Tích phân loại Cauchy và các bài toán biên

-1-

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN HOÀNG HƯƠNG

TÍCH PHÂN LOẠI CAUCHY
VÀ CÁC BÀI TOÁN BIÊN
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Huy Lợi

HÀ NỘI, 2009


-2-

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi.
Trong khi nghiên cứu luận văn tôi đã thừa kế thành quả khoa học của các
nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.

Hà nội, tháng 09 năm 2009
Nguyễn Hoàng Hương

-3-

MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa

1

Lời cam đoan

2

Mục lục

3

Mở đầu

4

Chương 1. Tích phân Cauchy

6

1.1. Khái niệm về hàm giải tích ............................................................ 6
1.2. Lý thuyết tích phân Cauchy .......................................................... 8
Chương 2. Tích phân loại Cauchy và các bài toán biên

11

2.1. Tích phân loại Cauchy ................................................................ 11
2.2. Các bài toán biên ........................................................................ 23
2.2.1. Bài toán biên Hilbert – Privalov ........................................ 23
2.2.2. Công thức Keldysh – Sedov ............................................... 32
2.2.3. Bài toán biên Riemann – Hilbert ........................................ 38
2.2.4. Bài toán đạo hàm riêng ....................................................... 40
2.2.5 Dạng khác của bài toán đạo hàm riêng ................................ 41
2.2.6. Bài toán hỗn hợp đối với hàm điều hoà .............................. 43
Chương 3. Một số ứng dụng

45

3.1. Ứng dụng để giải quyết các vấn đề của lý thuyết toán học .......... 45
3.1.1. Hệ Carleman ...................................................................... 45
3.1.2. Hệ Elliptic tuyến tính ......................................................... 49
3.1.3. Lý thuyết đạn lõm .............................................................. 57
3.2. Ứng dụng để giải quyết một số bài toán cụ thể ........................... 70
3.2.1. Bài toán Tricomi ................................................................ 70
3.2.2. Các bài toán thuỷ - khí động học ....................................... 74
3.2.3. Các bài toán về lý thuyết đàn hồi ...................................... 84
Kết luận

95

Tài liệu tham khảo

96

-4-

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết hàm biến phức có rất nhiều ứng dụng trong việc giải quyết một
số vấn đề toán học cũng như trong thực tiễn. Ngay từ những năm đầu của thế
kỷ XX nhiều nhà toán học đã có những thành công trong việc nghiên cứu ứng
dụng Lý thuyết hàm biến phức để giải quyết các bài toán về thuỷ động học và
khí động học. Đặc biệt trong lý thuyết này có bài toán biên dựa trên cơ sở của
tích phân loại Cauchy đã được phát triển và ứng dụng nhiều vào giải quyết
một số vấn đề lý thuyết, giải toán cũng như trong thực tiễn.
Việc nghiên cứu tích phân loại Cauchy và các bài toán biên giúp chúng
ta tìm hiểu sâu sắc hơn về lý thuyết hàm biến phức, đồng thời sử dụng kết quả
của nó để giải quyết một số vấn đề của lý thuyết toán học và đây cũng là cơ
sở để giải quyết một số bài toán thực tiễn khác.
Hơn nữa, tìm hiểu về tích phân loại Cauchy và bài toán biên có thể giúp
chúng ta nhìn nhận kiến thức toán giải tích ở bậc cao đẳng, đại học một cách
sâu và rộng hơn để đáp ứng yêu cầu dạy học.
Với lý do trên và với sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS.NGƯT Nguyễn
Huy Lợi, tôi đã chọn đề tài: "Tích phân loại Cauchy và các bài toán biên".
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu tích phân loại Cauchy và các bài toán biên trong không
gian phức.
- Nghiên cứu một số ứng dụng của tích phân loại Cauchy và các bài toán
biên.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm những ứng dụng của tích phân loại Cauchy và các bài toán biên.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu tích phân loại Cauchy và các bài toán biên.

-5-

trong không gian phức và một số ứng dụng của nó.
Nội dung luận văn gồm có 3 chương:
- Chương 1. Tích phân Cauchy
- Chương 2. Tích phân loại Cauchy và các bài toán biên
- Chương 3. Một số ứng dụng
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo
- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu và ứng dụng
của nó.
6. Giả thuyết khoa học
Luận văn tập trung nghiên cứu một số đối tượng Toán học, nâng nó
thành đề tài nghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của nó.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS.NGƯT
Nguyễn Huy Lợi đã hướng dẫn tôi tận tình, thường xuyên dành cho tôi sự chỉ
bảo, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn đúng thời hạn.
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ban lãnh đạo, các thầy
cô giáo, cán bộ nhân viên Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiên
thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập tại trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, anh em, bạn bè, đồng nghiệp đã
động viên, tạo mọi điều kiện để luận văn này có thể được hoàn thành.
Do thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi
những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các
thầy giáo, cô giáo và các bạn.
Hà Nội, tháng 09 năm 2009
Tác giả
Nguyễn Hoàng Hương

-6-

Chương 1
TÍCH PHÂN CAUCHY
1.1. Khái niệm về hàm giải tích
Định nghĩa 1.1.
Cho hàm số f xác định trên miền   . Xét giới hạn:
lim

z  0

f ( z  z )  f ( z )
, z  z   .
z

Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của f
tại z, ký hiệu là f ' ( z ) hay
Như vậy f ' ( z ) = lim
z 0

df
( z) .
dz

f ( z  z )  f ( z )
.
z

Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay

-khả vi

tại z.
Bởi vì
lim [f(z+ z )-f(z)] = lim

z  0

z  0

nên nếu f

f ( z  z )  f ( z )
z  0
z

-khả vi tại z thì
lim [f(z + z ) - f (z)] = 0.

z  0

Nói cách khác f liên tục tại z.
Cũng như đối với hàm biến thực, bởi quy nạp ta viết:

f k  ( f k 1 )'
nếu vế phải tồn tại và gọi là đạo hàm phức cấp k của f trên  .
Định lý 1.1.
Nếu f(z) và g(z) khả vi phức tại zo thì αf(z) + βg(z), f(z)g(z) và f(z)/g(z)
(g(zo) ≠ 0) cũng khả vi phức tại zo với mọi α, β 

(i)

(αf + βg)’(zo) =  f ' (z 0 ) +  g ' (z 0 )

và


-7-

(ii) (fg)’(zo) = f ( z 0 ) g ( z 0 )  f ( z 0 ) g ( z 0 )
(iii) (f/g)’(zo) =

f ( z 0 ) g ( z 0 )  f ( z 0 ) g ( z 0 )
g 2 ( z0 )

(iv) Nếu   f ( z ) khả vi phức tại zo, còn g(  ) khả vi phức tại 0  f ( z0 )
'
'
'
thì hàm hợp g f khả vi phức tại zo và (gf) (z 0 )= g (f(z 0 ))f (z 0 ) .

Ví dụ 1.1.
a) Rõ ràng z  = 1, do đó theo công thức (ii) và quy nạp theo n ta có:
(zn)’ = nzn-1.
'
n 1
Từ đó, nếu f(z) = aozn + … + an thì f ( z )  na0 z  ...  an 1 .

b) Cho hàm f ( z ) 
Như vậy f

z2
1
(2 z  1)2 z  2 z 2
, z  , khi đó f ' ( z ) 
.
(2 z  1) 2
2z 1
2

-khả vi tại z 

1
.
2

c) Từ ví dụ b) suy ra nếu f(z) = P(z)/Q(z) là hàm hữu tỉ thì nó

-khả vi tại

mọi z mà nó xác định.
Định nghĩa 1.2.
Hàm f xác định trong miền  

với giá trị trong

(chỉnh hình) tại z0  nếu tồn tại r > 0 để f

gọi là giải tích

-khả vi tại mọi z  D(z0,r)   .

Nếu f giải tích tại mọi z   ta nói f giải tích trên  (hay f chỉnh hình
trên  ).
Định lý 1.2.
Giả sử  

là một miền, H(  ) là tập các hàm giải tích trên  . Khi đó

(i) H(  ) là một không gian vectơ trên
(ii) H(  ) là một vành
(iii) Nếu f  H(  ) và f(z) ≠ 0 với z  thì 1/f  H(  )
(iv) Nếu f  H(  ) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi.


-8-

Định lý 1.3.
Nếu f :     và g :   

là các hàm giải tích, ở đây  và   là các

miền trong mặt phẳng (z) và (w) thì g  f :  

giải tích.

Định lý 1.4.


Giả sử chuỗi luỹ thừa

C

n

z n có bán kính hội tụ R > 0. Khi đó tổng f(z)

n 0



của nó giải tích tại mọi z với z  R và đạo hàm phức của nó là

 nC

n

z n 1 .

n 1

1.2. Lý thuyết tích phân Cauchy
Định lý 1.5. (Định lý Cauchy cho miền đơn liên)
Nếu hàm ω = f(z) chỉnh hình trong miền đơn liên Ω thì với mọi chu
tuyến trơn từng khúc γ  Ω ta có:

 fdz  0.
Định lý 1.6.
Giả sử Ω là miền đơn liên bị chặn, với biên,  là một chu tuyến trơn
từng khúc. Khi đó, nếu f là hàm liên tục trên  =    và chỉnh hình trên

Ω thì:

 fdz  0.
D

Ta gọi Ω là miền n – liên (hay đa liên bậc n) nếu biên của Ω gồm có chu
tuyến ngoài γ và các chu tuyến γ1, γ2, …., γn-1 đôi một không giao nhau nằm
n 1

trong Ωγ, như vậy Ω = Ωγ \

 

k

và      1  ...   n 1 .

k 1

Định lý 1.7. (Định lý Cauchy cho miền đa liên)
Nếu Ω là một miền n-liên, f là hàm liên tục trên  , giải tích trên Ω thì

 fdz  0.



-9-

Định lý 1.8. (Định lý về sự tồn tại của nguyên hàm)
Giả sử f là hàm liên tục trên miền đơn liên Ω sao cho tích phân của f dọc

theo mọi chu tuyến bất kỳ nằm trong Ω đều bằng 0.
z

Khi đó, với mọi zo = Ω cố định, hàm  ( z ) 

 f ( )d

là giải tích trong

z0

miền Ω và  ' ( z )  f ( z ) z   .
Định lý 1.9.
Giả sử Ω là miền đơn liên còn f là hàm giải tích trên Ω khác không tại
mọi điểm. Khi đó tồn tại hàm g giải tích trên Ω để eg = f.
Định lý 1.10. (Công thức tích phân Cauchy)
Giả sử f là hàm giải tích trên miền Ω và z o   . Khi đó với mọi chu
tuyến       ta có công thức tích
phân Cauchy:
f(zo) =

1
f ( )
d

2i    z 0

(1.1)

Nếu thêm f liên tục trên  và  là

một chu tuyến thì với mọi z   ta có:
f(z) =

1
f ( )
d
2i   z

(1.2)

Hình 1.1

Chứng minh:
Giả sử  là chu tuyến tùy ý vây quanh zo sao cho     . Chọn   0 đủ
bé để hình tròn D(zo,  )    . Ký hiệu C  là biên của D(zo,  ), đặt:
  ,    \ D( z 0 ,  ) ,
  ,  là miền 2-liên, nên theo định lý 1.4. ta có:

f ( )
d  0 .
  z0
 C 




-10-

Từ đó có đẳng thức:
f ( )

   z

d 

0

f ( )

  z

C

d .

(1.3)

0

Thực hiện phép đổi biến   z 0  e i , d  ie i d , vế phải của (1.3) trở
thành:
f ( )
C   z 0 d =


2


0

2

2
f ( z 0  e i ) i
i

e
d


i
f ( z 0  e i )d
i

e
0





i
= i  f ( z 0  e )  f ( z 0 ) d  2i f ( z 0 ) .
0

Chú ý rằng khi ρ→0 thì do tính liên tục của f ta có
2





lim i  f ( z 0  e i )  f ( z 0 ) d  0 .
 0
0

Vì thế

lim
 0

f ( )

  z

C

d  2if ( z 0 ) .

0

Kết hợp điều này với (1.3) ta có công thức (1.1).
Trường hợp f liên tục trên  và giải tích trên Ω có thể lấy ∂Ω thay cho γ
trong chứng minh trên. Khi đó, với mọi z   các điều kiện của trường hợp
nói trên đều được thoả mãn. Vì thế ta có công thức (1.2).


-11-

Chương 2

TÍCH PHÂN LOẠI CAUCHY VÀ CÁC BÀI TOÁN BIÊN
2.1. Tích phân loại Cauchy
Định nghĩa 2.1.
Tích phân Cauchy

f(z) =

1 f ( )d
2i C   z

(2.1)

là hàm số giải tích bên trong chu tuyến đóng C thông qua các giá trị của nó
trên đường biên. Ta giả sử rằng C là đường cong tự do không có điểm gãy
khúc (đóng kín hoặc không đóng kín) và trong đó đã cho hàm số tự do f ( )
liên tục khắp nơi, có thể trừ ra hữu hạn điểm.
Tích phân
F(z) =

1 f ( )d
,
2i C   z

(2.2)

được xây dựng giống như tích phân (2.1) được gọi là tích phân loại Cauchy.
Chúng ta thấy rằng tích phân loại Cauchy là một hàm số giải tích tại
điểm z bất kỳ, không nằm trên đường cong C. Do đó, nếu C phân chia mặt
phẳng thành một số miền thì tích phân loại Cauchy xác định trong các miền
đó, nói chung, là các hàm số giải tích khác nhau.

Ví dụ 2.1.

1
2i

d

 1   z

bằng 1 ở mọi nơi trong hình tròn |z|<1 và bằng 0 nếu không thuộc đường tròn.
Dễ thấy rằng, ngay cả trong trường hợp chu tuyến C đóng kín thì tích
phân loại Cauchy trong trường hợp tổng quát không phải là tích phân Cauchy,


-12-

nghĩa là giá trị hàm f ( ) sẽ không là giá trị F(z) khi z   . Thật vậy, việc
cho trên biên của miền chỉ một phần thực của hàm giải tích xác định được
phần thực ở bên trong miền. Khi đó, từ phương trình Cauchy - Riemann bên
trong miền với độ chính xác đến hằng số xác định được phần ảo của hàm và
do đó xác định được cả giá trị giới hạn của nó theo z tiến tới biên của miền.
Bởi vậy, khi đó trên biên hai hàm không có liên hệ gì với nhau là phần thực
và phần ảo của hàm f ( ) , cho nên trong trường hợp tổng quát không thể hy
vọng rằng hàm F(z) với z   tiến tới giá trị đã cho.
Để xét các giá trị giới hạn của tích phân loại Cauchy, đầu tiên chúng ta
tìm hiểu ý nghĩa của tích phân này, khi điểm z nằm trên giới hạn tích phân C.
Nếu điểm z nằm trên C, tích phân (2.2), nói chung, khác với hàm số tích phân
dần tới vô cùng khi   z . Tuy nhiên, bổ sung thêm một số giả định cho f(  )
thì tích phân này có thể được xác định. Giả sử, tại một số điểm    0 của
đường cong C hàm số f ( ) thoả mãn điều kiện Golder với chỉ số   1 :

Tồn tại một hằng số M mà tại tất cả các điểm  trên giới hạn C, đóng tại

 0 , có một bất đẳng thức:


f ( )  f ( 0 )  M    0 , 0    1.

(2.3)

Hiển nhiên rằng, điều kiện Golder biểu diễn sự kiện là số gia của hàm số
là vô cùng bé, bậc không nhỏ hơn μ đối với số gia của biến số.
Giả sử rằng tích phân loại Cauchy tồn tại
với z =  0 , nếu hiểu theo cách đặc biệt là tìm
thấy những biểu thức thông qua các tích phân
thông thường. Đầu tiên giả sử  0 là một điểm
nhọn của đường C,   và   là điểm giao
của C với đường tròn z   0  r , c là một
Hình 2.1


-13-

đoạn của đường cong C nằm giữa   và   , còn a và b là hai đầu mút của C
(hình 2.1). Chúng ta có:



C c

f ( )  f ( 0 )

f ( )d
d
 
d  f ( 0 ) 
.
 0
 0
 0
C c
C c

(2.4)

Nhưng

b 0
 ''   0
d
'
b
    0  ln(   0 ) a  ln(   0 )  ''  ln a   0  ln  '   0 ,
C c
ở đó hàm ln được hiểu là hai nhánh của hàm logarit liên tục thay đổi trên các
cung a ' và  ''b . Thêm vào đó, để cho cụ thể ta hiểu rằng giá trị của hàm
ln(  '' -  0 ) thu được từ ln(  ' -  0 ) là liên tục thay đổi khi  mô tả cung tròn
z   0  r từ phía trái của đường C. Từ điều kiện cuối  '   0   ''   0 , ta có:

 "  0
lim ln '
 i .

r 0
  0
Mặt khác, với r đủ nhỏ và theo điều kiện Golder, ta có

(2.5)
f ( )  f ( 0 )
M

1
  0
  0

;

suy ra tồn tại

lim
r 0


C c

f ( )  f ( 0 )
f ( )  f ( 0 )
d  
d ,
 0




0
C

(2.6)

thêm vào đó tích phân cuối có thể được hiểu theo nghĩa thông thường. Vì vậy,
công thức (2.4) trở thành:



C c

f ( )  f ( 0 )
b 0
f ( )d

d  f ( 0 ) ln
 if ( 0 )  O ( r ), (2.7)
 0



a


0
0
C

ở đó O(r )  0 khi r  0.

Từ công thức (2.7) cho thấy rằng tồn tại giới hạn
lim
r 0



C c

f ( )d
f ( )d

;
 0
 0
C


-14-

giới hạn này được gọi là giá trị chính của tích phân, còn bản thân tích phân
trong giới hạn này xác định bởi công thức (2.7) được gọi là tích phân đặc biệt
(trong ý nghĩa Cauchy). Trong định nghĩa của tích phân đặc biệt tồn tại một
cung c từ đường cong C nén lại tại điểm  0 theo một quy tắc xác định (vì hai
đầu mút của cung luôn nằm trên đường tròn z   0  r ; nếu c bị nén lại theo
một quy tắc khác thì công thức (2.7) có thể sẽ không tồn tại. Theo định nghĩa
thông thường của tích phân suy rộng thì đòi hỏi rằng giới hạn của (2.7) tồn tại
khi c   0 theo quy luật bất kỳ. Suy ra, nếu tích phân tồn tại ở trong ý nghĩa
thông thường thì nó sẽ tồn tại trong ý nghĩa đặc biệt, và các giá trị của nó sẽ
trùng với giá trị thường của tích phân. Điều ngược lại sẽ không đúng.
Chúng ta sẽ giải thích định nghĩa dưới một ví dụ đơn giản như sau. Xét

tích phân:
1

dx
,
x
1



xét trên đoạn (-1,1) của trục thực, như chúng ta biết là tích phân này không
tồn tại nhưng nó lại tồn tại dưới dạng tích phân đặc biệt trong ý nghĩa của
Cauchy nên giới hạn
 r dx 1 dx 
1

lim       lim ln r  ln   0
r 0
r 0
r

 1 x r x 

tồn tại (theo định nghĩa của tích phân đặc biệt chúng ta vứt đi khoảng (-r,r)
trên đoạn (-1,1) ).
Chuyển công thức (2.7) qua giới hạn khi r  0 , ta thu được định lý sau:
Định lý 2.1.
Nếu tại điểm  0 là điểm đúng của chu tuyến C và khác với hai đầu mút,
hàm f ( ) thoả mãn điều kiện Golder với chỉ số   1 thì tích phân loại

-15-

Cauchy sẽ tồn tại tại điểm này và giá trị chính của nó sẽ biểu thị qua tích
phân thông thường bằng công thức:
F ( 0 ) 

f ( 0 ) b   0
1 f ( )d
1 f ( )  f ( 0 )
1

d  f ( 0 ) 
ln
.


2i C    0
2i C
 0
2
2i
a 0

(2.8)

Nếu trong trường hợp riêng đường cong C đóng kín thì có thể coi rằng
a=b, khi đó công thức (2.8) sẽ có dạng đơn giản hơn
1 f ( )d
1 f ( )  f ( 0 )

1

d  f ( 0 ).


2i C    0
2i C
 0
2

F ( 0 ) 

(2.9)

Giả sử  0 là điểm góc của đường cong C, kí hiệu α là góc giữa các tiếp
tuyến đối với C tại điểm này, đo từ phía bên trái của đường cong C theo chiều
kim đồng hồ (hình 2.1). Thay vì công thức (2.5), điều kiện về mối quan hệ
của các nhánh logarit, ta có
lim ln
r 0

 " 0
 i  .
 ' 0

Khi đó, thay vì công thức (2.8) ta có công thức mới:
F ( 0 ) 

f ( 0 ) b   0
1 f ( )  f ( 0 )


d 
f ( 0 ) 
ln
.

2i C
 0
2
2i
a 0

(2.10)

Bổ đề 2.1.
Nếu hàm số f ( ) tại điểm  0 thoả mãn điều Golder với chỉ số   1 và
điểm z tiến tới điểm  0 sao cho h  z   0 tiến tới d – khoảng cách ngắn nhất
từ z tới đường cong C - là một số hữu hạn thì ta có công thức:
lim 

z  0

C

f ( )  f ( 0 )
f ( )  f ( 0 )
d  
d .
 z
 0

C

(2.11)

Để chứng minh ta sẽ đánh giá hiệu các tích phân nằm phía trái và phía
phải của công thức (2.11):
   (z   0 )
C

f ( )  f ( 0 )
d .
(  z )(   0 )


-16-

Bẻ tích phân ∆ làm đôi, đoạn thứ nhất chúng ta sẽ khảo sát trên cung c
của đường cong C mà những điểm của nó thoả mãn điều kiện      , ở
0
đó  là một số bất kỳ, số đó ta sẽ nghiên cứu sau, đoạn thứ hai chúng ta sẽ
nghiên cứu trên phần còn lại C’ = C - c.
Đối với tích phân thứ nhất, sử dụng điều kiện Golder (chúng ta coi  là
đủ nhỏ) và cùng với điều kiện   z  d , ta thu được:
1   h
c

M  0



d 

d  0

hM
d

d

  
c

1 

.

0

Kí hiệu t     0 là độ dài cung  0 của đường cong C. Vì C không có
điểm gãy khúc nên tỉ lệ độ dài của đường cong chia cho độ dài cung của
đường cong là hữu hạn. Giả sử rằng tỉ lệ này không lớn hơn A thì

d  ds  Adt và kết quả cuối cùng sẽ là:


h
dt
1  2 MA 1   const    .
d
0 t

Từ đây, rõ ràng thấy rằng  có thể chọn nhỏ đến mức sao cho 1 không
vượt quá  / 2 cho trước.
Bởi vì đường cong C’ không chứa điểm  0 nên khi cố định  thì:



C

f ( )  f ( 0 )
d
 z

là hàm số của z liên tục tại  0 , suy ra với giá trị đủ nhỏ h  z   0 thì  2
không vượt quá giá trị  / 2 . Đối với giá trị h ta có   1   2   , điều này
đã chứng minh xong bổ đề.
Với bổ đề này chúng ta thu được công thức đối với các giá trị giới hạn
của tích phân loại Cauchy.


-17-

Định lý 2.2. (J. V. Sokhotsky)
Giả sử rằng  0 là điểm đúng của chu tuyến C khác với hai đầu mút của
nó, hàm số f(  0 ) ở tại điểm này thoả mãn điều kiện Golder với chỉ số   1
và điểm z →  0 sao cho tỉ số h/d vẫn còn bị chặn. Lúc đó tích phân loại
Cauchy có giá trị giới hạn F  ( 0 ) và F  ( 0 ) , những giá trị này chính là giá
trị mà tích phân tiến tới tương ứng từ bên trái và từ bên phải C khi z →  0 , và
1

f ( 0 ),


2

1

F ( 0 )  F ( 0 )  f ( 0 ), 
2

F  ( 0 )  F ( 0 ) 

(2.12)

ở đó F ( 0 ) là tích phân đặc biệt (2.9).
Giả sử C là đường cong kín chạy theo hướng dương, chúng ta có:
F ( z) 

f ( 0 ) d
1 f ( )d
1 f ( )  f ( 0 )

d


,
2i C   z
2i C
 z
2i C   z

(2.13)

nhưng theo bổ đề đã được chứng minh thì khi z →  0 tích phân thứ nhất ở vế
phải tiến tới giới hạn



C

f ( )  f ( 0 )
d ,
 0

còn tích phân thứ hai bằng 2i , hoặc bằng 0, tuỳ thuộc vào z nằm bên trái hay
phải của đường cong C (nghĩa là bên trong hay bên ngoài C). Với điều này,
chúng ta chuyển công thức (2.13) tiến đến giới hạn khi z →  0 (bên trái hay
bên phải của C):
F  ( 0 ) 

1 f ( )  f ( 0 )
d  f ( 0 ),
2i C
 0

F  ( 0 ) 

1 f ( )  f ( 0 )
d .
2i C
 0

-18-

Thay vào đây giá trị của tích phân lấy từ công thức (2.9), chúng ta nhận
được công thức Sokhotsky cần tìm (2.12).
Bây giờ xét với C là đường cong không kín, chúng ta bổ sung vào đó
một đường cong C’ để được một đường cong khép kín C0=C+C’ và đặt
f ( )  0 trên đường cong C’. Rõ ràng:
F ( z) 

1
f ( )
d ,

2i C0   z

và nếu  0 không trùng với điểm mút của đường cong C thì theo những điều
chúng ta đã chứng minh công thức Sokhotsky (2.12) sẽ là đúng, trong đó tích
phân F ( 0 ) được lấy dọc theo C0. Tuy nhiên, vì f ( )  0 trên đường cong
C’ nên tích phân cuối sẽ được thay thế bằng tích phân dọc theo đường cong C.
Định lý đã được minh chứng.
Nếu điểm  0 không là điểm nhọn trên C với góc tiếp tuyến bằng α, thì
thay vì sử dụng công thức (2.9) ta dùng công thức (2.10) (trong đó đặt a = b),
chúng ta thu được công thức Sokhotsky ở dạng đơn giản hơn:



F  ( 0 )  F ( 0 )  1 
 2



 f ( 0 ),






F ( 0 )  F ( 0 ) 
f ( 0 ).

2

(2.14)

Từ công thức Sokhotsky (2.12) đối với trường hợp điểm nhọn, công thức
(2.14) kết luận rằng khi chuyển qua đường tích phân C tại điểm  0 thì tích
phân loại Cauchy sẽ là:
F  ( 0 )  F  ( 0 )  f ( 0 ).

(2.15)

Công thức (2.15) có chứa lời giải cho vấn đề mà chúng ta đã đặt ra ở
phần đầu về việc tìm điều kiện để tích phân loại Cauchy trở thành tích phân
Cauchy. Chúng ta thấy rằng, nếu đường cong C khép kín và tại mỗi điểm của


-19-

nó F  ( )  0 thì giá trị giới hạn F(z) tính từ bên trong C, tức là F+(  ), bằng
f(  ), điều đó có nghĩa là F(z) là tích phân Cauchy. Ngược lại, nếu F(z) là tích
phân Cauchy, tức là F+(  ) = f(  ) thì F  ( )  0 . Do đó, điều kiện:

F  ( )  0 ,

(2.16)

thoả mãn tại mọi điểm của đường cong C là điều kiện cần và đủ để tích phân
(2.2) trở thành tích phân Cauchy. Điều kiện này đồng thời là điều kiện để giá
trị của f ( ) trên đường cong C là giá trị biên hữu hạn của hàm số mà nó giải
tích trong C.
Định lý 2.3.
Nếu tại mỗi điểm của chu tuyến C, hàm f ( ) thoả mãn điều kiện Golder
với chỉ số   1 , thì để giá trị của nó là giá trị biên của các hàm số, giải tích
bên trong C, cần và đủ thoả mãn đẳng thức sau:



n

f ( ) d  0

(n = 0, 1, 2, …).

(2.17)

C

Thật vậy, bởi vì đối với | z | lớn

1
1  
  1  
 z
z
z

1



 
n 0

n
z n 1

,

nên tích phân loại Cauchy trong lân cận vô cùng nhỏ của một điểm chúng ta
có sự khai triển sau:
F ( z) 


1
d
1 1
f
(


)


 n f ( )d .


n 1 
2i C
 z
n  0 2i z
C

(2.18)

Do đó, nếu điều kiện (2.17) thoả mãn thì trong lân cận vô cùng nhỏ điểm
F(z)  0 . Nhưng bởi vì tích phân loại Cauchy F(z) giải tích ở khắp nơi bên

ngoài đường cong C nên suy ra F(z)  0 ở khắp mọi nơi bên ngoài C. Do đó,
giá trị giới hạn F - ( )  0 , tức là F  ( )  f( ) và giá trị f( ) là giá trị biên giải
tích bên trong C.


-20-

Ngược lại, nếu giá trị f( ) là giá trị biên giải tích bên trong C thì với
điểm z bất kỳ nằm ngoài C, tỷ số

f ( )
như là một hàm số tại điểm  sẽ giải
 z

tích bên trong đường cong C và nó liên tục. Khi đó, theo định lý Cauchy với
mọi z:

F (z) 

1 f ( )d
0
2i C   z

và suy ra đẳng thức (2.18) bằng 0. Điều này và kết hợp với điều kiện (2.17) ta
có điều phải chứng minh.
Định lý được chứng minh.
Định lý 2.4.
Trong điều kiện của định lý trước, điều kiện cần và đủ để giá trị của f(  )
là giá trị biên của hàm số này, giải tích bên trong C, là đẳng thức:

1 f ( )d
0
2i C   z

(2.19)

đối với tất cả điểm z nằm ngoài đường cong C.
Xét các điều kiện trên đường cong C sao cho các giá trị của nó là những
giá trị biên của hàm số giải tích bên ngoài của C. Trước hết, lưu ý rằng, nếu
các hàm số f(z) là giải tích bên ngoài C, bao gồm cả điểm vô cùng và liên tục
trên đường cong của nó thì chúng ta có công thức Cauchy sau đây:

1 f ( )d  f ( z )  f () khi z nằm ngoài C


f ( )
2i C   z
khi z nằm trong C


(2.20)

(đường cong C tính ngược chiều kim đồng hồ).
Thật vậy, nếu điểm z nằm bên ngoài C thì chúng bao quanh C thành
đường cong đóng C’, chứa trong nó một điểm nối giữa C và C’, chúng ta áp
dụng công thức Cauchy:


-21-

f ( z) 

1
f ( ) d
1 f ( )d


2i C '   z
2i C   z

(cả hai đường cong đều tính ngược chiều kim đồng hồ). Bởi vì, trong lân cận
vô cùng nhỏ của một điểm chúng ta có sự khai triển:

f ( )  c0 

ở đó c0  f () , nên hàm số
và suy ra

c1





cn

n

 ,

f ( )
trong lân cận tại điểm  c0   f ()
 z

1
f ( )d
 f () , thoả mãn yêu cầu.
2i C'   z

Nếu z là điểm bên trong C thì hàm số

f ( )
là giải tích giữa C và C’ ,
 z

suy ra, theo định lý Cauchy:



C'

f ( )d
f ( )d

0
 z
 z
C

và kết hợp các kết quả trước đó, chúng ta có công thức (2.20).
Trên cơ sở những công thức thu được ta có điều phải chứng minh.
Định lý 2.5.
Theo các điều kiện của định lý 2.3, điều kiện cần và đủ để các giá trị của
f ( ) là giá trị biên của hàm f(z), giải tích bên ngoài C, là đẳng thức:

1 f ( )d
 a  const
2i C   z
đối với mọi z nằm bên trong C, hơn nữa hằng số ở bên phải bằng f () .
Để chứng minh điều này, chúng ta lưu ý rằng hàm số:

F ( z)  

1 f ( )d
a

2i C   z

(2.21)


-22-

giải tích bên ngoài C, với điều kiện (2.21) cho thấy rằng giới hạn của hàm số
trên tính từ bên trong F  ( )  0 , vì vậy theo công thức Sokhotsky ta có
F  ( )  f ( ) . Định lý đã được minh chứng.

Trong kết luận đã xây dựng ở định lý 2.4 và định lý 2.5 liên quan đến
đường cong C là một đường tròn đơn vị.
Định lý 2.6.
Để các giá trị của hàm số f ( ) tại mỗi điểm của đường tròn đơn vị C
thoả mãn điều kiện Golder với chỉ số   1 là giá trị biên của giá trị hàm số
giải tích tương ứng a) bên trong hình tròn z  1 hoặc là b) bên ngoài hình
tròn, cần và đủ là thoả mãn các điều kiện:
a) đối với mọi z bên trong C

1 f ( )d
 a  const
2i C   z

(2.22)

ở đó a bằng giá trị của hàm số khi z = 0, hoặc là
b) đối với mọi z bên ngoài C
1 f ( )d
 0.

2i C   z

(2.23)

Theo các định lý trước, đủ để khẳng định rằng hàm số:

1
F1 ( z )  F  
z
giải tích bên ngoài hình tròn z  1 nếu F(z) giải tích bên trong hình tròn đó,
suy ra, trên đường tròn | z | = 1, với   1  giá trị giới hạn của hàm số F1(z)
bên ngoài giá trị giới hạn phức của hàm số F(z) từ bên trong (và ngược lại).


-23-

2.2. Các bài toán biên
2.2.1. Bài toán biên Hilbert – Privalov
Trên chu tuyến C với hai hàm số phức a ( )  0 và b( ) thoả mãn điều
kiện Golder với chỉ số   1 . Bắt buộc tìm hai hàm số, trong đó có f  (z )
giải tích bên ngoài C, bao gồm cả điểm z =  , trong khi f  (z ) giải tích bên
trong C; các giá trị biên f  ( ) và f  ( ) của các hàm số này trên C tồn tại
và thoả mãn hệ thức:

f  ( )  a( ) f  ( )  b( ) .

(2.24)

Trường hợp cụ thể của bài toán này, khi b ( )  0 , chúng ta có:

f  (  )  a ( ) f  (  ) ,

(2.25)

D. Hilbert đã giải bài toán này năm 1905. Bài toán biên Hilbert - Privalov có
tầm quan trọng trong các ứng dụng khác nhau của toán học, vật lý.
Cần lưu ý rằng các lời giải của Hilbert và Privalov là không đầy đủ và
F.D. Gахоv đã cung cấp một lời giải rất đơn giản (năm 1938), lời giải này
chúng ta sẽ trình bày dưới đây.
Hãy bắt đầu với nghiệm của bài toán Hilbert (2.25). Chúng ta thấy rằng,
chỉ số hàm số a(  ) là một số nguyên bằng sự biến đổi đầy đủ acgumen của
nó vòng quanh C chia cho 2 :

1
1
 C arg a( ) 
d ln a( ) .
2
2i C

(2.26)

Đầu tiên, giả sử rằng chỉ số bằng 0, nghĩa là hàm số ln a(  ) đơn trị trên
chu tuyến C. Trong trường hợp này dễ dàng tìm thấy nghiệm. Chúng ta xây
dựng tích phân loại Cauchy:

F ( z) 

1 ln a( )d
2i C   z

(2.27)


-24-

và kí hiệu F  (z ) và F  (z ) là các hàm số mà tích phân xác định tương ứng
bên trong và bên ngoài C, khi đó nghiệm sẽ là:


f  ( z)  AeF ( z) ,


f  ( z)  AeF ( z) ,

(2.28)

ở đó A là hằng số tuỳ ý (theo công thức (2.18) thì F  ()  0 , suy ra
A  f  () ).

Thật vậy, các hàm số F  (z ) và F  (z ) tương ứng giải tích bên ngoài và
bên trong C và có giá trị giới hạn. Theo công thức Sokhotsky:

1
F  ( )  F ( )  ln a ( ),
2

1
F  ( )  F ( )  ln a ( ),
2

ở đó F(  ) là giá trị chính của tích phân (2.27). Công thức cuối cùng này và sử
dụng công thức (2.28) ta tìm được:

f  ( )  A a( )eF ( ) , f  ( ) 

A
e F ( ) ,
a( )

f  ( )
 a( ) thoả mãn yêu cầu.
khi đó tỷ lệ 
f ( )
Chứng minh tính duy nhất của nghiệm với hằng số nhân A. Giả sử tồn
tại nghiệm thứ hai f1 ( z) thì hàm số (2.28) không đi đến 0, sẽ giải tích (trong
f1 ( z )
 g  ( z ) . Vì điều kiện biên (2.25) trên đường
miền tương ứng), hàm số 
f ( z)

cong C:


g  ( ) f1 ( ) f  ( )
1
 
 
 a( ) 
1,


a( )
g ( ) f1 ( ) f ( )


do đó, theo nguyên tắc đạo hàm liên tục của g (z ) và g (z ) hình thành một

giải tích trong toàn bộ mặt phẳng z của hàm số g(z). Theo định lý Liouville

g ( z )  const , chính điều này đã chứng minh khẳng định.


-25-

Bây giờ cho ln a ( ) là hàm số hỗn hợp và các chỉ số n là âm; để đơn
giản ta giả sử C chứa toạ độ gốc bên trong nó. Khi đó, chỉ số hàm số:

a1 ( )   n a ( )
sẽ bằng không, bởi vì:

 C arg a1 ( )   C arg  n   C arg a ( )  2n  2n  0 ,
và điều kiện biên (2.25) được viết lại như sau:

f  ( ) 

a1 ( )



n

f  ( ).

(2.29)

Để tìm lời giải của bài toán ta tìm tích của hai hàm số:

f  ( z )  f1 ( z ) f 2 ( z ).

(2.30)

Sử dụng một cách tuỳ ý trong việc chọn một đôi, hãy chọn hàm số

f1 ( z ) , để biểu diễn dạng:




f1 ( )  a1 ( ) f1 ( ).

(2.31)

Vì chỉ số hàm số a1 ( ) bằng không nên ta có thể sử dụng kết quả đã thu
được, nghĩa là đặt:




f1 ( z )  e  F1

( z)





, f1 ( z )  e  F1

( z)

,

(2.32)

ở đó F1(z) là tích phân loại Cauchy được xây dựng trên giá trị biên ln a1 ( )
(xem công thức (2.27) và (2.28), chúng ta thừa nhận A = 1).

Tiếp theo, chọn hàm số f 2 ( z ) để trên đường cong C ta có:



f 2 ( ) 

1



n



f 2 ( ),

(2.33)

khi đó tích (2.30) thoả mãn điều kiện (2.29) (dĩ nhiên đảm bảo đã nhân (2.31)

và (2.33)). Hãy lựa chọn hàm số f 2 ( z ) thì (2.33) có ý nghĩa với hàm số

f 2 ( z ) và z n f 2 ( z ) trùng nhau trên C, do đó tạo thành một hàm giải tích trên