ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CẤP THÀNH PHỐ MÔN TOÁN 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
CẤP THÀNH PHỐ
KHÓA THI NGÀY 09/03/2016
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài:150 phút
(không kể thời gian phát đề)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(đề thi gồm 01 trang)
Bài 1. (3 điểm)
Giải phương trình:

x2  1 

( x 2  1)(2  x) 4
 .
x
x

Bài 2. (4 điểm)
Giải hệ phương trình:

y  y2  1
2
2
( x  y )( x  xy  y  2)  2ln

x  x2  1


( x  2) log 3 x  y log 3 y  x  1
Bài 3. (3 điểm)
Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x 2  y 2 

3
 2( x  y ) . Tìm giá trị lớn
2

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
6  2( x  1)( y  1)
.
P
( x  1)2  ( y  1)2
Bài 4. (3 điểm)
Tìm m để phương trình: m(sin 2 x  1)  1  (m  3)(sin x  cos x) có đúng

hai nghiệm phân biệt trên đoạn [0; ] .
2
Bài 5. (4 điểm)
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết AB = 2, CD = 2 3 ,

  900 và góc giữa AD và BC bằng 300.
ABC  BAD
Bài 6. (3 điểm)
Trong một buổi tọa đàm về “Tình yêu tuổi học đường” tại lớp 12A, có tất
cả 21 bạn tham gia và có 4 cặp có tình cảm với nhau (không có học sinh nào
thuộc về nhiều cặp). Cô giáo chọn ra 5 bạn để tham gia một trò chơi tập thể.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong đó, có ít nhất một cặp có tình cảm với
nhau?

HẾT


ĐÁP ÁN
Bài 1. (3 điểm)

( x 2  1)(2  x) 4
Giải phương trình: x  1 

x
x
2

(*) .

Lời giải.
( x 2  1)(2  x)
 0  x   1;0   1; 2 .
(0,5đ)
x
4
Vế trái của (*) dương nên  0  x  0 , do đó, ta chỉ cần xét x  1;2 và ta có:
x

Điều kiện

x3  x  x( x 2  1)(2  x)  4
 x3  x  4  x( x 2  1)(2  x)  0

(0,5đ)

 ( x  x)  2(2  x)  ( x  x)(2  x)  0
3

3

Đặt u  x3  x  0, v  2  x  0 thì ta có

u 2  2v 2  uv  0  (u  v)(u  2v)  0
u  v

u  2v  0

(1đ)

Phương trình thứ hai vô nghiệm vì u, v không thể đồng thời bằng 0. Do đó

u  v  x3  x  2  x
 x3  x  2  x  x 3  2  x  3 2
So sánh điều kiện, ta thấy nghiệm này thỏa mãn nên phương trình (*)
có nghiệm duy nhất là x  3 2
Bài 2. (4 điểm) Giải hệ phương trình:

y  y2  1
( x  y )( x 2  xy  y 2  2)  2ln

x  x2  1

( x  2) log 3 x  y log 3 y  x  1
Lời giải.

Điều kiện xác định: x, y  R

(1đ)

Phương trình đầu  x3  y 3  2( x  y)  2ln( y  y 2  1)  2ln( x  x 2  1)

 x3  2 x  2ln( x  x 2  1)  y 3  2 y  2ln( y  y 2  1)
Xét f (t )  t 3  2t  2ln(t  t 2  1)
Tập xác định: R

f '(t )  3t 2  2 

2
t 1
2

Đặt u  t 2  1; u  1

2 3u 3  5u  2
 3(u  1)  2  
=> 3t  2 
u
u
t2 1
2
(u  1)(3u  3u  2)
 0 u  1
=
u
2

2

2

(1đ)


 f / (t )  0 t  R hay f (t ) là hàm đồng biến trên R
Từ f ( x)  f ( y )  x  y
Thay vào phương trình thứ hai, ta được: (2 x  2)log 3 x  x  1

(1đ)

x = 1 không là nghiệm  x  1

(0,25đ)

x 1
( x  0, x  1)
2x  2
VT là hàm đồng biến trên (0, )
VP nghịch biến trên từng khoảng (;1) và (1;+)
nên phương trình trên có không quá 2 nghiệm.
1
Nhẩm được x  3 và x  là nghiệm
3
1
Suy ra phương trình có đúng 2 nghiệm là x  3 và x  .
3

Phương trình  log 3 x 

1 1 

Kết luận : Tập nghiệm của hệ là : (x ;y)  (3;3);( ; ) 
3 3 


(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,5đ)

(0,5đ)

Bài 3. (3 điểm)
Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x 2  y 2 

3
 2( x  y ) . Tìm giá trị lớn
2

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
6  2( x  1)( y  1)
.
P
( x  1)2  ( y  1)2
Lời giải.
3

1
x 2  y 2   2( x  y )  ( x  1) 2  ( y  1) 2 
2
2
Đặt a  x  1, b  y  1
1
2
2
2
2
2
Do (a  b )  2ab  a  b nên 11  P  13
3 1
GTLN của P là 13 khi ( x, y)   ; 
2 2
1 1
GTNN của P là 11 khi ( x, y)   ; 
2 2

Ta có P = 12 – 4ab với a2 + b2 =

(1đ)
(1đ)
(0,5đ)
(0,5đ)


Bài 4. (3 điểm)
Tìm m để phương trình: m(sin 2 x  1)  1  (m  3)(sin x  cos x) (*) có


đúng hai nghiệm phân biệt trên đoạn [0; ] .
2
Lời giải.
Đặt t  sin x  cos x (1  t  2) ,
(0,5đ)
2
2
(*)  mt  1  (m  3)t  m(t  t )  3t  1 (**)
t = 1 không thỏa phương trình (**)
3t  1
 f (t ) (1  t  2)
(**)  m 
(0,5đ)
t  t2
3t 2  2t  1
f / (t ) 
 0 t  (1; 2]
(t  t 2 )2
(0,5đ)

Suy ra f đồng biến trên (1; 2]


Ứng với mỗi t  (1; 2) ptrình t  sin x  cos x có đúng 2 nghiệm x  (0; ) (0,75đ)
2

Như vậy (*) có đúng hai nghiệm phân biệt trên đoạn [0; ] khi
2
87 2
(0,75đ)

m  f ( 2)  
2
Bài 5. (4 điểm)
  900 và góc giữa
ABC  BAD
Cho tứ diện ABCD có AB = 2, CD = 2 3 , 
AD và BC bằng 300. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Lời giải.

D

K

O
E

J
A

C
I
B

Dựng hình chữ nhật ABCE. Ta có AB, CE vuông góc với mp(ADE) và (AD,AE) =300.


Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, AE; K là tâm đường tròn ngoại tiếp
tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp D.ABCE.
Suy ra OK  (ADE) và OI  (ABCD), KJ  AE
 OIJK là hình chữ nhật.

 ADE; O là
(1đ)
(1đ)
(0,5đ)

Ta có DE  DC 2  CE 2  2 2
DE
 AK 
2 2
2sin( AD, AE )

(0,5đ)

 OA  AK 2  OK 2  AK 2  IJ 2  3
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 3.

(0,5đ)

(0,5đ)

Bài 6. (3 điểm)
Trong một buổi tọa đàm về “Tình yêu tuổi học đường” tại lớp 12A, có tất
cả 21 bạn tham gia và có 4 cặp có tình cảm với nhau (không có học sinh nào
thuộc về nhiều cặp). Cô giáo chọn ra 5 bạn để tham gia một trò chơi tập thể.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong đó, có ít nhất một cặp có tình cảm với
nhau?
Lời giải.
Gọi A là nhóm các học sinh có tình cảm với nhau (gồm 8 học sinh) và B là nhóm các
học sinh còn lại (gồm 13 học sinh)

(0,25đ)
* Trường hợp 1: Có đúng 1 cặp có tình cảm với nhau.
 Đầu tiên chọn 1 cặp có tình cảm với nhau: Có 4 cách chọn.
(0,25đ)
 Tiếp theo ta chọn 3 học sinh trong đó không có 2 em nào có tình cảm với nhau,
có 4 trường hợp:
+ 3 HS thuộc nhóm A: Có 23 cách chọn.
(0,25đ)
2 2
1
+ 2 HS thuộc nhóm A và 1 HS thuộc nhóm B: Có C3 .2 .C13 cách chọn.
(0,25đ)
+ 1 HS thuộc nhóm A và 2 HS thuộc nhóm B: Có C31.2.C132 cách chọn.
+ 3 HS thuộc nhóm B: Có C cách chọn.

(0,25đ)
(0,25đ)

3
13

Như vậy số cách chọn trong trường hợp 1 là 4(2  C .2 .C  C .2.C  C )
=3672 (0,25đ)
* Trường hợp 2: Có đúng 2 cặp có tình cảm với nhau.
 Đầu tiên chọn 2 cặp có tình cảm với nhau: Có C42  6 cách chọn.
(0,25đ)
3

2
3

1
 Tiếp theo ta chọn 1 học sinh còn lại: có C17
cách chọn.

2

1
13

1
3

2
13

3
13

(0,25đ)

1
Như vậy số cách chọn trong trường hợp 2 là 6C17
(0,25đ)
 102 .
Vậy tổng cộng có 3774 cách chọn ra 5 bạn mà trong đó, có ít nhất một cặp có tình cảm
với nhau.
(0,5đ)