Kỹ thuật sử dụng BĐT Cô si

Kỹ thuật sử dụng
Bất đẳng thức
Cô-Si
(Tài liệu lưu hành nội bộ)
Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường
Tel: 0904.15.16.50
Hà Nội 16 - 6 - 2006
Kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si
1. NHNG QUY TC CHUNG TRONG CHNG MINH BT NG THC S
DNG BT NG THC Cễ SI
Quy tc song hnh: hu ht cỏc BT u cú tớnh i xng do ú vic s dng cỏc chng minh mt cỏch song
hnh, tun t s giỳp ta hỡnh dung ra c kt qu nhanh chúng v nh hng cỏch gi nhanh hn.
Quy tc du bng: du bng = trong BT l rt quan trng. Nú giỳp ta kim tra tớnh ỳng n ca chng
minh. Nú nh hng cho ta phng phỏp gii, da vo im ri ca BT. Chớnh vỡ vy m khi dy cho hc sinh ta
rốn luyn cho hc sinh cú thúi quen tỡm iu kin xy ra du bng mc dự trong cỏc kỡ thi hc sinh cú th khụng trỡnh
by phn ny. Ta thy c u im ca du bng c bit trong phng phỏp im ri v phng phỏp tỏch nghch
o trong k thut s dng BT Cụ Si.
Quy tc v tớnh ng thi ca du bng: khụng ch hc sinh m ngay c mt s giỏo viờn khi mi nghiờn
cu v chng minh BT cng thng rt hay mc sai lm ny. p dng liờn tip hoc song hnh cỏc BT nhng
khụng chỳ ý n im ri ca du bng. Mt nguyờn tc khi ỏp dng song hnh cỏc BT l im ri phi c ng
thi xy ra, ngha l cỏc du = phi c cựng c tha món vi cựng mt iu kin ca bin.
Quy tc biờn: C s ca quy tc biờn ny l cỏc bi toỏn quy hoch tuyn tớnh, cỏc bi toỏn ti u, cỏc bi
toỏn cc tr cú iu kin rng buc, giỏ tr ln nht nh nht ca hm nhiu bin trờn mt min úng. Ta bit rng cỏc
giỏ tr ln nht, nh nht thng xy ra cỏc v trớ biờn v cỏc nh nm trờn biờn.
Quy tc i xng: cỏc BT thng cú tớnh i xng vy thỡ vai trũ ca cỏc bin trong BT l nh nhau do
ú du = thng xy ra ti v trớ cỏc bin ú bng nhau. Nu bi toỏn cú gn h iu kin i xng thỡ ta cú th ch
ra du = xy ra khi cỏc bin bng nhau v mang mt giỏ tr c th.
Chiu ca BT : , cng s giỳp ta nh hng c cỏch chng minh: ỏnh giỏ t TBC sang TBN v ngc
li
Trờn l 5 quy tc s giỳp ta cú nh hng chng minh BT, hc sinh s thc s hiu c cỏc quy tc trờn qua cỏc
vớ d v bỡnh lun phn sau.

2. BT NG THC Cễ SI
(CAUCHY)
1. Dng tng quỏt (n s): x
1
, x
2
, x
3
..x
n
0 ta cú:
Dng 1:
1 2

1 2

......
...........
n
n
n
x x x
x x x
n
+ +

Dng 2:
1 2

1 2

...... ...........
n
n
n
x x x n x x x+ +
Dng 3:
1 2
1 2
...........
......

n
n
n
x x x
x x x
n

ữ

+ +

Du = xy ra khi v ch khi:
1 2
............
n
x x x= = =
H qu 1:
Nu:
1 2

........
n
x x x S const+ + + = =
thỡ:
( )
1 2
P ............
n
n
S
Max
n
x x x

=
ữ

=
khi
1 2
............
n
S
n
x x x == = =
H qu 2:
Nu:
1 2
.................
n

x x x P const= =
thỡ:
( )
1 2 2
.........
n
Min S n Px x x =+ +=
khi
1 2
............
n
n
x x x P== = =
2. Dng c th ( 2 s, 3 s ):
n = 2: x, y 0 khi ú: n = 3: x, y, z 0 khi ú:
2.1
2
x y
xy
+


3
3
x y z
xyz
+ +

2.2
2x y xy+

3
3 x y z xyz+ +
2.3
2
2
x y
xy

ữ

+


3
3
x y z
xyz

ữ

+ +

- Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cờng - 0904.15.16.50
2
Kỹ thuật sử dụng
Bất đẳng thức
Cô-Si
(Tài liệu lưu hành nội bộ)
Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường

Tel: 0904.15.16.50
Hà Nội 16 - 6 - 2006
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
2.4
( )
2
4x y xy+ ≥

( )
3
27x y z xyz+ + ≥
2.5
1 1 4
x y x y
+ ≥
+

1 1 1 9
x y z x y z
+ + ≥
+ +
2.6
( )
2
1 4
xy
x y
≥
+

( )
3
1 4
xyz
x y z
≥
+ +
Bình luận:
• Để học sinh dễ nhớ, ta nói: Trung bình cộng (TBC) ≥ Trung bình nhân (TBN).
• Dạng 2 và dạng 3 khi đặt cạnh nhau có vẻ tầm thường nhưng lại giúp ta nhận dạng khi sử dụng BĐT Cô Si: (3)
đánh giá từ TBN sang TBC khi không có cả căn thức.

3. CÁC KỸ THUẬT SỬ DỤNG
3.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân.
Đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá BĐT theo chiều “ ≥ ”. Đánh giá từ tổng sang tích.
Bài 1: Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
, ,8 a b ca b b c c a a b c ∀+ + + ≥

Giải
Sai lầm thường gặp:
Sử dụng: ∀ x, y thì x
2
- 2xy + y
2
= ( x- y)
2
≥ 0 ⇔ x
2

+ y
2
≥ 2xy. Do đó:
2 2
2 2
2 2
2
2
2
a b ab
b c bc
c a ca





+ ≥
+ ≥
+ ≥
⇒
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
8 , ,a b b c c a a b c a b c+ + + ≥ ∀
(Sai)
Ví dụ:
2 2
3 5
4 3






≥ −
≥ −
≥
⇒ 24 = 2.3.4 ≥ (-2)(-5).3 = 30 ( Sai )
Lời giải đúng:
Sử dụng BĐT Cô Si: x
2
+ y
2
≥ 2
2 2
x y
= 2|xy| ta có:
2 2
2 2
2 2
0
0
0
2
2
2
a b ab
b c bc
c a ca


≥


≥


≥


+ ≥
+ ≥
+ ≥
⇒
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
| 8| 8 , ,a b b c c a a b c a b c a b c=+ + + ≥ ∀
(Đúng)
Bình luận:
• Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả được BĐT cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm.
• Cần chú ý rằng: x
2
+ y
2
≥ 2
2 2
x y
= 2|xy| vì x, y không biết âm hay dương.
• Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Cô Si như bài toán nói trên mà phải qua một và phép biển đổi
đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT Cô Si.
• Trong bài toán trên dấu “ ≥ ” ⇒ đánh giá từ TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 gợi ý đến việc sử dụng bất đẳng thức Côsi

cho 2 số, 3 cặp số.
Bài 2 : Chứng minh rằng:
( )
8
2
64 ( )a b ab a b+ ≥ +
∀ a,b ≥ 0
Giải
( ) ( )
( ) ( )
( )
4
4
8 2 4
ôSi
2
4 2
.2 2 2 2 2 . .
C
a b a b a b ab a b ab ab a b
 
 
 
= = + = =
 
   
 
 
+ + + ≥ + +
2

64 ( )ab a b= +
Bài 3: Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥ 9ab ∀ a, b ≥ 0.
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
3
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
Giải
Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) ≥
3 3
3 1. . . 3. . . 9a b a b ab ab=
Bình luận:
• 9 = 3.3 gợi ý sử dụng Côsi cho ba số, 2 cặp. Mỗi biến a, b được xuất hiện ba lần, vậy khi sử dụng Cô Si cho ba số
sẽ khử được căn thức cho các biến đó.
Bài 4: Chứng minh rằng: 3a
3
+ 7b
3
≥ 9ab
2
∀ a, b ≥ 0
Giải
Ta có: 3a
3
+ 7b
3
≥ 3a
3
+ 6b
3
= 3a
3

+ 3b
3
+ 3b
3

3
3
3 3
3 3
Côsi
a b
≥
= 9ab
2
Bình luận:
• 9ab
2
= 9.a.b.b ⇒ gợi ý đến việc tách hạng tử 7b
3
thành hai hạng tử chứa b
3
để khi áp dụng BĐT Côsi ta có b
2
.
Khi đã có định hướng như trên thì việc tách các hệ số không có gì khó khăn.
Bài 5: Cho:
, , , 0
1
:
1 1 1 1

81
3
1 1 1 1
a b c d
CMR abcd
a b c d





>
≤
+ + + ≥
+ + + +
Giải
Từ giả thiết suy ra:
( )
( )
( )
ôsi
3
3
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
= -
C
b c d bcd

a b c d b c d
b c d
     
 ÷  ÷  ÷
     
≥ + − + − + + ≥
+ + + + + + +
+ + +
Vậy:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
3

3
3
3
3
3
3
1
0
1
1 1 1
1
0
1
1 1 1
1 d
81
1 1 1 1 1 1 1 1
1
0
1
1 1 1
1
0
1
1 1 1
bcd
a
b c d
cda
b

c d a
abc
a b c d a b c d
dca
c
d c a
abc
d
a b c







⇒








≥ ≥
+
+ + +
≥ ≥
+

+ + +
≥
+ + + + + + + +
≥ ≥
+
+ + +
≥ ≥
+
+ + +
⇒
1

81
abcd ≤
Bài toán tổng quát 1:
Cho:
( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
, , ,.............,
1
0
1
: ...........
1 1 1 1
......... 1
1 1 1 1
n
n

n
n
n
x x x x
CMR x x x x
n
x x x x



−


>
≤
+ + + + ≥ −
+ + + +
Bình luận:
• Đối với những bài toán có điều kiện là các biểu thức đối xứng của biền thì việc biến đổi điều kiện mang tính đối
xứng sẽ giúp ta xử lí các bài toán chứng minh BĐT dễ dàng hơn
Bài 6: Cho
, , 0
1 1 1
: 1 1 1 8
1
a b c
CMR
a b c
a b c


   


 ÷ ÷ ÷

   

>
− − − ≥
+ + =
(1)
Giải
ôsi
1 1 1
(1) . .
2 2 2
. . . . 8
C
a b c
VT
a b c
b c c a a b bc ca ab
a b c a b c
− − −
=
+ + +
= =≥
(đpcm)
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
4

Kü thuËt sö dông B§T C« Si
Bài toán tổng quát 2:
Cho:
( )
n
1 2 3
1 2 31 2 3
, , ,...............,
........ 1
........ 1
0
1 1 1 1
: 1 1 1 1
n
n
n
n
x x x x
CMR
x x x xx x x x
  
  
 

−
 ÷
 ÷ ÷
 ÷

 ÷

 ÷ ÷
 ÷
+ + + + =

 
  
 
>
− − − − ≥
Bài 7: CMR:
( )
( )
( )
( )
1 2 3
3
3
3
1 1 1 1 1 8 , , 0
3
a b c
a b c abc abc a b c
     
 ÷  ÷  ÷
     
 
 ÷
 ÷
 
+ +

+ ≥ + + + ≥ + ≥ ∀ ≥
Giải
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
ôsi
3
3
1 1 1
1 1 1 1
3 3
C
a b c
a b c
a b c
 
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
+ + +
=
+ +

+ +
+ ≥ + + +
(1)
Ta có:
( )
( )
( )
( ) ( )
1 1 1 1a b c ab bc ca a b c abc
 
 
 
=+ + + + + + + + + +
( )
(
)
2 2 2
3
ôsi
3
3
3
3 11 3
C
a b c abc abc abc+ + = +≥ +
(2)
Ta có:
( )
3
3

3 3
ôsi
2 1. 81
C
abc abc abc
 
 ÷
 
=+ ≥
(3)
Dấu “ = ” (1) xảy ra ⇔ 1+a = 1+b = 1+c ⇔ a = b = c
Dấu “ = ” (2) xảy ra ⇔ ab = bc = ca và a = b = c ⇔ a = b= c
Dấu “ = ” (3) xảy ra ⇔
3
abc
=1 ⇔ abc = 1
Bài toán tổng quát 3:
Cho x
1
, x
2
, x
3
,……., x
n
≥ 0. CMR:
(
)
(
)

( )
(
)
1 2 3
1 2
1 2 1 2 1 2
....
...... ..... 2 ......1 1 1 1 1
n
n n n
n
n
n
n
x x x
x x x x x x x x x
n
     
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
 
 ÷
 ÷
 
+ + +
+ ≥ + + + ≥ + ≥
Bình
luận:
• Bài toán tổng quát trên thường được sử dụng cho 3 số, áp dụng cho các bài toán về BĐT lượng giác trong tam

giác sau này.
• Trong các bài toán có điều kiện ràng buộc việc xử lí các điều kiện mang tình đồng bộ và đối xứng là rất quan
trọng, giúp ta định hướng được hướng chứng minh BĐT đúng hay sai.
Trong việc đánh giá từ TBC sang TBN có một kỹ thuật nhỏ hay được sử dụng. Đó là kĩ thuật tách nghịch đảo.
3.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo.
Bài 1: CMR:
2 . 0
a b
a b
b a
+ ≥ ∀ >
Giải
Ta có:
2 2
Côsi
a b a b
b a b a
+ ≥ =
Bài 2: CMR:
2
2
2
2
1
a
a R
a
+
≥ ∀ ∈
+

Giải
Ta có:
( )
2
2 2
2 2 2 2
ôsi
2
2 2
1 1
2 1 1
1 1
1 1 1 1
C
a
a
a a
a a a a
= = ≥ =
+ +
+
+ + +
+ + + +
Dấu “ = ” xảy ra ⇔
2 2
2
1
1 1 1 0
1
a a a

a
= ⇔+ + = ⇔ =
+
Bài 3: CMR:
( )
1
3 0a a b
b a b
+ ≥ ∀ > >
−
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
5
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
Giải
Ta có nhận xét: b + a – b = a không phụ thuộc vào biến b đo đó hạng tử đầu a sẽ được phân tích như sau:
( )
( )
( )
( )
( )
3
ôsi
.
1 1 1
3 . 3 0
C
a b a b b a b a b
b a b b a b b a b
+ = + − + ≥ − = ∀ > >
− − −

Dấu “ = ” xảy ra ⇔
( )
( )
1
b a b
b a b
== −
−
⇔ a = 2 và b = 1.
Bài 4: CMR:
( )
( )
2
4
3 0
1
a a b
a b b
+ ≥ ∀ > >
− +
(1)
Giải
Vì hạng tử đầu chỉ có a cần phải thêm bớt để tách thành các hạng tử sau khi sử dụng BĐT sẽ rút gọn cho các
thừa số dưới mẫu. Tuy nhiên biểu thức dưới mẫu có dạng
( )
( )
2
1a b b− +
(thừa số thứ nhất là một đa thức bậc nhất b,
thừa số 2 là một thức bậc hai của b) do đó ta phải phân tích về thành tích của các đa thức bậc nhất đối với b, khi đó ta

có thể tách hạng tử a thành tổng các hạng tử là các thừa số của mẫu.
Vậy ta có:
( )
( )
2
1a b b− +
= (a - b)( b + 1)( b + 1) ⇒ ta phân tích a theo 2 cách sau:
2a +2 = 2(a - b) + ( b + 1) + ( b + 1) hoặc a +1 =
( )
1 1
2 2
b b
a b +
+ +
− +
Từ đó ta có (1) tương đương :
VT + 1 =
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
4 1 1 4
1
2 2
1 1
1
b b
a a b

a b b b
a b b
= + +
+ +
+ + − +
− + +
− +

( )
( )
( ) ( )
4
ôsi
. . . .
1 1 4
4 4
2 2
1 1
C
b b
a b
a b b b
+ +
≥ − =
− + +
⇒ ĐPCM
Bài 5: CMR :
3
1
2a 1

2
3
4 ( )
1
a
b a b
a
b







≥
+
≥ ∀
−
>
Giải
Nhận xét: Dưới mẫu số b(a-b) ta nhận thấy b + ( a – b ) = a. Chuyển đổi tất cả biểu thức sang biến a là 1 điều
mong muốn vì việc sử lí với 1 biến sẽ đơn giản hơn. Biến tích thành tổng thì đây là một mặt mạnh của BĐT Côsi. Do
đó:
Ta có đánh giá về mẫu số như sau:
( )
( )
2
2
4. 4. 4.

2 4
b a b
a
b a b a
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
+ −
− ≤ = =
Vậy:
3 3 3
ôsi
3
2 2
3
ôsi
3 3
2a 1 2 1 1 1 1
. .
4 ( )
C
C
a a a
a a a a
b a b a a
a a
+
= = =

+ + +
≥ + + ≥
−
Dấu “ = ” xảy ra ⇔
2
1

1 1
2
b a b a
a b
a


 
 
 


= − =
⇔
= =
Bình luận:
• Trong việc xử lí mẫu số ta đã sử dụng 1 kỹ thuật đó là đánh giá từ TBN sang TBC nhằm làm triệt tiêu biến b.
• Đối với phân thức thì việc đánh giá mẫu số, hoặc tử số từ TBN sang TBC hay ngược lại phải phụ thuộc vào dấu
của BĐT.
Bài 6: Bài toán tổng quát 1.
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
6
Kü thuËt sö dông B§T C« Si

Cho:
1 2 3
............., 0 à 1
n
x x x x v k Z> > > > ≤ ∈
. CMR:
( )
( ) ( )
( )
1
1 2
1
1 2 2 3 1
1 2
1
...............
k kk
n k
n k
n n
n
n k
a
a a a a a a a
k
 
 
 ÷
 
 ÷

 
− +
−
−
− +
+
− − −
≥
Giải
VT =
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 2 2 3 1
1 2 2 3 1
.....
1
......
n n
k kk
n
n n
n
a a a a a a
a a a a a a a
a
−
−
+ + + +

− + − −
− − −
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1
1 2 1 2
1 2 2 3 1
.. ...
.
1
..
.
n
n n
n n
k k k
n n
n
k k
a a a a
a a a a
a
k k k k
a a a a a a a
− −
−
+ + + +
+ +

− −
− −
= + +
− − −
1 4 4 4 4 2 4 4 4 43 1 4 4 4 44 2 4 4 4 4 43
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1
1 2 1 2
1 2 2 3 1
1 2
.. .. ..
.
.
1
1 2 .
.
n
n n
n n
k k
k
n n
n
n k
k k
a a a a

a a a a
n k a
k k k k
a a a a a a a
 
 ÷
 ÷
 
− −
−
− +
 
 
− −
− −
− +
− − −
≥
1 4 44 2 4 4 43 1 4 4 44 2 4 4 4 43
( )
1 2
1
1 2
n k
n k
n k
k
 
 
 ÷

 
 ÷
 
− +
−
− +
=
Tóm lại: Trong kỹ thuật tách nghịch đảo kỹ thuật cần tách phần nguyên theo mẫu số để khi chuyển sang TBN thì các
phần chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số.
Tuy nhiên trong kỹ thuật tách nghịch đảo đối với bài toán có điều kiện ràng buộc của ẩn thì việc tách nghịch đảo
học sinh thường bị mắc sai lầm. Một kỹ thuật thường được sử dụng trong kỹ thuật tách nghịch đảo, đánh giá từ TBN
sang TBC là kỹ thuật chọn điểm rơi.
3.3 Kỹ thuật chọn điểm rơi
Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT Côsi và các quy tắc về tính đồng thời của dấu “
= ”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ được sử dụng để tìm điểm rơi của biến.
Bài 1: Cho a ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của
1
S a
a
= +
Giải
Sai lầm thường gặp của học sinh:
1
S a
a
= +
≥ 2
1
a
a

=2
Dấu “ = ” xảy ra ⇔
1
a
a
=
⇔ a = 1 ⇒ vô lí vì giả thiết là a ≥ 2.
Cách làm đúng:
Ta chọn điểm rơi: ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử
1
a
để sao cho khi áp dụng BĐT Côsi dấu “ = ” xảy ra khi a = 2.
Có các hình thức tách sau:
1 1
; (1)
1
; (2)
1
,
1
; (3)
; (4)
a
a
a
a
a
a
a
a

a
a
α
α
α
α

 

 ÷
 


 

 ÷
 
 

 ÷

 
 

 ÷

 

 


 ÷

 

⇒
Vậy ta có:
5
1
4 4 2
1 3 1 3 3.2
2
4 4 4
a a a a
S
a a
+ + ≥ + == + ≥
. Dấu “ = ” xảy ra ⇔ a = 2.
Bình luận:
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
7
Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi (1):
(sơ đồ điểm rơi (2), (3), (4) học sinh tự làm)
1 2
1 1
2
a
a
α α








=
=
⇒
2 1
2
α
=
⇒ α = 4.
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
• Ta sử dụng điều kiện dấu “ = ” và điểm rơi là a = 2 dựa trên quy tăc biên để tìm ra α = 4.
• Ở đây ta thấy tính đồng thời của dấu “ = ” trong việc áp dụng BĐT Côsi cho 2 số
,
4
1a
a
và
3
4
a
đạt giá trị lớn
nhất khi a = 2, tức là chúng có cùng điểm rơi là a = 2.
Bài 2: Cho a ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
1
S a

a
= +
Giải
Sơ đồ chọn điểm rơi: a = 2 ⇒
2
2
1 1
4
a
a
α α







=
=
⇒
2 1
4
α
=
⇒ α = 8.
Sai lầm thường gặp:
2 2 2
.
1 1 7 1 7 2 7 2 7.2 2 7 9

2
8 8 8 8 8 8 4 4 4
8 8.2
a a a a a
S a
a a a
a
 
 ÷
 
= + + +
= + ≥ = + ≥ + = + =
⇒ MinS =
9
4

Nguyên nhân sai lầm:
Mặc dù chọn điểm rơi a = 2 và MinS =
9
4
là đáp số đúng nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu
số: Nếu a ≥ 2 thì
2 2 2
4
8 8.2a
=≥
là đánh giá sai.
Để thực hiện lời giải đúng ta cần phải kết hợp với kỹ thuật tách nghịch đảo, phải biến đổi S sao cho sau khi sử dụng
BĐT Côsi sẽ khử hết biến số a ở mẫu số.
Lời giải đúng:

3
2 2 2
ôsi
. .
1 1 6 1 6 3 6 3 6.2 9
3
8 8 8 8 8 8 4 8 4 8 4
C
a a a a a a a
S a
a a a
 
 ÷
 
= + + + +
= + ≥ = + ≥ + =
Với a = 2 thì Min S =
9
4
Bài 3: Cho
, , 0
3
2
a b c
a b c






>
+ + ≤
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
1 1 1
S a b c
a b c
= + + + + +
Giải
Sai lầm thường gặp:
6
. .
1 1 1 1 1 1
6 . . . 6S a b c a b c
a b c a b c
≥ == + + + + +
⇒ Min S = 6
Nguyên nhân sai lầm :
Min S = 6 ⇔
3
1
2
1 1 1
3a b c a b c
a c
b
= = = ⇒
= = = + + = >
trái với giải thiết.
Phân tích và tìm tòi lời giải:
Do S là mọt biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán MinS đạt tại điểm rơi

1
2
a b c= = =
Sơ đồ điểm rơi:
1
2
a b c= = =
⇒
1
2
1 1 1 2
a b c
a b c
α α α α







= = =
= = =
⇒

2
4
1
2
α

α
⇒= =
Hoặc ta có sơ đồ điêm rơi sau:
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
8
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
1
2
a b c= = =
⇒

2
2 4
2
1 1 1
2
a b c
a b c
α
α α α
α
α







⇒ =

= = =
= = =
⇒ =
⇒
2
4
1
2
α
α
= ⇒ =
Vậy ta có cách giải theo sơ đồ 2 như sau:
( ) ( )
6
. .
1 1 1 1 1 1
4 4 4 3 6 4 .4 .4 . 3S a b c a b c a b c a b c
a b c a b c
 
 ÷
 
≥= + + + + + − + + − + +
3 15
12 3.
2 2
≥ − =
. Với
1
2
a b c= = =

thì MinS =
15
2
Bài 4: Cho
, , 0
3
2
a b c
a b c





>
+ + ≤
. Tìm GTNN của
2 2 2
2 2 2
1 1 1
S a b c
b c a
= + + + + +
Giải
Sai lầm thường gặp:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
6
. . . .

1 1 1 1 1 1
3 3a b c a b c
b c a b c a
S
     
 ÷  ÷  ÷
     
≥ =+ + + + + +
2 2 2
6
2 2 2
6
. . . . .
1 1 1
3 2 2 2 3 8 3 2a b c
b c a
     
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
= =≥
⇒ MinS =
3 2
.
Nguyên nhân sai lầm:
MinS =
3 2
⇔
3
1

2
1 1 1
3a b c a b c
a c
b
= = = ⇒= = = + + = >
trái với giả thiết.
Phân tích và tìm tòi lời giải
Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán MinS đạt tại
1
2
a b c= = =
2 2 2
2 2 2

1
1 4
4
16
4
41 1 1
a b c
a b c
α
α
α
α α α








⇒ =
= = =
= =
= ⇒
=

Lời giải
2 2 2
2 2 2 2 2 2
16 16 16
..... ..... .....
1 1 1 1 1 1

16 16 16 16 16 16
S a b c
b b c c a a
+ + + + + += + + + + +
1 4 44 2 4 4 43 1 4 44 2 4 4 43 1 4 44 2 4 4 43
2 2 2
2 2 2 2 2 2
16 16 16
17 17 17
17 . ..... 17 . ..... 17 . .....
1 1 1 1 1 1

16 16 16 16 16 16

a b c
b b c c a a
≥ + +
1 44 2 4 43 1 44 2 4 43 1 44 2 4 43
2 2 2
17 17 17
17
17 17
16 32 16 32 16 32 8 16 8 16 8 16
17 17 17 17
16 16 16 16 16 16
a b c a b c
b c a b c a
 
= + +
 ÷
 ÷
 
= + +
( )
3
17
17 17 17
8 16 8 16 8 16 8 5 5 5
5
17
. . 3. 17
.
3 17
17 3

16 16 16 16
2 2 2 2
a b c a
b c a a b c
a b c
 
 
= =
 
 
≥
15
17
2 2 2
.
3
3 17 3 17
2
2
a b c
≥ ≥
 
+ +
 ÷
 
. Dấu “ = ” xảy ra khi
1
2
a b c= = =
⇒ Min S =

3 17
2
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
9
Kü thuËt sö dông B§T C« Si
Bình luận:
• Việc chọn điểm rơi cho bài toán trên đã giải quyết một cách đúng đắn vềmặt toán học nhưng cách làm trên tương
đối cồng kềnh. Nếu chúng ta áp dụng việc chọn điểm rơi cho BĐT Bunhiacôpski thì bài toán sẽ nhanh gọn hơn
đẹp hơn.
• Trong bài toán trên chúng ta đã dùng một kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC, chiều của dấu của BĐT không chỉ
phụ thuộc vào chiều đánh giá mà nó còn phụ thuộc vào biểu thức đánh giá nằm ở mẫu số hay ở tử số
Bài 5: Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a b c d b c d c d a a b d a b c
S
b c d c d a a b d a b c a b c d
+ + + + + + + +
= + + + + + + +
+ + + + + + + +
Giải
Sai lầm 1 thường gặp:
.
.
.
.
2 2
2 2
2 2
2 2
a b c d a b c d
b c d a b c d a

b c d a b c d a
c d a b c d a b
c a b d c a b d
a b d c a b d c
d a b c d a b c
a b c d a b c d













+ + + +
+ ≥ =
+ + + +
+ + + +
+ ≥ =
+ + + +
+ + + +
+ ≥ =
+ + + +
+ + + +
+ ≥ =

+ + + +
⇒ S ≥ 2 + 2 + 2 + 2 = 8
Sai lầm 2 thường gặp:
Sử dụng BĐT Côsi cho 8 số:
8
. . . . . . .8 8
a b c d b c d c d a a b d a b c
S
b c d c d a a b d a b c a b c d
+ + + + + + + +
≥ =
+ + + + + + + +
Nguyên nhân sai lầm:
Min S = 8 ⇔
a b c d
b c d a
c d a b
d a b c







= + +
= + +
= + +
= + +
⇒ a + b + c + d = 3(a + b + c + d) ⇒ 1 = 3 ⇒ Vô lý.

Phân tích và tìm tòi lời giải
Để tìm Min S ta cần chú ý S lá một biểu thức đối xứng với a, b, c, d do đó Min S nếu có thường đạt tại “điểm rơi tự
do” là : a = b = c = d > 0.(nói là điểm rơi tự do vì a, b, c, d không mang một giá trị cụ thể). Vậy ta cho trước a = b = c
= d dự đoán

4 40
12
3 3
Min S = + =
. Từ đó suy ra các đánh giá của các BĐT bộ phận phải có điều kiện dấu bằng
xảy ra là tập con của điều kiện dự đoán: a = b = c = d > 0.
Ta có sơ đồ điểm rơi: Cho a = b = c = d > 0 ta có:

1
1 3
3
9
3
3
a b c d
b c d c d a a b d a b c
b c d c d a a b d a b c
a b c d
α
α
α



⇒ ⇒





= = = =
+ + + + + + + +
= =
+ + + + + + + +
= = = =
Cách 1: Sử dụng BĐT Côsi ta có:
8
, , ,
, , ,
. . . . . . .
8
.
9 9 9
8
9 9 9 9
a b c d
a b c d
a b c d b c d
b c d a a
a b c d b c d c d a a b d a b c
b c d c d a a b d a b c a b c d
S
 
 ÷
 
+ + + +

+ + ≥
+ +
+ + + + + + + +
≥
+ + + + + + + +
=
∑ ∑
8
9
b c c d a b a b
a a b b c c d d
d a d c
a b c d
 
 ÷
 
+ + + + + + + + + + + +
≥
- Biªn so¹n néi dung: ThÇy NguyÔn Cao Cêng - 0904.15.16.50
10