10 bai tap chuyen de cưc tri hinh hoc

BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm H di chuyển trên BC. Gọi E, F lần lượt là
điểm đối xứng của H qua AB, AC.
a)
b)
c)

Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng.
Tứ giác BECF là hình gì? Tìm vị trí của H để tứ giác BECF là hình bình hành?
Xác định vị trí của H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất.

Bài 2. Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF
vuông góc với AB và AD.
a)
b)
c)

DE = CF

DE ⊥ CF

Chứng minh
và
.
Chứng minh DE, BF và Cm đồng quy.
Xác định vị trí của M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.

Bài 3. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên cạnh AD và CD lần lượt lấy các điểm M và
N sao cho

AE + EF + FA = 2a

a)

Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

b)

Tìm vị trí của E và F sao cho diện tích

∆CEF

lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

Bài 4. Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = a cố định. M là một điểm di động trên
đường chéo AC. Gọi E và E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và BC. Xác định vị trí
của M trên AC sao cho diện tích tam giác DEF nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó?
Bài 5. Cho đường tròn (O;R) cố định. AC là một đường kính cố định. Đường kính BD
thay đổi không trùng với AC.
a)
b)
c)

Tứ giác ABCD là hình gì? Vì Sao?
Xác định vị trí của BD để cho tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất. Tính diện tích
lớn nhất theo R?
Chứng minh rằng, lúc ABCD có diện tích lớn nhất thì chu vi của tứ giác ABCD
cũng lớn nhất.

Bài 6. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là
đường thẳng AB có chứa nửa đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. M là điểm bất kỳ

trên nửa đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, tiếp tuyến này cắt Ax và
By lần lượt tại D và E.
a)
b)

Chứng minh tam giác DOE là tam giác vuông.
Chứng minh:

AD.BE = R 2

.


c)

Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích tam giác DOE đạt
giá trị nhỏ nhất.

Bài 7. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1. Lấy D bất kỳ trên BC. Gọi r 1, r2 lần lượt là
bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD và tam giác ADC. Xác định vị trí của D để
tích r1r2 lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó?
Bài 8. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A .Qua A vẽ hai tia vuông góc
với nhau , chúng cắt các đường tròn (O) , (O’) lần lượt tại B và C. Xác định vị trí của các
tia đó để ∆ ABC có diện tích lớn nhất .
Bài 9. Cho đường tròn (O;R) đường kính BC, A là một điểm di động trên đường tròn. Vẽ
tam giác đều ABM có A và M nằm cùng phía đối với BC. Gọi H là chân đường vuông
góc kẻ từ C xuống MB. Gọi D, E , F, G theo thứ tự là trung điểm của OC, CM, MH, OH.
Xác định vị trí của điểm A để diện tích tứ giác DEFG đạt giá trị lớn nhất.
Bài 10. Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). D là điểm bất kỳ thuộc cung BC không chứa
A và không trùng với B,C. Gọi H, I, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D

đến các đường thẳng BC, AC, AB. Đặt BC = a, AC = b, AB = c, DH = x, DI = y, DK =
z.

Chứng minh rằng :

a)

b c a
+ =
y z x
a b c
+ +
x y z

Tìm vị trí của điểm D để tổng
nhỏ nhất .
-------------------------------------------------

b)

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1.
•

Hình vẽ:


a)

Ta có:

·
·
 IAE
= IAH

·
·
= DAH
 FAD

( Vì AB là trung trực của HE, AC là trung trực của HF)

·
·
· AF = 1800
EAB
+ BAC
+C

Dễ dàng suy ra:
Vậy 3 điểm E, A, F thẳng hàng.
b)

Ta có:
thang.

·
·
EAH

+ FCH
= 2( ·ABC + ·ACB ) = 1800

Để BEFC là hình bình hành thì
c)

Giả sử H gần B hơn. Ta có

nên FC//BE hay tứ giác BEFC là hình

BE = CF ⇒ BH = HC

S ∆EHF = 2S AIHD

hay H là trung điểm của BC.

(AIHD là hình chữ nhật)

Dựng hình chữ nhật HPQD bằng hình chữ nhật AIHD. Khi đó:
∆HBI = ∆HMP

S∆EHF = S ABMQ < S ∆ABC

nên
Tương tự với H gần C hơn.

Vậy Khi H di chuyển ta có:
S ∆EHF = S ∆ABC

nhất.

Bài 2.
•

Hình vẽ:

S ∆EHF = S AIPQ

S ∆EHF ≤ S ∆ABC

. Tại vị trí H là trung điểm BC ta có

. Vậy khi H là trung điểm của Bc thì tam giác EHF có diện tích lớn


a)

Tứ giác AEMF là hình chữ nhật: AE = MF. Tam giác MFD vuông cân:
FM=FD suy ra AE = FD.
∆AED = ∆DFC

nên DE=CF và

0
·
FND=90

Do đó:
b)

DE ⊥ CF

hay

EC ⊥ BF

Chứng minh tương tự câu a ta có
.
Do BD là trung trực của AC nên MA = MC, có MA = EF do đó MC = EF
∆FED = ∆MCF (c.c.c)

·
·
MCF
+ EFC
= 900

CM ⊥ EF

c)

·ADE = DCF
·
·
·
⇒ NDF
+ NFD
= 900

nên

·
·
FED
= MCF

.

Lại

có

·
·
FED
+ EFC
= 900

do đó nếu gọi H là giao điểm của CM với EF thì

vì

·
CHF
= 900

thế
hay

. DE, BF và CM là 3 đường cao trong tam giác CEF nên đồng quy.

Chu vi tứ giác AEMF = 2a không đổi nên
S AEMF

ME + MF = a

không đổi. Do đó tích

ME.MF (tức là
) lớn nhất khi và chỉ khi ME = MF, tức là MEAF là hình
vuông, khi đó M trùng với O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Bài 3.
•

Hình vẽ:


a)

Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho DF = BK

⇒ ∆CDF = ∆CBK

·
·
·
DCF
= BCK
FCK
= 900

.
AE+EF+FA = 2a = AD+AB.
Mà AD = AF+FD, AB = AE+EB

·
·
⇒ EF = FD + EB = EB + BK = EK ⇒ ∆CEF = ∆CEK (c.c.c) ⇒ CEF
= CEK
CI ⊥ EF ⇒ ∆CIE=∆CBE ⇒ CI=CB=a

b)

Vẽ
Ta có:

. Vậy EF luôn: tiếp xúc với (C;a).

S ABCD = SCEF + SCDF + SCBE + S AEF = 2 SCEF + S AEF ⇒ SCEF =
MaxSCEF =

Do đó
Bài 4. Ta có hình vẽ:

.

 AE = 0
a2
⇔ AE.AF = 0 ⇔ 
2
 AF = 0

a2 1
a2
− AE.AF ≤
2 2
2

hay E hoặc F trùng với A.

suy ra


Đặt AE = x, CF = y

⇒

MF = CF = y.

S DEF = S ABCD − S DAE − S DCF − SBEF = a 2 −

Ta có

S DEF

nhỏ nhất

⇔

⇒

x + y = a.

ax ay xy
a
xy a 2 xy
− −
= a2 − ( x + y) −
= −
2 2
2
2
2
2
2

xy lớn nhất.

2

a2
a2
 x+ y
xy ≤ 
=
⇒
m
ax(
xy
)
=

÷
4
4
 2 

m inSDEF =

Và

a 2 1 a 2 3a 2
−
=
2 2 4
8

Bài 5. Ta có hình vẽ:

x=y=

khi

a
2

, khi đó M là trung điểm của AC.


a)

ABCD là hình chữ nhật.

S ABCD = AB. AC ≤

b)

Vậy

AB 2 + BC 2 AC 2
=
= 2R2
2
2

MaxS ABCD = 2 R 2

khi AB = AC

⇔ AC ⊥ BD

c)

Ta có:

khi đó ABCD là hình vuông.

C ABCD = 2( AB + BC ) ≤ 2 2( AB + BC ) = 2 2 AC 2 = 4 R 2
2

giác ABCD là
Bài 6. Ta có hình vẽ:

4R 2

2

. Vậy gtln của chu vi tứ

khi AB = BC tức là ABCD là hình vuông.


a)

Theo tính chất OD là tia phân giác của
·
DOE
= 900

b)

c)

Ta có

, OE là tia phân giác của

·
BOM

nên

.

Tam giác DOE vuông tại O có
S DOE =

·AOM

OM .DE R
= .DE
2
2
DE ≥ AB

. Do đó

OM ⊥ DE ⇒ OM 2 = MD.ME ⇒ R 2 = AD.BE

S DOE

nhỏ nhất

⇔

DE nhỏ nhất.

do đó DEmin=2R khi DE//AB. Lúc đó

OM ⊥ AB

.

Bài 7. Ta có hình vẽ:

Đặt

BD = x ⇒ CD = 1 − x

. Vẽ

DE ⊥ AB ⇒ ∆BDE

∆DEA

vuông tại E

⇒ AD = x − x + 1
2

⇒

(

S ABD = r1

2

. Ta có:

)

là nửa tam giác đều.

2
 x   x 3 
⇒ AD = AE + DE = 1 −  + 
 2   2 
2

. Xét

⇒ BE =

2

2

2

AB + BD + DA
2

S ABD =

mà

r1 1 + x + x 2 − x + 1
x 3
3
x
=
⇒ r1 =

.
2
4
2 1+ x + x2 − x +1

DE. AB x 3
=
2
4

x
,
2

DE =

x 3
2


Tương tự xét

∆ADC

⇒ r2 =

3
1− x
.
2 2 − x + x2 − x +1

3
x (1 − x)
⇒ r1 r2 = .
4 (1 + x + x 2 − x + 1)( 2 − x + x 2 − x + 1)

r1 r2 =

(

)

1
1
1
3 1 
3

. 1 − x 2 − x + 1 = .1 − ( x − ) 2 +  ≤ .1 −
4
4
2
4 4 
2 

Max (r1 r2 ) =

Vậy

2− 3

8

khi D là trung điểm của BC.

Bài 8. Ta có hình vẽ:

Kẻ OD ⊥ AB ; O’E ⊥ AC ta có:

SABC =

1
2

1
2

AB.AC = .2AD.2AE= 2.AD.AE

Đặt OA =R ; O’A = r ;
AD = R sinα
⇒ SABC

·AOD = O
· ' AE = α

; AE = r cosα

= Rr. 2sinα .cosα

2sinα .Cosα ≤

sin2α + cos2α =1

⇒ SABC ≤ Rr

Do đó :

max SABC = Rr ⇔ sinα = cosα ⇔ sinα = sin( 900− α ) ⇔ α = 900 − α ⇔ α = 450.
Vậy nếu ta vẽ các tia AB,AC lần lượt tạo với các tia AO, AO’ thành các góc
·
· ' AC = 450
OAB
=O
thì ∆ ABC có diện tích lớn nhất .
Bài 9. Ta có hình vẽ:

DEFG là hình bình hành.
Kẻ OI ⊥FH , ta có OI là đường trung bình của ∆ BHC nên OI = ½ HC = GD
MO là đường trung trực của AB nên
Mà ED = ½ OM ⇒ EG = GD

⇒ DEFG là hình thoi

·
IMO
= 300

⇒ OI = ½ OM ⇒ GD = ½ OM

·
·
HFG
= HMO
= 30 0

⇒

·
EFG
= 600

⇒∆EFG đều
2

⇒ SDEFG =2SEFG = 2.

max S =

R2 3
2

EF 2 3 EF 2 3
=
4
2
=

⇔

H≡B

⇔

 HC 

÷
 2 
2

·
MBC
= 90 0

Bài 10. Ta có hình vẽ:

a) Lấy E trên BC sao cho

·
CDE
= ·ADB

∆CDE đồng dạng với ∆ ADB

⇒

DH CE
x CE
c CE

=
⇒ =
⇒ =
DK AB
z
c
z
x

Tương tự ∆BDE đồng dạng với ∆ ADC

⇔

2

3
≤

 BC 

÷
 2 
2

·ABC = 300

⇔

3
=

R2 3
2

AC = R.


⇒

⇒

DH BE
x BE
b BE
=
⇒ =
⇒ =
DI
AC
y
b
y
x
b c BE + CE a
+ =
=
y z
x
x
a b c

+ +
x y z

a a
+
x x

2a
x

b)
=
=
Do đó S nhỏ nhất ⇔
(M là điểm chính giữa của cung BC không chứa A)

a
x

nhỏ nhất ⇔ x lớn nhất ⇔ D≡M

---------------------------------------------------------------