Về nhóm con của nhóm so(3)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM





ĐỖ VIỆT HÙNG




VỀ NHÓM CON CỦA NHÓM SO(3)




Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC




NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. VŨ THẾ KHÔI

THÁI NGUYÊN - 2008
ờ ó
ó é q t ệ ề tr ĩ ự
ủ t ọ ó ó ột ố tợ ể ợ ứ
ở ề t ọ ố tợ ợ trì tr ó
ủ ó s ở é q ó ữ q trụ
ó
ó é q ợ q t ứ ó ó ứ ụ
tr í tết s ột í tết ứ q trì ủ
ủ ột số ữ ì ệ trớ
tr ổ ủ ột ọ ú t ỉ t tr tì ể
ết q số t tý trì ợ í tết s
t số ứ tr tì ể trú số ủ
ó G(p, q) s ở é q q trụ ó ớ
ó q ợt 2/p 2/q ú t ứ ó
ớ ú ý t ó ột số ết q ớ s ế p q
G(p, q) ó ữ ế p q G(p, q) ó ị
ệ ữ G(4, 4) ó ố ứ ủ ì ò tt
trờ ợ G(p, q) trù t tr ợ trì
t ủ t r ết q
í t ủ í ị í trú ị í ỉ r
r ó G(p, q) ớ tí tự tí tự ớ ó
ủ ó ó ó ị ệ ết q tế t
ị í ề t ủ tử ó r ọ tử ủ ó
G(p, q) ề ó tể ể ễ ột t ớ tí ủ ột số

tử ó ụ tể ị í r tr
ố ò ứ ột í ụ ề ó ủ ó s
ở é q ớ ó q tí ủ 2 ớ ột số tỉ s
ệt sử ụ ĩ tt ứ ợ
ột số trờ ợ ó tr í ụ ớ ó tự s ở

tử ồ
ể ớ tệ ệ tí t tr
í ụ ọ ề é q tr é q ó tự tí tự
tí tự ớ ó ụ ụ s
trì ữ ộ í ủ ồ
P trì ể ễ ó G(p, q) P trì
í t ỗ tử ủ ó G(p, q)
trì t ột í ụ ứ ề ó é q
G(v, 4) tr ó ó ó q v ột số tỉ trớ ớ 2 ó
trì í ụ ứ ớ ề ó G(, 4) ớ e
i
t
cos() s ệt
ợ t ớ sự ớ t tì ủ s ũ
ế tỏ sự í trọ ò ết s s tớ
tr trọ t P
s ọ P t tr ị
t ế tứ sở
tr trọ ệ ồ ệ trờ
P tr trọ ữ ờ t
ớ ọ t ộ ú ỡ t tr q trì t


❈❤➢➡♥❣ ✶

❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ
▲✉❐♥ ✈➝♥ ❝➬♥ ♠ét sè ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭ ❦Õt q✉➯ s❛✉
✶✳✶ P❤Ð♣ q✉❛② ✈➭ ♠❛ tr❐♥ ♣❤Ð♣ q✉❛②
P❤Ð♣ q✉❛② ♥ã✐ ❝❤✉♥❣ ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ tö ❝ñ❛ ♥❤ã♠ ❙❖✭✸✮✳ ❙❛✉ ➤➞② t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛
♣❤Ð♣ q✉❛② q✉❛♥❤ ❝➳❝ trô❝ ❖①✱ ❖②✱ ❖③ ❝ñ❛ ❤Ö trô❝ tä❛ ➤é ❖①②③ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ ✸ ❝❤✐Ò✉ ✈í✐ ❣ã❝ q✉❛② ϕ✳
✶✳✶✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ P❤Ð♣ q✉❛② q✉❛♥❤ trô❝ ❖① ✈í✐ ❣ã❝ q✉❛② ϕ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ ✸ ❝❤✐Ò✉ ✈í✐ ❤Ö trô❝ t♦➵ ➤é ➤Ò ❝➳❝ ✈✉➠♥❣ ❣ã❝ ❖①②③ ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ tö ❝ñ❛
♥❤ã♠ ❙❖✭✸✮ ❝ã ♠❛ tr❐♥ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭


1 0 0
0 cosϕ sinϕ
0 −sinϕ cosϕ


.
❑Ý ❤✐Ö✉ R
ϕ
x
❤❛②
R
ϕ
x
=


1 0 0
0 cosϕ sinϕ
0 −sinϕ cosϕ



.
❚❛ ❝ò♥❣ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t➢➡♥❣ tù ❝➳❝ ♣❤Ð♣ q✉❛② R
ϕ
y
✱ R
ϕ
z
t➢➡♥❣ ø♥❣ q✉❛♥❤ trô❝
❖②✱ ❖③ ✈í✐ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➬♥ ❧➢ît ❧➭


cosϕ 0 sinϕ
0 1 0
−sinϕ 0 cosϕ


✈➭


cosϕ sinϕ 0
−sinϕ cosϕ 0
0 0 1


.
✻
❱Ò ♠❛ tr❐♥ ❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã t❤Ó ①❡♠ t❤➟♠ ❬✷❪✳ P❤➬♥ t✐Õ♣ t❤❡♦
tr×♥❤ ❜➭② ❧ý t❤✉②Õt ♥❤ã♠ tù ❞♦✱ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ❝❤♦ ♥❤ã♠✱ tÝ❝❤ tù ❞♦✱ tÝ❝❤ tù ❞♦

✈í✐ ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝❤✉♥❣ t❤❡♦ ❬✸❪✳
✶✳✷ ◆❤ã♠ tù ❞♦
✶✳✷✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳ ▼ét t❐♣ ❝♦♥ S ❝ñ❛ ♥❤ã♠ F ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❝➡ së tù ❞♦ ❝ñ❛
F ♥Õ✉ ♠ä✐ ❤➭♠ ϕ : S −→ G tõ ♠ét t❐♣ S ➤Õ♥ ♥❤ã♠ G ➤Ò✉ ❝ã t❤Ó ♠ë ré♥❣
❞✉② ♥❤✃t t❤➭♥❤ ♠ét ➤å♥❣ ❝✃✉ϕ : F −→ G s❛♦ ❝❤♦ϕ(s) = ϕ(s), ∀s ∈ S ✈➭
t❛ ❝ã s➡ ➤å
S
⊆
F
G
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍❥
ϕ
❄
∃!ϕ
▼ét ♥❤ã♠ F ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥❤ã♠ tù ❞♦ ♥Õ✉ ♥ã ❝ã ♠ét t❐♣ ❝♦♥ ❧➭ ❝➡ së tù
❞♦ ❝ñ❛ F
✶✳✷✳✷ ❱Ý ❞ô✳ ❚❛ ①Ðt ♥❤ã♠ ❈②❝❧✐❝ ✈➠ ❤➵♥ C ✭➤➢î❝ ✈✐Õt t❤❡♦ ❧è✐ ♥❤➞♥✮ ❜❛♦ ❣å♠
❝➳❝ ❧✉ü t❤õ❛ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö a✱ ❞♦ ➤ã C ❝ã ❞➵♥❣
C = {..., a
−2
, a
−1

, 1 = a
0
, a = a
1
, a
2
, a
3
, ...},
✈➭ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ a
i
.a
j
= a
i+j
✈í✐ i, j ∈ Z✳
❑❤✐ ➤ã C ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ tù ❞♦ ✈í✐ ❝➡ së tù ❞♦ ❧➭ t❐♣ S ❂ {a}.
❚❤❐t ✈❐②✱ ♥Õ✉ ϕ : S −→ G ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❜✃t ❦× ✈➭ ϕ(a) = g ∈ G t❤× ➤å♥❣
❝✃✉ ♠ë ré♥❣ϕ : C −→ G ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜ë✐ ϕ(a
i
) = g
i
. ❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥ϕ
❧➭ ♠ë ré♥❣ ❞✉② ♥❤✃t✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ C ❝ß♥ ❝ã ♠ét ❝➡ së tù ❞♦ ❦❤➳❝ ♥÷❛ ➤ã
❧➭ t❐♣ {a
−1
}✱ ✈➭ ➤ã ❧➭ ❤❛✐ ❝➡ së tù ❞♦ ❞✉② ♥❤✃t ❝ñ❛ C. ❚➢➡♥❣ tù t❛ ❝ò♥❣ ❝ã
♥❤ã♠ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ Z ✭➤➻♥❣ ❝✃✉ ✈í✐ C✮ ❧➭ ♥❤ã♠ tù ❞♦ ✈í✐ ❤❛✐ ❝➡ së tù ❞♦
❧➭ {1} ✈➭ {−1}✳
✼

ể ễ ó ở tử s ệ tứ
ố t ó ết r ột tử s r ó
r ột q ệ ữ ú tờ ù í ệ
G = a
1
, a
2
, a
3
, ...|u
1
= v
1
, u
2
= v
2
, ...,
tr ó a
i
í tự u
j
, v
j
từ t ở a
i
tr ó t
u = v uv
1
= 1 ì tế t ó tể ể ễ ó ớ t

G = a
1
, a
2
, ...|r
1
= 1, r
2
= 1, ...,
tr ó r
i
= u
i
v
1
i
ớ i = 1, 2, 3, ... ể t í ệ
G = a
1
, a
2
, ...|r
1
, r
2
, ....
ị ĩ ột ể ễ P = S|D ột ồ ột t
S tử s ột t D từ tr S ọ ệ tử ị ĩ
ó ể ễ ở P í ệ gp(P ) ó F

S
/N
D
tr ó F
S

ó tự ớ sở tự S N
D
ó t ủ D tr F
S

ó ó t ỏ t ủ F
S
ứ D. ó ế r D tì
r N
D
ì tế r = 1
gp(P )

ế G = gp(P ) t tờ ết G = S|D tết
ệt ó sự t ó ó ột ể ễ P = S|D ọ ữ
s ế S ó ữ tử q ệ ữ ế D ó ữ
tử ế S D ề ó ữ tử tì P ột ể ễ ữ

ế S = {a
1
, a
2
, a
3

, ...}, D = {r
1
, r
2
, r
3
, ...} t sử ụ í ệ
P = a
1
, a
2
, a
3
, ...|r
1
, r
2
, r
3
, ...,
tr trờ ợ r
i
ợ ọ ệ tử
P = a
1
, a
2
, ...|r
1
= 1, r

2
= 1, ...,
tì r
i
= 1 ọ ệ tứ

í ụ ó C ợ ết t ố ớ tử
s a ó ể ễ C = a| ớ ệ tử ị ĩ rỗ ổ qt
ó tự F
S
ớ sở tự S ó ể ễ F = S|.
ó ữ C
n
ó ó ể ễ C
n
= a|a
n
= 1.
í tự
ị ĩ sử H K ó ó ợ ọ tí tự
ủ H K ế ó ồ i
H
: H L i
K
: K L t
ề ệ s ớ ọ ồ : H G : H G
tr ó G ó t ì tì ó t ồ : L G s
= i
H
= i

K
ó ể ồ
H L K
G

i
H






!

i
K





t õ ể ồ ễ t r tí tự ủ H K
t s ột í ệ ó H K.
ễ t r tí tự tồ t ì t ó tể ết r ể ễ
H K sử H K ợ ở ể ễ H = S|D K = T |E
t ổ ột tr ữ ế tết t ó tể tết S
T ờ tứ S T = ì ể ễ H K ó
H K = S T |D E
ị ĩ ò ỏ i

H
i
K
ữ ồ s ở
sự tr ữ tử s ề t ế
t ị ĩ : H K H t ứ s s t 1 ớ ọ s H
ọ t K tì ột ồ i
H
ồ ồ t tr H
ó i
H
t ũ ó H K = {1} tự i
K

ố ù ồ , tr ị ĩ ợ ở
(s) = (s) ớ ọ s S (t) = (t) ớ ọ t T tì ị
ột ồ từ ị ĩ t ị t

r ù ột ị ĩ tì tí tự H K ó tự ứ H
K ó H K ợ ọ tử tự ủ H K
í ụ Z
p
= |
p
= 1 Z
q
= |
q
= 1 tì
Z

p
Z
q
= , |
p
= 1,
q
= 1,

Z
p
Z
q
= , |
p
,
q
.
ột ể tứ ột từ tr H K ột tí ó
h
1
k
1
h
2
k
2
ã ã ã h
m
k

m
tr ó h
i
H k
i
K q ớ t từ
ó tể ột h
1
k
m
ợ ể ễ tứ
ố ủ ể tứ ó tể ó ể tứ ó tể ó ột
tr ố h
1
k
1
h
2
k
2
ã ã ã h
m
k
m
k
1
h
2
k
2

ã ã ã h
m
k
m
tr ó h
1

ợ ể ễ h
1
k
1
h
2
k
2
ã ã ã h
m
tr ó k
m
ợ ể ễ
k
1
h
2
k
2
h
2
ã ã ã h
m

tr ó k
m
ợ ể ễ
ố tử ợ ể ễ ọ ộ ủ từ từ ể tứ
rỗ ó ộ ột ể tứ ợ ọ rút ọ ế
ỗ h
i
= 1
H
k
i
= 1
K
ể ễ ế ột ể tứ
ợ rút ọ ó sẽ ột ể tứ t ợ
ờ ột tr tử ộ ú ó ế h
i
= 1
H

ể tứ h
1
k
1
ã ã ã k
i1
h
i
k
i

ã ã ã h
m
k
m
ó tể t tế ể
tứ h
1
k
1
ã ã ã h
i1
(k
i1
k
i
)h
i+1
ã ã ã h
m
k
m
ó ít sự
ể ễ ù ó tử ế tụ t ố ù t
ế ột ể tứ rút ọ ể ễ ù ột ó tử
ú ý r ể tứ rỗ ể tứ ợ rút ọ
ừ í ở tr t ó ị í ó tể ứ tết tr
tr
ị ý ị í t
ỗ tử ủ H K ợ ể ễ ột ể tứ
t ó h

1
k
1
h
2
k
2
ã ã ã h
m
k
m
ớ h
i
= 1
H
k
i
= 1
K
ự

t ở ó ĩ ế ể tứ tr H K ụ tể
h
1
k
1
ã ã ã h
m
k
m

= h

1
k

1
ã ã ã h

n
k

n
tr H K tì n = m ỗ h
i
= h

i
tr
H ỗ k
i
= k

i
tr K ớ ọ i = 1, 2, .., m
í tự ớ ó
tổ qt ệ ự tí tự s sử H K ó ột
ó ì tế ó ột é ú : M H
: M K ố ó tự t ứ H K ó
ủ ú (M) (M) trù tứ H K = (M) = (M)
ị ĩ ó L ợ ọ tí tự ủ H K ớ ó

M ế ó i
H
: H L i
K
: K L s
i
H
= i
K
t ề ệ s ỗ ồ : H G
: K G s = tr ó G ó t ì tì ó
t ồ : L G t = i
H
= i
K
ó ể
ồ
M
H L K
G

i
H






!

i
K





õ ể ồ tr t ễ ỉ r r tí tự L ủ H K
ớ ó M t s ột í ệ
L = H
M
K
ũ ễ ỉ r r tí tự ớ ó tồ t ì t
ó tể ết r ể ễ L = H
M
K sử H K ợ ở ể
ễ H = S|D K = T |E sử M = Q|V t ổ
ột tr ữ ế tết t ó tể tết S T = ì ể
ễ H

M
K t ợ ở sự t ù ồ t ủ

M ó
H
M
K = S T |D E, (q) = (q), q Q.
i
H
i
K
ò ỏ ồ s t ộ tử
s ề ữ t ó tể ỉ r HK = (M) = (M)
ố ù ồ tr ị ĩ ợ ở
(s) = (s), s S (t) = (t), t T tì ị ột ồ
ồ t t ị ĩ r trờ ợ M ó
t tờ tì H
M
K q ề tí tự H K
ó í ệ ù ợ tờ ợ sử ụ ó
A = (M) H B = (M) K
tì A, B ớ q ồ =
1
: A B ó
tí tự ớ ó A = B tờ ợ í ệ H
A=B
K
ợ ể ễ ớ t s
H
A=B

K = S T |D E, a = (a), a (Q).
í ụ ét ó H = c| K = d| ớ
ó t ứ A = c
2
B = d
3
A B ớ
q c
2
d
3
tì tí tự t ứ ủ ú
G = H
A=B
K = c, d| c
2
= d
3
.
ể sử ụ ó ệ q tí tự ớ ó t ột ể
tứ í t t ỗ tử ữ
ể tí t ú ũ ể ứ ữ ể tứ
G = H
A=B
K ột tí tự ớ ó í ệ ột từ
ột ể tứ ũ ố tr tí tự õ r
ỗ tử g G ột ể tứ ó ó ột số
ú ý tết t ết H K ợ ú G
ì tế t ể tứ ó tự ở tr G

ó ột ể tứ h
1
k
1
ã ã ã h
m
k
m
ủ ột tí tự ỗ t
ọ ợ rút ọ ế h
i
A = (M) k
i
K = (M) ể ễ
sử r ể tứ h
1
k
1
ã ã ã h
m
k
m
ợ rút ọ tứ ó
h
i
= a
i
A r ể tứ t ó tể t tế h
i
= a

i
A ở t
ứ b
i
= (a
i
) ể t ợ s ợ t ể tứ
h
1
k
1
ã ã ã h
i1
(k
i1
b
i
k
i
)h
i+1
ã ã ã h
m
k
m
,
ó ít sự ò ể ễ ột ó tử tự ế
k
i
K t ó tể t tế ó ở t ứ a

i
ợ t t ột ể
tứ ó ít sự s ớ ể tứ ế tụ t
ố ù t ế ột ể tứ ể ễ ù ột ó
tử ợ rút ọ ột tử ủ
A = B
ờ t ét ột í ụ ứ từ trớ
G = H
A=B
K = c, d| c
2
= d
3
.
ớ r từ c
3
d
5
cd
2
ề từ ợ rút ọ t tr
G t ó c
3
d
5
= cc
2
d
5
= cd

3
d
5
= cd
2
ó từ từ
tr G ó ú ể ễ ù ó tử ì tế rút ọ
ủ ể t ột í t t
ể qết ề t tế tụ s t t ọ Y
t ệ ớ é ủ A tr H Y ứ ỉ ột tử ợ
ọ ớ ể ễ từ ỗ ớ é Ah tr ó h H ố tợ
ể t ề ệ ợ ọ ể ể ễ A t ó
tự t ọ Z t ệ ớ é ủ B tr K ị ĩ
ột í t ột tử ủ A = B ột ể tứ
ó ah
1
k
1
ã ã ã h
m
k
m
ớ 1 = h
i
Y 1 = k
i
Z ể ễ
a A ò h
1
k

1
ã ã ã h
m
k
m
ột ể tứ t từ ó
ố tr tí tự ì tế ột t ột tí
ủ tử ủ t Y Z tt sự ệt từ ì
tế ể tứ ợ rút ọ ợ ứ trớ ở ột tử ủ A = B

r trờ ợ h
1
ợ ể ễ t tờ sử ụ b = (a) t
tế ết bk
1
ã ã ã h
m
k
m
ột ó tử ì a = b tr G
ỉ r r ọ tử w G ợ ể ễ ở ột t
sử t ó ột ể tứ rút ọ w ệ từ
q tr q từ ế ổ ó t ột t ì tế t ó tể
tết h
1
k
1
ã ã ã k
i1
h

i
k
i
ã ã ã h
m
k
m
ợ rút ọ ỗ số ó t ớ
ụ tể h
i
ột tử tộ Y Z ệt ớ ờ t
ết h
i
= ah

i
tr ó a A h

i
Y. ớ r h

i
= 1 h
i
A ở ì
ể tứ ợ rút ọ b = (a) K ớ r a = b tr ó
ờ t t tế ể tứ ệ ở ể tứ ợ sử
h
1
k

1
ã ã ã h
i1
(k
i1
b)h

i
k
i
ã ã ã h
m
k
m
ò ó tử
ó ò ợ rút ọ ì k
i1
B é t k
i1
b B ế tụ t
t t ợ ột t ó tử w
ớ r t ủ w ó ù ộ ể tứ rút ọ
t t t ợ w
ừ í tr t ó ị í ó tể ứ tết tr
tr
ị ý ị í t ỗ tử ủ G = H
A=B
K
ó ột t t ah
1

k
1
..h
m
k
m
ớ 1 = h
i
Y tr ó
1 = k
i
Z ể ễ a A ở Y Z t ệ
ớ é ợ ọ ở tr ề ị t ở ó ĩ
ế ó ể tứ tr H K ụ tể
ah
1
k
1
ã ã ã h
m
k
m
= a

h

1
k

1

ã ã ã h

n
k

n
,
tì n = m ỗ h
i
= h

i
k
i
= k

i
a = a




ó q
r t ứ ề q trọ t ủ ó
ể ễ ó G(p, q) ị í ỉ r í t
ỗ tử ủ ó G(p, q) ị í
ể ễ ó q
ị ĩ số p, l, q ị ĩ é
q A = R
2/p

x
L = R
2/l
y
S = R
2/4
y
B = R
2/q
z
r ó R
2/p
x
é
q q trụ ớ ó q 2/p ọ G(p, l, q) = A, L, B ó
s ở é q A L B G(p, q) = G(p, 1, q) = A, B ó
s ở é q A, B
ị ý ế p, q 3 ề tì G(p, q) ớ tí tự
Z
p
Z
q
= , |
p
= 1,
q
= 1.
ế p 4 q 3 tì G(p, q) ớ ó ó ể ễ
, |
p

= 1,
q
= 1,
p/2

p/2
= 1.
ế p 4 q = 2s ớ s 3 tì G(p, q) ớ ó
ó ể ễ
, |
p
= 1,
q
= 1,
p/2

p/2
= 1,
q/2

q/2
= 1.

ế p, q ù ết tì
G(p, q) = G([p, q], 4, 1).
[p, q] ộ số ỏ t ủ p q
ể ứ ị í trớ ết t ứ ổ ề q trọ s
ổ ề m = s2
t
s t 0 t ị ĩ T = R

2/m
x
ế
W, E G(4, 4, 1), 4a
j
= 0 (mod m) b
j
n 0 tì
W S
b
1
T
a
1
S
b
2
T
a
2
ã ã ã S
b
n
T
a
n
= I,
tr ó I tr ị
ứ ệ ứ ổ ề ợ tế s t
t ỉ r m tr ổ ề tr ó tể tí ợ ớ m =

s2
t
ớ t = 0 ó t x = e
2i/m
y = x
s
z = x
2
t
t
ỉ r ỗ tử ủ R = Z[x] = Z[y, z] ợ ết t ớ

2
t
1
j=0
k
j
(z)y
j
, ớ k
j
(z) Z[z] ế t ụ ổ ề
ứ ỗ tr S
b
i
T
a
i
tr ị ố

ù ứ ổ ề
t t õ ổ ề t t ố ị trị ủ m ệ
q ủ ệ ụ ổ ề 4m ó t tí tổ qt t ó
tể tết m ết ì tí r ợ ớ
m = s2
t
ớ t = 0
t x = e
2i/m
y = x
s
z = x
2
t
tế tì t ó y
2
t
= z
s
= 1 ì
(s, 2
t
) = 1 tr Z s r Z
m
= Z
s
ì Z
2
t

t ũ (s, 2
t
) = 1 h, k Z ể hs + k2
t
= 1 s r
a = ahs + ak2
t
= us + v2
t
ớ u = ah, v = ak ớ ỗ số ũ
a Z ủ x ó u, v Z s x
a
= y
u
z
v
ừ ó Z[x] = Z[y, z] = R
ì x = y
h
z
k
Z[y, z] y = x
s
, z = x
2
t
Z[x] sử ụ
tứ y
2
t1

= 1 t ó tể ết ỗ tử ủ R ớ
2
t
1

j=0
k
j
(z)y
j
, ớ k
j
(z) Z[z].

t ì tứ ờ trò ủ e
2i/n
ó (n) ì
tế Z[e
2i/n
] ó í (n) tử ộ tế tí tr Z (n)
t ột số tố ớ s2
t
tì số ó
tố ù ớ s từ ế 2
t
s r 2
t1
ỗ 2s
tì ó ó (s) số ữ 2s ó (s) số ữ 2s + 1 2
2

s ừ ó
(s2
t
) = 2
t1
(s) í 2
t1
ệ số (s)
ỗ ỹ từ ủ y ế ề ợ t tì Z[x] ó
ữ s ó ít (m) tử ế t ờ t
ét ỗ tử S
b
T
a
tr ể tứ ó ó
ST
a
=


0 s c
0 c s
1 0 0


,

S
3
T

a
=


0 s c
0 c s
1 0 0


,

tr óc = cos(2a/m) = (x
a
+x
a
)/2,s = sin(2a/m) = (x
a
x
a
)/2i
ú ý r S
4
= I t ỉ ét b b = 1 b = 3 ũ ì x
ủ ị x
a
= x
a
) ớ x
a
ợ ết ớ x

a
= y
u
z
v
z
s
= 1 t ét trờ ợ ủ v v 0 (mod s)
v 0 (mod s) t I ự ứ (1 + y) R ể tế tụ
ứ ổ ề t ụ ổ ề s
ổ ề ế v 0 (mod s) ết x
a
= y
u
z
v
tì tử
tử ở ị trí ò ột tử ủ tr
2S
b
T
a
tộ R tộ I
ổ ề ế v 0 (mod s) x
a
= y
a
tì ó ột ỹ từ w t
tử ủ tr (1+ y)
w

S
b
T
a
ụ tể tử (1+ y)
w
(y
u
+
y
u
)/2 tộ R tộ I ệt ế u = r2
k
ớ r tì
w = 2
t1
2
k+1
tự tử ủ (1+y)
w
S
b
T
a
ũ tộ R tộ I

❇➞② ❣✐ê t❛ ①Ðt ♠❛ tr❐♥ F
i
S
b

i
T
a
i
tr♦♥❣ ➤ã F
i
❧➭ ✷ ❤♦➷❝ ❧➭ ♠ét ❧✉ü t❤õ❛ ❝ñ❛
(1+y) ✭❝❤ó ý r➺♥❣ 2 ∈ I ❞♦ 2 = 1−y
2
t−1
= (1+y)(1−y +y
2
−...−y
2
t−1
−1
)✳
❚❛ t❤✃② r➺♥❣ t❤❡♦ ♠♦❞✉❧ I t❤× ♠❛ tr❐♥ ♥➭② ❝ã ❞➵♥❣


0 α β
0 γ δ
0 0 0


, ✭✷✳✾✮
✈í✐ α, β, γ, δ ❧➭ ❦❤➳❝ ♣❤➬♥ tö ✵ tr➟♥ tr➢ê♥❣ R/I✳ ◆❤➢♥❣ tÝ❝❤ ❝ñ❛ ❤❛✐ ❤❛②
♥❤✐Ò✉ ♠❛ tr❐♥ ❝ã ❞➵♥❣ tr➟♥ ❧➵✐ ❧➭ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ❝ã ❞➵♥❣ tr➟♥✳ ❱× t❤Õ tÝ❝❤
F S
b

1
T
a
1
S
b
2
T
a
2
· · · S
b
n
T
a
n
, ✭✷✳✶✵✮
tr♦♥❣ ➤ã F ❧➭ tÝ❝❤ r✐➟♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ F
i
❧➵✐ ❧➭ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ❝ã ❞➵♥❣ tr➟♥✳ ◆❤÷♥❣
♠❛ tr❐♥ t❤✉é❝ ♥❤ã♠ G(4, 4, 1) ❦❤✐ ♥❤➞♥ ✈➭♦ ♠❛ tr❐♥ ✭✷✳✶✵✮ tr➟♥ t❛ ➤➢î❝ ♠ét
♠❛ tr❐♥ tr➳✐ ❞✃✉ ❤♦➷❝ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ❤♦➳♥ ✈Þ ❝ñ❛ ♠❛ tr❐♥ ♥➭②✳ ◆ã✐ ❝❤✉♥❣
F W S
b
1
T
a
1
S
b

2
T
a
2
· · · S
b
n
T
a
n
E ✭✷✳✶✶✮
❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❝ã ✹ ♣❤➬♥ tö ❦❤➳❝ ✵ t❤✉é❝ R/I✳ ◆❤➢♥❣ ✈× F ♥❤➞♥ ✈í✐ ♠❛ tr❐♥ ➤➡♥
✈Þ ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ✵ t❤❡♦ ♠➠➤✉♥ I tõ ➤ã ⇒ W S
b
1
T
a
1
S
b
2
T
a
2
· · · S
b
n
T
a
n

E ❦❤➠♥❣
t❤Ó ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ➤➡♥ ✈Þ✳ ◆❤➢ ✈❐② t❛ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ①♦♥❣ ❜æ ➤Ò ✷✳✶✳✸✳
❚✐Õ♣ t❤❡♦ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✹ ✈➭ ✷✳✶✳✺✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✹✮
➜➬✉ t✐➟♥ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤♦ ♣❤➬♥ tö ✭✷✱✷✮ ❝ñ❛ ♠❛ tr❐♥ 2S
b
T
a
❧➭ ♣❤➬♥ tö
x
a
+ x
−a
= y
u
z
v
+ y
−u
z
−v
.
●✐➯ sö y
u
z
v
+ y
−u
z
−v

∈ I t❤Õ t❤× t❛ ❝ã ♥❣❛② z
v
+ y
−2u
∈ I ✭✶✮✳
▼➷t ❦❤➳❝ ✈× 1 + y ∈ I ♥➟♥
(−y)
u
−1 = −(1+y)[1+(−y)+(−y)
2
+...(−y)
u−1
] ∈ I ⇒ (−y)
u
z
v
−z
v
∈ I.
❚➢➡♥❣ tù (−y)
−u
− 1 ∈ I ⇒ (−y)
−u
z
−v
− z
−v
∈ I ✭✷✮✳
❚õ ✭✶✮ ✈➭ ✭✷✮ t❛ ❝ã z
v

+ y
−2u
z
−v
− (−y)
−u
z
−v
+ z
−v
∈ I ✭✸✮✳
✶✽