tìm độ dài đoạn thẳng nhờ ptbh

Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua
phơng trình bậc hai
A) Đặt vấn đề:
Đối với phân môn hình học, việc tính độ dài đoạn thẳng là một trong
những yêu cầu thờng xuyên và căn bản. Ngay từ đầu cấp THCS, học sinh đã
phải tìm độ dài đoạn thẳng một cách trực tiếp thông qua đo đạc. Tiếp đến các
lớp trên khi học sinh đợc tiếp cận ngày càng nhiều các khái niệm hình học, nắm
đợc ngày càng vững chắc tính chất và mối quan hệ giữa các hình thì việc tìm độ
dài đoạn thẳng thông qua các thao tác vật chất giảm dần. Thay vào đó việc tìm
độ dài đoạn thẳng một cách gián tiếp ngày càng tăng. Đặc biệt khi các em học
đến lớp 9, thời điểm tích luỹ vốn kiến thức về phân môn hình học tơng đối
phong phú thì việc tìm độ dài đoạn thẳng, hơn bao giờ hết phải đòi hỏi sự tổng
hợp kiến thức tơng đối cao. ở đó, việc tìm độ dài đoạn thẳng không chỉ thuần
tuý hình học mà còn sử dụng tơng đối nhiều kiến thức từ đại số, chẳng hạn nh:
tỉ lệ thức, tính chất của đẳng thức, bất đẳng thức , qua đó ta có thể thấy rằng
bài tập về tìm độ dài đoạn thẳng là tơng đối đa dạng.
Để các em đỡ lúng túng và linh hoạt hơn trong t duy khi gặp loại toán
tìm độ dài đoạn thẳng, có lẽ ta nên giúp các em nắm đợc một số dạng của loại
toán này. Chính vì lí do đó mà tôi đã tập hợp và phân loại dới dạng chuyên đề.
Sau đây tôi giới thiệu chuyên đề: Tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phơng trình
bậc hai cho học sinh lớp 9. Qua chuyên đề này, tôi hy vọng nhận đợc sự trao
đổi quý báu từ các thày cô.
B) GiảI quyết vấn đề:
I) điều tra thực trạng tr ớc khi nghiên cứu:
Năm học 2003-2004 trở về trớc, khi cha phân loại và tập hợp các bài toán
tìm độ dài đoạn thẳng thông qua phơng trình bậc hai dới dạng chuyên đề thì các
em học sinh lớp 9 giải bài tập loại này thờng đạt hiệu quả không cao. Biểu hiện
cụ thể: học sinh thờng mất nhiều thời gian cho việc tìm lời giải và việc trình bày
thì cha thật hợp lí.
3
II) Kiến thức đ ợc sử dụng

* Phân môn đại số: tính chất của đẳng thức, tính chất của tỉ lệ thức, biến
đổi phơng trình bậc hai . Đặc biệt trong chuyên đề này quan tâm nhiều đến
các cách giải phơng trình bậc hai:
+ Phơng pháp: đa hai vế của phơng trình về hai luỹ thừa cùng bậc.
+ Phơng pháp: vận dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi
phơng trình bậc hai về phơng trình tích.
+ Phơng pháp: nhẩm nghiệm, tìm nghiệm theo công thức.
* Phân môn hình học: mỗi bài toán sử dụng một cách riêng lẻ hoặc sự
tổng hợp nhiều kiến thức từ lớp 6 đến lớp 9. Đặc biệt trong chuyên đề này quan
tâm nhiều đến quan hệ đồng dạng của tam giác, đến đờng tròn, đến diện tích
của một số hình mà học sinh đã học.
III) Những công việc đã làm
1) Tam giác Đồng dạng và ph ơng trình bậc hai
Học sinh THCS tiếp cận tam giác đồng dạng từ lớp 8 và kiến thức đó đợc
bổ sung và sử dụng tơng đối nhiều trong quá trình học tập sau này của các em.
Từ sự đồng dạng của tam giác ta suy ra quan hệ về độ dài giữa các đoạn thẳng
hay nói khác đi ta có thể thiết lập đợc phơng trình về độ dài đoạn thẳng.
*Chú ý: tính chất đờng phân giác trong tam giác, một số thức trong tam
vuông đợc xây dựng nhờ sự đồng dạng của tam giác.
Bài1.
Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH, AB = 20cm, HC = 9cm.
Tính độ dài AH.
Bài giải:

* Đặt BH = x (x>0).
* Do tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH nên ta có:
H
C
A
B

4
AB
2
= BC.HB


20
2
= (x + 9)x


x
2
+ 9x - 400 = 0


(x - 16)(x + 25) = 0
suy ra x
1
= 16 (thoả mãn)
x
2
= - 25 (loại)
* Từ hệ thức AH
2
= BH.HC


AH
2

= 16.9


AH
2
= 144


AH = 12 (cm)
* Vậy AH = 12cm.
Bài2.
Tam giác ABC có BC = 40cm, đờng phân giác AD = 45cm, đờng cao AH
= 36cm. Tính độ dài đoạn thẳng DC, BD.
Bài giải:
* Đặt BD = x, DC = y (0<x<40, 0<y<40)
* Xét tam giác vuông AHD, ta có:
HD
2
= AD
2
AH
2


HD
2
= 45
2
36
2

HD
2
= 729


HD = 27 (cm)
* Vẽ tia phân giác của góc ngoài tại A, cắt BC ở E. Ta có AE vuông góc
với AD (hai phân giác của hai góc kề bù) nên:
AD
2
= DE.DH
CDBHE
A
5


DE =
2 2
45
75
27
AD
DH
= =
* Theo tính chất đờng phân giác trong và ngoài của tam giác ta có:

75
75

DB EB x x
DC EC y y

= =
+
(1)
Mặt khác: x + y = 40
thay y = 40 x vào (1) và rút gọn ta có:
x
2
115x + 1500 = 0


(x
2

- 15x) - (100x - 1500) = 0


(x

- 15)(x - 100) = 0
Do 0<x<40 nên chỉ có x = 15 là thoả mãn.
* Vậy DB = 15cm, DC = 25cm.
Bài3.
Cho tam giác ABC vuông ở A, trên các cạnh AB, BC, CA lần lợt lấy các
điểm K, M, H sao cho AKMH là hình vuông. Biết BC =
15
cm, hình vuông
cạnh có độ dài 1cm. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

Bài giải:
* Đặt AB = x, AC = y (1<x<
15
,1<y<
15
)
* Xét tam giác vuông ABC, ta có:
x
2
+ y
2
= 15
* Do AKMH là hình vuông nên MK//CH, suy ra

KBM đồng dạng với

HMC, do đó:
K
M
H
C
A
B
6

1 1
1 1
BK MK x
MH CH y

= =




xy = x + y (1)
* Đặt x + y = m (m>2), ta có:
x
2
+y
2

= 15


x
2
+y
2
+2xy - 2xy

= 15


(x + y)
2
- 2(x + y) = 15


m

2
2m + 1 = 16


(m 1)
2
= (

4)
2
TH1: m 1 = 4


m = 5
TH2: m 1 =- 4


m = - 3
Do m>2 nên chỉ có m = 5 là thoả mãn.
* Với m = 5

x + y = 5


y = 5 x, thay vào phơng trình (1) ta có:
x(5 x) =x + 5 x


x
2

5x + 5 = 0


= 5
suy ra:
x
1
=
5 5
2
+
;
x
2
=
5 5
2

đều thoả mãn điều kiện.
* Vậy AB =
5 5
2
+
cm hoặc AB =
5 5
2

cm
2) Đ ờng tròn và ph ơng trình bậc hai
Đến lớp 9 học sinh đợc tìm hiểu về đờng tròn một cách hệ thống hơn.

Trong đó: tính chất tiếp tuyến, quan hệ đờng kính và dây cung, quan hệ góc và
đờng tròn , đ ợc đề cập một cách thờng xuyên hơn. Chính từ những vấn đề đó
7
làm nảy sinh sự đồng dạng, sự vuông góc và nh vậy quan hệ bậc hai về độ dài
xuất hiện ngày càng nhiều hơn.
Bài1.
Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AD. Các điểm B, C thuộc nửa đờng
tròn sao cho AB = BC = 2
5
cm, CD = 6cm.Tính bán kính của đuờng tròn.
Bài giải:

* Gọi giao điểm của AC và OB là H.
* Do AB = BC, OA = OC nên OB là trung trực của AC suy ra OB

AC
và AH = HC. Mặt khác OA = OD nên ta có HO là đờng trung bình của tam giác
ACD do đó HO =
1
2
CD = 3 (cm) và HC =
1
2
AC.
* Gọi bán kính của đờng tròn có độ dài là x (cm) (x>0)
* Tam giác ACD vuông ở C nên ta có:
AC
2
= AD
2

CD
2



1
4
AC
2
=
1
4
(2x)
2

1
4
.6
2



1
4
AC
2
= x
2
9

HC
2
= x
2
9 . (1)
* Tam giác BCH vuông ở H nên ta có:
HC
2
= BC
2
BH
2


HC
2
= (2
5
)
2
(OB HO)
2


HC
2
= 20 (x 3)
2
(2)

* Từ (1), (2) ta có phơng trình:
x
2
9 = 20 (x 3)
2


x
2
3x 10 = 0
8