Chuyên đề mũ-logarit trắc nghiệm và tự luận

MŨ – LOGARIT
Chuyên đề

DẠNG BÀI: HÀM SỐ MŨ – LOGARIT
Bài toán 1: Công thức logarit (tiếp)

loga 1 = 0


loga a = 1

loga b2 = 2 loga b

loga b b = b. loga b





log a β b =



a

1
.log a b , ( β ≠ 0 )
β

log 1 b = − log a b


log c
log a
b =c b





a

loga b

=b

æö
b÷
÷
loga ç
= loga b - loga c
ç
÷
ç
÷
ç
èc ø

loga ( b.c ) = loga b + loga c



logb c =



a

loga c
loga b

loga b =

Þ loga b. logb c = loga c



1
logb a

log a b =
,

ln b
ln a


1
Câu 1 :

log 3 = a
Nếu

A.
Câu 2 :
A.
Câu 3 :
A.

thì

log 81 100

a4

B.

Nếu

log12 6 = a

log 2 7 =

và

a
1+ b

Nếu
3a

thì

B.

C.

log 2 7 =

C.

a2

D.

log 2 7 =

b
1− a

bằng
3 + 2a

a
1− b

D.

B.

a = log 3 15; b = log 3 10

Cho

3 ( a + b − 1)

B.

Tính

log

vậy
2 ( a + b − 1)

3

D.

C.

bằng:
3b + 2 ac
c+3

C.

4 ( a + b − 1)

D.

Câu 8 :

a2 + 3

3b + 3ac
c+2

D.

a + b −1

a, b ≠ 1

Cho
A=

Cho
A. -2

Câu 9 :

a
a −1

50 = ?

Cho a,b,c là các số thực dương và
. Khẳng định nào sau đây sai
log b c
1
log a c =
log a c =
log

c
=
log
b
.log
c
a
a
b
A.
C.
log c a
log b a
B.
D.

A.

log 2 7 =

log12 35

3b + 2 ac
c+2

Câu 6 :

Câu 7 :

a

8

thì

log 27 5 = a , log 8 7 = b ,log 2 3 = c.

Cho
3b + 3ac
A.
c +1

A.

C.

16a

log 9000

2

Câu 4 :

Câu 5 :

2a

log12 7 = b

B.

log 3 = a

bằng

a = log 2 m

3+a
a

m > 0; m ≠ 1
với
B.

và
3−a
A=
a

a = log12 18, b = log 24 54

A = log m ( 8m )

C.

log a b.log b a = 1

. Khi đó mối quan hệ giữa
A = ( 3 − a) a

. Tính giá trị của biểu thức
B. -1
C. 2
a = log 2 3
b = log 2 5
Nếu
và
thì:

D.

và

a

là:

A = ( 3 + a) a

E = ab + 5 ( a − b )

D.

A

1


A.

log 2 6 360 =

1 1
1
+ a+ b
2 3
6

C.

log 2 6 360 =

1 1
1
+ a+ b
2 6
3

Câu 10 :
A.
Câu 11 :

Cho

log 2 5 = a

thì

log 4 1250

Tính
9+a
A. 6 − 2 a

theo

a = log 30 3

log 12 27 = a

B.

b = log 30 5

D.

a 2 + b 2 = 7 ab

Cho a>0, b >0 thỏa mãn
a+b 1
A. log 3 = 2 (log a + log b)

C.

1
+ 2a
2

C.

9+a
6 + 2a

B.

log 30 1350 = 2 a + b + 2

D.

log 30 1350 = a + 2b + 2

D.

4a-1

D.

9−a
6 + 2a

. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
3
B. log( a + b) = 2 (log a + log b)

1
3 log( a + b) = (log a + log b)
2

D.

2(log a + log b) = log(7 ab)

Câu 15 : Giả sử các số logarit đều có nghĩa, điều nào sau đây là đúng?
A. log a b > log a c ⇔ b > c
B. log a b > log a c ⇔ b < c
C.
Câu 16 :

D.

log a b = log a c ⇔ b = c
Cho

a = log 3 15; b = log 3 10

ab + 5 ( a − b ) = 1

thì:

log 30 1350 = a + 2b + 1

Câu 14 :

C.

1 1
1
+ a+ b
6 2
3

là

9−a
6 − 2a

Nếu
và
A. log 30 1350 = 2 a + b + 1
C.

D.

log 2 6 360 =

bằng:

1
+a
2

B.
log 36 24

Câu 13 :

1 1
1
+ a+ b
3 4

6

Hệ thức nào dưới đây là đúng.
ab + 5 ( a + b ) = 1
5ab + a − b = 1
C.

B.

A. 1+4a
Câu 12 :

log 2 6 360 =

a = log12 18, b = log 24 54.

5ab + a + b = 1

Nếu

B.

log

vậy

3

50 = ?

Cả 3 đáp án trên đều sai


A.

a + b−1

B.

log 4 = a

Câu 17 :

Nếu
A. 3 + 2a

C.

2 ( a + b − 1)

C.

3+a

thì
B.

bằng:
4 + 2a
log 30 3 = a

Tính
A. 2 a − b + 1

log 27 5 = a; log 8 7 = b; log 2 3 = c

Cho
2( b + ac)
1+ c
A.
B.

b + ac
1+ c

C.

b + ac
2(1 + c )

D.

3( b + ac)
1+ c

Câu 21 :

Nếu

a = log 15 3

log 25 15 =

1
2(1 − a)

C.

log 25 15 =

3
5(1 − a)

Cho

log a b = 3

D.

là
a + 2b + 1

D.

P = 3m − 2

. Khi đó biểu thức

D.

log 6 35

4+a

B.

log 25 15 =

5
3(1 − a)

D.

log 25 15 =

1
5(1 − a)

log
. Khi đó giá trị của biểu thức

b
b
a

a
là

2a − b − 1

P=

5
2m − 2

được biểu diễn là:

thì:

A.

Câu 22 :

4 ( a + b − 1)

log 30 5 = b

theo a, b với
và
2a + b + 1
C.
B.
log 2 14 = m
P = log 49 32
Câu 19 :
Cho
, tính
theo m.
1
P=

A. P = 3m + 1
C.
m−1
B.
Câu 20 :

D.

log 4000

log 30 1350

Câu 18 :

3 ( a + b − 1)


A.
Câu 23 :
A.

3 −1

3 −1
B.

3 −2

a = log 3 15; b = log 3 10

Nếu

2 a + 2b − 4

Câu 24 :

Đặt
A. 2a

B.

log

thì

3 +1

C.

3+2
3

3 −1

D.

50

bằng

2 a − 2b − 4

a = log 2 3

2 ( a + b − 1)

C.

P = log 2 18 + log 2 21 − log 2 63

. Khi đó giá trị của biểu thức
1− a
C.
B.
log12 18 = a
log 2 3
Câu 25 :
Nếu
thì
bằng
2a − 1
a −1
A. a − 2
C.
B. 2 a − 2

2 ( a − b − 1)

D.

1+ a

D.

1 − 2a
a−2

là:
2−a

D.

Bài toán 2: Hàm số mũ – logarit
y = a x , ( a > 0, a ≠ 1).
1. Hàm số mũ:
— Tập xác định:
— Tập giá trị:

D=¡ .

T = (0, +∞),
nghĩa là khi giải phương trình mũ mà đặt

t = a f ( x)

thì

t > 0.

— Tính đơn điệu:

+ Khi
+ Khi

a>1

y = ax
thì hàm số

0
a f ( x ) > a g( x ) ⇔ f ( x) > g( x).

đồng biến, khi đó ta luôn có:
y = ax

thì hàm số

nghịch biến, khi đó ta luôn có:

a f ( x) > a g( x) ⇔ f ( x) < g( x).
— Đồ thị: nhận trục hoành Ox làm đường tiệm cận ngang.

1− a
a−2


• ( a x )′ = a x .ln a ⇒ ( au )′ = u′.au .ln u
• ( e x )′ = e x ⇒ ( eu )′ = eu .u′

⇒ ( n u )′ =

u′
n

n. un−1

×

— Đạo hàm:
a >1
x

y
O

y = ax
1

y

0< a< 1
O
x

y = ax
1

y = log a x , ( a > 0, a ≠ 1).

2. Hàm số logarit:

D = (0, +∞).
— Tập xác định:
— Tập giá trị:

T=¡ ,

nghĩa là khi giải phương trình logarit mà đặt

t = log a x

thì

t

không có

điều kiện.
— Tính đơn điệu:
+ Khi

a>1

thì

y = log a x

đồng biến trên

D,

a f ( x) > a g( x ) ⇔ f ( x) > g( x).

khi đó nếu:


+ Khi

0
thì

y = log a x

nghịch biến trên

D,

khi đó nếu:

log a f ( x) > log a g( x) ⇔ f ( x) < g( x).

— Đồ thị: nhận trục tung Oy làm đường tiệm cận đứng.
•

′

u
( log a x ) ′ = x.ln1 a ⇒ ( log a u ) ′ = u.ln
a

• (ln x)′ =
— Đạo hàm:

1
u′
, ( x > 0) ⇒ (ln x)′ =
x
u

y = log a x
a> 1

x

y
O
1
1

y = log a x

x
y
0< a < 1
O

3. Giới hạn đặc biệt:

u′
⇒ (lnn u)′ = n × ×ln n−1 u

u


lim ( 1 + x )
x →0



1
x

x


1
= lim  1 + ÷ = e.
x→±∞ 
x

ln(1 + x)
= 1.
x→0
x

lim

ex − 1
= 1.
x→0 x

lim


Câu 1 : T×m mÖnh ®Ò ®óng trong c¸c mÖnh ®Ò sau:
A. Hµm sè y = ax víi 0 < a < 1 lµ mét hµm sè ®ång biÕn trªn (-∞: +∞)
x

 1
a÷
 

B.

§å thÞ c¸c hµm sè y = ax vµ y =
(0 < a ≠ 1) th× ®èi xøng víi nhau qua trôc tung
x
C. §å thÞ hµm sè y = a (0 < a ≠ 1) lu«n ®i qua ®iÓm (a ; 1)
D. Hµm sè y = ax víi a > 1 lµ mét hµm sè nghÞch biÕn trªn (-∞: +∞)
Câu 2 :
ex + e −x
f ( x) =
ex − e−x
Tính đạo hàm của hàm số sau:
−4
ex
f '( x) =
f '( x) =
x
x
−

x
2
A.
B.
( e − e − x )2
(e − e )
C.

f '( x) = e x + e − x

Câu 3 :

y=
Cho hàm số
y' =

A.
Đạo hàm
C.

ex
x+1
e

Hàm số
( −2; 0)

Câu 5 :
Hµm sè y =

(x

2

( e − e − x )2

. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?
B.

( x + 1)2

y = x2 .e x

−5
x

x

Hàm số đạt cực đại tại

Câu 4 :
A.

D.

f '( x) =

(0; 1)

D.

Hàm số đạt cực tiểu tại

Hàm số tăng trên

nghịch biến trên khoảng :
( −∞; −2)
(1; +∞)
C.
B.

)

− 2x + 2 ex
cã ®¹o hµm lµ :

(0;1)

¡ \{ 1}

D.

( −∞;1)


A. y’ = (2x - 2)ex
B. y’ = -2xex
y = x ln x
Câu 6 :
Hàm số

đồng biến trên khoảng :
1

; +∞ ÷
(0; +∞)

A.  e
B.

Câu 7 :

y=

C.

5x

A.

C.

2
2
−x
 5 ÷ ln 5 + 5 ln 5
 

(0; 1)

D.

 1
 0; e ÷



là :

x

2
2 1
 5 ÷ ln 5 −  5 ÷ ln 5
 
 

D. y’ = xex

2x − 1

Đạo hàm của hàm số
x

C. y’ = x2ex

1
− x ÷
 5

x−1

 1
+ x.  ÷
 5

B.

D.

2
x.  ÷
5

x

Đạo hàm của hàm số y = x(lnx – 1) là:
1
−1
A. lnx -1
B. x

x −1

2
x.  ÷
5

x −1

x −1

Câu 8 :

Câu 9 :

Câu 10 :

y=
Hàm số

B.

Có một cực tiểu

Không có cực trị
Câu 11 : Hàm số y = x.lnx có đạo hàm là :
A.

B. 1

f '( x) = x x

D.

f '( x) = x x−1( x + ln

y = x.e − x

1
min y = ;

x∈0; +∞ )
e

D.

Có một cực đại và một cực tiểu
Có một cực đại

C. lnx + 1
x ∈ 0; +∞ )

Cho hàm số
, với
1
1
max y = ; min y = −
A. x∈0; +∞ )
e x∈0; +∞ )
e
C.

C.

ln x
x

C.

Câu 12 :

D. lnx

f ( x) = x x

Tính đạo hàm của hàm số sau:
x
f '( x) = x ln x
A. f '( x ) = x (ln x + 1) B.

A.

C. 1

max y

không tồn tại

x∈0; +∞ )

D. lnx

. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?
1
max y = ; min y = 0
B. x∈0;+∞ )
e x∈0;+∞ )
D.

1
max y = ;

x∈0; +∞ )
e

min y

không tồn tại

x∈0; +∞ )


Cõu 13 : Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
log 1 x
log
x
A.
a
a
Đồ thị các hàm số y =
và y =
(0 < a 1) thì đối xứng với nhau qua trục hoành
log a x
B.
Hàm số y =
với a > 1 là một hàm số nghịch biến trên khoảng (0 ; +)
log a x
C.
Hàm số y =
(0 < a 1) có tập xác định là R
log a x
D.

Hàm số y =
với 0 < a < 1 là một hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; +)

Bi tp ta lun thờm
BT 1.

Tớnh o hm ca cỏc hm s sau:
y = ( x 2 2 x + 2).e x .
a)

y = ( x 2 + 2 x).e x .
b)

2

y = e 2 x+ x .

y = cos x.e cot x .

e)
1
x x
3 .

f)
y=

g)

h)

y = ln(2 x 2 + x + 3).

j)

e2x + ex
e2x ex

k)
2

m)
y=

ln(2 x + 1)
2x + 1

y=

ì
i)

y = ln 3 (2 x + 1).

y = log 1 ( x 3 cos x).

BT 2.

c)
y = 2 x.e cos x .

d)
y = x.e

y = e 2 x .sin x.

l)
y = e x .ln(cos x).

n)
ì

p)
q)
Chng minh cỏc ng thc sau:

3x
x2 x + 1

ì

y = log 2 (cos x).
y = (2 x 1).ln(3x 2 + x).

o)
y=

ln(1 2 x)
ì
x+1

y = ln( x + 1 + x 2 ).
r)


xy′ = (1 − x 2 ).y ,
a)

y = x.e

−

x2
2 .

với

b)
y = e 4 x + 2e − x .

y′′′ + 2 y′ − 12 y = 0,
c)

y′ − y = e x ,

với

y = ( x + 1).e x .
với

y′′ + 3 y′ + 2 y = 0,

d)

với

y = a.e − x + b.e −2 x .
y = e − x sin x.

y′′ + 2 y′ + 2 y = 0,
e)

với

y′ cos x − y sin x = y′′,
f)

với

y = e sin x .
y=

x

y′′ − 2 y′ + y = e ,
g)

với

y=

xy′ = y.( y ln x − 1),

i)
y=

với
1 + ln x
×
x(1 − ln x)

1 2 x
x e .
2
1
×
1 + x + ln x

y

xy′ + 1 = e ,

h)

với

 1 
y = ln 
÷×
 1+ x 

2 x 2 y′ = x 2 y 2 + 1,
j)

với


ĐÁP ÁN:
Bài toán 1: Công thức logarit (tiếp)
01
02
03
04
05
06
07
08
09

10
11
12
13
14
15
16
17
18

19
20
21
22

23
24
25
26
27

ĐÁP ÁN:
Bài toán 2: Hàm số mũ – Hàm số logarit
01
02

06
07

11
12

03

08

13

04
05

09
10

14