Dạy học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số dạng bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp 12 trong chương trình nâng cao theo hướng phân loại phương pháp giải

Lời cảm ơn
Trong quá trình hoàn thành khóa luận em đã nhận được sự hướng dẫn tận
tình của thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Triệu Sơn giảng viên Khoa Toán- Lý- Tin
trường Đại học Tây Bắc, cùng các thầy cô giáo giảng dạy bộ môn phương pháp
dạy học môn toán, em cũng đã nhận được sự giúp đỡ và ủng hộ nhiệt tình của
các bạn sinh viên lớp K50- Đại học sư phạm Toán trường Đại học Tây Bắc.
Đồng thời em cũng nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo dạy
toán, các em học sinh trường THPT Hưng Nhân – Thái Bình.
Em cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ban chủ nhiệm Khoa Toán- Lý-
Tin, các phòng ban, thư viện nhà trường đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn
thành được khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 5 năm 2013
TÁC GIẢ
Bùi Thị Ngọc

KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Kí hiệu
Đọc là
THPT
Trung học phổ thông
NXBGD
Nhà xuất bản giáo dục
NXBHN
Nhà xuất bản Hà Nội
NXBĐHSP
Nhà xuất bản Đại học Sư phạm
SGK
Sách giáo khoa
BĐT
Bất đẳng thức
ĐPCM
Điều phải chứng minh
PPDH

Phương pháp dạy học















MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn khóa luận 1

2. Mục đích nghiên cứu 2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4. Phương pháp nghiên cứu 2
5. Cấu trúc của khóa luận 2

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4
1.1. Cơ sở lý luận 4

1.1.1. Vị trí, chức năng của bài tập toán học 4

1.1.2. Đạo hàm- ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số 7
1.2.1. Vị trí của khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan . 12
1.2.2. Mục tiêu của nội dung “Dạy học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số
bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp 12 THPT ban
nâng cao” 12
1.2.3. Những điều cần lưu ý khi giảng dạy học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát
hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan 12
1.3. Điều tra thực trạng dạy và học: Khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài
toán có liên quan cho học sinh lớp 12 THPT ban nâng cao. 13

1.3.1. Điều tra giáo viên. 13
1.3.2. Điều tra học sinh 15
CHƯƠNG II: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ
KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ
LIÊN QUAN 17
2.1. Ứng dụng của đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số 17

2.2. Ứng dụng của đạo hàm để tìm cực trị của hàm số bậc hai trên bậc nhất 19

2.3. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. 22




2.4. Quỹ tích các điểm cực trị trên mặt phẳng tọa độ 25

2.5

. Biểu thức đối xứng của cực đại, cực tiểu. Vị trí tương đối của các điểm cực
đại, cực tiểu 29

2.5.1. Biểu thức đối xứng của cực đại, cực tiểu 29
2.5.2. Vị trí các điểm cực đại, cực tiểu 32
2.6. Ứng dụng của đạo hàm để viết phương trình tiếp tuyến của hàm số 37
bậc 2/ bậc 1 37
2.6.1. Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị 37
2.6.2. Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước 39
2.6.3. Bài toán 3. Tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước 43
2.7. Khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số bậc hai trên bậc nhất 47

2.8. Ứng dụng và tính chất của đồ thị 52
2.8.1.Biện luận phương trình bằng đồ thị 52
2.8.2. Tương giao của đồ thị hàm bậc hai trên bậc nhất 56
2.8.3. Bài tập về điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị và bài tập về họ đường cong tiếp
xúc với đường cố định 58
CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 62
3.1. Mục đích thực nghiệm 62

3.2. Nội dung thực nghiệm 62

3.3. Phương pháp thực nghiệm 62

3.4. Đối tượng thực nghiệm 62

3.5. Tổ chức thực nghiệm 62

3.6. Phân tích và đánh giá thực nghiệm 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 69








1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn khóa luận
Từ những thập kỉ cuối của thế kỉ XX, nhiều quốc gia đã tiến hành chuẩn bị
và triển khai cải cách giáo dục, tập trung vào giáo dục phổ thông mà trọng điểm
là cải cách chương trình và SGK. Chương trình của các nước đều hướng tới việc
thực hiện yêu cầu nâng cao giáo dục, trực tiếp góp phần cải thiện chất lượng
nguồn nhân lực, nâng cao chất lượng cuộc sống của con người, khắc phục tình
trạng học tập nặng nề, căng thẳng, ảnh hưởng đến sức khỏe, hứng thú và niềm
tin đối với việc học tập của học sinh. Tình trạng giáo dục thoát ly khỏi đời sống
quá nhấn mạnh đến tính hệ thống, yêu cầu quá cao về mặt lý thuyết mà coi nhẹ
những tri thức và kỹ năng có liên quan trực tiếp đến cuộc sống hằng ngày của
học sinh khiến năng lực hoạt động thực tiễn của người học bị hạn chế. Xu hướng
đổi mới cũng nhằm khắc phục tình trạng sản phẩm giáo dục không đáp ứng
được yêu cầu biến đổi nhanh và đa dạng của sự phát triển xã hội, sự bất bình
đẳng về cơ hội tiếp nhận giáo dục mà biểu hiện chủ yếu là sự cách biệt về điều
kiện, trình độ giữa các địa phương và khu vực, cách biệt giữa giới tính và địa vị
xã hội. Trào lưu cải cách giáo dục lần ba của thế kỷ XX đang hướng vào việc
khắc phục những biểu hiện nói trên để chuẩn bị cho thế hệ trẻ ở các quốc gia
bước vào thế kỉ XXI.

Trong chương trình toán phổ thông các bài toán về “ứng dụng của đạo hàm
để khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán
có liên quan cho học sinh lớp 12 THPT ban nâng cao theo hướng phân loại
phương pháp giải” luôn được quan tâm và là nội dung được dành nhiều thời
gian. Các bài toán về “ứng dụng của đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của đồ
thị hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan” rất đa dạng và
cũng là nội dung rất phức tạp trong chương trình môn toán của ban nâng cao ở
trường THPT.
Trong thực tế, đa số các học sinh chưa vận dụng được các ứng dụng của
đạo hàm vào khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan.
Đặc biệt ứng dụng của đạo hàm để làm các bài toán có liên quan: viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tìm quỹ tích các điểm cực trị, biện
luận phương trình bằng đồ thị, tìm tâm đối xứng, trục đối xứng…còn khó khăn
và xa lạ đối với các em hoặc còn biết sơ sài về cách tính. Để giúp các em giải
được các bài toán ứng dụng của đạo hàm để giải các bài toán có liên quan một
cách dễ dàng và nhanh chóng em tiến hành nghiên cứu và đưa ra một số phương
pháp giải cho học sinh lớp 12 THPT ban nâng cao về ứng dụng của đạo hàm vào
khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan.

2

Đặc biệt ứng dụng của đạo hàm để làm các bài toán có liên quan. Vì vậy
em chọn khóa luận “Dạy học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số dạng
bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp 12 trong
chương trình nâng cao theo hướng phân loại phương pháp giải ”.
Mong rằng đây sẽ là tài liệu tham khảo để học sinh nắm rõ hơn về ứng dụng
của đạo hàm để khảo sát hàm bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan,
từ đó giúp học sinh linh hoạt hơn trong việc lựa chọn phương pháp giải tối ưu
cho các bài tập: viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tìm quỹ tích các
điểm cực trị, biện luận phương trình bằng đồ thị, tìm tâm đối xứng, trục đối

xứng…
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu và đề xuất hướng giải một số dạng toán ứng dụng của
đạo hàm để khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan
cho học sinh lớp 12 ban nâng cao.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cách “Dạy học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số dạng
bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp 12 trong
chương trình nâng cao theo hướng phân loại phương pháp giải ”.
Hướng phân loại và đưa ra phương pháp giải một số dạng bài tập: viết
phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tìm quỹ tích các điểm cực trị, biện
luận phương trình bằng đồ thị, tìm tâm đối xứng, trục đối xứng…
Tìm hiểu thực trạng dạy và học nội dung “ứng dụng của đạo hàm để khảo
sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp 12
trong chương trình nâng cao theo hướng phân loại phương pháp giải” trong
chương trình giải tích 12 ban nâng cao trường THPT Hưng Nhân – Thái Bình.
Tìm hiểu việc dạy giải bài tập đề xuất biện pháp dạy học theo hướng phân
loại phương pháp giải.
Tiến hành thực nghiệm sư phạm để thẩm định kết quả.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận.
Phương pháp điều tra – quan sát.
Phương pháp thực nghiệm .
5. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo…nội dung của khóa luận
gồm 3 chương:

3

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.

Chương 2: Một số dạng toán về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số
bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

4

CHƯƠNG I
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Cơ sở lý luận
1.1.1. Vị trí, chức năng của bài tập toán học
Bất cứ một nội dung nào cũng có cơ sở lý thuyết và phần bài tập tương ứng.
Dựa vào phần lý thuyết để giải bài tập và ngược lại bài tập có tác dụng củng cố
lý thuyết.
a. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Ta đã biết các bài toán là một dạng của bài tập toán học cho nên để hiểu
được vai trò của việc giải bài tập ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số
bậc 2/ bậc 1 và các bài toán có liên quan ta sẽ đi tìm hiểu về vị trí cũng như vai
trò, chức năng của bài toán học ở trường phổ thông, bài tập có vai trò quan trọng
trong môn toán, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Điều quan trọng là bài tập
có vai trò giá mang hoạt động của học sinh, các bài tập ở trường phổ thông là
phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh
nắm vững tri thức phát triển tư duy và hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng
toán học vào thực tiễn. Thông qua việc giải các bài tập, học sinh phải thực hiện
những hoạt động nhất định, bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định lý, định
nghĩa, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức tạp, những
hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và hoạt
động ngôn ngữ. Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu nội dung
và phương pháp dạy học. Chính vì vậy mà vai trò của bài tập toán học được thể
hiện trên cả 3 bình diện:
Thứ nhất: Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông
là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức
độ đạt mục tiêu. Mặt khác những bài tập thể hiện chức năng khác nhau hướng
đến việc thực hiên các mục tiêu dạy học môn toán, cụ thể là:
Hình thành củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo và những khâu khác nhau

trong quá trình dạy học. Phát triển năng lực trí tuệ, linh hoạt trong việc sử dụng
công thức tính đạo hàm một cách phù hợp.
Thứ hai: Trên bình diện nội dung dạy học, những nội dung dạy học là giá mang
hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định để người học kiến tạo tri thức
nhất định cơ sở đó thực hiện những mục tiêu dạy học khác.
Những bài tập toán còn là phương tiện cài đặt nội dung để làm hoàn chỉnh
hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết.

5

Thứ ba: Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán là giá mang hoạt
động để người học học những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các
mục tiêu dạy học khác nhau. Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ
chức tốt cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác tích
cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập và trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác
nhau về phương pháp dạy học. Đảm bào trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra. Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập
là phương diện đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập
trình độ phát triển của học sinh. Một bài tập cũng có thể nhằm vào một hay
nhiều dụng ý trên, nhưng cũng có thể bao hàm những ý đồ nhiều mặt.
Để dạy học giải bài tập ta cần chú ý đến những điểm sau:
Xây dựng, chọn lọc hệ thống bài tập bao gồm:
Bài tập tương tự với bài tập trong sách giáo khoa dành cho học sinh trung bình.
Bài tập tổng hợp nhằm ôn lại, hệ thống hóa các kiến thức.
Bài tập mở có tính chất khái quát mà bài tập trong sách giáo khoa là một
trường hợp riêng dành cho học sinh khá giỏi.
Thực hiện các bước tìm tòi lời giải.
Tiến hành tổ chức, hướng dẫn học sinh giải bài tập.
b. Phương pháp chung tìm lời giải bài toán

Một số người có tham vọng muốn có một lời giải tổng quát để giải một
bài toán. Đó là một điều ảo tưởng. Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng biệt
cũng có trường hợp có, trường hợp không có thuật giải. Tuy nhiên trang bị
những hướng dẫn chung, gợi ý những suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải quyết
bài toán lại là có thể và cần thiết.
Để giải một bài toán ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Phân tích đề bài
Phát biểu đề bài dưới những dạng hình thức khác nhau để hiểu rõ nội
dung bài toán.
Xác định cái đã cho, cái phải tìm.
Có thể dùng công thức, lý luận, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Bước 2: Tìm phương pháp giải
Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất suy đoán.
Biến đổi cái đã cho, cái phải tìm hay phải chứng minh liên hệ với cái đã cho
hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết liên hệ bài toán cần giải với một bài
toán cũng tương tự một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một
bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng

6

toán: viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tìm quỹ tích các điểm cực
trị, biện luận phương trình bằng đồ thị, tìm tâm đối xứng, trục đối xứng…
Kiểm tra lời giải bằng cách xem kỹ lại từng bước thực hiện hoặc đặc biệt
hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức liên quan tìm tòi
những cách khác nhau, so sánh chúng để tìm cách giải hợp lý nhất.
Bước 3: Trình bày lời giải
Từ phương pháp giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình, thành các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

Nghiên cứu giải những bài toán tương tự hay mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Kết luận: Phương pháp chung để giải bài toán không phải là thuật toán giải bài
toán. Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu được vận dụng được
phương pháp chung để giải bài toán vào việc giải những bài toán cụ thể mà họ
gặp trong chương trình. Học phương pháp chung để giải bài toán mang tính chất
tìm tòi phát hiện. Nói chung cách thức dạy học sinh mang phương pháp chung
để giải bài toán như sau:
Thông qua việc giải những bài toán cụ thể cần nhấn mạnh để học sinh
nắm được phương pháp chung gồm 4 bước và có ý thức vận dụng 4 bước này
trong quá trình giải toán.
Cũng thông qua việc giải những bài toán cụ thể, phải đặt ra cho học sinh
những câu hỏi gợi ý đúng để học sinh dần dần biết sử dụng những phương tiện
này như những phương tiện kích thích suy nghĩ, tìm tòi, dự đoán, phát hiện để
thực hiện từng bước phương pháp chung giải bài toán.
Những câu hỏi lúc đầu là do giáo viên đưa ra để hỗ trợ học sinh nhưng dần
biến thành vũ khí của bản thân học sinh, được học sinh đưa ra đúng lúc, đúng
chỗ để gợi ý từng bước đi của mình trong quá trình giải toán.
Như vậy, quá trình học sinh học phương pháp chung giải toán là một quá
trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán
của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể. Từ phương
pháp chung giải toán đi tới cách giải cụ thể một bài toán cụ thể là cả một chặng
đường đòi hỏi lao động tích cực của người học sinh, trong đó có nhiều yếu tố
sáng tạo.
c. Các yêu cầu đối với lời giải toán
Để phát huy tác dụng của bài tập toán học trước hết cần nắm vững các yêu
cầu của lời giải bài toán. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng, ngắn gọn dễ
hiểu cụ thể là:
Yêu cầu 1: Kết quả đúng, kể cả các bước trung gian

7

Kết quả cuối cùng phải là đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một
hình vẽ thỏa mãn các yêu cầu đề ra. Kết quả các bước trung gian phải đúng. Như
vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, hình vẽ, biến đổi biểu thức.
Yêu cầu 2: Lập luận chặt chẽ
Đặc biệt phải tuân thủ các yêu cầu sau:
Luận đề phải nhất quán
Luận cứ phải đúng
Luận chứng phải hợp logic
Yêu cầu 3: Lời giải đầy đủ
Yêu cầu có nghĩa là lời giải phải không được bỏ sót một trường hợp, một
chi tiết cần thiết nào. Cụ thể là phương trình không thiếu nghiệm, phân chia
trường hợp không thiếu một khả năng nào.
Yêu cầu 4: Ngôn ngữ chính xác
Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho các bộ môn. Việc
dạy học môn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này.
Yêu cầu 5: Trình bày rõ ràng, đảm bảo tính mỹ thuật.
Yêu cầu này đặt ra dưới cả lời văn, chữ viết hình vẽ, cách sắp xếp các yếu
tố (chữ, số, hình ) trong lời giải.
Yêu cầu 6: Tìm ra những cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất trong các cách giải
đã tìm được
Trong quá trình dạy học cần khuyến khích học sinh tìm ra những cách giải
trong một bài toán, hướng dẫn học sinh phân tích, so sánh để tìm ra lời giải ngắn
gọn, hợp lý nhất.
Yêu cầu 7: Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược
vấn đề.
Từ yêu cầu 1 tới yêu cầu 4 là 4 yêu cầu cơ bản; yêu cầu 5 là yêu cầu về
mặt trình bày; yêu cầu 6, 7 là yêu cầu đề cao.
1.1.2. Đạo hàm- ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số
a. Xét tính đơn điệu của hàm số

Hàm số
 
y fx

TXĐ:
DR

+
 
y fx
đồng biến trên khoảng
 
;ab

 
 
12
;x x a b  
ta có
   
12
f x f x

+
 
y fx
nghịch biến trên khoảng
 
;ab


 
 
12
;x x a b  

ta có
   
12
f x f x


8

+ Điều kiện cần và đủ để
 
y fx
đồng biến trên khoảng
 
;ab

'
( ) 0fx
 
 
;x a b
đồng thời
'
( ) 0fx
chỉ cần xảy ra tại một số hữu hạn điểm
 

;ab
+ Điều kiện cần và đủ để
 
y fx
nghịch biến trên khoảng
 
;ab

'
( ) 0fx
,
 
 
;x a b
đồng thời
'
( ) 0fx
chỉ cần xảy ra tại một số hữu hạn điểm
( , )ab
+ Nếu
()fx

đồng biến trên
 
;ab

thì
   
;;
( ) ( ), ax ( ) ( )

x a b x a b
Min f x f a M f x f b



+ Nếu
 
fx
nghịch biến trên
 
;ab

thì
   
;;
( ) ( ), ax ( ) ( )
x a b x a b
Min f x f b M f x f a



b. Tìm cực trị của hàm số
- Dấu hiệu I: Tìm cực trị của hàm số
 
y f x

+ Nếu qua điểm tới hạn
0
x
,

 
'
fx
đổi dấu (+) thành (

)

0
x
là điểm cực đại
+ Nếu qua điểm tới hạn

0
x
,
 
'
fx
đổi dấu (

) thành (+)

0
x
là điểm cực tiểu
Minh họa:
x



0
x



'
()fx

+


()fx

CĐ

Chú ý:
+Nếu qua điểm tới hạn
0
x
đạo hàm số đổi đấu thì
0
x
là điểm cực trị.
+Nếu qua điểm tới hạn
0
x
đạo hàm số không đổi đấu thì
0
x
không là điểm cực trị


Quy tắc tìm cực trị:
+Tìm TXĐ
+Tính đạo hàm
+Tìm các điểm tới hạn. Giải phương trình
'
0y 

+Xét sự đổi dấu của
'
y

+Kết luận
- Dấu hiệu II:
Định lý:

 
y f x
có đạo hàm liên tục tới cấp II tại

0
x

+Nếu
 
 
'
0
''
0

0
0
fx
fx








0
x
là một điểm cực trị
x



0
x



'
()fx



+

()fx


CT


9

+Nếu
 
 
'
0
''
0
0
0
fx
fx








0
x

là một điểm cực đại
+Nếu
 
 
'
0
''
0
0
0
fx
fx








0
x
là một điểm cực tiểu

Dấu hiệu II chỉ là điều kiện đủ
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Hàm số
 
2
ax bx c

y f x
mx n



với
2
,0
0
am
nn
a b c
mm





   
  
   

   


 
  
 
 
2

''
2
2ax b mx n m ax bx c
y f x
mx n
    




 
 
 
2
22
2
gx
amx anx bn cm
mx n mx n
  



+ Điều kiện tồn tại cực trị
Hàm số có cực trị
 
'
0fx
có hai nghiệm phân biệt
12

,xx

 
gx
có hai nghiệm phân biệt khác
'
0
0
g
n
n
m
g
m














+Kỹ năng tính nhanh cực trị


Bổ đề (*): Nếu
 
 
 
ux
yx
vx

có
 
 
'
0
0
0
0
yx
vx







thì
 
 
 
 

 
'
00
0
'
00
u x u x
yx
v x v x


Chứng minh
 
       
 
''
' 0 0 0 0
0
2
0
u x v x v x u x
yx
vx



         
' ' '
0 0 0 0 0
00y x u x v x v x u x   

       
''
0 0 0 0
u x v x v x u x



 
 
 
 
 
'
00
0
'
00
u x u x
yx
v x v x

(đpcm)

Áp dụng:

10

Giả sử

'
0
0
g
n
g
m











khi đó
 
0gx
hay
 
'
0yx
có hai nghiệm phân biệt
12
,xx

Đồng thời hàm số

 
y f x
đạt cực trị tại
12
,xx

Đặt
 
 
2
u x ax bx c
v x mx n

  





do
 
 
'
1
'
2
0
0
yx
yx









 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
'
11
1
11
'
11
'
22
2
22
'
22

2
2
u x u x
ax b
y y x
v x v x m
u x u x
ax b
y y x
v x v x m


   






   



Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu là:
 
 
'
'
2
ux

ax b
y
v x m m
  

d. Biểu thức đối xứng của cực đại, cực tiểu. Vị trí tương đối của các điểm
cực đại, cực tiểu
Hàm số
 
2
ax bx c
y f x
mx n



với

2
,0
0
am
nn
a b c
mm






   
  
   

   



Bổ đề (*): Nếu
 
 
 
ux
yx
vx

có
 
 
'
0
0
0
0
yx
vx








thì
 
 
 
 
 
'
00
0
'
00
u x u x
yx
v x v x



Áp dụng: Giả sử
'
0
0
g
n
g
m












khi đó
 
0gx
hay
 
'
0yx
có hai nghiệm
phân biệt
12
,xx
.
Đồng thời hàm số
 
y f x
đạt cực trị tại
12
,xx

Đặt
 

 
2
u x ax bx c
v x mx n

  





do
 
 
'
1
'
2
0
0
yx
yx








11

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
'
11
1
11
'
11
'
22
2
12
'
22
2
2
u x u x
ax b
y y x

v x v x m
u x u x
ax b
y y x
v x v x m


   






   




Hệ quả:
     
1 2 1 2
2
2 2 2 4
CĐ CT
a b bm an
y x y x xyy x
m m m

     

       
1 2 1 2 1 2
22
CĐ CT
yy
aa
y x y x x x x x
mm
      

   
  
12
12
2
22

CĐ CT
ax b ax b
yy xy xy
m


 
22
1 2 1 2
2
42a x x ab x x b
m

  


e. Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số bậc hai trên bậc nhất
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị
Cho đồ thị
   
:C y f x
và điểm
 
 
0 0 0
;M x y C
. Viết phương trình tiếp
tuyến của
 
C
tại
 
0 0 0
;M x y

 Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước
Cho đồ thị
 
C
:
 
y f x
và một số

kR

 Bài toán 3. Tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Cho đồ thị
   
:C y f x
và điểm
 
;ab
cho trước. Viết phương trình tiếp
tuyến của
 
C
đi qua
 
;ab

+ Đường thẳng đi qua
 
;ab
với hệ số góc
k

có phương trình
 
y k x a b  

tiếp xúc với đồ thị
   
:C y f x

có hệ phương trình:
   
 
'
f x k x a b
f x k
  







có nghiệm
    
'
f x f x x a b   
(*)
Giải phương trình (*) suy ra nghiệm
 
0
; ; ; ;
in
x x x x

Phương trình tiếp tuyến tại
i
xx

là
    
'
i i i
y f x x x f x  

f. Ứng dụng và tính chất của đồ thị
 Biện luận phương trình bằng đồ thị
 Khảo sát sự tương giao của đồ thị hàm số bậc hai trên bậc nhất
1.2. Cơ sở thực tiễn

12

1.2.1. Vị trí của khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên
quan
Chương trình SGK Giải tích 12 (chương trình nâng cao) bao gồm 4
chương. Phần ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất
và các bài toán có liên quan nằm ở Bài 4: Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ
tọa độ; Bài 5: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số; Bài 7: Khảo sát sự biến thiên
và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hưu tỉ; Bài 8: Một số bài toán thường gặp
về đồ thị.
Học sinh không được dạy tường minh phương pháp giải mà chỉ làm quen
qua một số ví dụ cụ thể vì thế học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải quyết những
bài toán phức tạp hơn và rất khó lựa chọn phương pháp tối ưu giải một số bài
toán ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài
toán có liên quan.
1.2.2. Mục tiêu của nội dung “Dạy học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát
hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp
12 THPT ban nâng cao”
Về kiến thức: Nắm được định nghĩa đạo hàm

Nắm được các bước khảo sát hàm số
Nắm được phương pháp làm các bài toán có liên quan.
Về kỹ năng: Biết cách khảo sát hàm số
Biết vận dụng các kiến thức đã học để làm các bài toán có liên quan
1.2.3. Những điều cần lưu ý khi giảng dạy học ứng dụng của đạo hàm để
khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan
a. Cần cho học sinh thấy được những vấn đề nghiên cứu về “ứng dụng của đạo
hàm để khảo sát hàm số dạng bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan”:
viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tìm quỹ tích các điểm cực trị,
biện luận phương trình bằng đồ thị…
Việc khảo sát hàm số và các bài toán có liên quan cần sử dụng kiến thức đạo
hàm ở lớp 11 và kiến thức trong hình phẳng ở lớp 10.
b. Việc khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan trong
SGK chỉ được giới thiệu tổng quát mà chưa đi sâu vào vấn đề cụ thể. Vì đối với
học sinh các bài tập: viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tìm quỹ tích
các điểm cực trị, biện luận phương trình bằng đồ thị… còn khó khăn và yêu cầu
các kiến thức ở lớp 10 và lớp 11.
Học sinh phải được rèn luyện trong các trường hợp khác nhau đều đưa về
các dạng bài tập cơ bản.

13

c. Phương pháp giảng dạy.
Cần cho học sinh thấy rằng để làm được các bài tập ứng dụng của đạo hàm
để khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan cần phải
thành thạo các thao tác: 6 bước khảo sát hàm số, sử dụng các tính chất của đạo
hàm, sử dụng tính chất của hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song
song….
1.3. Điều tra thực trạng dạy và học: Khảo sát hàm số bậc hai trên bậc nhất
và các bài toán có liên quan cho học sinh lớp 12 THPT ban nâng cao.

Để tìm hiểu thực trạng dạy và học ở một số trường THPT, em tiến hành điều tra
trên hai đối tượng giáo viên và học sinh như sau:
1.3.1. Điều tra giáo viên.
Bảng1: Đội ngũ giáo viên toán ở trường THPT Hưng Nhân

Trường
Số
lượng
giáo
viên
Tuổi nghề (năm)
Hệ đào tạo
Chất lượng GV
1-10
10-20
Trên
20
Cao
đẳng
Đại
học
Trên
đại
học
Giỏi
Khá
Trung
bình
THPT
Hưng

Nhân
15
7
6
2

15

4
11


Nhận xét: Qua bảng điều tra ta thấy phần lớn giáo viên được đào tạo chính quy
chuẩn đại học, có tuổi nghề còn trẻ đa số giáo viên dạy khá, giỏi. Một số giáo
viên đã có thâm niên lâu năm nên có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy, do đó
về trình tự các bước lên lớp và phương pháp giảng dạy bộ môn đều nắm vững.
Tuy nhiên tuổi nghề giáo viên còn trẻ nên chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy,
vì vậy chất lượng đào tạo còn chưa cao.
Bảng 2: Đánh giá về nội dung “Dạy học ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm
số dạng bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan ”

Trường
Số
lượng
Nội dung
chương trình
Mức độ kiến thức
Khả năng vận dụng
vào giảng bài tập
của học sinh

Phù
hợp
Không
phù hợp
Dễ
Bình
thường
Khó
Dễ
Bình
thường
Khó

14

THPT
Hưng
Nhân
15
13
2

13
2

12
3

Nhận xét: Qua điều tra cho thấy nội dung “ứng dụng của đạo hàm để khảo sát
hàm số dạng bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan” ở trường THPT

cho ban nâng cao là tương đối phù hợp, phân bố hợp lý, mức độ kiến thức trong
chương trình là tương đối phù hợp với học sinh.
Bảng 3:

Nội dung
Tần suất
(%)
Chức năng của giáo
viên khi dạy học
bài tập toán
Giải bài tập cho học sinh chép
20
Hướng dẫn học sinh giải bài tập
50
Tạo câu hỏi kích thích tư duy học sinh
20
Phương pháp khác
10
Việc vận dụng PPDH
giải bài tập toán vào
dạy học kiến thức ứng
dụng của đạo hàm để
khảo sát hàm số dạng
bậc hai trên bậc nhất
và các bài toán có liên
quan đối với giáo viên
Khó
30
Bình thường
40

Dễ
20
Ý kiến khác
10
Khó khăn của giáo
viên khi dạy kiến thức
tính“ ứng dụng của
đạo hàm để khảo sát
hàm số dạng bậc hai
trên bậc nhất và các
bài toán có liên quan ”

Xác định từng dạng bài tập
20
Hướng dẫn HS giải bài tập
50
Chưa vận dụng được PPDH giải bài tập
toán vào giảng dạy
30

15

1.3.2. Điều tra học sinh
Chúng tôi tiến hành điều tra học sinh 3 lớp 12
1

, 12
2

, 12

3

của trường
THPT Hưng Nhân – Thái Bình.





Bảng 1:
Trường
Lớp
Tổng
số
Học lực
Giỏi
Khá
TB
Yếu
kém
THPT
Hưng Nhân
12
1


42
5
33
3

1
12
2


40
6
30
2
2
12
3


46
4
35
4
3

Nhận xét: Qua bảng trên ta thấy tỷ lệ học sinh khá, giỏi của trường chiếm phần
lớn, tỷ lệ học sinh yếu kém ít. Nhìn chung kết quả học tập của các em khá cao.
Bên cạnh đó có một số học sinh chưa có kết quả cao trong học tập, nguyên nhân
là do các em chưa thực sự cố gắng trong quá trình học tập. Nhà trường có đội
ngũ giáo viên trẻ, năng động, có lòng yêu nghề tạo cho chất lượng đào tạo của
nhà trường có kết quả cao.
Bảng 2: Điều tra về độ khó và phương pháp học nội dung “ứng dụng của đạo
hàm để khảo sát hàm số dạng bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan”.

Lớp

12
1


12
2


12
3


Độ khó của
môn toán
Rất khó
12
14
17
Khó
15
13
18
Bình thường
12
8
7
Dễ
3
5
4

Phương pháp
Đọc lý thuyết rồi làm bài tập
13
10
15

16

học toán
Chưa đọc lý thuyết rồi làm bài
tập
9
8
11
Định hướng trước khi giải bài tập
16
14
17
Phương pháp khác
4
8
3
Khó khăn gặp
phải khi học
nội dung kiến
thức về “ứng
dụng của đạo
hàm để khảo
sát hàm số
dạng bậc hai

trên bậc nhất
và các bài toán
có liên quan”
Vận dụng làm bài tập
7
5
11
Chưa biết cách làm bài tập về
“ứng dụng của đạo hàm để khảo
sát hàm số bậc 2/ bậc 1 và các bài
toán có liên quan”
20
19
22
Chưa định hình phương pháp cụ
thể cho từng dạng
15
16
13
Phương pháp
học tập
Nắm vững từng dạng bài và cách
giải cụ thể của dạng đó
20
17
19
Nắm vững lý thuyết về khảo sát
hàm số và các bài toán có
liênquan
15

14
17
Cả hai ý kiến trên
7
9
10

Nhận xét: Qua điều tra cho ta thấy hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi học
toán, phương pháp học chủ yếu là nghe giảng. Đa số học sinh đều nắm được
phương pháp ứng dụng của đạo hàm vào khảo sát hàm số và các bài toán có liên
quan nhưng các em chưa thành thạo trong việc vận dụng một số vào giải toán.
Một số em biết nhưng không biết cách vận dụng như thế nào trong quá trình giải
bài tập. Do đó giáo viên cần nắm bắt được tình hình trên để có phương pháp giải
phù hợp. Đặc biệt nội dung ứng dụng của đạo hàm vào các bài toán có liên quan
trong chương trình toán ban nâng cao ở trường THPT là kiến thức khó, giáo viên
cần đổi mới phương pháp dạy học để học sinh tiếp cận kiến thức mới này một
cách dễ dàng hơn.

17

Kết luận: Trên cơ sở lý luận và thực tiễn em đã đưa ra lý thuyết các dạng
toán ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số và các bài toán có liên quan.
Đồng thời điều tra thực trạng dạy và học chương trình ứng dụng của đạo hàm để
khảo sát hàm số dạng bậc hai trên bậc nhất và các bài toán có liên quan đối với
giáo viên và học sinh.



CHƯƠNG II
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO

SÁT HÀM SỐ BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ
LIÊN QUAN
2.1. Ứng dụng của đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số
a. Phương pháp
Hàm số
 
y,f x m


+ Bước 1: TXĐ:
DR

+ Bước 2: Tính
'
y

+ Bước 3: Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên R
 
''
0, 0yy  

 Cách 1: Sử dụng tam thức bậc 2
 Cách 2: Phương pháp hàm số: Cô lập tham số m
+ Bước 4: Kết luận
b. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho hàm số:
2
23
1
x x m

y
x




 
Cm
.
Tìm
m

để hàm số đồng biến trên
 
3;

Giải
2
23
1
x x m
y
x



 
Cm

+ Bước 1: TXĐ:

 
\1DR

+ Bước 2:
  
   
2
2
'
22
4 3 1 2 3
2 4 3
11
x x x x m
x x m
y
xx
    
  


 
 
2
1
gx
x



+ Bước 3: Phương pháp hàm số

Để hàm số đồng biến trên
 
3;
thì
 
'
0 0, 3y g x x    


18

Ta có:
'
4 6 2 2 2
g
mm     


   
'
0 1 0,
g
m g x x       

'
01
g
m   



 
gx

có đồ thị
1
x

2
x


 
gx
có hai nghiệm phân biệt:
12
3xx





Cách 1:

   
'
0
1

2 3 0 2 18 12 3 0
13
3
2
g
m
gm
S







     







1
9 1 9
13
m
mm




    





Kết hợp với điều kiện
 

ta có:
9m

Vậy để hàm số đồng biến trên
 
3;
thì
9m

 Cách 2:
1 2 1 2
3 3 3 0x x x x      

Đặt
12
3 3 0x t x t t t       

     
2
2 3 4 3 3g t t t m     

2
2 8 9t t m   


 
'
16 2 9 2 2mm     

Để phương trình có hai nghiệm âm thì:
'
0 2 2 0
1
0 2 0 1 9
9
0 9 0
m
m
Sm
m
Pm

   





       
  




  



Kết hợp với điều kiện
 

ta có:
9m

+ Bước 4: Kết luận: Vậy để hàm số đồng biến trên
 
3;
thì
9m

Ví dụ 2: Cho
 
2
3xx
y Cm
xm



. Tìm
m
để hàm số đồng biến trên



1; 

Giải
 
2
3xx
y Cm
xm





19

+ Bước 1: TXĐ:
 
\D R m

+ Bước 2:
  
   
 
 
2
2
'
2 2 2

2 3 3
23
x x m x x g x
x mx m
y
x m x m x m
   

  
  

+ Bước 3: Để hàm số đồng biến trên


1; 

thì
   
'
0 0, 1 1y g x x m       

Ta có:
'2
3
g
mm  

'
0 0 3
g

m    
kết hợp với (*)
01m  

'2
0
0 3 0
3
g
m
mm
m


     



kết hợp với (*)
0m
 


Ta có
 
2
2
2 3 0
32
x

x mx m u x m
x

     

 


1;
ax
x
M u x m
 


Ta có:
 
       
2
2
'
2 2 2 2
39
2
2 6 1 9 1 9
22
10
22
3 2 3 2 2 3 2 3 2
x

xx
ux
x x x x






      


   


 
ux
luôn nghịch biến trên


1; 

   
1
ax 1 1
x
M u x u m

    
kết hợp với

 


10m  

+ Bước 4: Kết luận: Vậy để hàm số đồng biến trên


1; 

thì
01
10
m
m



  


c. Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho
 
2
2
2
x x m
y Cm
x




.Tìm
m

để hàm số
 
Cm
nghịch biến trên
 
1;0

Bài 2: Tìm
m
để
 
2
23
21
x x m
y Cm
x
  


nghịch biến trên

1
;

2

 



2.2. Ứng dụng của đạo hàm để tìm cực trị của hàm số bậc hai trên bậc nhất
a. Phương pháp: Cho hàm số
 
y f x

Cách 1: Sử dụng qui tắc I
+ Bước 1: TXĐ:
DR

+ Bước 2: Tính
'
y
. Giải phương trình
'
12
0,y x x
…
+ Bước 3: Lập bảng biến thiên

20

+ Bước 4: Kết luận
Cách 1: Sử dụng qui tắc II
+ Bước 1: TXĐ:

DR

+ Bước 2: Tính
'
y
. Giải phương trình
'
12
0,y x x
…
+ Bước 3: Tính
''
y
, tính
 
''
i
yx

+ Bước 4: Kết luận

b. Ví dụ
Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số
 
2
1
1
xx
y f x
x





Giải
 
2
1
1
xx
y f x
x




+ Bước 1: TXĐ:
 
\1DR

+ Bước 2:
  
   
2
2
'
22
2 1 1 1
2
11

x x x x
xx
y
xx
    




Giải phương trình:
'
0y 

 
 
2
2
2
0
2
0 2 0 2 0
2
1
x
xx
x x x x
x
x




       





+ Bước 3: Bảng biến thiên:



+ Bước 4: Kết luận
Hàm số đạt cực đại tại
0x 


Đ

1

Hàm số đạt cực tiểu tại
2x 
3
CT
y

Ví dụ 2: Sử dụng quy tắc II để tìm cực trị của hàm số
 
2
21

1
xx
yC
x




x



0 1 2


'
y

+ 0



0 +
y

-1











3