BAI TAP ANH XA TUYEN TINH

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
TRẦN NGỌC DIỄM


ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
f: U → V là axtt nếu
i) f(x+y) = f(x) + f(y), ∀x, y∈U
ii) f(λx) = λf(x), ∀x∈ U, ∀ λ ∈K

* f(M) = {f(x)/ x∈ M}
* f − 1(N) = {x/ f(x) ∈ N}
* Imf = f(U)

: ảnh của f

* Kerf = f −1(0) : nhân của f


Một số tính chất cần nhớ
f : U → V tt:

i.

Nếu M ≤ U thì f(M) ≤ V

ii. M ≤ U, M = < S> ⇒ f(M) = < f(S)>

Chú ý
1. Tìm cơ sở của Imf là tìm cơ sở của f(S), với S là tập
sinh hoặc cơ sở của U.
2. Tìm Kerf là tìm không gian nghiệm hệ pt f(x) = 0

3. dimImf + dimKerf = dimU


CÁCH CHO ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1. Cho bởi biểu thức tường minh:

f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − x2 + 3x3 , −2 x1 + 2 x2 )
2. Cho thông qua ảnh của cơ sở
Cho {e1, …, en} là cơ sở của U, {f1, …, fn} là hệ
vector tùy ý trong V.
Khi đó tồn tại duy nhất axtt f: U→ V sao cho f(ei) = fi,
i = 1, 2, …, n
Với x = α1e1 +…+ αnen ∈V: f(x) = α1f1 +…+ αnfn


Cách cho axtt
1. Tìm axtt f: R2 → R3 xác định bởi
f (1,1) = (1,−2,0), f (2, − 3) = (1,2,3)
2. Cho axtt f: R3 → R3 xác định bởi :
f ( 1,1,2 ) = ( 1,2,3) ; f ( 0,3,1) = ( − 1,1,1) ; f ( 2,1, − 2 ) = ( 0,3,4 )
Tìm f(2,0,1)


Tìm nhân, ảnh.
1. Cho f: R3 → R3,

f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + x2 − 2 x3 , 2 x1 + x3 ,3 x1 + x2 − x3 )
Xác định cơ sở cà chiều của Imf và Kerf.
2. f: R4 → R3,

f ( x, y, z, t ) = ( x + 2 z − t , 2 x + 5 y − z + 3t , − 2 x + y − 5 z + 3t )
Xác định cơ sở cà chiều của Imf và Kerf.


Tìm nhân, ảnh.
3. Cho axtt f: R3 → R3 xác định bởi :
f ( 1,1,2 ) = ( 1,2,3) ; f ( 0,3,1) = ( −1,1,1) ; f ( 2,1, −2 ) = ( 0,3,4 )
Tìm 1 cơ sở của Imf, Kerf
4. Tìm cơ sở và chiều của Kerf, Imf với

f : R3 → R3

thỏa:
f ( 1,1,1) = ( 1,2,1) , f ( 1,1,2 ) = ( 2,1, −1) , f ( 1,2,1) = ( 5,4, −1)


Tìm nhân, ảnh.
5. Cho axtt f: R3 → R3 xác định bởi :

f ( 1,0, − 1) = ( 1,2,3) ; f ( 1,1, − 1) = ( − 1,1,1) ; f ( 2,1,2 ) = ( 0,3,4 )
Tìm m để u =(1,-2,m) thuộc về Kerf
6. Cho axtt là phép quay trong mặt phẳng Oxy một góc
30o ngược chiều kim đồng hồ. Xác định axtt này.


MA TRẬN ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
f : U → V tuyến tính, dimU = n, dim V = m
E = {e1, …, en}, F = {f1, …, fm} là cơ sở của U và V

A =[ f ]E =

F

( [ fe ] [ fe ]
1 F

2 F

...

[ fen ] F )

A gọi là ma trận của f trong 2 cơ sở E, F.

[ f ( x) ] F = [ f ] E [ x ] E
F


Ma trận axtt

1. Cho f : R3 → R2, f(x,y,z) = (x+y-z, x+z)
a. Xác định ma trận của f trong các cơ sở chính tắc
của R3 và R2.
b. Xác định ma trận của f trong các cơ sở
E = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} và F = {(2,1), (1,-1)}


Ma trận axtt
2. Cho f : R3 → R3,
f(x, y, z) = (x+y − z, y+z, 3x+y)
a. Xác định ma trận của f trong cơ sở chính tắc E của R3 .

b. Xác định ma trận của f trong cơ sở chính tắc E và
cơ sở E’ = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)}.
c. Xác định ma trận của f trong cơ sở E’ = {(1,1,1), (1,1,0),
(1,0,0)}.


Ma trận axtt
3. Cho axtt f: R3 → R3 xác định bởi :
f ( 1,1,2 ) = ( 1,2,3) ; f ( 0,3,1) = ( − 1,1,1) ; f ( 2,1, − 2 ) = ( 0,3,4 )
Tìm ma trận

[ f ]E
F

với

E = { ( 1,1,2 ) , ( 0,3,1) , ( 2,1, −2 ) }
F = { ( 1,0,0 ) , ( 0,1,0 ) , ( 0,0,1) }


Ma trận axtt
3. Cho axtt

f : R3 → R3 Có ma trận trong 2 cơ sở

E = { ( −1,1,0 ) , ( −2,1, −1) , ( −1,1, −1) }
F = { ( 1,1, −1) , ( 1,1, 2 ) , ( 1, 2,1) }
là:

 −3 1 1 

A =  2 −2 2 ÷

÷
 1 1 −3 ÷



a) Tìm f(2,0,-1)
b) Tìm 1 cơ sở của Imf, Kerf


Ma trận axtt
4. Cho axtt

f : R3 → R3 Có ma trận trong cơ sở

E = { ( −1,1,0 ) , ( −2,1, −1) , ( −1,1, −1) }
là:

0 2 2

÷
A = 1 1 −1

÷
 −1 1 3 ÷



a) Tìm f(2,0,-1)

b) Tìm m để (m, 2, 0) thuộc về Kerf


Liên kết giữa ma trận trong các cơ sở khác nhau
f : U → V tuyến tính, dimU = n, dim V = m
E = { e1 , e2 ,..., en } , E ′ = { e1′, e2′ ,..., en′ } là các cơ sở của U
F = { f1 , f 2 ,..., f m } , F ′ = { f1′, f 2′,..., f m′ } là các cơ sở của V
S = S E → E′ , P = PF → F ′

E

F

(Ma trận chuyển cơ sở)

S

P

E′

F′

[ f ] E′ = P .[ f ] E .S
F′

−1

F

Chứng minh
 f ( x )  F = [ f ] E [ x ] E
F

P  f ( x )  F ′ = [ f ] E S [ x ] E′
F

 f ( x )  F ′ = P

−1

[ f ] E S [ x ] E′
F

[ f ] E′

F′


Liên kết giữa ma trận trong các cơ sở khác nhau
f : U → U tuyến tính, dimU = n
E = { e1 , e2 ,..., en } , E ′ = { e1′, e2′ ,..., en′ } là các cơ sở của U
S = S E →E′

[

f ] E′ = S −1.[ f ] E .S

Ma trận axtt
1. Cho axtt

f : R3 → R3 Có ma trận trong cơ sở

E = { ( −1,1,0 ) , ( −2,1, −1) , ( −1,1, −1) }
là:

0 2 2

÷
A = 1 1 −1

÷
 −1 1 3 ÷



Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc
E ′ = { ( 1,0,0 ) , ( 0,1,0 ) , ( 0,0,1) }


Ma trận axtt
2. Cho axtt

f : R3 → R2 Có ma trận trong cơ sở

E = { ( −1,1,0 ) , ( −2,1, −1) , ( −1,1, −1) }
F = { ( 1,1) , ( 1,2 ) }
là:

 −3 1 1 
A=
÷
2
−
2
2



Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc
E ′ = { ( 1,0,0 ) , ( 0,1,0 ) , ( 0,0,1) } , F ′ = { ( 1,0 ) , ( 0,1) }


Ma trận axtt
3. Cho axtt

f : R3 → R3 Có ma trận trong cơ sở

E = { ( −1,1,0 ) , ( −2,1, −1) , ( −1,1, −1) }
F = { ( 1,1, −1) , ( 1,1,2 ) , ( 1,2,1) }
là:

 −3 1 1 
A =  2 −2 2 ÷

÷
 1 1 −3 ÷




Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc
E ′ = { ( 1,0,0 ) , ( 0,1,0 ) , ( 0,0,1) }


Ma trận axtt
4. Cho axtt f: R3 → R3 xác định bởi :
f ( 1,1,2 ) = ( 1,2,3) ; f ( 0,3,1) = ( − 1,1,1) ; f ( 2,1, − 2 ) = ( 0,3,4 )
Tìm ma trận

[ f ]E

với E là cơ sở chính tắc.

E = { ( 1,0,0 ) , ( 0,1,0 ) , ( 0,0,1) }