Một số kỹ thuật giải hệ phương trình

M

T S

K

THU

T GI

I H

PH

NG TRèNH
Luy

n thi
i H

c 2011

Giỏo viờn: Lấ B B

O
T

Toỏn THPT Phong i
n

(lo

i)

M

T S


PHNG PHP

GI

I H

PHNG TRèNH

Tham kh

o T

p chớ THTT 2010
Trong cỏc thi
i h

c nh
ng nm gn õy, ta g
p r

t nhi

u bi toỏn v

h


phng tr
ỡnh
. Nh

m giỳp cỏc b

n ụn thi t

t, bi vi

t ny chỳng tụi xin gi

i thi

u m

t s


d

ng bi v k nng gi
i.

I.H

S

D

NG
PHNG PHP BI
N I TNG NG.

c i
m chung c

a d

ng h

ny l s

d
ng cỏc k nng bin i
ng nh
t
c
bi

t l k nng phõn tớch nhm a m
t PT trong h

v

d

ng n gi
n ( cú th

rỳt
theo
y
ho
c ng
c l

i ) r

i th

vo PT cũn l

i trong h

.
*Lo

i th

nh

t:
Trong h

cú m

t phng trỡnh b
c nh

t v

i

n x ho

c y khi ú ta tỡm
cỏch rỳt y theo x ho
c ng
c l

i.
Vớ d

1. Gi

i h
phng trỡnh
(
)
(
)
(
)
(

)
2 2
2
1 1 3 4 1 1
1 2
ỡ
+ + + = - +
ù
ớ
+ + =
ù
ợ
x y x y x x
xy x x

Gi

i. D

th

y
0
=x
khụng th

a món PT(2) nờn t

(2) ta cú :
2

1
1
-
+ =
x
y
x
thay vo (1) ta


c

(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2 2 2
1 1
x . 3 4 1 1 2 1 1 3 1
ổ ử
- -
+ = - + - - = - -
ỗ ữ
ố ứ
x x

x x x x x x x
x x

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 3 2
1
1 2 2 1 1 3 1 1 2 2 4 0 0
2
=
ộ
ờ
- + - - = - - - + - = =
ờ
ờ
= -
ở
x
x x x x x x x x x x x
x

T
ú, ta
c cỏc nghi

m c

a h

l : (1;
-
1) , (
-
2;
5
2
-
)

*Lo

i th

hai: M
t phng trỡnh trong h
cú th
a v
d

ng tớch c

a cỏc phng trỡnh
b

c nh

t hai

n.
Vớ d

2 . Gi

i h
phng trỡnh
(
)
(
)
2 2
2 1
2 1 2 2 2
ỡ
+ + = -
ù
ớ
- - = -
ù
ợ
xy x y x y
x y y x x y

Gi

i .
i
u ki

n:
1, 0 x y


PT (1)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 0 2 0 - - - + = + - - + =x xy y x y x y x y x y
( t

i
u ki

n
ta cú
0

+ >x y
)


2 1 0 2 1 - - = = +x y x y
thay vo PT (2) ta
c :

(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 1 2 2 0 y 0 2 5
+ = + + - = = ị =y x y y y y do y x

*Lo

i th

ba:
a mt phng trỡnh trong h
v

d
ng phng trỡnh b
c hai c

a m

t

n,

n cũn l

i l
tham s

.

Vớ d

3.
Gi

i h

phng trỡnh
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2 2

5 4 4 1
5 4 16 8 16 0 2
ỡ
= + -
ù
ớ
- - + - + =
ù
ợ
y x x
y x xy x y

Gi

i .Bi
n
i PT (2) v

d

ng
(
)
2 2
4 8 5 16 16 0
- + - + + =y x y x x

M

T S

K

THU

T GI

I H

PH

NG TRèNH
Luy

n thi
i H

c 2011

Giỏo viờn: Lấ B B

O
T

Toỏn THPT Phong i
n


Coi PT (2) l phng trỡnh
n y tham s

x ta cú
2
' 9D = x
t
ú ta
c nghi

m
(
)
(
)
5 4 3
4 4
ộ
= +
ờ
= -
ờ
ở
y x
y x


Thay (3) vo (1) ta
c:
(
)
(

)
(
)
2
4
0
5 4 5 4 4
5
0 4
ộ
= - ị =
ờ
+ = + -
ờ
= ị =
ở
x y
x x x
x y


Thay (4) vo (1) ta

c
:
(
)
(
)
(

)
2
4 0
4 5 4 4
0 4
= ị =
ộ
- = + -
ờ
= ị =
ở
x y
x x x
x y

V

y nghi

m c

a h

l
: (0;4) , (4;0) ,
4
;0
5
ổ ử
-

ỗ ữ
ố ứ

II.
H

S

D

NG
PHNG PHP
T

N PH


i
m quan tr

ng nh

t trong
h

d

ng
ny l phỏt hi

n

n ph


(
)
(
)
, ; ,= =a f x y b g x y
cú
ngay trong t

ng phng trỡnh ho
c xu

t hi

n sau m

t phộp bi

n
i h

ng
ng th

c c
b

n ho

c phộp chia cho m

t bi

u th

c khỏc 0.
Vớ d

4
. Gi

i h

phng trỡnh
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2

1 4 1
1 2 2
ỡ
+ + + =
ù
ớ
+ + - =
ù
ợ
x y y x y
x y x y

Gi

i .


D

th

y
1=y
khụng th

a món PT(1) nờn HPT
(
)
2
2

1
4
1
2 1
ỡ
+
+ + =
ù
ù

ớ
ổ ử
+
ù
+ - =
ỗ ữ
ù
ố ứ
ợ
x
y x
y
x
y x
y



t
2

2
1
, 2
1
+ =
ỡ
+
= = + - ị
ớ
=
ợ
a b
x
a b y x
ab
y
gi

i h
ta
c
1= =a b
t
ú ta cú h

2
1
3
ỡ
+ =

ớ
+ =
ợ
x y
x y

H

ny b

n
c cú th

gi

i d

dng.

Vớ d

5.
Gi

i h

ph
ng tr
ỡnh
(

)
(
)
2 2
2
3
4 4 7
1
2 3
ỡ
+ + + =
ù
+
ù
ớ
ù
+ =
ù
+
ợ
xy x y
x y
x
x y

Gi

i .
i
u ki

n :
0+ ạx y

HPT
(
)
(
)
(
)
2 2
2
3
3 7
1
3
ỡ
+ + - + =
ù
+
ù

ớ
ù
+ + + - =
ù
+
ợ
x y x y

x y
x y x y
x y

M
Ộ
T S
Ố
K
Ỷ
THU
Ậ
T GI
Ả
I H
Ệ
PH
ƯƠ
NG TRÌNH
Luy
ệ
n thi Đạ
i H
ọ
c 2011

Giáo viên: LÊ BÁ B
Ả
O
T

ổ
Toán THPT Phong Điề
n

Đặ
t
(
)
1
2 ; = + + ³ = -
+
a x y a b x y
x y
ta đượ
c h
ệ

(
)
(
)
2 2
3 13 1
3 2
ì
+ =
ï
í
+ =
ï

î
a b
a b

Gi
ả
i h
ệ ta đượ
c a=2 , b=1 ( do
2
³a
)
t
ừ đó ta có hệ

1
2
1 1
1 0
1
ì
+ + =
+ = =
ì ì
ï
+
Û Û
í í í
- = =
î î

ï
- =
î
x y
x y x
x y
x y y
x y

III.H
Ệ
S
Ử
D
Ụ
NG
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

H
ệ
lo
ạ
i này ta g
ặ
p nhi
ề
u
ở
hai d
ạ

ng
( ) 0=f x
(1)và
( ) ( )=f x f y
(2) v
ớ
i
f
là hàm đơn
đi
ệ
u trên t
ậ
p D và
, x y
thu
ộ
c D .Nhi
ề
u khi ta c
ầ
n ph
ả
i
đánh giá ẩ
n
, x y

để

, x y
thu
ộ
c t
ậ
p
mà hàm
f
đơn đi
ệ
u

* Lo
ạ
i th
ứ
nh
ấ
t: M
ột phương trình trong hệ
có d
ạ
ng
( ) ( )=f x f y
, phương tr
ình còn l
ạ
i
giúp ta gi
ớ

i h
ạ
n
,
x y

thu
ộ
c t
ậ
p D để trên để trên đó hàm
f
đơn điệ
u
.
Ví d
ụ
6 . Gi
ả
i h
ệ phương trình
(
)
(
)
3 3
8 4
5 5 1
1 2
ì

- = -
ï
í
+ =
ï
î
x x y y
x y

Gi
ả
i .
T
ừ
PT (2) ta có
8 4
1; 1 1; 1£ £ Û £ £x y x y

Xét hàm s
ố
(
)
[
]
3
5 ; 1;1
= - Î -f t t t t
có
(
)

[
]
2
' 3 5 0; 1;1
= - < " Î -f t t t
do đó
( )f t

ngh
ị
ch bi
ế
n trên
kho
ả
ng (
-
1;1) hay
PT (1)
Û =x y
thay vào PT (2) ta đư
ợ
c PT
:
8 4
1 0+ - =x x

Đặ
t
4

0= ³a x
và gi
ải phương trình ta đượ
c
4
1 5 1 5
2 2
- + - +
= Þ = = ±a y x

*Lo
ạ
i th
ứ
hai:
Là d
ạ
ng h
ệ
đố
i x
ứ
ng lo
ạ
i hai mà khi gi
ả
i thườ
ng d
ẫ
n đế

n c
ả
hai trườ
ng
h
ợ
p (1) và (2)
Ví d
ụ
7. Gi
ả
i h
ệ phương trình
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
-
-
ì
+ - + = +
ï
í
+ - + = +
ï
î
y
x
x x x
y y y

Gi
ả
i .

Đặ
t
1; 1= - = -a x b y
ta đượ
c h
ệ

(
)
(
)
2
2
1 3 1
1 3 2
ì
+ + =
ï
í
+ + =
ï
î
b
a
a a

b b

Tr
ừ
v
ế
v
ớ
i v
ế 2 PT ta đượ
c :
2 2
1 3 1 3+ + + = + + +
a b
a a b b
(3)
Xét hàm s
ố

(
)
(
)
2
2
2
1
1 3 ; ' 3 ln3
1
+ +

= + + + = +
+
t t
t t
f t t t f t
t

Vì
(
)
2 2 2 /
1 1 0 0,
+ > ³ - Þ + + > Þ > "t t t t t f t t
do đó hàm số

( )f t
đồ
ng
bi
ế
n trên R

Nên PT (3)
Û =a b
thay vào PT (1) ta đượ
c
2
1 3
+ + =
a

a a
(4)

Theo nh
ậ
n xét trên thì
2
1 0+ + >a a
nên PT (4)
(
)
2
ln 1 ln3 0
Û + + - =a a a


( l
ấ
y ln hai v
ế
)
M
Ộ
T S
Ố
K
Ỷ
THU
Ậ
T GI

Ả
I H
Ệ
PH
ƯƠ
NG TRÌNH
Luy
ệ
n thi Đạ
i H
ọ
c 2011

Giáo viên: LÊ BÁ B
Ả
O
T
ổ
Toán THPT Phong Điề
n

Xét hàm s
ố

(
)
(
)
(
)

2
2
1
ln 1 ln3; g' ln3 1 ln3 0,
1
= + + - = - < - < " Î
+
g a a a a a a R
a

hay hàm
( )
g a
ngh
ị
ch bi
ế
n trên

và do PT (4) có nghi
ệ
m
0=a
nên PT (4) có
nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
0=a

T
ừ
đó ta đượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ban đầ
u là
:
1
= =x y
.

IV.
H
Ệ
S
Ử
D
Ụ
NG
PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

V
ớ
i phương pháp này,

c
ầ
n lưu ý phát hiệ
n các bi
ể
u th
ứ
c không âm và n
ắ
m v
ữ
ng cách v
ậ
n
d
ụ
ng các b
ất đẳ
ng th
ức cơ bả
n.
Ví d
ụ
8 . Gi
ả
i h
ệ phương trình
2
2
3

2
2
3
2
2 9
2
2 9
ì
+ = +
ï
- +
ï
í
ï
+ = +
ï
- +
î
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y

Gi
ả
i.

C

ộ
ng v
ế
v
ớ
i v
ế
hai PT
ta đượ
c
2 2
2 2
3
3
2 2
2 9 2 9
+ = +
- + - +
xy xy
x y
x x y y
(1)
Ta có :
(
)
2
2
3
3
2 2

3 3
2 2
2
2 9 1 8 2
2
2 9 2 9
- + = - + ³ Þ £ £ =
- + - +
xy xy
xy
x x x xy
x x x x

Tương tự

2
3
2
2 9
£
- +
xy
xy
x x
mà theo b
ấ
t đẳ
ng th
ứ
c Côsi

2 2
2+ ³x y xy

Nên VT(1)
£
VP(1)
D
ấ
u b
ằ
ng x
ả
y ra khi
x y 1
0
= =
é
ê
= =
ë
x y
th
ử
l
ại ta đượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a h

ệ
là: (0;0) , (1;1)
Ví d
ụ
9
. Gi
ả
i h
ệ
phương trình
3
3
3 4
2 6 2
ì
= - + +
ï
í
= - -
ï
î
y x x
x y y

Gi
ả
i. HPT
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3
2
3
2 3 2
2 1 2 1
2 2 3 2
2 2 1 2 2
ì
ì
- = - - -
- = - + -
ï ï
Û Û
í í
- = - -
- = + -

ï ï
î
î
y x x
y x x
x y y
x y y

N
ế
u
2>x
t
ừ
(1) suy ra
2 0- <y
di
ề
u này mâu thu
ẫ
n v
ớ
i PT(2) có
(
)
2
-x
và
(
)

2-y
cùng d
ấ
u
.
Tương t
ự
v
ớ
i
2<x
ta cũng suy ra điề
u vô lí
. V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
là
2
= =x y
.

M
Ộ
T S
Ố
K
Ỷ
THU
Ậ
T GI
Ả
I H
Ệ
PH
ƯƠ
NG TRÌNH
Luy
ệ
n thi Đạ
i H
ọ
c 2011

Giáo viên: LÊ BÁ B
Ả

O
T
ổ
Toán THPT Phong Điề
n

Hy v
ọ
ng m
ộ
t s
ố
ví d
ụ
trên s
ẽ
giúp b
ạ
n ph
ần nào kĩ năng giả
i h
ệ
.
Để
k
ế
t thúc bài
vi
ế
t m

ờ
i các b
ạ
n cùng gi
ả
i các h
ệ
phương trình sau

BÀI T
Ậ
P T
Ự
LUY
Ệ
N

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3

2 2
3
3 2
2
4 2
3 2
2 3 8
3 2 16
1) 2)
2 4 33
2 6
2 2 1 1
3 9
3) 4)
4 2 3 48 48 155 0
4 1 ln 2
ì
+ =
- - =
ì
ï
í í
+ - - =
- =
î
ï
î
+ - - = +
ì
+ =

ï
í
+ - - - + =
+ + + + =
ï
î
x y
xy x y
x y x y
x y
x x y x y
x y
y x y y x
y x y x 0
ì
ï
í
ï
î
3 2
2 2
2 2
2 2 2
2
3 2
2
2
2 4 1 3 5
5) 6)
0

44
2007
2 0
1
7) 8)
2 3 6 12 13 0
2007
1
ì
ì
+ =
+ + + + = - + - + -
ï ï
í í
+ + - =
+ + + =
ï
ï
î
î
ì
= -
ï
ì
- + =
-
ï
í í
+ + - + =
ï

= -
ï
-
î
x
y
x y
x x x y y y
x xy y y
x y x y
y
e
x y x y
y
x
x x y x
e
x
ï
ï
î

M

T S

K

THU

T GI

I H

PH

NG TRèNH
Luy

n thi
i H

c 2011

Giỏo viờn: Lấ B B

O
T

Toỏn THPT Phong i
n

M

T S

CH í

KHI GI

I H

PHNG TRèNH

Tham kh

o T

p chớ THTT 400- 2010
Bi toỏn 1: (A- 2008) Gi

i h


phng tr
ỡnh:

(
)
2 3 2
4 2
5
4
5
1 2
4
x y x y xy xy
x y xy x
ỡ
+ + + + = -
ù
ù

ớ
ù
+ + + = -
ù
ợ

L

i gi

i:
H

ó cho tng ng v
i

(
)
2 3 2
2
2
5
4
5
4
x y x y xy xy
x y xy
ỡ
+ + + + = -
ù

ù
ớ
ù
+ + = -
ù
ợ

Suy ra
(
)
(
)
2
2 2 2
x y xy x y x y+ + + = +

(
)
(
)
2 2
1 0x y x y xy + + - - =

a)
2
2
0
0
5
4

x y
x y
xy
ỡ
+ =
ù
+ = ị
ớ
= -
ù
ợ
(I)
H

(I) cú nghi

m
(
)
3
3
5 25
; ;
4 16
x y
ổ ử
= -
ỗ ữ
ố ứ

b)
2
2
1
2
1 0
3
2
x y
x y xy
xy
ỡ
+ = -
ù
ù
+ - - = ị
ớ
ù
= -
ù
ợ
(II)
H

(II) cú nghi

m
(
)
3

; 1;
2
x y
ổ ử
= -
ỗ ữ
ố ứ

V

y h
ó cho cú hai nghi
m
(
)
;
x y
l
3
3
5 25
;
4 16
ổ ử
-
ỗ ữ
ố ứ
;
3
1;

2
ổ ử
-
ỗ ữ
ố ứ
.
Bi toỏn 2:
(B- 2009) Gi

i h

phng trỡnh:

2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
+ + =
ỡ
ớ
+ + =
ợ

L

i gi

i: D

th

y
0y ạ
nờn h
ó cho tng ng v
i

2
2
2
1
1
7
7
1
1
13
13
x
x
x
x
y y
y y
x
x
x
x
y y

y y
ỡ
ỡ
+ + =
+ + =
ù
ù
ù ù

ớ ớ
ổ ử
ù ù
+ + =
+ - =
ỗ ữ
ù ù
ợ
ố ứ
ợ




M

T S

K

THU

T GI

I H

PH

NG TRèNH
Luy

n thi
i H

c 2011

Giỏo viờn: Lấ B B

O
T

Toỏn THPT Phong i
n

Suy ra
2
1 1
20 0x x
y y
ổ ử ổ ử
+ + + - =

ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
.
a)
1
5
1
5
12
x
y
x
y
x y
ỡ
+ = -
ù
+ = - ị
ớ
ù
=
ợ
(H

vụ nghi

m)
b)
1
4

1
4
3
x
y
x
y
x y
ỡ
+ =
ù
+ = ị
ớ
ù
=
ợ
. Tr

ng h

p ny h

cú hai nghi

m
(
)
1
; 1;
3

x y
ổ ử
=
ỗ ữ
ố ứ
v
(
)
(
)
; 3;1
x y =
.
Nh

n xột: Qua hai vớ d

thi tuy

n sinh nờu trờn, chỳng ta th

y r
ng ụi khi ch
c

n
bi

n i c b
n, d

a vo cỏc h

ng
ng th

c l cú th


c k

t qu

. Ta xột ti

p cỏc vớ d


ũi h
i cỏc phộp bi
n
i ph

c t
p hn.

Bi toỏn 3: Gi

i h
phng trỡnh:

12
1 2
3
12
1 6
3
x
y x
y
y x
ỡ
ổ ử
- =
ù
ỗ ữ
+
ùố ứ
ớ
ổ ử
ù
+ =
ỗ ữ
ù
+
ố ứ
ợ

L

i gi

i:
i
u ki

n
0, 0, 3 0x y y x> > + ạ
. H
ó cho tng ng v
i

1 3
12 2
1
1
3
12 6
1 3 12
1
3
3
x y
y x
x
y x
y
y x
x y
ỡ

ỡ
+ =
- =
ù
ù
+
ù ù

ớ ớ
-
ù ù
- =
- =
ù ù
+
+
ợ
ợ

Suy ra
2
2 2
1 9 12
6 27 0 6 27 0.
3
y y
y xy x
x y y x x x
-
ổ ử ổ ử

- = ị + - = ị + - =
ỗ ữ ỗ ữ
+
ố ứ ố ứ

Tỡm

c
3
y
x
=
v
9
y
x
= -
(lo

i). V

i
3
y
x
=
ta

c
(

)
(
)
2 2
1 3 ; 3 1 3
x y= + = +
.
Bi toỏn 4: Gi

i h

phng trỡnh:

log log (1)
2 2 3 (2)
y x
x y
xy y
ỡ
=
ù
ớ
+ =
ù
ợ

L

i gi

i:
i

u ki

n
0, 0, 1, 1
x y x y> > ạ ạ
.

T

(1) cú
2
2 0t t+ - =
v

i
log
y
t x=
.
a) V

i
log 1
y
x
=
, ta

c
2
3
log
2
x y
ổ ử
= =
ỗ ữ
ố ứ
.

b) V

i
log 2
y
x = -
, ta

c
2
1
x
y
=
. Th
vo (2)
c
2

1
2 2 3 (3)
y
y
+ =

Tr

ng h

p ny PT (3) vụ nghi

m. Th

t v

y:
+ N

u
1
y >
thỡ
2 2
1 1
2 2; 2 1 2 2 3
y y
y y
> > ị + >
.

M

T S

K

THU

T GI

I H

PH

NG TRèNH
Luy

n thi
i H

c 2011

Giỏo viờn: Lấ B B

O
T

Toỏn THPT Phong i
n

+ N

u
0 1y< <
thỡ
2
1
1
y
>
suy ra:
2 2
1 1
2 1; 2 2 2 2 3
y y
y y
> > ị + >
.
V

y h
ó cho ch
cú m

t nghi

m
(

)
2 2
3 3
; log ;log
2 2
x y
ổ ử
ổ ử ổ ử
=
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ ố ứ
ố ứ
.

Bi toỏn 5: (D

b

D- 2008) Gi

i h
phng trỡnh:

2 2
2 2
2 2
36 60 25 0
36 60 25 0
36 60 25 0

x y x y
y z y z
z x z x
ỡ
- + =
ù
- + =
ớ
ù
- + =
ợ

L

i gi

i: H
ó cho tng ng v
i
2
2
2
2
2
2
60
36 25
60
36 25
60

36 25
x
y
x
y
z
y
z
x
z
ỡ
=
ù
+
ù
ù
=
ớ
+
ù
ù
=
ù
+
ợ

Hi

n nhiờn h

ny cú nghi

m
(
)
(
)
; ; 0;0;0 .
x y z =

Di õy ta xột
, , 0x y z ạ
.
T

h

trờn ta th

y
, , 0x y z >
. S

d

ng b
t
ng th

c Cauchy ta cú:

2 2 2
2
2
60 60 60
36 25 60
2 36 .25
x x x
y x
x x
x
= Ê = =
+
.
Tng t ta thu
c
y x z y
Ê Ê Ê
. Suy ra
x y z
= =
. T

ú suy ra h
cú m

t nghi

m n

a
5
.
6
x y z= = =

Bi toỏn 6:
Gi

i h
phng trỡnh:

(
)
3
4
1 8
1
x y x
x y
ỡ
- - = -
ù
ớ
- =
ù
ợ

L

i gi

i:
k
1, 0.x y
Th


y
t
PT(2) vo PT(1) ta
c
(
)
2
3
1 1 8 (3)
x x x- - - = -

T

(3) cú
3 2
1 2 9 (4)x x x x- = - + - +

Xột hm s


(
)

3 2
( ) 2 9 1f x x x x x= - + - +
. Ta cú
(
)
/ 2
( ) 3 2 2 0 1f x x x x= - + - < "
.
Suy ra hm s


( )
f x
luụn luụn ngh

ch bi

n khi
1x
.
M

t khỏc, hm s


( ) 1g x x= -
luụn ngh

ch bi

n khi
1x
nờn
2x =
l nghi

m duy
nh

t c

a PT(4).
V

y h

cú m

t nghi

m duy nh

t
(
)
(
)
; 2;1x y =
.

Nh

n xột:

i v

i bi toỏn trờn, dung cụng c
o hm
gi

i quy

t l r

t hay, tuy
nhiờn, ta c
ng cú th trỏnh c
o hm b

ng cỏch bi
n
i khộo lộo
nh sau:

M

T S

K

THU

T GI

I H

PH

NG TRèNH
Luy

n thi
i H

c 2011

Giỏo viờn: Lấ B B

O
T

Toỏn THPT Phong i
n

(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
2
3
2
2
PT(3) 1 1 1 1 8 0
2
2 2 2 4 0
1 1
1
2 Do 2 4 0, 1
1 1
x x x
x
x x x x x
x
x x x x
x
ộ ự
- - - - - + - =
ở ỷ
-
- - + - + + =
- +
ổ ử
= + + + > "
ỗ ữ

- +
ố ứ

Di õy, xin nờu mt bi toỏn trong
thi tuy
n sinh
i h

c g

n nh

t m n

u khụng
dựng
n cụng c


o hm thỡ khú cú th

gi

i quy

t
c.

Bi toỏn 7: (A- 2010) Gi

i h
phng trỡnh:

(
)
(
)
2
2 2
4 1 3 5 2 0 (1)
4 2 3 4 7 (2)
x x y y
x y x
ỡ
+ + - - =
ù
ớ
+ + - =
ù
ợ

L

i
gi

i:
k
3 5
;

4 2
x yÊ Ê
.
(
)
(
)
2
PT(1) 4 1 2 5 2 1 5 2x x y y + = - + -



t
(
)
(
)
2 2
2
1 1
5 2
x u
u u v v
y v
=
ỡ
ù
ị + = +
ớ
- =

ù
ợ
.

Hm
(
)
2
( ) 1f t t t= +
cú
/ 2
( ) 3 1 0f t t= + >
nờn
( )
f t
luụn
ng bi

n trờn

, suy ra:
2
0
2 5 2
5 4
2
x
u v x y
x
y

ỡ
ù
= = -
ớ
-
=
ù
ợ

Th


y
vo PT (2) ta

c:
2
2 2
5
4 2 2 3 4 0 (3)
2
x x x
ổ ử
+ - + - =
ỗ ữ
ố ứ

Nh

n th

y
0x =
v
3
4
x =
khụng ph

i l nghi

m c

a PT (3). Xột hm s

:
2
2 2
5
( ) 4 2 2 3 4
2
g x x x x
ổ ử
= + - + -
ỗ ữ
ố ứ
trờn
3
0;

4
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
.

Ta cú
(
)
/ 2 2
5 4 4
( ) 8 8 2 4 4 3 0
2
3 4 3 4
g x x x x x x
x x
ổ ử
= - - - = - - <
ỗ ữ
- -
ố ứ
trờn
3
0;
4
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
.
Suy ra

( )g x
ngh

ch bi

n trờn
3
0;
4
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
. Nh

n th

y
1
0
2
g
ổ ử
=
ỗ ữ
ố ứ
, nờn PT(3) cú nghi

m duy
nh

t
1
2
x =
. V

i
1
2
x =
thỡ
2y =
. V

y h
ó cho cú m
t nghi

m
(
)
1
; ;2
2
x y
ổ ử
=
ỗ ữ
ố ứ
.

Bi toỏn 8: Gi

i h
phng trỡnh:

5 4 10 6
2
(1)
4 5 8 6 (2)
x xy y y
x y
ỡ
+ = +
ù
ớ
+ + + =
ù
ợ

L

i gi

i:
Hi

n nhiờn
0
y ạ
. Chia h

ai v

c

a PT(1) cho
5
0y ạ
ta
c

5
5
x x
y y
y y
ổ ử ổ ử
+ = +
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
.
M
Ộ
T S
Ố
K
Ỷ
THU
Ậ
T GI
Ả

I H
Ệ
PH
ƯƠ
NG TRÌNH
Luy
ệ
n thi Đạ
i H
ọ
c 2011

Giáo viên: LÊ BÁ B
Ả
O
T
ổ
Toán THPT Phong Điề
n

Hàm s
ố

5
( )f t t t= +
có
/ 4
( ) 5 1 0, f t t t= + > "
nên hàm s
ố

( )f t
luôn đồ
ng bi
ế
n nên
2
.
x
y x y
y
= Û =
Th
ế

2
x y=
vào PT(2) ta đượ
c
4 5 8 6x x+ + + =
. Tìm đượ
c
1x =
.
V
ậ
y h
ệ
có hai nghi
ệ

m
(
)
(
)
; 1;1x y =
và
(
)
(
)
; 1; 1x y = -
.

BÀI T
Ậ
P T
Ự
LUY
Ệ
N:

Gi
ả
i các h
ệ phương trình sau:

4 3 2 2 4 3 2 2
3 2 2
1 2 2 9

1) 2)
1 2 6 6
2 6 2
11 1
3) 4)
7 6 26 3
2 3 2
x x y x y x x y x y x
x y x xy x xy x
x
y x y
x y y x
y
y x y x
x x y x y
ì ì
- + = + + = +
ï ï
í í
- + = - + = +
ï ï
î î
ì
+ = - -
ì
- - - =
ï
ï
í í
- + - =

ï
ï
î
+ - = + -
î
( ) ( )
( )
( )
2
2
2 2
2 2
1
1
2 3 4 6
2
2 2

12 20 0
5)
6)
ln 1 ln 1
2 2
3
2 2
2 2
2
7) 8)
2 1
2 2 4 1 0

x y x
x
y
x
x xy y
x y y x
x y x y
x y
x y y x x
xy
x y x
x y x x y x
+ -
-
ì
ì
- + =
+ = +
ï ï
í í
+ - + = -
- = -
ï
ï
î
î
ì
+ = +
+ + =
ï

ï
í
+ + = +
ï
+ - - + =
ï
î
( )
( )
2
3 2 3
3

1
3 3 2
9)
2 1
log log 3
1 2
y x
x x y y
x y
x
y x
ì
ï
í
ï
î
ì

- = - -
ï
í
æ ö
- -
æ ö
+ = -
ç ÷
ç ÷
ï
- -
è ø
è ø
î





Chuyờn

H
PHNG TRèNH

Luyn thi i hc 2011

Giỏo viờn:
Lấ B BO

T Toỏn THPT Phong in

H
PHNG TRèNH I S


Dng1:
H

PH

NG TRèNH B
C
NH
T
HAI
N


Dng tng quỏt:
1 1 1
2 2 2
(*)
a X b Y c
a X b Y c
+ =
ỡ
ớ
+ =
ợ

Phng

phỏp: Thụng th

ng
c
ú 3 ph

ng ph
ỏp


gi
i
h

ph

ng tr
ỡnh d
ng
(*).

Cỏch 1: Ph

ng ph
ỏp th

.

Cỏch 2: Ph

ng phỏp c
ng

i
s

.
Cỏch 3:
Phng phỏp dựng nh thc
.
Kớ hi
u
:
1 1 1 1 1 1
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
, ,
X Y
a b c b a c
D a b a b D c b c b D a c a c
a b c b a c
= = - = = - = = -

TH1:
0 :
D ạ

H

cú nghi
m
duy nh
t

X
Y
D
X
D
D
Y
D
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ

TH2:
0 : Và 0
X Y
D D D= = =
: H

cú vụ s

nghi
m
d
ng

(
)
{ }
0 0 1 0 1 0 1
;
X Y a X b Y c+ =

TH3:
0 : Hoặc , hoặc 0. Hệ vô nghiệm.
X Y
D D D= ạ

Bi t
p
:
Gi
i
c
ỏc h

ph

ng tr
ỡnh sau:
1)
6 5
3
9 10
1
x y
x y
ỡ
+ =
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ợ
2)
6 2
3
2 2
3 4
1
2 2
x y x y
x y x y
ỡ
+ =
ù

- +
ù
ớ
ù
+ = -
ù
- +
ợ
3)
6 3 2
5
1 1
4 2 4
2
1 1
x y
y x
x y
y x
-
ỡ
- =
ù
- +
ù
ớ
-
ù
- =
ù

- +
ợ

4)
2
2
2 2 1 3
2 1 4
x x y
x x y
ỡ
+ - - =
ù
ớ
+ + - =
ù
ợ
5)
3 6
1
1 2
2 3
7
1 2
x x
y y
x x
y y
-
ỡ

- =
ù
+ -
ù
ớ
-
ù
+ =
ù
+ -
ợ
6)
2 3 7
5
2 3
1 3 1
5
2 3
x y
x y
x y
x y
- +
ỡ
+ =
ù
- +
ù
ớ
+ +

ù
+ =
ù
- +
ợ

7)
(
)
(
)
1 1
3 2 6
1 1
3 2 4
x y
x y
x y
x y
ỡ
ổ ử
+ + - =
ù
ỗ ữ
ù ố ứ
ớ
ổ ử
ù
- + + =
ỗ ữ

ù
ố ứ
ợ
8)
4 1
3
1
2 2
4
1
x y
x y
ỡ
+ =
ù
-
ù
ớ
ù
- =
ù
-
ợ
9)
3( )
7
5 5
3
x y
x y

x y
y x
+
ỡ
= -
ù
-
ù
ớ
-
ù
=
ù
-
ợ

10)
8 1
17
7 3
x y
x y xy
ỡ
+ =
ù
ớ
ù
- =
ợ

11)
2
2
3 1
2 7 15
x y
x y
ỡ
+ =
ù
ớ
- =
ù
ợ
12)
2
2
5
2(4 ) 2
2
4 4
x
y
x
y
ỡ
- + =
ù
ù
ớ

ù
- + =
ù
ợ

13)
1 0
2 1
x y
x y
ỡ
- + =
ù
ớ
- =
ù
ợ
14)
1 2 1
1 3
x y
x y
ỡ
- + - =
ù
ớ
- + =
ù
ợ
15)

2 2
2 3 1
x y
x y
+ =
ỡ
ù
ớ
- =
ù
ợ

Chuyên
đề
H
Ệ PHƯƠNG TRÌNH

Luyện thi Đại học 2011

Giáo viên:
LÊ BÁ BẢO

Tổ Toán THPT Phong Điền

Dạng
2:
Hệ gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất


Dạng tổng quát:

2 2
0

0
ax by cxy dx fy e
Ax By C
ì
+ + + + + =
í
+ + =
î

Phương
pháp:
Từ phương trình bậc nhất, rút một ẩn theo ẩn còn lại và thay vào phương
trình bậc hai.

Bài tập
:
Gi
ải
c
ác h
ệ
ph
ươ
ng tr
ình sau:
1)

2 2
2 7 0
2 2 4 0
x y
y x x y
- - =
ì
í
- + + + =
î

2)
2
4 9 6
3 6 3 0
x y
x xy x y
+ =
ì
í
+ - + =
î

3)
2
2
2 1 0
12 2 10 0
x x y
x x y

ì
+ + + =
ï
í
+ + + =
ï
î
4)
(
)
(
)
2
2 1 2 2 0
3 1 0
x y x y
xy y y
ì
+ + + + =
ï
í
+ + + =
ï
î

5)
2 2
2 3 7 12 1
1 0
x xy y y y

x y
ì
- + = + -
í
- + =
î
6)
(
)
(
)
2 3 2 5 3 0
3 1
x y x y
x y
ì
+ - - - =
ï
í
- =
ï
î

7)
2 2
11 5
2 3 12
x y
x y
ì

+ =
í
+ =
î
8)
2 2
9 4 6 42 40 135 0
3 2 9 0
x y xy x y
x y
ì
+ + + - + =
í
- + =
î

9)
2 2
7 9 12 5 3 5 0
2 3 1
x y xy x y
x y
ì
+ - + + + =
í
- =
î

10)
2 2

6 2 0
8 0
x y x y
x y
ì
+ + + =
í
+ + =
î

11)
2 2
2 6
2 3
x xy y x y
x y
ì
+ + - - =
í
- =
î
12)
2
10
2 5
x xy x
x y
ì
+ + =
í

- = -
î

13)
3
2
1 2
4
x y x y
x y
x y
+ -
ì
- =
ï
-
í
ï
- =
î

14)
2 2
1 1 1
3 2 3
1 1 1
9 4 4
x y
x y
ì

- =
ï
ï
í
ï
- =
ï
î

15)
(
)
2
2
1 1 1
1 3
1 1 1
4
1
x y
y
x
ì
+ =
ï
+
ï
í
ï
- =

ï
+
î
16)
(
)
(
)
4 2
4 117 0
25
x y x y
x y
ì
+ + + - =
ï
í
- =
ï
î

17)
3 3
1
7
x y
x y
- =
ì
í

- =
î
18)
(
)
(
)
2 2
18 18 18 17 12 12 1 0
3 4 0
x x y x xy
x y
ì
+ + - - - =
ï
í
+ =
ï
î

19)
(
)
(
)
2 2
45
5
x y x y
x y

ì
- - =
ï
í
+ =
ï
î








Chuyên
đề
H
Ệ PHƯƠNG TRÌNH

Luyện thi Đại học 2011

Giáo viên:
LÊ BÁ BẢO

Tổ Toán THPT Phong Điền

Dạng
3: H
Ệ

ĐỐI
X
ỨNG
LO
Ạ
I 1

Dạng tổng quát:

(
)
(
)
; 0

; 0
f X Y
g X Y
ì
=
ï
í
=
ï
î
(*)
Trong
đó
hoán v

ị
gi
ữa

,
X Y
th
ì bi
ểu
th
ứ
c
(
)
(
)
; , ;f X Y g X Y
không thay đổi
.
Phương
pháp:

+
Đ
ặt

.
S X Y
P X Y
= +

ì
í
=
î
. Thay vào h
ệ
(*), t
ìm ra
,
S P
.

+ Lúc
đó
,
,
X Y
l
à nghi
ệm
c
ủa
ph
ươ
ng trình
2
0t St P- + =
(1)
Các nhận xét:

* Do tính
đối
x
ứng
c
ủa

, X Y
nên n
ếu
ph
ươ
ng trình (1) có các nghi
ệm


1 2
, t t
th
ì h
ệ
(*) có nghi
ệm

(
)
(
)
1 2 2 1
; , ;

t t t t
.
* C
ũng
do tính
đối
x
ứng
nên
để
h
ệ
(*) có nghi
ệm
duy nh
ất
thì
điều kiện

c
ần
là
X Y=
(thay
vào hệ tìm tham số, sau đó thay vào hệ (*) để tìm điều kiện đủ
)
* Do
, X Y
là nghi
ệm

c
ủa
ph
ươ
ng trình
2
0t St P- + =
n
ên
điều kiện cần và đủ

để
h
ệ

(*) có nghi
ệm
là:
Phương trình (1) có nghiệm trên tập giá trị của
, X Y
.
Bài tập
:
Gi
ải
c
ác h
ệ
ph
ươ

ng tr
ình sau:
1)
2 2
4
2
x xy y
x xy y
ì
+ + =
í
+ + =
î
2)
2 2
5
13
x xy y
x y xy
+ - =
ì
í
+ + =
î
3)
2 2
4 2 2 4
7
21
x xy y

x x y y
ì
+ + =
ï
í
+ + =
ï
î

4)
2 2
4 2 2 4
5
13
x y
x x y y
ì
+ =
ï
í
- + =
ï
î
5)
6
12
2 2 2
3
x y z
xy yz zx

x y z
ì
ï
+ + =
ï
ï
+ + =
í
ï
ï
+ + =
ï
î
6)
2 2
2 2
1 1
5
1 1
9
x y
x y
x y
x y
ì
+ + + =
ï
ï
í
ï

+ + + =
ï
î

7)
*
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y
x y
ì
+ + + =
ï
ï
í
ï
+ + + =
ï
î
8)
2 2
7
5
x xy y

x y
ì
- + =
í
+ =
î
9)
2 2
18
12
x y
y x
x y
ì
+ =
ï
í
ï
+ =
î
9)*

2 2 2
4
3
2
x y z
x y z
xyz
+ + =

ì
ï
+ + =
í
ï
=
î

10)
3 3
7
( ) 2
x y
xy x y
ì
+ =
í
+ = -
î

11)
3 3 3
1
4
1
x y z
xy yz xz
x y z
+ + =
ì

ï
+ + = -
í
ï
+ + =
î
12)*
2 2 2
6
7
14
x y z
xy yz xz
x y z
+ + =
ì
ï
+ - =
í
ï
+ + =
î

13)
4 4
2 2
17
3
x y
x y xy

ì
+ =
ï
í
+ + =
ï
î

14)
2 2
5
6
x xy y
x y xy
+ + =
ì
í
+ =
î

15)
2 2
18
( 1). ( 1) 72
x x y y
x x y y
ì
+ + + =
í
+ + =

î

16)
3 3
19
( )(8 ) 2
x y
x y xy
ì
+ =
í
+ + =
î
17)
2 2
7
2
5
2
x y xy
x y xy
ì
+ + =
ï
ï
í
ï
+ =
ï
î

18)
9
( )
20
x
x y
y
x y x
y
ì
+ + =
ï
ï
í
+
ï
=
ï
î

Chuyên
đề
H
Ệ PHƯƠNG TRÌNH

Luyện thi Đại học 2011

Giáo viên:
LÊ BÁ BẢO

Tổ Toán THPT Phong Điền

19)
3
( )
2
x
x y
y
x y x
y
ì
- + =
ï
ï
í
-
ï
=
ï
î

20)
2 2
19
7
x xy y
x xy y
ì
- + =

í
+ + = -
î

21)
2 2
11
3( ) 28
x y xy
x y x y
+ + =
ì
í
+ + + =
î

22)
2 2
1
1
2
x y
x y
ì
+ =
ï
í
+ =
ï
î

23)
2
( 2)(2 ) 9
4 6
x x x y
x x y
+ + =
ì
í
+ + =
î

24)
(
)
(
)
2 2
2 2
1 1
5
1 1
49
x y
x y
x y
x y
ì
æ ö
+ + =

ï
ç ÷
ï è ø
í
æ ö
ï
+ + =
ç ÷
ï
è ø
î

25)
11
6 6
11
x y xy
xy
x y
+ + =
ì
ï
í
+ + =
ï
î
26)
5 5
9 9 4 4
1x y

x y x y
ì
+ =
ï
í
+ = +
ï
î
27)
(
)
(
)
2 2
2 2 4 4
3 5
7 155
xy x y
x y x y
ì
- + =
ï
í
- + =
ï
î

28)
30
35

x y y x
x x y y
ì
+ =
ï
í
+ =
ï
î
29)
4
4
x y
x y xy
ì
+ =
ï
í
+ - =
ï
î
30)
7
1
78
x y
y x
xy
x xy y xy
ì

+ = +
ï
í
ï
+ =
î

31)
1 1 3
1 1 1 1 6
x y
x y y y y x
ì
+ + + =
ï
í
+ + + + + + + =
ï
î
32)
1 1 1
3
1 1 1
3
1
1
x y z
xy yz zx
xyz
ì

+ + =
ï
ï
ï
+ + =
í
ï
ï
=
ï
î

Dạng 3:

H
Ệ

Đ
ỐI
X
ỨNG
LO
Ạ
I
2
H
ệ
ph
ươ
ng trình

được
g
ọi
là h
ệ

đối
x
ứng
lo
ại
2 khi thay
X
b
ởi
Y
ho
ặc thay
Y
b
ởi
X
thì hệ phương trình không thay đổi.


D
ạng tổng quát:
(
)
(

)
; 0
(*)
; 0
f X Y
f Y X
ì
=
ï
í
=
ï
î

Phương
pháp: N
ếu

(
)
;f X Y
là
đ
a th
ức
thì thông th
ường
h
ệ
(*)

được
gi
ải
nh
ư
sau:
Bi
ến

đổi
(*)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
; ; 0 . ; 0
; 0 ; 0
f X Y f Y X X Y g X Y
f X Y f X Y
ì ì
- = - =
ï ï

Û Û
í í
= =
ï ï
î î

Bài tập
: Gi
ải
các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
1)
3
3
3 8
3 8
x x y
y y x
ì
= +
ï
í
= +
ï
î
2)
4

3
4
3
y
x y
x
x
y x
y
ì
- =
ï
ï
í
ï
- =
ï
î

3)
3
3
3
4
2
3
4
2
x x y
y y x

ì
+ = +
ï
ï
í
ï
+ = +
ï
î
4)
2 2
2 2
2 5 4
2 5 4
x y y
y x x
ì
- = +
ï
í
- = +
ï
î

Chuyên
đề
H
Ệ PHƯƠNG TRÌNH

Luyện thi Đại học 2011

Giáo viên:
LÊ BÁ BẢO

Tổ Toán THPT Phong Điền

4)
3
3
2
2
x x y
y y x
ì
= +
ï
í
= +
ï
î
5)
2
2
2
2
2
3
2
3
y

y
x
x
x
y
ì
+
=
ï
ï
í
+
ï
=
ï
î

6)
1 3
2
1 3
2
x
y x
y
x y
ì
+ =
ï
ï

í
ï
+ =
ï
î
7)
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
x x y
y y x
ì
- = -
ï
í
- = -
ï
î

7)
2
2
1
2
1
2
x y
y
y x

x
ì
= +
ï
ï
í
ï
= +
ï
î
8)
2
2
2 4
2 4
x x y
y y x
ì
= + +
ï
í
= + +
ï
î
9)
2
2
2 4 5
2 4 5
x y y

y x x
ì
= - +
ï
í
= - +
ï
î
10)
2
2
3 2
3 2
x x y
y y x
ì
= +
ï
í
= +
ï
î

11)
2
2
x x y
y y x
ì
= +

ï
í
= +
ï
î
12)
2
2
1
1
xy x y
yx y x
ì
+ = -
ï
í
+ = -
ï
î
13)
2 2
2 2
2 2
2 2
x y x y
y x y x
ì
- = +
ï
í

- = +
ï
î
14)
3
3
y x
x y
ì
=
ï
í
=
ï
î


D
ạng 4:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

H
ệ
ph
ươ
ng trình
đại
s
ố

đẳng cấp bậc hai theo
, x y
.

Dạng tổng quát:

2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2

a x b xy c y d
a x b xy c y d
ì
+ + =
ï
í
+ + =
ï
î

(*)
Phương

pháp:
+ Gi
ải
h
ệ

khi
0x =
.
+ Khi
0x ¹
,
đặ
t
y tx=
th
ế
vào h
ệ
(*), kh
ử

x

được
ph
ươ
ng trình theo
t
.
+ Gi
ải

t
, r
ồi

tìm
, x y
.
Bi
ến đổi:

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2 2
2
1 1 1 1
1 1 1 1
2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
(1)
(1)

. LËp tû
(2)
(2)
x a b t c t d
a x b tx c tx d
x a b t c t d
a x b tx c tx d
ì
ì
+ + =
+ + =
ï ï
Û
í í
+ + =
+ + =
ï ï
î
î

Bài tập
: Gi
ải
các h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
1)
2 2

2 2
3 1
3 3 13
x xy y
x xy y
ì
- + = -
ï
í
- + =
ï
î
2)
2 2
2 2
3 2 11
2 3 17
x xy y
x xy y
ì
+ + =
ï
í
+ + =
ï
î
3)
(
)
3 3

7
2
x y
xy x y
ì
- =
ï
í
- =
ï
î

4)
2 2
5
2 5 2
2
x xy y
y x
x y xy
ì
+ - =
ï
í
- = - -
ï
î

5)
3 2 3

3 2 3
1
2 2
x xy y
x x y y
ì
- + =
ï
í
- + =
ï
î
6)
2 2
2 3 0
2
x xy y
x x y y
ì
- - =
ï
í
+ = -
ï
î

7)
2 2
2 2
3 5 5 37

5 9 3 15
x xy y
x xy y
ì
+ - =
ï
í
- - =
ï
î
8)
2 2
2 2
4 2 1
2 4
x xy y
x xy y
ì
- + =
ï
í
- + =
ï
î
9)
3 2 2 3
3 2 2
3 6
3 2 2
x x y xy y

y x y xy
ì
+ + + =
ï
í
+ - =
ï
î

10)
2 2
2 2
3 1
2 2 8
x xy y
x xy y
ì
- + = -
ï
í
+ + =
ï
î
11)
2 2
2 2
2 3 2
2 4
x xy y
x xy y

ì
+ - = -
ï
í
- + =
ï
î
12)
3 3
2 2
7
2 3 16
y x
x y xy
ì
- =
ï
í
+ =
ï
î

13)
3 3
2 2 3
1
2 2
x y
x y xy y
ì

+ =
ï
í
+ + =
ï
î
14)
2 2
2 2
3 5 4 3
9 11 8 13
x xy y
y xy x
ì
- - = -
ï
í
+ - =
ï
î
15)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2

2 2
13
25
x y x y
x y x y
ì
- + =
ï
í
+ - =
ï
î




Chuyên
đề
H
Ệ PHƯƠNG TRÌNH

Luyện thi Đại học 2011

Giáo viên:
LÊ BÁ BẢO

Tổ Toán THPT Phong Điền

ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002
-

2010
Chuyên đ
ề:


H
Ệ PHƯƠNG TRÌNH


1) (B- 2002)
Gi
ải hệ phương trình
:


3
2
x y x y
x y x y
ì
- = -
ï
í
+ = + +
ï
î

2) (D- 2002)
Giải hệ phương trình
:

3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+
ì
= -
ï
í
+
=
ï
î +

3)
(D
ự bị
-
2002)
Gi
ải hệ phương trìn
h
:

4 2
4 3 0
log log 0
x y
x y
ì
- + =
ï
í
- =
ï
î

4)
(Dự bị
- 2002)
Giải hệ phương trình
:

(
)
(
)
3 2
3 2
log 2 3 5 3
log 2 3 5 3
x
y

x x x y
y y y x
ì
+ - - =
ï
í
+ - - =
ï
î

5)
(A- 2003)
Gi
ải hệ phương trình

:

3
1 1
2 1
x y
x y
y x
ì
- = -
ï
í
ï
= +
î

6)
(Dự bị
- 2003)
Giải hệ phương trình
:

log log
2 2 3
y x
x y
xy y
ì
=
ï
í
+ =
ï
î

7)
(B- 2003)
Giải hệ phương trình
:

2
2
2
2
2

3
2
3
y
y
x
x
x
y
ì
+
=
ï
ï
í
+
ï
=
ï
î

8) (A- 2004)
Giải hệ phương trình
:

(
)
1 4
4
2 2

1
log log 1
25
y x
y
x y
ì
- - =
ï
í
ï
+ =
î

9) (D- 2004) Tìm
m

đ
ể
h
ệ
sau c
ó nghi
ệm
:


1
1 3
x y

x x y y m
ì
+ =
ï
í
+ = -
ï
î



10)
(D- 2005)
Gi
ải hệ phương trình
:


2 3
9 3
1 2 1
3log 9 log 3
x y
x y
ì
- + - =
ï
í
- =
ï

î

11)
(Dự bị
- 2005)
Giải hệ phương trình
:

2 2
4
( 1) ( 1) 2
x y x y
x x y y y
ì
+ + + =
í
+ + + + =
î

12)
(Dự bị
- 2005)
Giải hệ phương trình
:

2 1 1
3 2 4
x y x y
x y
ì

+ + - + =
ï
í
+ =
ï
î

13
) (A- 2006)
Gi
ải hệ phương trình
:


3
1 1 4
x y xy
x y
ì
+ - =
ï
í
+ + + =
ï
î

14)
(D
ự bị
-

2006)
Gi
ải hệ phương trình
:


(
)
(
)
2
2
1 ( ) 4
1 2
x y y x y
x y x y
ì
+ + + =
ï
í
+ + - =
ï
î

15)
(Dự bị
- 2006)
Giải hệ phương trình
:

(
)
3 3
2 2
8 2
3 3 1
x x y y
x y
ì
- = +
ï
í
- = +
ï
î

16) (D- 2006) CMR:
0a" >
, h
ệ
ph
ươ
ng
tr
ình sau có duy nh
ất
nghi
ệm
:

(
)
(
)
ln 1 ln 1
x y
e e x y
y x a
ì
- = + - +
ï
í
- =
ï
î

17)
(Dự bị
- 2006)
Giải hệ phương trình
:

2 2
2 2 2
3( )
7( )
x xy y x y
x xy y x y
ì
- + = -

ï
í
+ + = -
ï
î

18)
(Dự bị
- 2006)
Giải hệ phương trình
:

(
)
(
)
2 2
ln 1 ln 1
12 20 0
x y x y
x xy y
ì
+ - + = -
ï
í
- + =
ï
î

19)

(D
ự bị
-
2006)
Gi
ải hệ phương trình
:


(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
13
25
x y x y
x y x y
ì
- + =
ï
í
+ - =
ï
î

Chuyên
đề
H
Ệ PHƯƠNG TRÌNH

Luyện thi Đại học 2011

Giáo viên:
LÊ BÁ BẢO

Tổ Toán THPT Phong Điền

20)
(Dự bị
- 2007)
Giải hệ phương trình
:

2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y
-

-
ì
+ - + = +
ï
í
+ - + = +
ï
î

21)
(Dự bị
- 2007) Gi
ải hệ phương trình
:

4 3 2 2
3 2
1
1
x x y x y
x y x xy
ì
- + =
ï
í
- + =
ï
î

22)

(Dự bị
- 2007) CMR: H
ệ
ph
ươ
ng trình
sau có 2 nghi
ệm
tho
ả

0, 0
x y> >
.


2
2
2007
1
2007
1
x
y
y
e
y
x
e
x

ì
= -
ï
-
ï
í
ï
= -
ï
-
î

23)
(D
ự bị
-
2007)
Gi
ải hệ phương trình
:


2
2
3
2
2
3
2
2 9

2
2 9
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y
ì
+ = +
ï
- +
ï
í
ï
+ = +
ï
- +
î

24) (A- 2008)
Gi
ải hệ phương trình
:


2 3 2
4 2
5
4

5
(1 2 )
4
x y x y xy xy
x y xy x
ì
+ + + + = -
ï
ï
í
ï
+ + + = -
ï
î

25) (B- 2008)
Gi
ải hệ phương trình
:


4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x
ì
+ + = +
ï

í
+ = +
ï
î

26) (D- 2008)
Giải hệ phương trình
:

2 2
2
2 1 2 2
x y xy x y
x y y x x y
ì
+ + = -
ï
í
- - = -
ï
î

27)
ĐH
-A-2009
. Giải hệ phương trình:


2 2
2 2

2 2
log ( ) 1 log ( )
3 81
x y xy
x y xy
+ -
ì
+ = +
ï
í
=
ï
î

28) (B- 2009) G
iải hệ phương trình
:

+ + =
ì
í
+ + =
î
2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y

29) (D- 2009)
Giải hệ phương trình
:

(
)
(
)
ì
+ - - =
ï
í
+ - + =
ï
î
2
2
1 3 0
5
1 0
x x y
x y
x

30)
(ĐH
-

B-2010)
Gi
ải hệ phương trình:

2
2
log (3 1)
4 2 3
- =
ì
í
+ =
î
x x
y x
y

31)
(ĐH
-D-2010)
Giải hệ phương trình:

2
2
2
4 2 0
2log ( 2) log 0
ì
- + + =
ï

í
- - =
ï
î
x x y
x y

32) (
ĐH
-
A-2010)
Gi
ải hệ phương trình:


(
)
(
)
ì
+ + - - =
ï
í
ï
+ + - =
î
2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7

x x y y
x y x

Chuyờn

H
PHNG TRèNH

Luyn thi i hc 2011

Giỏo viờn:
Lấ B BO

T Toỏn THPT Phong in

CC DNG H PHNG TRèNH KHC



1) Gi
i
h

ph

ng trỡnh:

2 2 1
3 2 10

x y y x
x y y x
ỡ
- - - =
ù
ớ
- + - =
ù
ợ

G
i ý:
D
ng
hpt b
c
nh
t
ha
i
n

2) Gi
i
h

ph

ng trỡnh:

1 1
2 2 2
x y
x y y
ỡ
+ - =
ù
ớ
- + = -
ù
ợ

Gi ý:

Bỡnh ph

ng tr
ờn TX

.

3)
Gi
i
h

ph

ng trỡnh:

1 7 4
1 7 4
x y
y x
ỡ
+ + - =
ù
ớ
+ + - =
ù
ợ

Gi ý:
B
ỡnh ph

ng tr
ờn TX


4) Gi
i
h

ph

ng trỡnh:

(
)

(
)
2 2
2 2
2 3
10
y x y x
x x y y
ỡ
- =
ù
ớ
+ =
ù
ợ

G
i ý:

Bi
n

i
:
2 2
2 2
2
2
(1) 2 3
. .

(2) 10
1
2 3 1
. .
10
1
y x y x
x x y y
y
y
x
y
x
y
x
x
-
= =
+
ổ ử
-
ỗ ữ
ố ứ
= =
ổ ử
+
ỗ ữ
ố ứ

5) Gi

i
h

ph

ng trỡnh:

(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 5 4 6 2 0
1
2 3
2
x y x y x y
x y
x y
ỡ
+ - - + - =
ù
ớ
+ + =
ù
-
ợ

Gi ý:
(1) cú d
ng

ng
c
p
b
c
hai.
6) Gi
i
h

ph

ng tr
ỡnh:

2
2 4 1
5
2
3
2
x xy
x y
x
x y

ỡ
+ +
= -
ù
+
ù
ớ
ù
= -
ù
+
ợ

Gi ý:


Bi
n

i
:
2 ( 2 ) 1 1
(1) 5 2 5
2 2
x x y
x
x y x y
+ +
= - + = -
+ +

7) Gi
i
h

ph

ng trỡnh:

2 2
3 2 16
2 4 33
xy x y
x y x y
- - =
ỡ
ớ
+ - - =
ợ

Gi ý:
Bi
n

i
:
Nhân (1) với 2 và cộng phơng trình (2)
:
(
)
(

)
(
)
(
)
2 2
2
2 8 8 65 0
8 65 0
5 13 0
x y xy x y
x y x y
x y x y
+ + - - - =
+ - + - =
+ + + - =

8) Gi
i

h

ph

ng tr
ỡnh:

2 2
2 2
1 1 18

1 1 2
x x y x y x y y
x x y x y x y y
ỡ
+ + + + + + + + + =
ù
ớ
+ + + - + + + + - =
ù
ợ
Gi ý:
(1) (2) 8x y- + =

9) Gi
i
h

ph

ng trỡnh:

2 2
2 2
3 4 1
3 2 9 8 3
x y x y
x y x y
ỡ
+ - + =
ù

ớ
- - - =
ù
ợ

Gi ý:
Bi
n

i
:
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
3 4 1
3 3 2 4 3
x x y y
x x y y
ỡ
- + + =
ù

ớ

- - + =
ù
ợ

10) Gi
i
h

ph

ng tr
ỡnh:

(
)
2 3
2
12
6
x x
y y
xy xy
ỡ
ổ ử ổ ử
+ =
ù
ù
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
ớ

ù
+ =
ù
ợ

G
i ý:
M
i
ph

ng tr
ỡnh c
a
h



u
l

ph

ng trỡnh
i
s

theo
n
ph

.
11) Gi
i
h

ph

ng trỡnh:
2 2
2 2 2
6
1 5
y xy x
x y x
ỡ
+ =
ù
ớ
+ =
ù
ợ

Gi ý:
Bi
n

i
:
Chuyờn

H
PHNG TRèNH

Luyn thi i hc 2011

Giỏo viờn:
Lấ B BO

T Toỏn THPT Phong in

2
2
2
2
2
2 2
1
6
1
5
1
6 (1)
1
5 2 (2)
x
x
y y
x
x

y y
x
x
y y
x x
x
y y y
ỡ
ổ ử
+ =
ù
ỗ ữ
ù ố ứ

ớ
ù ổ ử
+ =
ỗ ữ
ù
ố ứ
ợ
ỡ
ổ ử
+ =
ù
ỗ ữ
ù ố ứ

ớ
ùổ ử ổ ử ổ ử

+ = +
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ù
ố ứ ố ứ ố ứ
ợ

Thay (1) vo (2).
12)
Gi
i
h

ph

ng trỡnh:

6 5
2
x y x y
x y x y
xy
+ -
ỡ
+ =
ù
- +
ớ
ù
=
ợ

G
i ý:
Ph

ng trỡnh (1) cú d
ng
b
c
hai.
13) Gi
i
h

ph

ng tr
ỡnh:

a)
2 2
20
136
x y x y
x y
ỡ
+ + + =
ù
ớ
+ =

ù
ợ

b)
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y
ỡ
+ + - + =
ù
ớ
+ =
ù
ợ


c)
2 2
6
20
x y y x
x y y x
ỡ
+ =
ù
ớ
+ =
ù
ợ

d)
2 2
2 8 2
4
x y xy
x y
ỡ
+ + =
ù
ớ
+ =
ù
ợ

G
i ý:
Bi

n
i
:
(
)
(
)
(
)
2 2

2
2 2
2 2
2 2
2 2
(1) 2 2 16 2
2 2 2
2 2
2 2 0
x y xy
x y x y xy
x y x y
x y x y x y
+ = -
+ = + -
+ = +
+ = + - =

e)
2 2
5
2
21
x y
y x
x y xy
ỡ
+ =
ù
ớ

ù
+ + =
ợ

14) Gi
i
h

ph

ng tr
ỡnh:

(
)
(
)
2 2
3 3
3
3
2 3
6
x y x y xy
x y
ỡ
+ = +
ù
ớ
ù

+ =
ợ

Gi ý:

t

3
3
, u x v y= =

15) Gi
i
h

ph

ng trỡnh:

2 2
2 2
3
3
3
0
x y
x
x y
y x
y

x y
+
ỡ
+ =
ù
+
ù
ớ
-
ù
- =
ù
+
ợ


Gi ý:
Bi
n


i
:

2
2 2
2
2 2
3
(1) 3 (3)

3
(2) 0 (4)
3 1
(3) (4) 2 3 3
2
xy y
xy y
x y
xy x
xy
x y
y
xy y y
y
+
ị + =
+
-
ị - =
+
ổ ử
-
+ ị + = ị =
ỗ ữ
ố ứ

16) Gi
i
h

ph

ng trỡnh:

3 2
2 2
2 12 0
8 12
x xy y
x y
ỡ
+ + =
ù
ớ
+ =
ù
ợ

Gi ý:
Bi
n

i
:
(
)
3 2 2 2
Thay (2) vào (1):
2 8 0
Đây là pt đẳng cấp bậc 3.

x xy x y yị + + + =

17) Gi
i
h

ph

ng trỡnh:
a)
(
)
(
)
2
2
1
2 10
2
2
3
2
x y
x y
x y
x y
ỡ
+ + =
ù
-

ù
ớ
+
ù
=
ù
-
ợ

b)
1
3
2
4
2
x
x y
x
x y
ỡ
+ =
ù
+
ù
ớ
ù
= -
ù
+
ợ

c)
2 2
25 2
( ) 10
x y xy
y x y
ỡ
+ = -
ớ
+ =
ợ

d)
(
)
(
)
2
2 2
2 2
19
7
x xy y x y
x xy y x y
ỡ
+ + = -
ù
ớ
- + = -

ù
ợ

Chuyờn

H
PHNG TRèNH

Luyn thi i hc 2011

Giỏo viờn:
Lấ B BO

T Toỏn THPT Phong in

Gi ý
d): Ph

ng trỡnh (1)
ng
c
p
b
c
2.
18) Gi
i
h

ph

ng tr
ỡnh:
a)
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y
ỡ
+ + - =
ù
ớ
- =
ù
ợ

G
i ý:


t

2 2
, u x y v x y= - = +

2
1
2

u
y v
v
ổ ử
ị = -
ỗ ữ
ố ứ


b)
20
16
5
y
x y x y
x
x
x y x y
y
ỡ
= + + -
ù
ù
ớ
ù
= + - -
ù
ợ

Gi ý:

Nhõn v

theo v

2 ph

ng trỡnh.
c)
2 2
2 2
3 1 0
4 5 2 1 0
x x y
x x y
ỡ
- - + =
ù
ớ
+ - - =
ù
ợ

Gi ý:
Nhõn (1) v
i

2-
, kh

y
.
d)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
3
15
x y x y
x y x y
ỡ
- - =
ù
ớ
+ + =
ù
ợ

Gi ý:
Cỏch 1: Hpt
ng
c
p

b
c
3.
Cỏch 2: Bi
n

i
:
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
4 3
2 15
x y x y xy
x y x y xy
ỡ
ộ ự
+ + - =
ù ở ỷ

ớ
ộ ự
ù

+ + - =
ở ỷ
ợ

19) Gi
i
h

ph

ng trỡnh:

2 2
3 2 16
2 4 33
xy x y
x y x y
- - =
ỡ
ớ
+ - - =
ợ

Gi ý:
Bi
n

i
:
(

)
(
)
2 2
2
2 6 4 32
2 4 33
3 2 16
8 65 0
xy x y
x y x y
xy x y
x y x y
- - =
ỡ

ớ
+ - - =
ợ
- - =
ỡ
ù

ớ
+ - + - =
ù
ợ

20) Gi
i

h

ph

ng trỡnh:
a)
2 2
2 2
x y
x y
ỡ
+ - =
ù
ớ
- + =
ù
ợ

Gi ý:
C
ỏch1: Bi
n


i
:

Đ
2 2
2 2

2 2 2 2
TX
y x
x y x
x y x y x
ỡ
ỡ
- = -
+ =
ù ù

ớ ớ
- = - + =
ù
ù
ợ
ợ
x yị =

Cỏch 2:
Lấy (1) (2) :
2 2

2 2
x y x y
x y y x
x y
x y x y
-

ị - = - - -
- -
= ị =
+ - + -

21) Gi
i
h

ph

ng trỡnh:

6 2 3
6 2 3
x y
y x
ỡ
+ - =
ù
ớ
+ - =
ù
ợ

G
i ý:

Cỏch 1: Bi
n

i
:
(
)
(1) (2) 6 6
6 6
1 1
0
6 6
x y x y
x y y x
x y x y
x y
x y x y
x y
- ị - = - - -
- -
=
+ - + -
ổ ử
- + =
ỗ ữ
ỗ ữ
+ - + -
ố ứ
=
Cỏch 2: B
t

ng
th
c
:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2

2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
6 12
6 12
6 6 24
6 1 1 6
6 1 1 6
6 6 24
6
Dấu " " xãy ra khi chỉ khi
6
3
x y
y x
x y y x
x y x y
y x y x
x y y x
x y
y x
x y
ỡ
+ - =
ù

ớ

ù
+ - =
ợ
ị + - + + - =
ỡ
+ - Ê + + -
ù
ớ
ù
+ - Ê + + -
ợ
ị + - + + - Ê
ỡ
= -
ù
=
ớ
= -
ù
ợ
= =
22) Gi
i
h

ph

ng trỡnh:
a)
2 2

2 2
3 4 0
2 2 11 6 2 0
x xy y y
x xy y x y
ỡ
+ - + + =
ù
ớ
+ - + + - =
ù
ợ

Chuyờn

H
PHNG TRèNH

Luyn thi i hc 2011

Giỏo viờn:
Lấ B BO

T Toỏn THPT Phong in

Gi ý:
Thực hiện: (1) 2 3 -

C
ỏch khỏc: Th

0x =
.

t

y kx
=
.

b)
2 2
2 2
2 1 0
3 2 0
x x y
x y x y
ỡ
+ + - =
ù
ớ
+ - + - =
ù
ợ

Gi ý:
(
)
2

2
1
(1) 1
1
y x
x y
y x
= +
ộ
+ =
ờ
= - -
ở


c)
2 3
2 2 2
2 4 3 0
2 0
x y x
x y x y
ỡ
+ - + =
ù
ớ
- + =
ù
ợ

Gi ý:


(
)
(
)
(
)
(
)
2
3
2
2
2
2
3
2 1 1 0 (1)
2
(2)
1
2
(2) : 1 1 1 1
1
(1) 2 1 1 0
x y
x
y
x

x
y
x
x y
ỡ
- + + =
ù

ớ
=
ù
+
ợ
- Ê Ê ị - Ê Ê
+
ị - + +

23) Gi
i
c
ỏc h

ph

ng tr
ỡnh sau:
1)
(
)
3 2 2

3
2
64
2 6
y x x y
x y
ỡ
+ = -
ù
ớ
+ = +
ù
ợ

Gi ý:

(
)
3
2
3 2
2
(2) : 6 2 8 2
8
0, 2
64 8
y x y
y x
x y
x y

+ = +
ỡ
+
ù
ị ị = =
ớ
- Ê
ù
ợ


2)
2 2
2 2
1 1
3
1 1 3 2
7
xy
x y
x y
x y xy
ỡ
+ = -
ù
ù
ớ
+
ù
+ = -

ù
ợ

Gi ý:

2 2
1 1
3
1 1 2
7
xy
x y
xy
x y xy
ỡ
+ = -
ù
ù

ớ
ù
+ + = -
ù
ợ

2
1 1
3
1 1
Đặt

1 1
3
xy
x y
u
x y
v xy
xy
x y
ỡ
+ = -
ỡ
ù
= +
ù ù

ớ ớ
ổ ử
ù ù
=
+ = -
ợ
ỗ ữ
ù
ố ứ
ợ

3)
1 6
7

2
x y
x y xy
ỡ
+ =
ù
ớ
ù
+ =
ợ

Gi ý:
Quy
ng
(1), kh


xy
.Ho
c
chia
(2) cho
xy
.
4)
(
)
2
1 3
4 5 5

x x y
x y
ỡ
+ + + =
ù
ớ
+ - + =
ù
ợ

Gi ý:

ỏnh
giỏ B

T

ph

ng trỡnh (2).
5)
2 2
5
2
3
2
x y xy
x y
y x
ỡ

+ =
ù
ù
ớ
ù
- =
ù
ợ

Gi ý:
H


ng
c
p
. Ho
c
chia (1) cho
xy
.
6)
3
2
2 2
3 4
1 1
x y x
x x y
ỡ

+ + =
ù
ớ
ù
- + + =
ợ

Gi ý:
TX


2
1 1 1x x - Ê Ê


3
2
(1) : 3 4.x y x+ +

7)
8
5 11
x x x y
y x
ỡ
+ =
ù
ớ
- = -
ù

ợ

G
i ý:
Ph

ng ph
ỏp th

.
CM pt vụ
nghi
m
.
8)
3
3
1 1 3
9
x y
x y
ỡ
- + - =
ù
ớ
+ =
ù
ợ

G

i ý: t

3
3
1, 1u x v y= - = -

9)
2 2 7
3 2 23
x y x y
x y
ỡ
+ + + + =
ù
ớ
+ =
ù
ợ

Gi ý:
Ph

ng phỏp th

. Ho
c

t

, 2 2u x y v x y= + = + +

10)
2 2
2
4 3 0
2 1 3
x xy y
x x y xy
ỡ
+ + =
ù
ớ
+ + = -
ù
ợ

G
i ý:
Ph

ng tr
ỡnh (1)

ng
c
p
b
c
2.

11)
3 2 3
2
3 3 1
5
x x y x
x xy y
ỡ
+ = - -
ù
ớ
+ + =
ù
ợ

Gi ý:
(
)
3 2 3
3
3
(1) 3 3 1
1 1
x x x y
x y y x
+ + + =
+ = = +

Chuyên
đề
H
Ệ PHƯƠNG TRÌNH

Luyện thi Đại học 2011

Giáo viên:
LÊ BÁ BẢO

Tổ Toán THPT Phong Điền

12)
5 2 7
2 5 7
x y
x y
ì
+ + - =
ï
í
- + + =
ï
î

13)
5
5 5 8
x y
x y

ì
+ =
ï
í
+ + + =
ï
î

Gợi ý:
Bi
ến

đổi
:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
5 5 13
5 5 3
5 5 13
5 5

3
5 5
§Æt u 5, v 5
x x y y
x x y y
x x y y
x x y y
x x y y
ì
+ + + + + =
ï
Û
í
+ - + + - =
ï
î
ì
+ + + + + =
ï
ï
Û
í
+ =
ï
+ + + +
ï
î
= + + = + +

14)

2 2 7
2 1 3 1 7
x y x y
x y
ì
+ + + + =
ï
í
+ + + =
ï
î

Gợi ý:
Bi
ến

đ
ổi
:

LÊy (1) (2)
3 1 2 1 2 2
2 1 2 1
3 1 2 1 2 2
x y y x x y
x y x y
x y y x x y
-
Þ + - + = + - + +
- - - -

Û =
+ + + + + + +
15)
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
+
-
=
+
+
4)
2
1
4(
32)
2
1
4(
y
xy
x
xy

16)

ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=++
=++
49)
1
1)((
5)
1
1)((
22
22
yx
yx
xy
yx

17)
(
)
2
3 1
8 9
y x y
x y x y

ì
- + = -
ï
í
+ = - -
ï
î

G
ợi ý:

(
)
2
(1) 3 1 0
0 3 0 9
(2) : TX§: 9 0 9
x y y
x y x y
x y x y
Û - - = - + £
Û £ - £ Û £ - £
- - ³ Û - ³

18)
(
)
(
)
3

3 2
6
6
8
x y x y
x y x y
ì
+ + - =
ï
í
+ - =
ï
î

Gợi
ý:
3
3
3
3
3
3
6
HÖ
8
0
6 (I)
8
0
6 (II)

8
x y x y
x y x y
x y
x y x y
x y x y
x y
x y x y
x y x y
ì
+ + - =
ï
Û
í
+ - =
ï
î
é
- ³
ì
ê
ï
+ + - =
ê
í
ê
ï
+ - =
ê
î

Û
ê
- <
ì
ê
ï
ê
+ + - =
í
ê
ï
ê
+ - = -
î
ë