ột tr trị t
s t ố ú m số
s ú n t ế ệ tì ó ị

ộ n + m tr ó ó ú m t ũ í
số t m tử ủ ột t n + m tử ì tế số ờ
ế C(n + m, m)
t m n số ớ ột t ợ
ó n tử A
1
, A
2
, ..., A
m
ữ t ủ tết r t ỳ
tử tr ờ ũ ó ột t ợ A
i
s ở tr
A
i
ở tr A
i
ở tr A
i
ở tr A
i
ứ

r n 2
m

ú t ết ỗ tử x tr ớ ột ị ó m
ữ số a(x) = (x
1
, x
2
, ..., x
m
) tỏ x
i
= 1 ế x ở tr A
i
x
i
= 0
ế x ở tr A
i
ự ột số
f : S T = {(x
1
, x
2
, ..., x
m
) | x
i
{0, 1}}

ừ tết ế x y tì f(x) f(y) ột
ì số tử ủ t ợ ề số tử ủ
t ễ t số tử ủ 2
m
ở ì ỗ t x
i
ủ
(x
1
, x
2
, ..., x
m
) ỉ ó tể ột tr trị 0 1 ó t
ó n 2
m

ề ị tổ ợ
ột từ t ữ t ữ ú t ề ết
r ế tì n(A) n(B) ế t tì n(A) n(B)
ò ế s tì n(A) = n(B) í sở ủ
tết s ể ột số t tổ ợ ột số s
ũ ủ ề t t r tr ề ế ế
ột số t ề ị ò q ọ s ó tể t tí tú ớ
sự t ệ ợ ý ủ ữ ế ế tr ữ ủ ề tứ