TOÁN HỌC CÁC CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN TOÁN HAY

ℳừng xuân Canh Dần 2010

⋇franciscokison⋇

Hàm sinh

Hàm sinh
Kim Đình Sơn, 12A1,THPT Chuyên Vĩnh Phúc

1 Giới thiệu
Xét dãy số(

)

và hàm số
( )=

+

+

+⋯+

+⋯

Khi đó ( ) đươcj gọi là hàm sinh cho dãy ( ) , ta nói hàm ( ) mang đầy đủ thông tin về
dãy ( ) ∈ .Hệ số của
chính là số hạng của dãy.Nếu biết đặc điểm của hàm ( ) ta hoàn
toàn có thể biết mọi số hạng của dãy
một cách tổng quát. Ví dụ dãy số thỏa mãn phương
trình sai phân

+
+
= 0 ta có hàm sinh cho dãy thỏa mãn
( ( )−

)+

−

( ( )−

)+

( )=0

Hay
+(
1+

( )=
Nếu

, là hai nghiệm của phương trình đặc trưng
+(
( )=
(1 −

)

=

(1 −

)

VÍ DỤ 1.Tìm công thức tổng quát cho dãy (
1.

= 0 khi đó

+

(1 −

,

)
,

≥ 0) với

=

(

+

≥ 0. Trong đó ,

= 1 và

=

xác định

+

+

∞

(

+

)

∞

=

+

=

1
1−

+

Suy ra
( )=

)

, ∀ ≥

, khi đó
∞

( )=

+

+

Từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy là :
theo và .

Giải Xét ( ) = ∑∝

+

∞

)

+
)(1 −

)

+
+

(1 −

1
)(1 −

)

=

1
−

∞

1−
1

−

1−

=

−
−

( )


ℳừng xuân Canh Dần 2010

Do đó

=

⋇franciscokison⋇

Hàm sinh

,∀ .

VÍ DỤ 2. Chứng minh rằng số
∞

−

=
Giải Dãy

= 0,

thỏa mãn

= 1 và
∞

∞

∞

( )=

=

.Suy ra

VÍ DỤ 3. ( ℎ

, ∀ ≥ 1. Đặt

, khi đó
−

∞

∞

∞

−

=

Để ý rằng hàm sinh cho dãy
.

+

−

=
Xét hàm sinh ( ) = ∑∝

=

( + 1) =

=

cũng chính bằng

và

=0=

1
1−

,

−

=1=

, ∀ .Ta có điều cần chứng minh.

)

Chứng minh rằng
2

−
−
2

=

2 +1

2 Các phép toán trên hàm sinh
Cho dãy
∑∞

, …và
= ∑∞

( )là hàm sinh bởi dãy số đó. Khi đó hàm sinh cho dãy
=
( ). Ta có pháp nhân.

,

, … là

Tiếp theo, giả sử hai dãy { }
à{ }

có hai hàm sinh lần lượt là A(x) và B(x). Khi đó
∞
dãy { + }
có hàm sinh là ∑ ( + ) = ∑∞
+ ∑∞
= ( )+
( ), ta có phép cộng.
Nếu thêm đằng trước dãy , bằng số 0 thì ta có hàm sinh co dãy 0,0, … ,0,
là ∑∞
=
( ), ta có phép nhân.

2

,

, … chính


ℳừng xuân Canh Dần 2010

⋇franciscokison⋇

Hàm sinh

Bây giờ ta xét hàm ( ) = ( ) ∙ ( ) = ∑∞ ∑
, đặt
=∑
. Ta có hàm
sinh cho dãy { }

chính là hàm G(x). Ta gọi quy tắc này là “phép xoắn” hay quy tắc
“xoắn”(ta có hai dãy { }
à{ }
ghép cặp từng số hạng như kiểu

.)
VÍ DỤ 4 Chứng minh rằng số cách chèn dấu ∗ vào tích của n+1 nhân tử là số
1
2
+1
Giải. Ta nhận thấy số cách chèn dấu ∗ vào giữa tích + 1 nhân tử là
lại là
. Do đó

và giữa

=
Xét hàm sinh
∞

∞

( )=
Khi đó ( ) − 1 = ∑∞
( ) − 1 = ( ) Suy ra

= ∑∞

=1+
∑

, theo quy tắc xoắn ta có

( )=

1 − √1 − 4
2

Ta có
∞

√1 − 4 = (1 − 4 )
∞

=

=
1 1
2∙ 2−1
∞

=1−2

1
−2

(−4 )

1
1

−
2
…
2
2−
!

(2 − 2)!
( − 1)! ( − 1)!

Vậy ta có điều phải chứng minh

3

+1 .
∞

=

(−4 )
1
2
+1

− nhân tử còn


ℳừng xuân Canh Dần 2010

⋇franciscokison⋇

Hàm sinh

VÍ DỤ 5. Chứng minh đẳng thức sau đúng với mọi số nguyên dương
+

(Công thức

=

, ,

−

)

VÍ DỤ 6. Cho dãy {

}

xác định bởi

=1 à

+

+ ⋯+

= 1. Tìm công

thức tổng quát cho
3 Xây dựng hàm sinh
Để biết thông tin về một dãy số ta xét hàm sinh cho dãy số đó. Đối với các bài toán đòi hỏi
công thức tường minh cho số hạng của dãy hoặc chứng minh đẳng thức về dãy tức là ta chỉ cần
“nắm bắt về một thông tin “( quan trọng) về dãy, khi đó ta chỉ cần xét hàm sinh cho một biến.
Vậy thế nào là “thông tin”? Ta sẽ gán cho mỗi một thông tin ứng với một biến. Ví dụ, với một
phần tử của dãy ta có hai lựa chọn là hoặc được chọn hoặc là nó không được chọn, do đó
biểu diễn hàm sinh cho là
+
= 1 + như vậy ta có hàm sinh cho dãy gồm phần tử
được chọn là (1 + ) . Ở đây thông tin là sự xuất hiện của phần tử trong dãy.
VÍ DỤ 7(
3?

2003) Có bao nhiêu số có

chữ số từ tập hợp {2,3,7,9} và chia hết cho

Giải Ta có một số chia hết cho 3 nếu và chỉ nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Như vậy
yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm số các số có chữ số mà tổng các chữ số của nó chia
hết cho 3. Ta có mỗi chữ số của số thỏa mãn có giả trị là một trong các số 2,3,7 ℎ ặ 9. Do đó
hàm sinh cho mỗi chữ số sẽ là
+ + + . Xét hàm sinh 1
ℱ( ) = (
Trong đó

là số các số có

Xác định =
≠1 à 1+ +

/

+

+

+

) =

+

+

+ ⋯+

chữ số từ {2,3,7,9} mà có tổng các chữ số là .

là nghiệm nguyên thủy bậc ba của Unity ( phương trình
= ( − 1)/( − 1) = 0. Khi đó
ℱ (1) =

+

ℱ( ) =

+

ℱ( ) =

+

+
+
+

Khi đó

4

+

+

+⋯

+

+

+⋯

+

+

+⋯

= 1), ta có

ℳừng xuân Canh Dần 2010

⋇franciscokison⋇

Hàm sinh

ℱ (1) + ℱ ( ) + ℱ ( ) = 3 + (1 + + )
= 3( + + + ⋯ ) = 3

+ (1 + +

)

+3

+⋯

Vậy ta có các số cần tính là
=

1
ℱ (1) + ℱ ( ) + ℱ ( )
3
1
= ((1 + 1 + 1 + 1) + (
3

+ 1 + + 1) + ( + 1 +

+ 1) ) =

1
(4 + 2)
3

_________________________________
1

Nói thêm về hàm sinh.Như ở phần 1 đã giới thiệu, khi ta cần biết chính xác công thức của dãy,
thông thường ta chỉ tính được hệ số hoặc giá trị của hàm sinh tại điểm nào đó (như thế là quá
đủ).Cũng vậy ta đưa số các đại lượng cần tính về việc tính hệ số của hàm sinh. Tuy nhiên đối với
ví dụ 7 lại khác. Đại lượng cần tính lại là tổng của vài số hạng nào đó của dãy, do đó loại hàm
sinh ta cần xét là dãy các số mũ trong hàm sinh. Như vậy, ta có hai lọai hàm sinh thường gặp(
ứng với một biến –một thông tin) loại thứ hai là
( )=
Trong đó dãy (

)

∈

+

+

+⋯

là dãy hữu hạn hoặc vô hạn

, , … , , , , … , , với ≥ 2 thỏa mãn
. Chứng minh rằng là một lũy thừa của 2

VÍ DỤ 8. Cho các số nguyên dương phân biệt
+ |1 ≤ < ≤ = + |1 ≤ < ≤
Giải Xét hai hàm sinh
( )=

+

+

+ ⋯+

( )=

+

+

+⋯+

Và

Suy ra
ta có

( ) =∑

+ 2∑

à ( ) =∑

( ) − (
Hay ( ) − ( ) = (

)− (

)= ( ) − (

( )

( )+ ( ) = (
( )

)

). Mặt khác (1) = (1) =

( ) − ( ) = ( − 1)
Dođó( − 1)

+2∑

− 1)

( ),
(

(1) ≠ 0

),i.e,

( ) + ( ) = ( + 1)
5

nên ta có thể viết

(

)

. Vậy


ℳừng xuân Canh Dần 2010

Với

= 1, ta có 2 = 2 hay

⋇franciscokison⋇

Hàm sinh

=2

là một lũy thừa của 2

. Vậy

Ngoài ra, việc xây dựng hàm sinh không chỉ dựa trên một biến (vì một biến chỉ cho ta một
thông tin duy nhất!). Đối với những bài toán đòi hỏi nhiều thông tin ta cần xét hàm sinh với
nhiều biến hơn. Nhưng trước khi đến với các ví dụ đo ta hãy xét bốn định lý cơ bản sau

4 Định lý
Trong ví dụ 7, ta đã thấy một phương pháp giải các bài toán dạng này có sự kết hợp với số phức
để tính (như một bài báo của thầy Đặng Hùng Thắng trên tạp chí Toán học & Tuổi trẻ: “dùng cái
ảo đếm cái thực”).

Trong đó

/

=

ĐỊNH LÝ 1 Xác định

với là một số nguyên dương. Khi đó mọi đa thức
ℱ( ) = +
+
+⋯

được xác định là
+

+

nếu
+⋯=

>

ℱ. Ta có tổng

1
ℱ (1) + ℱ ( ) + ⋯ + ℱ (
n

Chứng minh Ta xét chứng minh dựa vào các tổng
, khi đó

= 1 nên

=1+

= . Trong trường hợp khác ta có

ℱ (1) + ℱ ( ) + ⋯ + ℱ (

)=

+

+

)
(

+⋯+

≠ 1 và

=

+⋯ = (

+

)

.Nếu

(

)

chia hết

= 0. Ta có
+

+ ⋯)

Định lý được chứng minh.
VÍ DỤ 9 (
1995
{1,2,3, … } thỏa mãn
(i)
(ii)

6) Cho

là một số nguyên tố lẻ. Tìm số các tập con

có đúng phần tử và
Tổng tất cả các phần tử của

của tập

chia hết cho

Giải Bài toán trên có hai thông tin cần biết: số các phần tử của tập hợp và tổng các phần tử của
tập hợp. Đến đây ta có hai hướng giải như sau
Hướng 1 Rõ ràng với mỗi , 1 ≤ ≤ 2 ta không thể góp vào nó với hàm
tích
1+
Không thể hiện được tập

có đúng p phần tử. Vì thế ta phải xét hàm sinh

6

+

=1+

vì

ℳừng xuân Canh Dần 2010

⋇franciscokison⋇

Hàm sinh

( , ) = (1 + )(1 +

) … (1 +

)=

,
,

Trong đó

,

của {1,2,3, … } thỏa mãn (i)| | = 2 −

là số các tập con
=∑

Vì vậy ta cần tính

|

,

/

=

. Đặt

={ ,
Ta sẽ tính tổng ∑

∈

Đầu tiên ta có ∑

∑
∈

và (ii) ( ) =

.

là nghiệm nguyên thủy của Unity và

,…,

= 1}

,

( , ) theo hai cách

∈

( , ) = ( , 1) + ∑

( , 1) = ( + 1) . Mặt khác với mọi
Do đó

∈ \{ }

( , ) = ( , 1) + ∑

.Ta có

ta có {1,2, … , } = {1 ⋅ , 2 ⋅ , … , ∙ }.

≢0

+

,

=

+

Hay

Xét ( ) = ( − )( −
) = −( + 1) suy ra

)…( −

+

=

+

)=

− 1, ta có

( , ) = ( + 1)

(− ) = (−1) ( + )( +

+ ( − 1)(

)…( +

+ 1)

∈

( , )=
∈

∈

[( + 1)

+ ( − 1)(

+ 1) ] =

∈

( + 1)
∈

2

=

+ 4 ( − 1) =

, ,

+ 4 ( − 1)

∑

+ 4 ( − 1) =

2+

2

+ 4 ( − 1)

∈

2

∈

+ 1)

∈

2

=

Bây giờ ta tính ∑

(
∈

2

∈

=

+ ( − 1)

( †)

+4 −2

∈

( , ) theo cách khác. Để ý rằng
7