Parabol

Hình học giải tích trong mặt phẳng - Parabol
Parabol
Bài 1: Viết phơng trình Parabol (P) có đỉnh là gốc toạ độ trong mỗi trờng hợp sau:
a. Biết đờng chuẩn là x = -2.
b. Biết đờng chuẩn là y = -1.
c. Đi qua điểm A(2,-1) và nhận trục hoành làm trục đối xứng. Tìm giao điểm của đờng thẳng (d):
x-y-1=0 với mỗi Parabol (P) trên.
Bài 2: Cho điểm F(3,0) và đờng thẳng (d): 3x-4y+16=0.
a. Tính khoảng cách từ F đến (d) từ đó suy ra phơng trình đờng tròn tâm F tiếp xúc với (d).
b. Viết phơng trình Parabol (P) có tiêu điểm F và đỉnh là gốc toạ độ. CMR: (P) tiếp xúc với (d). Tìm
toạ độ tiếp điểm.
Bài 3: Viết phơng trình Parabol (P) có đỉnh là gốc toạ độ trong mỗi trờng hợp sau:
a. Biết đờng chuẩn là x = -3.
b. Biết đờng chuẩn là y = -2.
c. Đi qua điểm A(2,-4) và nhận trục hoành làm trục đối xứng. Tìm giao điểm của đờng thẳng (d):
x-y-1=0 với mỗi Parabol (P) trên.
Bài 4: Cho Parabol (P) có phơng trình: y
2
=2x. Viết ph-
ơng trình các tiếp tuyến của (P) biết:
a. Tiếp tuyến đi qua A(2;2).
b. Tiếp tuyến đi qua B(-2;0).
Bài 5: Cho Parabol (P) có phơng trình: y
2
=2x. Viết ph-
ơng trình các tiếp tuyến của (P) biết:
a. Song song với đ- ờng thẳng (d): x-2y+6=0.
b. Tiếp tuyến vuông góc (d) x-y=0.
c. Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng (d'): 2x-y=0
một góc 45
o

.
Bài 6: Viết phơng trình các tiếp tuyến chung của Elíp (E):
1
49
22
=+
yx
và Parabol (P):
xy 2
2
=
.
Bài 7: Cho Parabol (P) có phơng trình: y
2
=16x. Viết phơng trình các tiếp tuyến của (P), biết:
a. Tiếp tuyến đi qua A(1,2).
b. Tiếp tuyến đi qua B(1,-4).
-Biên soạn: Nguyễn Cao Cờng-
1
Hình học giải tích trong mặt phẳng - Parabol
c. Vuông góc với đờng thẳng (d): 2x-y+5=0.
Bài 8: Cho Parabol (P) có phơng trình: y
2
=16x. Viết phơng trình các tiếp tuyến của (P) biết:
a. Tiếp tuyến đi qua M(-1,0).
b. Vuông góc với đờng thẳng (d): 3x-2y+6=0.
Bài 9: Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai Parabol: (P
1
): y=x
2

+x-2; (P
2
): y=x
2
+7x-11.
Bài 10: Viết phơng trình các tiếp tuyến chung của Elíp (E):
1
68
22
=+
yx
và Parabol (P):
xy 12
2
=
.
Bài 11: Cho Parabol (P):
2
2
x
y =
và điểm
)
8
27
,
8
15
(A
.

a. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua
)
2
1
,1(
1
M
và vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại M
1
.
b. Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho AM vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại M.
Bài 12: Cho Parabol (P) có phơng trình: y
2
=8x. Viết phơng trình các tiếp tuyến của (P), biết:
a. Tiếp tuyến đi qua A(2,4).
b. Tiếp tuyến đi qua B(-3,0).
c. Song song với đờng thẳng (d
1
): x-y+4=0
d. Vuông góc với đờng thẳng (d
2
): x-2y+2=0.
e. Tạo với đờng thẳng (d
3
): x+2y=0 một góc bằng 45
o
.
Bài 13: Viết phơng trình tiếp tuyến chung của:
a.Elíp (E):
1

49
22
=+
yx
và Parabol (P):
xy 2
2
=
.
b. Parabol (P
1
):
xy 4
2
=
và (P
2
):
xy 8
2
=
.
c. Elíp (E):
1
94
22
=+
yx
và Parabol (P):
xy 8

2
=
.
d. Hyperbol (H):
1
94
22
=
yx
và Parabol (P):
xy 8
2
=
.
Bài 14: Cho Parabol (P) có phơng trình: y
2
=2x và đờng thẳng (d): x-2y+2=0. CMR: (d) là tiếp tuyến của (P).
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P), (d) và trục Ox.
Bài 15: Xét hình phẳng giới hạn bởi Parabol: y=x
2
bị chặn bởi đờng thẳng đi qua điểm A(1,4) và có hệ số
góc k. Xác định k để hình phẳng nói trên có diện tích nhỏ nhất.
Bài 16: Cho Parabol (P) có phơng trình: y=x
2
và hai điểm di động trên (P) sao cho AB=2.
-Biên soạn: Nguyễn Cao Cờng-
2
Hình học giải tích trong mặt phẳng - Parabol
a. Tìm quỹ tích trung điểm đoạn AB.
b. Xác định vị trí của A, B sao cho diện tích phẳng giới hạn bởi cát tuyến AB và (P) đạt giá trị lớn

nhất.
Bài 17: Cho Parabol (P) có phơng trình: y
2
=x. Gọi (C) là đờng tròn tâm C(2,0) bán kính R.
a. Xác định P để đờng tròn (C) tiếp xúc với (P). Xác định toạ độ các tiếp điểm T
1
,T
2
.
b. Viết phơng trình các tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại T
1
, T
1
.
c. Tính diện tích của tam giác cong giới hạn bởi (P) và hai tiếp tuyến nói trên.
Bài 18: Cho A(2,2) là điểm trên Parabol (P): x
2
= 2y, (d)
là đờng thẳng song song với tiếp tuyến của (P) tại A.
(d) cắt (P) tại M và N.
a. Tính diện tích tam giác AMN.
b. Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn
bởi cát tuyến (d) và (P).
Bài 19: Cho Parabol (P):
2
2
1
xy =
và đờng thẳng
(d): 2mx-2y+1=0.

a. CMR: Với mọi giá trị của m, (d) luôn đi qua
tiêu điểm F của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân
biệt M, N. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn
MN khi m thay đổi.
b. Tính góc tạo bởi các tiếp tuyến tại M và N của (P).
Bài 20: Cho Parabol (P) có phơng trình: y
2
=4x.
a. CMR: Từ một điểm N tuỳ ý thuộc đờng chuẩn của (P) có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến đến (P) mà hai
tiếp tuyến ấy vuông góc với nhau.
b. Gọi T
1
,T
2
lần lợt là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến nói trên.CMR: T
1
T
2
luôn đi qua một điểm cố
định khi N chạy trên đờng chuẩn của (P).
c. Cho M là một điểm thuộc (P) (M khác đỉnh của (P)). Tiếp tuyến tại M của (P) cắt các trục toạ độ
Ox, Oy lần lợt tại A và B.Tìm quỹ tích trung điểm I của AB khi M chạy trên (P).
Bài 21: Cho Parabol (P) có phơng trình: y
2
=4x. Một đờng thẳng bất kỳ đi qua tiêu điểm của (P) cắt (P) tại
hai điểm phân biệt A, B. CMR: Tích các khoảng cách từ A và B đến các trục của (P) là một đại lợng không
đổi.
Bài 22: Cho điểm A(3,0) và Parabol (P):y=x
2
.

a. M là một điểm thuộc (P) có hoành độ x
M
=a.Tính độ dài AM, xác định a để đoạn AM ngắn nhất.
b. Chứng tỏ rằng nếu đoạn AM ngắn nhất thì AM vuông góc với tiếp tuyến tại M của (P).
Bài 23: Lấy hai điểm M, N theo thứ tự thuộc Parabol (P): y
2
=64x và đờng thẳng (d):4x+3y+46=0.
a. Xác định M, N để đoạn MN ngắn nhất.
-Biên soạn: Nguyễn Cao Cờng-
3
Hình học giải tích trong mặt phẳng - Parabol
b. Với kết quả tìm đợc ở câu a, chứng tỏ rằng khi đó đờng thẳng MN vuông góc với tiếp tuyến tại M
của (P).
Bài 24: Cho Parabol (P):y=x
2
. Một góc vuông ở đỉnh O cắt (P) tại A
1
và A
2
. Hình chiếu của A
1
và A
2
lên Ox là
B
1
và B
2
.
a. CMR: OB

1
.OB
2
không đổi.
b. CMR: A
1
A
2
luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 25: Cho Parabol (P) có phơng trình: x
2
=8y. Một đờng thẳng bất kỳ đi qua tiêu điểm của (P) cắt (P) tại
hai điểm phân biệt A, B. CMR: Tích các khoảng cách từ A và B đến các trục của (P) là một đại lợng không
đổi.
Bài 26: Lấy hai điểm M, N theo thứ tự thuộc Parabol (P): y
2
=2x và đờng thẳng (d):x-y+4=0.
a. Xác định M, N để đoạn MN ngắn nhất.
b. Với kết quả tìm đợc ở câu a, chứng tỏ rằng khi đó đờng thẳng MN vuông góc với tiếp tuyến tại M
của (P).
-Biên soạn: Nguyễn Cao Cờng-
4
Hình học giải tích trong mặt phẳng - Parabol
Bài 27(QGHCM97): Cho (P):
2
x
y
2
=
và điểm

8
27
;
8
15
A
a. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm
)
2
1
;1(M
và vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại M.
b. Tìm tất cả các điểm M trên (P) sao cho AM vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại M.
Bài 28(HVNHHCM 98): Cho (P):y
2
=x và F là tiêu điểm. Giả sử đờng thẳng (d) qua F cắt (P) tại hai điểm M
1
và M
2
.
a. Tính M
1
M
2

khi (d) song song với Oy.
b. Giả sử (d) không song với Oy, Gọi k là hệ số góc của (d). Tính M
1
M
2
theo k. Xác định các điểm
M
1
M
2
sao cho M
1
M
2
ngắn nhất.
Bài 29 (ĐHNN 98): Cho (P):y
2
=x và hai điểm A(4;-2); B(1;1) thuộc (P). Hãy tìm điểm M nằm trên cung của
(P) giới hạn bởi A, B sao cho diện tích tam giác ABM lớn nhất.
Bài 30 (NT 00): Cho (P):y
2
=8x và điểm I(2;4) thuộc (P). Xét góc vuông thay đổi quanh I, hai cạnh góc vuông
cắt (P) tại M, N (khác I). Chứng minh đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 31 (HVQY 00): Cho (P):y
2
=64x và đờng thẳng (d): 4x-3y+46=0. Viết phơng trình đờng tròn có tâm thuộc
(d), tiếp xúc với (P) và có bán kính nhỏ nhất.
Bài 32 (Dự bị A03): Cho (P):y
2
=x và điểm I(0;2). Tìm toạ độ hai điểm M và N thuộc (P) sao cho

IN4IM
=
.
Bài 33 (CĐKTKH 04): Viết phơng trình của (P) có tiêu điểm F(-2;2) và đờng chuẩn (d) y=4.
Bài 34 (D ợc 98): Lập phơng trình tiếp tuyến chung của (P): y
2
=12x và (E):
1
6
x
8
x
22
=+
.
Bài 35 (ĐN 97): Cho (P): y
2
=16x
a. Lập phơng trình tiếp tuyến với (P) biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng (d): 3x-2y+6=0.
-Biên soạn: Nguyễn Cao Cờng-
5