VỀ NHÓM CON CỦA NHÓM SO(3)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐỖ VIỆT HÙNG

VỀ NHÓM CON CỦA NHÓM SO(3)

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. VŨ THẾ KHÔI

THÁI NGUYÊN - 2008
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ờ ó

ó é q t ệ ề tr ĩ ự
ủ t ọ ó ó ột ố tợ ể ợ ứ
ở ề t ọ ố tợ ợ trì tr ó
ủ ó s ở é q ó ữ q trụ
ó
ó é q ợ q t ứ ó ó ứ ụ
tr í tết s ột í tết ứ q trì ủ
ủ ột số ữ ì ệ trớ

tr ổ ủ ột ọ ú t ỉ t tr tì ể
ết q số t tý trì ợ í tết s
t số ứ tr tì ể trú số ủ
ó

G(p, q) s ở é q q trụ ó ớ

ó q ợt

2/p 2/q ú t ứ ó

ớ ú ý t ó ột số ết q ớ s ế

p q

G(p, q) ó ữ ế p q G(p, q) ó ị
ệ ữ

G(4, 4) ó ố ứ ủ ì ò tt

trờ ợ

G(p, q) trù t tr ợ trì

t ủ t r ết q
í t ủ í ị í trú ị í ỉ r
r ó

G(p, q) ớ tí tự tí tự ớ ó

ủ ó ó ó ị ệ ết q tế t
ị í ề t ủ tử ó r ọ tử ủ ó

G(p, q) ề ó tể ể ễ ột t ớ tí ủ ột số
tử ó ụ tể ị í r tr
ố ò ứ ột í ụ ề ó ủ ó s
ở é q ớ ó q tí ủ

2 ớ ột số tỉ s

ệt sử ụ ĩ tt ứ ợ
ột số trờ ợ ó tr í ụ ớ ó tự s ở




tử ồ
ể ớ tệ ệ tí t tr
í ụ ọ ề é q tr é q ó tự tí tự
tí tự ớ ó ụ ụ s
trì ữ ộ í ủ ồ
P trì ể ễ ó
í t ỗ tử ủ ó

G(p, q) P trì

G(p, q)

trì t ột í ụ ứ ề ó é q

G(v, 4) tr ó ó ó q v ột số tỉ trớ ớ 2 ó
trì í ụ ứ ớ ề ó

G(, 4) ớ ei t

cos() s ệt
ợ t ớ sự ớ t tì ủ s ũ
ế tỏ sự í trọ ò ết s s tớ
tr trọ t P
s ọ P t tr ị
t ế tứ sở
tr trọ ệ ồ ệ trờ
P tr trọ ữ ờ t
ớ ọ t ộ ú ỡ t tr q trì t





❈❤➢➡♥❣ ✶
❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ

▲✉❐♥ ✈➝♥ ❝➬♥ ♠ét sè ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭ ❦Õt q✉➯ s❛✉

✶✳✶

P❤Ð♣ q✉❛② ✈➭ ♠❛ tr❐♥ ♣❤Ð♣ q✉❛②

P❤Ð♣ q✉❛② ♥ã✐ ❝❤✉♥❣ ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ tö ❝ñ❛ ♥❤ã♠ ❙❖✭✸✮✳ ❙❛✉ ➤➞② t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛
♣❤Ð♣ q✉❛② q✉❛♥❤ ❝➳❝ trô❝ ❖①✱ ❖②✱ ❖③ ❝ñ❛ ❤Ö trô❝ tä❛ ➤é ❖①②③ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣

❣✐❛♥ ✸ ❝❤✐Ò✉ ✈í✐ ❣ã❝ q✉❛②
✶✳✶✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

ϕ✳

P❤Ð♣ q✉❛② q✉❛♥❤ trô❝ ❖① ✈í✐ ❣ã❝ q✉❛②

ϕ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣

❣✐❛♥ ✸ ❝❤✐Ò✉ ✈í✐ ❤Ö trô❝ t♦➵ ➤é ➤Ò ❝➳❝ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ❖①②③ ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ tö ❝ñ❛
♥❤ã♠ ❙❖✭✸✮ ❝ã ♠❛ tr❐♥ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭




1
0
0
0 cosϕ sinϕ .
0 −sinϕ cosϕ
❑Ý ❤✐Ö✉

Rxϕ ❤❛②



1
0
0
Rxϕ = 0 cosϕ sinϕ .

0 −sinϕ cosϕ
❚❛ ❝ò♥❣ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t➢➡♥❣ tù ❝➳❝ ♣❤Ð♣ q✉❛②

Ryϕ ✱ Rzϕ t➢➡♥❣ ø♥❣ q✉❛♥❤ trô❝

❖②✱ ❖③ ✈í✐ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➬♥ ❧➢ît ❧➭



 

cosϕ 0 sinϕ
cosϕ sinϕ 0
 0
1 0  ✈➭ −sinϕ cosϕ 0 .
−sinϕ 0 cosϕ
0
0 1
✻


❱Ò ♠❛ tr❐♥ ❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã t❤Ó ①❡♠ t❤➟♠ ❬✷❪✳ P❤➬♥ t✐Õ♣ t❤❡♦
tr×♥❤ ❜➭② ❧ý t❤✉②Õt ♥❤ã♠ tù ❞♦✱ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ❝❤♦ ♥❤ã♠✱ tÝ❝❤ tù ❞♦✱ tÝ❝❤ tù ❞♦
✈í✐ ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝❤✉♥❣ t❤❡♦ ❬✸❪✳

✶✳✷

◆❤ã♠ tù ❞♦

✶✳✷✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

▼ét t❐♣ ❝♦♥

S ❝ñ❛ ♥❤ã♠ F ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

❝➡ së tù ❞♦

❝ñ❛

F ♥Õ✉ ♠ä✐ ❤➭♠ ϕ : S −→ G tõ ♠ét t❐♣ S ➤Õ♥ ♥❤ã♠ G ➤Ò✉ ❝ã t❤Ó ♠ë ré♥❣
❞✉② ♥❤✃t t❤➭♥❤ ♠ét ➤å♥❣ ❝✃✉

ϕ : F −→ G s❛♦ ❝❤♦ ϕ(s) = ϕ(s), ∀s ∈ S ✈➭

t❛ ❝ã s➡ ➤å

⊆

S
❍❍

▼ét ♥❤ã♠
❞♦ ❝ñ❛

F ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

F

❍❍
ϕ❍

❍❍
❍
❥
❍

♥❤ã♠ tù ❞♦

∃!ϕ
❄

G

♥Õ✉ ♥ã ❝ã ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❧➭ ❝➡ së tù

F

✶✳✷✳✷ ❱Ý ❞ô✳

❚❛ ①Ðt ♥❤ã♠ ❈②❝❧✐❝ ✈➠ ❤➵♥

❝➳❝ ❧✉ü t❤õ❛ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö a✱ ❞♦ ➤ã

C ✭➤➢î❝ ✈✐Õt t❤❡♦ ❧è✐ ♥❤➞♥✮ ❜❛♦ ❣å♠

C ❝ã ❞➵♥❣

C = {..., a−2 , a−1 , 1 = a0 , a = a1 , a2 , a3 , ...},
✈➭ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ai .aj
❑❤✐ ➤ã

C ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ tù ❞♦ ✈í✐ ❝➡ së tù ❞♦ ❧➭ t❐♣ S ❂ {a}.

❚❤❐t ✈❐②✱ ♥Õ✉
❝✃✉ ♠ë ré♥❣

ϕ : S −→ G ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❜✃t ❦× ✈➭ ϕ(a) = g ∈ G t❤× ➤å♥❣

ϕ : C −→ G ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜ë✐ ϕ(ai ) = g i . ❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥ ϕ

❧➭ ♠ë ré♥❣ ❞✉② ♥❤✃t✳ ❈❤ó ý r➺♥❣
❧➭ t❐♣

C ❝ß♥ ❝ã ♠ét ❝➡ së tù ❞♦ ❦❤➳❝ ♥÷❛ ➤ã

{a−1 }✱ ✈➭ ➤ã ❧➭ ❤❛✐ ❝➡ së tù ❞♦ ❞✉② ♥❤✃t ❝ñ❛ C. ❚➢➡♥❣ tù t❛ ❝ò♥❣ ❝ã

♥❤ã♠ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥
❧➭

= ai+j ✈í✐ i, j ∈ Z✳

Z ✭➤➻♥❣ ❝✃✉ ✈í✐ C ✮ ❧➭ ♥❤ã♠ tù ❞♦ ✈í✐ ❤❛✐ ❝➡ së tù ❞♦

{1} ✈➭ {−1}✳

✼

ể ễ ó ở tử s ệ tứ

ố t ó ết r ột tử s r ó
r ột q ệ ữ ú tờ ù í ệ

G = a1 , a2 , a3 , ...|u1 = v1 , u2 = v2 , ... ,
tr ó ai í tự uj , vj từ t ở ai tr ó t

u = v uv 1 = 1 ì tế t ó tể ể ễ ó ớ t


G = a1 , a2 , ...|r1 = 1, r2 = 1, ... ,
tr ó ri

= ui vi1 ớ i = 1, 2, 3, ... ể t í ệ
G = a1 , a2 , ...|r1 , r2 , ... .

ị ĩ

S

ột ể ễ

tử s
ó ể ễ

ột t
ở

P = S|D ột ồ ột t

D từ tr S ọ ệ tử ị ĩ

P í ệ gp(P ) ó FS /ND tr ó FS

ó tự ớ sở tự

S ND ó t ủ D tr FS

ó ó t ỏ t ủ

FS ứ D. ó ế r D tì

r ND ì tế r = 1gp(P )
ế

G = gp(P ) t tờ ết G = S|D tết

ệt ó sự t ó ó ột ể ễ
s

ế

S ó ữ tử

tử ế

P = S|D ọ ữ

q ệ ữ

ế

D ó ữ

S D ề ó ữ tử tì P ột ể ễ ữ



ế

S = {a1 , a2 , a3 , ...}, D = {r1 , r2 , r3 , ...} t sử ụ í ệ
P = a1 , a2 , a3 , ...|r1 , r2 , r3 , ... ,

tr trờ ợ ri ợ ọ ệ tử

P = a1 , a2 , ...|r1 = 1, r2 = 1, ... ,
tì ri

= 1 ọ ệ tứ



í ụ

s

ó

a ó ể ễ C = a| ớ ệ tử ị ĩ rỗ ổ qt

ó tự

FS ớ sở tự S ó ể ễ F = S| .

ó ữ


Cn ó ó ể ễ Cn = a|an = 1 .

í tự

ị ĩ



C ợ ết t ố ớ tử

ủ

sử

H K ó ó ợ ọ tí tự

H K ế ó ồ iH : H L iK : K L t

ề ệ s ớ ọ ồ
tr ó

: H G : H G

G ó t ì tì ó t ồ : L G s

= iH = iK ó ể ồ
iH

H








L

i
K

K


!




G

t õ ể ồ ễ t r tí tự ủ
t s ột í ệ ó

H

H K

K.

ễ t r tí tự tồ t ì t ó tể ết r ể ễ

H

K sử H K ợ ở ể ễ H = S|D K = T |E

t ổ ột tr ữ ế tết t ó tể tết


T ờ tứ S T = ì ể ễ H
H

S

K ó

K = S T |D E

ị ĩ ò ỏ iH iK ữ ồ s ở
sự tr ữ tử s ề t ế
t ị ĩ

ọ

: H K H t ứ s s t 1 ớ ọ s H

t K tì ột ồ iH ồ ồ t tr H

ó iH t ũ ó
ố ù ồ

H K = {1} tự iK

, tr ị ĩ ợ ở

(s) = (s) ớ ọ s S (t) = (t) ớ ọ t T tì ị
ột ồ từ ị ĩ t



ị t


r ù ột ị ĩ tì tí tự

H

K ó tự ứ H

K ó H K ợ ọ tử tự ủ H
í ụ

K

Zp = |p = 1 Zq = | q = 1 tì
Zp Zq = , |p = 1, q = 1 ,



Zp Zq = , |p , q .
ột ể tứ ột từ tr

H

K ột tí ó

h1 k1 h2 k2 ã ã ã hm km tr ó hi H ki K q ớ t từ
ó tể ột

h1 km ợ ể ễ tứ

ố ủ ể tứ ó tể ó ể tứ ó tể ó ột
tr ố

h1 k1 h2 k2 ã ã ã hm km k1 h2 k2 ã ã ã hm km tr ó h1

ợ ể ễ

h1 k1 h2 k2 ã ã ã hm tr ó km ợ ể ễ

k1 h2 k2 h2 ã ã ã hm tr ó km ợ ể ễ
ố tử ợ ể ễ ọ ộ ủ từ từ ể tứ
rỗ ó ộ ột ể tứ ợ ọ rút ọ ế
ỗ

hi = 1H ki = 1K ể ễ ế ột ể tứ

ợ rút ọ ó sẽ ột ể tứ t ợ
ờ ột tr tử ộ ú ó ế
ể tứ
tứ

hi = 1H

h1 k1 ã ã ã ki1 hi ki ã ã ã hm km ó tể t tế ể

h1 k1 ã ã ã hi1 (ki1 ki )hi+1 ã ã ã hm km ó ít sự

ể ễ ù ó tử ế tụ t ố ù t
ế ột ể tứ rút ọ ể ễ ù ột ó tử
ú ý r ể tứ rỗ ể tứ ợ rút ọ
ừ í ở tr t ó ị í ó tể ứ tết tr
tr
ị ý

ị í t

ỗ tử ủ
t ó

H

K

ợ ể ễ ột ể tứ

h1 k1 h2 k2 ã ã ã hm km


ớ

hi = 1H



ki = 1K

ự


H

t ở ó ĩ ế ể tứ tr

h1 k1 ã ã ã hm km = h1 k1 ã ã ã hn kn
H

ki = ki

ỗ

tr

K

tr

ớ ọ

H K

tì

K

ụ tể

n = m ỗ hi = hi

tr

i = 1, 2, .., m

í tự ớ ó

tổ qt ệ ự tí tự s sử H K ó ột
ó ì tế ó ột é ú

: M H

: M K ố ó tự t ứ H K ó
ủ ú

(M ) (M ) trù tứ H K = (M ) = (M )

ị ĩ



ó

L ợ ọ

tí tự ủ

H



K

ớ ó

M ế ó iH : H L iK : K L s

iH = iK t ề ệ s ỗ ồ : H G

: K G s = tr ó G ó t ì tì ó

t ồ

: L G t = iH = iK ó ể

ồ

M


H








iH

L iK

!




K

G
õ ể ồ tr t ễ ỉ r r tí tự
ớ ó

L=H

M

L ủ H K

M t s ột í ệ

K

ũ ễ ỉ r r tí tự ớ ó tồ t ì t
ó tể ết r ể ễ
ễ

L=H

M

K sử H K ợ ở ể

H = S|D K = T |E sử M = Q|V t ổ

ột tr ữ ế tết t ó tể tết
ễ

H

M

S T = ì ể

K t ợ ở sự t ù ồ t ủ



M ó
H

M

K = S T |D E, (q) = (q), q Q .

iH iK ò ỏ ồ s t ộ tử
s ề ữ t ó tể ỉ r H K

ố ù ồ

= (M ) = (M )

tr ị ĩ ợ ở

(s) = (s), s S (t) = (t), t T tì ị ột ồ
ồ t t ị ĩ r trờ ợ
t tờ tì

H

M

K q ề tí tự H

M ó

K

ó í ệ ù ợ tờ ợ sử ụ ó

A = (M ) H B = (M ) K
tì

A, B ớ q ồ = 1 : A B ó

tí tự ớ ó

A = B tờ ợ í ệ H

A=B

K

ợ ể ễ ớ t s

H
í ụ

A=B

K = S T |D E, a = (a), a (Q) .

ét ó

ó t ứ
q c2

H = c| K = d| ớ

A = c2 B = d3 A B ớ

d3 tì tí tự t ứ ủ ú
G=H

A=B

K = c, d| c2 = d3 .

ể sử ụ ó ệ q tí tự ớ ó t ột ể
tứ í t t ỗ tử ữ
ể tí t ú ũ ể ứ ữ ể tứ


G=H

A=B

K ột tí tự ớ ó í ệ ột từ

ột ể tứ ũ ố tr tí tự õ r
ỗ tử

g G ột ể tứ ó ó ột số

ú ý tết t ết

H K ợ ú G

ì tế t ể tứ ó tự ở tr



G


ó ột ể tứ
ọ ợ rút ọ ế

h1 k1 ã ã ã hm km ủ ột tí tự ỗ t

hi A = (M ) ki K = (M ) ể ễ

sử r ể tứ

h1 k1 ã ã ã hm km ợ rút ọ tứ ó

hi = ai A r ể tứ t ó tể t tế hi = ai A ở t
ứ bi

= (ai ) ể t ợ s ợ t ể tứ
h1 k1 ã ã ã hi1 (ki1 bi ki )hi+1 ã ã ã hm km ,

ó ít sự ò ể ễ ột ó tử tự ế

ki K t ó tể t tế ó ở t ứ ai ợ t t ột ể
tứ ó ít sự s ớ ể tứ ế tụ t
ố ù t ế ột ể tứ ể ễ ù ột ó
tử ợ rút ọ ột tử ủ

A = B
ờ t ét ột í ụ ứ từ trớ

G=H

A=B

ớ r từ c3 d5

K = c, d| c2 = d3 .

cd2 ề từ ợ rút ọ t tr

G t ó c3 d5 = cc2 d5 = cd3 d5 = cd2 ó từ từ
tr

G ó ú ể ễ ù ó tử ì tế rút ọ

ủ ể t ột í t t
ể qết ề t tế tụ s t t ọ
t ệ ớ é

ủ

Y

A tr H Y ứ ỉ ột tử ợ

ọ ớ ể ễ từ ỗ ớ é

Ah tr ó h H ố tợ

ể t ề ệ ợ ọ ể ể ễ

A t ó

tự t ọ

B tr K ị ĩ

Z

t ệ ớ é

ột í t ột tử ủ
ó

ủ

A = B ột ể tứ

ah1 k1 ã ã ã hm km ớ 1 = hi Y 1 = ki Z ể ễ

a A ò h1 k1 ã ã ã hm km ột ể tứ t từ ó
ố tr tí tự ì tế ột t ột tí
ủ tử ủ t

Y Z tt sự ệt từ ì

tế ể tứ ợ rút ọ ợ ứ trớ ở ột tử ủ



A = B


r trờ ợ
tế ết

h1 ợ ể ễ t tờ sử ụ b = (a) t

bk1 ã ã ã hm km ột ó tử ì a = b tr G

ỉ r r ọ tử

w G ợ ể ễ ở ột t

sử t ó ột ể tứ rút ọ

w ệ từ

q tr q từ ế ổ ó t ột t ì tế t ó tể
tết

h1 k1 ã ã ã ki1 hi ki ã ã ã hm km ợ rút ọ ỗ số ó t ớ

ụ tể
ết

hi ột tử tộ Y Z ệt ớ ờ t

hi = ahi tr ó a A hi Y. ớ r hi = 1 hi A ở ì

ể tứ ợ rút ọ

b = (a) K ớ r a = b tr ó

ờ t t tế ể tứ ệ ở ể tứ ợ sử
h1 k1 ã ã ã hi1 (ki1 b)hi ki ã ã ã hm km ò ó tử

ó ò ợ rút ọ ì ki1

B é t ki1 b B ế tụ t

t t ợ ột t ó tử
ớ r t ủ
t t t ợ

w

w ó ù ộ ể tứ rút ọ

w

ừ í tr t ó ị í ó tể ứ tết tr
tr
ị ý

ị í t ỗ tử ủ

ó ột t t

ah1 k1 ..hm km

1 = ki Z

ở

ể ễ

aA

Y



ớ

Z

G = H

1 = hi Y

K

A=B
tr ó

t ệ

ớ é ợ ọ ở tr ề ị t ở ó ĩ
ế ó ể tứ tr

H

K ụ tể

ah1 k1 ã ã ã hm km = a h1 k1 ã ã ã hn kn ,
tì

n = m ỗ hi = hi ki = ki



a=a





ó q

r t ứ ề q trọ t ủ ó
ể ễ ó

G(p, q) ị í ỉ r í t

ỗ tử ủ ó

G(p, q) ị í



ể ễ ó q

ị ĩ

q

2/p

A = Rx



số
2/l

L = Ry



2/4

S = Ry

q q trụ ớ ó q



p, l, q ị ĩ é
2/q

B = Rz

r ó

2/p

Rx

é

2/p ọ G(p, l, q) = A, L, B ó

s ở é q

A L B G(p, q) = G(p, 1, q) = A, B ó

s ở é q

A, B

ị ý

ế

p, q

3 ề tì G(p, q) ớ tí tự

Zp Zq = , |p = 1, q = 1 .
ế

p

4 q

3 tì G(p, q) ớ ó ó ể ễ

, |p = 1, q = 1, p/2 p/2 = 1 .
ế

p



4 q = 2s ớ s



3 tì G(p, q) ớ ó

ó ể ễ

, |p = 1, q = 1, p/2 p/2 = 1, q/2 q/2 = 1 .






p, q

ế

ù ết tì

G(p, q) = G([p, q], 4, 1).


[p, q] ộ số ỏ t ủ p q
ể ứ ị í trớ ết t ứ ổ ề q trọ s

ổ ề



2/m

m = s2t s t

0 t ị ĩ T = Rx

W, E G(4, 4, 1), 4aj = 0 (mod m) bj



n

0 tì

W S b1 T a1 S b2 T a2 ã ã ã S bn T an = I,
tr ó

ế

I tr ị

ứ

t ỉ r

ệ ứ ổ ề ợ tế s t

m tr ổ ề tr ó tể tí ợ ớ m =
t

s2t ớ t = 0 ó t x = e2i/m y = xs z = x2 t
ỉ r ỗ tử ủ
t

R = Z[x] = Z[y, z] ợ ết t ớ

2 1
j
j=0 kj (z)y , ớ kj (z)

Z[z] ế t ụ ổ ề

ứ ỗ tr

S bi T ai tr ị ố

ù ứ ổ ề

t t õ ổ ề t t ố ị trị ủ
q ủ ệ ụ ổ ề
tể tết

m ệ

4m ó t tí tổ qt t ó

m ết ì tí r ợ ớ

m = s2t ớ t = 0
t

t

t

x = e2i/m y = xs z = x2 tế tì t ó y 2 = z s = 1 ì

(s, 2t ) = 1 tr Z s r Zm = Zs ì Z2t
t ũ

(s, 2t ) = 1 h, k Z ể hs + k2t = 1 s r

a = ahs + ak2t = us + v2t ớ u = ah, v = ak ớ ỗ số ũ
a Z ủ x ó u, v Z s xa = y u z v ừ ó Z[x] = Z[y, z] = R
ì

t

x = y h z k Z[y, z] y = xs , z = x2 Z[x] sử ụ

t1
tứ y 2

= 1 t ó tể ết ỗ tử ủ R ớ
2t 1

kj (z)y j , ớ kj (z) Z[z].
j=0






t ì tứ ờ trò ủ e2i/n ó
tế

(n) ì

Z[e2i/n ] ó í (n) tử ộ tế tí tr Z (n)

t ột số tố ớ

s2t tì số ó

tố ù ớ s từ ế 2t s r 2t1 ỗ
tì ó ó

2s

(s) số ữ 2s ó (s) số ữ 2s + 1 22 s ừ ó

(s2t ) = 2t1 (s) í 2t1 ệ số (s)
ỗ ỹ từ ủ

y ế ề ợ t tì Z[x] ó

ữ s ó ít

(m) tử ế t ờ t

S b T a tr ể tứ ó ó


0 s c
ST a = 0 c s ,
1 0 0

ét ỗ tử








0 s c

S 3 T a = 0 c s ,
1 0 0




tr ó c

= cos(2a/m) = (xa +xa )/2, s = sin(2a/m) = (xa xa )/2i

ú ý r

S 4 = I t ỉ ét b b = 1 b = 3 ũ ì x

ủ ị


xa = xa ) ớ xa ợ ết ớ xa = y u z v

z s = 1 t ét trờ ợ ủ v v 0 (mod s)

v 0 (mod s) t I ự ứ (1 + y) R ể tế tụ
ứ ổ ề t ụ ổ ề s
ổ ề

ế

v 0 (mod s)

ết

xa = y u z v

tì tử

tử ở ị trí ò ột tử ủ tr

2S b T a

tộ

ổ ề

R tộ I

ế

v 0 (mod s)

tử ủ tr

y u )/2

tộ

R



xa = y a

tì ó ột ỹ từ

w

t

(1 + y)w S b T a ụ tể tử (1 + y)w (y u +

tộ

I

ệt ế

u = r2k

ớ r tì

w = 2t1 2k+1 tự tử ủ (1+y)w S b T a
ũ tộ

R tộ I



❇➞② ❣✐ê t❛ ①Ðt ♠❛ tr❐♥

Fi S bi T ai tr♦♥❣ ➤ã Fi ❧➭ ✷ ❤♦➷❝ ❧➭ ♠ét ❧✉ü t❤õ❛ ❝ñ❛
t−1

(1+y) ✭❝❤ó ý r➺♥❣ 2 ∈ I ❞♦ 2 = 1−y 2
❚❛ t❤✃② r➺♥❣ t❤❡♦ ♠♦❞✉❧

t−1

= (1+y)(1−y +y 2 −...−y 2

−1

)✳

I t❤× ♠❛ tr❐♥ ♥➭② ❝ã ❞➵♥❣



0 α β
0 γ δ  ,
0 0 0
✈í✐

✭✷✳✾✮

α, β, γ, δ ❧➭ ❦❤➳❝ ♣❤➬♥ tö ✵ tr➟♥ tr➢ê♥❣ R/I ✳ ◆❤➢♥❣ tÝ❝❤ ❝ñ❛ ❤❛✐ ❤❛②

♥❤✐Ò✉ ♠❛ tr❐♥ ❝ã ❞➵♥❣ tr➟♥ ❧➵✐ ❧➭ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ❝ã ❞➵♥❣ tr➟♥✳ ❱× t❤Õ tÝ❝❤

F S b1 T a1 S b2 T a2 · · · S bn T an ,
tr♦♥❣ ➤ã

✭✷✳✶✵✮

F ❧➭ tÝ❝❤ r✐➟♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ Fi ❧➵✐ ❧➭ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ❝ã ❞➵♥❣ tr➟♥✳ ◆❤÷♥❣

♠❛ tr❐♥ t❤✉é❝ ♥❤ã♠

G(4, 4, 1) ❦❤✐ ♥❤➞♥ ✈➭♦ ♠❛ tr❐♥ ✭✷✳✶✵✮ tr➟♥ t❛ ➤➢î❝ ♠ét

♠❛ tr❐♥ tr➳✐ ❞✃✉ ❤♦➷❝ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ❤♦➳♥ ✈Þ ❝ñ❛ ♠❛ tr❐♥ ♥➭②✳ ◆ã✐ ❝❤✉♥❣

F W S b1 T a1 S b2 T a2 · · · S bn T an E
❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❝ã ✹ ♣❤➬♥ tö ❦❤➳❝ ✵ t❤✉é❝
✈Þ ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ✵ t❤❡♦ ♠➠➤✉♥

✭✷✳✶✶✮

R/I ✳ ◆❤➢♥❣ ✈× F ♥❤➞♥ ✈í✐ ♠❛ tr❐♥ ➤➡♥

I tõ ➤ã ⇒ W S b1 T a1 S b2 T a2 · · · S bn T an E ❦❤➠♥❣

t❤Ó ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ➤➡♥ ✈Þ✳ ◆❤➢ ✈❐② t❛ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ①♦♥❣ ❜æ ➤Ò ✷✳✶✳✸✳
❚✐Õ♣ t❤❡♦ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✹ ✈➭ ✷✳✶✳✺✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

✭❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✹✮

➜➬✉ t✐➟♥ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤♦ ♣❤➬♥ tö ✭✷✱✷✮ ❝ñ❛ ♠❛ tr❐♥

2S b T a ❧➭ ♣❤➬♥ tö

xa + x−a = y u z v + y −u z −v .
●✐➯ sö y u z v

+ y −u z −v ∈ I t❤Õ t❤× t❛ ❝ã ♥❣❛② z v + y −2u ∈ I ✭✶✮✳

▼➷t ❦❤➳❝ ✈×

1 + y ∈ I ♥➟♥

(−y)u −1 = −(1+y)[1+(−y)+(−y)2 +...(−y)u−1 ] ∈ I ⇒ (−y)u z v −z v ∈ I.
❚➢➡♥❣ tù

(−y)−u − 1 ∈ I ⇒ (−y)−u z −v − z −v ∈ I ✭✷✮✳

❚õ ✭✶✮ ✈➭ ✭✷✮ t❛ ❝ã z v

+ y −2u z −v − (−y)−u z −v + z −v ∈ I ✭✸✮✳
✶✽


❘â r➭♥❣ y −2u z −v

− (−y)−u z −v ∈ I ✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ♥Õ✉ ✉ ❝❤➼♥ t❤×

y −2u − (−y)−u = y −2u − y −u = y −u (y −u − 1) ∈ I,
❝ß♥ ♥Õ✉ ✉ ❧❰ t❤×

y −2u −(−y)−u = y −2u +y −u = y −u (y −u +1) = y −u (1/y u +1) = y −2u (y u +1) ∈ I.
❈✉è✐ ❝ï♥❣ tõ ✭✸✮ t❛ ➤➢î❝ z v
➜➷t

+ z −v ∈ I ✳ ❚❛ sÏ ❝❤Ø r❛ 1 ∈ I ✳

z = z v t❤× z s = 1 ✳ ❚❛ ❝ã (z + z −1 )(z 2 + z 3 ) = z + z 2 + z 3 + z 4 ∈ I ✳

◆❤➞♥ ❜✐Ó✉ t❤ø❝ ✈í✐

1 + z 4 + z 8 + ... + z 4k t❛ ❝ã z + z 2 + z 3 + ... + z 4k+4 ∈ I ✳

❚❛ ①Ðt ❤❛✐ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ➤Ó ❝❤ä♥ ❦ ✭✈í✐ ❝❤ó ý ❧➭ s ❧❰✮✳
◆Õ✉

s ≡ 1 (mod 4) ❝❤ä♥ k = (s − 5)/4 t❤× z + z 2 + ... + z s−1 ∈ I ♠➷t

❦❤➳❝ 1+ z +...+ z s−1
❤❛②

1 ∈ I✳

◆Õ✉
❱×

= (1− z s )/(1− z) = 0 ⇒ z + z 2 +...+ z s−1 = −1 ∈ I

s ≡ 3 (mod 4) ❝❤ä♥ k = (s − 3)/4 t❤Õ t❤× z + z 2 + ... + z s+1 ∈ I ✳

1 + z + ... + z s−1 = 0 ⇒ z + z 2 + ... + z s = 0 ✭♥❤➞♥ ✷ ✈Õ ✈í✐ z ✮✳ ❉♦ ➤ã

z + z 2 + ... + z s + z s+1 = z s+1 = z s z = z ∈ I ⇒ z s = 1 = (z)s ∈ I ✳ ▼➞✉
t❤✉➱♥ ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt

I ❧➭ ✐➤➟❛♥ ❝ñ❛ R ✳

❚❛ ①Ðt t❤➟♠ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö ❦❤➳❝
P❤➬♥ tö ✭✶✱✸✮ ❧➭

c ❤♦➷❝ −c ♥➟♥ ❧➭ ♣❤➬♥ tö t❤✉é❝ R ♥❤➢♥❣ ❦❤➠♥❣ t❤✉é❝ I ✳

❍❛✐ ♣❤➬♥ tö ✭✶✱✷✮✱ ✭✷✱✸✮✳ ➜➷t
t−2

u = u − 2t−2 ✱ ✈× y 2

t−1

= −1 t❛ ❝ã

t−2

y u z v − y −u z −v = y u −2 z v − y −u +2 z −v =
t−2

t−2

[y u z v − y −u z −v (y 2 )2 ]/y 2

=
t−2

[y u z v − y −u z −v ]/y 2 .

◆❤➢ ✈❐②
t−2

s = (xa − x−a )/2i = (y u z v − y −u z −v )/2i = (y u z v + y −u z −v )/y 2 2i ∈
/ I.

✶✾


❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

✭❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✹✮

❇➯♥ ❝❤✃t ❝ñ❛ ✈✐Ö❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜æ ➤Ò ♥➭② ❧➭ t❛ ♣❤➯✐ ➤Õ♠ sè ♠ò
tö

(1 + y) s❛♦ ❝❤♦ (1 + y)w (y u + y −u ) ❧➭ ❜é✐ ❝ñ❛ ✷ tr♦♥❣ Z[y] ✭❈➬♥ ♥❤í ❧➭ t❛

①Ðt tr♦♥❣

Z[y] ❝❤ø ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ tr♦♥❣ Z[x]✮✳

❚❛ ❝ã ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ✈Ò ❧✉ü t❤õ❛ ❝ñ❛
✭✶✮ ◆Õ✉
✭✈×
✈➭

w ❝ñ❛ ♥❤➞♥

2q

k

=

c ❧➭ ♠ét ❧✉ü t❤õ❛ ❝ñ❛ ✷ t❤× (1 + y)c ≡ 1 + y c ≡ 1 − y c (mod 2)

2q
k!(2q −k)! ✈➭

t−1

1 + y2

✭✷✮ ◆Õ✉

(1 + y)✳

2y c ❧➭ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ ✷✮✳ ➜➷❝ ❜✐Öt✱ t❤❡♦ ♥❤Þ t❤ø❝ ◆❡✇t♦♥
t−1

= 0 ♥➟♥ (1 + y)2

t−1

≡ 1 + y2

≡ 0 (mod 2)✳

c ❧➭ ❧✉ü t❤õ❛ ❝ñ❛ ✷✱ ✈× 1 ± y c ≡ (1 + y)c (mod 2) s✉② r❛
t−1

(1 ± y c )(1 + y)2

−c

t−1

≡ (1 + y)2

−c

t−1

(1 + y)c ≡ (1 + y)2

≡0

(mod 2)

✭➳♣ ❞ô♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✈Ò ➤å♥❣ ❞➢ ❝ã t❤Ó ①❡♠ t❤➟♠ tr♦♥❣ ❬✶❪✮✳
✭✸✮ ◆Õ✉ ❝ ❧➭ ❧✉ü t❤õ❛ ❝ñ❛ ✷✱ t❤×
t−1

−c−1

(1 ± y c )(1 + y)2
t−1
✭❞♦ ❤Ö sè ❝ñ❛ y 2 −1 ❧➭

t−1

≡ (1 + y)2

−1

=0

(mod 2)

±1 ❦❤➠♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ ✷✮

❇➞② ❣✐ê t❛ ✈✐Õt

y u + y −u = y −u (1 + y 2u )
k+1

+ y2

k+1

) + y2

= y −u (1 − y 2
= y −u (1 − y 2

k+1

+ y 2u )

k+1

−u

✭✷✳✶✷✮
k+1

(1 − y 2u−2

) + 2y u .

❚r♦♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ✭✷✳✶✷✮ t❛ ❝ã

2y u ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ ✷✳
u = r2k ✭✈í✐ r ❧❰✮ ⇒ 2u − 2k+1 = [(r − 1)/2]2k+2 ❞♦ ➤ã

❱í✐

1−y 2u−2

k+1

♥➟♥ ♥Õ✉

w

k+2

(1 − y 2

tr➟♥ t❛ ❝ã

= 1−(y 2

k+2

)(r−1)/2 = (1−y 2

k+2

)[1+y 2

k+2

2t−1 − 2k+2 ❤❛② w = 2t−1 − 2k+2 + h ✭ h

)(1 + y)w = (1 − y 2
k+2

(1 − y 2

k+2

t−1

)(1 + y)2

k+2

(1 − y 2

t−1

)(1 + y)2

−2

k+2

−2k+2 +h

✷✵

)(r−1)/1−1 ],

0✮✳ ❚❤Õ t❤×

✱ ➳♣ ❞ô♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✭✷✮ ë

≡ 0 (mod 2) ♥➟♥

)(1 + y)w ≡ 0

k+2

+...+(y 2

(mod 2).


ừ ó

k+1

(1 y 2u2

k+1

)(1 + y)w 0 (mod 2) tự (1 + y)w (1 y 2

(mod 2) ế ỉ ế w

0

2t1 2k+1

ết q ố ù

(1 + y)w (y u + y u ) ết w =

2t1 2k+1 ết w = 2t1 2k+1 1
ũ ét tử ứ ố tr ứ
ổ ề t
từ

u = u + 2t2 ì k t tết ỏ t 2 tì ỹ

w ủ (1 + y) ể y u + y u ết ũ ố trờ

ợ ể y u

+ y u ết

ì tế t ị

w tí ợ s tử ủ tr ớ

(1 + y)w Z[y] tr (1 + y)0 tố
tr Z[y] s ở (1+y) (1+y)0 tố Z[y]/(1+y)0
trờ

Z2 ì I Z[y] ột í tr Z[y] I Z[y]

trù ớ

(1 + y)0 ì tế tử ủ tr tộ I

ứ ổ ề ờ t ụ ổ ề ể
ứ ị í
ứ


ứ

r trờ ợ ủ ị í ét tự

từ ó trừ tợ , |ệ tứ ế ó G(p, q) t

ớ A ớ B tr ỗ trờ ợ ệ tứ t ứ ớ

tr ị õ r

t t ỉ r ề

t ớ ệ t ỉ r ọ tử
ột từ

g = e tì (g) = I

t t sử ụ ổ ề ớ
ổ ề tết s r
ỗ tử

g , |ệ tứ ợ ết

2/p

A = Rx

m = pq tí r m = s2t
2/m q

= (Rx

) = T q B = S 3 T p S

g tỳ ý tộ ó , |ệ tứ sử ụ ệ tứ

p = 1, q = 1 tì g ó
a1 b1 ã ã ã an bn ,
ớ ỗ

ai (0, p) bi (0, q) trừ a1 bn ó tể ở trờ ợ

t sử ụ ệ tứ ể ế t ề ệ ủ ai bi




ừ ó

(g) = Aa1 B b1 ã ã ã Aan B bn
= T qa1 (S 3 T p S)b1 ã ã ã T qan (S 3 T p S)bn



= T a1 S 3 T b1 S ã ã ã T an S 3 T bn S,
ớ ai

= q ai , bj = pbj

ét trờ ợ ủ ị í
rờ ợ ế


3 q

p

3 ề (4, p) = (4, q) = 1

4ai = 0 (mod m) ớ i > 1 sử 4ai = 4q ai ết m = pq

s r

ai ết í 4bj = 0 (mod m) ớ j < n ọ

W G(4, 4, 1) s W tr ị ủ S ọ E = S tế
tì

(g) = W ST a1 S 3 T b1 S...T an S 3 T bn E ổ ề (g) ỉ ó tể



I ế b1 = a1 = 0 ú ó g = e

rờ ợ sử

p

4 q

3 ét ệ tứ

p/2 p/2 = 1 p/2 = p/2
từ ó

b p/2 = p1 p/2 = b1 p/2 1 = ... = p/2 b ớb Z).
ụ ệ tứ ể tứ t ó tể q tt

ai ó tể trừ a1 tộ (p/4, p/4] sở ĩ t
s ể t tệ t q tt ai
ế ai

(p/2, p/2] sử ai
/ (p/4, p/4]

(p/2, p/4] ai = p/2 + p/2 + ai tì
ai bi = p/2+p/2+ai bi = p/2+ai p/2 bi = p/2+ai p/2 bi .

õ r

ai + p/2 (0, p/4] t ó tể ai ai + p/2 ế

ai (p/4, p/2] ai = p/2 p/2 + ai ễ t ai p/2 (p/4, 0]
t ai ai

p/2

ừ q t ó

4bj = 0 (mod m) j < n t r t

tể ụ ợ ổ ề ể tứ ì ế



p ết

❝❤♦ ✹ t❤×

ai ❝ã t❤Ó ❜➺♥❣ m/4 ✈í✐ ✐ ♥➭♦ ➤ã✳ ❱× ✈❐② ♥Õ✉ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♥➭② ①➯②

r❛ t❛ ❝ã t❤Ó ➳♣ ❞ô♥❣ ❤Ö t❤ø❝

ST m/4 S 3 = T m/4 S 3 T −m/4
➤Ó ❧♦➵✐ ❜á ❝➳❝ sè ❤➵♥❣

T m/4 ✈➭ ➤➢❛ ➤➢î❝ ❝➳❝ T ±m/4 ✈Ò ❣➬♥ ❝➳❝ T bj trë t❤➭♥❤

T bj ±m/4 ✱ t❛ ➤➢î❝ ♥❤➢♥❣ bj ♠í✐ ♥❤➢♥❣ ✈➱♥ t❤♦➯ ♠➲♥ 4bj = 0 (mod m) ✭✈×
4(bj ± m/4) = 0 (mod m) ⇔ 4bj = 0 (mod m)✮✳
❇➞② ❣✐ê t❛ ➳♣ ❞ô♥❣ ❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✸ ❝❤♦ ❜✐Ó✉ t❤ø❝ ♥➭② ❦❤✐ ♠➭ ❝➳❝

ai ∈

(−m/4, m/4) ❤❛② 4ai = 0 (mod m) t❤× ❜✐Ó✉ t❤ø❝ ✭✷✳✶✹✮ ❝ã t❤Ó ❜➺♥❣ I
♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉

❤❛②



n = 1
b1 = 1


ρ(g) = Aa1 = I

⇔

a1 = b 1
n=1

g = e✱ ✈× t❤Õ ρ ❧➭ ➤➡♥ ❝✃✉✳

❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✭✐✐✐✮✳ ●✐➯ t❤✐Õt

p

❝➳❝❤ ➳♣ ❞ô♥❣ ❝➳❝ ➤å♥❣ ♥❤✃t t❤ø❝

4 ❝❤➼♥ ✈➭ q = 2s ✈í✐ s

3 ❧❰✳ ❇➺♥❣

β q/2 αa = α−a β q/2 t❛ ❝ã t❤Ó q✉② t✃t ❝➯

❝➳❝ bi ❝ã t❤Ó trõ bn ❧➭ ❦❤➳❝ ❦❤➠♥❣ ✈➭

∈ (−q/4, q/4)✳ ▲➵✐ ➳♣ ❞ô♥❣ ❤Ö t❤ø❝

β b αp/2 = αp/2 β −b ❝❤♦ ❜✐Ó✉ t❤ø❝ ✭✷✳✶✸✮✱ t❛ q✉② t✃t ❝➯ ❝➳❝ ai ❝ã t❤Ó trõ a1 ❧➭
❦❤➳❝ ❦❤➠♥❣ ✈➭

∈ (−p/4, p/4]✳

❚❛ ❝ò♥❣ ❧➭♠ t➢➡♥❣ tù tr➢ê♥❣ ❤î♣ ✭✐✐✮ ♥Õ✉ ❝➳❝

❈✉è✐ ❝ï♥❣ t❛ ❝ã

ai = p/4 ❤❛② ai = m/4.

4ai = 0 (mod m) ✈í✐ i > 1 ✈➭ 4bj = 0 (mod m) ✈í✐

j < n✳ ➪♣ ❞ô♥❣ ❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✸ ρ(g) = 0 ♥Õ✉ n = 1, 4ai ≡ 0 (mod p) ✈➭
2bi ≡ 0 (mod q)✳ ❉Ô ❞➭♥❣ ❝❤Ø r❛ ✽ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ✈➭ ❝❤Ø ❝ã ♠ét tr➢ê♥❣ ❤î♣ ❝❤♦
t❛

ρ(g) = I ❧➭ a1 = b1 = 0 ✈➭ ❦❤✐ ➤ã g = e ♥➟♥ ρ(g) ❧➭ ➤➡♥ ❝✃✉✳
❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✭✐✈✮✳ ❉♦
2π/q

A ✈➭ Rx
➤ã

✳ ❱➭ ✈×

[p, q] ❧➭ ❜é✐ ❝ñ❛ ❝➯ p ✈➭ q ♥➟♥ ⇒ G([p, q], 4, 1) ❝❤ø❛
2π/q

G([p, q], 4, 1) ❝❤ø❛ S ♥➟♥ ♥ã ❝❤ø❛ S −1 Rx

S = B ❞♦

G([p, q], 4, 1) ❝❤ø❛ G(p, 1, q)✳ ▼➷t ❦❤➳❝ ✈× p, q ❝ï♥❣ ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦ ✹ ♥➟♥
2π/4

G(p, q) ❝❤ø❛ Rx

2π/q

SBS −1 = Rx

✈➭

♥➟♥

2π/4

Rz

♥➟♥ ♥ã ❝❤ø❛

2π/[p,q]

G(p, q) ❝❤ø❛ Rx

✭❙ë ❞Ü t❛ ❧➭♠ ♥❤➢ s❛✉✿ ❞♦

−2π/4

S = Rz

✳ ❱❐②

2π/4

Rx

2π/4

Rz

⇒ ♥ã ❝❤ø❛

G([p, q], 4, 1) = G(p, q)✳

[p, q](p, q) = pq ✱ ❣✐➯ sö (p, q) = d ⇒ ∃u, v ∈ Z :
✷✸


up+vq = d tế tì 1/[p, q] = (p, q)/pq = d/pq = (up+vq)/pq = u/q +v/p
s r

2/[p,q]

u/q+v/p

Rx

= Rx
ế

ệ q

p, q

2/q u

= (Rx
3

ề tì

Zq = , |p = 1, q = 1 ,

Zp

2/p v

)

) .(Rx

G(p, q)

ớ tí tự

ớ t ứ

A

B
ờ t í ệ

Dp = , |p = 1, 2 = 1, = 1 ó ị

ệ r trờ ợ t ó tể ớ tệ t tử s

ớ

à s ó t t p/2 tr trờ ợ t ớ tệ

ớ t

q/2 ó ủ ó G(p, q) s ở Dp

ó ủ ó


G(p, q) s ở Dq r trờ ợ

à s r ó D2

ệ q

tí tự
ế

p

Zp

ế

Z2

4

p



ú ý

3 tì ó G(p, q) ớ

Dq tr ó p/2 Zp



ớ ó

q/2 Dq

4 q

q = 2s, s

D2

p/2 Dp



Dp

D2

3
Dq

ợ ồ t ớ

tì

r ó

ợ ồ t ớ

r trờ ợ

G(p, q)

à Dq

ớ tí tự

Dp

ợ ồ t ớ

à Dq

G(p, q) tể tổ qt ợ ết

ột tí tự ớ ó ủ

Zp Dp G(p, 4) ớ

Zq Dq G(4, q) ó q ề ố q ệ ù tế tr
trờ ợ

G(p, q) = G(m, 4) tr ó m = [p, q] ề t ột

tí tự ớ ó

D4

Dm
tr ó


D4

G(4, 4),

/2

D4 ó s ở Rx



Rz

í t ó q

P t ự í t ỗ tử ủ ó

G(p, q)

G(p, q) ó ủ ó G(pq, 4, 1) t t ự



í t ó

G(m, 4, 1) ớ m số t ì trờ ợ

m = [p, q] p, q ù ết G(p, q) = G(m, 4, 1) ủ t ỉ
ột trờ ợ ệt ó í ộ ị í r
trờ ợ ò p q ết ị í
í t ỗ tử ó

G(p, q) tí tử s ủ ó

G(p, q)
ị ĩ
ớ r



2/m

T = Rx

ị ĩ t

2/4

U = Rx



S, U tử s r ó G(4, 4, 1)

ị ý

g

2/4

S = Ry



H = G(4, 4, 1) G(m, 4, 1) g G(m, 4, 1) s r

ợ ết t ớ

W ST a1 ã ã ã ST an E,
ớ

n

0, W, E H ai số ỗ sự ế s ợ ụ

ế

m W {I, S 3 }, ai (m/2, m/2) ai = 0

ế
ế

m = 2s s W {I, S 3 }, ai (m/4, m/4) ai = 0
m ết W {I, S 3 , U }, ai (m/4, m/4), ai = 0

an (0, m/4)
ế

n = 0 tì W = I

ú ý

ỗ tử
ế



G(m, 4, 1) G(2m, 4, 1) G(4m, 4, 1) ết

g G(m, 4, 1) ó tể sử ụ í t ủ G(4m, 4, 1)

m ết tì g ợ ết tí ủ tr

t


/ G(m, 4, 1)

ệ ữ trị ủ
ó ột ó

H1 ủ H ó tể ợ

tứ ổ ị trí ớ
ợ tụ

W ợ ể s

ST a q ỹ từ ủ ST a

ST a tứ ù ST a t t ột ỹ từ ớ ủ

ST a tử tr H1 ó tể ị ỏ từ W tụ ST a1
ợ ể t tt từ



W E ệ trị ủ


W ể ễ ớ tr H/H1
ế

2/4

m H = G(4, 4, 1) G(m, 4, 1) = Ry

rờ ợ
ế

= S H
= Z4

H1 = Z2 = S 2 H = H1 S 3 H1

m = 2s s s r
H = G(4, 4, 1) G(m, 4, 1) = Rx2/2 , Ry2/4 = U 2 , S

ó tử s ở


S U 2 H1 ó tử s ở S 2

U 2 H = H1 S 3 H1 ế m ết tì H = G(4, 4, 1)

ó tử s ở

S U H1 ó tử s ở S 2

SU S 1 H = H1 S 3 H1 U H1
ết í t q ệ ó ớ
tí tự ớ ó ữ ớ t tờ ủ

G(4, 4)/D4 ợ ể ễ ở S SU 1 r ữ ớ t
tờ ủ

Dm /D4 ợ ể ễ ở T a ớ a (0, m/4) ú

ớ t ợ

ST a ớ a = 0, a (m/4, m/4)

ể ứ ị í t ụ ổ ề s
ổ ề

ọ tử ủ

ổ ề

ế

g

G(m, 4, 1) ó tể ết ớ

g G(m, 4, 1)

ó s

ó tì s r tồ t t

gg = I

ổ ề tì ể ễ

g g 1 tồ t

ụ ổ ề g 1 t t r ể ễ

g = (g 1 )1 t

ứ

ị í ợ ứ
ứ

ổ ề

ét trờ ợ

m m = 2k k m ết r tt

trờ ợ t tết

g
/ H ì ế g H t ó tể ọ W = I

n = 0, g = e
rờ ợ ế

m ỗ tử g G(m, 4, 1) ó tể ợ ết

ớ

g = S b1 T a1 ã ã ã S bN T aN S bN +1 ,





ó sự ế

N ai bi ụ

S 4 = T m = I t ế ề ệ ai bi ai (m/2, m/2)
bi {0, 1, 2, 3}
ế ỗ ai

= 0 bi = 0 t ó tể rút ọ ể tứ tế

tụ tr
ế bi

= 2 t ó tể sử ụ ệ tứ
S 2 T a = T a S 2



ể rút ọ g từ ó ộ ữ q trì ết tú
t ể tứ ủ

g

g = S b1 T a1 ã ã ã S bn T an S bn+1 ,

r ó ỗ bi ó tể trừ b1 bn+1 ỗ



ai (m/2, m/2)

ai = 0
ế t sử ụ tứ t ó tể ề ệ

b1 = 0 ì b1 {0, 1, 2, 3} ế b1 = 2 t ụ trự tế
ế b1

= 3 t ó tể t T 3 = T 2 T rồ ụ ế ó t ũ

ế ề ệ b2
q tt bi
ó

= 1 t tr t tự tr t ó tể

= 1 trừ b1 ó tể bn+1 ị r ộ

g = S b1 1 ST a1 . . . ST an S bn+1 t W = S b1 1 , E = S bn+1 tì ể

tứ ủ

g ó

rờ ợ ế

m = 2k k tế tụ trờ ợ ể

t ợ tr ó ỗ bi ó tể trừ b1 bn+1 ỗ

ai (m/2, m/2) ai = 0 ó t sử ụ ệ tứ
T m/2 S b = S 4b T m/2
ế ể ỏ ữ ữ tử



T m/2 t ai ề ệ

ai (m/4, m/4) t ớ a1 sử ụ ể ể T m/2
q

S b2 s ó t ề ệ a2 (m/4, m/4) sử

ể

T m/2 q S b3 tế tụ tt