Phuong phap ti so the tich

Hình học không gian
Phơng pháp tỉ số thể tích

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có thể tích V trên các cạnh AB, AC, AD lấy lần lợt các điểm B, C, D sao
cho:
3
1'
;
3
2'
;
2
1'
===
AD
AD
AC
AC
AB
AB
. Tính thể tích các tứ diện ABCD; DBCD theo V.
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a, góc của mặt bên và đáy là . Gọi M là trung
điểm của cạnh SC, mặt phẳng (MAB) cắt SD tại N. Tính theo a và thể tích của hình chóp SABMN.
Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD và cạnh SA vuông góc với đáy ABCD.
Mặt phẳng qua AB cắt các cạnh SC, SD lần lợt tại M, N và chia hình chóp SABCD thành hai phần có
thể tích bằng nhau. Tính tỉ số
SC
SM
.
Bài 4: Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD. ABCD có cạnh bên là l và hợp với đáy góc ; diện tích
đáy lớn bằng bốn lần diện tích đáy nhỏ.

a. Tính thể tích hình chóp cụt. b. Tính diện tích xung quanh hình chóp cụt đó.
Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật có AB=a, AD=b, SA=b là chiều cao của hình
chóp. M là điểm trên cạnh SA với AM=x, mặt phẳng MBC cắt SD tại N. Tính thể tích khối đa diện
ABCDMN theo a, b và x. Tìm giá trị lớn nhất của khối đa diện ABCDMN.
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy là tam giác vuông cân có B=AC=a; cạnh bên AA=a.
Gọi E là trung điểm của AB, F là hình chiếu vuông góc của E trên BC. Mặt phẳng (CEF) chia lăng trụ
thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Bài 7: Cho lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy là tam giác vuông có CA=CB=a; cạnh bên CC=2a. Gọi
M và N lần lợt là trung điểm của AB và AA; mặt phẳng (CMN) cắt cạnh BC ở P.
a. Chứng minh PC=2PB. b. Tính thể tích khối đa diện AMNCPC.
Bài 8: Cho hình lập phơng ABCDABCD cạnh a. Gọi E, F lần lợt là trung điểm của CD và CB.
Mặt phẳng (AEF) chia lập phơng thành hai phần. Tính thể tích mỗi phần.
Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Từ A hạ
các đờng vuông góc AE với SB và SD.
a. Chứng minh (AEF)SC. b. Gọi P là giao điểm của (AEF) với SC. Tìm quĩ tích của P khi S
chạy trên nửa mặt phẳng Ax vuông góc với đáy ABCD.
Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD đỉnh S, cạnh đáy bằng a, đờng cao SH. Một điểm M bất kì
thuộc AH, mặt phẳng (P) qua M song song với AD và SH cắt AB, DC, SD, SA lần lợt tại I, J, K, L.
a.Biết
2aSH
=
. Xác đinh vị trí của M trên AH để thiết diện IJKL là một tứ giác nội tiếp đợc.
b. Xác định vị trí của M trên AH để thể tích khối đa diện DIJKLH đạt giá trị lớn nhất.
Bài 11: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD với chiều cao SH=h. Một mặt phẳng cắt các cạnh bên SA,
SB, SC, SD tại A, B, C, D. Đặt a=SA; b=SB; c=SC; d=SD. Góc ASH=. Gọi I là giao điểm của
AC và BD; đặt l=SI.
a. Chứng minh I ở trên SH. b. Tính theo a, c và diện tích tam giác SAC.
c. Chứng minh
lca

cos211
=+
. Từ đó suy ra
dbca
1111
+=+
.
Bài 12: Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh SA=x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1.
a. Chứng minh SASC.
b. Tính diện tích ABCD và đờng cao SH của hình chóp. Từ đó suy ra điều kiện đối với x để bài
toán có nghĩa.
c. Xác định x để hình chóp có thể tích lớn nhất.
Bài 13: Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác
đều và vuông góc với đáy, gọi H là trung điểm AB. Gọi M là điểm lu động trên cạnh BC.
a. Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc K của S lên DM.
b. Đặt CM=x. Xác định x để thể tích hình chóp S.DHK lớn nhất.
c. Xác định x để mặt phẳng (SDM) chia hình chóp S.CDHM thành hai phần có thể tích bằng nhau.
-Biên soạn: Thầy Nguyễn Cao C ờng 0904.15.16.50