Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

0

Tóm tắt LV
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Việc giải bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính có ý nghĩa to lớn trong việc
nghiên cứu khoa học cũng như trong thực tế.
Để tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính bằng lý thuyết của đại số tuyến tính phải
thực hiện rất nhiều các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng, cột của ma trận. Điều này làm tăng khối
lượng tính toán, hơn nữa lại gặp khó khăn về vấn đề logic trong trình bày. Mặt khác khi xây dựng
chương trình trên máy tốn nhiều thời gian và mất nhiều bộ nhớ. Vì vậy trong thời gian sử lý số liệu
không tránh khỏi sai số dù là rất nhỏ nhưng cũng ảnh hưởng trực tiếp đến quá trình tính toán.
Chính vì vậy phải sử dụng các thuật toán sao cho khi xây dựng trên máy tính tiết kiệm thời
gian và bộ nhớ nhất, đồng thời giảm thiểu sai số một cách tối đa.
Các nhà toán học đã tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng hệ phương trình tuyến
tính. Mỗi phương pháp có những ưu điểm, nhược điểm nhất định. Vì vậy đối với một hệ phương
trình tuyến tính bất kì, việc áp dụng phương pháp nào sẽ cho kết quả tốt nhất cho việc nghiên cứu
là rất quan trọng, nó mang đến lợi ích rất lớn trong ứng dụng vào khoa học và thực tiễn.
Chính vì vậy cùng với sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Văn Hùng, tôi đã chọn nghiên
cứu đề tài:
“ Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính”.
Tuy nhiên đề tài chỉ tập trung vào nghiên cứu 3 phương pháp trực tiếp là phương pháp
Gauss, Gauss-joocdan và phương pháp Cholesky, 2 phương pháp lặp là phương pháp lặp đơn và
phương pháp trực giao hoá
2. Mục đích nghiên cứu.
-Đề tài nghiên cứu một số phương pháp số giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính.
- Nghiên cứu ứng dụng bài toán về nhiệt động lực học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
-Luận văn tập trung nghiên cứu và hệ thống hoá các phương pháp giải gần đúng hệ phương
trình tuyến tính. Phân tích các ưu điểm, nhược điểm của từng phương pháp.
-Ứng dụng tìm hàm biểu thị phụ thuộc của nhiệt dung phân tử các chất, hằng số cân bằng các

chất vào nhiệt độ.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
- Phương pháp Gauss, phương pháp Gauss-Joocdan, phương pháp Cholesky, phương pháp lặp
đơn và phương pháp trực giao giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính.
-Các bài toán hoá lý
5. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp nghiên cứu của giải tích số và đại số tuyến tính
6. Dự kiến đóng góp mới.


1

Luận văn trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản và các ví dụ đối với mỗi
phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính trong phạm vi luận văn nghiên cứu.

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian định chuẩn
1.1.1. Một số định nghĩa
Định nghĩa 1: Giả sử X là một không gian vecto trên trường K

(K=R hoặc K=C). Một

ánh xạ kí hiệu là .
. : X R
x x

Được gọi là chuẩn trên X nếu nó thoả mãn các tiên đề sau:
1. x  X , x  0; x  0  x  0
2. x  X ,   K , x   x
3. x, y  X , x  y  x  y

Số x được gọi là chuẩn của vecto x.
Định nghĩa 2: Giả sử X là không gian vecto trên trường K, x là một chuẩn trên X, Khi đó
cặp  X , .  được gọi là không gian định chuẩn.
Định nghĩa 3: (Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn)
A được gọi là toán tử tuyến tính bị chặn nếu M  0 sao cho : x  X , Ax  M . x (*). M là
một cận trên của toán tử A.
Số M nhỏ nhất thoả mãn (*) gọi là chuẩn của toán tử A. Kí hiệu A .
Khi đó A  inf M  0 / Ax  M . x , x  X 
Định nghĩa 4: Dãy điểm x n  trong không gian định chuẩn X hội tụ đến điểm x  X nếu
lim x n  x  0 . Kí hiệu lim x n  x hay x n  x( n   )

n 

n 

Định nghĩa 5: Dãy điểm x n  trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản (hay

dãy Cauchy) nếu lim x n  x m  0 .
n ,m

1.2. Sai số
1.2.1. Sai số, số xấp xỉ
1.2.1.1. Sai số tuyệt đối:
1.2.1.2. Sai số tương đối
1.2.2. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc
1.2.2.1. Chữ số có nghĩa
1.2.2.2. Chữ số chắc.





Xét số a=   p 10 p   p 1 .10 p 1  ...   p  q .10 p  q . Chữ  j được gọi là chữ số chắc nếu
i

 a  .10 . Với  là số cho trước.


2

1.2.3. Sai số quy tròn và quy tròn số.
1.2.4. Cách viết số xấp xỉ
1.2.5. Các phép tính về sai số
1.2.5.1. Các phép tính: Giả sử đại lượng f có sai số tuyệt đối giới hạn là  f và sai số tương đối là

 f . Mà  f  f ; f là số gia của đại lượng f: 1. Nếu u=x+y+z thì  u   x   y   z , (x, y,
z>0)
2. u=x-y thì  u 

x  y
xy

, (x,y >0)

3. u=xyz thì  u   x   y   z , (x, y, z >0)
x
4. u  thì  u   x   y , (x,y>0)
y
1.2.5.2. Công thức tổng quát về sai số
Nếu f là hàm số khả vi liên tục và u  f x1 , x 2 ,..., x n  , f>0

n
n
f
 ln f
thì:  u 
 xi ,  u 
 xi .

x
xi
i
i 1
i 1





1.2.6. Sai số phương pháp, sai số tính toán và sự ổn định tính
1.2.6.1. Sai số tính toán và sai số phương pháp
1.2.6.2. Sự ổn định của quá trình tính
1.3. Hệ phương trình đại số tuyến tính
1.3.1. Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính
1.3.2. Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình tuyến tính khi m=n.
1.3.2.1. Định lý Cramer:
1.3.2.2. Biện luận về số nghiệm của hệ phương trình
1.3.3. Phân tích sai số
1.3.3.1. Số điều kiện của ma trận
1.3.3.2. Phân tích sai số
Giả sử x là nghiệm của phương trình Ax=b (1).

x '  x  x là nghiệm của phương trình Ax’=b’ với b’=b+ b
A( x)
1
1 A(x)
1
Khi đó : x  inf
. x 
. x 
A(x )
m x  0 x
m x
m

1
1
b  .
Suy ra x 
Ax  . Do đó x 
m
m
x M b
b
b
1
1
x 
M x 
Ax 

 cond ( A)

. Vậy
M
M
M
x
mb
b

1.4. Các định nghĩa trong hoá lý
1.4.1. Nhiệt dung.
Định nghĩa: Nhiệt dung là nhiệt lượng cần để làm nóng hệ thêm 10C.


3

1.4.2. Hằng số cân bằng của phản ứng
khi một phản ứng đạt trạng thái cân bằng thì tỉ số giữa tích các hoạt độ của các sản phẩm
phản ứng (được nâng luỹ thừa với số mũ bằng hệ số tỉ lượng trong phương trình phản ứng) và tích
tương ứng của các chất phản ứng là một hằng số (ở nhiệt độ cho sẵn).
CHƯƠNG 2:MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2.1. Hệ phương trình tuyến tính
2.2. Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
2.2.1. Phương pháp Gauss
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1

a x  a 22 x 2  ...  a 2n x n  b2
Xét hệ phương trình  21 1
(2.2.1.1)
............................................

a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
Trong đó a i , j , i  1, m; j  1, n là hệ số của hệ
x1, x 2 ,..., x n là ẩn cần tìm; bi với i  1, m là vế phải của hệ.

2.2.1.1.

Nội dung phương pháp Gauss.
Quá trình thuận:
+Giả thiết a11  0 . Loại trừ ẩn

x1

ra khỏi hệ kể từ phương trình thứ 2 trở đi. Khi này trừ

phương trình đầu , ta còn n-1 phương trình n-1 ẩn là x 2 , x3 ,..., x n .
+ Lặp lại quá trình trên đối với hệ mới này, ta sẽ loại trừ ẩn

x2 kể từ phương trình thứ 3 trở

đi. Ta nhận được hệ gồm n-2 phương trình n-2 ẩn là x 3 , x 4 ,..., x n .
+ Quá trình trên lặp đi lặp lại, cuối cùng ta nhận được hệ có dạng tam giác
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
 ...
1
 a 22
x 2  ...  a 21n x n  b2

(2.2.1.2)

...

...
...
...
 ...
1
 ...
...
...
a mn
x n  bm
Quá trình ngịch:
+ Từ hệ (2.2.1.2) giải ra được x n . Bằng cách thế dần ta nhận được x1 , x 2 ,..., x n và đó
chính là nghiệm của hệ phương trình.
2.2.1.2.

Đánh giá phương pháp Gauss
+ Ưu điểm: Khối lượng tính toán ít hơn ct Cramer.
+ Nhược điểm: Khi tìm nghiệm của hệ phương trình ta phải chia cho hệ số a ii( k )  0 , thì

nghiệm sẽ gặp sai số lớn.
2.2.1.3.

Một số ví dụ


4

6
 x1  0,3 x 2  x3  x 4 
x 

2 x 2  x3  x 4   2

Ví dụ : Giải hệ phương trình:  1
2
x

x2 
x3  x 4  1,5
 1
3x1  0,5 x 2  x3  2 x 4  1
x3 
x4 
6
 x1  0,3 x 2 

2,3x 2  2 x 3  2 x 4  8


 0,4 x 2  3 x3  3 x 4  10,5


1,4 x 2  2 x 3  5 x 4  17
x3 
x4 
6
 x1  0,3 x 2 

2,3 x 2 
2 x3 
2x4 

8



7
,
7
x

7
,
7
x

27
,35
3
4


53,13 x 4  165,6
 x1  2.3321
 x  0,3896
 2

 x3  0,435
 x 4  3,116

2.2.2. Phương pháp Gauss-Joocdan
2.2.2.1. Nội dung phương pháp:

Bước 1: Xét ma trận mở rộng A 0   A B  của hệ (2.2.1.1).
 a11 ... a1 j ... a1q ... a1n a1,n 1 


0   a i1 ... a ij ... a iq ... a in a i , n 1  i 
(2.2.2.1)
A 
a
... a pj ... a pq ... a pn a p ,n 1   p 
 p1

 a n1 ... a nj ... a nq ... a nn a n ,n 1 


(j)

(q)

. Chọn phần tử a pq của ma trận A sao cho a pq  max a ij , với 1  i, j  n .
Ta sẽ loại ẩn x q ra khỏi phương trình thứ i  p .
. Các bước loại ẩn x q ra khỏi phương trình thứ i  p .
a iq
Đặt mi 
(i  1, n, i  p ) . Lấy hàng p nhân với mi rồi lần lượt lấy các hàng i trừ đi hàng p ta
a pq
được:
(j)
ai1  a pj mi

1 (i) ................

A 
( p)  a p1

................

...
...
...
...

aij  a pj m j
..................
..................
..................

(q)
...
...
...
...

aij  a pj m j ai ,n1  a p,n1m2 

.................. .........................

a pq ............ a p ,n1

.................. .........................

5

Đặt a ij1  a ij  a pj .mi  a ij 

a pj a iq
a pq

i  1,2,..., n, n  1 

i p


j  1,2,..., n, n  1

jq

(2.2.2.2)

Khi i=p thì a pj1  a pj ; j  1, n  1 ;
Khi j=q thì a iq1  a iq 

a pq a iq
a pq

0; i p .

Kết quả ma trận A (1) có các phần tử a ij1 như sau:
. Các phần tử thuộc hàng giải thứ p thì a pj1  a pj ; j  1, n  1 được giữ nguyên.
. Các phần tử thuộc cột giải thứ q đều bằng 0 trừ phần tử a pq
.Các

phần

tử

khác

đều

tính

theo

công

thức:

a ij1  a ij 

a pj a iq
a pq

; i  p; j  q

(2.2.2.3)

. A 1 có dạng:

 1
1

1
 a11 ....a1 j ....0....a1n
 .................0........
 1
1
1
 a i1 ....a ij ....0....a in
A 1   ................0........
 1
1
1
....a pn
a p1 ....a pj1 ....a pq

 .................0........
1
 a n11 ....a nj1 ....0....a nn


a11,n 1 


1 
a i ,n 1 


a p1,n 1 


1 

a n,n 1 

(2.2.2.4)

Bước 2: Lặp lại

quá trình như bước 1 đối với ma trận (2.2.2.4) để có ma trận A 2  . Cứ tiếp tục như vậy sau n bước
ta sẽ thu được ma trận A n  mà mỗi hàng chỉ còn một phần tử ứng với ẩn x k và cột ở vế phải. Từ
đó ta có nghiệm của hệ.
2.2.2.2. Đánh giá thuật toán.
a, Ưu điểm: Số lượng phép tính giảm đáng kể, có thể tìm được nghiệm ngay khi thuật toán
kết thúc.Tránh được sai số lớn trong quá trình tính toán.
b, Nhược điểm: Đối với hệ phương trình có hệ số không nguyên, số lượng ẩn lớn thì công
thức (2.2.2.3) được thực hiện nhiều lần sẽ cho kết quả không chính xác.
2.2.2.3. Một số ví dụ
8 x1  3 x 2  2 x 3  20

Ví dụ : Giải hệ phương trình sau: 4 x1  11x 2  x 3  33
6 x  2 x  12 x  36
2
3
 1

Ta lập ma trận để tính theo công thức (2.2.2.3).


6

7


0 
2
14 
45
0 36
4

2 12 36



7
8  3 2 20
9
~


A 0   4 11  1 33   A 1  
2
6 2 12 36 
6



14  7 0 28 

1 
 A  18 45 0 144
6
2 12 36 



A

2 

108 0 0 181


  6 15 0 48 
 6
0 15 33 


Hệ tương đương

 84

~ 2   5
 A   18
 24
5


1267 
45 
45 0 144 
0 12 132 
5 
0

0




181 
108 0 0

683 
3  
 A  0 15 0

18 
 0
0 15

413 


18 


108 x1  181

683

15 x 2 
18


413

15 x3  18

Vậy hệ có nghiệm là: x1 

181

 x1  108

683

  x2 
270

413

 x3  270


181
683
413
; x2 
; x3 
.
108
270
270

2.2.3. Phương pháp Cholesky
2.2.3.1. Nội dung phương pháp:
Xét phương trình AX=B

(2.2.3.1)

Trong đó A là ma trận vuông cấp n; B= b1 ; b2 ;...; bn 

t

Ta biết ma trận vuông A (detA  0) luôn phân tích được thành tích của 2 ma trận tam giác trên và
ma trận tam giác dưới.: A=P.Q
0
0 0 
 p11
q11
p

0
p 22 0 0 
Trong đó: P=  21
; Q= 
 ...
 ...
... ... ... 



 p n1 p n 2 ... p nn 
0

q12
q 22
...
0

... q1n 
... q 2n 
... ... 

0 q nn 

Từ A=P.Q ta được hệ gồm n 2 phương trình, n2+n ẩn là pij(i  j); qij(i  j).Đó là hệ vô định.
Thông thường trong trường hợp này ta chọn pii=1,  i= 1, n (hoặc qii=1), ta được hệ n 2
phương trình, n2 ẩn.
Từ (2.2.3.1) và (2.2.3.2) ta được: B=AX=PQX.


7

Đặt QX=Y(2.2.2.3

Suy ra PY=B

(2.2.3.4)

Hệ (2.2.3.3) và (2.2.3.4) có dạng tam giác. Giải (2.2.3.4) được Y, Giải tiếp (2.2.3.3) ta
được X là nghiệm của hệ (2.2.3.1).

 

Trong trường hợp A= a ij

i , j 1, n

là ma trận đối xứng ( aij

 aji ;i  j ), thì A có thể phân tích

thành tích của ma trận tam giác trên, dưới, có đặc điểm P=Qt (Qt là ma trận chuyển vị của Q).
 s11
0
S= 
 ...

0

Gọi Q=S=[Sij]; Sij=0 i
s12
s 22
...
0

s13
s 23
...
0

... s1n 

... s 2 n 
... ... 

... s nn 

Thì P=Qt=St và phương trình (8) được viết lại: AX=St.S.X=B
Đặt SX=Y

StY=B

(2.2.3.5);

(2.2.3.6)

Giải hệ (2.2.3.6) ta được Y, giải tiếp hệ (2.2.3.5) được X là nghiệm của hệ (2.2.3.1).
Mô tả cụ thể cách tìm ma trận S và công thức tìm nghiệm của hệ (2.2.3.5) và (2.2.3.6).

s11  a11 ; s1 j 

a1 j
s11

i1

; j  2, n ; sii  aii 

2
ki

s

; i  2, n .

k 1

i 1

a ij 
s ij 

s

ki .s kj

k 1

; i j ;

s ii

;

sij  0

i j ;

i 1

Giải hệ

b
S Y=B để tìm Y, ta có: y1  1 ; y i 
s11

bi 

t

Sau đó giải tiếp hệ SX=Y để tìm X, ta có : x n 

s
k 1

sii

ki

yk
(i  1)

yn
;
s nn

n

yi 
xi 

s

k i 1

s ii

ik

xk

(2.2.3.8)

(i  n )

2.2.3.2. Đánh giá thuật toán.
Ưu điểm: Thuật toán áp dụng cho cả trường hợp

bij

là những số thuần ảo.

Nhược điểm: Khối lượng tính toán lớn, Quá trình thực hiện phức tạp.
2.2.3.3. Ví dụ
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:


8

 x1 
 3x 
 1

 2 x1 


 2 x1 

3x 2  2 x3 
4x2 
5x2 
x2 
3x2 

5 x3
3x 3
2 x3
2 x3

2 x 5  1,5

 x 4  3 x 5  5,6
 2 x 4  2 x5  6,4
 5 x 4  3 x 5  8,1
 3x 4  4 x5  3

Giải:
3  2 0  2
1
 3
4  5 1  3

Ma trận hệ số: A   2  5 3  2 2 



1 2 5
3 
 0
 2  3 2
3
4 

Là ma trận đối xứng. A=St.S

Ta tìm ma trận S như sau:
a1 j
s11  a11  1 ; s1 j 
 s12  3; s13  2; s14  0; s15  2 .
s11
i 1

sii  a ii 

s

2
ki

2
 s 22  4  s12
 2,2361i (i là đơn vị ảo).

k 1

s 33  0,8944i; s 44  3,0414; s 55  0,8221i;

Tương tự ta có:

s 23  s 24  0,4472i;

s 25  1,3416i ;

s 34  0,0125i ;

s 35  1,5653i ;

s 45  2,2194 .

Theo công thức (StY=B) ta được: y1 

b1 0,5

 1,5 ;
s11
1

y 2  0,492i ;

y 3  10,7558i ; y 4  2,6351 ; y 5  18,166i ;
y
Theo công thức (2.2.3.5) SX=Y ta có: x 5  5  22,097 ;
s 55

x 4  15,2584 ; x 3  50,4847 ;

x 2  0,11045 ; x1  54,944

2.2.4. Phương pháp lặp đơn.
2.2.4.1. Cơ sở lý thuyết:
Định nghĩa ánh xạ co:
Nguyên lý ánh xạ co:
Định lý: Nếu B  1 . Khi đó mọi dãy lặp x k 1  Bx k  g ; k=0,1,2,…;
đều hội tụ đến nghiệm duy nhất x* của hệ (2.2.4.1) và x k  x * 
2.2.4.2. Thuật toán
Cho hệ phương trình tuyến tính: Ax=C (1)
B1: Ấn định sai số cho phép  , (  0)

B
1 B

x0

bất kì cho trước,

x k  x k 1 ; k=1,2,…


9

B2: Đưa hệ AX=B về hệ tương đương x=Bx+g

(2.2.4.1)

B3: Kiểm tra điều kiện B <1
B4: Chọn x 0 tuỳ ý.
B5: Tính x k 1  Bx k  g ; k=0,1,2,.. cho tới khi x k  x k 1   thì dừng quá trình tính toán.
B
B6: Kết luận nghiệm x*=xk với sai số x k  x * 
.
1 B
2.2.4.3. Đánh giá thuật toán
2.2.4.4. Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn:
5,6 x1  1,5 x 2  2,3 x 3  1,7

2,2 x1  9 x 2  4,5 x 3  9,7
 1,3 x  0,22 x  5,8 x  1,4
1
2
3

 x1  0,44 x1  0,15 x 2  0,23 x 3  0,17

Giải:  x 2  0,22 x1  0,1x 2  0,45 x 3  0,97
 x  0,13 x  0,22 x  0,42 x  0,14
1
2
3
 3
3

Ta có:

3

b

1j

=0,44+0,15+0,23=0,82;

j 1

b

2j

=0,22+0,1+0,45=0,77

j 1

3

b

3j

=0,13+0,022+0,42=0, B



 max0,82;0,77;0,572  0,82  1

j 1

Theo định lý 2.4 ta có phép lặp đơn: x  k   Bx  k 1  g .
Chọn x 0   (0,0,0) Ta thu được kết quả thể hiện ở bảng sau:

x2

x3

0,17

0,97

-0,14

1

0,1315

1,0926

-0,3901

2

0,153693

1,225875

-0,527119

3

0,174981

1,295979

-0,6111

4

0,19315

1,3361

-0,65903

5

0,20615

1,35768

-0,68563

6

0,21475

1,3689

-0,69985

7

0,22012

1,3746

-0,7072

8

0,2233

1,3773

-0,7108

k

x1

0

Kết luận: nghiệm xấp xỉ của hệ: x=(0,2233; 1,3773; -0,7108).
2.2.5. Phương pháp trực giao
2.2.5.1. Cơ sở lý thuyết


10

Giải hệ AX=B với ma trận A không suy biến. Ta viết lại hệ trên dưới dạng toạ độ như sau:
 n
 a ij x j  bi  0
 j 1

i  1, n



(2.2.5.1)

Xét quá trình trực giao hoá Hilbert-Schmidt cho hệ ai in11 ta được:
u1

u1  a1v1  u
1

(2.2.5.2)

k 1
uk
u  a 
, k  2,3,..., n  1
a k , vi vi , v k 
k
 k
uk
i 1




Xét u n 1  (t1 , t 2 ,..., t n 1 )
n 1
Giả sử t n 1  0 , theo tính chất dãy u i i 1 rút ra u n 1 trực giao với mọi vecto a i
 n
 a ij t j  0
( i  1, n ).Vậy:  j 1

i  1, n



Vì u n 1 trực giao với mọi a i ( i  1, n ) nên ta có:
tj
 n
 n
 bi  0
 a ij  bi t n1  0
 a ij
  j 1 t n 1
u n 1 , ai   0; i  1, n   j 1


i  1, n
i  1, n



 

Chứng tỏ x  x j

n
;
j 1

xj 

tj
t n 1



, j  1, n là nghiệm của hệ.

2.2.5.2. Sơ đồ tính toán:Cho hệ AX=B
 n
 aij  bi  0
B1: Viết hệ (2.2.2.1) dưới dạng:   j 1

i  1, n



(2.2.5.1)
(2.2.5.2)

B2: Đặt ai  ai1 , ai 2 ,...,ain ; i  1, n ; a n 1  0,0,...,1 với a i 1  R n 1 .

B3: Trực giao hoá Hilbert_Schmidt
u1

u1  a1v1  u
1

(2.2.5.3)

k 1
uk
u  a 
, k  2,3,..., n  1
a k , vi vi , v k 
k
 k
uk
i 1




n 1

Tìm được hệ vecto u i i 1 . Đặt u n 1  t1 , t 2 ,..., t n 1  . Suy ra t n 1  0 .

 

B4: Kết luận nghiệm x  x j

n

j 1

;xj 

tj
t n 1

; j  1, n

(2.2.5.4)


11

 x1  2 x 2  x 3  1

2.2.5.3. Ví dụ: Giải hệ phương trình bằng phương pháp trực giao: 2 x1  5 x 2  x3  1
 x  x  3x  1
2
3
 1

Giải:

 x1  2 x 2  x3  1  0

Viết hệ trên về dạng: 2 x1  5 x 2  x 3  1  0
 x  x  3x  1  0
2
3

 1

Đặt a1  1;2;1;1 ; a 2  2;5;1;1 ; a 3  1;1;3;1 .
Tính các u1 ; v1 theo công thức (2.2.5.3) ta được:
 1 2 1
1 
 ;
;
;
;
u1  1;2;1;1 ; v1  
7
 7 7 7
 1
1 1 
 ;
;
;
u 2  0;1;1;1 ; v 2   0;
3
3 3



1 1 
1 1 
1 1
 ; u 4   ; ; ;  .
;
u 3  0;0;1;1 ; v 3   0;0;

7
21
42
42 

2 2


Tính x j theo công thức (5.2.3) ta được:
1 1
1 1
1 1
x1  :
 6 ; x2   :
 2 ; x 3   :
 1
7 42
21 42
42 42
2.2.5.4. Đánh giá thuật toán
Ưu điểm: - Phương pháp này tương đối đơn giản, dễ lập trình trên máy.
- Khối lượng tính toán ít (cỡ n 3 phép tính).
Nhược điểm: Tuy nhiên không ổn định và kém chính xác so với phương pháp Gauss. Do quá
trình trực giao hoá Hilber_Schmidt theo công thức (2.2.5.3) không ổn định. Sai số nhỏ có thể làm
n

hệ vecto vi i 1 không còn trực giao nữa.

CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

3.1. Tìm hàm biểu thị sự phụ thuộc nhiệt dung phân tử của các chất vào nhiệt độ.
Bài toán 1:
Tìm hàm phụ thuộc của nhiệt dung phân tử axetilen vào nhiệt độ. Biết sự phụ thuộc được
biểu thị bằng các số liệu thực nghiệm sau:
T

300

400

500

600

700

800

900

1000

Cp

9,91

11,07

12,13

13,04

13,82

14,51

15,10

15,63

Cho sự phụ thuộc Cp vào nhiệt độ T là hàm có dạng:

Cp=a+bT+cT2.


12

Giải : Việc tính toán các hệ số a, b, c được đưa về giải hệ phương trình tuyến tính sau:

2
 y i  na  b xi  c x i
i
1
 i

2
3
(3.1.1)
 x i y i  a x i  b xi  c x i
i

i
i
 i
 x2 y  a x2  b x3  c x4
i i
i
i
i

i
i
i
 i























Trong đó các biến x i 

Ti  300
được đưa vào nhằm tránh sử dụng các số quá lớn.
100

105,21  8a  28b  140c

Ta có: 402,29  28a  140b  784c
2070,29  140a  784b  4676c


(3.1.2)

Sử dụng pp Gauss giải hệ phương trình trên ta được kết quả
a  9,928; b  1,197; c  -0,0552.
Vậy
C p  5,84  15,28.10 3 T  5,52.10 6 T 2
Kiểm tra kết quả đạt được:
T

300

400

500

600

Cp

9,9271

11,069

12,129

13,0217

T

700

800

900

1000

Cp

13,832

14,533

15,123

15,57

Bài toán 2: Tìm hàm biểu thị sự phụ thuộc của nhiệt dung phân tử graphit vào nhiệt độ.
Biết sự phụ thuộc được biểu thị bằng các số liệu thực nghiệm sau:
Ti

400

500

600

700

800

900

1000

(Cp)i

2,9

3,5

4,0

4,47

4,75

4,96

5,14

Ti

1100

1200

1300

1400

1500

1600

1700

(Cp)i

5,29

5,4

5,54

5,66

5,70

5,83

5,89

Ti

1800

1900

2000

2100

2200

2300

(Cp)i

5,95

6,00

6,05

6,09

6,13

6,17

Cho Sự phụ thuộc Cp vào nhiệt độ T là hàm có dạng: C p  a  bT  cT 2
Giải: a,b,c là nghiệm của hệ phương trình sau:
Việc giải hệ phương trình này với các ẩn a, b, c cho chúng ta kết quả.
20a  27000b  0,0002413c  105, 42

Tacó 27000a  43.100.000b  0,003383c  151.835
(3.1.7)
0,0002413a  0,003383b  7, 452.1011 c  0,101.103



13

Sử dụng phương pháp Gauss giải hệ phương trình trên ta nhận được kết quả:
Vậy Cp=4,84664+0,000655T+(-380801,837570)T-2
Kiểm tra kết quả đạt được
Ti

400

500

600

(Cp)i 2,8285 3,6507 4,1816
Ti

1100

(Cp)i

5,252

Ti

1800

1200

1300

5,3678 5,5407
1900

700

800

4,502

4,775

1400

1500

5,66

2000

2100

900

1000

4,9657 5,1205
1600

1700

5,6593 5,7543 5,8277
2200

2300

(Cp)i 5,9074 5,9850 6,0607 6,1350 6,2082 6,2083
Vậy sai số của Cp tính bằng hàm vừa tìm được so với kết quả đo thực nghiệm là không
đáng kể.
3.2. Tìm hàm biểu thị sự phụ thuộc hằng số cân bằng của các chất vào nhiệt độ.
Phương trình biểu thị sự phụ thuộc của hằng số cân bằng vào nhiệt độ có dạng:

1
1
1
F (T )  
(  H 00   a.T . ln T   b.T 2   c.T 3  IT )
4,576 .T
2
6
Bài toán 3: Ta có phản ứng MoO3=Mo+3O.
Xác định hằng số cân bằng của các quá trình phân li này ở các nhiệt độ khác nhau.
Biết các giá trị thực nghiệm lgKp ở nhiều nhiệt độ khác nhau như sau:
Ti

1000

lgKp -71,721
Ti

2500

lgKp -15,983

1075

1500

1873

2000

-65,244

-40,767

-28,431

-25,28

2896

4000

-10,894

-1,999

ta có hệ phương trình tuyến tính sau:
0,694.106.H 00  7, 442.103 a  0,8741.b  613, 49.c

3
 1,011.10 .I  0,19806517
7, 442.103.H 0  100a  14261,05.b  12264115,01.c
0

 13, 205.I  1883,832

0
7
1,7483.H 0  28522.106a  4649319, 274.b  452.10 .c


 3680.94.I  386322,59
3680,94.H 0  73584870.a  1,356.1010 b  146,1.1011.c
0

 9298638,549.I  6,62947.108

0
0,001011.H 0  13,205a  1840, 47.b  1549773,091.c
 1,74825.I  260,319


Sử dụng phương pháp Gauss và phần mềm pascal ta có kết quả sau:
H 00  4,227821699.10 5 ;

a  3,2794064602 ;

b  3,1697759471.10 3 ;


14

c  8,6761150243.10 7 ;
I  73,374435355 .
1
F (T )  
(422782,1699  3, 2794604602T .ln T
4,576.T
Kiểm tra kết quả đạt được
1
1

 .3,1697759471.103.T 2  .8,6761150243.107.T 3  73,374435355T )
2
6

Ti

1000

1075

1500

1873

lgKp

-71,7209

-65,2442

-40,7668

-28,4309

Ti

2000

2500

2896

4000

lgKp

-25,2800

-15,9831

-10,8939

-1,999

Vậy sai số của lgKp tính bằng hàm vừa tìm được so với kết quả đo thực nghiệm là không
đáng kể.

KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày hai nhóm phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính đó
là nhóm phương pháp trực tiếp và nhóm phương pháp lặp. Luận văn nêu được phương pháp giải,
các ví dụ cụ thể và đánh giá thuật toán. Luận văn đã chỉ ra những ưu điểm, nhược điểm của từng
phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính đã được trình bày.
Ngoài ra luận văn đã trình bày một số ứng dụng việc giải hệ phương trình tuyến tính trong
các bài toán hoá lý. Đó là bài toán tìm hàm biểu thị sự phụ thuộc nhiệt dung phân tử của các chất
vào nhiệt độ và hàm biểu thị sự phụ thuộc hằng số cân bằng của các chất vào nhiệt độ.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong tìm tòi và nghiên cứu, song do bản thân em chưa tiếp
cận nhiều với công việc nghiên cứu nên chưa có nhiều sáng tạo trong quá trình nghiên cứu. Vì vậy


15

luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp của các thầy cô
để đề tài thực sự là đóng góp có ích.

MỞ ĐẦU
4. Lý do chọn đề tài.
Việc giải bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính có ý nghĩa to lớn trong việc
nghiên cứu khoa học cũng như trong thực tế.
Để tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính bằng lý thuyết của đại số tuyến tính phải
thực hiện rất nhiều các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng, cột của ma trận. Điều này làm tăng khối
lượng tính toán, hơn nữa lại gặp khó khăn về vấn đề logic trong trình bày. Mặt khác khi xây dựng
chương trình trên máy tốn nhiều thời gian và mất nhiều bộ nhớ. Vì vậy trong thời gian sử lý số liệu
không tránh khỏi sai số dù là rất nhỏ nhưng cũng ảnh hưởng trực tiếp đến quá trình tính toán.
Chính vì vậy phải sử dụng các thuật toán sao cho khi xây dựng trên máy tính tiết kiệm thời
gian và bộ nhớ nhất, đồng thời giảm thiểu sai số một cách tối đa.
Các nhà toán học đã tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng hệ phương trình tuyến
tính. Mỗi phương pháp có những ưu điểm, nhược điểm nhất định. Vì vậy đối với một hệ phương
trình tuyến tính bất kì, việc áp dụng phương pháp nào sẽ cho kết quả tốt nhất cho việc nghiên cứu
là rất quan trọng, nó mang đến lợi ích rất lớn trong ứng dụng vào khoa học và thực tiễn.
Chính vì vậy cùng với sự hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Văn Hùng, tôi đã chọn nghiên
cứu đề tài:
“ Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính”.
Tuy nhiên đề tài chỉ tập trung vào nghiên cứu 3 phương pháp trực tiếp là phương pháp
Gauss, Gauss-joocdan và phương pháp Cholesky, 2 phương pháp lặp là phương pháp lặp đơn và
phương pháp trực giao hoá
5. Mục đích nghiên cứu.
-Đề tài nghiên cứu một số phương pháp số giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính.
- Nghiên cứu ứng dụng bài toán về nhiệt động lực học.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu.

16

-Luận văn tập trung nghiên cứu và hệ thống hoá các phương pháp giải gần đúng hệ phương
trình tuyến tính. Phân tích các ưu điểm, nhược điểm của từng phương pháp.
-Ứng dụng tìm hàm biểu thị phụ thuộc của nhiệt dung phân tử các chất, hằng số cân bằng các
chất vào nhiệt độ.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
- Phương pháp Gauss, phương pháp Gauss-Joocdan, phương pháp Cholesky, phương pháp lặp
đơn và phương pháp trực giao giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính.
-Các bài toán hoá lý
5. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp nghiên cứu của giải tích số và đại số tuyến tính
6. Dự kiến đóng góp mới.
Luận văn trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản và các ví dụ đối với mỗi
phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính trong phạm vi luận văn nghiên cứu.

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian định chuẩn
1.1.1. Một số định nghĩa
Định nghĩa 1: Giả sử X là một không gian vecto trên trường K

(K=R hoặc K=C). Một

ánh xạ kí hiệu là .
. : X R
x x

Được gọi là chuẩn trên X nếu nó thoả mãn các tiên đề sau:
1. x  X , x  0; x  0  x  0

2. x  X ,   K , x   x
3. x, y  X , x  y  x  y
Số x được gọi là chuẩn của vecto x.
Định nghĩa 2: Giả sử X là không gian vecto trên trường K, x là một chuẩn trên X, Khi đó
cặp  X , .  được gọi là không gian định chuẩn.
Định nghĩa 3: (Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn)
A được gọi là toán tử tuyến tính bị chặn nếu M  0 sao cho : x  X , Ax  M . x (*). M là
một cận trên của toán tử A.
Số M nhỏ nhất thoả mãn (*) gọi là chuẩn của toán tử A. Kí hiệu A .
Khi đó A  inf M  0 / Ax  M . x , x  X 
Định nghĩa 4: Dãy điểm x n  trong không gian định chuẩn X hội tụ đến điểm x  X nếu
lim x n  x  0 . Kí hiệu lim x n  x hay x n  x( n   )

n 

n 


17

Định nghĩa 5: Dãy điểm x n  trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản (hay
dãy Cauchy) nếu lim x n  x m  0 .
n , m 

1.2. Sai số
1.2.1. Sai số, số xấp xỉ
1.2.1.1. Sai số tuyệt đối:
1.2.1.2. Sai số tương đối
1.2.2. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc
1.2.2.1. Chữ số có nghĩa

1.2.2.2. Chữ số chắc.





Xét số a=   p 10 p   p 1 .10 p 1  ...   p  q .10 p  q . Chữ  j được gọi là chữ số chắc nếu
i

 a  .10 . Với  là số cho trước.

1.2.3. Sai số quy tròn và quy tròn số.
1.2.4. Cách viết số xấp xỉ
1.2.5. Các phép tính về sai số
1.2.5.1. Các phép tính: Giả sử đại lượng f có sai số tuyệt đối giới hạn là  f và sai số tương đối là

 f . Mà  f  f ; f là số gia của đại lượng f: 1. Nếu u=x+y+z thì  u   x   y   z , (x, y,
z>0)
2. u=x-y thì  u 

x  y
xy

, (x,y >0)

3. u=xyz thì  u   x   y   z , (x, y, z >0)
x
4. u  thì  u   x   y , (x,y>0)
y
1.2.5.2. Công thức tổng quát về sai số

Nếu f là hàm số khả vi liên tục và u  f x1 , x 2 ,..., x n  , f>0
n
n
f
 ln f
thì:  u 
 xi ,  u 
 xi .

x
xi
i
i 1
i 1





1.2.6. Sai số phương pháp, sai số tính toán và sự ổn định tính
1.2.6.1. Sai số tính toán và sai số phương pháp
1.2.6.2. Sự ổn định của quá trình tính
1.3. Hệ phương trình đại số tuyến tính
1.3.1. Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính
1.3.2. Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình tuyến tính khi m=n.
1.3.2.1. Định lý Cramer:
1.3.2.2. Biện luận về số nghiệm của hệ phương trình
1.3.3. Phân tích sai số
1.3.3.1. Số điều kiện của ma trận
1.3.3.2. Phân tích sai số

18

Giả sử x là nghiệm của phương trình Ax=b (1).
x '  x  x là nghiệm của phương trình Ax’=b’ với b’=b+ b
A( x)
1
1 A(x )
1
Khi đó : x  inf
. x 
. x 
A(x )
x

0
m
x
m x
m

1
1
Suy ra x 
b  .
Ax  . Do đó x 
m
m


x
M b
b
b
1
1
. Vậy
x 
M x 
Ax 

 cond ( A)
M
M
M
x
mb
b
1.4. Các định nghĩa trong hoá lý
1.4.1. Nhiệt dung.
Định nghĩa: Nhiệt dung là nhiệt lượng cần để làm nóng hệ thêm 10C.
1.4.2. Hằng số cân bằng của phản ứng
khi một phản ứng đạt trạng thái cân bằng thì tỉ số giữa tích các hoạt độ của các sản phẩm
phản ứng (được nâng luỹ thừa với số mũ bằng hệ số tỉ lượng trong phương trình phản ứng) và tích
tương ứng của các chất phản ứng là một hằng số (ở nhiệt độ cho sẵn).
CHƯƠNG 2:MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2.1. Hệ phương trình tuyến tính
2.2. Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
2.2.1. Phương pháp Gauss

a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1

a x  a 22 x 2  ...  a 2n x n  b2
Xét hệ phương trình  21 1
(2.2.1.1)
............................................
a m1 x1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
Trong đó a i , j , i  1, m; j  1, n là hệ số của hệ

x1, x 2 ,..., x n là ẩn cần tìm; bi với i  1, m là vế phải của hệ.
2.2.1.4.

Nội dung phương pháp Gauss.
Quá trình thuận:
+Giả thiết a11  0 . Loại trừ ẩn

x1

ra khỏi hệ kể từ phương trình thứ 2 trở đi. Khi này trừ

phương trình đầu , ta còn n-1 phương trình n-1 ẩn là x 2 , x3 ,..., x n .
+ Lặp lại quá trình trên đối với hệ mới này, ta sẽ loại trừ ẩn

x 2 kể từ phương trình thứ 3 trở

đi. Ta nhận được hệ gồm n-2 phương trình n-2 ẩn là x 3 , x 4 ,..., x n .
+ Quá trình trên lặp đi lặp lại, cuối cùng ta nhận được hệ có dạng tam giác
a11 x1  a12 x 2  ...  a1n x n  b1
 ...
1

 a 22
x 2  ...  a 21n x n  b2

(2.2.1.2)

...
...
...
...
 ...
1
 ...
...
...
a mn
x n  bm


19

Quá trình ngịch:
+ Từ hệ (2.2.1.2) giải ra được x n . Bằng cách thế dần ta nhận được x1 , x 2 ,..., x n và đó
chính là nghiệm của hệ phương trình.
2.2.1.5.

Đánh giá phương pháp Gauss
+ Ưu điểm: Khối lượng tính toán ít hơn ct Cramer.
+ Nhược điểm: Khi tìm nghiệm của hệ phương trình ta phải chia cho hệ số a ii( k )  0 , thì

nghiệm sẽ gặp sai số lớn.

2.2.1.6.

Một số ví dụ

6
 x1  0,3 x 2  x3  x 4 
x 
2 x 2  x3  x 4   2

Ví dụ : Giải hệ phương trình:  1
2
x

x2 
x3  x 4  1,5
 1
3x1  0,5 x 2  x3  2 x 4  1
x3 
x4 
6
 x1  0,3 x 2 

2,3x 2  2 x 3  2 x 4  8


 0,4 x 2  3 x3  3 x 4  10,5


1,4 x 2  2 x 3  5 x 4  17
x3 

x4 
6
 x1  0,3 x 2 

2
,
3
x

2
x

2
x

8

2
3
4


7
,
7
x

7
,
7

x
27,35
3
4 


53,13 x 4  165,6
 x1  2.3321
 x  0,3896
 2

 x3  0,435
 x 4  3,116

2.2.2. Phương pháp Gauss-Joocdan
2.2.2.1. Nội dung phương pháp:
Bước 1: Xét ma trận mở rộng A 0   A B  của hệ (2.2.1.1).
 a11 ... a1 j ... a1q ... a1n a1,n 1 


0   a i1 ... a ij ... a iq ... a in a i , n 1  i 
(2.2.2.1)
A 
a
... a pj ... a pq ... a pn a p ,n 1   p 
 p1

 a n1 ... a nj ... a nq ... a nn a n ,n 1 



(j)

(q)

. Chọn phần tử a pq của ma trận A sao cho a pq  max a ij , với 1  i, j  n .
Ta sẽ loại ẩn x q ra khỏi phương trình thứ i  p .
. Các bước loại ẩn x q ra khỏi phương trình thứ i  p .


20

Đặt mi 

a iq
a pq

(i  1, n, i  p ) . Lấy hàng p nhân với mi rồi lần lượt lấy các hàng i trừ đi hàng p ta

được:
(j)
ai1  a pj mi

1 (i) ................
A 
( p)  a p1

................

...
...

...
...

(q)

aij  a pj m j
..................
..................
..................

Đặt a ij1  a ij  a pj .mi  a ij 

a pj a iq
a pq

...
...
...
...

aij  a pj m j ai ,n1  a p,n1m2 

.................. .........................

a pq ............ a p ,n1

.................. .........................

i  1,2,..., n, n  1 


i p


j  1,2,..., n, n  1

jq

(2.2.2.2)

Khi i=p thì a pj1  a pj ; j  1, n  1 ;
Khi j=q thì a iq1  a iq 

a pq a iq
a pq

0; i p .

Kết quả ma trận A (1) có các phần tử a ij1 như sau:
. Các phần tử thuộc hàng giải thứ p thì a pj1  a pj ; j  1, n  1 được giữ nguyên.
. Các phần tử thuộc cột giải thứ q đều bằng 0 trừ phần tử a pq
.Các

phần

tử

khác

đều

tính

theo

công

thức:

a ij1  a ij 

a pj a iq
a pq

; i  p; j  q

(2.2.2.3)

. A 1 có dạng:

 1
1
1
 a11 ....a1 j ....0....a1n
 .................0........
 1
1
1
 a i1 ....a ij ....0....a in
A 1   ................0........
 1

1
1
....a pn
a p1 ....a pj1 ....a pq

 .................0........
1
 a n11 ....a nj1 ....0....a nn


a11,n 1 


1 
a i ,n 1 


a p1,n 1 


1 
a n,n 1 

(2.2.2.4)

Bước 2: Lặp lại

quá trình như bước 1 đối với ma trận (2.2.2.4) để có ma trận A 2  . Cứ tiếp tục như vậy sau n bước
ta sẽ thu được ma trận A n  mà mỗi hàng chỉ còn một phần tử ứng với ẩn x k và cột ở vế phải. Từ
đó ta có nghiệm của hệ.

2.2.2.2. Đánh giá thuật toán.


21

a, Ưu điểm: Số lượng phép tính giảm đáng kể, có thể tìm được nghiệm ngay khi thuật toán
kết thúc.Tránh được sai số lớn trong quá trình tính toán.
b, Nhược điểm: Đối với hệ phương trình có hệ số không nguyên, số lượng ẩn lớn thì công
thức (2.2.2.3) được thực hiện nhiều lần sẽ cho kết quả không chính xác.
2.2.2.4. Một số ví dụ
8 x1  3 x 2  2 x 3  20

Ví dụ : Giải hệ phương trình sau: 4 x1  11x 2  x 3  33
6 x  2 x  12 x  36
2
3
 1

Ta lập ma trận để tính theo công thức (2.2.2.3).
7


7
0 

2
8  3 2 20
14
 9 45


~


A 0   4 11  1 33   A 1  
0 36
2 4

6 2 12 36 
2 12 36
6




14  7 0 28 

1 
 A  18 45 0 144
6
2 12 36 


A

2 

108 0 0 181


  6 15 0 48 

 6
0 15 33 


Hệ tương đương

 84

~ 2   5
 A   18
 24
5


1267 
45 
45 0 144 
0 12 132 
5 
0

0




181 
108 0 0

683 

3  
 A  0 15 0

18 
 0
0 15

413 


18 


108 x1  181

683

15 x 2 
18

413

15 x3  18

Vậy hệ có nghiệm là: x1 

181

 x1  108


683

  x2 
270

413

 x3  270


181
683
413
; x2 
; x3 
.
108
270
270

2.2.3. Phương pháp Cholesky
2.2.3.1. Nội dung phương pháp:
Xét phương trình AX=B

(2.2.3.1)

Trong đó A là ma trận vuông cấp n; B= b1 ; b2 ;...; bn 

t

22

Ta biết ma trận vuông A (detA  0) luôn phân tích được thành tích của 2 ma trận tam giác trên và
ma trận tam giác dưới.: A=P.Q
0
0 0 
 p11
q11
p

0
p 22 0 0 
Trong đó: P=  21
; Q= 
 ...
 ...
... ... ... 



 p n1 p n 2 ... p nn 
0

q12
q 22
...
0

... q1n 

... q 2n 
... ... 

0 q nn 

Từ A=P.Q ta được hệ gồm n 2 phương trình, n2+n ẩn là pij(i  j); qij(i  j).Đó là hệ vô định.
Thông thường trong trường hợp này ta chọn pii=1,  i= 1, n (hoặc qii=1), ta được hệ n 2
phương trình, n2 ẩn.
Từ (2.2.3.1) và (2.2.3.2) ta được: B=AX=PQX.
Đặt QX=Y(2.2.2.3

Suy ra PY=B

(2.2.3.4)

Hệ (2.2.3.3) và (2.2.3.4) có dạng tam giác. Giải (2.2.3.4) được Y, Giải tiếp (2.2.3.3) ta
được X là nghiệm của hệ (2.2.3.1).

 

Trong trường hợp A= a ij

i , j 1, n

là ma trận đối xứng ( aij

 aji ;i  j ), thì A có thể phân tích

thành tích của ma trận tam giác trên, dưới, có đặc điểm P=Qt (Qt là ma trận chuyển vị của Q).

Gọi Q=S=[Sij]; Sij=0 i
 s11
0
S= 
 ...

0

s12
s 22
...
0

s13
s 23
...
0

... s1n 
... s 2 n 
... ... 

... s nn 

Thì P=Qt=St và phương trình (8) được viết lại: AX=St.S.X=B
Đặt SX=Y

(2.2.3.5);

StY=B

(2.2.3.6)

Giải hệ (2.2.3.6) ta được Y, giải tiếp hệ (2.2.3.5) được X là nghiệm của hệ (2.2.3.1).
Mô tả cụ thể cách tìm ma trận S và công thức tìm nghiệm của hệ (2.2.3.5) và (2.2.3.6).

s11  a11 ; s1 j 

a1 j
s11

i1

; j  2, n ; sii  aii 

2
ki

s

; i  2, n .

k 1

i 1

a ij 
s ij 

s
k 1

s ii

ki .s kj

; i j ;

;

sij  0

i j ;

i 1

Giải hệ

b
S Y=B để tìm Y, ta có: y1  1 ; y i 
s11
t

Sau đó giải tiếp hệ SX=Y để tìm X, ta có : x n 

bi 

s
k 1

s ii
yn
;
s nn

ki

yk
(i  1)


23

n

yi 
xi 

s

ik

k i 1

s ii

xk

(2.2.3.8)

(i  n )

2.2.3.2. Đánh giá thuật toán.
Ưu điểm: Thuật toán áp dụng cho cả trường hợp

bij

là những số thuần ảo.

Nhược điểm: Khối lượng tính toán lớn, Quá trình thực hiện phức tạp.
2.2.3.3. Ví dụ
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
3x 2  2 x3 
2 x 5  1,5
 x1 
 3 x  4 x  5 x  x  3 x  5,6
2
3
4
5
 1
 2 x1  5 x 2  3x 3  2 x 4  2 x5  6,4

x 2  2 x 3  5 x 4  3 x 5  8,1

 2 x1  3 x 2  2 x 3  3 x 4  4 x 5  3
Giải:
3  2 0  2
1

 3
4  5 1  3

Ma trận hệ số: A   2  5 3  2 2 


1 2 5
3 
 0
 2  3 2
3
4 

Là ma trận đối xứng. A=St.S

Ta tìm ma trận S như sau:
a1 j
s11  a11  1 ; s1 j 
 s12  3; s13  2; s14  0; s15  2 .
s11
i 1

sii  a ii 

s

2
ki

2

 s 22  4  s12
 2,2361i (i là đơn vị ảo).

k 1

s 33  0,8944i; s 44  3,0414; s 55  0,8221i;

Tương tự ta có:

s 23  s 24  0,4472i;

s 25  1,3416i ;

s 34  0,0125i ;

s 35  1,5653i ;

s 45  2,2194 .

Theo công thức (StY=B) ta được: y1 

b1 0,5

 1,5 ;
s11
1

y 2  0,492i ;

y 3  10,7558i ; y 4  2,6351 ; y 5  18,166i ;

y
Theo công thức (2.2.3.5) SX=Y ta có: x 5  5  22,097 ;
s 55
x 2  0,11045 ; x1  54,944

2.2.4. Phương pháp lặp đơn.
2.2.4.1. Cơ sở lý thuyết:
Định nghĩa ánh xạ co:

x 4  15,2584 ; x 3  50,4847 ;


24

Nguyên lý ánh xạ co:
Định lý: Nếu B  1 . Khi đó mọi dãy lặp x k 1  Bx k  g ; k=0,1,2,…;
đều hội tụ đến nghiệm duy nhất x* của hệ (2.2.4.1) và x k  x * 

B
1 B

x0

bất kì cho trước,

x k  x k 1 ; k=1,2,…

2.2.4.2. Thuật toán
Cho hệ phương trình tuyến tính: Ax=C (1)
B1: Ấn định sai số cho phép  , (  0)

B2: Đưa hệ AX=B về hệ tương đương x=Bx+g

(2.2.4.1)

B3: Kiểm tra điều kiện B <1
B4: Chọn x 0 tuỳ ý.
B5: Tính x k 1  Bx k  g ; k=0,1,2,.. cho tới khi x k  x k 1   thì dừng quá trình tính toán.
B
B6: Kết luận nghiệm x*=xk với sai số x k  x * 
.
1 B
2.2.4.3. Đánh giá thuật toán
2.2.4.4. Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn:
5,6 x1  1,5 x 2  2,3 x 3  1,7

2,2 x1  9 x 2  4,5 x 3  9,7
 1,3 x  0,22 x  5,8 x  1,4
1
2
3

 x1  0,44 x1  0,15 x 2  0,23 x 3  0,17

Giải:  x 2  0,22 x1  0,1x 2  0,45 x 3  0,97
 x  0,13 x  0,22 x  0,42 x  0,14
1
2
3
 3
3

Ta có:



3

b1 j =0,44+0,15+0,23=0,82;

j 1

b

2j

=0,22+0,1+0,45=0,77

j 1

3

b

3j

=0,13+0,022+0,42=0, B



 max0,82;0,77;0,572  0,82  1

j 1

Theo định lý 2.4 ta có phép lặp đơn: x  k   Bx  k 1  g .
Chọn x 0   (0,0,0) Ta thu được kết quả thể hiện ở bảng sau:

x2

x3

0,17

0,97

-0,14

1

0,1315

1,0926

-0,3901

2

0,153693

1,225875

-0,527119

3

0,174981

1,295979

-0,6111

4

0,19315

1,3361

-0,65903

5

0,20615

1,35768

-0,68563

6

0,21475

1,3689

-0,69985

k

x1

0