Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 phòng GD&ĐT Cam Lộ, Quảng Trị năm 2016 - 2017

PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Năm học: 2016-2017
Khóa ngày 21 tháng 10 năm 2016
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (4 điểm)
Cho biểu thức: P =

1
3
2


x +1 x x +1 x - x +1

a) Rút gọn P.
b) Chứng minh P  0.
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng n3 - n chia hết cho 6 với mọi n  Z.
Bài 3: (4 điểm)
Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 1
a) Tính giá trị của biểu thức M = x(x + 2000) + y(y + 2000) + 2xy + 15



1 

1





b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1+  1+  .
x
y
Bài 4: (3 điểm)
Giải phương trình: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 = 0
Bài 5: (2 điểm)
Tìm tất cả các số có 5 chữ số abcde sao cho 3 abcde  ab
Bài 6: (5 điểm)
Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. M là trung điểm
của cạnh AB. Trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho hai
đường thẳng MG và AH song song với nhau.
a) Chứng minh: DH.GB = BM.DA
.
b) Tính số đo góc HOG

----------------- HẾT------------------VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí


PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ

HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 9
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1
(4đ)

a) ĐKXĐ: x  0
1
3
2


P=
x +1 x x +1 x - x +1
1
3
2


=
x +1
x +1 x - x +1 x - x +1

0,25

0,5






x - x +1  3  2  x +1
x+ x

=
 x +1 x - x +1  x +1 x - x +1

1,0

x
x - x +1
b) x  0

0,75

=

0,5
1

Bài 2
(2đ)

Bài 3
(4đ)

2

x - x  1 =  x    
2 4 4


x
P=
0
x - x +1
P= n3 - n = n(n2 -1)
= n(n+1)(n-1)
3

3

0,5
0,5

Ta có n(n+1)  2 => P  2
n(n+1)(n-1)  3=> P  3
Mà (2,3) = 1 => P  6

0,5
0,5
0,5
0,5

a) M = x(x + 2000) + y(y + 2000) + 2xy + 15
= x2 + 2000x + y2 + 2000y + 2xy + 15
= x2 + 2xy + y2 + 2000x + 2000y + 15
= (x +y)2 + 2000(x + y) + 15
= 12 + 2000.1+15 = 2016

0,5
0,5

0,5
0,5



1 

1

1

1

1

x+y

1

+
b) P = 1+  1+  = 1 + + + = 1 +
xy
xy
y x xy
 x  y 

=1+

1
1

2
+
=1+
xy xy
xy

0,5
0,5

Ta có: x + y  2 xy 1  2 xy
 1  4 xy
1
4

xy
2
P=1+
 1+ 2.4=9
xy
VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

0,5
0,25


1
2
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 = 0
 (x2 + 4x + x + 4)(x2 + 3x + 2x + 6) - 24 = 0
 (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24 = 0

Đặt t = x2 + 5x + 4 ta được phương trình:
t(t + 2) - 24 = 0
 t2 + 2t - 24 = 0
 t2 - 4t + 6t - 24 = 0
 t(t - 4) + 6(t - 4) = 0
 (t - 4)(t + 6) = 0
 t = 4 hoặc t = -6
Với t = 4 ta được x2 + 5x + 4 = 4  x = 0; x = -5

Vậy GTNN của P là 9  x = y =
Bài 4
(3đ)

Với t = -6 ta được x2 + 5x + 4 = -6  x2 + 5x + 10 = 0

5
15
 (x + )2 +
= 0. Pt vô nghiệm.
2
4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0 hoặc x = -5
Đặt x = ab , y = cde ta có abcde = 1000x + y

Bài 5
(2đ)
A

M

B

O
G

D

H

C

với 10  x < 100, 0  y < 1000 (1)
Ta có: x3 = 1000x + y (2)
Từ (1),(2)=> 1000x  x3 < 1000x+1000
=> 1000  x2 < 1000+

1000
<1100
x

=> 31< x<33
Vậy x = 32 và x3 = 32768

0,25
0,25
0,5
0,5

0,5

0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Bài 6
(5đ)

a) ADH và GBM có:
 = GBM
 (=90o)
ADH
 = GMB
 ( cặp góc có cạnh tương ứng song song)
AHD
=> ADH
GBM (g-g)
=>

DH AD
=
BM GB

=> DH.GB = BM.DA

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5


b) Ta có : DH.GB = BM.DA ( câu a)
2
2
ADO vuông cân tại O => AD = DO. 2
2
DH.GB = BM.DA = BO.
. DO. 2 =BO.DO
2
DH DO
 = GBO
 (=45o)
=>
mà ODH

BO GB

0,25

=>
=>

=>
=>

0,25
0,25
0,25
0,5
0,25

MBO vuông cân tại M => BM = BO.

ODH
GBO (c-g-c)


DOH = BGO
 + HOG
 + GOB
 = BGO
 + GOB
 + OBG
 (=1800)
DOH
 = OBG
 = 45o
HOG

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

0,25

0,5