đề - đáp án thi hsg huyện

Trờng thcs tây đô
đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9
năm học 2008 - 2009
Môn: Toán
( Thời gian làm bài: 120 phút - Vòng 2 )
Bài 1 ( 2 điểm ): Cho đa thức: f(x) = x
4
+ 6x
3
+ 11x
2
+ 6x
1/ Phân tích f(x) thành nhân tử.
2/ Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) + 1 luôn có giá trị là
số chính phơng.
Bài 2 ( 1,5 điểm ): Cho phơng trình ẩn x:
21
23
74
2

+

=
+

x
b
x
a
xx

x
; với x

1; x

2.
Tìm a và b để phơng trình có nghiệm là bất kỳ số thực nào khác 1 và 2.
Bài 3 ( 2 điểm ): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + z; biết rằng
x; y; z là các số thực thoả mãn điều kiện y
2
+ yz + z
2
= 1 -
2
3
2
x
.
Bài 4 ( 3,5 điểm ): Cho hình vuông ABCD ( AB = a ), M là một điểm bất kỳ trên cạnh
BC. Tia Ax vuông góc với AM cắt đờng thẳng CD tại K. Gọi I là trung điểm của đoạn
thẳng MK. Tia AI cắt đờng thẳng CD tại E. Đờng thẳng qua M song song với AB cắt
AI tại N.
1/ Tứ giác MNKE là hình gì ? Chứng minh.
2/ Chứng minh: AK
2
= KC . KE.
3/ Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì tam giác CME luôn
có chu vi không đổi.
4/ Tia AM cắt đờng thẳng CD ở G. Chứng minh rằng
22

11
AGAM
+
không phụ
thuộc vào vị trí của điểm M.
Bài 5 ( 1 điểm ): Cho a; b; c là các số thực thoả mãn điều kiện: abc = 2008. Chứng minh
rằng:
1
1200820082008
2008
=
++
+
++
+
++
cca
c
bbc
b
aab
a
- Họ và tên thí sinh: ..; Số báo danh:
- Họ tên, chữ ký của ngời coi thi:
Chú ý: Ngời coi thi không đợc giải thích gì thêm.
Trờng thcs tây đô
đáp án, biểu điểm môn toán
kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9
năm học 2008 - 2009
( Thời gian làm bài: 120 phút - Vòng 2 )

Bài 1: 2 điểm; Mỗi câu 1 điểm.
Câu 1: Lần lợt phân tích để có kết quả f(x) = x ( x + 1 )( x + 2 )( x + 3 )
Câu 2: Từ kết quả của câu 1 ta có:
+ A = f(x) + 1 = x( x + 3 )( x + 1 )( x + 2 ) + 1 = ( x
2
+ 3x )( x
2
+ 3x + 2 ) + 1
( 0,25 điểm )
+ Đặt x
2
+ 3x = t; ta có A = t( t + 2 ) = t
2
+ 2t + 1 = ( t + 1 )
2
( 0,25 điểm )
+ Do x

Z nên t = x
2
+ 3x x

Z; do đó ( t + 1 )
2


Z và ( t + 1 )
2
là số chính phơng.
( 0,25 điểm )

+ KL:
( 0,25 điểm )
Bài 2: 1,5 điểm.
+ Với x

1; x

2 ta có:
)2)(1(
)2()(
)2)(1(
2
21

++
=

+
=

+

xx
baxba
xx
bbxaax
x
b
x
a

( 0,25 điểm )
+ Do đó
21
23
74
2

+

=
+

x
b
x
a
xx
x
với mọi x

1; x

2

)2)(1(
)2()(
)2)(1(
74

++

=


xx
baxba
xx
x
với mọi x

1; x

2

4x 7 = ( a + b )x ( 2a + b ) với mọi x

1; x

2




=+
=+
72
4
ba
ba
( 0,75 điểm )
+ Từ đó tính đợc a = 3; b = 1.

( 0,25 điểm )
+ KL:
( 0,25 điểm )
Bài 3: 2 điểm
+ Ta có y
2
+ yz + z
2
= 1 -
2
3
2
x

2y
2
+ 2yz + 2z
2
= 2 3x
2

3x
2
+ 2y
2
+ 2yz + 2z
2
= 2 ( 1 )

x

2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy + 2xz + 2yz + x
2
2xy + y
2
+ x
2
2xz + z
2
= 2

( x + y + z )
2
+ ( x y )
2
+ ( x z )
2
= 2
( 1,0 điểm )
+ Do ( x y )
2


0; ( x z )
2

0 nên từ ( * ) suy ra ( x + y + z )
2


2
Hay -
22
++
zyx
( 0,5 điểm )
+ Dấu = xảy ra khi x y = 0 và x z = 0 hay x = y = z
Thay vào ( 1 ) đợc 9x
2
= 2; x =
3
2
; x = -
3
2
( 0,25 điểm )
+ KL: Với x = y = z = -
3
2
thì min B = -
2
Với x = y = z =
3
2
thì max B =

2
( 0,25 điểm )
Bài 4: 3,5 điểm.
N
E
I
G
K
BA
D C
M
Câu 1: 0, 75 điểm.
+ Từ MN // AB // CD và MI = IK áp dụng định lý Ta let ta có NI = IE
( 0,25 điểm )
+ Chỉ ra tam giác AMK vuông cân tại A để có AE

KM ( 0,25 điểm )
+ Tứ giác MNKE là hình bình hành có hai đờng chéo vuông góc với nhau nên
MNKE là hình thoi. ( 0,25 điểm )
Câu 2: 0, 75 điểm.
+ Từ tính chất hình vuông có

ACK = 45
0
. ( 0,25 điểm )
+ Chứng minh hai tam giác AKE và CKA đồng dạng, suy ra ĐPCM. ( 0,5 điểm )
Câu 3: 1, 0 điểm.
+ Từ hai tam giác ABM và ADK bằng nhau ta có MB = DK nên EK = MB +
ED. ( 0,25 điểm )
+ Tam giác AMK vuông cân tại A có MI = IK nên AI là trung trực của MK do

đó ME = EK. ( 0,25 điểm )
+ Từ đó ME = MB + ED, suy ra ME + CM + CE = 2a. ( 0,25 điểm )
+ KL: ( 0,25 điểm )
Câu 4: 1, 0 điểm.
+ Tam giác AMK vuông cân tại A nên AM = AK; do đó
22
11
AGAM
+
=
22
11
AGAK
+
. ( 0,25 điểm )
+ Tam giác AKG vuông tại A nên AK . AG = KG . AD = 2. dt AKG, do đó AK
2
. AG
2
= KG
2
. AD
2
. ( 0,25 điểm )
+ Mặt khác lại có KG
2
= AK
2
+ AG
2

và AD = a nên ta có
AK
2
. AG
2
= a
2
( AK
2
+ AG
2
), hay
222
22
1
. aAGAK
AGAK
=
+
, suy ra
22
11
AGAK
+
=
2
1
a
( 0,25 điểm )
+ KL: ( 0,25 điểm )

Bài 5: 1 điểm.
+ Đặt vế trái của đẳng thức cần chứng minh là A.
+ Từ abc = 2008 suy ra a; b; c khác 0.
( 0,25 điểm )
+ ở phân thức thứ nhất ta thay 2008 bởi tích abc; giữ nguyên phân thức thứ hai; nhân
cả tử và mẫu của phân thức thứ ba với b ta có:
A =
1
2008
2008
200820082008
2008
=
++
++
=
++
+
++
+
++
bbc
bbc
bbc
bc
bbc
b
bbc
( 0,75 điểm )
Chú ý: Học sinh làm cách khác nếu hợp lý và đúng thì vẫn có thể cho điểm tối đa theo thang điểm

quy định.