Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ và ứng dụng máy tính vinacal 57OES plus vào giải phương trình vô tỷ

LÊ THỊ NGỌC HÂN
NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN

ỦY BAN NHÂN DÂN TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN
---------------------------------------

LÊ THỊ NGỌC HÂN
NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP – SƯ PHẠM TOÁN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VÀ ỨNG
DỤNG MÁY TÍNH VINACAL 570ES PLUS VÀO GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH VÔ TỶ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN
TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC

2016

TP. HỒ CHÍ MINH – NĂM 2016


1


ỦY BAN NHÂN DÂN TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN

LÊ THỊ NGỌC HÂN
NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VÔ TỶ VÀ ỨNG DỤNG MÁY TÍNH VINACAL
570ES PLUS VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN
TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: ThS. TRẦN SƠN LÂM

TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 6 NĂM 2016


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu
của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu
trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả
cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong
bất kì một công trình nào khác.

Tác giả luận văn

Lê Thị Ngọc Hân
Nguyễn Thị Ngọc Huyền

Lời cảm ơn
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn ThS. Trần Sơn Lâm – thầy là người tận tình hướng
dẫn cho chúng tôi để hoàn thành khóa luận một cách tốt nhất. Đồng thời, chúng tôi cũng
xin chân thành cảm ơn ThS. Phan Trung Hiếu – cố vấn học tập của chúng tôi. Chúng tôi
học hỏi được ở thầy cách làm việc khoa học và sự cẩn thận trong nghiên cứu toán học.
Chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô trong hội đồng chấm khóa luận
đã dành thời gian quý báu để xem xét và góp ý về khóa luận để chúng tôi rút ra kinh
nghiệm cho quá trình nghiên cứu sau này.
Chúng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã luôn quan tâm và khích lệ
tinh thần chúng tôi trong suốt thời gian thực hiện khóa luận.
Rất mong nhận được sự chỉ bảo quý báu của Quý Thầy, Cô cũng như sự góp ý chân
thành của các bạn.
Xin chân thành cảm ơn.


MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa ............................................................................................................ i
Lời cam đoan ............................................................................................................ii
Lời cảm ơn ..............................................................................................................iii
Mục lục ..................................................................................................................... 1
MỞ ĐẦU ................................................................................................................. 3
Chƣơng 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. Khái niệm phương trình … .................................................................................. 4
1.1. Phương trình một ẩn … ................................................................................ 4
1.2. Điều kiện của một phương trình … .............................................................. 4
2. Phương trình vô tỷ................................................................................................ 4
3. Phương trình tương đương và phương trình hệ quả ............................................. 4
3.1. Phương trình tương đương … ....................................................................... 4

3.2. Phép biến đổi tương đương … ...................................................................... 4
3.3. Phương trình hệ quả … ................................................................................. 5
4. Định lý giá trị trung gian ...................................................................................... 5
5. Định lý về tính đơn điệu của hàm số .................................................................... 5
Chƣơng 2
MỘT SỐ CHỨC NĂNG CỦA MÁY TÍNH VINACAL 570ES PLUS TRONG
GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ
1. Chức năng CALC … ............................................................................................ 6
1.1. Tính giá trị biểu thức … ............................................................................... 6
1.2. Khai triển biểu thức thành đa thức................................................................ 7
2. Chức năng STO .................................................................................................. 15
3. Chức năng SOLVE............................................................................................. 16
1


4. Chức năng TABLE............................................................................................. 19
4.1. Các bước sử dụng chức năng TABLE ....................................................... 19
4.2. Cách nhìn bảng TABLE ............................................................................ 20
5. Giải phương trình bậc cao bằng máy tính VINACAL 570ES PLUS ................ 23
6. Nhận biết nghiệm đơn, nghiệm kép ................................................................... 26
6.1. Nghiệm đơn ............................................................................................... 26
6.2. Nghiệm kép ................................................................................................ 26
6.3. Các bước nhận biết nghiệm kép bằng máy tính ........................................ 27
Chƣơng 3
MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ
VÀ ỨNG DỤNG MÁY TÍNH VINACAL 570ES PLUS VÀO GIẢI PHƢƠNG
TRÌNH VÔ TỶ
1. Phương pháp lũy thừa hai vế .............................................................................. 29
1.1. Phương trình có dạng quen thuộc ............................................................... 29
1.2. Phương trình không có dạng quen thuộc .................................................... 31

2. Phương pháp nhân lượng liên hợp ..................................................................... 40
2.1. Phương pháp chung .................................................................................... 40
2.2. Phương pháp tìm lượng liên hợp ................................................................ 41
3. Phương pháp đặt ẩn phụ ..................................................................................... 56
3.1. Đặt một ẩn phụ hoàn toàn ........................................................................... 56
3.2. Đặt hai ẩn phụ hoàn toàn ............................................................................ 63
3.3. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn ....................................................................... 67
3.3.1.  là số chính phương .......................................................................... 67
3.3.2.  không là số chính phương ............................................................... 70
4. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số ............................................... 72
KẾT LUẬN ........................................................................................................... 83
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 84
2


Mở đầu
Phương trình vô tỷ là dạng toán khó thường gặp ở trong chương trình toán học bậc phổ
thông. Nhưng trong chương trình phổ thông, phương trình vô tỷ được giảng dạy chỉ dừng lại
ở các phương trình vô tỷ đơn giản. Tuy nhiên, dạng toán này xuất hiện nhiều trong các kì thi
học sinh giỏi và tuyển sinh đại học, cao đẳng. Để giải các bài toán về phương trình vô tỷ đòi
hỏi chúng ta phải có tầm nhìn bao quát, suy nghĩ theo nhiều hướng giải khác nhau mới có
thể tìm được cách giải nhanh chóng và chính xác.
Một trong những công cụ hỗ trợ đắc lực trong việc giải phương trình vô tỷ là máy tính bỏ
túi. Tuy nhiên, nhiều học sinh vẫn chưa sử dụng được chức năng này của máy tính bỏ túi.
Một trong những loại máy tính bỏ túi thông dụng nhất hiện nay là VINACAL 570ES PLUS
và loại máy này được cho phép sử dụng trong các kì thi.
Máy tính VINACAL 570ES PLUS có những chức năng nổi trội hơn so với các loại máy
tính khác là
- Giải phương trình bậc hai, bậc ba cho kết quả nghiệm ở dạng căn thức.
- Tích phân, căn thức, lũy thừa có cách ghi giống như sách giáo khoa.

- Tốc độ xử lý nhanh hơn, cho kết quả đầy đủ hơn.
Với mong muốn của bản thân về một đề tài mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho việc
giảng dạy của mình ở trường phổ thông, chúng tôi đã chọn đề tài: “Một số phương pháp giải
phương trình vô tỷ và ứng dụng máy tính VINACAL 570ES PLUS vào giải phương trình vô
tỷ”. Với mục đích, đưa ra các phương pháp, cách giải phương trình vô tỷ nhanh chóng,
chính xác nhờ công cụ hỗ trợ đắc lực là máy tính bỏ túi. Từ đó, giúp học sinh tư duy tốt hơn,
có thể hoàn thành tốt các bài toán giải phương trình vô tỷ.
Mặc dù đã cố gắng nhưng khóa luận chắc chắn vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót.
Chúng tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của Quý Thầy, Cô và các bạn để khóa
luận hoàn thiện hơn.
Khóa luận bao gồm 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Một số chức năng của máy tính VINACAL 570ES PLUS trong giải phương trình
vô tỷ.
Chương 3: Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ và ứng dụng máy tính VINACAL
570ES PLUS vào giải phương trình vô tỷ.


Chƣơng 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
I. KHÁI NIỆM PHƢƠNG TRÌNH
1.1. Phƣơng trình một ẩn
Định nghĩa 1.1. Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng
f ( x)  g ( x) ,

(1.1)

trong đó f ( x) và g ( x) là những biểu thức của x . Ta gọi f ( x) là vế trái, g ( x) là vế
phải của phương trình (1.1).
Nếu có số thực x0 sao cho f ( x0 )  g ( x0 ) là “mệnh đề” đúng thì x0 được gọi là một

nghiệm của phương trình (1.1).
Giải phương trình (1.1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).
Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói
tập nghiệm của nó là rỗng).
1.2. Điều kiện của một phƣơng trình
Định nghĩa 1.2. Điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của
phương trình) là điều kiện đối với ẩn số x để f ( x) và g ( x) có nghĩa.
Khi các phép toán ở hai vế của một phương trình đều thực hiện được với mọi giá trị
của x thì ta có thể không ghi điều kiện của phương trình.
II. PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Trong sách giáo khoa không có định nghĩa cụ thể cho phương trình vô tỷ, nhưng qua
các bài toán khác và tài liệu tham khảo khác thì phương trình vô tỷ là phương trình chứa
ẩn dưới dấu căn. Ví dụ như 2 x2  6 x  1  4 x  5 ,
trình vô tỷ.

x  1  x 2 ,… là những phương

III. PHƢƠNG TRÌNH TƢƠNG ĐƢƠNG VÀ PHƢƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
3.1. Phƣơng trình tƣơng đƣơng
Định nghĩa 1.3. Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập
nghiệm.
3.2. Phép biến đổi tƣơng đƣơng
Định nghĩa 1.4. Để giải một phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó
thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy được gọi
là các phép biến đổi tương đương.
Định lý sau đây nêu lên một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng.
Định lý 1.5. Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không
làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương
a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;
4

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá
trị khác 0.
3.3. Phƣơng trình hệ quả
Nếu mọi nghiệm của phương trình f ( x)  g ( x) đều là nghiệm của phương trình

f1 ( x)  g1 ( x) thì phương trình f1 ( x)  g1 ( x) được gọi là phương trình hệ quả của phương
trình f ( x)  g ( x) . Ta viết

f ( x)  g ( x)  f1 ( x)  g1 ( x). (1.2)
IV. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG GIAN
Định lý 1.6. Cho f là hàm số liên tục trên đoạn  a; b và f (a). f (b)  0 thì tồn tại ít
nhất một điểm c  (a, b) sao cho f ( x)  0 .
V. ĐỊNH LÝ VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Định lý 1.7. Nếu hàm số y  f  x  liên tục và luôn đơn điệu một chiều trên miền D
(luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến) thì số nghiệm trên D của phương trình f  x   0
không nhiều hơn một và u, v  D : f  u   f  v   u  v .
Định lý 1.8. Nếu hai hàm số f ( x) và g ( x) đơn điệu ngược chiều trên miền D thì số
nghiệm trên D của phương trình f ( x)  g ( x) không nhiều hơn một.

5


Chƣơng 2
MỘT SỐ CHỨC NĂNG CỦA MÁY TÍNH VINACAL 570ES PLUS
TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Khi giải phương trình vô tỷ, mục đích của chúng ta là tìm một cách giải logic để tìm
tất cả nghiệm của phương trình chứ không phải chỉ tìm một nghiệm, cho nên máy tính chỉ
được sử dụng như một công cụ hỗ trợ các tính toán phức tạp và dự đoán chứ không phải

máy tính sẽ thực hiện giải các bài toán đưa ra. Tuy nhiên, nếu biết khai thác triệt để các
chức năng của máy tính thì ta không chỉ tìm được lời giải cho bài toán mà còn tìm được
nhiều cách giải khác nhau.
I. CHỨC NĂNG CALC
Khi nhập biểu thức đại số chứa biến, chức năng CALC sẽ hỏi giá trị biến và tính ra giá
trị biểu thức ứng với giá trị biến ta vừa nhập. Phím chức năng này cho phép ta tính giá trị
một biểu thức cồng kềnh với nhiều giá trị khác nhau của biến chỉ với một lần nhập biểu
thức, tiết kiệm khoảng thời gian đáng kể.
Chức năng CALC sử dụng được trong tính toán số thực COMP (bấm MODE 1 ) và
trong tính toán số phức CMPLX (bấm MODE 2 ).
1.1. Tính giá trị biểu thức
Các bước thực hiện
Bƣớc 1: Nhập biểu thức.
Bƣớc 2: Bấm phím CALC .
Bƣớc 3: Nhập giá trị của biến và bấm phím  . Màn hình hiển thị giá trị của biểu
thức ứng với giá trị của biến.
4
3
2
Ví dụ 2.1: Cho biểu thức A  x  2 x  x  1  4 x  2 x  1 . Tính giá trị của biểu thức
1
A tại x  , x  3 .
2

Bƣớc 1: Nhập biểu thức X 4  2 X 3  X  1  4 X 2  2 X  1.

Bƣớc 2: Bấm phím CALC .

6

Bƣớc 3: Nhập
x

1
và bấm phím
2

 . Màn hình hiển thị giá trị của biểu thức A ứng với

1
11
là  .
2
16

Tương tự, ta bấm phím CALC và nhập 3, sau đó bấm phím  . Màn hình hiển thị
giá trị của biểu thức A ứng với giá trị x  3 là 25  31 .

1.2. Khai triển biểu thức thành đa thức
Biểu thức f ( x) được khai triển thành đa thức có dạng
an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a1 x  a0 , (an  0).

Ta cần tìm các hệ số an , an1 , an2 ,..., a1 , a0 (gọi là chiều thuận).
Ta có
f ( x )  an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a1 x  a0 , (an  0)


f ( x)
1

1
1
1
 an  an1 .  an2 . 2  ...  a1. n1  a0 . n .
n
x
x
x
x
x

Khi đó
f ( x)
.
xn
f ( x)
Như vậy, hệ số an được tìm bằng cách tính lim n .
x  x
Ta lại có
f ( x )  an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a1 x  a0 , (an  0)
an  lim

x 



f ( x )  an x n
1
1
1

 an 1  an 2 .  ...  a1. n2  a0 . n1
n 1
x
x
x
x

Khi đó
an1

f ( x )  an x n
 lim
.
x
x n1

7


Như vậy, hệ số an1 được tìm bằng cách tính lim

x 

f ( x)  an x n
, với an đã tìm được.
x n1

Tương tự, ta tìm được các hệ số an2 ,..., a1 , a0 .
Từ ý tưởng trên, để tìm các hệ số an , an1 , an2 ,..., a1 , a0 theo chiều thuận bằng máy
tính VINACAL 570ES PLUS, ta thực hiện theo các bước sau

Bƣớc 1: Xác định bậc của đa thức được khai triển và nhập biểu thức

f (X)
.
Xn

Bƣớc 2: Bấm phím CALC . Nhập giá trị của biến X là 1000.
Bƣớc 3: Bấm phím  . Màn hình hiển thị giá trị của hệ số an .
f (X)  an X n
Bƣớc 4: Quay trở về màn hình soạn thảo, thay đổi thành biểu thức
.
X n 1

Bƣớc 5: Bấm phím CALC . Nhập giá trị của biến X là 1000.
Bƣớc 6: Bấm phím  . Màn hình hiển thị giá trị của hệ số an1 .
Tương tự, ta tìm được các hệ số an2 ,..., a1 , a0 .
Sau khi tìm được các hệ số an , an1 , an2 ,..., a1, a0 , ta có
f ( x)  an x n  an1x n1  an2 x n2  ...  a1x  a0 .

Ta thử lại kết quả bằng cách
Bƣớc 1: Nhập f ( X )  an X n  an1 X n1  an2 X n2  ...  a1 X  a0 .
Bƣớc 2: Bấm phím CALC . Nhập một vài giá trị bất kỳ của X. Nếu các kết quả đều là
0 thì phép khai triển với các hệ số đã tìm được là đúng. Nếu màn hình hiển thị ít nhất một
kết quả khác 0 thì phép khai triển với các hệ số đã tìm được là chưa đúng và cần kiểm tra
lại.
Lúc này, ta kiểm tra lại hệ số bằng cách tìm các hệ số a0 , a1 ,..., an2 , an1, an (gọi là
chiều nghịch) cho đến khi hệ số đầu tiên tìm được theo chiều nghịch trùng với hệ số tìm
được theo chiều thuận thì ta dừng lại. Khi đó, ta thay các hệ số tìm được theo chiều thuận
bằng hệ số tìm được theo chiều nghịch.
Ta có

a0  lim f ( x );
x 0

a1  lim
x 0

f ( x )  a0
;
x

...
f ( x )  a0  a1 x  ...  an 2 x n 2
;
x 0
x n 1
f ( x )  a0  a1 x...  an 1 x n 1
an  lim
.
x 0
xn
Từ ý tưởng trên, để tìm các hệ số a0 , a1 ,..., an2 , an1, an theo chiều nghịch bằng máy
an 1  lim

tính VINACAL 570ES PLUS, ta thực hiện theo các bước sau
8


Bƣớc 1: Nhập biểu thức f (X).
Bƣớc 2: Bấm phím CALC . Nhập giá trị của biến X là 0,001.
Bƣớc 3: Bấm phím  . Màn hình hiển thị giá trị của hệ số a0 .

Bƣớc 4: Quay trở về màn hình soạn thảo, thay đổi thành biểu thức

f (X)  a0
.
X

Bƣớc 5: Bấm phím CALC . Nhập giá trị của biến X là 0,001.
Bƣớc 6: Bấm phím  . Màn hình hiển thị giá trị của hệ số a1 .
Ta thực hiện tương tự cho đến khi nhận được hệ số giống với khai triển theo chiều
thuận và thu được đa thức khai triển dạng
an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a1 x  a0 , (an  0).







Ví dụ 2.2: Khai triển biểu thức f ( x )= x 2  2 x  3 x 2  2 x  4 .
Nhận xét: Biểu thức f ( x ) được khai triển thành đa thức bậc bốn có dạng
a4 x 4  a3 x 3  a2 x 2  a1 x  a0 , (a4  0).

Ta sẽ dùng máy tính VINACAL 570ES PLUS để tìm các hệ số a4 , a3 , a2 , a1 , a0 .

X
Bƣớc 1: Nhập

2

 2 X  3 X 2  2 X  4 

X4

.

Bƣớc 2: Bấm phím CALC , nhập 1000.
Bƣớc 3: Bấm phím

X
Bƣớc 4: Nhập

2

 . Ta được a4  1.

 2 X  3 X 2  2 X  4  X 4
X3

Bƣớc 5: Bấm phím CALC , nhập 1000.
Bƣớc 6: Bấm phím  . Ta được a3  0.

9

.


Làm tương tự,

X
Bƣớc 7: Nhập

2

 2 X  3 X 2  2 X  4  X 4
X2

.

Bƣớc 8: Bấm phím CALC , nhập 1000.
Bƣớc 9: Bấm phím  . Ta được a2  3.

X
Bƣớc 10: Nhập

2

 2 X  3 X 2  2 X  4   X 4  3 X 2
X

.

Bƣớc 11: Bấm phím CALC , nhập 1000.
Bƣớc 12: Bấm phím

X
Bƣớc 13: Nhập

2

 Ta được a1  2.

 2 X  3 X 2  2 X  4   X 4  3 X 2  2 X
1

Bƣớc 14: Bấm phím CALC , nhập 1000.
Bƣớc 15: Bấm phím

 . Ta được a0  12 .

10

.


Ta thử lại xem các hệ số trên đã đúng chưa, bằng cách quay trở về màn hình soạn thảo,
thay đổi thành biểu thức

X

2

 2 X  3 X 2  2 X  4   X 4  3 X 2  2 X  12
1

.

Bấm phím CALC , nhập một vài giá trị bất kỳ của X rồi bấm phím  , ta thấy các
kết quả đều là 0. Vậy, các hệ số tìm được là đúng và ta viết

f ( x )   x 2  2 x  3 x 2  2 x  4   x 4  3x 2  2 x  12.

Ví dụ 2.3: Khai triển biểu thức f ( x )=  x 2  2 x  3 x 2  2 x  4  .
2

Nhận xét: Biểu thức f ( x ) được khai triển thành đa thức bậc sáu có dạng
a6 x 6  a5 x5  a4 x 4  a3 x 3  a2 x 2  a1 x  a0 , (a6  0).

Ta sẽ dùng máy tính VINACAL 570ES PLUS để tìm các hệ số
a6 , a5 , a4 , a3 , a2 , a1, a0 .

X
Bƣớc 1: Nhập

2

 2 X  3 X 2  2 X  4 

2

.

X6

Bƣớc 2: Bấm phím CALC , nhập 1000.
Bƣớc 3: Bấm phím

X
Bƣớc 4: Nhập

2

 . Ta được a6  1.

 2 X  3 X 2  2 X  4  X 6
2

X5

Bƣớc 5: Bấm phím CALC , nhập 1000.
11

.


Bƣớc 6: Bấm phím  . Ta được a5  2.

Làm tương tự,

X
Bƣớc 7: Nhập

2

 2 X  3 X 2  2 X  4  X 6  2 X 5
2

X4

.

Bƣớc 8: Bấm phím CALC , nhập 1000.

Bƣớc 9: Bấm phím  . Ta được a4  7.

X
Bƣớc 10: Nhập

2

 2 X  3 X 2  2 X  4   X 6  2 X 5  7 X 4
2

X3

.

Bƣớc 11: Bấm phím CALC , nhập 1000.
Bƣớc 12: Bấm phím

X
Bƣớc 13: Nhập

2

 Ta được a3  4.

 2 X  3 X 2  2 X  4   X 6  2 X 5  7 X 4  4 X 3
2

X2

Bƣớc 14: Bấm phím CALC , nhập 1000.

12

.


Bƣớc 15: Bấm phím

X
Bƣớc 16: Nhập

2

 Ta được a2  20.

 2 X  3 X 2  2 X  4   X 6  2 X 5  7 X 4  4 X 3  20 X 2
2

X

.

Bƣớc 17: Bấm phím CALC , nhập 1000.
Bƣớc 18: Bấm phím

 Ta được a1  16.

Bƣớc 19: Nhập

X

2

 2 X  3 X 2  2 X  4   X 6  2 X 5  7 X 4  4 X 3  20 X 2  16 X
2

1

.

Bƣớc 20: Bấm phím CALC , nhập 1000.
Bƣớc 21: Bấm phím

 . Ta được a0  48 .

Ta thử lại xem các hệ số trên đã đúng chưa, bằng cách quay trở về màn hình soạn thảo,
thay đổi thành biểu thức

X

2

 2 X  3 X 2  2 X  4   X 6  2 X 5  7 X 4  4 X 3  20 X 2  16 X  48
2

1

.

Bấm phím CALC , nhập một vài giá trị bất kỳ của X rồi bấm phím  , ta thấy các
kết quả đều là 0. Vậy, các hệ số tìm được là đúng và ta viết

13


f ( x)   x 2  2 x  3 x 2  2 x  4   x6  2 x5  7 x 4  4 x3  20 x 2  16 x  48.
2

Ví dụ 2.4: Thực hiện phép chia hết đa thức x5  2 x4  6 x3  2 x2  23x  7 cho đa thức

x 2  3x  1 .
Nhận xét: Đa thức nhận được của phép chia đa thức chia hết trên là đa thức bậc ba có
dạng:
a3 x3  a2 x 2  a1x  a0 , (a3  0).
Ta sẽ dùng máy tính VINACAL 570ES PLUS để tìm các hệ số a3 , a2 , a1 , a0 .
 X 5  2 X 4  6 X 3  2 X 2  23X  7  3
Bƣớc 1: Nhập 
: X .
X 2  3X 1



Bƣớc 2: Bấm phím CALC , nhập 1000.
Bƣớc 3: Bấm phím

 . Ta được a3  1.

 X 5  2 X 4  6 X 3  2 X 2  23 X  7

Bƣớc 4: Nhập 
 X 3  : X 2.
2

X  3X 1



Bƣớc 5: Bấm phím CALC , nhập 1000.
Bƣớc 6: Bấm phím  . Ta được a2  1.

Làm tương tự,
 X 5  2 X 4  6 X 3  2 X 2  23 X  7

Bƣớc 7: Nhập 
 X 3  X 2 : X.
2
X  3X 1



14


Bƣớc 8: Bấm phím CALC , nhập 1000.
Bƣớc 9: Bấm phím

 Ta được a1  2.

 X 5  2 X 4  6 X 3  2 X 2  23 X  7

Bƣớc 10: Nhập 
 X 3  X 2  2 X  :1.
2

X  3X 1



Bƣớc 11: Bấm phím CALC , nhập 1000.
Bƣớc 12: Bấm phím

 . Ta được a0  7 .

Ta thử lại xem các hệ số trên đã đúng chưa, bằng cách quay trở về màn hình soạn thảo,
thay đổi thành biểu thức
 X 5  2 X 4  6 X 3  2 X 2  23 X  7

 X 3  X 2  2 X  7  :1.

2
X  3X 1



Bấm phím CALC , nhập một vài giá trị bất kỳ của X rồi bấm phím  , ta thấy các
kết quả đều là 0. Vậy, các hệ số tìm được là đúng và ta viết

x5  2 x4  6 x3  2 x 2  23x  7   x 2  3x  1 x3  x 2  2 x  7 .

II. CHỨC NĂNG STO
Máy tính VINACAL 570ES PLUS có tám biến đặt sẵn có tên là A, B, C, D, E, F, X,
Y. Ta có thể gán giá trị cho các biến và dùng các biến này trong tính toán.
Các bước thực hiện
Bƣớc 1: Nhập giá trị cần gán.

Bƣớc 2: Bấm phím SHIFT RCL (chức năng STO).
Bƣớc 3: Nhập biến được gán giá trị.
15


Ví dụ 2.5: Gán giá trị 1  2 cho biến A.
Bƣớc 1: Nhập 1  2
Bƣớc 2: Bấm SHIFT RCL .
Bƣớc 3: Nhập biến A (bấm phím ( ) ).

III. CHỨC NĂNG SOLVE
Chức năng SOLVE dùng để tìm nghiệm của phương trình.
Chức năng SOLVE chỉ dùng trong tính toán số thực.
Khi nhập biểu thức f ( x) và bấm SHIFT CALC (chức năng SOLVE), màn hình
hiển thị “X=?”, ta nhập một giá trị bất kì thì bộ xử lý sẽ quay một hình tròn có tâm là
điểm ta vừa nhập trên trục hoành, với bán kính lớn dần. Khi gặp giá trị gần nhất thoả mãn
thì máy tính sẽ dừng lại và hiển thị nghiệm đó dưới dạng phân số tối giản hoặc số thập
phân với sai số hai vế là thấp nhất. L-R ở hàng thứ hai trên màn hình chính là sai số ở hai
vế (thông thường sai số này rất bé khoảng 106 trở xuống).
3.1. Các bƣớc tìm nghiệm của phƣơng trình f ( x)  0 bằng chức năng SOLVE
Bƣớc 1: Đưa phương trình đã cho về dạng f ( x)  0 .
Bƣớc 2: Nhập biểu thức f(X). Sau đó, bấm  để lưu biểu thức. Nếu bấm  mà
máy báo “Math ERROR” thì ta trở lại biểu thức rồi bấm CALC với X là một số bất kỳ
thỏa điều kiện của phương trình.
Bƣớc 3: Bấm SHIFT CALC , cho X nhận giá trị thỏa điều kiện của phương trình,
bấm  ra kết quả nghiệm thứ nhất, gán vào A. Nếu máy báo “Can’t solve”, nghĩa là
phương trình vô nghiệm.
Bƣớc 4:Tìm nghiệm thứ hai, ta trở lại biểu thức ban đầu, rồi sửa thành f ( X )  ( X  A)
, bấm SHIFT CALC , bấm  ra kết quả nghiệm thứ hai, gán vào B.
Bƣớc 5: Tìm nghiệm thứ ba, ta trở lại biểu thức ban đầu, rồi sửa thành

f ( X )  ( X  A)  ( X  B) , bấm SHIFT CALC , bấm  ra kết quả nghiệm thứ ba, gán
vào C.
Làm tương tự như thế cho đến khi máy báo “Can’t solve”, nghĩa là phương trình
không còn nghiệm nào nữa.
Ví dụ 2.6: Tìm nghiệm của phương trình

x  1  x 2  3x  2.

Điều kiện x  1.
16


Bƣớc 1:

x  1  x 2  3x  2  x  1  x 2  3x  2  0.

Bƣớc 2: Nhập biểu thức

X  1  X 2  3 X  2, bấm  để lưu biểu thức. Nếu bấm

 mà máy báo “Math ERROR” thì ta trở lại biểu thức rồi bấm CALC với X bằng 1

(thỏa điều kiện).
Bƣớc 3: Bấm SHIFT CALC , cho X bằng 1 (thỏa điều kiện). Ta thấy màn hình hiển
thị

Vậy, phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 2.7: Tìm nghiệm của phương trình

x 4  x 2  4  x 4  20 x 2  4  7 x.

 x 4  x 2  4  0
.
Điều kiện  4
2
 x  20 x  4  0
Bƣớc 1:

x 4  x 2  4  x 4  20 x 2  4  7 x  x 4  x 2  4  x 4  20 x 2  4  7 x  0.
Bƣớc 2: Nhập biểu thức

X 4  X 2  4  X 4  20 X 2  4  7 X , bấm  để lưu biểu

thức. Nếu bấm  mà máy báo “Math ERROR” thì ta trở lại biểu thức rồi bấm CALC
với X bằng 2 (thỏa điều kiện).
Bƣớc 3: Bấm SHIFT CALC , cho X bằng 2 (thỏa điều kiện). Ta thấy màn hình hiển
thị

Do đó, phương trình có một nghiệm x  1 . Để kiểm tra xem phương trình còn nghiệm
hay không, ta qua bước 4.
Bƣớc 4: Trở lại biểu thức ban đầu, rồi sửa thành





X 4  X 2  4  X 4  20 X 2  4  7 X   X  1 ,

bấm SHIFT CALC , bấm  ra kết quả

Do đó, phương trình có thêm một nghiệm là x  2 .
17


Tiếp tục kiểm tra phương trình còn nghiệm hay không, ta qua bước 5.
Bƣớc 5: Trở lại biểu thức, rồi sửa thành





X 4  X 2  4  X 4  20 X 2  4  7 X   X  1  ( X  2)

bấm SHIFT CALC , bấm  ra kết quả

Do đó, phương trình không còn nghiệm nào khác ngoài hai nghiệm trên.
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là x  1 ; x  2 .
Ví dụ 2.8: Tìm nghiệm phương trình: x3  2 x 2  x  2   x 2  4 x  3  x 2  x
2
  x  4 x  3  0
.
Điều kiện  2
 x  x  0
Bƣớc 1:

x3  2 x2  x  2   x2  4 x  3  x2  x
 x 3  2 x 2  x  2   x 2  4 x  3  x 2  x  0.
Bƣớc 2: Nhập biểu thức X 3  2 X 2  X  2   X 2  4 X  3  X 2  X , bấm  để
lưu biểu thức. Nếu bấm  mà máy báo “Math ERROR” thì ta trở lại biểu thức rồi bấm

CALC với X bằng 2 (thỏa điều kiện).

Bƣớc 3: Bấm SHIFT CALC , cho X bằng 2 (thỏa điều kiện). Ta thấy màn hình hiển
thị

Do đó, phương trình có một nghiệm vô tỷ x  2,523842776 . Để kiểm tra xem phương
trình còn nghiệm hay không, ta gán nghiệm tìm được vào A bằng cách bấm SHIFT

RCL ( ) , rồi qua bước 4.

Bƣớc 4: Trở lại biểu thức ban đầu, sửa thành

X

3



 2 X 2  X  2   X 2  4 X  3  X 2  X   X  A
18


bấm SHIFT CALC , bấm  ra kết quả

Do đó, phương trình có thêm nghiệm hữu tỷ x  1 . Để kiểm tra xem phương trình còn
nghiệm hay không, ta qua bước 5.
Bƣớc 5: Trở lại biểu thức, rồi sửa thành

X

3



 2 X 2  X  2   X 2  4 X  3  X 2  X   X  A    X  1

bấm SHIFT CALC , bấm  ra kết quả

Do đó, phương trình không còn nghiệm nào khác ngoài hai nghiệm trên.
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm x  2,523842776 ; x  1.
IV. CHỨC NĂNG TABLE
Chức năng này cho phép hiển thị đồng thời các giá trị của một biểu thức, trong đó các
giá trị của biến mà ta gán là cấp số cộng.
Chức năng TABLE giúp ta:
-Dự đoán khoảng chứa nghiệm của một phương trình.
-Dự đoán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
-Dự đoán tính tăng, giảm của hàm số.
-Dự đoán dấu của biểu thức.
4.1. Các bƣớc sử dụng chức năng TABLE
Bƣớc 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
Bƣớc 2: Bấm MODE 7 . Nhập biểu thức f(X).
Bƣớc 3: Bấm  , màn hình hiển thị chữ “Start?” Start là giá trị bắt đầu, thường được
chọn từ điều kiện xác định.
Bƣớc 4: Bấm  , màn hình hiển thị chữ “End?” End là giá trị kết thúc, thường được
chọn từ điều kiện xác định.
Bƣớc 5: Bấm  , màn hình hiển thị chữ “Step?” Step được gọi là bước nhảy, là
khoảng cách giữa các giá trị của biến X. Chức năng TABLE của máy tính VINACAL
570ES PLUS hiển thị được tối đa 30 giá trị của biến, ứng với 29 khoảng giá trị. Vì thế, để
End  Start
tận dụng triệt để 30 giá trị của biến, ta nhập “Step?” là

.
29
19


Bƣớc 6: Bấm  , màn hình hiển thị một bảng các giá trị của x và f ( x) từ x  Start
đến x  End .
4.2. Cách nhìn bảng TABLE
Bảng gồm có 3 cột
Số thứ tự

X

F(X)

Nhìn vào bảng TABLE, ta có thể
-Dự đoán khoảng chứa nghiệm: Cần chú ý tới hai giá trị liên tiếp của cột X, giả sử là
x1 và x2 (giả sử x1  x2 ) mà ứng với hai giá trị của x này ta được hai giá trị f ( x1 ) và

f ( x2 ) trái dấu. Khi đó, phương trình có nghiệm trong khoảng ( x1; x2 ) .
-Dự đoán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: Ta nhìn thấy các giá trị của cột F(X) tăng
dần hay giảm dần. Số lớn nhất ở cột F(X) có thể là max, số nhỏ nhất ở cột F(X) có thể là
min.
-Dự đoán tính tăng, giảm của hàm số: Nếu các số ở cột F(X) có thứ tự tăng dần từ trên
xuống thì F(X) tăng ( f ( x )  0 ), nếu các số ở cột F(X) có thứ tự giảm dần từ trên xuống
thì F(X) giảm ( f ( x)  0 ).
-Dự đoán dấu của biểu thức: Nếu các số ở cột F(X) đều là số dương thì ta dự đoán
f  x   0 . Nếu các số ở cột F(X) đều là số âm thì ta dự đoán f  x   0 .
Ví dụ 2.9: Dự đoán khoảng chứa nghiệm của phương trình

2 x  1  x 2  3x  1  0.

1

x


1 3 5 
2 x  1  0
2

Bƣớc 1: Điều kiện  2

 x ;
.
2
2
3

5
3

5
  x  3x  1  0



x

 2

2

Bƣớc 2: Bấm MODE 7 . Nhập biểu thức

2 X  1  X 2  3X  1.

Bƣớc 3: Bấm  , màn hình hiển thị “Start?”, nhập

1
.
2

Bƣớc 4: Bấm  , màn hình hiển thị chữ “End?”, nhập

20

3 5
.
2